close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

p-РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД УНИТРЕУГОЛЬНЫМИ ГРУППАМИ НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 17–21.
УДК 512.54
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
p-РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
НАД УНИТРЕУГОЛЬНЫМИ ГРУППАМИ
НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
Уравнение над группой от одной неизвестной называется регулярным, если сумма
показателей степеней неизвестной отлична от нуля. В статье доказывается разрешиs
мость некоторых регулярных уравнений экспоненты rp , где r ∈ Z , s ∈ N ,
нод(r, p) = 1, над группой UTn ( Fp ) ( n ≥ 2 ) в надгруппе, изоморфной UT( n −1) p s +1 ( Fp ) .
Также доказана разрешимость произвольного регулярного уравнения экспоненты
rp s над p-группой Гейзенберга UT3 ( Fp ) в надгруппе, изоморфной UT2 p +1 ( Fp ) . Доs
казательства этих результатов проводятся конструктивным способом и позволяют
получать решения уравнений в явном виде.
Ключевые слова: уравнения над группами, регулярные уравнения, гипотезы Кервера
– Лауденбаха, нильпотентные группы, унитреугольные группы, р-группы.
Введение
Уравнением с неизвестной
вида:
x над группой G называется выражение
u ( x ) = 1,
(1)
u( x) = xε1 g1 xε 2 g2 … xε n gn ∈ G ∗ x .
(2)
где
Если H − бо́льшая группа, т. е. группа, содержащая G в качестве фиксированной подгруппы, то уравнение над G также рассматривается как
уравнение над H . Уравнение (1) над группой G называется разрешимым
в группе G , если существует g ∈ G такой, что u ( g ) = 1 . Уравнение (1) называется разрешимым над группой G , если существует надгруппа H ≥ G , в
которой это уравнение имеет решение.
Пусть C − некоторый класс групп. Уравнение над группой G ∈ C называется разрешимым в классе C , если существует надгруппа H ∈ C , содержащая группу G , в которой оно имеет решение.
Уравнение (1) называется регулярным, если его экспонента ε =
∑
n
ε
i =1 i
не равна нулю. Согласно знаменитой гипотезе Кервера – Лауденбаха (см.
[1]), любое регулярное уравнение разрешимо над произвольной группой. В
обзоре [1] были сформулированы аналогичные гипотезы для классов нильпотентных и разрешимых групп. Ключевым вопросом для нильпотентной
версии этой гипотезы является разрешимость регулярных уравнений в
классе всех конечных p-групп для различных простых p. Заметим, что в
общем случае гипотеза Кервера – Лауденбаха (и ее обобщение для систем
уравнений) остается открытой. Имеется лишь ряд частичных результатов
(см. обзор [1]).
Из результатов Герстенхабера и Ротхауза [2] следует, что любое регулярное уравнение над конечной группой имеет решение в большей конечной надгруппе. Заметим, что известные доказательства этих результатов
неконструктивны. Они не дают возможности эффективного построения
группы, в которой разрешимо данное регулярное уравнение из формули-
© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2015
18
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
ровки. Они также не позволяют судить о
структуре этой группы. Другие, более конструктивные, доказательства этих результатов до сих пор не найдены. Тем более ничего
нельзя сказать о разрешимости регулярного
уравнения в большей конечной группе из какого-либо класса групп.
Уравнение над конечной p-группой G
будем называть p-разрешимым, если существует конечная p-группа H ≥ G , в которой
оно имеет решение.
Пусть Fp − простое конечное поле порядка p и UTn ( Fp ) − группа верхних унитреугольных матриц размера
лем
n × n ( n ≥ 2 ) над по-
Fp . Известно, что любая конечная
p-группа G изоморфна некоторой подгруппе
UTG ( Fp ) . Тогда для доказательства разрешимости регулярных уравнений в классе всех
конечных p-групп достаточно установить
p-разрешимость регулярных уравнений над
группами UTn ( Fp ) , n ≥ 2 . Заметим, что случай n = 2 сводится к присоединению корней
к циклическим группам порядкам p в классе
конечных p-групп и потому очевиден. Поэтому первым нетривиальным случаем оказывается n = 3 .
В [3] авторами была доказана p-разрешимость некоторых регулярных уравнений над
p-группой Гейзенберга UT3 ( Fp ) . Настоящая
статья продолжает исследования, проведенные в [3]. В теореме 1 мы доказываем, что
некоторые регулярные уравнения экспоs
ненты rp , где r ∈ Z , s ∈ N , нод(r, p) = 1, над
группой
UTn ( Fp ) ( n ≥ 2 )
разрешимы
в
надгруппе, изоморфной UT( n −1) p s +1 ( Fp ) . При
n = 3 из данного результата следует разреши-
NTn ( F )
верхних нильтреугольных матриц
над полем F размера
u=
∑
α , β ∈Δ , α < β
n × n . Для элемента
uα , β eα , β , uα , β ∈ F ,
{
(3)
}
обозначим supp(u) = (α , β ) ∈ Δ | uα , β ≠ 0 . С
2
каждым элементом u свяжем взвешенный
ориентированный граф Γ(u ) , вершинами
которого являются рациональные числа
α , β ∈ Δ , соединяемые ребром (α , β ) тогда и
только тогда, когда (α , β ) ∈ supp(u). Весом ребра (α , β ) при этом будем считать коэффициент uα , β из канонической записи (3). Пусть
P − γδ – путь ( γ < δ ) в графе Γ(u ) , т. е. путь
из γ в δ . Весом пути P будем называть величину w( P ) , равную произведению весов
входящих в него ребер. Длина пути P определяется как количество входящих в него ребер. Будем говорить, что элемент u ∈ Α имеет
длину l = l (u ) , если максимальная длина
пути в графе Γ(u ) равна l . Очевидно тогда,
что u l +1 = 0 . Длина l ( M ) произвольного подмножества элементов
M ⊆ Α определяется
как sup {l (u ) | u ∈ M } . Заметим, что l ( Α) = n − 1
.
Добавим к Α внешнюю единицу. Тогда
множество
G ( Α) = { 1 + u | u ∈ Α} является
группой. Обратный к (1 + u ) определяется
(1 + u ) −1 = 1 + ∑ i =1 (−1)i u i .
n −1
как
Через
tα , β
(α , β ∈ Δ, α < β ) будем обозначать трансвекцию 1 + eα , β . Также для любого γ ∈ F полагаем tα , β (γ ) = 1 + γ eα , β . Обозначим Α
(i )
− мно-
жество всех сумм произведений i элементов
мость произвольного регулярного уравнения
экспоненты rp s над p-группой Гейзенберга
из Α , i > 0 . Очевидно, что Α
UT3 ( Fp ) в надгруппе, изоморфной UT2 ps +1 ( Fp )
G( Α) .
(теорема 2). Доказательства этих результатов
проводятся конструктивным способом и позволяют получать решения уравнений в явном виде.
Очевидно, что Α( n ) = 0 и Α нильпотентна ступени n , а группа G ( Α) нильпо-
Предварительные сведения
Пусть
даны
рациональные
числа
Δ = {δ1 , δ 2 ,… , δ n } , где δ i < δ i +1 , i = 1,…, n − 1 .
Обозначим через Α ассоциативную алгебру
над полем F с базисом
{e
δ i ,δ i +1
}
i = 1,… , n − 1 .
Умножение в Α определяется равенствами
e α , β ⋅ eβ ,γ = eα ,γ и eα , β ⋅ eγ ,δ = 0 при β ≠ γ . Заметим, что алгебра
Α
изоморфна алгебре
(i )
Α
и
тентна
G(Α ) = { 1 + u | u ∈ Α
(i )
ступени
n − 1.
(i )
Ряд
– подалгебра
} − подгруппа
1 = G ( Α( n ) ) ≤
≤ G ( Α( n −1) ) ≤ … ≤ G ( Α(1) ) = G ( Α) является верхним и нижним центральным рядом для
G ( Α).
Заметим, что группа G ( Α) изоморфна
группе верхних унитреугольных матриц
UTn ( F ) над полем F размера n × n . Подгруппе G ( Α ( i ) ) соответствуют матрицы, у которых первые i − 1 побочных диагоналей нулевые.
p-разрешимость регулярных уравнений над унитреугольными группами…
Далее в качестве поля F будем рассматривать простое конечное поле Fp порядка p.
s
+
В [4] для q = p , s ∈ Z , n ≥ 2 , были по-
строены вложения UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) , где
m = ( n − 1)q + 1 , относительно которых из любого элемента группы UTn ( Fp ) в UTm ( Fp ) извлекается корень степени q. Поскольку данные вложения играют существенную роль
для дальнейшего изложения, опишем их подробно.
Обозначим через ti , j трансвекцию в
группе UTn ( Fp ) . Пусть
αi , j ∈ Q − такие рацио-
нальные числа, что i < αi ,1 < … < αi , q −1 < i + 1 ,
i = 1,…, n − 1 , и пусть UTm ( Fp ) порождена
ti′,αi ,1 , tα′ i ,1 ,αi ,2 ,… , tα′ i ,q−1 ,i +1 ,
трансвекциями
i = 1,…, n − 1 .
Определим
φ : UTn ( Fp ) → UTm ( Fp ) , положив
где
вложение
1,1 ,α 2,1
′ tα′
φ (t3,4 ) = t3,4
2 ,1 ,α 3,1
где v( x) =
l
∏ C ( x) ( l ≥ 0 ) и
i =1
i
Ci ( x) = [ui , xσ i , Si ,1 ( x),… , Si , ki ( x)]
– коммутатор веса
ki + 2 ,
(7)
k i ≥ 0 , ui ∈ G ,
σ i = ±1 , ε или Si , j ( x) = gij ∈ G , τ ij = ±1 . Заметим, что u (1) = g1 g 2 … g n и экспонента v( x)
равна нулю.
Пример 3. Последовательность преобразований, приводящих уравнение xg1 xg 2 = 1 к
виду (6):
1 = xg1 xg2 ,
1 = xxg1 g2 [ g1 , x][ g1 , x, g2 ],
tα′1,2 ,α 2,2 … tα′1,q−1 ,α 2 ,q−1 ,
tα′ 2 ,2 ,α 3,2 … tα′ 2 ,q−1 ,α 3,q−1 ,
с экспонентой ε . Без ограничения общности
можно считать, что ε < 0 . Будем передвигать
степени неизвестной и коэффициенты уравнения
влево,
используя
соотношение
fg = gf [ f , g ] . Данной последовательностью
преобразований уравнение выше можно
привести к виду:
x −ε = u (1)v( x),
(6)
1 = xxg1[ g1 , x]g2 ,
′ ,
φ (t1,2 ) = t1,2
′ tα′
φ (t2,3 ) = t2,3
19
(4)
x −2 = g1 g 2 [ g1 , x][ g1 , x, g 2 ],
x 2 = g1 g 2 [ g1 , x −1 ][ g1 , x −1 , g 2 ].
Пример 1. Пусть n = p = q = 3 , тогда об-
Далее сформулируем несколько несложных лемм технического характера.
Лемма 1. Пусть δ1 < δ 2 < … < δ n ( δ i ∈ Q ) и
a = e + a12 e12 + a13 e13 + a23 e23 ∈
Α − ассоциативная алгебра над полем Fp ,
φ (tn −1, n ) = tn′ −1, n tα′
n − 2,1 ,α n −1,1
разом элемента
tα′ n−2,2 ,α n−1,2 … tα′ n−2 ,q−1 ,α n−1,q−1 .
∈ UT3 ( F3 ) относительно вложения (4) будет
порожденная
φ ( a ) = e + a12 e14 + a13 e17 + a23 (e25 + e36 + e47 ) ∈
x = 1 + u ∈ G ( Α) и s ∈ Z + , тогда
∈ UT7 ( F3 ) .
eδi ,δi+1 ,
′ tα′
ϕ (t1,2 ) = t1,2
t′
… tα′1,q−1 ,α 2,q−1 ,
1,1 ,α 2,1 α1,2 ,α 2,2
′ tα′
ϕ (t2,3 ) = t2,3
ϕ (tn − 2, n −1 ) = tn′ − 2, n −1tα′
(5)
t′
… tα′ n−2,q−1 ,α n−1,q−1 ,
n − 2,1 ,α n −1,1 α n − 2,2 ,α n −1,2
ϕ (tn −1, n ) = tn′ −1, n .
Пример 2. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента
a = e + a12 e12 + a13 e13 + a23 e23 ∈
∈ UT3 ( F3 ) относительно вложения (5) будет
ϕ ( a ) = e + a12 (e14 + e25 + e36 ) + a13 e17 + a23 e47 ∈
∈ UT7 ( F3 ) .
Основной результат
Рассмотрим над группой G регулярное
уравнение
ε1
εn
ε2
x g1 x g 2 … x g n = 1
u( x)
s
где сумма берется по всем путям P длины
p s в Γ(u ) из α в β .
Замечание 1. Пусть в обозначениях
леммы 1 к x добавили элемент weγ ,δ ∈ Α ,
t′
… tα′ 2,q−1 ,α3,q−1 ,
2,1 ,α 3,1 α 2,2 ,α 3,2
…
Пусть
x p = 1 + u p = 1 + ∑ w( P )eα , β ,
s
Аналогично можно определить вложение
ϕ : UTn ( Fp ) → UTm ( Fp ) , положив
i = 1,…, n − 1 .
w ∈ Fp . Это будет соответствовать тому, что
γ и δ соединили ребром
w
(γ , δ ) веса . При этом к имеющимся путям
в Γ(u ) вершины
длины p s в Γ(u ) , возможно, добавятся новые пути, проходящие через добавленное
ребро (γ , δ ) .
Лемма 2. Пусть δ1 < δ 2 < … < δ n ( δ i ∈ Q ) и
Α − ассоциативная алгебра над полем Fp ,
порожденная
eδi ,δi+1 ,
i = 1,…, n − 1 .
σ
Пусть
C ( x) = [ g , x , S1 ( x),… , S k ( x)]
–
вида (7) над G ( Α) , где
g ∈ G ( Α( r ) ) . Если
коммутатор
d ∈ Α ( t ) , то C ( x + d ) = C ( x) + Ε , где Ε∈ Α( r +t ) .
Следующая лемма позволяет в некоторых случаях при рассмотрении регулярных
20
А.В. Меньшов, В.А. Романьков
уравнений над конечными p-группами переходить от уравнений произвольной экспоненты к уравнениям примарной экспоненты
ps , s ∈ Z + .
Лемма 3 ([5]). Если произвольное регуs
+
лярное уравнение экспоненты p , s ∈ Z ,
над конечной p-группой G разрешимо в боль-
Будем рассматривать UTn ( Fp ) как подгруппу UTm ( Fp ) относительно вложения (4).
Рассмотрим случай 1. Положим для
краткости G = UTn ( Fp ) и H = UTm ( Fp ) . В силу
свойств вложения (4) имеем
γ i G ⊆ γ iq H для
f G − некоторая функция от экспоненты
i = 1,…, n − 1 . Будем рассматривать последовательно реплики уравнения (8) в факторах
H / γ i H , i = 2,…, m . При этом будем строить
уравнения p s , зависящая от группы G , то
xi = 1 + ui ∈ H такой, что его образ является
любое регулярное уравнений над G p-разрешимо.
Пусть дано уравнение u ( x) = 1 над груп-
решением соответствующей реплики в
H / γ i H . В итоге получим xm ∈ H − решение
шей p-группе H такой, что H ≤ fG ( p ) , где
s
пой G и H − гомоморфный образ G . Репликой данного уравнения будем называть уравнение над H , получающееся из исходного
заменой всех коэффициентов на их гомоморфные образы.
Следующая теорема позволяет находить
решения целого ряда уравнений над унитреугольными группами в бо́льших унитреугольных группах.
Теорема 1. Пусть над группой UTn ( Fp )
( n ≥ 2 ) дано регулярное уравнение с экспонентой rp s , где r ∈ Z , s ∈ N , нод(r, p)=1. Обозначим u (1) = (ai , j ) . Если выполнено одно из следующих условий:
1) ai ,i +1 ≠ 0 для i = 2,…, n − 1 ;
2) ai ,i +1 ≠ 0 для i = 1,…, n − 2 ;
3)
a − центральный элемент в UTn ( Fp ) ,
то уравнение разрешимо в надгруппе, изоморфной UTm ( Fp ) , где m = (n − 1) p s + 1 .
Доказательство. Если s = 0 , то по теореме А. Шмелькина [6] уравнение имеет решение в самой группе UTn ( Fp ) . Далее считаем, что s > 0 . Обозначим для краткости
q = p s и рассмотрим сначала случай примарной экспоненты, т. е. r = 1 . Запишем уравнение в виде (6):
x q = u (1)v( x).
Пусть
αi , j ∈ Q
(8)
такие,
что
i < αi ,1 < … < αi ,q −1 < i + 1 , i = 1,…, n − 1 , и пусть
UTm ( Fp )
порождена
трансвекциями
ti′,αi ,1 , tα′ i ,1 ,αi ,2 ,… , tα′ i ,q−1 ,i +1 , где i = 1,…, n − 1 . Через
Α обозначим соответствующую UTm ( Fp ) ассоциативную алгебру, порожденную
ei′,αi ,1 , eα′ i ,1 ,αi ,2 ,… , eα′ i ,q−1 ,i +1 , i = 1,… , n − 1.
(9)
уравнения (8). Заметим, что случаи i = 2,… , q
можно не рассматривать, так как решением
соответствующих реплик будет xi = 1 .
Решением реплики (8) в факторе
H / γ q +1 H будет образ элемента
xq +1 = 1 + a1,2 e1,′ α1,1 + eα′ 1,1 ,α1,2 + … + eα′ 1,q−1 ,2 +
+ a2,3e2,′ α 2,1 + eα′ 2,1 ,α 2,2 + … + eα′ 2,q−1 ,3 +
+… + an−1,n en′ −1,αn−1,1 + eα′ n−1,1 ,α n−1,2 + … + eα′ n−1,q−1 ,n ,
так как v( xq +1 ) ∈ γ q +1 H . Заметим, что в Γ(uq +1 )
гарантированно есть путь из α1,1 в
n , прохо-
дящий через ребра, соответствующие порождающим (9) алгебры Α .
Пусть построен xi = 1 + ui ∈ H такой, что
его образ является решением реплики уравнения (8) в факторе H / γ i H . Тогда у матриц
L( xi ) = xiq и R ( xi ) = u (1)v ( xi ) первые i − 1 побочных диагоналей совпадают. Возможно,
матрицы L( xi ) и R( xi ) не равны по модулю
γ i +1 H из-за различных коэффициентов при
\ Α(i +1) , соответствующих побочной диагонали с номером i .
m − i таких элементов
Всего имеется
eα1 , β1 , eα2 , β2 ,…, eαm−i , βm−i , где α1 < α 2 < … < α m − i .
элементах вида eα , β ∈ Α
(i )
Для каждого eα j , β j ( j = m − i,… ,1 ) построим
элемент
yj ∈Α
такой,
L( xi + y j + … + ym−i )
что
матрицы
и
R( xi + y j + … + ym−i )
равны по модулю γ i H
и соответствующие
коэффициенты
при
совпадают. Пусть
eα j , β j , eα j +1 , β j+1 ,… , eα m−i , β m−i
y j +1 ,…, ym −i ( 1 ≤ j ≤ m − i )
уже построены. Обозначим через wl и wr коэффициенты при eα j , β j в L( xi + y j +1 + … + ym−i )
и
R( xi + y j +1 + … + ym−i )
соответственно. В
Γ(ui ) есть путь P длины q − 1 из некоторой
p-разрешимость регулярных уравнений над унитреугольными группами…
τ
вершины
значно по
соответствующим порождающим (9) алгебры
Α . Положим y j = w j eα j ,τ , где w j определяется из формулы w j w( P) + wl = wr . Согласно
лемме 1 и замечанию 1 в левой части
появится элемент w j w( P )eα j , β j , а также
некоторые
+… + eα′ n−1,1 ,αn−1,2 + … + eα′ n−1,q−1 , n ,
(которая определяется одно-
β j ) в β j , проходящий по ребрам,
элементы
eα , β ∈ Α
( i +1)
,
либо
21
так как xqq+1 = 1 и xq +1 коммутирует с образами элементов группы G , т. е. v( xq +1 ) = 1 . Решая далее уравнение способом, описанным в
случае 1, видим, что на итерациях
q + 2,… , m − 1 имеем xq + 2 = … = xm −1 = xq +1 . На
итерации
m получим xm = xq +1 + a1,n e1,α
n −1,1
− ре-
= R( xi + y j +1 + … + ym−i ) + Ε , где Ε∈ Α(i+1) . Та-
шение уравнения.
Случай произвольной экспоненты теперь
следует из леммы 3. Теорема доказана.
Из теоремы 1 получаем следующий результат.
Теорема 2. Любое регулярное уравнение
экспоненты rp s , где r ∈ Z , s ∈ N , нод(r, p) = 1,
ким образом, добавление y j не изменяет ко-
над p-группой Гейзенберга UT3 ( Fp ) разре-
эффициенты при eαi , βi в правой части. После
шимо в надгруппе, изоморфной UT2 p s +1 ( Fp ) .
eα , β ∈ Α \ Α
(i )
будет
( i +1)
, причем в последнем случае
β < β j . Заметим, что eα ,τ ∈ Α(i +1−q ) , тоj
гда, согласно лемме 2, R( xi + y j + … + ym −i ) =
добавления y1 в левой части также не изменятся коэффициенты при eαi , βi . Положим
xi +1 = xi + y1 + … + ym − i . По построению образ
xi +1 является решением реплики (8) в факторе H / γ i +1 H .
Продолжая процесс таким образом, получим решение xm ∈ H уравнения (8).
В случае 2 доказательство проводится
аналогично, но вместо вложения (4) нужно
брать вложение (5).
В случае 3, как и в случае 1, будем расG = UTn ( Fp ) как подгруппу
сматривать
H = UTm ( Fp ) относительно вложения (4).
Решением
реплики
(8)
H / γ q +1 H будет образ элемента
в
xq +1 = 1 + eα′1,1 ,α1,2 + … + eα′ 1,q−1 ,2 +
+ eα′ 2,1 ,α 2,2 + … + eα′ 2,q−1 ,3 +
факторе
Доказательство. Для любого элемента
UT3 ( Fp ) очевидно выполнено одно из условий теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Roman'kov V. A. Equations over groups // Groups
Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. P. 191–239.
[2] Gerstenhaber M., Rothaus O. S. The solution of
sets of equations in groups // Proc. Natl. Acad. Sci.
1962. Vol. 48. P. 1531–1533.
[3] Меньшов А. В., Романьков В. А. О p-разрешимости некоторых регулярных уравнений над
p-группой Гейзенберга UT3 ( Z 3 ) // Вестн. Ом.
ун-та. 2014. № 3. С. 11–14.
[4] Меньшов А. В., Романьков В. А. Присоединение
корней к унитреугольным группам над простым
конечным полем // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3.
С. 13–16.
[5] Меньшов А. В., Романьков В. А. Разрешимость
регулярных уравнений в классе нильпотентных
групп // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 19–22.
[6] Шмелькин А. Л. О полных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 1967. Т. 6. С. 111–114.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
601 Кб
Теги
поле, уравнения, унитреугольными, над, конечный, разрешимости, простые, группами, регулярные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа