close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Бесконечно малые ARG-деформации цилиндра в е4.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГПИ
Естественные науки
n
( j)
(t )
1 tz
k
( z)
Akm
k 0m 0
Полагая в этих равенствах z
ak и z
( j)
( m)
(20)
t ak
z
n
ak , получим систему из 2n
k
однородных ли-
k 1
нейных уравнений относительно неизвестных:
(a1 ),
'
(a1 ),...,
(
1)
(
(a1 ), (a2 ),...,
Присоединим к этой системе еще 2n
2)
(a2 ),..., (an ),...,
n
k
(
n
)
(an ), (a1 ),...,
(
n
)
(an ).
уравнений, полученных заменой всех членов на
k 1
сопряженные. Обозначим определитель новой системы через D(μ). Так как определитель этой системы Эрмитов, то корни уравнения D(μ)=0 вещественны, а наибольший из них, что следует из
теоремы 1 из [1], совпадает с l .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования линейного функционала над H1 //
Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 6. С. 1351–1360.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963.
3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической
лит-ры, 1950.
4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука,
1966.
5. Рябых В.Г. Вид экстремальной функции линейного функционала над пространством H 1. Деп.
в ВИНИТИ 10.08.01. № 1857-В2001. С. 2–15.
В.В. Сидорякина
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ARG-ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРА В Е4
Работа посвящена исследованию бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей в Е4.
В качестве примера рассматривается случай цилиндра.
Под деформацией поверхности F понимаем семейство
зависящее от параметра
t, t
t0 , t0 , t0
0 , причем при t
Ft поверхностей Ft , непрерывно
0
имеем
F0
F.
Если поверхность F задана уравнением
F: r
r u, v , u, v
D,
то аналитически деформация записывается в виде
Ft : r t
R u , v, t , u , v
Предполагаем, что функция
R
64
t0 , t0 .
представима следующим образом
Ft : r t
где z u , v – поле деформации,
D; t
r u, v
t z u, v
ot,
o t – члены более высокого порядка малости относительно t
Раздел I.
при t
Алгебра и геометрия
0.
Говорят, что две деформации
Ft : r t
1
1
Ft : r t
2
2
r u, v
t z1 u, v
ot,
r u, v
t z2 u, v
ot,
1
2
являются эквивалентными, если
z1 u, v
z2 u, v , u, v
D.
Указанная эквивалентность делит все деформации поверхности F на классы. Каждый класс
эквивалентных деформаций называют бесконечно малыми деформациями поверхности F.
A , которая при деформации поверхноFt . Считаем, что величина At разложима по па-
Пусть на поверхности F задана некоторая величина
сти F переходит в величину
раметру
t
при t
At
на поверхности
0 по формуле
At
где
A t A ot ,
A – вариация величины A при бесконечно малой деформации поверхности F.
В дальнейшем бесконечно малые деформации поверхности F определяем уравнением
Ft : r t
где z u , v
E 4 , u, v
r u, v
t z u, v , u, v
D.
(1)
D , t – малый числовой параметр.
Бесконечно малые деформации вида (1) являются ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с сохранением грассманова образа поверхности F в
деформациями, если выполняются условия:
1. Вариация
d
элемента площади
d
где
H
d
E4
или ARG-
при деформации (1) подчиняется условию
2 z, H d ,
– вектор средней кривизны поверхности F,
(2)
– заданное число, называемое коэффициен-
том рекуррентности деформации;
2. Нормальные плоскости поверхности F в каждой точке поверхности при деформации (1)
смещаются в
E4
параллельно себе.
В работе [1] показано, что уравнения ARG-деформаций поверхности F в
E 4 относительно
искомого векторного поля z u , v представляют систему линейных однородных уравнений вида:
g ij r i , r j
4 z, H ,
n3 , z i
0,
n4 , zi
0,
(3)
65
Вестник ТГПИ
где
Естественные науки
z
, n 3 , n 4 – ортонормированный репер в нормальной плоскости поверхности F.
ui
zi
n4
N M
H
n3
M
r2
r1
Выведем систему уравнений, описывающую бесконечно малые ARG-деформации поверхности цилиндра в
E 4 . Пусть цилиндр задан уравнением:
F : r u, v
где
u,
u
2
v
–
u
2
u
некоторые
u,
дифференцируемые
1 , u – натуральный параметр, u
функции,
u,
a, b кривой l : x
u, y
u
C3 ,
u ,
.
Найдем касательные векторы
ru и rv :
ru
u,
rv
Репер
u , v,0 ,
n
n3
4
3
u ,0,0 ,
0,0,1,0 .
в нормальной плоскости имеет вид:
u,
1
u ,0,0
u
n4
2
u
2
u,
u ,0,0 ,
0,0,0,1 .
Поле деформации запишем в виде:
z
a1 r u
a2 r v
c3 n3 c 4 n 4 .
Подставив в последнее равенство значения, полученные для векторов r u , r v , n3 , n 4 , на-
66
Раздел I.
Алгебра и геометрия
ходим
z
a1
u,
z
a1
a 2 0,0,1,0
u ,0,0
u
c3
Для отыскания поля деформации
u , a1
c3
u,
c3
u
u ,0,0
u , a2 , c4 .
c 4 0,0,0,1 ,
(4)
z найдем a1 , a 2 , c 3 , c 4 .
Посчитаем квадратичные формы указанной поверхности.
g11
ru ,ru
g12
ru ,rv
u
2
u
u 0
g 22
2
1,
u 0 0,
rv,rv
1.
Тогда первая квадратичная форма имеет вид
ds 2
du 2
dv 2 .
Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы.
b3 ij
r ij , n 3 ,
b4 ij
r ij , n 4 ,
r uu
b311
u,
u ,0,0 ,
r uv
0,0,0,0 ,
r vv
0,0,0,0
r uu , n 3
u
u
u
b312
r uv , n 3
0,
b3 22
r vv , n 3
0,
b411
r uu , n 4
0,
b412
r uv , n 4
0,
b4 22
r vv , n 4
0.
u,
Запишем вторую квадратичную форму
II n 3
b311 du 2
2b312 dudv b3 22 dv 2 ,
II n 4
b411 du 2
2b412 dudv b4 22 dv 2 ,
II n 3
u
u
ku
u
u
u
u du 2
u
u,
k u – кривизна кривой l , k u
II n 4
Найдем вектор средней кривизны
k u du 2 ,
0,
0.
H.
H
H n ,
67
Вестник ТГПИ
Естественные науки
H 3 n3
H
H 4 n4 ,
2H
g ij bij ,
2H 3
g 11b113
2 g 12 b123
g 22 b223 ,
2H 4
g 11b114
2 g 12 b124
g 22 b224 .
g
n ,n ,
1 0
,
0 1
g
g 33
1, g 34
bij
3
11
g 43
b
0, g 44
g b ij
3
12
4
11
b
0, b223
b
4
12
b
b
i
g
4
21
4
22
b
i ,
i
i
0,
0,
,
,
0,
i
i ,
n ,n ,
i
3
14
1,
b ij ,
3
21
u, b
1 0
,
0 1
1
g
3
24
0,
0.
Тогда имеем
H3
H
H 3 n3
ku
k u , H4
u,
0,
u ,0,0
ku
u ,k u
u ,0,0 .
Система (3), описывающая бесконечно малые ареально рекуррентные деформации с сохранением грассманова образа для поверхности цилиндра примет вид:
i
a k bik
c
au1
Поскольку
i
c
i
c ,
av2
i
i
c
0, i 1,2,
k u c3
21
3,4,
0.
0 , то последняя система примет вид:
1
c3
2
1
2
3
k
3
2k
ab
4
k
4
1k
ab
4
k
4
2k
c
c
a k b13k
c
0,
0,
0,
ab
0.
a1k u
0,
Решая эту систему, находим
cu3
c
3
v
0,
c
4
u
0,
c
4
v
0.
Тогда
c3
u,
c4
68
c0
u – произвольная функция параметра u ,
const , c0 – произвольная постоянная,
(5)
Раздел I.
Алгебра и геометрия
Найдем
a1k u
u
u
u
.
ku
0, a1
u
a 2 . С этой целью подставим значения a1 , c3 , c 4 во второе уравнение системы
(5). Получаем
/
u
ku
av2
u
1
a2
a
u
u, ,
u,
u
ku
2
u
0,
21
ku
u,
u
u
ku
/
u
u,
1
1
ku
/
u
ku
av2
av2
21
u
v
21
ku
u,
u
u – произвольная функция параметра u .
u,
/
u
21
ku
u v
u
.
u
Найденные значения подставляем в уравнение (4). Имеем
z
u
ku
u
u
ku
u
u
u,
u
u,
(6)
21
ku
u v
u , c0 .
u
Определение. Поле деформации
0,0,
u
/
u
z
u
ku
u
z
назовем тривиальным, если оно имеет вид
u , c0 .
Тем самым доказана теорема.
Теорема 1. Пусть цилиндр в
E 4 , задан уравнением:
F : r u, v
где
u,
u,
u , v,0 ,
u – некоторые дифференцируемые функции,
u – натуральный параметр кривой l , u
u,
C3 ,
u
2
u
2
1,
, и допускает бесконечно малые
v
a, b ,
u
ARG-деформации для любого . Такие деформации описываются уравнением (6).
Следствие. Цилиндрическая поверхность, гомеоморфная кольцу, допускает для любого
значения коэффициента рекуррентности
бесконечно малые ARG-деформации, поле деформа-
ции которых задаются формулой (6), где функции
u,
u – произвольные периодические
2
функции параметра u класса C .
Определение. Бесконечно малая ARG-деформация называется ограниченной, если существует константа
C такая, что для всех точек цилиндра имеет место неравенство z
Теорема 2. Существует точно счетное множество значений
n
C.
, n 1, 2,... ;
n
2n 2 1 ,
для которых круглый цилиндр с направляющей окружностью единичного радиуса допускает ограниченные нетривиальные ARG-деформации, задаваемые формулой:
69
Вестник ТГПИ
Естественные науки
z
где
u
u
u
u
C1 cos 2 1
u
u
u;
C2 sin
u
21
u
u
u
u ; u ; c0 ,
u – произвольная функция, c0 , C1 , C2 –
u,
произвольные постоянные.
Если
n
, n 1,2,... , то круговой цилиндр является жестким относительно ограничен-
ных ARG-деформаций.
Доказательство. Рассматриваемое уравнение
u
uu
21
u
0
есть уравнение вида
y
y 0,
const .
Решение этого уравнения будем искать в виде:
e u;
y
тогда
e u; y
y
2
e
u
21
2
21
2
e
e u,
u
0,
0.
Рассмотрим три случая:
1) при
2
1
0,
1,
2
2
2
2
2
0,
2
2,
1,2
y1
e
y u
2 u
C1e
,
, y2
2 u
e
C2 e
2 u
,
2 u
.
где C1 , C2 – произвольные постоянные.
В этом случае уравнение не имеет периодических решений. Следовательно, для значений
u 0 . Тогда
1 имеем
z
где
0,0,
u c0 ,
u – произвольная функция, c0 – произвольная постоянная;
2) при 1
2
1,
0,
y1
y u
0,
1, y2 u ,
C1 C2u.
Уравнение не имеет периодических решений и потому, для круглого цилиндра при
u
0иz
3) при
70
1
0,0,
u c0
2
0,
;
1,
1
Раздел I.
Алгебра и геометрия
i
y1
yu
2,
cos 2 u , y 2
sin
2 u,
C1 cos 2 u
C2 sin
2 u.
Уравнение имеет периодические решения с периодом
Тогда существует точно счетное множество значений
n
2 , если
2n
2
2
2n, n 1,2,... .
1, n 1,2,... ; для которых
круглый цилиндр допускает ограниченные нетривиальные ARG-деформации с полем
z
u
u
u
u
u rv
C1 cos
u
21
u ;
u
n
u n3 c0 n 4
n
n
n
где
u ru
u
n
z вида:
C2 sin
u
n
21
u
u
u
u ;
u ; c0 ,
n
n
u ,
u
–
произвольная
функция,
n
c0 , C1 , C2 – произвольные постоянные.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG-деформации тора Клиффорда в E 4 // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 2007. № 1. С. 21–33.
Е. В. Тюриков
ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ
И. Н. ВЕКУА – А. Л. ГОЛЬДЕНВЕЙЗЕРА – В. Т. ФОМЕНКО
1. Постановка задачи. Пусть
сти
S 0 класса регулярности W
3, p
S – строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхно, p 2 , с кусочно гладким краем L , состоящим из конечного
C1, , 0
числа дуг класса регулярности
1 . Рассмотрим на L множество точек c1 ,, cn ,
содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при
этом, что точки c j
j 1,, n следуют друг за другом при обходе границы L в заданном наn
правлении. Тогда
L
L
j
, где началом и концом дуги L j
j 1,, n 1 являются точки c j
j 1
и c j 1 , а началом и концом дуги
и L j , сходящихся в точке c j
j
Ln являются точки cn и c1 соответственно. Пару дуг L j
1
2,, n , а также пару дуг L1 , Ln , сходящихся в точке c1 ,
назовем соответствующими дугами в данной точке. Рассматривается следующая задача А: существуют ли бесконечно малые (б. м.) изгибания поверхности
S , для которых на каждой из дуг L j
выполняется одно из следующих условий
kn
2
g
где
k
i
s
i
1
s на L j ,
(1)
s на L j i 1,, n ,
(2)
i
k 1, 2 – наперед заданные гѐльдеровы функции, s – натуральный параметр, k n
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
568 Кб
Теги
цилиндр, малыш, бесконечный, деформация, arg
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа