close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимация и ограниченность множества оптимальных управлений.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник
Нижегородского
университета им.
Н.И. Лобачевского,
2011,управлений
№ 3 (2), с. 67–71
Аппроксимация
и ограниченность
множества
оптимальных
67
УДК 519.6
АППРОКСИМАЦИЯ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ
МНОЖЕСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ
© 2011 г.
А.Л. Калашников
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
allk123@yandex.ru
Поступила в редакцию 25.12.2010
Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. Для этой задачи имеется последовательность конечномерных аппроксимирующих k-задач. Приведены условия порядковой ограниченности оптимальных множеств исходной задачи и k-задач и усиленной сходимости оптимальных управлений k-задач к оптимальному множеству исходной задачи.
Ключевые слова: оптимальное управление, линеал, порядковая ограниченность, сходимость,
аппроксимация.
Введение
В статье рассматривается задача минимизации функционала при операторном и функциональных ограничениях. Пространство управлений U здесь – КВ-линеал с единицей e. Такая
постановка имеет место, например, для задачи
оптимального управления динамической системы с интегральными ограничениями и интегральным критерием качества в пространстве
U = Lmp [a; b] . К исходной задаче имеется последовательность k-задач, полученных при аппроксимации пространства управлений подпространствами U k ⊂ U . Приведены условия, когда оптимальное множество управлений исходной задачи будет e-ограничено (в смысле порядка), а оптимальные управления u k0 для kзадач
принадлежат
U e , являющимся КВлинеалом e-ограниченных элементов. Установлена сходимость u k0 в метрике U e к оптималь-
ному множеству управлений исходной задачи.
Тем самым достигается регулярность в смысле
работы [1] этой последовательности в более
сильной метрике, чем в исходном пространстве
управлений U, и она получена здесь без стабилизатора.
Порядковая ограниченность
оптимального множества
Рассматривается 0-задача: g 0 ( x, u ) → inf ,
F ( x, u ) = 0 , g j ( x, u ) ≤ 0 , x ∈ X , u ∈U , j = 1, n .
Здесь операция F : X × U → Z , где X, Z – банаховы пространства, а пространство U является КВ-линеалом с единицей e. Функционалы
g 0 , g j и операция F класса С1 на X × U . Далее
назовем U пространством управлений. Пусть в
0-задаче допустимое множество не пусто и существует оптимальная пара ( x0 , u0 ) – точка минимума, а для всех u ∈ U уравнение F ( x, u ) = 0
имеет единственное решение x = x(u ) класса
С1. Тогда x0 = x(u0 ) . Предположим, что допустимые управления принадлежат некоторому
множеству S ⊂ U , которое, например, может
быть получено на основе одного из неравенств g j ( x, u ) ≤ 0 . Введем функцию Лагранжа
n
L ( x, u , λ ) = ∑ λ j g j ( x, u )
с множителями
j =0
λj,
j = 0, n , и λ = (λ 0 , λ1 ,..., λ n )T . На основе [2] су-
ществуют числа λ0j ≥ 0 с
n
∑λ
j =0
0
j
= 1, такие, что
полная производная по u
Lu′ ( x(u0 ), u0 , λ0 ) = 0 .
(1)
Пусть сопряженное пространство U * есть
КВ-линеал с единицей a . Введем Ue – КВлинеал e-ограниченных элементов в U, а U a* –
КВ-линеал a-ограниченных элементов в U * .
Обозначим || • || e норму в Ue, а || • ||a – норму в
U a* . По [3] получаем, что сходимость последовательности в Ue влечет и сходимость в U. Да-
68
А.Л. Калашников
лее | • | – модуль элемента. Предположим теперь, что для всех j = 0, n функционалы
g j ( x, u ) = a j (u ) + b j ( x, u ) ,
(2)
n
⎛ n
⎞
| qu′ (0, λ0 ) |≤ ∑ λ0j | a′j ,u (0) |≤ ⎜⎜ ∑ λ0j α j ⎟⎟a . (8)
j =0
⎝ j =0
⎠
Тогда из (6), (7), (8) получаем оценку
где a j (u ) , b j ( x, u ) – некоторые функционалы
| u 0 |≤ B(| qu′ (u 0 , λ0 ) | + | qu′ (0, λ0 ) |) ≤
1
класса С на X × U . Введём функционал
⎛ n
⎞
≤ ⎜⎜ ∑ λ0j (μ j + α j ) ⎟⎟ Ba.
⎝ j =0
⎠
n
1
q(u, λ) = ∑ λ j a j (u ) , u ∈U , λ j ∈ R , j = 0, n . (3)
j =0
Теорема 1. Пусть 1) для всех u ∈ S функционалы b′j ,u ( x (u ), u ) ∈ U a∗ и a′j ,u (0) ∈ U a* , где
j = 0, n ; 2) существует оператор B > 0 : U * → U
с Ba ∈ U e , такой, что при всех u , v ∈ U и λ j ≥ 0
с
n
∑λ
j =0
j
= 1 верно неравенство:
| u − v |≤ B | qu′ (u, λ) − qu′ (v, λ) | .
(4)
Тогда а) всякое оптимальное u0 в 0-задаче eограничено. Если же выполнено дополнительное условие 3): существуют числа α , µ , β > 0 ,
такие, что 0 < Ba ≤ βe , | b′j ,u ( x(u ), u ) |≤ μa ,
| a ′j ,u (0) |≤ αa при j = 0, n и всех u ∈ S , то верно
б): | u 0 |≤ (μ + α )β e .
Доказательство.
n
С
учетом
(3)
имеем
L( x, u, λ) = q(u, λ) + ∑ λ j b j ( x, u ) . Отсюда с учеj =0
том равенства (1) получаем
n
0
qu′ (u0 , λ ) = − ∑
j =0
где λ0j ≥ 0 и
n
∑λ
j =0
0
j
λ0jb′j ,u ( x(u0 ), u0 ) ,
(5)
= 1 . Полагая в (4) u = u0 ,
v = 0 , имеем неравенство
0
(6)
Но u 0 ∈ S . Тогда по условию 1) теоремы 1
b′j ,u ( x(u0 ), u0 ) ∈U a∗ . По свойству a ограниченности существуют некоторые числа
µ j > 0 , для которых | b′j ,u ( x(u0 ), u0 ) |≤ μ j a . Используя равенство (5), получаем с оценкой по
модулю
будет
n
n
j =0
j =0
| qu′ (u0 , λ ) |≤ ∑ λ0j | b′j ,u ( x(u0 ), u0 ) |≤ ( ∑ λ0j μ j )a. (7)
Поскольку a′j ,u (0) ∈ U a* , то по a-ограниченности существуют некоторые числа a j > 0 , такие, что | a′j ,u (0) |≤ α j a при j = 0, n . С учетом (3)
имеем неравенства:
Но по условию 2) теоремы 1 Ba ∈ U e . Тогда
существует число δ > 0 , для которого 0 ≤ Ba ≤
≤ δe. Отсюда из неравенств (9) имеем оценку:
⎛ n
⎞
(10)
| u0 |≤ δ⎜ ∑ λ0j (μ j + α j ) ⎟e .
⎜ j =0
⎟
⎝
⎠
Следовательно, u0 в 0-задаче e-ограничено и
утверждение а) доказано.
Докажем теперь б).
Пусть | b′j ,u ( x(u ), u ) |≤ μa и | a′j ,u (0) | ≤ αa для
некоторых чисел α , μ > 0 и всех u ∈ S , а также
0 ≤ Ba ≤ β e для некоторого числа β > 0 . Тогда,
полагая в (10) δ = β , µ j = µ , α j = α , получаем
| u0 |≤ β(μ + α)e , так как
n
∑λ
j =0
0
j
= 1 . Теорема 1 до-
казана.
Последовательность k-задач
1. Пусть имеются некоторые банаховы подпространства U k ⊂ U при k = 1,2,… с такой же
нормировкой, как и в U. Рассмотрим k-задачи:
g 0 ( x, u ) → inf
F ( x, u ) = 0 , g j ( x , u ) ≤ 0 ,
x∈ X , u ∈ U k , j = 1, n .
0
| u0 |≤ B | qu′ (u0 , λ ) − qu′ (0, λ ) | .
0
(9)
Предположим, что в каждой k-задаче допустимое множество не пусто и существует оптимальная пара ( xk0 , uk0 ) – точка минимума. Очевидно, xk0 = x (uk0 ) и все u k0 ∈ S . На основе [2]
существуют множители λ0j , k ≥ 0 с
n
∑ λ0j ,k = 1 ,
j =0
для которых полная производная по u
Lu′ ( x(uk0 ), uk0 , λ0k ) = 0 .
(11)
Здесь λ0k = (λ00, k , λ01, k ,..., λ0n , k )T . Далее компактность множества понимается на основе [4].
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 2)
теоремы 1. Тогда а) для всех k ≥ 1 управления
u k0 будут e-ограниченными, а при выполнении
69
Аппроксимация и ограниченность множества оптимальных управлений
условия 3) теоремы 1 для всех k ≥ 1 будет выполнено неравенство uk0 ≤ (μ + α )β e .
Доказательство аналогично доказательству
в теореме 1 с учетом u k0 ∈ S .
Будем говорить, что k-задача аппроксимирует 0-задачу по функционалу, если существует
lim d k = d 0 , где dk есть inf в k-задаче при k ≥ 0 .
k
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1), 2)
теоремы 1 и 1) для всех j = 0, n и любой последовательности управлений vk ∈ S последовательность b ′j ,u ( x (v k ), v k ) компактна в
U a* ;
2) k-
задачи аппроксимируют 0-задачу по функционалу. Тогда последовательность u k0 ∈ U e и
компактна в U e , а ее предельные точки будут
e-ограничены и оптимальны в 0-задаче.
Доказательство. По теореме 2 получаем,
что uk0 будет e-ограничено и, следовательно,
u k0
∈ U e . Из равенств (11) и (2), (3) выводим равенство
n
qu′ (uk0 , λ0k ) = − ∑ λ0j ,k b′j ,u ( x(uk0 ), uk0 ),
(12)
j =0
где λ0j , k ≥ 0 и
n
∑ λ0j,k = 1 . Поскольку u k0 ∈ S , то
j =0
по условию (1) теоремы 3 имеем компактность
b′j ,u ( x(uk0 ), uk0 ) в U a* при j = 0, n . Но
λ0j ,k
0 ≤ λ0j , k
≥ 0 . Поэтому
≤1 и
n
∑ λ0j ,k = 1 и
j =0
λ0j ,k
будет для
j = 0, n компактна в R1 . Отсюда получаем ком-
пактность λ0j , k b′j ,u ( x(uk0 ), uk0 ) в U a* , а с этим и
компактность в
По
U a*
суммы – правой части (12).
равенству (12) имеем компактность
в U a* . Используя условие 2) теоремы
qu′ (uk0 , λ0k )
1, нетрудно установить, переходя к сходящимся
в
U a*
подпоследовательностям
0
qu′ (ukm
, λ0km ) ,
компактность последовательности u k0 в U e .
Пусть теперь v0 – любая предельная точка для
u
u k0 . Тогда существует lim
km
0
km
= v0 в U e . Следо-
вательно, v0 ∈ U e . Так как из сходимости в U e
по теории полуупорядоченных пространств [3]
0
следует и сходимость в U, то lim ukm = v0 в U. Из
km
непрерывности операции x = x(u ) в U получаем
0
lim x(ukm
) = x(v0 )
km
в X, а по непрерывности
0
0
), ukm
) ≤ 0 с j = 1, n получаg j ( x, u ) из g j ( x(ukm
ем в пределе g j ( x (v0 ), v0 ) ≤ 0 . Поэтому v0 – допустимое управление в 0-задаче. Но так как kзадачи аппроксимируют 0-задачу по функцио0
0
налу, то lim d km = d 0 при d km = g0 ( x(ukm
), ukm
).
km
По непрерывности
вовать lim
km
g 0 ( x, u ) будет сущест0
0
g0 ( x(ukm ), ukm
) = g0 ( x(v0 ), v0 ) . Тогда
g 0 ( x(v0 ), v0 ) = d 0 . Но v0 допустимо в 0-задаче.
Отсюда v0 оптимально в 0-задаче. Теорема 3
доказана.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и для всех k ≥ 1 существует аппроксимация vk ∈ U k с vk − u k0 ∈ U e и uk0 − vk ≤ ε k ,
e
где числа εk → 0 . Тогда последовательность
vk ∈ U e , компактна в Ue, а ее предельные точки
e-ограничены, оптимальны в 0-задаче, и предел
lim g 0 ( x(vk ), vk ) = d 0 .
k
Доказательство. Из выполнения условий
теоремы 3 по этой теореме получаем компактность uk0 в Ue с предельными точками, являющимися оптимальными управлениями в 0-задаче. По неравенству uk0 − vk ≤ ε k с ε k → 0
e
имеем компактность vk в Ue и такие же с u k0
предельные точки. Из аппроксимации 0-задачи
k-задачами получаем lim g0 ( x(uk0 ), uk0 ) = d0 . Но
k
функционал g0 ( x(u ), u ) непрерывен в U, а сходимость в Ue влечет сходимость в U. Отсюда,
по компактности vk в Ue, а следовательно и
в U, с учетом lim g0 ( x(uk0 ), uk0 ) = d0 нетрудно
k
уже показать, что будет существовать
lim g0 ( x(vk ), vk ) = d 0 . Теорема 4 доказана.
k
U e0 множество e-ограниченных оптимальных управлений в 0-задаче, а
ρe (u , Q) = inf || u − v ||e – расстояние между эле-
2. Обозначим
v∈Q
ментом u ∈U e и множеством Q ⊂ U e .
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда множество U e0 ≠ ∅ , и имеем равенство пределов lim(ρe (uk0 , U e0 ) = lim ρe (vk , U e0 ) = 0 .
k
k
Доказательство. Поскольку в условиях теоремы 4 представлены условия теоремы 1, то по
ней получаем e-ограниченность оптимальных
управлений u0 в 0-задаче. Следовательно,
70
А.Л. Калашников
u0 ∈U e . Поэтому множество U e0 ≠ ∅ . Из теоремы 4 управления vk ∈ U e и последовательность vk компактна в Ue, а любая ее предельная
точка v принадлежит U e0 . Аналогичное же
утверждение на основе теоремы 3 будет и для
последовательности u k0 . Применяя теперь основные леммы о регуляризации [1] в пространстве Ue, получаем равенства пределов
lim(ρe (uk0 ,U e0 ) = lim ρe (vk ,U e0 ) = 0 . Теорема 5
k
k
доказана.
3. Приведем теперь достаточные условия аппроксимации 0-задачи последовательностью kзадач. Обозначим через D0 допустимое множество управлений в 0-задаче. Пусть D0 ∩ U k ≠ ∅
для k ≥ 1. Тогда Dk = D0 ∩ U k – допустимое
множество управлений в k-задаче. Очевидно, для
k ≥ 1 будет Dk ⊂ D0 . По непрерывности исходных функционалов gi ( x, u ) и операции x = x(u )
множество D0 замкнуто в U, а с ним и все Dk.
Теорема 6. Пусть 1) существует множество
P ⊂ D0 , и замыкание P = D0 ; 2) для любого
k ≥ 1 существует отображение Qk : P → Dk ; 3)
для
всякого
верхний
предел
v∈ P
.
Тогда
lim ( g 0 ( x (Qk (v )), Qk (v )) − g 0 ( x (v ), v )) ≤ 0
k
lim d k = d 0 , и k-задачи аппроксимируют 0k
задачу по функционалу.
Доказательство. Из условия 2) теоремы 6
получаем, что для любого v ∈ P будет
Qk (v) ∈ Dk . Тогда dk ≤ ( g0 ( x(Qk (v)), Qk (v))) , и
получаем неравенства
d k − d 0 ≤ ( g 0 ( x(Qk (v)), Qk (v))) − d 0 ≤
≤ ( g 0 ( x(Qk (v)), Qk (v))) − g 0 ( x(v), v) + g 0 ( x(v), v) − d 0 .
Переходя к верхнему пределу, имеем на
основе условия 3) неравенства:
k
− g 0 ( x (v ), v )) + ( g 0 ( x (v ), v )) +
+ ( g 0 ( x (v ), v ) − d 0 ) ≤ g 0 ( x (v ), v ) − d 0 .
(13)
Поскольку v ∈ P ⊂ D0 и P = D0 , то для любого элемента s ∈ D0 существует сходящаяся
последовательность vm → s в U, где vm ∈ P .
g 0 ( x(u ), u ) предел
lim g0 ( x(vm ), vm ) = g 0 ( x( s ), s ) . Но для vm ∈ P
Тогда по непрерывности
m
имеем по (13) lim(d k − d0 ) ≤ g0 ( x(vm ), vm ) − d0 , и
k
k
но установить неравенство:
lim(d k − d0 ) ≤ inf g0 ( x( s), s) − d0 = d0 − d0 = 0 . (14)
k
s∈D0
Но Dk ⊂ D0 . Поэтому для любого v ∈ Dk
будет d 0 ≤ g 0 ( x (v), v ) . Отсюда для всех k ≥ 1
будет d0 ≤ inf g0 ( x(v), v) = d k . Следовательно,
v∈Dk
dk − d0 ≥ 0 .
Поэтому
с
учетом
(14)
0 ≤ lim ( d k − d 0 ) ≤ lim ( d k − d 0 ) ≤ 0 и, тем самым,
k
k
lim (d k − d 0 ) = lim ( d k − d 0 ) = 0 . Тогда существуk
k
ет lim ( d k − d 0 ) = 0 , а из него lim d k = d 0 . Теореk
k
ма 6 доказана.
Следствие. Пусть в U существует линейнонезависимая система из элементов s j ∈ U , где
j = 1,2,... и 1) для всех k ≥ 1 множество Uk – линейная оболочка для s1 , s 2 ,..., s k ; 2) замыкание
∞
U U k = U ; 3) норма u ≤ const для всех u ∈ D0 ,
k =1
и D0 ∩ U 1 ≠ ∅ . Тогда lim d k = d 0 .
k
Доказательство. На основе [4] множества
Uk будут конечномерными банаховыми подпространствами в U . Так как U k ⊂ U k +1 , и по условию 3) D0 ∩ U1 ≠ ∅ , то для всех k ≥ 1 будет
Dk = D0 ∩ U k ≠ ∅ . Поскольку по условию 3)
множество D0 ограничено по норме и Dk ⊂ D0 ,
то все Dk тоже будут ограничены по норме одной и той же константой. Как известно из [4],
всякое ограниченное по норме множество в конечномерном Uk будет компактно в U. Но
Dk ⊂ U k и ограничено по норме. Тогда Dk будет
компактно в U. По замкнутости множеств D0 и
Uk имеем и замкнутость Dk = D0 ∩ U k . Введем
для всякого фиксированного элемента u ∈ U
функционал: f (v) = u − v для всех v ∈ U . Так
lim (d k − d 0 ) ≤ lim ( g 0 ( x (Qk (v )), Qk (v )) −
k
в пределе lim(d k − d0 ) ≤ g0 ( x( s), s) − d0 . Нетруд-
как множество Dk замкнуто и компактно в U, а
функционал f (v) = u − v для фиксированного u
непрерывен в U, то по известной теореме Вейерштрасса о минимуме непрерывного функционала на компактном и замкнутом множестве
существует элемент vk ∈ Dk , который является
точкой минимума для f (v ) на множестве Dk.
Определим для всех k ≥ 1 отображение
Qk (u ) = vk , где vk – любая из точек минимума
71
Аппроксимация и ограниченность множества оптимальных управлений
функционала f (v ) на множестве Dk . Очевидно,
Qk (u ) = u для u ∈ Dk . Введём множество
∞
∞
P = U Dk с Dk = D0 ∩U k . Тогда P = D0 I ⎛⎜ U U k ⎞⎟ .
k =1
⎝ k =1 ⎠
⎛∞
⎞
Отсюда P ⊂ D0 и P = D0 I ⎜ U U k ⎟ . Но так как
⎜ k =1 ⎟
⎝
⎠
∞
D0 = D0 и U U k = U , то P = D0 . Пусть теперь
k =1
элемент v ∈ P . Тогда существует номер k = k 0 ,
для которого v ∈ Dk . Но поскольку U k ⊂ U k +1 ,
0
Dk = D0 I U k ⊂ D0 I U k +1 = Dk +1 . Поэтому
v ∈ Dk для k ≥ k0 . Но Qk (u ) = u для любого
то
0
u ∈ Dk . Отсюда Qk (v) = v при k ≥ k 0 , и для
v ∈ P существует в U предел lim Qk (v ) = v . Тоk
гда по непрерывности функционала g0 ( x, u ) и
операции x = x(u ) получаем, что предел
lim g 0 ( x(Qk (v )), Qk (v )) = g 0 ( x (v ), v ) . Отсюда для
k
v ∈ P верно равенство
lim ( g 0 ( x (Qk (v )), Qk (v)) − g 0 ( x(v)), v)) =
k
= lim( g 0 ( x(Qk (v)), Qk (v )) − g 0 ( x(v), v )) = 0.
k
Тем самым выполнены условия теоремы 6, и
тогда по ней lim d k = d0 . Следствие доказано.
k
Замечание. Условие 3) следствия, в частности, выполнено, если u = 0 – внутренняя точка
множества D0 , то есть g j ( x (0),0) < 0 при
j = 1, n . Отметим также, что в условиях следствия всякая k-задача сводится к оптимизации в
конечномерном пространстве на компактном
множестве и будет корректной. Для пространства U = Lmp [a, b] систему элементов из s j , удо-
влетворяющих условию 1) следствия, образуют,
в частности, вектор-функции многочлены, а e
здесь будет единичная вектор-функция. Тогда
КВ-линеал U e = Lm∞ [a, b] .
4. Рассмотрим задачу оптимального управления:
t1
g 0 ( x, u ) = ∫ (a0 (u , t ) + b0 ( x, t ) )dt → inf ,
(15)
t0
x& (t ) = A( x, t ) + B (t )u ,
t1
(
x (t0 ) = x0 , t ∈ [t0 , t1 ],
)
g j ( x, u ) = ∫ a j (u, t ) + b j ( x, t ) dt ≤ 0 , j = 1, n ,
t0
где состояние
x ∈ C ([t0 , t1 ], R m ) , управление
u ∈ Ls2 [t 0 , t1 ] , A( x, t ) = ( Ai ( x, t )) является векторфункцией, а B(t ) = ( Bi , p (t )) есть матрица размера m × s . Предполагается также, что функции
Ai ( x, t ) , a j (u, t ) , b j ( x, t ) , где i = 1, m , а j = 0, n ,
класса C1 для всех x ∈ R m , u ∈ R s , t ∈ [t0 , t1 ] и
Bi , p (t ) непрерывны на [t0 , t1 ] . Заменим дифференциальное уравнение на интегральное:
t
F ( x, u ) = x − x0 − ∫ ( A( x, s) + B( s)u ( s))ds = 0 ,
t0
t ∈ [t0 , t1 ] . Отсюда получаем 0-задачу оптимального управления с интегральными ограничениями. В работе [5] приведены условия применимости вышеизложенной теории статьи к задаче
(15).Тогда для пространства управлений
Ls2 [t 0 , t1 ] и системы элементов s j из вектор-
функций многочленов при e, равной единичной вектор-функции, получаем сходимость
оптимальных управлений u k0 (t ) в Lm∞ [t0 , t1 ] .
Список литературы
1. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
2. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.:
Наука, 1988. 280 с.
3. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.
4. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.
5. Калашников А.Л. Аппроксимация и ограниченность оптимального множества управлений для
динамической системы // Вестник ННГУ. Серия
«Математическое моделирование и оптимальное
управление». 2003. Вып. 1 (26). С. 138–141.
APPROXIMATION AND LIMITATION OF THE SET OF OPTIMAL CONTROLS
A.L. Kalashnikov
The problem of optimal control in a KB-lineal is considered. This problem has a sequence of approximating finitedimensional k-problems. The conditions of the ordinal limitation of initial problem optimal sets and k-problems and enhanced
convergence of the optimal controls of k-problems to the optimal set of the initial problem are presented.
Keywords: optimal control, lineal, ordinal limitation, convergence, approximation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
1 308 Кб
Теги
ограниченности, оптимальное, множества, управления, аппроксимация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа