close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

«Мягкое» математическое моделирование реальных объектов и процессов.

код для вставкиСкачать
Математика и механика
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 51-7
А.Н. Губенков, О.С. Федорова
«МЯГКОЕ» МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ
Рассматривается построение комплекса «мягкого» математического моделирования реальных объектов и процессов. При этом предлагается графовый
подход с дальнейшим представлением «мягкой» модели в виде системы дифференциальных уравнений. Приведен практический пример моделирования реального
процесса с помощью описанного комплекса.
Моделирование, математическое моделирование, «мягкие» математические
модели, модели реальных объектов и процессов
A.N. Gubenkov, O.S. Fedorova
«SOFT» MATHEMATICAL MODELING
FOR REAL OBJECTS AND PROCESSES
The construction of a «soft» mathematical modeling system is presented for real
objects and processes. The mathematical graph is used to generate «soft» mathematical
models in terms of a system of differential equations. A practical example of the real process modeling using the complex is included.
Modeling, mathematical modeling, «soft» mathematical models, modeling of real
objects and processes
Введение
Для анализа различных объектов и процессов с помощью математических методов необходимо наличие некоторого математического описания этих объектов и процессов, которое называется
математической моделью [1].
Создание математической модели – важный этап познания, поскольку он дает возможность
четко формулировать наши представления о ходе интересующих нас явлений и действующих в них
связях. Согласно философской теории познания, мы можем мыслить только образами, приближенно
отражающими реальность. Любое абсолютное знание, абсолютная истина, как говорят философы,
познается через бесконечную асимптотическую цепочку истин относительных, приближенно отражающих те или другие черты объективной реальности. Вот эти относительные истины и называются
моделями или модельным описанием. Модели могут формулироваться на любых языках: русском,
английском, французском и др. Они могут использовать язык графических построений, язык химии,
биологии и т.д. Но если для их описания используется язык математики, то это математические модели.
Для одного и того же явления можно предложить не одну, а несколько моделей. История
науки оставила нам в наследство огромное число такого рода примеров. Так, в оптике рассматривалось несколько моделей света: корпускулярная, волновая, электромагнитная. Для них были выведены
многочисленные математические закономерности количественного характера. Каждая из этих моделей требовала своего математического подхода и соответствующих математических средств. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и пришла к выводу законов отражения и преломления света. Волновая модель теории света потребовала иных математических идей как
7
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (63). Выпуск 1
для получения уже известных результатов, так и для вывода новых. Чисто вычислительным путем
были открыты факты, относящиеся к явлениям дифракции и интерференции света, которые ранее не
наблюдались. Геометрическая оптика, связанная с корпускулярной моделью, здесь оказалась бессильной. Так были получены дополнительные аргументы в пользу волновой теории. Вполне может
случиться, что несколько моделей, исходящих из различных первичных предложений, могут одинаково хорошо описывать явление. Обычно это наблюдается лишь до известных пределов, начиная с
которых одна (или несколько) из них оказывается более предпочтительной. До этого нет оснований
(если только нет явного преимущества физического характера у одной модели перед другими) предпочесть одну модель другой. Они все имеют равные права на существование. Но с того момента, как
новое явление того же круга перестает получать достаточно совпадений с предсказаниями моделей,
от них приходится отказываться и заменять на другие, более полно отражающие природу вещей. При
этом старые модели могут полностью не отбрасываться, а сохраняться в науке для ограниченных целей, в рамках которых они позволяют добиться удовлетворительных результатов. Так, корпускулярная модель сохраняется в физике и в ограниченных пределах она оказывается весьма полезной [2].
Модель явления, конечно, не тождественна самому явлению, она лишь дает некоторое представление для его понимания, некоторое приближение к действительности. Но в модели перечислены
все предположения, которые ложатся в ее основу. Эти предположения могут быть весьма грубыми и,
тем не менее, давать вполне удовлетворительное приближение к реальности. Математика является в
некотором смысле экспериментальной наукой, если ставится задача сформулировать умения моделировать реальные явления [3, 4].
Как отмечает академик В.И. Арнольд, «умение составлять адекватные модели реальных ситуаций должно быть неотъемлемой частью математического образования». Успех здесь обычно приносит не столько применение готовых законов («жестких» моделей), сколько искусство строгого логического подхода к реальным явлениям мира, дающее возможность строить «мягкие» математические
модели и получать надежные выводы [5].
Построение комплекса «мягкого» моделирования
Математик, приступая к анализу тех или иных явлений, должен обращаться с текстовым материалом как профессионал, то есть в зависимости от текста задачи уметь грамотно использовать математический язык, математическую символику, математический аппарат в целом. Математическая
модель текстовой задачи может быть очень разнообразной по форме и структуре: схематичной, табличной, графической, алгебраической, стохастической, детерминированной, эвристической, семантической и т.п.
Этапы «мягкого» моделирования внешне похожи на соответствующие этапы «жесткого» моделирования [6]:
1) построение математической модели;
2) построение решающей модели задачи;
3) проведение анализа полученных решений;
4) проверка адекватности построенной модели;
5) выводы.
Однако первый этап «мягкого» математического моделирования коренным образом отличается от построения «жесткой» модели [7].
Суть отличия заключается в следующем. В любой текстовой задаче можно выделить элементы (объекты) предметной области и отношения между ними (совокупности объектов и отображений).
В отличие от «жесткого» моделирования специалист никогда сразу не будет иметь четко поставленной математической задачи. Он должен ее поставить сам, она возникает в процессе исследования.
Заранее очень трудно предугадать даже характер того, что получится в результате.
Изобразим объекты (факторы) в виде точек, а отображения (причинные связи) – в виде стрелок, направленных от одной точки к другой, то есть построим ориентированный граф (орграф) по
текстовой задаче. Отметим, что разработка системы причинных связей (т.е. орграф) – центральный
пункт нашего исследования.
В основе описания причинных связей лежит метод плюс-минус факторов. Различные факторы
(объекты), описывающие ситуацию, соединяются между собой стрелками (отображениями), которые
8
Математика и механика
показывают их взаимное влияние. На этих стрелках ставят знаки плюс или минус в зависимости от
того, уменьшают или увеличивают они другой фактор. В графе причинно-следственных связей на
стрелках также необходимо поместить коэффициенты, характеризующие интенсивность плюс-минус
факторов (рис. 1). Значения интенсивностей, как и другие характеристики изучаемого процесса, могут быть заданы на основе экспертных оценок или какими-либо другими способами, например размерные коэффициенты в модели можно определять на основе физической теории размерностей, статистических данных, имитационных численных экспериментов и т.д. [2-5, 8-10].
Рис. 1. Граф объектов и отображений:
Χ 1 , Χ 2 , Χ3 , Χ 4
– объекты;
α, β,γ,ω,∆
– коэффициенты интенсивности
Возвращаясь к построенному таким образом графу объектов и отображений, заметим, что
умножить одно отображение на другое можно лишь в том случае, если первый сомножитель выходит
из той точки, в которую входит второй сомножитель. Если существуют произведения трех сомножителей, то умножение отображений ассоциативно. Кроме того, предполагается, что для всякого объекта существует тождественное отображение, оставляющее его без изменений.
Для того, чтобы на основании графа перейти к «мягкой» модели, представленной в виде системы дифференциальных уравнений, заметим, что направленный граф содержит ту же самую информацию, что и система уравнений, только эта информация выражена графически. Например, одна
из возможных систем уравнений для графа объектов и отображений, изображенного на рис. 1, в случае временного процесса имеет вид уравнений для скоростей изменения факторов:
 dX 1
 dt
 dX
 2
 dt
 dX
 3
 dt
 dX 4
 dt
= −∆X 4 ,
= (ω − αβ )X 1 + X 2 ,
(1)
= −αX 1 + γX 4 ,
= 1⋅ X 4 .
Обычно математическую модель представляют в виде системы конечно-разностных или дифференциальных уравнений. При этом соблюдают следующие правила:
− уравнений должно быть столько, сколько имеется неизвестных величин;
− параметры модели – коэффициенты системы находятся в результате применения экспериментальных, расчетных, статистических и других способов.
Кстати, современные компьютерные технологии в сочетании с соответствующим разработанным программным обеспечением позволяют автоматизировать эту техническую сторону математического моделирования.
А дальше, возвращаясь к отработанной на «жестких» моделях схеме, в «мягком» моделировании пункты 2-5 проводятся аналогично жесткому моделированию.
Очевидно, что практическая ценность «мягкой» математической модели зависит от того,
насколько адекватно и полно она будет отражать внутренние структурные связи объекта или процесса.
9
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (63). Выпуск 1
«Мягкое» математическое моделирование
глобального потепления
Приведем конкретный пример, посвященный «мягкому» математическому моделированию
глобального потепления [5, 9-12].
Глобальное потепление – процесс постепенного увеличения среднегодовой температуры атмосферы Земли и Мирового океана. Факт глобального потепления климата сегодня не вызывает никаких сомнений – рост средней по поверхности Земли температуры воздуха и океана, таяние снега и
льда, повышение уровня моря очевидны. Благодаря разнообразным наблюдениям, увеличению баз
данных и совершенствованию методов анализа за последние несколько лет достигнут значительный
прогресс в понимании того, как климатическая система менялась во времени и пространстве.
Одним из главных факторов, влияющих на глобальное потепление, является парниковый эффект, который состоит в том, что атмосфера пропускает коротковолновое солнечное излучение, но
задерживает отраженное Землей длинноволновое тепловое излучение. Парниковый эффект вызывается водяным паром, углекислым газом, метаном, закисью азота и рядом других газов, концентрация
которых в атмосфере незначительна. Парниковый эффект существовал с тех пор, как у Земли появилась атмосфера. Усиление этого эффекта происходит из-за того, что человечество стало сжигать ископаемое углеродное топливо и выбрасывать в атмосферу углекислый газ, миллионы лет изымавшийся из нее растениями и «хранившийся» в виде угля, нефти и газа. Но дело даже не столько собственно в потеплении, сколько в разбалансировке климатической системы. Резкий выброс углекислого газа – своего рода химический толчок климатической системе. Из-за этого колебания температур
становятся гораздо сильнее, что приводит к резкому усилению частоты и силы экстремальных погодных явлений: наводнений, засух, сильной жары, резких перепадов погоды, тайфунов и т.п.
Следующим фактором выступает деятельность человека (антропогенный фактор). Антропогенный фактор напрямую связан с парниковым эффектом. Согласно современным представлениям,
возрастание концентрации трех основных парниковых газов с середины XVIII века стало результатом
деятельности человека – сжигания углеродного топлива и развития сельского хозяйства (двуокись
углерода), а также модернизации землепользования (метан и закись азота). По данным МГЭИК
(Межправительственная группа экспертов по изменению климата), антропогенный фактор, по крайней мере, в пять раз превышает эффект колебания солнечной активности.
Интенсивность солнечной радиации меняется, хотя и в относительно небольших пределах.
Прямые измерения интенсивности солнечного излучения имеются только за последние 30 лет, но
есть косвенные параметры, в частности активность солнечных пятен, которые давно используются
для оценки интенсивности солнечной радиации. Кроме изменения потока от Солнца, Земля получает
разное количество энергии в зависимости от положения ее эллиптической орбиты, которая испытывает колебания. В течение последнего миллиона лет ледниковые и межледниковые периоды менялись
в зависимости от положения орбиты нашей планеты. Меньшие колебания орбиты наблюдались в последние 10 тысяч лет, и климат стал стабильнее. Однако в любом случае колебания орбиты – явление
достаточно инерционное, оно принципиально важно в тысячелетнем масштабе времени, в то время
как антропогенное воздействие на климат имеет более короткий временной масштаб. По данным
МГЭИК, влияние парникового эффекта с 1750 года в восемь раз выше влияния изменения солнечной
активности.
Перейдем к построению математической модели. Для составления графа взаимодействий
вновь перечислим основные факторы, влияющие на глобальное потепление:
1) T – температура воздуха;
2) S – солнечная активность;
3) A – антропогенный фактор (влияние человека);
4) E – парниковый эффект;
5) P – газы, влияющие на потепление;
6) Q – газы, влияющие на похолодание.
10
Математика и механика
Температура воздуха
T
Факторы, влияющие
на повышение температуры
Солнечная активность
Факторы, влияющие
на понижение температуры
S
Антропогенный фактор
Газы, влияющие
на похолодание Q
A
Парниковый эффект
E
Газы, влияющие на потепление
P
Рис. 2. Граф взаимодействий факторов, влияющих на глобальное потепление
Перейдем от данного графа к системе дифференциальных уравнений:
 dT
 dt = T (α11 + α12 S + α13 A + α14 E + α15 P − α16 Q),
 dS
 = Sα21 ,
 dt
 dA = Aα ,
31
 dt
 dE

= E (α41 + α42T + α43 S + α44 A + α45 P − α46 Q ),
 dt
 dP
 dt = P(α51 + α52T + α53 A),
 dQ
= Q(α61 − α62T + α63 A).

 dt
(2)
Поясним коэффициенты системы уравнений (2).
1. Уравнение для температуры:
− α 11 – коэффициент независимого увеличения температуры;
− α 12 – постоянный коэффициент увеличения температуры со стороны солнечной активности;
− α13 – постоянный коэффициент увеличения температуры со стороны человека;
− α 14 – постоянный коэффициент увеличения температуры со стороны парникового эффекта;
− α15 – постоянный коэффициент увеличения температуры со стороны газов, влияющих на
потепление;
− α16 – постоянный коэффициент уменьшения температуры со стороны газов, влияющих на
похолодание.
2. Уравнение для солнечной активности:
− α 21 – коэффициент независимого изменения солнечной активности.
3. Уравнение для антропогенного фактора:
− α 31 – коэффициент независимого изменения влияния человека.
4. Уравнение для парникового эффекта:
− α 41 – коэффициент независимого изменения состояния ПЭ;
− α 42 – постоянный коэффициент увеличения ПЭ со стороны температуры воздуха;
− α 43 – постоянный коэффициент увеличения ПЭ со стороны солнечной активности;
− α 44 – постоянный коэффициент увеличения ПЭ со стороны со стороны человека;
11
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (63). Выпуск 1
− α 45 – постоянный коэффициент увеличения ПЭ со стороны газов, влияющих на потепление;
− α 46 – постоянный коэффициент уменьшения ПЭ со стороны газов, влияющих на похолодание.
5. Уравнение для газов, влияющих на потепление:
− α 51 – коэффициент независимого изменения газов [+ ];
− α 52 – постоянный коэффициент увеличения газов [+ ] со стороны температуры воздуха;
− α 53 – постоянный коэффициент увеличения газов [+ ] со стороны человека.
6. Уравнение для газов, влияющих на похолодание:
− α 61 – коэффициент независимого изменения газов [− ] ;
− α 62 – постоянный коэффициент уменьшения газов [− ] со стороны температуры воздуха;
− α 63 – постоянный коэффициент уменьшения газов [− ] со стороны человека.
Параметры модели и начальные данные подбирались таким образом, чтобы динамика системы (2) совпадала по возможности с реальной мировой динамикой в период с 1800 по 2010 гг. [5, 812], а затем система использовалась для прогнозирования.
В результате расчета с помощью ЭВМ по программе, в основу которой заложен метод РунгеКутта четвертого порядка, были получены графики, идеально отражающие прошлую и текущую ситуации и дающие прогнозы развития событий в глобальном потеплении в будущем.
Рис. 3. График изменения температуры Земли (1800 – 2200 гг.)
без борьбы с глобальным потеплением
Если ничего не предпринимать, то из рис. 3 видно, что температура Земли с каждым годом
будет увеличиваться все больше и больше. И, в конечном итоге, глобальное потепление полностью
выведет из строя климатическую систему нашей планеты, что, в свою очередь, может привести к необратимым и непредсказуемым последствиям.
Если воздействие человека на потепление уменьшить в два раза, то поведение графика (рис.
4) по сравнению с графиком, изображенным на рис. 3, заметно изменится. Так, анализируя оба графика, мы видим, что в 2100 году (рис. 3) температура Земли по сравнению с 2000 годом должна увеличиться примерно на 6˚С, а при уменьшении воздействия антропогенного фактора вдвое (рис. 4) –
всего на 2˚С, что вполне существенно.
Но если принять более жесткие меры по борьбе с глобальным потеплением (снизить влияние
антропогенного фактора на 95%, что реально сделать на данном этапе развития человечества) и
охране окружающей среды, то можно вообще предотвратить дальнейшее потепление (рис. 5). Для
этого необходимо как можно скорее переходить на биологически чистое топливо, модернизировать
очистные сооружения на крупных промышленных предприятиях, усилить охрану окружающей среды, принять меры по предотвращению лесных пожаров, из-за которых в атмосферу ежегодно выбрасывается 17% углекислого газа от общего числа его выбросов.
12
Математика и механика
Рис. 4. График изменения температуры Земли при уменьшении воздействия
антропогенного фактора в два раза
Рис. 5. График изменения температуры Земли при уменьшении воздействия
антропогенного фактора на 95%
Конечно, построенная система (2) представляет собой лишь качественную модель для выявления общих тенденций динамики глобального потепления, а также для анализа чувствительности
результатов по отношению к заложенным в модель факторам. Самое важное в модели – правильный
учет причинно-следственных связей системы. Подчеркнем, что если с помощью глобальной модели
хоть что-то удается предсказать, то модель строилась не зря [5]. Кстати, вопрос о справедливости
данной модели глобального потепления до сих пор остается открытым, поскольку еще не наступили
сроки прогноза, хотя критическая дата пика прогноза на 2150 г. приблизительно совпадает с прогнозами Форрестера и Медоуза [5, 10, 11].
Заключение
В заключение отметим, что «мягкое» математическое моделирование представляет особую
ценность для решения содержательных текстовых задач, и поэтому его часто называют еще текстовым моделированием, так как отправной точкой работы по моделированию становится текст, описывающий явление, процесс или объект. Формирование у обучаемых умения строить математические
модели реальных объектов и процессов, исследовать эти объекты и процессы по их математическим
моделям и давать содержательную интерпретацию полученным результатам является одним из приоритетных направлений модернизации математического образования. С помощью «мягкого» математического моделирования мы можем познавать реалии окружающего мира. А умение математически
исследовать явления реального окружающего нас мира и формирование такого способа мышления
человека можно назвать уже математической философией, т.к. философия – это учение, помогающее
познавать мир.
13
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (63). Выпуск 1
ЛИТЕРАТУРА
1. Самарский А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. М.:
Физматлит, 2005. 320 с.
2. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: учеб. / под ред. В.С. Зарубина,
А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 496 с.
3. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели / В.И. Арнольд. М.: МЦНМО,
2000. 32 с.
4. Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов / В.И. Арнольд. М.:
Физматлит, 2007. 60 с.
5. Ильин И.В. Моделирование нелинейной динамики глобальных процессов / под ред. И.В.
Ильина, Д.И. Трубецкова. М.: Изд-во МГУ, 2010. 412 с.
6. Губенков А.Н. Математические модели / А.Н. Губенков. Саратов: СГТУ, 2001. 18 с.
7. Губенков А.Н. Инновационное «мягкое» математическое моделирование реальных явлений /
А.Н. Губенков // Инновационные процессы в высшей школе: материалы XVI Всерос. науч.-практ.
конф. Краснодар, 2010. С. 70.
8. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. М.: Наука, 1977. 440 с.
9. Гор А. Неудобная правда. Глобальное потепление. Как остановить планетарную катастрофу /
А. Гор. М.: Амфора, 2007. 328 с.
10. Форрестер Дж. У. Мировая динамика / Дж. У. Форрестер. М.: АСТ, 2003. 384 с.
11. Медоуз Д. Пределы роста. Тридцать лет спустя / Д. Медоуз, Й. Рандерс, Д. Медоуз. М.:
ИКЦ «Академкнига», 2007. 342 с.
12. Горящие
нефтяные
поля
в
Ираке.
[Сайт]
http://www.dw-world.de/popups/
popup_printcontent/0,,819492,00.html [Дата обращения: 25.12.11].
Губенков Александр Николаевич –
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры «Прикладная математика и системный
анализ» Саратовского государственного
технического университета имени Гагарина Ю.А.
Aleksandr N. Gubenkov –
Ph. D., Associate Professor
Department Of Applied Mathematics
and Systems Analysis,
Gagarin Saratov State Technical University
Федорова Ольга Сергеевна –
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Прикладная математика
и системный анализ»
Саратовского государственного технического
университета имени Гагарина Ю.А.
Olga S. Fedorova –
Ph. D., Associate Professor
Department of Applied Mathematics
and Systems Analysis,
Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 05.02.12, принята к опубликованию 02.03.12
14
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 180 Кб
Теги
процессов, моделирование, реальные, объектов, математические, мягкой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа