close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Элементы теории соприкосновения линейчатых развертывающихся поверхностей.

код для вставкиСкачать
112
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
УДК 514.742
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРИКОСНОВЕНИЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ
РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Известны результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых
поверхностей по их общей образующей прямой
[1,2]. В настоящей работе рассматривается возможность применения этих результатов для случая линейчатых развертывающихся поверхностей
(ПЛР).
Уравнение линейчатой поверхности может
быть выражено в дуальной векторной форме [3]:
А1 t   a01 t   a11 t  , ω2=0, где a01 t  единичный вектор образующей прямой; a11 t  момент вектора a01 относительно начала коор-
динат системы отнесения; А1( t ) - дуальный единичный вектор с координатным представлением
А1  i x  jy  k z , при этом x2 + y2 + z2 = 1; t –
вещественный параметр T0 ≤ t ≤ T1. Допускаем, что
дуальная векторная функция А1( t ) обладает на
отрезке изменения параметра t непрерывными
производными любого порядка. В центральной
точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:
А1 ; А2  а02  а12  A1 / H ;
А3  а03  а13  А1  А2 .
(1)
где
H2
,
верхние индексы отвечают соответствующим
производным по параметру t.
Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра
t
s t   s0 t   s1 t    H  dt .
t0
st 
t‫[ג‬T0,T] ↔ s0‫[ג‬S0,S0n]; t‫[ג‬T0,T] ↔ s1‫[ג‬S1,S1n],
в соответствии с которыми каждому положению
образующей на линейчатой поверхности, определяемому параметром t, отвечает определенное
значение ее дуальной дуги s и наоборот.
Пусть уравнение
~
А1 ~
t   a~01 ~
t   a~11 ~
t ,
ω2=0, описывает другую ПЛР, для которой имеют
место те же геометрические предпосылки, что и
А1  А1( t ) . В работе [1] показано, что для
~ ~
ПЛР А1( t ) и А1( t ) существует единственная
~
вещественная функция t  f ( t ) , непрерывная и
для
А1( t ) и
~ ~
А1( t ( t )) в ряд Тейлора по степеням приращения
~
∆t их образующих t0 и t0 ( t0 ) то, учитывая функ~
цию t  f ( t ) , можно получить дуальный вектор
расхождения соприкасающихся ПЛР в их общей
образующей, определяемый параметром t0:
~
G t   A1 t  - A1 ~
t ( t ) . Вектор G t  , характе-
H  h0  h1  A1 ,
( A1 A1 A1 )
Вещественное число P=ds0/ds1 называется параметром линейчатой поверхности. Для ПЛР имеет
место условие Р = 0, из которого следует h1=0 [3].
В [1] показано, что существуют взаимно однозначные вещественные отображения:
разложить дуальные векторные функции
А1  H  А2 ; А2  H  А1  Q  A3 ;
Q  q0  q1 
ds1
 h1  0 .
dt
дифференцируемая на отрезке T0 ≤ t ≤ T1. Если
Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид:
A3  Q  A2 ,
( s1 )t 
ds
ds
 H ; ( s0 )t  0  h0  0 ;
dt
dt
ризующий близость обеих ЛП в окрестности их
общей образующей, определяется двумя образующими
 , каждая из которых смеще и а~01
а01
на по своей ПЛР на одну и ту же дуальную дугу
ds  d~
s от их общей образующей.
~ ~
Если А1( t ) и А1( t ) - поверхности ПЛР, но
не цилиндрические и не конические, то параметры
~
Р и P их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг ∆s и ~
s - вещественные
~
числа ∆s0 и s0 . Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР А1( t ) , ее
113
Технология машиностроения
образующая a01 t  будет касательной в точке А
ребра возврата, a02 t  - главной нормалью и
(ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом
~
~
ds( 1 )  Q  dt  Q  ~
t   dt  Q  d ~
t  d~
s( 1 ) .
a03 t  - бинормалью, поскольку по определению
a03 t  определяет ось вещественного угла
Из уравнения стрикции линейчатой поверхности [3] x ( t )  q1а01  h 1а03 , с учетом условий
ds0=kdσ, принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где k и dσ - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).
Для соприкосновения порядка n=1 характерны
следующие условия:
( dx )2  dσ2  ( q1dt )2 . Таким образом, с про-
~
~
A1 t0   A1 ~
t ( t0 ) ; A1 t0   A1 ~
t ( t0 ) ;
~ ~
(2)
A t   A t ( t ) ,
из
которых,
с
1 0
1
учетом
0
того,
следует [1]:
получить:
k  h0 / σt  h0 / q1 .
(6)
Из третьего дуального равенства (4) следуют
вещественные равенства
что позволяет записать
В итоге получаем
~
~
ds  H  dt  H  ~
t   dt  H  d~
t  d~
s.
~
Дуальное равенство ds  ds для ПЛР приводит к
вещественному равенству ds0  d~
s0 , из которо~~
го следует h  h t . Так как ds =kdσ, то
~
k  dσ  k  d ~
σ.
dσ  q1dt .
(5)
Из ds0  h0 dt  k  dσ с учетом (5) можно
q0  q~0  ~
t , q1  q~1  ~
t ,
~
~
~
~
А1  А1 ; А2  А2 ; А3  A3 ; H  H  ~
t .
0
извольным знаком получаем:
что
~
~
~
~
A1 ~
t ( t0 )  ( A1 )~t  ~
t  H  ~
t   A2 ; A1  H  A2 ,
0
для ПЛР: h1=0, q1≠0, следует уравнение ее стрикции
x   q1а01 .
Из
него
следует
0
(3)
Таким образом, соприкосновение n = 1 для
двух ПЛР приводит к совпадению их триэдров
d~
σ  q~1d ~t  q1 / ~t   q1dt  dσ.
(7)
Учитывая (3), получаем итоговый результат
~
k k,
~
(8)
Таким образом, кривизны ребер возврата (А) и
( A ) соприкасающихся ПЛР в центральных точках
~
A  A их совмещенных образующих прямых ли~ равны.
ний а01  а
01
а01 , а02 , а03   а~01 , а~02 , а~03  и к выполне-
Для элемента ds(1) дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а03 , можно запи-
нию равенства (3).
Если к первым двум равенствам (2) добавить
соотношения
~ ' '' ~
~
'' '
A1'' t0   A1'' ~
t ( t0 ) ; A1 (t 0 )  A1 t ( t0 ) ,
то получим в общем случае условия обеспечения
касания второго порядка (n=2) двух линейчатых
поверхностей. Так как имеют место равенства [1]
A1  - H 2  A1  H   A2  H  Q  A3 ;
сать
[3]
дуальные
равенства:
ds(1)=ds01+wds11=Qdt=(q0+wq1)dt, из которых, по
разделению главных и моментных компонент, на
основании (7) следует:
ds01  q0  dt  q~0  ~
t   dt  q~0  d~
t  d~
s01 ;


~
~
2 ~
A1   H 2  ~
t   A1 
,
~
~
~
~
~ ~
2
2
 H ~t  ~
t   H  ~
t   A2  H  Q  ~
t   A3




то в общей образующей соприкасающихся ПЛР
выполняются условия:
~
~
~
H  H ~
t ; H   ( H  ~
t  )t ; Q  Q  ~
t ,
(4)
из которых следуют равенства
d 2s
ds  d~
s;
(~
s~t  ~
t  )t ; ds( 1 )  d~s( 1 ) ,
2
dt
где
ds( 1 )  ds01  ωds11 и d~
s( 1 )  d~
s01  ωd~
s11
- элементы дуальных дуг ЛП, образованных би-
~ соответственно стрикций
нормалями а03 и а
03
ds11  q1  dt  dσ  d~
σ  q~1  d ~
t  d~
s11 .
Таким образом, имеет место следующий результат:
ds( 1 )  d~
s( 1 ) .
(9)
Элемент дуальной дуги ds(1) бинормали ребра
возврата ПЛР может быть выражен известным
образом [4]:
ds( 1 )    d  e /  ,
(10)
2
где   0 ;  – кручение линии (А) в точке А.
Поскольку имеет место (9), то следует
  ~ ,
(11)
~
т.е. кручения ребер возврата (А) и ( A ) соприка-
~
сающихся ПЛР в центральных точках A  A их
~ также равсовмещенных образующих а01  а
01
ны.
Исходя из (10) и предыдущих результатов,
можно записать:
114
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
ds( 1 )  ds 01  ds11 
часть
 ( q 0  q1 )dt    d    d ,
что позволяет получить следующие результаты:
q0     t , q1   t ,   q0 / q1 . Для парамет-
единичного
дуального
вектора
B2  b02  b12 , определяющего положение
линии b02 в пространстве (рис.1).
ра элемента дульной дуги ds(1) имеют место соотношения
P( 1 )  q1 / q0  1 /  ,
(12)
что приводит с учетом (11) к равенству
~
P( 1 )  P( 1 ) .
(13)
Определим теперь элемент ds’ дуальной дуги,
описываемой главной нормалью а02 линии (А).
Для этого обратимся к известному дуальному
уравнению [4]
ds 2  ds 2( 1 )  ( ds )2 .
(14)
Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты,
получим:
ds   ds 0  ωds1  h0  q 0  dt 
2
2
 q 0   t  dt / h0  q0 .
2
2
После подстановки в это уравнение ранее полученных
результатов,
а
именно
h0  k   t , q0     t , приходим к формуле:
k 2   2  d  e  /( k
2
 2 )
.
Из формулы (14), с учетом ранее доказанных
равенств ds  ds0  d~
s0  d~
s и ds( 1 )  d~s( 1 ) ,
следует
ds  d~
s.
(15)
Для параметра дуального элемента ds на основании (8) и (11) можно записать:
ds1
~
  /( k 2   2 )  P . (16)
ds0
Параметр P суть параметр мгновенного киP 
нематического винта, обеспечивающего бесконечно малое перемещение общего триэдра
а01 , а02 , а03  соприкасающихся ПЛР как вдоль
~
стрикции (А), так и вдоль стрикции ( A ).
Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]
ds
1
,
(17)

ds sin R
в которой R  R0  R1 – дульный угол между
образующей а01 поверхности ПЛР и соответст-

вующей ей прямой, определяемой единичным
винтом b02 , представляющем собой главную
Рис.1. К соприкосновению двух ПЛР
Если подставить в формулу (17) выражение элементов ds и ds , то получим уравнение
2
2
1 2

k   2  e /( k   ) , (18)
k
из которого, с учетом (8) и (11), следует
~
  ~ ; R  R .
(19)
Если деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной
координатной форме [3], то для случая ПЛР получим уравнения:
d
  xk  x1   e /  ,
d
d
  yk  y1   e /  ,
d
d
  zk  z1   e /  ,
d
(20)
где тройки {x,y,z}, {x1,y1,z1} и {α,β,γ} суть координаты единичных дуальных векторов A1 , A2 и
A3 соответственно. Из
A2  A1 / H  A1 /( h0  h1 )  A1 / h0 
следует A2  { 
dA1 ds0 dA1
:

dt dt ds0
dx
dy
dz
, 
, 
}.
ds0
ds0
ds0
Из равенства
dA2
d
d
d
 B1  {   ,  ,  }
ds
ds
ds
ds

ds
  следует
с учетом
ds0
115
Технология машиностроения
{ 
1 d
1 d
1 d
,  
,  

}
 ds 0
 ds 0
 ds 0
1 d
1 d
1 d
{ 

, 

, 

},
k   d
k   d
k   d
где B1 - единичный дуальный вектор главной
нормали поверхности ПЛР, соответствующий ее
образующей прямой а01 . На основе изложенного
и уравнений (20) получаем:
где
~ ~
B2  A2  B1  A2  B1 .
~
~
B1  B1 ; B2  B2 ,
Таким образом, у соприкасающихся ПЛР
вдоль их общей образующей совмещены триэдры
эволют первого порядка:
~
~
~
B1  B1 , B2  B2 , A2  A2 .
s следует st  ~
st  ~
t  . По
Из равенства ds  d~
этому уравнению можно определить вторую производную
st  ( ~
st  ~
t  )t  ~
s~t  ( ~
t  )2  ~
st  ~
t . (21)
Уравнение (21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия
(4).
Определим производную дуальной кривизны
линейчатой поверхности со стрикционной линией
~
( A ) исходя из (17) и (21):
(~
s  )~  d~
t
s
d~
d~
~~t  ~  ( ~ )~t  ( ~ t ~ )~t 
dt
ds
s~t  d t
(~
s  )~
(~
s  )~t  ~
s~t  ( ~
s  )~t  ~
s~t
 ( ~ t )~t 
.
2
s~t
(~
s~t )
На основании (21) следует:
( s )t  ( ~
s  )~t  ~
t  ( s )t  ( ~
s  )t  ( ~
t  / ~t  )
~
~




( s )t 
( ~t  )2
(~
t  )2
s  ~
s~  ~
t  st  ~
st  ( ~
t  / ~
t )
;~

s~t  t ~ t
.
~
( t  )2
( t  )2
Предшествующее уравнение для
~~t
с помо-
s  )~t и ~
щью подстановок выражений для ( ~
s~t
можно последовательно привести к окончательному виду:
1
ds
1
)t  ~   t .
~~t  ~  (
(22)
t  ds
t
~
Очевидно, что ~~
t  t    t . Из формулы (17)
~
с учетом того, что ~~
t  t    t , следует
~
dR
~ dR ~~ ~
 st
 cos R  ~  st  t   cos R 
~
d
s
ds
~
 ~t  t  
.

~
sin 2 R
sin 2 R
Учитывая выполнение условия
~
R  R , st  ~
st  ~
t ,
из последнего равенства получаем
dR dR 1 dR

 

ds ds0 k d
~
dR dR

. Но
d~
s ds
представляет
собой
дуальный изгиб δ поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство
   ,
(23)
из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в
их общей образующей имеют равные дуальные
изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в
а01  а~01 имеет место
sin R    tgR,
где
ее образующей линии
формула
[4]
R  R0  R1 - дуальный угол, соответствующий эволюте ( c01 ) линейчатой поверхности (см.
~
рис.1), то из R  R ,     следует
~
R  R  ,
(24)
что позволяет утверждать о совмещении триэдров
эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР:
~
~
~
B1  B1 ,C1  C1 ,C2  C2 .
Нетрудно показать, что если
трехгранники
~
стрикций - ребер возврата (А) и ( A ) двух сопри~
касающихся ПЛР в точке А = A совмещены, т.е.
а01  а~01 , а02  а~02 , то этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР.
Если к условию совпадения трехгранников
стрикций двух соприкасающихся ПЛР добавить
~
условие k  k , но добавленное условие недостаточно для выполнения. То можно убедиться, что
условия соприкосновения n = 1 выполнимы, но
добавленное условие недостаточно для выполнения соприкосновения n = 2.
Если к условию совпадения трехгранников
стрикций двух соприкасающихся ПЛР добавить
~ , то получим совмещение дуальусловие   
ных
триэдров
эволют
первого
порядка
~
~
~
B1  B1 ; B2  B2 ; А2  А2 . Но поскольку в
исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения производной  t  d / dt
дуальной кривизны ε у соприкасающихся ПЛР, то
их соприкосновение не является полным для n = 2,
поскольку не выполняется одно из условий (4), а
~ ~
именно, условие H   ( H  t  )t .
Из формулы (17) следует:
116
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
dR
dR
 st  cos R 
 s t
ds
k
d


 t 


sin 2 R
sin 2 R
dR
 cos R 
  t
 cos R  k     t
d
.


2
sin R
sin 2 R
 cos R 
Таким образом, получаем
    sin 2 R     sin 2 R

 t
. (25)
k   t  cos R
k  cos R
Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в
этой образующей значения дуального изгиба
~
  .
Значение же последнего, как следует из
(25), зависит от кривизны k, дуального угла R и от
дуальной величины  t , которая, согласно (18),
определяется k и χ, их производными k и
значениями этих производных в точке А ≡
~
 , и
~
A двух
стрикций (А) и ( A ) – ребер возврата соприкасающихся ПЛР.
Рассмотрим стыковку торсовых поверхностей,
образующих линейчатую развертывающуюся полосу и ребра возврата которых представляют собой сегменты пространственного кусочного
сплайна. Для исследуемых задач стыковки применим эрмитовы сплайны пятой степени [5]:
2 2 
Fi t  =  hi 

 =0  =0
2   ! { 1  t 3 t    P (  ) 
2 !  !
  1 t 3 1  t 

 
i
Pi 1
( )
}
(a)
(a)
, Pi  1
- граничные условия на конгде Pi
цах сегментов сплайна.
После раскрытия суммы и приведения подобных членов получим:
Рис. 2. Линейчатая полоса из пересекающихся
сегментов ПЛР


Fi t  = 1  10t 3  15t 4  6t 5 Pi 




 10t 3  15t 4  6t 5 Pi 1  t  6t 3  8t 4  3t 5 Pi  



  4t  7t  3t Pi  1 
3
4
5

 ( 1/2 )t  ( 3/2 )t  ( 3/2 )t  ( 1/2 )t 5 Pi 
2
3

4

 ( 1/2 )t  t  ( 1/2 )t Pi 1 .
3
4
5
Последнее уравнение может быть представлено в
матричном виде:
(26)
[Fi ]= [T][Gi],
[ T ]  [1  10t 3  15t 4  6t 5 ,10t 3  15t 4  6t 5 ,
t  6t 3  8t 4  3t 5 ,4t 3  7t 4  3t 5 ,
(1/2 )t 2  ( 3/2 )t 3  ( 3/2 )t 4  (1/2 )t 5 ,
(1/2 )t 3  t 4  (1/2 )t 5 ], [ Gi ] 
 [Pi , Pi 1 , Pi , Pi 1 , Pi , Pi 1 ]T ,
где [Т] - матрица весовых коэффициентов, [Gi] матрица геометрии.
 , P21
 ]T ,
[ G1 ]  [ P1 , P2 , P1, P2 , P11
 , P32
 ]T ,
[ G2 ]  [ P2 , P3 , P2 , P3 , P22
 , P43
 ]T .
[ G3 ]  [ P3 , P4 , P3 , P4 , P33
Этим сегментам соответствуют торсы,
состыкованные по нулевому порядку гладкости (n
= 0), имеющие общие образующие в узлах стыка,
но несовпадающие трехгранники стрикций в этих
узлах. Линейчатая полоса в этом случае в узлах
стыка имеет изломы (рис. 2). Параметрические
уравнения сегментов кусочного эрмитова сплайна
определяются: [F1] = [T][G1]; [F2] = [T][G2]; [F3] =
[T][G3].
Первый порядок гладкости стыковки торсов
для рассматриваемого случая может быть получен
при сонаправлености векторов главных нормалей
в
узлах
сегментов
кусочного
сплайна,
различающихся дополнительными множителями
(Рис.3). Изломы в этом случае сглаживаются. При
Рис. 3. Линейчатая полоса первого порядка
гладкости стыковки сегментов ПЛР
Технология машиностроения
этом матрицы геометрий имеют вид:
[ G1 ]  [ P1 , P2 , P1, P2 , P1, P2]T ,
[G2 ]  [ P2 , P3 , P2 , P3, aP2, P3]T ,
[G3 ]  [ P3 , P4 , P3 , P4 , b P3, P4] T .
117
исследований могут быть положены в основу инженерного конструирования сложных технических поверхностей, состоящих из линейчатых
сегментов, состыкованных по различным условиям соприкосновения.
Изложенные в настоящей работе результаты
СПИСОК ЛИТНРАТУРЫ
1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. – Омск:
ОмПИ, 1987. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 – В87.
2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. – Омск,
1987. – С. 62-66.
3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. – М.; Л.: Объед.
науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. – 330с.
4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. – М.; Л.: Гос. техн.теорет. изд-во, 1934. – 196с.
5. Завьялов, Ю.С. и др. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. –
М.: Наука, 1980. 352с. – с. 81-83
 Авторы статьи
Нитейский
Антон Сергеевич,
аспирант(Омский государственный технический университет),
e-mail: antongth@gmail.com
Панчук
Конствнтин Леонидович,
докт. техн. наук, проф. каф. «Инженерная геометрия и системы автоматизированного проектирования» (Омский государственный
технический университет),
e-mail:Panchuk_KL@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
462 Кб
Теги
элементы, соприкосновения, развертывающихся, поверхности, линейчатых, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа