close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

R-аппроксимация множеств в пространстве непрерывных функций.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Раздел II. Математический анализ
И.Н. Боровков
R-АППРОКИСМАЦИЯ МНОЖЕСТВ
В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
При изучении различных вариантов проблемы Хоффмана-Йоргенсена ([3]) одним из важнейших технических инструментов в доказательствах является R-аппроксимация множество ([1]).
Цель настоящей работы изучить основные свойства R-аппроксимации в пространстве непрерывных функций, найти множества, в которых можно выбирать центры аппроксимирующих шаров
([2]) и, в связи с этим, показать, что достаточным множеством является гиперплоскость.
Пусть Х = С(К) – пространство непрерывных на К функций, где К – метрический компакт
без изолированных точек. Прежде чем изложить основные результаты, связанные с вопросами аппроксимации шаров, приведем конструкцию аппроксимации в С(К) малых шаров шарами единичного радиуса. Это вызвано тем, что доказательства большинства результатов по аппроксимации
шаров в С(К) будут связаны с применением различных модификаций этой конструкции.
Согласно замечанию, сделанному после определения 2.1.1. ([1]), достаточно проверить наличие свойства аппроксимации малых шаров с центрами в нуле. Итак, пусть В(0,r) – некоторый
шар в вещественном пространстве С(К), r < 1. Покажем, как выбрать такую последовательность
xn 1 , что
lim B( xn ,1)
B(0, r ) .
Для всякого натурального n в компакте К выберем две непересекающиеся
Nn
j
j 1
(1)
1
-сети
n
Mn
i i 1
и
(это возможно, так как в К нет изолированных точек). Пользуясь теоремой Урысона, легко
показать, что существует непрерывная на К функция хn, для которой выполнены условия
(a1 ) xn ( i ) 1 r , i 1,..., M n ;
(a2 ) xn ( j )
r 1,
j 1,..., N n ;
1 r для всех t K .
(a3 ) xn (t )
Тогда для последовательности B( xn ,1)
n 1
выполняется равенство (1).
Замечание. Следует отметить, что пространство С(К) обладает свойством аппроксимации
шаров шарами с неограниченно возрастающими радиусами. Действительно, пусть r
n
34
N выберем непрерывную на К функцию xn , для которой выполняются условия:
(a1 ) xn ( i )
rn
r , i 1,..., M n ;
(a2 ) xn ( j )
r
rn ,
(a3 ) xn (t )
r для всех t
rn
j 1,..., N n ;
K.
0 . Для
Раздел II.
где rn
Mn
i 1
1
и
Математический анализ
– неограниченная монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, а
Nn
j 1
взяты из предыдущей конструкции. Покажем, что
lim B( xn , rn )
B(0, r ).
(2)
Очевидно, что
B(0, r )
для любого n
N.
Пусть y
B (0, r ) . Предположим, что для некоторого t
1
n0
yB t,
j
r . Тогда
N . Следовательно, при n n0 имеем:
y
xn
y ( j ) xn ( j )
– соответствующий элемент
j
K y(t )
r
для некоторого n0
(здесь
B( xn , rn )
r (r rn )
rn
1
-сети, для которого выполняется неравенство
n
1
). Таким образом, для почти всех п имеем:
n
t
y
B( xn , rn ) .
Равенство (2) доказано.
Далее отметим, что центры шаров аппроксимирующей последовательности могут находиться на достаточно малом расстоянии от центра аппроксимируемого шара, а именно: справедливо
следующее
Предложение 1. Для любых
r
0 существует последовательность
B( xn , r0 )
n 1
,
r0 , такая, что
для любого n
1) xn
2) lim B( xn , r0 )
N;
B(0, r ) .
Доказательство. Для всякого n
(a1 ) xn ( i )
(a2 ) xn ( j )
Mn
i i 1
и
Nn
j
j 1
N выберем функцию xn , удовлетворяющую условиям:
, i 1,..., M n ;
,
j 1,..., N n ;
для всех t
(a3 ) xn (t )
где
0 и r
K,
взяты из конструкции (К.3.1.) [1]. Тогда, полагая что r0
lim B( xn , r0 )
причем xn
для любого n
r
, получим:
B(0, r ) ,
N . Предложение доказано.
Перейдем к рассмотрению вопроса (р2) [1]. Как показано в [2], внешность нормального конуса достаточно для аппроксимации шаров в любом R-пространстве, т.е. любой шар можно аппроксимировать шарами, центры которых принадлежат внешности нормального конуса. Однако
35
Вестник ТГПИ
Естественные науки
это утверждение не нарушится, если такой конус заменить в пространстве С(К) на некоторый конус, который не является нормальным.
Пусть А – множество функций пространства С(К), сохраняющий знак на К. Очевидно, А –
конус, но не нормальный (так как если x
Предложение 2. Для любых x
A , то и
A и r
x
A ).
0 существует последовательность
B( xn , r0 )
n 1
,
r0 , такая, что
r
A для любого n
1) xn
2) lim B( xn , r0 )
N;
B( x, r ) .
Доказательство. Пусть x
0 и предположим, что для любого t
A, r
х – непрерывная функция, то существует такая точка t0
K x(t )
K , что
min x(t )
t
x(t0 ).
(3)
В компакте К для любого натурального п выберем два непересекающиеся
Nn
j 1
, причем так, что бы t0
Nn
j 1
0 . Так как
1
-сети –
n
Mn
i 1
и
для любого n . Выберем теперь такое положительное число r0
и непрерывную на К функцию yn , для которых выполнены условия
x(t0 ) r r0
0
(4)
lim B( yn , r0 )
B(0, r ) .
(5)
и
(a1 ) yn ( i )
r0
r , i 1,..., M n ;
(a2 ) yn ( j )
r
r0 ,
(a3 ) yn (t )
r для всех t
r0
j 1,..., N n ;
K.
Покажем, что
Действительно, согласно (а1) – (а3)
x0
r
для некоторого положительного
x0
т.е. B(0, r )
yn
B( yn , r0 ) для любого n
yn
r0
r для любого n
N . Если x0
B(0, r ) , то
. Тогда
x
yn
r
r0
r
r0 ,
N . В определении предела последовательности множеств
достаточно проверить для шара B(0, r ) выполнение второго условия: для любого y
B (0, r ) най-
дется номер n0 такой, что при всех n n0
y
B( yn , r0 ) .
Предположим, что последнее утверждение неверно. Тогда для некоторого y0 , y0
B (0, r ) ,
найдутся сколь угодно большие номера п, при которых
y0
Поскольку y0
1) для некоторого t
36
B( yn , r0 ) .
B (0, r ) , то возможны два случая:
K y0 (t )
r;
(6)
Раздел II.
Математический анализ
2) для некоторого t
K y0 (t )
r.
Покажем, например, невозможность первого случая. В силу непрерывности y0 , для некоторого m0
N
y0 B t ,
Но тогда для n
1
m0
r.
(7)
m0
(5)
y0
(здесь
yn
– соответствующий элемент
j
y0 ( j )
yn ( j )
r (r r0 )
r0
1
-сети, для которого выполнено неравенство
n
j
t
1
).
n
Это противоречит (6). Равенство (5) доказано.
Обозначим xn
yn . Тогда последовательность шаров B( xn , r0 )
x
n 1
– искомая. В самом де-
ле, то, что эта последовательность является аппроксимирующей для B( x, r ) , следует из доказанного
равенства (5) и свойства (с6) предела последовательности множеств [2]. Кроме того, xn
бого n
A для лю-
N (это следует из условия (4) и выбора функции yn ). Предложение доказано.
Пусть теперь
странстве
K
[0;1] . Прежде чем изложить результат по аппроксимации шаров в про-
C[0;1] рассмотрим один пример, показывающий, что внутренность нормального кону-
са не достаточна для аппроксимации шаров.
Пример 1. Пусть К – положительный конус в пространстве
гда для любой последовательности
B( xn , rn )
n 1
C[0;1] , x0 (t )
1 , r 1 . То-
, аппроксимирующей B( x0 , r ) , имеем: xn
начиная с некоторого номера. В самом деле, обозначим (
y C[0;1] ), где r 1 в
K,
0 . Если
предположить, что
lim B( xn , rn )
и для некоторой последовательности xn
k
Mn
k 1
xnk
y
xn
k
(8)
B( x0 , r )
K для любого k , то получим:
x0
xn
k
rn ,
начиная с некоторого номера. Это противоречит (8), так как y B( x0 , r ) .
Теорема 1. Пусть B( x, r ) – шар пространства
C[0;1] . Тогда существует аппроксимирую-
щая B( x, r ) последовательность шаров B( xn , r0 ) 1 такая, что xn
скость, для любого n
N.
Доказательство. Обозначим
довательность xn
1
L
P ( x* , a ) и x* ( x )
a0 . Покажем, как выбирать после-
элементов гиперплоскости L и положительное число r0 такие, что
lim B( xn , r0 )
Через
L , где L – некоторая гиперпло-
B( x, r ) .
обозначим конечный борелевский заряд на [0; 1], соответствующий функционалу
(9)
x* .
1. Рассмотрим вначале случай, когда
37
Вестник ТГПИ
Естественные науки
0
т.е.
не является линейной комбинацией
0
1 1
,
-мер точек 0 и 1.
Выберем в [0; I] такой интервал (с; d), чтобы
(10)
((c; d )) 0
и, кроме того, в точках с и d не было нагрузок заряда
. Обозначим
1
-сеть Z ( n )
n
Для всякого натурального n в [0;1] выберем такую
Z m( n )
((c; d )) в0 .
Z m( n )
n
m 1
(считаем, что
Z m( n )1 ), для которой выполняются следующие условия:
Z (n)
(a1 ) c, d
(a2 ) Z m( n )1
(a3 )
Z (nm )
Z m( n )
;
1
;
n
m 1,..., n .
0,
Обозначим Z1( n )
Z m( n )
s
m0
s 1
точки из Z ( n ) , попавшие в (c; d ) (считаем, что Z m( n )
s
Z m( n ) ). Пусть
s 1
B1( n ) – система окрестностей точек из Z1( n ) , с и d, замыкания которых не содержат попарных пересечений и, кроме того, такая, что
((c; d ) \ B1( n ) ) в0
1
n
(11)
и
B1( n )
1
.
n
(12)
Обозначим
Z k( n )
max Z m( n )
Z ( n ) : Z m( n )
c,
Z n( n )
min Z m( n )
Z ( n ) : Z m( n )
d.
0
0
В каждом из интервалов Z m( n ) ; Z m( n )1 ,
m
0,1,..., k 0 1, n0 ,..., n 1 , (здесь Z 0( n )
возьмем такую точку xm(n ) , чтобы в ней не было нагрузки заряда
окрестность U xm( n ) , что U xm(n )
1 ),
. Для каждой точки xm(n ) выберем такую
Z m( n ) ; Z m( n )1 и
1
.
n
U xm( n )
Обозначим B2( n )
0, Z n( n )
U xm( n ) , B3( n )
(c; d )
m
B2( n )
U (c)
(13)
U (d ) , где U (c), U (d ) B1( n ) .
Для всякого натурального n выберем непрерывную на [0; 1] функцию yn , удовлетворяющую следующим условиям:
a-a0
при t
в0
(в1 ) yn(t)
(в2 ) yn Z m( n )
s
38
y n (c )
(c; d ) \ B1( n ) ;
yn ( d )
a a0
, s 1,..., m0 ;
в0
Раздел II.
Математический анализ
a a0
, если i четно;
в0
(в3 ) y n xn( n0 ) i
i
a a0
, если i нечетно;
в0
0,1,..., n 1 k0 ;
(в4 ) y n xk( n0 )
j
a a0
, если j четно;
в0
j
a a0
, если j нечетно;
в0
0,1,..., k0 ;
(в5 ) yn (t )
a a0
(в6 ) yn (t ) 0 при t
t
при всех
в0
B1( n )
B2( n ) ;
[0;1] \ B3(n) .
Покажем, что
B(0, r ) ,
lim B( yn , r0 )
где
r0
a a0
в0
a a0
в0
r , если a
(14)
a0 ;
r , если a
a0 .
Прежде всего, заметим, что
B(0, r )
B( yn , r0 )
для любого натурального n. Действительно, если x0
торого
B(0, r ) , то для любого t
[0;1] и для неко-
0
x(t ) y n (t )
a a0
.
в0
r
Следовательно, в определении предела последовательности множеств достаточно проверить для шара B(0, r ) выполнение второго условия. Это проводится также как и при доказательстве предложения 2. Таким образом, равенство (14) доказано.
Обозначим теперь A( n )
x (x
yn )
a0
A( n )
(c; d ) \ B1n . Тогда
yn d
[ 0 ;1]\ A( n )
yn d
a0
a a0
в0
A( n )
[ 0 ;1]\ A( n )
yn d
(15)
Но, согласно (12) и (13),
39
Вестник ТГПИ
Естественные науки
0 при n
yn d
(16)
[ 0 ;1]\ A( n )
и, кроме того,
(11)
A( n )
в0 при n
(17)
Поэтому из (15) – (17) следует, что
x (x
a при n
yn )
(18)
Теперь из (18) и предложения ([1]) следует, что существует последовательность xn
1
эле-
ментов гиперплоскости L такая, что для последовательности B( xn , r0 ) 1 выполняется равенство (9).
2. Пусть теперь
является линейной комбинацией
0
и предположим, что
0
1
-мер в точках 0 и 1, т.е.
1
0.
0
i i 1
, i
;
n n
Для натурального n в интервале
0,1,...,n 1 выберем произвольную точку,
которую обозначим ti( n ) . Выберем теперь непрерывную на [0;1] функцию yn , удовлетворяющую
следующим условиям:
a a0
(c1 ) yn (0)
;
0
(c2 ) yn
i
n
0, i 1,..., n ;
(c3 ) yn ti( n )
( 1)i
1
a a0
i
0,1,...,n 1 ;
0
(c4 ) yn (t )
a a0
при всех t
[0; 1].
0
Равенство
lim B( yn , r0 )
B(0, r ) ,
где
r0
a a0
r,
0
доказывается аналогично равенству (14). Далее, для любого натурального имеем:
1
a0
yn d
0
a0
a a0
0
a.
0
Таким образом, последовательность B( xn , r0 )
n 1
, где xn
x
yn , – искомая. Теорема доказана.
Следствие. Всякая гиперплоскость в пространстве С[0;1] проницаема.
40
Раздел II.
Математический анализ
Теорема 2. Для того чтобы две вероятностные борелевские меры, определенные на С[0;1],
совпадали, необходимо и достаточно, чтобы они принимали равные значения на всех шарах с центрами из некоторого полупространства.
Доказательство этого утверждения следует из предыдущей теоремы и непрерывности меры относительно введенного предельного перехода.
Пример 2. Нетрудно показать, что в пространстве С [0;1] существует подпространство Х
конечной (и даже бесконечной коразмерности), при замене на которое гиперплоскости L остается
в силе утверждение теоремы. Доказательство этого факта проводится также как и доказательство
пункта 2 теоремы 3.1.1 [1].
Пример 3. Покажем, что справедливость утверждения теоремы нарушится при замене гиперплоскости на некоторое подпространство бесконечной коразмерности. В качестве такого подпространства рассмотрим множество
X
и пусть
x0 (t ) 1 , r 0 . Пусть t0
x C[0;1] : x(t ) 0 при t
0;
1
2
0;
1
2
и а — действительное число, удовлетворяющее нера-
венству
r 1 a 1 r.
Выберем непрерывную функцию
y (t )
1 a
t a, t [0; t0 );
t0
1
t [t0 ;1].
Предположим, что существует последовательность B( xn , r0 )
lim B( xn , rn )
и xn
X для любого n
n 1
такая, что
B( x0 , r )
N . Но тогда
y xn
rn
для почти всех n, что невозможно.
Применение еще одной модификации конструкции (К.3.1.) [1] аппроксимации малых шаров в пространстве
C[0;1] будет показано ниже. Но прежде сформулируем следующее
Определение 3.1.1. Пусть Х – некоторое банахово пространство,
x*
X * , x*
0 . Мно-
жество
sBx* ( x0 , r )
x B( x0 , r ) : x* ( x) x* ( x0 )
будем называть полушаром шара B( x0 , r ) .
Полушар sBx * ( x0 , r ) будем называть малым, если r
r
1 и единичного радиуса если
1.
Имеет место.
41
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Предложение 3. Вещественное пространство
C[0;1] обладает свойством аппроксимации
малых полушаров полушарами единичного радиуса.
Доказательство. Пусть sBx (0, r ) – произвольный малый полушар пространства
xn*
Покажем, как выбрать последовательность
C *[0, I ] и xn
n 1
lim sBx * ( xn , I )
n
Заметим, что
наций
xmn
m 1
C [0,1] такие, что
n 1
sBx * (0, r ) .
(19)
C *[0,1] есть слабое замыкание множества всех конечных линейных комби-
-мер на [0;1]. Поэтому существует последовательность
бинаций
C[0;1] .
-мер, слабо сходящихся к
xn*
n 1
конечных линейных ком-
x* . Кроме того, для любого xn* найдется последовательность
C[0,1] такая, что
xn* xmn
0 для любого m N
(20)
и
lim B( xmn ,1)
при m
B(0, r )
(21)
.
Действительно, пусть
xn*
Nn
k
xk
– произвольная конечная комбинация
-мер. Для
k 1
m
N разделим сегмент [0;1] на m частей длины
чим Z n
xk
Nn
k 1
1
: Ii
m
i i 1
;
,i
m m
0,1,..., m 1 . Обозна-
. В каждом из Ii выберем точку tim и ее окрестность U (tim ) такую, что
U (tim )  Z n
Далее, для m
(a1 ) xmn tim
(22)
N выберем непрерывную на [0;I] функцию xmn , удовлетворяющую условиям:
1 r , если i четно;
r 1, если i нечетно;
(a2 ) 0 xmn (t ) 1 r при t U (tim ), где i четно;
(a3 ) r 1 xmn (t ) 0 при t U (tim ), где i нечетно;
m -1
(a4 ) x (t ) 0 при t [0;1] \ U (tim )
n
m
.
i 0
Равенство (21) доказывается также как и аналогичные равенства в предыдущих утверждениях.
Далее, согласно утверждению теоремы 1.3.1 ([2])
lim P xn* , xn* ( xnт )
42
Р( x* ,0) .
(23)
Раздел II.
Математический анализ
Для того, чтобы можно было воспользоваться свойством (С2) [2] предела последовательn
ности множеств, осталось доказать равенство lim B( xn ,1)
B(0, r ) .
Это равенство доказывается также как и равенство (21).
Предложение доказано.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Боровков И.Н. О некоторых вариантах проблемы Хоффмана-Иоргенсена // РГПУ, Мин. обр.
РФ; СПб; 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 14.01.93, № 67-В 93.
2.
Боровков И.Н. О некоторых вопросах аппроксимации множеств в банаховых пространствах //
РГПУ, Мин. обр. РФ; СПб; 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 11.10.93, № 2557-В 93.
3.
Рисс Е.А. Меры, совпадающие в малых шарах // Курский гос. пед. ин-т Мин. нар. обр. РСФСР;
Курск, 1989. Рук. деп. в ВИНИТИ 05.02.90, № 650-В90.
О.С. Кардаильская
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
ПРИ ОВЛАДЕНИИ КУРСОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Изменение учебных планов и стандартов высшего образования позволяет говорить об устойчивой тенденции возрастания доли самостоятельной работы студентов по отношению к числу
часов аудиторной нагрузки. Так, уже сейчас, по действующему учебному плану, на самостоятельную работу студентов практически по всем дисциплинам приходится порядка половины учебного
времени. Для преподавателей не является секретом, что студенты, обучающиеся в вузе, даже к
концу пятого курса не обладают сформированными навыками в выполнении самостоятельных и
творческих работ. Это проявляется в их беспомощности при написании курсовых работ, рефератов, выпускной квалификационной работы. У студентов напрочь отсутствует навык самостоятельной работы с литературой, достаточно ограничено умение анализировать полученную каким-либо
образом информацию, выделять главное, делать собственные выводы, систематизировать и обобщать факты без помощи преподавателя. Это обуславливает необходимость более детально обратиться к самому понятию самостоятельной работы и приступить к поиску средств ее оптимизации.
Так что же понимают в современной методической литературе под термином «самостоятельная работа»?
Самостоятельная работа – достаточно широкое понятие. Оно, вопреки распространенному
мнению, включает в себя не только познавательную деятельность, которую студенты выполняют в
часы, когда нет аудиторных занятий, но и ту самостоятельную работу, которую они осуществляют
во время лекций, семинаров, практических занятий. Учитывая, что самостоятельную работу студентов можно оценивать и как процесс, и как результат, можно говорить о двустороннем характере содержания самостоятельной работы студентов. С одной стороны, это способ деятельности
студентов во всех организационных формах учебных занятий и во внеаудиторное время, когда они
самостоятельно изучают материал, а с другой стороны – это вся совокупность учебных заданий,
которые должен выполнить студент во время обучения в ВУЗе. Многие авторы рассматривают
43
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
598 Кб
Теги
пространство, множества, функции, непрерывные, аппроксимация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа