close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Векторные операторы преобразования функций гармонических в шаре.

код для вставкиСкачать
48
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76)
УДК 517.44
ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУНКЦИЙ, ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ
Ю.А. Парфенова1
c 2010
°
В работе вводятся оператор LΓ и обратный ему L−1
Γ , которые
используются при нахождении операторов преобразования и решении
конкретных краевых задач в однородных сферически симметричных
областях. В данной работе предлагается операторный метод решения
векторных краевых задач, в частности, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре.
Ключевые слова: оператор преобразования, векторные краевые задачи, гармонические функции.
1. Пусть вектор-функция


u1 (x1 , x2 , x3 )

...
u (x1 , x2 , x3 ) = 
un (x1 , x2 , x3 )
©
ª
гармоническая в шаре B1 = (x1 , x2 , x3 ) /x21 + x22 + x23 6 1 .
Оператор LΓ определим равенством:
LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] = Γu (x1 , x2 , x3 ) +
3
X
xi
i=1
∂u (x1 , x2 , x3 )
,
∂xi
где
Γ = (γij )n×n
есть заданная матрица

∂u (x1 , x2 , x3 ) 
=
∂xi
∂u1 (x1 ,x2 ,x3 )
∂xi
···


,
i = 1, 2, 3.
∂un (x1 ,x2 ,x3 )
∂xi
Теорема 1. Если вектор-функция u = u (x1 , x2 , x3 ) гармоническая в шаре B1 , то вектор-функция v (x1 , x2 , x3 ) = LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] также гармоническая в шаре B1 .
1
Парфенова Юлия Алексеевна (julia5507@mail.ru), кафедра математического анализа Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского,
440602, Россия, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37.
Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре
49
Доказательство. Непосредственным вычислением найдем:
∆v (x1 , x2 , x3 ) = ∆LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] = LΓ [∆u (x1 , x2 , x3 )] .
Поскольку вектор-функция u = u (x1 , x2 , x3 ) гармоническая в шаре B1 , то
∆u (x1 , x2 , x3 ) = 0. Тогда ∆v (x1 , x2 , x3 ) = 0. Теорема доказана.
Теорема 2. (см. [1]). Если вектор-функция u = u (x1 , x2 , x3 ) гармоническая в B1 , то ее можно представить в виде
∞
X
u (x1 , x2 , x3 ) =
Pk (x1 , x2 , x3 ) ,
k=0
где Pk (x1 , x2 , x3 ) — однородные гармонические степени k многочлены; при
этом ряд сходится абсолютно и равномерно внутри шара B1 .
Теорема 3. Пусть для вектор-функции u = u (x1 , x2 , x3 ) дано разложение в ряд однородных векторных полиномов:


∞
u1 (x1 , x2 , x3 )
X


...
u (x1 , x2 , x3 ) =
Pk (x1 , x2 , x3 ),
=
k=0
un (x1 , x2 , x3 )
тогда оператор LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] задается равенством:
∞
X
(Γ + kE) Pk (x1 , x2 , x3 ) ,
LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] =
k=0
где E — единичная матрица порядка n.
Доказательство.
Так как Pk (x1 , x2 , x3 ) — однородная функция степени k, то [2]
L0 [Pk (x1 , x2 , x3 )] = k · Pk (x1 , x2 , x3 ) ,
где L0 =
3
P
i=1
∂
.
xi ∂x
i
Теорема доказана.
Теорема 4. В сферической системе координат, определяемой равенствами:

 x1 = r sin ψ cos ϕ, 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 ψ 6 π,
x2 = r sin ψ sin ϕ, 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 ψ 6 π,

x3 = r cos ψ, 0 6 ψ 6 π,
оператор LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] принимает вид:
∂u (r, ϕ, ψ)
.
∂r
Доказательство проводится прямым вычислением выражения
LΓ [u (x1 , x2 , x3 )].
Поставим цель — определить оператор L−1
Γ , обратный к оператору LΓ .
Будем различать несколько случаев.
Теорема 5. Если LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] = v (x1 , x2 , x3 ) и если функция
∞
P
Pk (x1 , x2 , x3 ), где
v (x1 , x2 , x3 ) представима в виде ряда v (x1 , x2 , x3 ) =
LΓ [u (r, ϕ, ψ)] = Γu (r, ϕ, ψ) + r
k=0
50
Ю.А. Парфенова
Pk (x1 , x2 , x3 ), v (x1 , x2 , x3 ) — вектор-функции, а матрица (Γ + kE) — невырожденная при всех значениях k ∈ N , то
u (x1 , x2 , x3 ) = L−1
Γ [v (x1 , x2 , x3 )] =
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) .
k=0
Доказательство следует из теоремы 3.
Напомним, что число λ называется собственным числом матрицы Γ,
если det (Γ − λE) = 0.
Следствие 1. Если все собственные значения матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть Reλi > 0, i = 1, 2, ..., n, то
Z1
L−1
Γ [v (x1 , x2 , x3 )]
εΓ−E v (εx1 , εx2 , εx3 ) dε,
=
0
где
εΓ−E = exp ((Γ − E) ln ε) .
∞
P
Доказательство. Пусть v =
Pk (x1 , x2 , x3 ), тогда
k=0
Z1
Z1
Γ−E
ε
εΓ−E
v (εx1 , εx2 , εx3 ) dε =
0
∞
X
Pk (x1 , x2 , x3 )εk dε,
k=0
0
так как Pk (εx1 , εx2 , εx3 ) = εk Pk (x1 , x2 , x3 ) . Ввиду равномерной сходимости
ряда по ε имеем:
Z1
ε
Γ−E
∞
X
Pk (x1 , x2 , x3 ) · ε dε =
Заметим, что
εΓ−E · εk Pk (x1 , x2 , x3 )dε.
k=0 0
k=0
0
∞ Z
X
1
k
R1
εΓ−E · εk dε = (Γ + kE)−1 . Тогда
0
∞ Z1
X
ε
Γ−E
k
· ε Pk (x1 , x2 , x3 )dε =
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ).
k=0
k=0 0
По теореме 5
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) = L−1
Γ [v (x1 , x2 , x3 )] .
k=0
Следствие доказано.
Замечание 1. В скалярном случае
Z1
L−1
γ [v (x1 , x2 , x3 )]
εγ−1 · v (εx1 , εx2 , εx3 ) dε,
=
0
где γ — скаляр.
Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре
51
µ
¶
−2 2
. Собственные значения этой матПример 1. Выберем Γ =
−6 5
рицы равны 2 и 1, тогда матрицу Γ можно привести к диагональному виду [3]: µ
¶
µ
¶
−3
2
λ1 0
−1
T , где T =
Γ=T
.
0 λ2
2 −1
Воспользуемся формулой [3]:
µ λ
¶
e 1 0
Γ
−1
e =T
T,
0
e λ2
в результате чего получаем:
µ
¶µ
¶µ
¶ µ
¶
1 2
ε 0
−3
2
4 − 3ε 2ε − 2
(Γ−E) ln ε
e
=
=
.
2 3
0 1
2 −1
6 − 6ε 4ε − 3
µ
¶
ν1
, тогда
Пусть ν =
ν2
 1

R
R1
R1
R1
 4 0 ν1 (εx) dε − 3 0 εν1 (εx) dε + 2 0 εν2 (εx) dε − 2 0 ν2 (εx) dε 
−1
,
LΓ [ν] = 
 R1

R1
R1
R1
6 ν1 (εx) dε − 6 εν1 (εx) dε + 4 εν2 (εx) dε − 3 ν2 (εx) dε
где
0
0
0
0
ν (x) = v (x1 , x2 , x3 ) , ν (εx) = v (εx1 , εx2 , εx3 ) .
µ
¶
α11 α12
Пример 2. Пусть Γ =
, причем α11 6= α22 .
0
α22
Найдем εΓ−E .
Для этого решим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:
 µ
¶0
µ
¶
y
y
y
y

11
12
11
12

=Γ
,
 ε
y21 y22
µ y21 y22¶

y11 y12


(1) = E.
y21 y22
В результате имеем
εΓ−E =
Ã
α
−1
α
11
εα11 −1 α12 ε 22α22 −ε
−α11
0
εα22 −1
−1
!
.
С учетом замечания 1 имеем
½
−1
−1
u1 (x) = L−1
α11 [v1 (εx)] + α12 Lα11 · Lα11 [v2 (εx)] ,
−1
u2 (x) = Lα22 [v2 (εx)] .
µ
¶
α11 α12
Пример 3. Пусть Γ =
, тогда
0
α11
µ α −1
¶
ε 11
−α12 εα11 −1 · ln ε
Γ−E
ε
=
.
0
εα11 −1
52
Ю.А. Парфенова
½
−1
−1
u1 (x) = L−1
α11 [v1 (εx)] + α12 Lα11 · Lα11 [v2 (εx)] ,
−1
u2 (x) = Lα11 [v2 (εx)] .
При этом использовано представление
Z1
−1
− εα11 −1 ln ε·v2 (εx) dε = L−1
α11 · Lα11 [v2 (εx)] .
0
Следствие 2. Если среди собственных значений матрицы Γ нет целых
отрицательных и если − (m + 1) < min Reλi < −m, где m — некоторое
натуральное число или нуль, то
m
X
L−1
[v
(x
,
x
,
x
)]
=
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) +
1
2
3
Γ
Γ−E
+
k=0
Ã
Z1
ε
v (εx1 , εx2 , εx3 ) −
m
X
!
Pk (x1 , x2 , x3 ) ε
k
dε.
k=0
0
Доказательство. Если матрица (Γ + kE) невырожденная при всех k ∈ N
и − (m + 1) < min Reλi < −m, то по теореме 5 имеем:
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) =
v (x1 , x2 , x3 ) =
k=0
=
m
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) +
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ).
k=m+1
k=0
Преобразуем
Z1
Ã
Γ−E
ε
v (εx1 , εx2 , εx3 ) −
m
X
!
Pk (x1 , x2 , x3 ) ε
k
dε =
k=0
0
Z1
=
ε
Γ−E
∞
X
Pk (x1 , x2 , x3 ) εk dε.
k=m+1
0
Аналогично доказательству следствия 1 получаем
Z1
Z1
∞
∞
X
X
Γ−E
k
ε
Pk (x1 , x2 , x3 ) · ε dε =
εΓ−E · εk Pk (x1 , x2 , x3 )dε =
0
k=m+1
k=m+1 0
=
∞
X
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ).
k=m+1
Следствие доказано.
Лемма 1. Число натуральных значений k, при которых матрица
(Γ + kE) вырождена, равно числу целых отрицательных собственных значений матрицы Γ без учета их кратности. При этом соответствующие значения k противоположны по знаку целым отрицательным собственным значениям матрицы Γ.
Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре
53
В случае, когда матрица (Γ + kE) вырожденная для некоторго натурального значения k, задача
LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] = v (x1 , x2 , x3 ) ,
вообще говоря, не разрешима.
µ
¶
µ
¶
−2 1
P2 (x)
Пример 4. Если матрица Γ =
, а вектор v =
, где
0
4
0
P2 (x) — любой однородный гармонический полином степени 2, то задача
LΓ [u (x)] = v (x)
не имеет решений.
В самом деле
½
−2u1 (x) + u2 (x) + L0 [u1 (x)] = P2 (x) ,
4u2 (x) + L0 [u1 (x)] = 0.
Из второго уравнения имеем: u2 (x) = 0, x ∈ B1 , тогда
−2u1 (x) + L0 [u1 (x)] = P2 (x) ,
и указанная задача не имеет решений в классе гармонических в шаре B1
функций.
Теорема 6. Если среди собственных значений матрицы Γ есть целые
отрицательные значения λ1 , λ2 , ..., λp , 1 6 p 6 n и если выполнены достаточные условия разрешимости Pk (x1 , x2 , x3 ) = θ, k = k1 , k2 , ..., kp , kl = −λl ,
l = 1, ..., p, θ — нулевой вектор порядка n × 1, то
∞
X
0
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) +
u (x1 , x2 , x3 ) =
+
X
k=0
00
ck · ek
· qk (x1 , x2 , x3 ),
k
где знак 0 у суммы означает, что слагаемые с номерами k1 , ..., kp пропущены,
знак 00 , что суммирование ведется по слагаемым k1 , ..., kp ; ek =
 а
e1k
 ..

= .
 — собственный вектор матрицы Γ, соответствующий собственenk
ному значению −k; qk (x1 , x2 , x3 ) — произвольный однородный гармонический полином степени k; ck — произвольная постоянная.
Доказательство проводится по образцу следствия 1.
Следствие 3. Если матрица (Γ + kE) вырождена и − (m + 1) <
< min Reλi < −m, где m — некоторое натуральное число или нуль, то
для разрешимости задачи
LΓ [u (x1 , x2 , x3 )] = v (x1 , x2 , x3 )
достаточно условий Pk (x1 , x2 , x3 ) = θ, k = k1 , k2 , ..., kp ; θ — нулевой вектор
порядка n × 1. При этом
∞
X
0
u (x1 , x2 , x3 ) =
(Γ + kE)−1 Pk (x1 , x2 , x3 ) +
k=0
54
Ю.А. Парфенова
Ã
Z1
εΓ−E
+
v (x1 , x2 , x3 ) −
0
+
X
m
X
!
Pk (x1 , x2 , x3 ) εk dε+
k=0
00
ck · ek · qk (x1 , x2 , x3 ),
k
где знак 0 у суммы означает, что слагаемые с номерами k1 , ..., kp пропущены,
знак 00 , что суммирование ведется по слагаемым k1 , ..., kp ; ek =
 а
e1k

 ..
= .
 — собственный вектор матрицы Γ, соответствующий собственenk
ному значению −k; qk (x1 , x2 , x3 ) — произвольный однородный гармонический полином степени k; ck — произвольная постоянная.
Доказательство проводится по аналогии с доказательством следствия 1.
Замечание. Операторы LΓ и L−1
Γ служат векторным аналогом операторов Lγ и L−1
,
теория
которых
развита
в монографиях [4, 5].
γ
Третья векторная краевая задача для уравнения Лапласа в шаре из R3
заключается в определении вектор-функции


u1 (r, ϕ, ψ)
,
...
u (r, ϕ, ψ) = 
un (r, ϕ, ψ)
гармонической в шаре B1 , являющейся решением уравнения Лапласа
∆u (r, ϕ, ψ) = 0,
с граничным условием
¯
∂u (r, ϕ, ψ) ¯¯
Γu (r, ϕ, ψ) +
= f (ϕ, ψ) ,
¯
∂n
r=1
где f (ϕ, ψ) — заданная на сфере S1 непрерывная функция, Γ — невырож∂
денная квадратная матрица размерности n, ∂n
— производная по нормали.
Лемма 2. Для сферы S1 имеет место равенство
¯
¯
∂u (r, ϕ, ψ) ¯¯
∂u (r, ϕ, ψ) ¯¯
=r
.
¯
¯
∂n
∂r
r=1
r=1
Доказательство. Доказательство следует из того факта, что внешняя
нормаль к сфере направлена по радиус-вектору, приложенному в данную
точку.
Лемма доказана.
Теорема 7. Если у матрицы Γ нет отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре
из R3 имеет вид:
¡
¢
Z2π Zπ Z1
2 2
1
Γ−E 1 − ε r sin Ψf (Φ, Ψ)
u (r, ϕ, ψ) =
ε
dεdΨdΦ,
(1)
3/
4π
2
2
2
(1 − 2rε cos γ + ε r )
0 0 0
Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре
55
где
cos γ = sin ψ sin Ψ cos (ϕ − Φ) + cos ψ cos Ψ.
Доказательство. Введем следующее обозначение:
∂u (r, ϕ, ψ)
= v (r, ϕ, ψ) ,
∂r
то есть v (r, ϕ, ψ) = LΓ [u (r, ϕ, ψ)], и по теореме 1 функция v (r, ϕ, ψ) является гармонической в шаре B1 . Кроме того, по лемме 2 выполнено условие
v (r, ϕ, ψ)|r=1 = f (ϕ, ψ). Таким образом, для функции v (r, ϕ, ψ) имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре:
Γu (r, ϕ, ψ) + r
∆v (r, ϕ, ψ) = 0
с граничным условием
v (r, ϕ, ψ)|r=1 = f (ϕ, ψ) .
Решение этой задачи известно [6] и имеет следующий вид:
¢
Z2π Zπ ¡
1 − r2 sin Ψf (Φ, Ψ)
1
dΨdΦ,
v (r, ϕ, ψ) =
3
4π
2 ) /2
(1
−
2r
cos
γ
+
r
0 0
(2)
где
cos γ = sin ψ sin Ψ cos (ϕ − Φ) + cos ψ cos Ψ.
Произведем обратную замену и с учетом следствия 1 для случая, когда
у матрицы Γ нет отрицательных собственных значений, получим:
Z1
u (r, ϕ, ψ) =
L−1
Γ [v (r, ϕ, ψ)]
εΓ−E v (εr, ϕ, ψ) dε.
=
0
Тогда с учетом (2) решение третьей векторной краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре будет иметь вид (1).
Теорема доказана.
Следствие 4. Если у матрицы Γ нет целых отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа
в шаре имеет вид:
¡

¢
Z2π Zπ
2
2
1 − ε r sin Ψf (Φ, Ψ)
1

dΨdΦ.
L−1
u (r, ϕ, ψ) =
Γ
3
4π
/
(1 − 2rε cos γ + ε2 r2 ) 2
0 0
Таким образом, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения
Лапласа в шаре из R3 .
Литература
[1] Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.:
Иностр. лит., 1952. 476 с.
56
Ю.А. Парфенова
[2] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 2. 800 с.
[3] Гандмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 575 с.
[4] Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.
[5] Баврин И.И., Яремко О.Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады
РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439–444.
[6] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.
Поступила в редакцию 16/XI /2009;
в окончательном варианте — 25/I /2010.
VECTOR TRANSFORMATION OPERATORS
FOR HARMONIC FUNCTIONS IN A BALL
c 2010
°
Y.A. Parfenova2
The operator LΓ and the inverse operator L−1
Γ are investigated; they
are used at finding transformation operators and at the solution of concrete boundary value problems in homogeneous spherically symmetric areas. The operational solution method of vector boundary value problems
is offered. In particular, the solution of the third boundary value problem
in ball for the Laplace equation is found.
Key words: transformation operator, vector boundary value problems,
harmonic functions.
Paper received 16/XI /2009.
Paper accepted 25/I /2010.
2
Parfenova Yulia Alexeevna (julia5507@mail.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Penza State Pedagogical University V.G. Belinskiy by name, Penza, 443011, Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
522 Кб
Теги
векторных, шаре, оператора, функции, гармонические, преобразование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа