close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей.

код для вставкиСкачать
Ю. А. Никандрова
Автокорреляционные функции
одномерных хаотических моделей
Автокорреляционные функции — это важные количественные характеристики
эволюции случайных и хаотических процессов. Объектом исследования работы яв
ляются одномерные хаотические модели, а именно, одномерные хаотические ото
бражения, итерационная функция которых преобразует интервал области опреде
ления (единичный интервал) в себя, и при этом модель демонстрирует хаотическое
поведение. В статье описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреля
ционной функции для подобных моделей. Показано, что точный расчет автокорреля
ционной функции рассмотренных одномерных хаотических моделей не требует зна
ния полного набора собственных функций эволюционного оператора. Определены
перспективы практического использования представленного в статье математиче
ского аппарата.
П
ри создании математических моде
лей нелинейных явлений и про
граммных реализаций этих моделей
одной из главных задач является выбор ме
тодов отображения процессов. Значимость
решения этой задачи обусловлена следую
щими факторами:
· используемая модель нелинейного про
цесса или явления должна обладать высо
кой точностью и в то же время быть доста
точно простой для снижения временны´х
и стоимостных затрат на ее создание;
· модель нелинейных явлений может ис
пользоваться для генерации состояний сис
темы или отдельных ее параметров как на
чального состояния, так и в процессе функ
ционирования (в имитационном моделирова
нии) с соблюдением принципов случайности;
· модели нелинейных процессов могут
применяться для тестирования качества по
строения различных систем с точки зрения
эффективности и устойчивости (модели по
рождают значения факторов или показате
лей внешней среды, которые влияют на
функционирование исследуемой системы).
Рассмотрим приведенные положения
подробнее.
122
Соблюдение принципа точности и адек
ватности модели реальному процессу или
системе является основополагающим прин
ципом моделирования. При этом необходимо
учитывать, что более точная модель системы,
как правило, — более дорогая. Затраты мо
гут быть определены как время разработки
модели и ее тестирования или могут быть
выражены через финансовую оценку про
цессов анализа явлений и моделирования.
Именно данное положение (экономической
обоснованности процесса моделирования)
в совокупности с определенными трудностя
ми построения самих моделей длительное
время сдерживало широкое распростране
ние использования нелинейных и стохасти
ческих моделей в различных областях эконо
мики и биологии. Это приводило к низкой точ
ности получаемых результатов при модели
ровании сложных динамических процессов.
Процесс создания сложных моделей
часто связан с необходимостью генерации
стартовых состояний параметров и элемен
тов системы. Невозможность ручного ре
шения проблемы обусловлена большим
числом отдельных параметров системы или
наличием взаимозависимостей между фак
торами. В случае создания динамических
или имитационных моделей возникает по
Вопросы теории R Хаос и риски
xn+1 = j( xn , l ), n = 0,1, 2,K ; xn Î [a, b];
(1)
где j ( x n , l) — кусочномонотонная итераци
онная функция;
l — параметр.
В работе исследовались модели, итера
ционная функция которых преобразует ин
тервал области определения [a, b] в себя,
и при этом она демонстрирует хаотическое
поведение. Итерационная функция облада
ет чувствительностью к начальным услови
ям x0, т. е. траектории (орбиты) x0, x1, x2, ...,
xn, рассматриваемой модели не облада
1
ют устойчивостью по Ляпунову (соответст
вующие показатели Ляпунова положитель
ны). Как следствие, одномерная модель (1)
демонстрирует квазислучайное поведение
(в этом контексте говорят о «детерминиро
ванном» хаосе), что делает в принципе не
возможным траекторное описание матема
тической модели. В связи с этим переходят
от траекторного описания к вероятностно
му, вводят плотности распределения веро
ятности, с помощью которых описывают ве
роятность попадания x n (при n = 0,1, 2,K)
в тот или иной подынтервал области опре
деления [a, b].
Подобные хаотические модели интен
сивно исследуются последние 25–30 лет.
Именно при исследовании их поведения и
свойств были открыты и изучены явления, ха
рактерные для более сложных нелинейных
систем. Например, на основе одномерных
хаотических отображений открыты сцена
рии перехода в динамических системах от
регулярного режима к хаотическому, впо
следствии неоднократно подтвержденные
многочисленными экспериментами для сис
тем различной природы. Это говорит о важ
ной практической значимости дискретных
хаотических моделей при решении проблем
в самых различных областях науки — в эко
номике, физике, химии, социологии и т. д.
[4, 7, 8, 13, 15].
Приведем несколько примеров.
Устойчивость по Ляпунову: траектории, выходящие из eблизких значений остаются d(e)близкими при всех
последующих n > n 0 . (Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет,
2001.)
1
Вопросы теории R Хаос и риски
123
Ю. А. Никандрова
требность генерации последовательности
состояний отдельного показателя (факто
ра), где каждое значение соотносится с пре
дыдущими состояниями особым образом.
То есть существует некоторая зависимость
между текущим и предыдущими состояния
ми фактора. Однако принцип формирова
ния зависимости может быть как строго оп
ределенным, так и случайным. Возможность
описания хаотический явлений представля
ет наибольшую ценность при создании ими
тационных моделей сложных динамических
систем.
Последняя указанная область примене
ния математических моделей нелинейных
явлений — моделирование состояний внеш
ней среды для оценки надежности и устой
чивости модели системы в целом. Иными
словами — модель случайных нелинейных
явлений служит основой генерации состоя
ний факторов внешней (по отношению к сис
теме) среды, которые поступают на вход мо
дели системы. Кроме того, возможна провер
ка устойчивости системы к внешним воздей
ствиям или ее адаптации при возникновении
случайных событий, как во внешней среде,
так и внутри системы (моделирование сбо
ев или отказов элементов системы).
Традиционно нелинейные динамические
системы описывали с помощью дифферен
циальных уравнений. В настоящее время все
чаще для этих целей используют дискретные
математические модели (отображения), за
данные разностными уравнениями.
Объектом исследования в данной рабо
те являются одномерные хаотические моде
ли в форме разностных уравнений (отобра
жения) — одни из базовых математических
моделей, и вместе с тем, одни из простей
ших. В общем виде одномерные хаотиче
ские модели задаются с помощью итераци
онного соотношения:
Одномерные хаотические модели ис
пользуются в процессе:
· анализа эволюции стоимости акций, об
лигаций, процентных ставок [16];
· реализации датчиков псевдослучайных
чисел, с заданным распределением;
· описания хаотических генераторов био
логических ритмов [10];
· разработки новых методов реализации
схем кодирования и обработки информа
ции [5].
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Основным математическим аппаратом
описания и исследования подобных хаоти
ческих моделей является операторный под
ход — строится эволюционный оператор,
описывающий трансформацию плотностей
вероятности во времени, на основе которо
го исследуются хаотические модели. В слу
чае, когда в качестве моделей исследуются
одномерные хаотические отображения,
эволюционным оператором является опе
ратор Фробениуса–Перрона, который опи
сывает трансформацию распределений ве
роятности во времени [17]:
1
r n+1( x ) = Ur n ( x ) = ò d(x - j( x )) r n ( x )dx,
(2)
0
где r n ( x ) — плотность вероятности на nм
шаге итераций (начальное значение x 0 ).
Неподвижная точка оператора Фробе
ниуса–Перрона называется инвариантной
плотностью модели (1). В асимптотике, при
итерациях, начальная плотность распреде
ления стремится к инвариантной, это соот
носится с понятием установления равно
весного состояния модели.
Оператор Фробениуса–Перрона (зна
ние его собственных функций и собствен
ных чисел) позволяет исследовать одно
мерные хаотические модели, предсказы
вать их поведение во времени, а также изу
чать их свойства, например, исследовать
автокорреляционные свойства, скорость
установления инвариантного распределе
ния (инвариантной плотности). Автокорре
ляционные функции являются важными ко
личественными характеристиками эволю
ции случайных и хаотических процессов.
Например, автокорреляционные функции
применяются в экономике при корреляци
онном анализе эволюции цен [16].
В статье демонстрируется техника расче
та автокорреляционных функций одномер
ных хаотических отображений посредством
2
неоднократного действия , ассоциирован
ного с данным отображением оператора
Фробениуса–Перрона на x. Успех подобных
вычислений напрямую зависит от знания
собственных функций данного оператора.
Хотя, в случае некоторых симметричных ото
бражений, конечный результат определяется
однократным действием оператора Фробе
ниуса–Перрона (а, следовательно, не обя
зательно знание полного набора собствен
ных функций), приводя к dобразной авто
корреляционной функции.
Отображения, имеющие dобразные ав
токорреляционные функции, используются
для моделирования генераторов дискрет
ного белого шума, например, логистичес
кое и пирамидальное отображения [3]. Ал
горитм для аналитического расчета авто
корреляционных функций опробован на
примере простейших моделей хаотических
систем — одномерных кусочнолинейных
отображений, обладающих равномерным
инвариантным распределением на единич
ном отрезке, а также на примере jотобра
жения (с кусочнопостоянным инвариант
ным распределением) и его базового эндо
морфизма.
Дадим определение автокорреляцион
ной функции (согласно [12]).
Автокорреляционной функцией одно
мерного хаотического отображения
xn+1 = j( xn ), n = 0, 1,K
(3)
2
Суть метода описана в работе [6], а в [9,11] он адаптирован для одномерных хаотических моделей (в частно
сти, исключено требование нормировки величин).
124
Вопросы теории R Хаос и риски
(xn - xn )(x0 - x0 )
,
2
(x 0 - x 0 )
R( n) =
учитывая, что средние значения x n равны
для любых допустимых значений n, т. е.
x n = x 0 , получим формулу для автокорреля
ционной функции:
R( n) =
(xn - xn )(x0 - x0 )
=
2
(x 0 - x 0 )
.
=
x n x 0 - x 0 × ( x n + x 0 ) + (x 0 )
2
x02 - 2(x0 ) + (x0 )
2
2
=
2
b
a
*
где f ( x) — инвариантная плотность распре
деления;
(a, b) — интервал определения рассмат
риваемого отображения (3).
Обозначим U — оператор Фробениуса–
Перрона, U n — nе действие оператора.
Оказалось, что [6]
b
xn x0 = ò j ( n ) ( x )x × f * ( x )dx =
a
= ò j(j
a
j( x ) = {G × x}, x Î [0,1], G ³ 2.
. (4)
xn x0 = j ( n ) ( x0 )x0 = ò j ( n ) ( x )x × f *( x ) dx,
b
( n - 1)
Таким образом, задача о нахождении авто
корреляционной функции сводится, по сути,
к нахождению nго действия оператора Фро
бениуса–Перрона на начальное значение.
Приведем результаты вычислений по
формуле (4), с использованием соотноше
ния (6), автокорреляционных функций ряда
одномерных хаотических моделей с равно
мерными инвариантными распределениями
и их нелинейных преобразований.
2
Заметим, что при нахождении математи
ческого ожидания и дисперсии x 0 , x 02 , как
правило, не возникает никаких сложностей.
Затруднения часто появляются при вычис
лении x n x 0 , изза того что nя итерация за
дана функцией, зависящей в неявной фор
ме от начального значения x 0 .
Введем обозначение для nй итерации
отображения (3) x 1 = j( x 0 ), x 2 = j (j( x 0 )) =
= j ( 2 ) ( x 0 ),..., x n = j ( n ) ( x 0 ), тогда можем запи
сать
b
(6)
a
Сдвиг Бернулли. Итерационная функ
ция (рис. 1)
x n x 0 - (x 0 )
x02 - (x0 )
b
xn x0 = ò x × U ( n ) x dx = x0 U ( n ) x0 .
( x )) × x × f ( x )dx = K = ò x × U n (x × f *( x )) dx. (5)
Оператор Фробениуса–Перрона
Ur( x ) =
1
G
G -1
å r æçè
k=0
k+xö n
1 æ
1ö 1
÷, U x = n ç x - ÷ + .
G ø
G è
2ø 2
Автокорреляционная функция (рис. 2)
R( n) =
1
= e- ln ,
Gn
(7)
где l = lnG — показатель Ляпунова.
1
.
2n
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований сдвига Бернулли пред
ставлены в табл. 1.
В случае G = 2, получим R( n) =
Инверсный сдвиг Бернулли. Итераци
онная функция (рис. 3) [9]:
G
kö
æ k -1
j( x ) = {- G × x} = å ( k - Gx ) ×1 ç
£ x £ ÷,
Gø
è G
k =1
x Î [0, 1], G ³ 2.
Оператор Фробениуса–Перрона
Ur( x ) =
1 æ
1ö 1
1 G æk-xö n
÷+ .
÷, U x =
å rç
n çx G k =1 è G ø
( -G ) è
2ø 2
Автокорреляционная функция имеет вид
*
a
В частном случае, когда инвариантная
плотность является равномерной, соотно
шение (5) упрощается:
Вопросы теории R Хаос и риски
R( n) =
1
n
- ln
,
n = ( -1) × e
(- G )
(8)
где l = lnG — показатель Ляпунова инверс
ного сдвига Бернулли (рис. 4).
125
Ю. А. Никандрова
с кусочнолинейной итеративной функцией
j(x), определенной на некотором интервале
(a, b), будем называть функцию R(n), опре
деляемую соотношением:
Рис. 1. Итерационная функция
сдвига Бернулли (при G = 2)
Рис. 2. Автокорреляционная функция
сдвига Бернулли
Таблица 1
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований сдвига Бернулли
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Преобразование
Формула
Квадратичное
yn = x
Кубическое
y n = xn3
2
n
Автокорреляционная функция
n=0
ìï1,
1
1
R( n) = í
21× n+2 + 15 × n+4 , n ³ 1
2
4
îï
ìï1,
R( n) = í 4 1 77 1 14 1 14
×
+
×
+ ×
- ,
ïî 45 8n 45 4n 15 2n 9
Рис. 3. Итерационная функция
инверсного сдвига Бернулли (при G = 2)
126
n=0
n ³1
Рис. 4. Автокорреляционная функция
инверсного сдвига Бернулли
Вопросы теории R Хаос и риски
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований
инверсного сдвига Бернулли
Преобразование
Формула
Квадратичное
yn = x
Кубическое
y n = xn3
2
n
Автокорреляционная функция
n=0
ì1,
ï
n+1
n+ 2
R( n) = íæ 1 ö
1
ö
æ
+ 15 × ç - ÷ , n ³ 1
ïîçè 4 ÷ø
è 2ø
n=0
ì1,
ï
n
n
n
R( n) = í 4 æ 1 ö
7 æ 1 ö 14 æ 1 ö
× +
× ç ÷ + × ç- ÷ , n ³1
ïî 45 çè 8 ÷ø
45 è 4 ø 15 è 2 ø
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований инверсного сдвига
Бернулли представлены в табл. 2.
Пирамидальное отображение. Итера
ционная функция (рис. 5)
ìx
,
x Î ( 0, p )
ïï p
j( x ) = í
, p + q = 1.
ï1 - x , x Î ( p,1)
ïî q
.
1ö 1
næ
U n x = (p - q) ç x - ÷ + .
2ø 2
è
Автокорреляционная функция
R( n) = ( p - q ) .
n
(9)
Характер поведения автокорреляцион
ной функции (9) будет зависеть от соотноше
ния между p и q. При p > q автокорреляцион
ная функция монотонно убывает, оставаясь
положительной. При p < q автокорреляци
онная функция является знакопеременной,
убывая по модулю. Когда эти параметры
равны, что соответствует случаю симмет
ричного распределения, автокорреляцион
ная функция обращается в ноль для любых
n ³ 1. Поэтому симметричное пирамидаль
ное отображение может рассматриваться
как хаотический генератор дискретного бе
лого шума:
ì1, n = 0
.
R( n) = í
î0, n ³ 1
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований пирамидального ото
бражения представлены в табл. 3.
Рис. 5. Итерационная функция пирамидального
æ
ö
отображения çпри p = q = 1÷
2
è
ø
Оператор Фробениуса–Перрона
Ur( x ) = p × r( px ) + q × r(1 - qx ),
Вопросы теории R Хаос и риски
«V»$образное отображение. Итераци
онная функция (рис. 6)
ì1 - 2x, 0 £ x £ 1
ï
2
.
j( x ) = í
1
ï2x - 1,
£ x £1
î
2
127
Ю. А. Никандрова
Таблица 2
Таблица 3
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований
пирамидального отображения
Преобразование
Формула
Автокорреляционная функция
Квадратичное
y n = xn2
n=0
ìï1,
1
R( n) = í
-14 × n+2 , n ³ 1
ïî
4
Кубическое
y n = xn3
n=0
ìï1,
R( n) = í 56 1
× , n ³1
ïî 45 4n
Автокорреляционная функция
ì1, n = 0
.
R( n) = í
î0, n ³ 1
(10)
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований «V»образного ото
бражения представлены в табл. 4.
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Двойное пирамидальное отображе$
ние. Итерационная функция (рис. 7)
ì4x,
ï
ï
ïï4x - 1,
j( x ) = í
ï3 - 4x,
ï
ï4 - 4x,
ïî
Рис. 6. Итерационная функция
«V»образного отображения
Оператор Фробениуса–Перрона
Ur( x ) =
1 æ æxö
æ x öö
çr ç ÷ + r ç1 - ÷ ÷.
2 è è2ø
è 2 øø
1
4
1
1
£x£
4
2.
1
£x£3
2
4
3
£ x £1
4
0£x£
Оператор Фробениуса–Перрона
Ur( x ) =
1 æ æxö
æ x +1ö
æ3-xö
æ x öö
çr ç ÷ + r ç
÷ + rç
÷ + r ç1 - ÷ ÷.
4 è è4ø
4
4
è
ø
è
ø
è 4 øø
Таблица 4
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований
«V»$образного отображения
Преобразование
Формула
Квадратичное
yn = x
Кубическое
y n = xn3
128
2
n
Автокорреляционная функция
n=0
ìï1,
R( n) = í 1
, n ³1
îï 4n
n=0
ìï1,
R( n) = í 7 1 35
×
+
, n ³1
ïî18 4n 54
Вопросы теории R Хаос и риски
Ю. А. Никандрова
Рис. 7. Итерационная функция двойного
пирамидального отображения
Рис. 8. Итерационная функция двойного
«V»образного отображения
Автокорреляционная функция
ì1, n = 0
.
R( n) = í
î0, n ³ 1
Оператор Фробениуса–Перрона
(11)
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований двойного пирамидаль
ного отображения представлены в табл. 5.
Двойное «V»$образное отображение.
Итерационная функция (рис. 8)
ì1 - 4x,
ï
ï
ïï2 - 4x,
j( x ) = í
ï4x - 2,
ï
ï4x - 3,
ïî
1
4
1
1
£x£
4
2.
1
3
£x£
2
4
3
£ x £1
4
0£x£
1 æ æ1 - xö æ 2 - x ö æx + 2 ö æ x + 3 ö ö
Ur(x)= çr ç
÷+ r ç
÷ +rç
÷ + rç
÷ ÷.
4 è è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 øø
Автокорреляционная функция
ì1, n = 0
.
R( n) = í
î0, n ³ 1
(12)
Автокорреляционные функции нелиней
ных преобразований двойного «V»образ
ного отображения представлены в табл. 6.
f$отображение. Итерационная функция
fотображения (рис. 9)
0 £ x £ j -1
ìjx,
,
j( x ) = {jx} = í
-1
îjx - 1, j < x £ 1
1+ 5
где иррациональный коэффициент j=
»
2
» 1,618 — число Фидия.
Таблица 5
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований
двойного пирамидального отображения
Преобразование
Формула
Автокорреляционная функция
Квадратичное
y n = xn2
n=0
ìï1,
1
R( n) = í
-29 × n+1 , n ³ 1
ïî
4
Кубическое
y n = xn3
n=0
ìï1,
R( n) = í 119 1
×
, n ³1
ïî 45 16n
Вопросы теории R Хаос и риски
(13)
129
Таблица 6
Автокорреляционные функции нелинейных преобразований
двойного «V»$образного отображения
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Преобразование
Формула
Автокорреляционная функция
Квадратичное
yn = x
2
n
n=0
ìï1,
1
R( n) = í
31×
, n ³1
ïî 16n+1
Кубическое
y n = xn3
n=0
ìï1,
R( n) = í133 1
×
, n ³1
îï 45 16n
Рис. 9. fотображение.
График итерационной функции: а) 1я итерация, б) 3я итерация,
в) 7я итерация, г) 1я итерация, 100 реализаций (m = 0 ,K ,99 — номер реализации)
130
Вопросы теории R Хаос и риски
ì1 æ æ x ö æ x + 1ö ö
-1
ï j ççf çç j ÷÷ + f çç j ÷÷ ÷÷, 0 £ x £ j
ï è è ø è
øø
Uf ( x ) = í
.
ï 1 f æç x ö÷,
-1
<
£
1
j
x
ïî j ç j ÷
è ø
(14)
Особенность оператора Фробениуса–
Перрона (14) fотображения в том, что он
действует избирательно на функцию f ( x)
в зависимости от того, к какому подынтер
валу области определения принадлежит ар
гумент x.
В нашем случае инвариантная плотность
оператора Фробениуса–Перрона (14) fотоб
ражения имеет вид
ì j
-1
ïï j 2 + 1 , 0 £ x £ j
.
f (x) = í 2
ï j , j -1 < x £ 1
ïî j 2 + 1
Рис. 10. fотображение.
Инвариантная плотность
Вопросы теории R Хаос и риски
1
xn x0 = (T n x0 ) × x0 = ò (T n x ) × x × f * ( x )dx =
0
b -1
1
0
b -1
= ò T n -1( jx ) × x × f *( x )dx + ò T n -1( jx - 1) × x × f *( x )dx.
3
*
В отличие от моделей рассмотренных
выше, инвариантная плотность распреде
ления (15) представляет собой кусочноли
нейную функцию (рис. 10). На рис. 11 про
иллюстрирована трансформация начально
го распределения f 0 ( x) = x + 1 к инвариант
2
ному (15), под действием оператора Фробе
ниуса–Перрона (14) fотображения.
Поскольку инвариантная плотность jото
бражения не является равномерной, как
это было в рассмотренных выше примерах,
то формулу (6) использовать нельзя. Рас
смотрим этот случай подробно.
Найдем среднее значение x n x 0 для
jотображения, используя (5). Введем опера
тор T, преобразующий x 0 в x 1 , тогда nю ите
рацию можно выразить как x n = T n x 0 , где
T n — представляет собой nе действие на
начальное значение x 0 , тогда
(15)
Выполнив замену переменных, в первом
интеграле jx, а во втором jx - 1, получим
Рис. 11. fотображение. Трансформация
начального распределения f0 ( x )= x + 1
2
131
Ю. А. Никандрова
Фигурные скобки в соотношении (13)
означают выделение дробной части числа.
jотображение содержит две линейные
ветви, из которых только одна переводит
область задания ( 0, j -1 ) на единичный ин
тервал.
Оператор Фробениуса–Перрона fотоб
ражения
1
ная функция (это легко проверить подста
новкой).
Составим линейную комбинацию из пер
вых трех собственных функций [11] моди
фицированного оператора Фробениуса–
Перрона и выразим x:
xn x0 = ò T n -1( y ) × j -1y × f *( j -1y )j -1dy +
0
j -1
+ ò T n -1( y ) × j -1(1 + y ) × f * (j -1(1 + y )) j -1dy =
0
1
= òT n -1( y )× j -1 × (j -1y × f *( j -1y ) + j-1(1 + y ) ´
x=
0
´ f *(j-1(1 + y )) × Q( y ))dy =
1
= òT
0
n -1
Теперь легко найти nкратное действие
модифицированного оператора Фробениу
са–Перрона на x:
1
( y ) × * [j-1 (j-1y × f *( j-1 y ) +
f ( y)
$ =
Ux
+ j -1(1 + y ) × f * ( j -1(1 + y )) × Q( y ))]× f *( y )dy =
1
= ò T n - 1( y ) ×
0
=
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
ì1, 0 £ x £ j -1
где Q( x) = í
.
-1
î0, j < x £ 1
Выполним подстановку явного вида соб
ственных функций [11]:
Отметим, что подынтегральное выраже
ние содержит в неявном виде модифициро
ванный оператор Фробениуса–Перрона [6],
который определяется следующим обра
зом:
1
1
U(f *( y ) × y) = * [j -1 × (j -1y × f *( j -1y ) +
f (y)
f (y)
*
+ j -1(1 + y ) × f * ( j -1(1 + y )) × Q( y ))],
тогда
1
$ × f * ( y )dy.
xn x0 = ò T n -1( y ) × Uy
(16)
0
Выполняя аналогичные преобразова
ния, понижаем кратность действия операто
ра T, одновременно повышая кратность
действия модифицированного оператора
Фробениуса–Перрона, из (16) выводим сле
дующее соотношение:
1
xn x0 = xU$ ( n ) x = ò xU$ ( n ) × f *( y )dy.
(17)
0
Модифицированный оператор Фробе
ниуса–Перрона примечателен тем, что его
инвариантной плотностью является единич
132
f
- f -3U$ y1( x ) + U$ y 2 ( x ) =
1 + f2
f
- f -3 ( - f -2 )y1( x ) + f -1U$ y 2 ( x ) Þ
1 + f2
f
U$ ( n ) x =
- f -3 ( -1)n f -2 ny1( x ) + f - ny 2 ( x ).
1 + f2
1
[j -1 × (j -1y × f *( j -1y ) +
f *( y )
+ j -1(1 + y ) × f *( j -1(1 + y )) × Q( y ))]× f *( y )dy,
$ =
Uy
j
- j -3y1( x ) + y 2 ( x ).
1 + j2
æ
ö
1
f
- f -3 ( -1)n f -2 n çç + Q( x ) ÷÷ +
2
-2
1+ f
è 1+ f
ø
j
-n
-1
-3
+ f (- f + f Q( x ) + x) =
+
1 + j2
U$ ( n ) x =
æ
æ
j2
+ j - n çç j -3 (1 - ( - j )- n ) × ççQ( x ) 1 + j2
è
è
ö
j
÷÷ + x +
1
j2
ø
ö
÷.
÷
ø
Таким образом,
æ
æ
j2
U$ ( n ) x = j - n çç j -3 (1 - ( - j )- n ) × ççQ( x ) 1 + j2
è
è
j ö
j
÷+
.
+x1 + j 2 ÷ø 1 + j 2
ö
÷÷ +
ø
(18)
С помощью соотношения (18) не состав
ляет труда рассчитать автокорреляционную
функцию jотображения (рис. 12):
æ 1
ö
R( n) = ç1 - j -1(1 - ( - j )- n ) ÷j - n .
è 2
ø
(19)
Это же выражение можно записать с по
мощью показателя Ляпунова l = ln j [6]:
æ 1
ö
R( n) = ç1 - e- l (1 - ( -1)n e- ln ) ÷ e- ln .
è 2
ø
(20)
Базовый эндоморфизм f$отображе$
ния. Впервые данное отображение было
Вопросы теории R Хаос и риски
Ю. А. Никандрова
n
R(n)
n
e
–ln(f)n
0
1
0
1
1
0,309
1
0,618
2
0,309
2
0,382
3
0,146
3
0,236
4
0,107
4
0,146
5
0,06
5
0,09
6
0,039
6
0,056
7
0,023
7
0,034
8
0,015
8
0,021
9,037 · 10
–3
9
0,013
5,639 · 10
–3
10
8,141 · 10
3,464 · 10
–3
11
5,025 · 10–3
2,149 · 10
–3
12
3,106 · 10–3
1,325 · 10
–3
13
1,919 · 10
8,201 · 10
–4
14
1,186 · 10–3
5,064 · 10
–4
15
7,331 · 10
9
10
11
12
13
14
15
–3
–3
–4
Рис. 12. Автокорреляционная функция fотображения
получено в работе [9]. Итерационная функ
ция:
ì
j -1
0 £a £
ïja ,
1 + j -2
ï
-2
-1
1
j
j
ï
~
. (21)
j(a) = ía +
,
<a £
-2
-2
1
1
1
j
j
j -2
+
+
+
ï
2
1
ïj 2 a - j
,
< a £1
-2
ï
1
1
+
+
j
j -2
î
1+ 5
где иррациональный коэффициент j=
»
2
» 1,618 — число Фидия.
Вопросы теории R Хаос и риски
График итерационной функции (21) пред
ставлен на рис. 13.
Оператор Фробениуса–Перрона базо
вого эндоморфизма:
Ur(a ) =
ì -1 -1
1 ö
1
-2 æ -2
÷, 0 £ a £
ïj r(j a ) + j rççj a 1+ j-2 ÷ø
1 + j-2
ï
è
. (22)
=í
-2
1
ïr æça - j ö÷,
<
<
a
1
ïî çè 1+ j -2 ÷ø
1 + j-2
133
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Рис. 13. Базовый эндоморфизм fотображения.
График итерационной функции: а) 1я итерация, б) 3я итерация, в) 7я итерация,
г) 1я итерация, 100 реализаций (m = 0 ,K ,99 — номер реализации)
Задача определения автокорреляцион
ной функции базового эндоморфизма fото
бражения может быть успешно решена ана
литически, если будет найдено nкратное
действие оператора Фробениуса–Перрона
на a.
Выведем формулу для подсчета авто
корреляционной функции базового эндо
морфизма fотображения, используя мето
дику, подробно рассмотренную выше, и, ес
тественно, определение автокорреляцион
ной функции (4).
134
Инвариантная плотность базового эндо
морфизма [9] представляет собой равномер
ное распределение, и это обстоятельство
несколько упрощает задачу. На рис. 14 про
иллюстрирована трансформация начального
распределения r 0 (x) = x + 1 к инвариантному
2
равномерному распределению r*(x) =1 под
действием оператора Фробениуса–Перро
на базового эндоморфизма fотображения.
Найдем nкратное действие оператора
Фробениуса–Перрона на a. Для этого со
Вопросы теории R Хаос и риски
Ю. А. Никандрова
Рис. 14. Базовый эндоморфизм fотображения.
Трансформация начального распределения r 0 ( x ) = x + 1
2
j -1a + 2b
=0
1 + j -2
ставляем линейную комбинацию из первых
трех собственных функций [9] оператора
Фробениуса–Перрона, выражающую a:
и-
a = ay 2 (a ) + by 3 (a ) + c =
æ
ö j -1a + 2b
a
b
b
Q(a ) +
= çç - + c ÷÷ +
-2
-2
2 1+ j
1 + j -2
è 1+ j
ø
-2
a
b
b
1
1
- +c=- +c=0Þc= ,
-2
-2
1+ j
2 1+ j
2
2
тогда a может быть представлен в виде
a=
-1
+ ( a + b ) a - ( j a + 2j b ) aQ(a ),
æ
1 ö
÷.
где Q(a) = 1 çç 0 £ a £
1
+
j -2 ÷ø
è
Находим неизвестные коэффициенты
a, b и c, используя то, что коэффициент
при a должен быть равен единице, а все
другие коэффициенты должны обращать
ся в ноль (иначе не будет выполняться вы
шеописанное равенство). Рассмотрим вы
полнение условий для коэффициентов при
a и a Q(a):
2
ì
a=
ï
1 + j -2
ìa + b = 1
ï
.
Ûí
í -2
-1
-1
îj a + 2 j b = 0
ïb = - j
ïî
1 + j -2
(23)
Примечателен тот факт, что в случае та
ких коэффициентов a и b (23), выполняются
и два других условия:
Вопросы теории R Хаос и риски
j -1
2
1
y 2 (a ) y 3 (a ) + .
-2
1+ j
1 + j -2
2
(24)
Поскольку a выражен через собствен
ные функции этого оператора, то теперь
легко найти результат nкратного действия
оператора Фробениуса–Перрона (22) на a,
так как под его действием, эти функции бу
дут воспроизводиться с соответствующими
собственными числами:
Ua =
j -1
2
1
-1
j
y
(
a
)
( - j -3 )y 3 (a ) + ,
2
-2
-2
1+ j
1+ j
2
2
j -1
1
U 2a =
(j -1 )2y 2(a )(- j -3 )2y 3 (a )+ ,
-2
1+ j
1 + j -2
2
K
j -1
2
1
U na =
j - ny 2(a )(- j -3 )n y 3(a )+ =
-2
1+ j
1 + j -2
2
=
2j - n æ
1
ö 1
n -2 n -1
y3 (x)÷ + .
çy 2 ( x ) - ( -1) j
1 + j -2 è
2
ø 2
135
(25)
Используя (25), получим
1
a na 0 = òaU nada =
0
2j - n
´
1 + j -2
1
ö 11
æ1
1
´ çç òay 2 (a )da - ( -1)n j -2 n -1 òay 3(a ) da ÷÷ + òada .
2
0
ø 20
è0
Вычислим интегралы с учетом явного ви
да собственных функций, вывод которых
представлен в работе [9].
2
(a )da =
j -1(1 + j -7 )
3 ,
6(1 + j -2 )
3
(a )da =
2 - j -3
3.
12(1 + j -2 )
1
ò ay
0
1
ò ay
0
Таким образом,
a na 0 =
2
´
1 + j -2
æ j -1(1 + j -7 ) 1 j -1( 2 - j -3 )
ö
´ çç
+ ×
( -1)n j -2 n ÷÷ ´
-2 3
-2 3
+
+
6
(
1
j
)
2
12
(
1
j
)
è
ø
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
´ j- n +
j- n
1
=
4 ´
4 12(1 + j -2 )
.
1
´ æç 4j -1(1 + j -7 )+ ( -1)n j -2 n (1 + j -5 ) ö÷ + .
è
ø 4
Окончательное выражение для корреля
ционной функции базового эндоморфизма
jотображения (22) имеет вид (рис. 15)
R( n) =
a na 0 - a n a 0
a 20 - (a 0 )2
1ö
æ
= 12ç xn x0 - ÷ =
4ø
è
.
j- n
= æç 4j -1(1 + j -7 )+ ( -1)n j -2 n (1 + j -5 ) ö÷ ×
4 . (26)
ø (1 + j -2 )
è
Запишем выражение (26), используя по
казатель Ляпунова l = ln j:
R( n) =
1
4 ´
(1 + e-2 l )
.
´ æç 4e- l (1 + e-7 l ) + ( -1)n e-2 ln (1 + e-5 l ) ö÷ × e- ln . (27)
è
ø
136
Для сравнения на графиках автокорре
ляционной функции R(n) была построена
экспоненциальная функция y = e - ln . «Коле
бательный» характер кривой R( n) для ма
лых n связан с влиянием множителя перед
экспонентой e - ln в выражении (27). При
дальнейшем увеличении n функции практи
чески совпадают.
Итак, используя собственные функции
оператора Фробениуса–Перрона хаотиче
ских отображений были получены соотно
шения для подсчета автокорреляционной
функции (7)–(12) кусочнолинейных ото
бражений с равномерными инвариантными
плотностями распределения. А также соот
ношения (19) и (20), (26) и (27) для расчета
автокорреляционной функции при nй ите
рации jотображения и его базового эндо
морфизма (без показателя Ляпунова и с его
использованием соответственно). Харак
тер затухания автокорреляционных функ
ций R(n) (19) и (20), (26) и (27) отражают
рис. 12 и 15.
Суть, продемонстрированного в статье
алгоритма расчета автокорреляционных
функций одномерных хаотических отобра
жений, заключается в том, что независимая
переменная x выражается линейной комби
нацией собственных функций данного опе
ратора. Показано, что точный расчет авто
корреляционной функции рассмотренных
одномерных хаотических моделей не тре
бует знания полного набора собственных
функций эволюционного оператора, для
этого оказалось достаточно использовать
первые три (для jотображения и его базо
вого эндоморфизма) собственные функ
ции. Таким образом, был адаптирован и усо
вершенствован подход, изложенный в ра
боте [6]. Применяя алгоритм, описанный
выше, нет необходимости нормировать не
зависимую переменную, и результат nкрат
ного действия оператора Фробениуса–Пер
рона на x может быть легко найден. По
скольку действие оператора на линейную
комбинацию собственных функций приво
дит к линейной комбинации тех же самых
функций с измененными коэффициентами
Вопросы теории R Хаос и риски
Ю. А. Никандрова
n
R(n)
n
e
–ln(f)n
0
1
0
1
1
0,363
1
0,618
2
0,284
2
0,382
3
0,162
3
0,236
4
0,103
4
0,146
5
0,063
5
0,09
6
0,039
6
0,056
7
0,024
7
0,034
8
0,015
8
0,021
9
9,223 · 10
–3
9
0,013
10
5,701 · 10–3
10
8,131 · 10–3
11
3,523 · 10–3
11
5,025 · 10–3
12
2,177 · 10
–3
12
3,106 · 10–3
13
1,346 · 10
–3
13
1,919 · 10
–3
14
8,317 · 10
–4
14
1,186 · 10
–3
5,14 · 10
–4
15
7,331 · 10
–4
15
Рис. 15. Автокорреляционная функция
базового эндоморфизма fотображения
(в их формировании участвуют собствен
ные числа оператора). Выбор собственных
функций оператора Фробениуса–Перрона
не является случайным, именно они обра
зуют базис в инвариантных подпростран
ствах данного оператора. С помощью этого
алгоритма найдены автокорреляционные
функции одномерных кусочнолинейных ото
бражений с равномерным инвариантным
Вопросы теории R Хаос и риски
распределением: сдвига Бернулли, инверс
ного сдвига Бернулли, пирамидального,
«V»образного отображения, двойного пи
рамидального, двойного «V»образного ото
бражения, базового эндоморфизма jото
бражения и автокорреляционная функция
одномерного кусочнолинейного отображе
ния (jотображения) с кусочнопостоянным
инвариантным распределением (данный ре
137
зультат согласуется с результатом, полу
ченным в работе [6]).
В заключение следует определить воз
можности практического использования
представленного в статье математического
аппарата.
В случае успешной доработки описанно
го подхода, а именно, формализации про
цесса нахождения представления незави
симой переменной x линейной комбинаци
ей собственных функций эволюционного
оператора, применение математического
аппарата, использующего данный алго
ритм, позволит получить точную и относи
тельно дешевую программную реализацию
расчета автокорреляционных функций од
номерных хаотических моделей.
Создание инструментов отображения
и математического моделирования хаотиче
ских процессов и явлений позволяет рас
ширить возможности известных технологий
моделирования информационных систем
в части повышения точности (а зачастую,
и адекватности) их математической и про
граммной реализации.
Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей
Список литературы
1. Driebe D. J., Ordonez G. E. Using Symmetries
of the FrobeniusPerron Operator to Determine
Spectral Decompositions // Physics Letters A. 1996.
Vol. 211.
2. Dorfle M. Spectrum and Eigenfunctions of the
FrobeniusPerron Operator of the Tent Map // Jour
nal of Statistical Physics. 1985. Vol. 40.
3. Grossman S., Thomae S. Invariant Distributi
ons and Stationary Correlation Functions of Onedi
mensional Discrete Processes // Z. Naturforsh. 1977.
Vol. 32a.
4. Lakshmibala, Satyanayana. Phase Estimati
on, Photon Cloning and the Bernoulli map // Physics
Letters A. 2002. Vol. 298.
5. Machado R. F., Baptista M. S., Grebogi C. Cry
ptography with Chaos at the Physical Level // Chaos,
Solitions and Fractals. 2004. Vol. 21.
6. Mori H., So B.Ch., Ose T. Timecorrelation
Functions of Onedimensional Transformations //
Progress in Theoretical Physics. 1981. Vol. 66.
№ 4.
138
7. Nagatani T. Chaotic Motion of Shuttle Buses in
Twodimensional Map Model // Chaos, Solitons and
Fractals. 2003. Vol. 18.
8. Sello S. AutoCorrelation Functions and Solar
Cycle Predictability. Topic Note Nr.001004, Los Ala
mos National Laboratories Preprint Arhive, AstroPh/
0010106. 2000.
9. Аникин В. М., Никандрова Ю. А. Кусочно
линейное хаотическое преобразование с рав
номерным инвариантным распределением топо
логически эквивалентное jотображению // Во
просы прикладной физики: Межвуз. науч. сб.
Памяти А. Ф. Голубенцева / Под ред. Ю. В. Гу
ляева, Н. И. Синицына, В. М. Аникина. Саратов:
Издательство Саратовского университета, 2004.
Вып. 11.
10. Голубенцев А. Ф., Аникин В. М., Никанд
рова Ю. А. Вероятностное описание хаотиче
ских генераторов биологических ритмов // Био
медицинские технологии и радиоэлектроника.
2002. № 1.
11. Голубенцев А. Ф., Аникин В. М., Никандро
ва Ю. А. Собственные функции эволюционного
оператора jотображения // Вопросы приклад
ной физики: Межвуз. науч. сб. Памяти А. Ф. Голу
бенцева / Под ред. Ю. В. Гуляева, Н. И. Синицына,
В. М. Аникина. Саратов: Издательство Саратов
ского университета, 2004. Вып. 11.
12. Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохо
ров А. В. Введение в теорию вероятностей. Мо
сква, Ижевск: Институт компьютерных исследо
ваний, 2003.
13. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в дина
мических системах. Основы теории / Пер. с англ.
Т. Э. Кренкеля и А. А. Соловейчика под ред.
Т. Э. Кренкеля. М.: Постмаркет, 2000.
14. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из
хаоса. Новый диалог человека с природой / Пер.
с англ. Изд. 3е. М.: Едиториал УРСС, 2001.
15. Трубецков Д. И. Введение в синегретику.
Хаос и структуры / Предисл. Г. Г. Малинецкий.
Изд. 2е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2004.
(Синергетика: от прошлого к будущему.)
16. Ширяев А. Н. Основы стохастической
финансовой математики. Т. 1. М.: «ФАЗИС»,
1998.
17. Шустер Г. Детерминированный хаос. Вве
дение / Пер. с англ. М.: Мир, 1988.
Вопросы теории R Хаос и риски
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
642 Кб
Теги
автокорреляционной, функции, одномерных, хаотическая, моделей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа