close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вечные невидимки школьного курса математики или функциональные уравнения в школе вчера сегодня и завтра.

код для вставкиСкачать
ART 15002
А
УДК 001
«
УДК 372.851
,
-
А
V
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
я
»
», . С
У
я
«С
-
alexd8089@gmail.com
Г
А
У
«С
rectorat@smolgu.ru
,
,
Веч ые « е
Ф
ц
а ь ые
А
щ
.С
ы
я
я
:
,
: (01)
я
Р
а
е
я
,
К
»
я
я,
,
я(
;
я
ь
а а е а
е че а, е
-
я
я
щ
,
я, а
а
я
я,
,
,
я
-
», . С
я
.
,
.
я;
я ).
я
1.
,
)
,
,
,
,
(
.
,
,
,
«
,
2.
-
,
В - е
.
,
,
«
«
»,
»
(
(
)«
,
,
,
:
~1~
,
)
,
-
»).
-
.
.
ых,
-
-
(
,
.
»
.
.
-
УДК 372.851
ART 15002
УДК 001
)
 (x ) –
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
(
,
,
,
«
-
.
f ( x )  ( x ) ,
«
»
.
В -
ых,
.
(
,
»)
»
,
,
:
щ
–«
»
(«
–
;
-
.
-
,
,
:
,
«
,
»
«
0 1,
,
D  R.
1D ,
,
:
,
ё
0  0  0 , 1 0  0 , 1 1  1.
«
-
) f  {( x;0) | x  D(f )}  f ;
) f  {( x;0) | x  D(f )}  {( x;0) | x  D(f )} ;
) f  {( x;1) | x  D(f )}  f .
Э
{( x;0) | x  D  R}
{( x;1) | x  D  R} ,
,
,
0D
«
»)
,
(«
–
,
,
-
-
)
,
,
»
f (x )
»
R.
«
,
)
.
«
«
»
.
.
~2~
» «
»
,
( . .
»
,
,
»
,
-
(
,
)
-
ART 15002
УДК 001 ,
« ё
»
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
УДК 372.851
,
я
R,, ,
.
я,

») {f | D(f )  D  R, E(f )  R},, .
3.
,
.Ч
,
,
(
«
. .
,
,
,
.
-
D(f )  R E(f )  R ,
1
: ) (f ( x ))2  f ( x ) ; ) (f ( x ))2  ; ) (f ( x ))2  x 2 ; ) (f ( x ))3  x 2  f ( x ) ;
4
4
4
2
) (f ( x ))  x  f ( x ) ; ) f ( x )  (f ( x )  sin(x ))  f ( x ) ; ) (f ( x ))2  9 ; ) (f ( x ))4  0 .
За ача 2.
f(x),
:
2
2
2
(f ( x ))  x  r ,
r –
,
D(f )  [r , r ] , E(f )  R .
,
1 2
,
(
,
,
,
. .),
1 2
.
За ача 3.
1 2,
:
)
;
)
;
)
,
,
.
1( , , )
За ача 1.
f   0
f   0
ab  0 (
f(x)
,
ab  0
a=0
« ё
f   ,
a  b ,
»:
-
,
b = 0),
.
( x )  x  x , x  R ,
f ( x )  ( x )  ( x  x )  ( x  x )  x 2  x  0 , x  R ,
f (x)  x  x , x  R
,
-
2
,
–
1
0
1,
2.
е е е а ач
f (x ) ( . .
1( )
,
1(а).
«
»
f (x )
~3~
),
y2  y
.
-
.
«
»
, x0  R , . .
УДК 372.851
ART 15002
УДК 001
).
»
–
,
D(f )  R
f ( x0 )  1,
,
-
x0 ;0 ,
«
.
 1,
: D(x )  
0,
Д
,
x-
.
x-
,
:
«
.
x0  R f ( x0 )  0
»,
y  1,
.
–
y  x .
,
,
f1( x )  r  x

 r 2  x2 ,
f3 ( x )  
2
2

 r  x ,
,
f2 ( x )   r  x ,
x   r ,0,
x  0, r ;
.
3( )
1( ) (
е е е
–3
,
«
2

r 2  x2 ,
f4 ( x )  
 r 2  x 2 ,
3( ) 3( ). Д
,
»
,
3( )  1( ) .
–
3,
,
x   r , r ,
,
,
xx-
,
,
(–3; –3)
~4~
,
,
 r , r ,
 r , r .
–3,
,
.
(–3; –3)
:
-
3( )  1( ) ).
y  x
,
2
,
–
yx
,
R,
-
,
», . .
,
«
:
2
,
-
R
1( ):
2
,
,
1( )
y 0
-
1( ).
е :
2
-
,
E(f )  R ,
,
II.
»
–
.
,
I.
x0  3
«
,
«
yx
,
f ( x )  0
(f ( x0 ))2  f ( x0 )  f ( x0 )  (f ( x0 )  1)  0   0
,
 f ( x0 )  1
(
)
»
О
f ( x0 ) (
f ( x0 )
x0 ;1 .
f (x )
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
-
(–3; 3),
-
ART 15002
УДК 001
–3
(
 ,
УДК 372.851
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
).
(0; 0)
(x; y),
»
y  x,
y  x.
:
,
y  x ,
-
)
.
(
yx
(
,
)
y  x .
(–3; –3)
(
yx
.
,
«
-
(0; 0))
,
-
(0; 0),
–
–3,
–
«
»
y  x ,
 x, x   ;0
. 1).
f2 ( x )  
  x , x  R; (
 x, x  0;
«
.1
~5~
»
f1( x )  x (
!),
,
,
(0; 0),
:
УДК 372.851
ART 15002
УДК 001
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
.2
: f3 ( x )   x
III.
(
. 2)
f4 ( x )  x , x  R .
x0  3 :
,
IV.
3( )  1( )
О е :
f2 ( x )   x , f3 ( x )   x , f4 ( x )  x , x  R .
е е
е
yx
y   x, x  R .
,
,
,
f1( x )  x ,
3( )  1( ) .
,
3( )  1( )
f1( x )  x f3 ( x )   x, x  R .
-
,
R.
~6~
:
-
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
УДК 372.851
f1( x )  x
ART 15002
УДК 001
О е :
4.
,
,
О
,
е е е
е.
е е е
е.
.
,
,
( . .
).
-
.
–
,
(Oresme, 1347
1638 .),
,
1352
.Э
,
)
:
(
)
.
,
,
)
~
f (x)  c  x ,
x0  R ,
,
,
-
,
,
.) Д1Ж,
(
) Д1].
Д.
f ( x  y )  f ( x )  f ( y ); x, y  R,
f ( x  y )  f ( x )  f ( y );
f ( x  y )  f ( x )  f ( y );
f ( x  y )  f ( x )  f ( y ).
,
(1),
Д1; 3Ж,
,
Д3; 4].
К
~
(1)
f (x)
«
,
–
».
,
(Galilei,
,
,Д
Д1Ж.
,
,
К
(
1905 .
-
,
,
(1):
-
x
;
,
~
f (x) К
~
f (x)
~
f (x)
x
,
~
f (x)
~7~
(1)
(2)
–
–
R(
(
»
«
,
.
1821 . [2Ж
.
,
,
,
)
,
О
f3 ( x )   x, x  R .
,
-
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
ART 15002
УДК 001
R);
)
1

R;
УДК 372.851
~
f ( x )  cx, x  R ;
,
,
.
,
(1) К
»
,
,
,
К
К
(Д1Ж, «
(2)
,
.
Д9–13],
.
,
–
–
.
-
.
,
,
N. К
,
an 1  an  d ,
.
( an ),
,
,
n–
-
f ( x  1)  f ( x )  d, D(f )  N
.
an
n N ,
.
«
f (2) , f (3) , f ( 4)
f (1)
. .,
f (2)  f (1)  d  a0  d ,
f (3)  f (2)  d  (a0  d )  d  a0  2d ,
f (4)  f (3)  d  (a0  2d )  d  a0  3d ,
f (5)  f (4)  d  (a0  3d )  d  a0  4d .
~8~
(3).
:
(4)
.
g( x  1)  g( x )  q, D(g )  N ,
1.
;
-
-
,
,
,
.
,
5.
Д
. .,
,
,
q–
,
Д6].
Д7; 7Ж. К
d–
,
,
»).
Д5Ж,
,
;
(1);
~
,
f ( x )  c1x ,
~
f ( x )  c2 x
Д3; 4].
;
«
-
c
f ( x  1)  f ( x )  d
»
a0 :
–
-
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
ART 15002
УДК 372.851
2.
УДК 001
f ( x )  a0  d  ( x  1) ,
x  N , a0 –
3.
f ( x )  a0  d  ( x  1)
«
,
g ( x )  b0  q
.
–
(
n
»). Д
,
 (x ) –
(5),
x 1
(4),
, x N ,
,
b0
,
-
Д3, . 12. 247, 290]:
F ( x  1)  F ( x )  ( x ) , x  N ,
,
,
,
(x + 1)-
(5)
.
(1)  (2)    (n) ,
, D( )  N , . .
,
 (x ) –
,
-
 (x ) –
S(x ) ,
,
.
-
S(n )
«
,
.
,
(3).
,
,
»
,
:
(6)
-
Д6, . 10–12].
,
–
:
(1)  (2)    (n)  1 x 
1 x 
(6),
n 1
1
,
(7)
(5).
~
Д
,
(5),
F(x) –
~
~
~
,
k N ,
D(F )  N ,
(k )  F (k  1)  F (k ) ,
~
~
~
~
~
~
~
~
~
(1)  (2)    (n)  F (2)  F (1)  F (3)  F (2)    F (n  1)  F (n)  F (n  1)  F (1)  F ( x ) 1n1.

,
1 2  3    n 
,
 
x( x  1)
2

(
n 1
1
 (x )
,
,



)
n(n  1)
.
2
,
(7)
(5)
.
,
f (x )
–
x( x  1)
,
2
1( x ) 
f (x )
F ( x )  F (x ) (
f (x )
F ( x )  F ( x ) (
),
-
(8)
).
~9~
. Д
(9)
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
ART 15002
УДК 001
O0,0 –
УДК 372.851
f ( x )  f ( x )
( x  D(f )) ,
,
D(f )
,
D(f ( x ))   x x  D(f ( x ));
,
x0  D(f )
O0,0 .
,
,
,
,
 F ( x )  F (  x ),

F ( x )  F (  x ),
D–
OD ,
,
,
–
OX ,
,
,
,
,
O0,0 .
,
O0,0 ;
 A( x )  B( x )  f ( x ),

A( x )  B( x )  f (  x ),
,
,
f ( x )  f ( x )

,
 A( x ) 
2
,
f (x )

f ( x )  f ( x )
 B( x ) 
2

f ( x )  f ( x ) f ( x )  f ( x )
.
f (x) 

2
2
(
!)
,
,
,
»
. Д1; 9; 11; 12Ж) –
-
–
-
f (x )
T–
,
f (x ) .
,
F ( x  2)  F ( x  1)  F ( x ) , x  N ,
,
,
,
F(x  T )  F(x) ,
-
f (x )
f (x )
.
,
,
,
,
(
-
-
f ( x0 )  f ( x0 ) ,
OY .
!)
,
,
,
Д10] –
.
,
(
,
Д9; 12Ж.
~ 10 ~
–
-
К
Д11Ж,
,
«
-
ART 15002
С
ы001 а
УДК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
ч
УДК 372.851
А а а це А. Л., Го оно С. А. ечн е «не иди ки»
кольно о ку а ате атики, или Функциональн е
у а нения
коле че а, е одня, а т а // Концепт. – 2015. – № 01 (ян а ь). – ART 15002. – 0,5 п. л. –
URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm. – Го . е .
Эл № ФС 77-49965. – ISSN 2304-120X.
., Д
.
/
.
. – .:
, 2003. – 432 .
Caunchy A. L. Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique. C. 1. Analyse algebrique, Debure, Paris, 1821 ( .
: К
. . К
,
К
.–
.,
.
.
, 1831. – 243 .).
Hamel G. Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) +
f(y) // Math. Ann., 60, 459-462. Fortschr.: 36, 446 (1905). – 461 p.
. . 1. – .:
.
., 1977. (375
.). – 576 .
. .К
. – .:
, 1967. – 331 .
. .
. – .:
, 1967. – 400 .
Э
.К .
. – .; .:
, 1952. – 559 .
. .,
. .
.–
.:
, 1995. – 72 .
. .Э
.–
.:
, 1967. – 160 .
. .Ч
Ф
. – .:
, 1969. – 144 .
. . Ф
:
:
..
. – .:
«
», 2010. – 48 .
. .,
. .
. – .:
. - , 1987. – 309 .
. . Ф
//
. – 2000. – № 10. – . 58–62.
.
.
,
,
:
. – .:
К , 2007. – 248 .
Alexey Arzamastsev,
Student, Department of physics and mathematics, Smolensk State University,
Smolensk
alexd8089@gmail.com
Sergey Gomonov,
Candidate of Physic-mathematical Sciences, Associate Professor at chair of Applied Mathematics, Smolensk State University, Smolensk
rectorat@smolgu.ru
Eternal “invisibles” of mathematics school course, or functional equations at school: yesterday, today and tomorrow
Abstract. The paper has methodical and popular scientific character and is devoted to some problems of
teaching those courses of school mathematics, which such thing as functional equation definitions is actually
applied, but without the use of exact.
Key words: function, basic operations on functions, functional equation, evenness, oddness, periodicity.
References
1. Acel, Ja. & Dombr, Zh. (2003) Funkcional'nye uravnenija s neskol'kimi peremennymi / per. s angl., Fizmatlit, Moscow, 432 p. (in Russian).
2. Caunchy, A. L. (1821) Cours Н’analвsО НО l’EМolО PolвtОМСniquО. C. 1. AnalвsО alРОbriquО, Debure, Paris (in
Franch) (Rus. perevod: Koshi, O. L. (1831) Kratkoe izlozhenie urokov o differencial'nom i integral'nom ischislenii, prepodavaemyh v Korolevskoj Politehnicheskoj shkole, Imp. Akad. nauk, St. Peterburg, 243 p.).
3. Hamel, G. “Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Losungen der Funktionalgleichung f(x + y) = f(x)
+ П(в)”, Math. Ann., 60, 459-462. Fortschr.: 36, 446 (1905), 461 p. (in English).
4. (1977) Matematicheskaja jenciklopedija. T. 1 (375 stb.), Sov. jencikl., Moscow, 576 p. (in Russian).
5. Vilenkin, N. Ja. (1967) Kombinatorika, Nauka, Moscow, 331 p. (in Russian).
6. Gel'fond, A. O. (1967) Ischislenie konechnyh raznostej, Nauka, Moscow, 400 p. (in Russian).
7. (1952) Jenciklopedija jelementarnoj matematiki. Kn. tret'ja, GITTL, Leningrad, Moscow, 559 p.
8. Odinec, V. P. & Povolockij, A. I. (1995) Postroenie jelementarnyh funkcij, Obrazovanie, St. Peterburg,
72 p. (in Russian).
9. Lihtarnikov, L. M. (1967) Jelementarnoe vvedenie v funkcional'nye uravnenija, Lan', St. Peterburg, 160 p. (in Russian).
10. Vorob'ev, N. N. (1969) Chisla Fibonachchi, Nauka, Moscow, 144 p. (in Russian).
11. Prosvetov, G. I. (2010) Funkcional'nye uravnenija: zadachi i reshenija: ucheb.-prakt. posobie, “AХ'ПКprОss”, Moscow, 48 p. (in Russian).
12. Sadovnichij, V. A. & Podkolzin, A. S. (1987) Zadachi studencheskih olimpiad po matematike, Izd-vo
Mosk. un-ta, Moscow, 309 p. (in Russian).
13. Gomonov, S. A. (2000) “Funkcional'nye uravnenija Я sСФШХ'ЧШЦ ФЮrsО ЦКЭОЦКЭТФТ”, Matematika v shkole,
№ 10, pp. 58–62 (in Russian).
14. Aleksandrova, N. V. (2007) Istorija matematicheskih terminov, ponjatij, oboznachenij: slovar'spravochnik, Moscow Izd-vo LKI, 248 p. (in Russian).
Р
. М.,
:
,
~ 11 ~
«К
»
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
649 Кб
Теги
сегодня, завтра, школьного, функциональная, вечный, уравнения, школа, невидимка, математика, вчера, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа