close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Экзотические опционы купли на диффузионном (b p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 1(10)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.865
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ КУПЛИ
НА ДИФФУЗИОННОМ (B,P)-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ
В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ ХАЛЛА – УАЙТА
На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона купли с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для
инвестора на диффузионном (B, P)-рынке облигаций. Исследованы свойства
решения.
Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.
Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных
вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность,
предъявить его к исполнению [1 – 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной
цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой
опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором – опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.
Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой – желание инвестора ограничить
выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта проблематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива используется акция ((B, S)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базисного актива используется облигация ((B, P)-рынок). В данной работе представляется исследование трех видов экзотических опционов купли Европейского типа на
диффузионном (B, P)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двух
опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу
опциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу
опциона.
Используемые обозначения: E{·} – математическое ожидание; P{·} – вероятность события; N{b;D} – нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b
и D;
Φ ( x) =
x
⎧ z2 ⎫
⎧ z2 ⎫
1
exp
dz
(
z
)
dz
;
(
z
)
exp
−
=
φ
φ
=
⎨
⎬
⎨− ⎬ .
∫ ⎩ 2⎭
∫
2π −∞
2π
⎩ 2⎭
−∞
1
x
(1)
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
14
1. Постановка задачи
В теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимости
облигации – опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода
стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в
случае прямого, известного как модель Хиса-Джерроу-Мортона (HJM-модель) [8],
через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредованный подход.
Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (Ω, F, (Ft)t≥0, P) [2, 3].
Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (B, P)-рынка облигаций.
Стоимость B(t) в момент времени t банковского счета такова, что
t
⎪⎧
⎪⎫
B ( t ) = exp ⎨ ∫ r ( s ) ds ⎬ ,
⎩⎪ 0
⎭⎪
(2)
где r(t) – некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное предположение относительно процесса r(t) состоит в том, что это есть диффузионный
гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением
dr (t ) = ( a (t ) − b(t )r (t ) ) dt + d (t )dWt , r (0) = r0 ,
(3)
где Wt – винеровский процесс, функции α(t), β(t), γ(t) – детерминированные функции, причем
T
∫ ( a(t ) + b(t ) + d
2
)
(t ) dt < ∞ .
(4)
0
Замечание 1. Модель процентной ставки, описываемая уравнением (3), есть
не что иное как модель Халла – Уайта [10, 11], частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо – Ли [2].
Стоимость Pt(T1) в момент времени t бескупонной облигации со сроком погашения T1 согласно теореме 1, п. 5 из [2] определяется формулой
⎧⎪
⎧⎪ T
⎫⎪ ⎫⎪
Pt T 1 = E ⎨exp ⎨− ∫ r ( s ) ds ⎬ Ft ⎬ , 0 < Pt (T 1 ) ≤ 1.
⎪⎩
⎪⎩ t
⎪⎭ ⎪⎭
( )
1
(5)
Утверждение 1 [2]. Если краткосрочная процентная ставка r(t) подчиняется
уравнению (3) и выполнено условие (4), то уравнение (3) имеет, и при этом единственное, решение
где
t
t
a(s)
d ( s)
⎪⎧
⎪⎫
r (t ) = g (t ) ⎨r (0) + ∫
dWs ⎬ ,
+∫
g ( s) 0 g (s)
⎪⎩
⎭⎪
0
(6)
⎧⎪ t
⎫⎪
g (t ) = exp ⎨− ∫ β( s )ds ⎬
⎪⎩ 0
⎭⎪
(7)
– фундаментальное решение уравнения
t
g (t ) = 1 − ∫ β( s ) g ( s )ds .
0
(8)
Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций
15
Утверждение 2 [2]. Процесс Pt(T1) имеет эквивалентное (5) представление в
виде уравнения
{
}
Pt (T 1 ) = exp At (T 1 ) − r (t ) Bt (T 1 ) ,
1
At (T ) =
2
1
где
T 1 ⎡T 1
∫
t
⎢∫
⎢⎣ s
2
T
⎤
g (u )
d ( s )du ⎥ ds − ∫
g (s)
⎥⎦
t
T1
1
Bt (T ) =
∫
t
1
⎡ u g (u )
⎤
d ( s )ds ⎥ du,
⎢∫
⎢⎣ t g ( s )
⎥⎦
g (u )
du ,
g (t )
(9)
(10)
(11)
Замечание 2. Модели цен облигаций, которые представляются в виде (9), называются однофакторными аффинными моделями согласно терминологии п. 4c,
гл. III из [2].
Что же касается динамики процесса цен Pt(T1) облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (Ω, F, (Ft)t≥0, P) процесс
Pt T 1 = Pt T 1 / B ( t ) , являющийся дисконтированной относительно банковского
( )
( )
счета ценой облигации, является мартингалом [2, 3], а в силу теоремы 1, п. 5a,
гл. VII из [2] рассматриваемый рынок является безарбитражным [1 – 3].
Инвестор в момент времени t формирует капитал
X t = βt B ( t ) + γ t Pt (T 1 ), t ∈ [0, T ], T < T 1 ,
(12)
состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, P)-рынке заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) π*t = (β*t , γ*t ) таким образом, чтобы эволюция капитала X t* в соответствии с (12) обеспечила в момент
T < T1 выполнение платежного обязательства
X T* = fT ,
(13)
где fT ≥ 0 – платежная функция, T – фиксированный момент исполнения опциона,
то есть рассматриваются опционы Европейского типа [1 – 3].
В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли с
платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})
{
}
fTmax1 = max PT (T 1 ) − K1 , K 2 ;
{
}
fTmax 2 = max PT (T 1 ) − K1 , K 2 I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 ⎤⎦ ;
{(
fTmin = min PT (T 1 ) − K1
)
+
}
, K2 ,
(14)
(15)
(16)
где K1 > 0, K2 > 0, I[A] – индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A происходит и I[A]=0, если событие A не происходит.
Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегда
предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату K2, если
PT(T1) ≤ K1+K2, и выплату в размере PT(T1) – K1, если PT(T1)> K1+K2. Согласно платежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
16
только при выполнении условия PT(T1)>K1. В результате владелец опциона получает гарантированную выплату K2, если PT(T1)≤K1+K2, и выплату в размере
PT(T1) – K1, если PT(T1)>K1+K2. Согласно платежному обязательству (16), если
PT(T1) > K1, то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере PT(T1) K1, если PT(T1)<K1+K2, и в размере K2, если PT(T1) ≥ K1+K2.
Замечание 3. Платежные функции (14), (15) дают преимущество владельцу
опциона, т. к. гарантируют ему выплату, равную K2, в случае (14) всегда и в случае (15) при выполнении условия PT(T1)>K1. Платежная функция (16) дает преимущество инвестору, т. к. ограничивает его выплаты по опциону величиной K2.
Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов купли, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а
также хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы,
обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свойства решения.
2. Основные результаты
Обозначим
⎡ K B(t ) ⎤ 1
ln ⎢ 1 1 ⎥ + σT2 (T 1 ) BT2 (T 1 )
P (T ) ⎦ 2
d1 (t ) = ⎣ t
,
σT (T 1 ) BT (T 1 )
⎡ ( K + K 2 ) B (t ) ⎤ 1 2 1 2 1
ln ⎢ 1
⎥ + σT (T ) BT (T )
Pt (T 1 )
⎣
⎦ 2
;
d 2 (t ) =
1
σT (T ) BT (T 1 )
(17)
⎡ K B (t ) ⎤ 1
ln ⎢ 1 1 ⎥ − σT2 (T 1 ) BT2 (T 1 )
P (T ) ⎦ 2
y1 (t ) = ⎣ t
,
σT (T 1 ) BT (T 1 )
⎡ ( K + K 2 ) B (t ) Pt (T 1 ) ⎤ 1 2 1 2 1
ln ⎢ 1
⎥ − σT (T ) BT (T )
Pt (T 1 )
⎣
⎦ 2
,
y2 (t ) =
1
σT (T ) BT (T 1 )
где
1
BT (T ) =
T1
g (u )
∫ g (T ) du ,
(18)
(19)
T
1
2
⎛ T 1 ⎡T 1
⎞2
⎤
g
(
u
)
1
σT (T ) = ⎜ ∫ ⎢ ∫
d ( s ) ⎥ ds ⎟ ,
⎜⎜ ⎢ g ( s )
⎟⎟
⎥⎦
⎝T ⎣s
⎠
(20)
⎧⎪ u
⎫⎪
g (u ) = exp ⎨− ∫ b( s )ds ⎬ ,
⎩⎪ 0
⎭⎪
(21)
а d1, d2, y1, y2 определяются формулами (17), (18) при t = 0.
Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций
17
Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стоимость опциона CTmax1 , капитал X tmax1 и портфель (хеджирующая стратегия)
π tmax1 = (γtmax1 ,βtmax1 ) определяются формулами
CTmax1 = P0 (T 1 )Φ (− y2 ) − K1Φ (− d 2 ) + K 2 Φ (d 2 ) ;
(22)
X tmax1 = Pt (T 1 )Φ (− y2 (t )) − K1 B(t )Φ (− d 2 (t )) + K 2 B (t )Φ (d 2 (t )) ;
(23)
γtmax1 = Φ (− y2 (t )),βtmax1 = − K1Φ (− d 2 (t )) + K 2 Φ (d 2 (t )).
(24)
Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке
облигаций [2, 3],
X t = B (t ) E{B -1 (Т ) fT | Ft },
γt =
(25)
∂X t
X t − γ t Pt (T 1 )
.
,
β
=
t
∂p p = Pt (T 1 )
B (t )
(26)
В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и в
предположении, что исходная вероятностная мера на (Ω, F, (Ft)t≥0, P) является
мартингальной, а также, что
⎧⎪ T
⎫⎪
R (t , T ) = B (t ) B −1 (T ) = exp ⎨− ∫ r ( s )ds ⎬ ,
⎩⎪ t
⎭⎪
(27)
находим, используя (14), (25), что
{
} }
{
X tmax1 = E{R (t , T ) fTmax1 | Ft } = E R(t , T ) max PT (T 1 ) − K1 , K 2 | Ft =
{
}
{
}
= E I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) PT (T 1 ) | Ft − K1 E I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) | Ft +
{
}
+ K 2 E I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) | Ft .
Использование (9) дает, что события
(28)
{PT (T 1 ) > K1 + K 2 } = { AT (T 1 ) − r (T ) BT (T 1 ) > ln( K1 + K 2 )} = {r (T ) ≤ r12* } ;
(29)
{PT (T 1 ) ≤ K1 + K 2 } = { AT (T 1 ) − r (T ) BT (T 1 ) ≤ ln( K1 + K 2 )} = {−r (T ) ≤ −r12* } , (30)
r12* =
где
ln( K1 + K 2 ) − AT (T 1 )
− BT (T 1 )
.
(31)
Пусть
ξ = r (T ), η =
T1
T
0
0
∫ r (u )du, ς = ∫ r (u )du .
(32)
Тогда из (28) – (30) находим, что
{
}
{
}
X tmax1 = E I ⎡⎣ ξ ≤ r12* ⎤⎦ exp {−η} | Ft − K1 B (t ) E I ⎡⎣ ξ ≤ r12* ⎤⎦ exp {−ς} | Ft +
{
}
+ K 2 B(t ) E I ⎡⎣ −ξ ≤ − r12* ⎤⎦ exp {−ς} | Ft .
(33)
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
18
Для дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующая
лемма из [2].
Лемма. Пусть (X, Y) – гауссовская пара случайных величин с вектором сред⎛ σ 2 ρ XY ⎞
них значений (μX, μY) и матрицей ковариаций ⎜ X
⎟ . Тогда
2 ⎟
⎜ρ
⎝ XY σY ⎠
E { I [ X ≤ x ] exp {−Y }} = exp
и
E { I [ X ≤ x ] X exp {−Y }} = exp
x=
где
{
1 2
σY − μ Y
2
{
}{
}
1 2
σY − μ Y Φ ( x )
2
(34)
(μ X − ρ XY )Φ ( x) − σ X φ( x)} ,
x − (μ X − ρ XY )
.
σX
(35)
(36)
Из (6) находим, что
T
a( s ) ⎪⎫
⎪⎧
μ ξ = E {r (T )} = g (T ) ⎨r (0) + ∫
ds ⎬ ;
g ( s ) ⎭⎪
⎩⎪
0
(37)
μ − ξ = −μ ξ ;
(38)
T
T u
⎧⎪T
⎫⎪
⎡ g (u )
⎤
μ η = E ⎨ ∫ r (u )du ⎬ = r (0) ∫ g (u )du + ∫ ⎢ ∫
a( s )ds ⎥ du ;
⎢ 0 g ( s)
⎪⎩ 0
⎪⎭
⎦⎥
0
0 ⎣
(39)
T
T
T u
⎡ g (u )
⎤
⎪⎧
⎪⎫
μ ς = E ⎨ ∫ r (u )du ⎬ = r (0) ∫ g (u )du + ∫ ⎢ ∫
a( s )ds ⎥ du ;
⎢ 0 g (s)
⎩⎪ 0
⎭⎪
⎦⎥
0
0⎣
(40)
1
1
1
T
⎛ g (T ) ⎞
σ ξ2 = D {r (T )} = ∫ d 2 ( s ) ⎜
⎟ ds ;
⎝ g ( s) ⎠
0
(41)
σ2−ξ = σξ2 ;
(42)
⎧⎪T
⎫⎪ T
σ 2η = D ⎨ ∫ r (u )du ⎬ = ∫
⎪⎩ 0
⎪⎭ 0
1
1
2
⎡T g (u )
⎤
⎢∫
d ( s )du ⎥ ds ;
g (s)
⎣⎢ s
⎦⎥
1
(43)
2
T
T T
⎡ g (u )
⎤
⎪⎧
⎪⎫
σ ς2 = D ⎨ ∫ r (u )du ⎬ = ∫ ⎢ ∫
d ( s )du ⎥ ds ;
g
(
s
)
⎩⎪ 0
⎭⎪ 0 ⎣⎢ s
⎦⎥
(44)
T
T
⎛
⎞ T⎛
g (T ) g (u ) ⎞
ρξς = cov ⎜ r (T ), ∫ r (u )du ⎟ = ∫ ⎜ d 2 ( s)
du ⎟ ds ;
⎜
⎟
⎜
g ( s ) ∫s g ( s ) ⎟⎠
⎝
⎠ 0⎝
0
ρ−ξς = −ρξς ,
(45)
(46)
T
T
T
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
ρξη = cov ⎜ r (T ), ∫ r (u )du ⎟ = cov ⎜⎜ r (T ), ∫ r (u )du ⎟⎟ + cov ⎜ r (T ), ∫ r (u )du ⎟ =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
T
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
T1
= ρξς + σξ2 ∫
T
g (u )
du.
g (T )
(47)
Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций
19
Использование (33), (34) дает, что
{
{
}
}
X tmax1 = exp
⎛ r12* − (μ ξ − ρξς ) ⎞
1 2
ση − μ η Φ ⎜
⎟−
⎜
⎟
2
σξ
⎝
⎠
− K1 B (t ) exp
⎛ r12* − (μ ξ − ρξς ) ⎞
1 2
σς − μς Φ ⎜
⎟+
⎜
⎟
2
σξ
⎝
⎠
{
}
⎛ −r12* − (μ -ξ − ρ-ξς ) ⎞
1 2
σς − μ ς Φ ⎜
(48)
⎟.
⎜
⎟
2
σ -ξ
⎝
⎠
Тогда (23) следует в результате подстановки (37) – (47) в (48), а (22) из того,
что CTmax1 = X 0max1 [2, 3].
Из (1) следует
+ K1 B(t ) exp
⎧ e 2 ( s ) ⎫ ∂e( s ) ∂Φ (−e( s ))
1
∂Φ (e( s ))
∂Φ (e( s ))
.
exp ⎨−
,
=
=−
⎬
2
s
s
∂s
∂
∂
∂s
2π
⎩
⎭
Согласно (17), (18),
y2 (t ) − d 2 (t ) = σT (T 1 ) BT (T 1 ) .
(49)
(50)
Тогда из (23), (49) следует
∂X tmax1
⎡ ∂Φ ( y2 (t )) ⎤
⎡ ∂Φ(d 2 (t )) ⎤
= [ Φ (− y2 (t )) ] + Ψ , Ψ = − p ⎢
+ ( K1 + K 2 ) B (t ) ⎢
⎥
⎥ . (51)
∂p
∂p
∂p
⎣
⎦
⎣
⎦
Использование (17), (18), (49) дает
⎧ y2 (t ) 2 ⎫
∂Φ ( y2 (t ))
1
1
=−
exp
⎨−
⎬;
p 2πσT (T 1 ) BT (T 1 )
2 ⎭
∂p
⎩
(52)
⎧ d 2 (t ) 2 ⎫
∂Φ (d 2 (t ))
1
1
=−
exp
⎨−
⎬.
p 2πσT (T 1 ) BT (T 1 )
2 ⎭
∂p
⎩
(53)
Из (17), (50) получаем
⎡ ( K + K 2 ) B(t ) ⎤
y22 = d 22 − 2 ln ⎢ 1
(54)
⎥.
Pt (T 1 )
⎣
⎦
Использование (52) – (54) в (51) дает, что Ψ=0. Таким образом (24) следует из
(23), (26), (51). Теорема доказана.
Теорема 2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (15) стоимость опциона CTmax 2 , капитал X tmax 2 и портфель (хеджирующая стратегия)
π tmax 2 = (γtmax 2 ,βtmax 2 ) определяются формулами
CTmax 2 = CTmax1 − K 2 Φ (d1 ) ;
(55)
X tmax 2 = X tmax1 − K 2 B (t )Φ (d1 (t )) ;
(56)
γtmax 2 = γtmax1 + K 2 B (t ) Pt −1 (T 1 )σT−1 (T 1 ) BT−1 (T 1 )φ(d1 (t )) ;
(57)
βtmax 2 = βtmax1 − K 2 ⎡⎣Φ (d1 (t )) + σT−1 (T 1 ) BT−1 (T 1 )φ(d1 (t )) ⎤⎦ .
(58)
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
20
Доказательство. Использование (15), (25) аналогично (28) дает, что
}
= E { I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) PT (T 1 ) | Ft } − K1 E { I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) | Ft } +
+ K 2 E {I ⎡⎣ K1 < PT (T 1 ) ≤ K1 + K 2 ⎤⎦ R (t ,T )| Ft } = X tmax1 − K 2 E {I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 ⎤⎦ R (t ,T )| Ft } =
= X tmax1 − K 2 B(t ) E { I ⎡⎣ −ξ ≤ − r1* ⎤⎦ exp {−ς} | Ft } ,
(59)
X tmax 2
{
{
}
= E{R (t , T ) fTmax 2 | Ft } = E R (t , T ) max PT (T 1 ) − K1 , K 2 I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 ⎤⎦ | Ft =
где ξ, ς имеют вид (32), а
r1* =
ln K1 − AT (T 1 )
− BT (T 1 )
.
Преобразование (59) аналогично (28) с использованием (23), (34) и (59) приводит к (56), а (55) следует из того, что CTmax 2 = X 0max 2 [2,3]. Из (56) с учетом (49)
следует
∂X tmax1
∂Φ (d1 (t ))
= [ Φ (− y2 (t ))] − K 2 B (t )
+ Ψ,
∂p
∂p
(60)
где Ψ имеет вид (51). Использование (17), (49) дает
⎧ d1 (t ) 2 ⎫
∂Φ (d1 (t ))
1
1
exp
=−
⎨−
⎬.
2 ⎭
p 2πσT (T 1 ) BT (T 1 )
∂p
⎩
(61)
Так как при доказательстве теоремы 1 было доказано, что Ψ=0, то (57) следует
с учетом (24) из (26), (60), (61) и (1), а (58) следует с учетом (24) из (26), (56) и
(57). Теорема доказана.
Теорема 3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона CTmin , капитал X tmin и портфель (хеджирующая стратегия)
π tmin = (γtmin ,βtmin ) определяются формулами
CTmin = P0 (T 1 ) [ Φ ( y2 ) − Φ ( y1 ) ] − K1 [ Φ (d 2 ) − Φ (d1 ) ] + K 2 Φ (− d 2 ) ;
(62)
X tmin = Pt (T 1 )[Φ ( y2 (t )) −Φ ( y1 (t ))] − K1 B (t )[Φ (d 2 (t )) −Φ (d1 (t ))] + K 2 B(t )Φ (− d 2 (t )) ; (63)
γ tmin = Φ ( y2 (t )) − Φ ( y1 (t )) ;
(64)
βtmin = − K1 [ Φ (d 2 (t )) − Φ (d1 (t )) ] + K 2 Φ (− d 2 (t )) .
(65)
Доказательство. Использование (16), (25) аналогично (28) дает, что
{
{(
X tmin = E{R (t , T ) fTmin | Ft } = E R (t , T ) min PT (T 1 ) − K1
{
)
+
} }
, K 2 | Ft =
} {
}
− K1 E { I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) | Ft } + E { I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 ⎤⎦ R (t , T ) | Ft } +
(66)
+ K 2 E { I ⎡⎣ PT (T 1 ) > K1 + K 2 ⎤⎦ R(t , T ) | Ft } .
= E I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 + K 2 ⎤⎦ R (t , T ) PT (T 1 ) | Ft − E I ⎡⎣ PT (T 1 ) ≤ K1 ⎤⎦ R (t , T ) PT (T 1 ) | Ft −
Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций
21
Преобразование (66) аналогично (28) приводит к (63), а (62) следует из (63) с
учетом того, что CTmin = X 0min [2,3]. Из (63) с учетом (49) следует
∂X tmin
= [ Φ ( y2 (t )) − Φ ( y1 (t )) ] + Ψ ;
∂p
Ψ= p
(67)
∂Φ ( y2 (t ))
∂Φ ( y1 (t ))
∂Φ (d1 (t ))
∂Φ (d 2 (t ))
. (68)
−p
+ K1 B (t )
− ( K1 + K 2 ) B (t )
∂p
∂p
∂p
∂p
Использование (18), (49) дает
⎧ y1 (t ) 2 ⎫
∂Φ ( y1 (t ))
1
1
exp
=−
⎨−
⎬.
2 ⎭
p 2πσT (T 1 ) BT (T 1 )
∂p
⎩
(69)
Аналогично (54)
⎡ K B (t ) ⎤
y12 = d12 − 2 ln ⎢ 1 1 ⎥ .
⎣ Pt (T ) ⎦
(70)
Использование (52) – (54), (61), (69) и (70) в (68) дает, что Ψ = 0. Таким образом (64) следует из (26), (67), а (65) следует из (27), (63) и (64). Теорема доказана.
3. Свойства решения
Утверждение 3. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения K1 и от величины K2, гарантирующей доход в случае платежных функций (14), (15) и ограничивающей выплаты по
опциону в случае платежной функции (16), определяются формулами
∂CTmax1
∂CTmax1
= −Φ (−d 2 ),
= Φ (d 2 ),
∂K1
∂K 2
∂CTmax 2
K
= −Φ (−d 2 ) − 2 σT−1 (T 1 ) BT−1 (T 1 )φ(d1 (t ));
∂K1
K1
(71)
∂CTmax 2
∂CTmin
∂CTmin
= Φ (d 2 ) − Φ (d1 ),
= − [ Φ (d 2 ) − Φ (d1 ) ] ,
= Φ (− d 2 ) .
∂K 2
∂K1
∂K 2
(72)
При этом
∂CTmax1
∂CTmax1
∂CTmax 2
∂CTmax 2
∂CTmin
∂CTmin
< 0,
> 0,
< 0,
> 0,
< 0,
>0,
∂K1
∂K 2
∂K1
∂K 2
∂K1
∂K 2
(73)
т.е. по K1 опционы купли являются убывающими, а по K2 – возрастающими функциями.
Доказательство. Использование (22), (55), (62) и (49) дает, что
⎧ y22 ⎫ ∂y2
⎧ d 2 ⎫ ∂d ⎤
∂CTmax1
1 ⎡
1
=
+ ( K1 + K 2 ) exp ⎨− 2 ⎬ 2 ⎥ − Φ (− d 2 ) ; (74)
⎢ − P0 (T ) exp ⎨− ⎬
∂K1
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K1
⎩ 2 ⎭ ∂K1 ⎦
⎧ y22 ⎫ ∂y2
⎧ d 22 ⎫ ∂d 2 ⎤
∂CTmax1
1 ⎡
1
(
)
exp
exp
P
T
K
K
=
−
−
+
+
(
)
⎨
⎬
⎨− ⎬
⎢ 0
⎥ + Φ (d 2 ) ;
1
2
∂K 2
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K 2
⎩ 2 ⎭ ∂K 2 ⎦
(75)
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
22
⎧ d 2 ⎫ ∂d
∂CTmax 2 ∂CTmax1 K 2
exp ⎨− 1 ⎬ 1 ;
=
−
∂K1
∂K1
2π
⎩ 2 ⎭ ∂K1
(76)
∂CTmax 2 ∂CTmax1
=
− Φ (d1 ) ;
∂K 2
∂K 2
(77)
⎧ y22 ⎫ ∂y2
⎧ d 2 ⎫ ∂d ⎤
∂CTmin
1 ⎡
1
=
− ( K1 + K 2 ) exp ⎨− 2 ⎬ 2 ⎥ −
⎢ P0 (T ) exp ⎨− ⎬
∂K1
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K1
⎩ 2 ⎭ ∂K1 ⎦
−
⎧ y12 ⎫ ∂y1
⎧ d12 ⎫ ∂d1 ⎤
1 ⎡
1
(
)
exp
exp
P
T
K
−
−
⎨
⎬
⎨− ⎬
⎢ 0
⎥ − [ Φ (d 2 ) − Φ (d1 ) ] ;
1
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K1
⎩ 2 ⎭ ∂K1 ⎦
(78)
⎧ y22 ⎫ ∂y2
⎧ d 22 ⎫ ∂d 2 ⎤
∂CTmin
1 ⎡
1
(
)
exp
exp
P
T
K
K
=
−
−
+
(
)
⎨
⎬
⎨− ⎬
⎢ 0
⎥−
1
2
∂K 2
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K 2
⎩ 2 ⎭ ∂K 2 ⎦
−
⎧ y12 ⎫ ∂y1
⎧ d 2 ⎫ ∂d ⎤
1 ⎡
1
− K1 exp ⎨− 1 ⎬ 1 ⎥ + Φ (− d 2 ) .
⎢ P0 (T ) exp ⎨− ⎬
2π ⎣
⎩ 2 ⎭ ∂K 2
⎩ 2 ⎭ ∂K 2 ⎦
(79)
Тогда (71) – (73) следуют из (74) – (79), а свойства (73) следуют очевидным
образом из (71) – (73) с учетом того, что d2>d1.
Экономическая интерпретация свойств (73) заключается в следующем. Согласно (14), опцион всегда предъявляется к исполнению и при увеличении K1
уменьшается величина возможной выплаты по опциону, а за меньший доход следует меньше платить, что приводит к уменьшению цены опциона купли с платежной функцией вида (14) при увеличении K1. Согласно (15), (16), опционы предъявляются к исполнению, если PT(T1)>K1. Таким образом, при увеличении K1 увеличивается риск не предъявить опцион к исполнению, а за больший риск следует
меньше платить, что приводит к уменьшению цен опционов с платежными функциями (15), (16) при увеличении K1. Так как K2 – это максимальная величина, которую владелец опциона может получить при предъявлении к исполнению, то естественно, что цены опционов возрастают при увеличении K2, т.е. за возможность
получить больший доход следует больше платить.
Замечание 4. Из (15), (16) следует, что
lim fTmax 2 = f T ,
K2 ↓0
где
lim fTmin = f T ,
K 2 ↑∞
f T = ( PT (T 1 ) − K1 ) +
(80)
(81)
может быть определена как платежная функция стандартного опциона купли,
соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (15), (16).
В [2, c. 970 – 979] на основе опосредованного подхода найдена стоимость опциона
купли C T для стандартной платежной функции вида (81).
Утверждение 4. Пусть C T , X t , γ t , βt есть пределы CTmax 2 , X tmax 2 , γ tmax 2 , βtmax 2
при K 2 ↓ 0 либо CTmin , X tmin , γ tmin , βtmin при K 2 ↑ ∞ . Тогда
Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций
23
C T = P0 (T 1 )Φ (− y1 ) − K1Φ (− d1 ) ;
(82)
X t = Pt (T 1 )Φ (− y1 (t )) − K1 B (t )Φ (− d1 (t )) ;
(83)
γ t = Φ (− y1 (t )),βt = − K1Φ (− d1 (t )).
(84)
Доказательство. Из (17), (18) следует, что d 2 (t ) = d1 (t ), y2 (t ) = y1 (t ) при
K 2 = 0 . Таким образом, формулы (82) – (84) следуют из (55) – (58) с учетом (22) –
(24). Аналогично d 2 (t ) = ∞, y2 (t ) = ∞ при K 2 = ∞ . Тогда с учетом свойств
Φ (−∞) = 0, Φ (+∞) = 1, Φ (− x) + Φ ( x) = 1 формулы (82) – (84) также следуют из (62)
– (65).
Утверждение 5. Стоимости опционов CTmax1 , CTmax 2 , CTmin , C T связаны следующими соотношениями:
CTmax1 > CTmax 2 > C T > CTmin .
Доказательство. Свойство
CTmax1
>
CTmax 2
(85)
следует непосредственно из (56).
Свойства CTmax 2 > C T > CTmin следуют из того, что согласно (73) CTmax 2 и CTmin являются возрастающими функциями K2, и при этом, согласно утверждению 4,
lim CTmax 2 = C T при K 2 ↓ 0 и lim CTmin = C T при K 2 ↑ ∞ .
Экономическая интерпретация свойств (85) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией (81) отсутствуют
ограничения на величину выплаты по опциону, то цена экзотического опциона с
платежной функцией (16) меньше цены стандартного опциона, так как за наличие
ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить. Цены экзотических опционов с платежными функциями (14), (15) больше
цены стандартного опциона, так как за наличие возможности получения гарантированного дохода следует больше платить. При этом CTmax1 > CTmax 2 , так как платежная функция fTmax 2 содержит дополнительное условие, в котором заключена
возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск
следует меньше платить.
Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций
[1 – 3, 10, 11]. Для модели Хо – Ли b(t ) ≡ 0, d (t ) ≡ d , а для модели Васичека
b(t ) ≡ b, d (t ) ≡ d . Тогда для модели Хо – Ли
1
⎛d2
⎞2
⎡ (T 1 − T )3 ⎦⎤ ⎟ T 1 − T ,
σT (T 1 ) BT (T 1 ) = ⎜
⎣
⎝3
⎠
а для модели Васичека
(
1
)
d 1
2
σT (T ) BT (T ) = ⎛⎜ (1 − exp {−2bT }) ⎞⎟ 1 − exp −b T 1 − T
b ⎝ 2b
⎠
1
1
(
{ (
(86)
)}) .
(87)
Утверждение 6. Для моделей Хо – Ли и Васичека справедливы теоремы 1 – 3
и утверждения 3 – 5, в которых величины σT (T 1 ) BT (T 1 ) выражаются соответственно формулами (86) и (87).
24
Н.С. Демин, В.В. Толстобоков
Заключение
Основные результаты следующие:
1. Получены аналитические выражения для стоимостей опционов, хеджирующих стратегий (портфелей) и капиталов для опционов купли с платежными функциями (14) – (16) (теоремы 1 – 3)
2. Проведено исследование свойств решения (утверждения 3 – 5).
3. Все общие результаты для опционов купли с платежными функциями (14) –
(16) конкретизированы для моделей Хо – Ли и Васичека (утверждение 6).
ЛИТЕРАТУРА
1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.:
Вильямс, 2007.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.
3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.:
ГУВШЭ, 2001.
4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.
5. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice financial engineering. N.Y.: John Willey,
2000.
6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Econ.
Research, 1991. Nо. 220.
7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financ. Manag. 1995. V. 1. P. 87 –
95.
8. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new
methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. Nо. 1. P. 77 –
105.
9. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 – 657.
10. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies.
1990. V. 3. Nо. 5. P. 573 – 592.
11. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices // Advances
in Futures and Options Research. 1993. Nо. 6. P. 1 – 13.
Демин Николай Серапионович
Толстобоков Вячеслав Васильевич
Томский государственный университет
E-mail: dyomin@fpmk.tsu.ru; 4tvv@rambler.ru
Поступила в редакцию 28 сентября 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
499 Кб
Теги
уайт, купли, диффузионные, опциона, экзотические, облигация, рынка, модель, случай, халла
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа