close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгоритм анализа робастной устойчивости непрерывных систем управления с периодическими ограничениями.

код для вставкиСкачать
pb0214.fm Page 26 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
”ƒ 62-501.42;62-504.12
јЋ√ќ–»“ћ јЌјЋ»«ј –ќЅј—“Ќќ… ”—“ќ…„»¬ќ—“»
Ќ≈ѕ–≈–џ¬Ќџ’ —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
— ѕ≈–»ќƒ»„≈— »ћ» ќ√–јЌ»„≈Ќ»яћ»
ћ.¬. ћорозов
?л? ??????????? л??????? ?????ц???????? ?????м ?????л???? ? ?????д?ч????м? ?г????ч????м? ?? ?? ????м???? ???дл???? ?лг????м ч??л????г? ?????????? ?????д?ч????? ?? ???м??? ????ц?? ???????? ?? ??д????? ????м????ч????? ?л?????. ?лг????м ??????? ?? ??ш???? ???????????ю??? м???м?????? ??д?ч м???м???ч????г? ???г??мм????????. ???????л??? ?г? ???д?м???ь ? ?????д?? ???м?? ?г? ???л???ц?? ?? ??м?ью????.
???????? ?????: ??????????? л??????? ?????ц???????? ?????м? ?????л????, ?????д?ч????? ?г????ч????, ????ц?? ????????, ?лг????м ч??л????г? ??????????, ????м????ч????? ?л???, м???м?????? ??д?ч?, м???м???ч????? ???г??мм????????.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
?д?? ?? ???????? ?????????? ? ?????м? ?????л???? ??????? ? ??????ч???? ?? ?????ч??????.
? ???ль??? ??л????? ??-?? ??л?ч?? ???л?ч???
???м?????? ????м???? ?????м? ?????л???? ? ?????????????? ?? ??д?ль??? ?л?м????? ч???? ???????? ????ч?? ? ????д?л??? ???д?????ч??. ???
?????д?? ? ??????д?м???? ???л??? ?????ч??????
??м?????? ?????м, ????м???? ? ??????????????
?л?м????? ??????? ?????дл???? ????????м ??д????м м????????м. ? ?????м????? л?????????
?? ?????? ?????л???? ???????????ю??? ????л?м? ??л?ч?л? ???????? ??д?ч? ????????? ?????ч?????? [1, 2].
???л??? ????????? ?????ч?????? л???????
?????м ?????л????, ??? ? ????м????ч?????, ??? ?
??????м????ч????? ??????д?л??????ью, ????????? ??льш?? ч??л? ????? (?м., ?????м??, ????? [3]).
??льш?????? ????ль????? ??л?ч??? дл? л???????
???ц???????? ?????м. ???ч???ль?? м??ьш?? ч??л? ????? ??????? ? ????м???????м л??????? ?????ц???????? ? ??л??????? ?????м (?м., ?????м??,
?????? [4?7]). ? ????????? ?????? ???????, ??????????? ???л??? ??? ???ц????????, ??? ? ?????ц???????? ?????м, ????м??????л??ь л?шь ???ц???????? м????????, ??д?ю??? ?г????ч???? ??
????м???? ?????м? ? ?????????????? ??л???????
?л?м?????. ??? ?????л?, дл? м????ц? л???????
ч???? ?????м? ? ??ч????? ????г? м???????? ????м?????????? ????????? ??д????? ?????л?? м??-
26
г?г?????? ? ???????????? м????ц ??д????? ???м???????. ? ч?????м ?л?ч?? ??? ???????м?? ???????ль??? м????ц [8?14] ????м м??г?г???????м
?л???? м??г?м????? ????лл?л?????д, г???? ??????г? ????лл?ль?? ???????????ю??м ????д??????м ?л???????м ? м????ч??м ????????????. ????????ль?? ????????????? ??л??????? ?л?м?????
???ч?? ???д??л?г????? [5, 6], ч?? ??? ?????дл???? ??д????м ???????м (? ????????????м? г????ц?м?), ??? ? ?л?ч?? ?л????ч????? ??д?ч? ?? ????лю???? ?????ч?????? [15].
?д???? ??д ??????ч????? ??д?ч, ? ч???????? ??д?ч? ?? ????лю???? ?????ч?????? ?????м ?????л???? ? ?????д?ч???? м???ю??м??? ????м????м?
[16, 17], ?????д?? ? ??????д?м???? ????м???????
????? м??????? ??м?????? ????м????? ?????м?
? ????????????? ??л??????? ?л?м?????, г????ц?
??????? ??м???ю??? ?? ??д????м ?????д?ч????м
??????м.
?? ????? [16, 17] ????????, ч?? ??????д?м?? ?
д??????ч??? ??л???? ????????? ?????ч?????? ????? ?????м м?г?? ???ь ???????л??? ? ??м??ью
?????д?ч????? ?? ???м??? ????ц?? ???????? ??
?л???? ????????м ч????? ??????? (? ?л?ч?? ??????????? ?????м) ? ?? ?л???? ???м ч????? ???????
(? ?л?ч?? д????????? ?????м). ??л?ч???ю ??л????
????????? ?????ч?????? ?????м ? ?????д?ч????м?
?г????ч????м? ?? ????м???? ????????? ??????
[18, 19], ? ??????? ??л ???м???? м???д ????????? ? ??????-????ц??? ???????? ???ц??ль??г?
??д?. ?????ль?? ? ????м ?л?ч?? ???л???ч?????
CONTROL SCIENCES є 2 ? 2014
pb0214.fm Page 27 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
???????? ??л???? ???????????ю??? ?????м ?????д????ль??, ????????? ??????д?м???ь ??????????
??????????? м???д?? ч??л????г? ??????????
????ц?? ???????? ?? ?л?????, ??д?л????? ? ??????? [16, 17].
? ????????? ?????? дл? ???л??? л??????? ??????????? ?????ц???????? ?????м ?????л???? ?
?????д?ч????м? ?г????ч????м? ???????ю??? м???д? ч??л????г? ?????????? ????ц?? ????????
?? ??д????? ????м????ч????? ?л?????, ????????????? дл? ??л??????? ?????м ?????л???? ??
???ц???????м? ?г????ч????м? ?? ?? ????м????
[20?23]. ????????, ч?? ? ???ц???????м ?л?ч?? ??д?ч? ?????????? ????? ????ц?? ???????? ???д???? ? м???м?????м ??д?ч?м м???м???ч????г? ???г??мм???????? (? ч????????, ? ??д?ч? ?????? ??дл???? ??ч?? [22, 23]), дл? ??ш???? ??????? м????
?????ль?????ь?? ????????м? м???д?м? ??л??????г? ???г??мм???????? [20?23].
?????? ????????????г? ? ????????? ?????? ?лг????м? ??????л??? ??л??????? ? ?????? [24] ч??л????? м???д ???л??? ?????ч?????? л??????? ??????????? ?????м ?????л???? ? ?????????????
м????ц?? ??????ц??????. ?л? ???л??? ?????ч?????? ????? ?????м ????ль????л??ь ????ц?? ???????? ?? ?л???? ???д????ч??? ???м ? ?????д?ч????? м????ц??, ???д?????м?? ????ч??? м????ч??? ??мм?? ??д? ???ь?. ? д????? ?????? дл?
л??????? ??????????? ?????ц???????? ?????м
?????л???? ? ?????д?ч????м? ?г????ч????м? ?????????? ???д?????? ?лг????м ч??л????г? ?????????? ????ц?? ???????? ?? ?л???? ?д????д???
???м ч????? ??????? ? ?????д?ч????м? ??????ц?????м?, ???д?????м?м? ? ??д? ????ч??? ??мм?
??д? ???ь?. ??? ??, ??? ? ? ?????? [24], ????????,
ч?? ??д?ч? ?????????? ????? ????ц?? ????????
???д???? ? ???????????ю??? м???м?????? ??д?ч?
? ?????д??? ?????м?, ??????????ю??? ?г? ???м??????.
??????????? ?лг????м м???? ?л????ь ????????м ????????? ?????ч?????? ????м???????м??
?????м ?????л???? ?, ?д?????м????, ????????м
????лю???? ?????ч?????? ?????м, ????м????????
? ??????? [16, 17], ? ???м? ч??л????? ???ц?д???.
????м??????ю??? л??????? ?????ц????????
??????????? ?????м? ?????л????, ????????м??
д???????ц??ль??м? ?????????м? ??д?
m
?
?k(t)Ak(t)x,
(1)
k=1
гд? x ? n-м????? ?????? ????????? ?????м?,
k
n
Ak(t) = ( a ij ( t ) ) i, j = 1 ? ????????????? ????????-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 2 ? 2014
Ak(t + T) = Ak(t), k = 1, m , ? ?k(t), k = 1, m , ? ???????ль??? ?г????ч????? ? ??м???м?? ????ц??,
?д??л??????ю??? ??? t l 0 ??л????м
m
? ?k(t) = 1.
?k(t) l 0,
(2)
k=1
??д?м ???????ь ?????м? (1) ???????? ?????ч???? ????????ль?? ?????ц???????? ????м????ч????? ??????д?л??????? ?(t) = {?k(t), k = 1, m }, ??л?
?? ??л???? ??ш???? x(t) ? 0 ???м?????ч???? ?????ч??? ?? ???????? ??? лю??м ?????? ??????д?л??????? ?(t), ?д??л??????ю??? ??л????м (2).
?? ?????? [16] ?л?д???, ч?? ?????м? (1) ??????л????? д???????ц??ль??м? ??люч???ю
xЈ ? F(t, x),
?
= ? y :y =
?
F(t, x) =
m
?
m
?kAk(t)x, ?k l 0,
k=1
?
? ?k = 1 ? ,
k=1
?
(3)
? ?????д?ч????? ?? t м??г????ч??? ?????? ч???ью
F(t, x), F(t + T, x) ? F(t, x). ??????л???????ь ????м????? ? ?м??л? ?????д???? м??????? ??ш????
?????м? (1) ? ??люч???? (3) ??? ?д???????? ??ч?ль??? ??л?????. ????????? F(t, x) ? ???д??
n
??ч?? x ? R ???д????л??? ????? ?????л?? м??г?г??????, г????ц? ??????г? ?????д?ч???? ??м???ю??? ? ?????д?м T. ?? ???? ???ч??? ????ц??
F(t, x) ??д??? ?????д?ч????? ?г????ч???? ?? ????м???? ????д??? ?????ц???????? ?????м? (1).
?? ?????? [16] ????? ????????, ч?? дл? ????????? ?????ч?????? ?????м? (1) (?л?, ч?? ?? ?? ??м??, дл? ???м?????ч????? ?????ч?????? ??л???г?
??ш???? x(t) ? 0 ??люч???? (3)) ??????д?м? ? д??????ч?? ????????????? ?д????, ?????д?ч?????
?? ???м???, ? ?????д?м T, ????ц?? ???????? ??д? ????????м? ?? x ??????? 2p, p l 1:
Np
V2p(t, x) =
? ?i(t, x)?i(x),
(4)
i=1
?i(t, ?x) = ?i(t, x),
1. ѕќ—“јЌќ¬ ј «јƒј„»
xЈ =
??? ?????д?ч????? м????ц? ?????д? ? > 0,
x ? 0,
?i(t + T, x) = ?i(t, x),
? ? 0,
i = 1, N p ,
гд? ?i(x), i = 1, N p ? ??????м????? ?л?м????????
m 1i
m ni
?
м???м? ??????? 2p ? ?. ?. ?i(x) = x 1 ... x n , гд?
?
n
?
2p
? mji = 2p ?? , Np = Cn + 2p ? 1 ? ????? ч??л? ?????
j=1
м???м??. ? ????ц??м ??д? (4) ????????? ????ц??
27
pb0214.fm Page 28 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
?? ?л???? ???м ??????? 2p, p l 1, ?? x ? ?????д?ч????м? ?? t ??????ц?????м?
Np
? ?i(t)?i(x),
V2p(t, x) =
???юд? ?л?д???, ч?? ??л???? ????ц???ль??? ????д?л??????? ???????д??? (7) ??????л????? ????л????ю ???????????? ??????????
Np
(5)
fk(?, t, x) =
i=1
? ?Ј i (t)?i(x) +
i=1
гд? ?i(t) (?i(t + T ) = ?i(t)), i = 1, N p ? ??????ц????? ???м? (5). ???д??л?г?????, ч?? ?????д?ч????? ??????ц?????
?i(t) =
i
b0
M
+
?
i
( l j sin?jt
+
?1
,
i = 1, N p .
+
?? i ( x )
-, A k ( t )x?
? ?i(t) ?? --------------?
?x
(6)
??м????ч????? ??????ц?????? ?i(t), i = 1, N p ??д?
(6), ????????? л?шь ?? t, ?????л??? ??????? ? ????м????ч????м? ?л???? ????ц?? ???????? (5), (6),
ч?? ??????????? ??л?гч??? ??д?ч? ?????????? ????? ????ц??.
??д?ч? ??????? ? ?????????? ??????????г? ?лг????м? ч??л????г? ?????????? дл? ??люч???? (3),
?, ?л?д?????ль??, ? дл? ?????м? (1), ????ц?? ???????? V2p(t, x) ??д? (5), (6). ? ???????????? ? ??????? [24] ????? ?лг????м ??д?? ?л????ь ч??л????м ????????м ???м?????ч????? ?????ч?????? ??л???г? ??ш???? ??люч???? (3) ?, ?д?????м????,
????????м ????????? ?????ч?????? ?????м? (1).
2. јЋ√ќ–»“ћ „»—Ћ≈ЌЌќ√ќ ѕќ—“–ќ≈Ќ»я
‘”Ќ ÷»… Ћяѕ”Ќќ¬ј
????д ?????????? ????ц?? ????????, ??л??????? ? ?????? [24], ??????м ?? ?л?ч?? д???????ц??ль??? ??люч???? (3).
?л? ???л??? ???м?????ч????? ?????ч??????
??л???г? ??ш???? x(t) ? 0 ??люч???? (3) ??д?м
??ль?????ь?? ????ц??м? ???????? (5), (6). ? ???????????? ? ????д?л????м, ?????д????м ? ??????
[25], ???????д??? ????ц?? ???????? V2p(t, x) ? ??л? ??люч???? (3) ????д?л????? ???
28
(8)
??? (?j), j = 1, N ? , N? = (2M + 1)Np, ??????л?????
i
?V 2p ( t, x ) ?
max ? -----------------------, y =
?
?
?x
y ? F ( t, x )
?V 2p ( t, x )
?V 2p ( t, x )
- + max ? -----------------------, A k ( t )x? .
= ----------------------?
?t
?x
1?k?m?
t ? [0, T],
гд? k = 1, m , ? ч???? ? ??????ч?? N?-м????? ???-
????ц?? ???????? (5), (6) ??л?ю??? ??д?л????м ?л???? ????ц?? (4) ? ???????л???ю?, ? ??л?ч?? ?? ????ц?? ???????? (4), л?шь д??????ч???
??л???? ????????? ?????ч?????? ?????м? (1) (?л?
???м?????ч????? ?????ч?????? ??ш???? ??люч???? (3)). ?д????, ????м??????? ? ????ц?? (5) ??-
?V 2p ( t, x )
Ј
V 2p (t, x) = ----------------------- +
?t
< 0,
i=1
x ? 0,
i
b j cos?jt),
j=1
? = 2?T
Np
(7)
i
i
?? ??????ц?????? b 0 , l j , b j , i = 1, N p , j = 1, M , ?
???д????л???? (6) ??????ц?????? ?i(t) ????ц??
???????? (5).
??? д???л????ль??м ??л???? (??? ??л???? ????ль?????? ? ?????д????? д?л?? л?мм? ??? ?ц???? ???????? ???ш?ц? ? м???? ???ь ??м????? лю??м д??г?м, м???? ??????м ??л????м, ?????л?ю??м ????л???ь ????ю ?ц????) ? ???????????
д???????ц????м???? ???? ?л?м????? м????ц Ak(t),
k = 1, m , (?м. ??люч???? (3)) ????м????м ??д?ч?
м???м???ч????г? ???г??мм????????
? = min max
max max fk(?, t, x),
? ? G t ? [ 0, T ] x ? = 1 1 ? k ? m
(9)
N
?
?
?
2
гд? G = ? ?: ? ? i ? 1 ? , ||x||? = max |xi |.
1?i?n
? i=1
?
??????? 1. ??? ???? ????? ??? ????????? (3) ???????????? ??????? ???????? V2p(?, t, x) ???? (5),
(6) ? ???????????? ???????????? ? ???? ?????????
Ј
(3) ??????????? V 2p (?, t, x), ?????????? ? ??????????, ????? ??????? ?????? (8) ????????????? ???????????
? < 0. ?
(10)
????????ль???? ?????м? 1 ?????д???? ? ??дл?????м? ??м??????м? ?? ???м? д???????ль???? ?????м? 1 ? ?????? [24].
?л? ??ш???? м???м?????? ??д?ч? (9), ??? ??,
??? ? ? ?????? [1], ???дл?г????? ?????ль?????ь??, ?
??????д?м?м? ??м??????м?, ???м?? ?лг????м?,
Ј
????????г? ? ????ь? [24]. ? ??? ????ц?? V (t, x)
???д????л?л? ????? ???м? ?????? ??????? ?? ?, ?
??????? л???ль??? м????м?м ?? ? ?????д??? ? гл?Ј
??ль??м, ? ??? м????м???ц?? V (t, x) ?? ? ? ???????????ю??? м???м?????? ??д?ч? ??л? ????ль?????? ?д?? ?? м?д?????ц?? м???д? ?????????ш?г?
CONTROL SCIENCES є 2 ? 2014
pb0214.fm Page 29 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??????. ? ?л?ч?? ??д?ч? (9) гл???ль??? м????м???ц?? ?? ? ????ц?? м????м?м? max fk(?, t, x) г??1?k?m
д??????м? м???д?м? ?????д???? ??м ????????ль????м, ч?? ? ????м???????м?? ????ц?? л???ль???
м????м?м м???? ?? ?????д??ь ? гл???ль??м м????м?м?м. ? ????? ? ???м, ? ??л?ч?? ?? ?лг????м?,
?????д????г? ? ????ь? [24], ? ??д?ч? (9) м????м???ц?ю ?? ?, ??? ??, ??? ? ?? t, ???д??л?г????? ?????д??ь ?? д????????? ?????. ?????м?, дл? ?д??????, м????м???ц?? ?? ? ?????д???? ?? ?? ?????
n
?
?
2
? x: ? x i = 1 ? , ? ?? ??????????? ?д???ч??г? ????
? i=1
?
{x: ||x||? = 1}.
?? м???????? D = [0, T ] ? {||x ||? = 1} ???д?м
???л?д?????ль????ь ?л??????? д??г ? д??г? ?????
t
x
{S( h i , h i )}, i = 1, 2, ... ????????? ??л?? t?, ? =
t
x
= 1, [ T/h i ] + 1 ? xs, s = 1, 2n ( [ 2/h i ] + 1 ) , ?????
t
x
t
x
{S( h i , h i )} ????д?л?ю??? ?? ш?г?м? h i ? h i (?? t
? ?? ? ??????????????). ??д?м ???д??л?г??ь, ч??
????? ?л????? д??г ? д??г?, ?. ?.
?
t
{S( h i + 1 ,
x
h i + 1 )}
?? ?????
?
t
{S( h i ,
?i(?) =
t
hi + 1
=
t
h i /2,
t
{S( h i ,
x
hi + 1
=
x
h i )}
x
h i )}
????д?л?м ????ц?ю
max
max fk(?, t, x)
t x
( t, x ) ? S ( h i h i ) 1 ? k ? m
?
x
h i /2.
?? t ? ? ? ??????????? Lt > 0, Lx > 0, ?? ??????????
?? ? ? G, k = 1, m .
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ?. ?л? лю??? t1, t2 ? [0, T] ?
лю??? x1, x2 ? {||x||? = 1} ??????дл??? ???????????
| fk(?, t2, x2) ? fk(?, t1, x1)| m Lt |t2 ? t1| + Lx ||x2 ? x1||?, гд?
Lt = max
max
max
?f k ( ?, t, x )
-------------------------- ,
?t
Lx = max
max
max
?f k ( ?, t, x )
-------------------------- ,
?x
t ? [ 0, T ] x ? = 1 1 ? k ? m
t ? [ 0, T ] x ? = 1 1 ? k ? m
n
????ь Q = ( q ij ) i, j ? ???????ль??? (n?n)-м????ц?. ??д
n
???м?? ||Q||? ??д?м ????м??ь ч??л? ||Q||? = max
1?i?n
(11)
(12)
t
j=1
|qij |.
???д?м ??????ч????
Am = max
max ||Ak(t)||?,
?
A m = max
Ј
max || A k (t)||?.
t ? [ 0, T ] 1 ? k ? m
(14)
t ? [ 0, T ] 1 ? k ? m
? ?ч???м ????????? (8), (13) ? (14) ??л?ч?м
Lt = (Np(2M + 1))
?
2 2
(? M + 2p(?MAm + A m )),
1/2
Lx = 2p(Np(2M + 1))
1/2
(?M + n(1 + 2np)Am).
?????????м ?????м 3 ? 4 ? ?????? [24] ?? ?л?ч?? д???????ц??ль??г? ??люч???? (3) ?л???? ?л?д?ю??? д?? ?????м?.
??????? 3. ??? ?????????? ??????? (10) ?????????? ? ??????????, ????? ???????????? ????? ???t
??G
?
??мм? д???????. ?
? ч??л?
?i = min ?i(?).
(13)
x
? ??л? ?л????????? ????? {S( h i , h i )} ??????дл??? ??????ш???? ?1 m ?2 m ... m ?.
x
?? i l 1, ??? ?i < 0 ? h i Lt + h i Lx < ?2?i .
??????? 4. ??? ?????????? ??????? (10) ?????????? ? ??????????, ????? ???????????? ????? ????? i l 1 ? ?????? ?i ? G, ???
t
x
?i(?i) < 0 ? h i Lt + h i Lx < ?2?i(?i). ?
(15)
??????????м ??????д????, ?????д????? ? д???????ль???? ?????м? 2 ? ?????? [24], ???????л???????
??????? 2. ????? ????? ?i ?????????? ? ???????????? ? ?????????? (12). ????? ????????? ?????????? ??????????? lim?i = ? ??? i ? ?. ?
????????ль???? ?????м 3 ? 4 ???л?г?ч?? д???????ль???? ?????м 3 ? 4 ? ?????? [24].
???дл?г??м?? ?лг????м ???????? ????л?????
??л???? (10) ????????? ?? ??????д???? ?????м? 4.
?? q-м ш?г?, q = 1, 2, ..., ?лг????м? ??ч??л?????
q?1
? G, ??????ч???? ????ц?? ?i(?i) ?? ??????? ?
?л? ??л?ч???? ??????д?м?? ? д??????ч??? ??л???? ????л????? ??????????? (10), ????м?л????????? д?л?? ? ?????м?? 3 ? 4, ?????????
?????. ???? ??? ???????? ????????????? ???-
д????м ?? (q ? 1)-ш?г? ?лг????м? (?????? ? ?????????? ???????ль?? ?? м???????? G), ? ??????????? ????л????? ??л???? (15). ??л? ??? ????л??ю???, ?? ?лг????м ???????л???????, ?????ль?? ?
q?1
? G ????д????м ?л?ч?? ?????? ????м????? ?
л??? ????ц?ю ???????? V2p(?, t, x) ??д? (5), (6) ?
????ц???ль?? ????д?л????? ???????д???.
??м???м, ч?? ????л????? ??л???? (15) м????
??????ч??ь л?шь ?м??ьш????м ???ч???? ????-
??? Ak(t), k = 1, m , ?? ????????? (3) ??????????
??????????????? ??? ???? t m 0, ?? ?????? ?? ??????? fk(?, t, x), k = 1, m , ????????????? ? ???????
D = {(t, x): t ? [0, T ], {||x||? = 1} ??????? ???????
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 2 ? 2014
0
29
pb0214.fm Page 30 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
ц?? ?i(?). ? ???????????? ? ???м, ??л? ??л???? (15)
?? ????л????, ?? q-м ш?г? ?лг????м? ? ??м??ью
м???д? ?лл?????д?? [26, 27], ??????? м???? ???ь
????ль????? дл? ??ш???? ??д?ч? (12) м???м???q
ц?? ?????л?? ????ц??, ????д?л????? ?????? ? .
?? ???м?л?м м???д? ?лл?????д?? [27] ??ч??л?q?1
) ? ш?г Hq ? 1.
ю??? ????м?г???ль??? ?????? d(?
гд? u(t) ? ???????ль??? ??м???м?? ????ц??, ?д??л??????ю??? ??л???ю |u(t)| m k, k > 0, ? l 0. ???????????ь
???? ????? ????ц?? u(t) ??????ч?м ч???? U.
?????м? (17) ? ?л???? U ??????л????? д???????ц??ль??м? ??люч???ю ??д? (3) ? m = 2, T = 2?/?, ? ??????м
м????ц? Ak(t), k = 1, 2, ?м?ю? ??д:
q
???ч???? ? ????д?л????? ??????ш????м
?q = ?q ? 1 + Hq ? 1d(?q ? 1).
(16)
??л? ??л???? (15) ?? ????л??ю??? ?? ??д?????
ч??л? ш?г?? ?лг????м? (16), ?? ??????д?м? ???t
S( h i + 1 ,
x
h i + 1 ).
?????ь ?лг????м ?? ????? ?????
???м?? ш?г?? ????? ? ?л?ч?? ??????д?м????
?м??ьш????? д? ??? ???, ???? ?? ????ш???? ??л?t
x
??? min{ h i , h i } > ?, гд? ? ? ??д????? ??л?????ль??? ч??л?, ????д?л??м?? ???????????м? ???л???ц?? ?? ??м?ью???? ???дл?г??м?г? ?лг????м?.
??л? ? ??м??ью ???дл?г??м?г? ?лг????м? ??
?д????? ????????ь ????ц?ю ???????? (5), (6) дл?
??люч???? (3) ? ??д????м? ???ч????м? ????м????? ? ? p, ?? ??????д?м? ???л?ч??ь ???ч???? ?
?л? p ? ????????ь ?лг????м ? ???м? ????м? ???ч????м?.
??л? ?д?л??ь ????????ь ????ц?ю ???????? (5),
(6) ? ????ц???ль?? ????д?л????? ???????д???
Ј
t
x
V 2p (?, t, x) < 0, ??гд? ?? ????? S( h i , h i ) ??????м
??ч??л????м ???ч???? ??????????? ??л?????ль??? ????д?л??????ь ??????????? ????ц?? ????t
t
t
min{ h i ,
x
hi }
???, ???? ?? ????ш???? ??л????
> ?.
??л? ? ????????? ??ч?? ????? ??????????? ????ц?? ???????? (5), (6) ? ????ц???ль?? ????д?л?????
Ј
???????д??? V 2p (?, t, x) < 0 ?????м??? ????л?????ль??? ???ч????, ?? ????л???? ??л???? ??????
?????м? ???????? ? ???????ч??????, ? ??л????
??ш???? ??люч???? (3) ??д?? ???????ч???.
3. ѕ–»ћ≈–
????м?????????? л??????? ??????????? ?????м? ?????л???? ?????г? ????д?? ? ?????д?ч???? ??м???ю??м??? ????м????м?
30
?
0
A2(t) = ?
? ? 1 + k cos ( ?t )
1 ?? .
?1 ?
k < ( max |W(i?)|)?1 = 0,866,
??R
W(i?) = 1/(1 ? ?2 + i?)
? ??д?л??м?? ?м ??л???ь ????????? ?????ч?????? ?????м? (17) ?????д??? ? ??л???ью, ??????ю д??? ???г????
???????? [30].
? ???л?ц? ?????д??? м????м?ль??? ???ч???? ????м???? k, дл? ??????? ????????? ?????ч?????ь ?????м?
(17) ? ?л???? U ??? ? = 0,5 ???????л??????? ? ??м??ью
????ц?? ???????? (5), (6) ? ???????????ю??м ???ч????м ????м????? M ? p.
«начени¤ параметра k
p
1
2
3
?
0
1
2
3
4
0,866
0,993
0,997
2,625
2,417
2,194
3,067
2,842
2,608
3,189
3,012
2,866
3,284
3,153
2,972
x
?????дл?????? S( h i , h i )). ????л???? ш?г?? ?????, ? ?л?ч?? ??????д?м????, ????????л????? д? ???
xЈ 1 = x2,
1 ?? ,
?1 ?
?л? ?????м? (17) ? ??м??ью ???дл??????г? ?лг????м? ??л? ????????? ????ц?? ???????? (5), (6) ???
???л?ч??? ???ч????? ????м????? k, ? ? ???ч????? p = 1,
M = 4. ??? ??м?ч??? ? ?????? [28], ???????? ???д?????? [29] дл? ?????м? (17) ??? u(t) ? k д??? ??л????
???м?????ч????? ?????ч??????
x
???? V2p(?, t, x) ? ?ч???м ??л???? ?? h i ? h i , ???л?г?ч??? ??л????м, ??г?????ю??м ? ?????м?? 3, 4
(??? ??л???? ??д?? г???????????ь ??л?????ль??ю
????д?л??????ь V2p(?, t, x) ? ??ч??? (t, x) ? D, ??
?
0
A1(t) = ?
? ? 1 ? k cos ( ?t )
xЈ 2 = ?x1 ? x2 + u(t)x1cos(?t),
(17)
??м???м, ч?? ??л?ч????? ? ?????? [28] ???????? ?
?л?ч?? ? = 0,5 д??? м????м?ль??? ???ч???? k = 0,867.
«ј Ћё„≈Ќ»≈
?д?? ?? ??????ш?? ??д?ч ?????? ?????ч??????
?????м ?????л???? ???люч????? ? ?????? ????????м?? ????????? ?????ч??????. ?????, ? ??л? ?л??????? ?????м?, ???????? ??л?ч????г? ????????
?????д????ль??, ? ?? ?????, ?? ????????, ч???? ???????ч????? ????????. ???дл??????? ?лг????м
ч??л????г? ?????????? ????ц?? ???????? ?????л??? ????????ь ????????ю ?????ч?????ь ????м???????м?? ?????м ? ??????? ?? ??ш???? ??д?ч? м???м???ч????г? ???г??мм???????? ? м??г???????м ?л??????м м????м???ц??.
CONTROL SCIENCES є 2 ? 2014
pb0214.fm Page 31 Wednesday, March 26, 2014 10:18 AM
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
? ??л? ?л??????? ??ш??м?? ??д?ч? м???м???ч????г? ???г??мм???????? ?лг????м ???????
???ь????? ??ч??л???ль??? ????????, ч?? ???????? ??м???? ??? ???л?ч???? ????м????? M ? p ?
????ц??? ???????? (5), (6). ?д???? ?????д?????
???м?? ??д?????д??? ???????????????ь ???д?м?????????????г? ? ????????? ?????? ??д??д? ?
?г? ????????????ь ?? ????????ю ? ???м??????м
?????????, ??л?ч????? ? ??????? [28, 29]. ??ль???ш?? ?????ш??????????? ?лг????м? м???? ???ь
??????? ? ??????м ??л?? ??????????? м???д??
????м???ц??, ??????д?м?? дл? ??ш???? м???м?????? ??д?ч.
Ћ»“≈–ј“”–ј
1. Dorato P., Yedavalli R.K. Recent Advances in Robust Control. ?
N.-Y.: IEEE Press. ? 1990.
2. Morari M., Zafiriou E. Robust Process Control. ? New Jersey:
Prentice Hall, 1989.
3. ????? ?.?. ??????????ь д????????? ?????м (?????) // ????м????? ? ??л?м???????. ? 1990. ? ? 5. ? ?. 3?28.
4. Kolla S.R., Vedavalli R.K., Farison J.B. Robust Stability Bounds
of Time-Varying Perturbations for State Space Models of Discrete-Time Systems // Int. J. Control. ? 1989. ? Vol. 50,
N 1. ? P. 151?159.
5. ?????? ?.?. ???????? ?????ч???? ??л??????? д????????? ?????м? ?????л???? // ???. ???. ????. ???????????. ? 1992. ? ? 6. ? ?. 18?29.
6. Mota F., Kaszkurewicz E. and Bhaya A. Robust Stabilization of
Time-Varying Discrete Interval Systems // Proc. of 31st Conf.
on Decision and Control. Tucson, AZ, Dec. 1992. ? Vol. 1. ?
P. 341?346.
7. Bauer P.H., Premaratne K., Duran J. A Necessary and Sufficient Condition for Robust Asymptotic Stability of Time-Variant Discrete Systems // IEEE Trans. Automat. Control. ?
1993. ? Vol. 38, N 9. ? P. 1427?1430.
8. Mansour M. Robust Stability of Interval Matrices // Proc 28-th
Conference of Decision and Control., Tampa, FL, Dec. 1989. ?
P. 46?51.
9. Wang K., Michel A.N. On Sufficient Conditions for the Stability
of Interval Matrices // Systems and Control Letters. ? 1993. ?
Vol. 20, N 6. ? P. 345?351.
10. Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of interval matrices // Int. J. Control. ? 1983. ? Vol. 37, N 4. ?
P. 717?722.
11. Xu Daoui. Simple Criteria for stability of interval matrices // Internat. Journ. Contr. ? 1985. ? Vol. 41, N 1. ? P. 289?295.
12. Shih-Wei Kau, Yung-Sheng Liu. A new LMI condition for robust
stability of discrete-time uncertain systems // Systems & Control
Letters. ? Dec. 2005. ? Vol. 54, iss. 12. ? P. 1195?1203.
13. Buslowicz M. Simple conditions for robust stability of positive
discrete-time linear systems with delays // Control and Cybernetics. ? 2010. ? Vol. 39, N 4. ? P. 1159?1171.
14. Buslowicz M, Kaczorek T. Robust stability of positive discrete-time interval systems with time-delays // Bulletin of the
Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. ? 2004. ?
Vol. 52, N 2. ? P. 99?102.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 2 ? 2014
15. ?????? ?.?. ????лю???? ?????ч?????ь ??л?????? ?????????? ? ???ц????? ? ??л??????? ?м??ль???? ????м???ч????? ?????м?? // ????м????? ? ??л?м???????. ? 1963. ?
? 12. ? ?. 1601?1615.
16. ???????? ?.?., ??????? ?.?. ????лю???? ?????ч?????ь ??л??????? ?????ц???????? ?????м ?????л???? ? ?????д?ч????? л??????? ч???ью // ????м????? ? ??л?м???????. ?
1992. ? ? 2. ? ?. 49?59.
17. ???????? ?.?., ??????? ?.?. ????ц?? ???????? дл? ??л??????? ?????ц???????? д????????? ?????м ?????л???? ?
?????д?ч????? л??????? ч???ью // ????м????? ? ??л?м???????. ? 1992. ? ? 10. ? ?. 37?45.
18. ??????? ?.?. ??л???? ????????? ?????ч?????? л???????
?????ц???????? ?????м ?????л???? ? ???????ль??м? ?г????ч????м? // ????л?м? ?????л????. ? 2009. ? ? 3. ?
?. 23?26.
19. ??????? ?.?. ????????? ?????ч?????ь д????????? ?????м
?????л???? ? ?????д?ч????м? ???????ль??м? ?г????ч????м? // ????л?м? ?????л????. ? 2013. ? ? 4. ?
?. 11?15.
20. Pyatnitsky Ye, S., Skorodinskiy V.I. Numerical methods of Lyapunov function construction and their application to the absolute
stability problem // Systems and Control Letters. ? 1982. ?
Vol. 2, N 2. ? P. 130?135.
21. ????????? ?. ?., ???????????? ?. ?. ???л????? м???д?
?????????? ????ц?? ???????? ? ???????? ????лю????
?????ч?????? ? ???м? ч??л????? ???ц?д?? // ????м?????
? ??л?м???????. ? 1983. ? ? 11. ? ?. 52?63.
22. ?????????? ?. ?., ????????? ?. ?. ???д??????? м???д
?????????? ????ц?? ???????? ? ??д?ч?? ????лю???? ?????ч?????? // ????м????? ? ??л?м???????. ? 1987. ?
? 1. ? ?. 3?12.
23. ?????? ???л??? ?????ч?????? ??л??????? ?????м ?????л???? ?? ???. ???????? / ?.?. ??г??????, ?.?. ??м???ц???, ?.?. ??лч???? ? д?. ? ?.: ??? ???, 1989.
24. ??????? ?. ?. ?лг????м ???л??? ?????ч?????? л???????
?????д?ч????? ?????м ? ?г? ???л???ц?? ?? ??? // ????м????? ? ??л?м???????. ? 1990. ? ? 4. ? ?. 27?35.
25. ???????? ?.?. ????????ц??ль??? ????????? ? ?????????
?????? ч???ью. ? ?.: ?????, 1985.
26. ??????????? ?.?., ???? ?.?. ?л??????ь ??д?ч ? ????????????ь м???д?? ????м???ц??. ? ?.: ?????, 1979.
27. ??? ?.?. ????д? м???м???ц?? ??д???????ц????м??
????ц?? ? ?? ???л??????. ? ????: ??????? д?м??, 1979.
28. ?????? ?. ?. ???????? ????лю???? ?????ч?????? ??л??????? ?????м ?????л???? ? ?????д?ч???? ?????ц???????? л??????? ч???ью // ????м????? ? ??л?м???????. ?
1990. ? ? 8.
29. ?????????? ??. ???????? ?????ч?????? л??????? ?????м
? ????м????м? ?? ???м??? ????м????м?, ?????????? ч???? ?????????????? ? ??л???? д????????ль??? ч????? //
?????. ? 1964. ? ? 7.
30. ????? ?.?., ?????? ?.?., ???????? ?.?. ?????ч?????ь ??л??????? ?????м ? ???д?????????м ?????????м ??????????. ? ?.: ?????, 1978.
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
?????????? ??? ?.?. ??????????.
??????? ?????? ???????????? ? ???д. ???.-м??. ????,
??. ???ч. ?????д???, ???????? ????л?м ?????л????
?м. ?.?. ???????????? ???, г. ??????,
(495) 334-92-50, miguel@ipu.ru.
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
615 Кб
Теги
анализа, робастное, алгоритм, система, непрерывные, управления, устойчивость, периодических, ограничениями
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа