close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Абстрактные вольтерровы операторы и обобщенные функционально-дифференциальные уравнения.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГУ, т. 12, вып. 4, 2007
АБСТРАКТНЫЕ ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ОБОБЩЕННЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1
c
°
A. Ponossov, Е. С. Жуковский
В 80-х гг. XX века Николаем Викторовичем Азбелевым была разработана концепция линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения, одной из центральных идей которой является представление различных линейных дифференциальных уравнений в виде операторных уравнений в соответствующих банаховых функциональных пространствах. При рациональном выборе пространства эта теория «позволяет применять
стандартные схемы и теоремы к задачам, которые ранее требовали индивидуального подхода и специальных построений» [1, c. 10]. В [2] показано, что многие классы линейных дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнение относительно производной
решения в пространстве функций, суммируемых по некоторой мере, специально построенной для исследуемого уравнения. В предлагаемой работе мы используем такие функциональные пространства для изучения нелинейных функционально-дифференциальных
уравнений. Исследование призвано также показать эффективность идеи нелинейного абстрактного уравнения.
Зафиксируем интервал [0, T ) и σ-аддитивную, положительную, конечную борелевскую
меру µ на этом интервале. Добавив к борелевской σ-алгебре все множества нулевой внешней
меры, мы считаем меру µ полной. Пусть Lp ≡ Lp ([0, T ), Rn , µ) — пространство измеримых
и суммируемых в p-ой степени, 1 6 p < ∞, по мере µ функций y : [0, T ) → Rn с нормой
¯
¡ R ¯
¢
¯y(s)¯p µ(ds) 1/p ; ACp ≡ ACp ([0, T ), Rn , µ) — пространство абсолютно непреkykL =
[0,T )
рывных относительно
меры µ функций x : [0, T ) → Rn , которые представимы в виде
R
x(t) = x(0) +
y(s)µ(ds), где производная (Радона-Никодима) y ∈ Lp , с нормой kxkAC =
[0,t)
= kykL + |x(0)|.
Объектом исследования является следующее обобщенное нелинейное дифференциальное уравнение:
dx(t) = (F x)(t)µ(dt), t ∈ [0, T ).
(1)
Здесь оператор F : ACp → Lp является вольтерровым, то есть, во-первых, (F · )(0) = const,
если µ({0}) > 0; во-вторых, при любом t ∈ (0, T ) из равенства аргументов x(s) = x
b(s) на
интервале [0, t) следует равенство образов (F x)(s) = (F x
b)(s) на отрезке [0, t]. Рассматриваемое уравнение охватывает многие классы дифференциальных уравнений. При соответствующем выборе меры µ, в виде (1) записываются обыкновенные уравнения и уравнения
с запаздыванием, уравнения с импульсными воздействиями (включая бесконечное количество импульсов), разностные уравнения, некоторые важные классы стохастических дифференциальных уравнений. В работе получены утверждения о локальной разрешимости,
продолжаемости решений и однозначной разрешимости задачи Коши с начальным условием
x(0) = α
(2)
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-01-00305).
509
Вестник ТГУ, т. 12. вып. 4, 2007
для уравнения (1). Отметим, что вR случае, когда оператор F является вольтерровым и
аффинным (более точно, (F x)(t) =
Q(t, s)dx(s)+f (t)) условия разрешимости уравнения
[0,t)
(1) были найдены в [2].
Т е о р е м а 1. Пусть оператор F : ACp → Lp удовлетворяет следующему условию:
∃ ∆ > 0 ∃ q < 1 ∀ ξ1 , ξ2 0 6 ξ1 < ξ2 6 T
µ( (ξ1 , ξ2 ) ) < ∆
∀ x, x
b ∈ ACp
³ Z ¯
´1/p
¯p
¯ (F x)(s) − (F x
x(t) = x
b(t), ∀ t ∈ [0, ξ1 ] ⇒
b)(s) ¯ µ(ds)
6 qkx − x
bk
(ξ1 , ξ2 )
(считаем, что для любых x, x
b ∈ ACp выполнено x(t) = x
b(t) на множестве [0, 0] = {0},
если мера этого множества µ ({0}) = 0). Тогда при любом α ∈ Rn задача (1)–(2) имеет
единственное глобальное решение, и всякое локальное решение является его частью.
Т е о р е м а 2. Пусть оператор F : ACp → Lp является вполне непрерывным. Тогда
при любом α ∈ Rn задача (1)–(2) локально разрешима; любое локальное решение является
частью либо глобального, либо предельно продолженного решения.
Доказательство перечисленных утверждений использует результаты исследования [3]
абстрактных вольтерровых операторов в произвольных банаховых пространствах.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований,
2002. 384 с.
2.
Litsyn E., Ponossov A. Equations with the unknown functions under the differential. I: Existence and
uniqueness results.
3.
Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем.
сб. М., 2006. Т. 197, № 10. С. 33–56.
Ponossov Arcady
Norwegian University of Life Sciences
Norway, Ås
e-mail: arkadi@umb.no
Жуковский Евгений Семенович
Тамбовский государственный ун-т
Россия, Тамбов
e-mail: zukovskys@mail.ru
Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.
510
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
559 Кб
Теги
функциональная, уравнения, абстрактную, дифференциальной, вольтерровыми, обобщенные, оператора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа