close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений вырождающихся на неограниченных многообразиях.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №5
МАТЕМАТИКА
УДК 517.918
М.Ш.Ганиев
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ
НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 06.04.2011 г.)
В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного
класса нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях. Рассматриваемые многообразия являются негладкими и удовлетворяют лишь условию конуса. В
начале определены соответствующие функциональные пространства, сформулированы вспомогательные интегральные неравенства, а затем рассмотрены задача Дирихле с однородными граничными условиями и задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразии.
Ключевые слова: задача Дирихле – нелинейное дифференциальное уравнение – многообразие – обобщенное решение – интегральное неравенство.
Работа примыкает к работе автора и С.А.Исхокова [1] и посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений,
вырождающихся на неограниченных C 0 – многообразиях произвольной размерности меньше размерности евклидова пространства. Такие исследования ранее проводились в работах Ю.Д.Салманова
[2], С.А.Исхокова, Г.И.Сивцевой [3], С.А.Исхокова, Г.И.Тарасовой [4], где рассматривались линейные эллиптические уравнения, вырождающиеся на многообразиях различных измерений. Нелинейные дифференциальные уравнения, вырождающиеся на многообразиях, рассматривались в работе
Ю.Д.Салманова [5] в случае ограниченной области.
Пусть
-мерное евклидово пространство. Пусть
и
-натуральное число меньше .
Положим
Адрес для корреспонденции: Ганиев Муродбек Шамсиевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул.
Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: g-murod@mail.ru
353
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Через
, где
и
2011, том 54, №5
, обозначим конус, который получается путем поворота конуса
вокруг начала координат так, что при этом точка
переходит в точку . Объединение всех
конусов
.
, когда
пробегает
, обозначим через
Определение 1. Будем говорить, что неограниченное
сти
- многообразие
размерно-
удовлетворяет условию конуса, если существует линейное преобразование
, осуще-
ствляющее поворот вокруг начала координат, такое, что
Далее предполагаем, что
- неограниченное
творяющее условию конуса,
и
Пусть функция
при
и
для всех
и
, удовле-
для всех
такая, что
для всех
Для двух вещественных чисел
,
Пусть
-многообразие размерности
определим функцию
.
– некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весо-
вые классы функций, определенных в области
Некоторые свойства этих пространств ранее изучены в работе С.А.Исхокова и Г.И.Тарасовой
[4]. Нами продолжено изучение свойств пространств
,
и доказаны некоторые
вспомогательные интегральные неравенства, которые затем применены в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся
на неограниченных многообразиях.
Теорема 1. Пусть выполнены условия
(1)
где
– целое число, которое удовлетворяет неравенствам
(2)
Тогда на функциях
полунорма
эквивалента норме пространства
354
Математика
М.Ш.Ганиев
Теорема 2. Пусть целое число
и пусть выполнены условия
(3)
Тогда для всех функций
справедливо неравенство
(4)
Теорема 3. Пусть целое число такое, что
, и пусть выполнены условия
(5)
Тогда для всех функций
справедливо неравенство
,
(6)
где
(7)
Далее сформулируем наши результаты о разрешимости вариационной задачи Дирихле для
нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном
размерности
- многообразии
Рассматривается дифференциальное уравнение
(8)
Напомним, что функция
называется обобщенным решением уравнения (8), если она
удовлетворяет тождеству
для всех
Задача
.
. Для заданного функционала
требуется найти обобщенное ре-
шение уравнения (8), принадлежащее пространству
Заметим, что решение задачи
.
принадлежит пространству
. и как элемент это-
го пространства удовлетворяет однородным граничным условиям на многообразии
Разрешимость задачи
.
изучается при следующих ограничениях на коэффициенты
дифференциального уравнения (8):
355
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
при
I)
и существуют положительные числа
такие, что
и существуют положительные числа c3 ,
при
II)
2011, том 54, №5
c4 такие, что
где
Теорема 4. Пусть выполнены условия I), II) и пусть
Тогда для любого заданного функционала
из пространства
существует единственная функция
, которая является решением вариационной задачи
где инфимум берется по всем
и
Более того, функция
является единственным решением задачи
и при этом справед-
лива следующая оценка
где число
не зависит от
Теперь рассмотрим задачу с неоднородными граничными условиями.
Задача
. Для заданного функционала
и заданной функции
требуется найти обобщенное решение
ву
уравнения (8), принадлежащее пространст-
и удовлетворяющее условию
(9)
Замечание 1. Условие (9) означает, что решение
имеют одни и те же следы на многообразии
следы на
, то решение
задачи
. Поэтому, если функция
и заданная функция
имеет неоднородные
удовлетворяет неоднородные граничные условия на многообразии
356
.
Математика
М.Ш.Ганиев
Предполагается, что коэффициенты
уравнения (8) удовлетворяют условию I) и вместо
условия II) выполняется условие
при
III)
где
и существуют положительные числа
такие, что
- вещественные числа, удовлетворяющие условиям
(10)
Теорема 5. Пусть выполнены условия I), III) и пусть
для всех мультииндексов
удовлетворяет условию
.
Тогда для любого заданного функционала
и любой заданной функции
существует единственная функция
такая, что
(11)
где
и инфимум берется по всем
.
Более того, эта функция
является единственным решением задачи
и удовлетворяет
оценку
(12)
Следствие 1. В условиях теоремы 5, если
задачи
при
, то решение
удовлетворяет оценку
(13)
где
если
,и
, если
.
Поступило 08.04.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. – ДАН РТ, 2011, т. 54, № 2, с.97-104.
2. Салманов Ю.Д. – ДАН СССР, 1988, т. 301, № 1, с. 38-41.
3. Исхоков С.А., Сивцева Г.И. – Математические заметки ЯГУ, 1999, т.6, № 2, с. 28-41.
357
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №5
4. Исхоков С.А., Тарасова Г.И. – Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика, 2006, т.6,
вып. 4, с. 43-49.
5. Салманов Ю.Д. – Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 12, с. 1677-1683.
М.Ш.Ганиев
МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ МУОДИЛАЊОИ
ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ЃАЙРИХАТТИИ ДАР БИСЁРШАКЛИЊОИ
НОМАЊДУД ТАНАЗЗУЛЁБАНДА
Институти математекаи Академия илмњои Љумњурии Тољикистон
Маќола ба тадќиќ намудани њалшавандагии якќимматаи масъалаи вариатсионии Дирихле барои муодилањои дифференсиалии ѓайрихаттии дар бисёршаклии номањдуд таназзулёбанда бахшида шудааст. Бисёршаклињо ѓайрисуфта буда танњо шарти конусро ќаноат мекунонанд. Дар ќисми аввали маќола фазоњои функсионалии мувофиќ бо вазнњои дараљагї муайян
карда шуда, нобаробарињои интегралии ёрирасон исбот карда шудаанд. Масъалаи Дирихле бо
шартњои сарњадии якљинса ва масъалаи Дирихле бо шартњои ѓайриякљинса дар бисёршаклї
дида баромада шудаанд.
Калимањои калидї: масъалаи Дирихле – муодилаи дифференсиалии ѓайрихаттї – бисёршаклї –
њалли умумикардашуда – нобаробарии интегралї.
M.Sh.Ganiev
VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR NONLINEAR DIFFERENTIAL
EQUATIONS DEGENERATING IN UNBOUNDED MANIFOLDS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The article is devoted to investigation of unique solvability of variational Dirichlet problem for nonlinear differential equations degenerating in unbounded manifolds. Manifolds aren't smooth and only satisfying the cone condition. Associated functional spaces with power wights are defined in the first part of the
article and auxiliary integral inequalities are proved. Dirichlet problem with homogeneous boundary conditions and Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions on the manifold are considered.
Key words: Dirichlet problem – nonlinear differential equation – unbounded manifold – generalized solution
– integral inequality.
358
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа