close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим вырождением.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 82–93
Математика
УДК 517.95
Видоизмененная задача Дирихле с осевой
симметрией для уравнения смешанного типа
с оператором Бесселя с характеристическим
вырождением
Р.М. Сафина
Аннотация. Для уравнения смешанного типа с оператором
Бесселя
uxx +
k
ux + uyy + sgnz|z|m uzz − a2 u = 0
x
в полуцилиндре D = {(x, y, z)| x2 + y 2 < 1, x > 0, −α < z < β},
где a > 0, k > 0, 1 < m < 2, α > 0, β > 0 — заданные
действительные числа, методом спектральных разложений
исследуется видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией.
Ключевые слова: оператор Бесселя, уравнение смешанного типа,
задача Дирихле, спектральный метод.
Рассмотрим уравнение смешанного типа
LB u ≡
2
∂2u
∂2u
k ∂u
m∂ u
+
+
+
sgnz|z|
− a2 u = 0
∂x2
x ∂x
∂y 2
∂z 2
(1)
в полуцилиндре D = {(x, y, z)| x2 + y 2 < 1, x > 0, −α < z < β}, где a >
> 0, k > 0, 1 < m < 2, α > 0, β > 0 — заданные действительные числа.
Методом спектральных разложений на основании свойства полноты системы
собственных функций одномерной спектральной задачи исследован вопрос
о корректности постановки задачи E при 1 < m < 2.
Исследование вопроса о корректности краевых задач для уравнения (1)
в полуцилиндре D проще всего проводить в цилиндрических координатах
(ρ, ϕ, z). Уравнение (1) в цилиндрических координатах имеет вид
LB u ≡
2
∂2u
k + 1 ∂u
1 ∂2u
ktgϕ ∂u
m∂ u
+
+
−
+
sgnz|z|
− a2 u = 0. (2)
∂ρ2
ρ ∂ρ
ρ2 ∂ϕ2
ρ2 ∂ϕ
∂z 2
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
83
Чтобы сформулировать постановку краевых задач для уравнения (2) с
осевой симметрией, требуется симметричность решения по углу ϕ. Поэтому
∂u
∂ϕ = 0 в D и уравнение (2) упрощается и принимает вид
TB u ≡
2
k + 1 ∂u
∂2u
m∂ u
+
− a2 u = 0.
+
sgnz|z|
∂ρ2
ρ ∂ρ
∂z 2
(3)
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям
смешанного типа относятся к исследованию краевых задач для уравнения
смешанного эллиптико-гиперболического типа.
Вопросы о существовании и единственности решения краевых задач для
уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим
вырождением до последнего времени оставались открытым.
1. Построение частных решений уравнения (3)
в полуцилиндре D при 1 < m < 2
В начале построим систему
удовлетворяющих условиям
частных
решений
уравнения
(3),
u(ρ, z) ∈ C 2 (D+ ∪ D− );
(4)
TB u(ρ, z) ≡ 0, (ρ, z) ∈ D+ ∪ D− ;
¯
∂u ¯
= 0, u|ρ=1 = 0, −α < z < β, z 6= 0,
¯
∂ρ ρ=0
(5)
(6)
где D+ = D ∩ {z > 0}, D− = D ∩ {z < 0}.
Частные решения уравнения (3) ищем в виде
u = R(ρ)Z(z),
(7)
где R(ρ) и Z(z) — пока неопределенные функции. Их найдем из требования,
чтобы функция (7) удовлетворяла уравнению (3) и условиям (4) и (6). С этой
целью подставим ее в уравнение (3) и граничные условия (6)
R00 Z(z) +
k+1 0
R Z(z) + sgnz|z|m RZ 00 − a2 RZ = 0,
ρ
(8)
R0 (0)Z(z) = 0, R(1)Z(z) = 0.
(9)
Деля равенство (8) на RZ и перенося второе слагаемое вправо, получим
R00 +
k+1 0
ρ R
R
=−
sgnz|z|m Z 00 − a2 Z
.
Z
(10)
Приравнивая обе части равенства (10) постоянной −λ2 , приходим к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям
Z 00 − (a2 + λ2 )sgnz|z|−m Z = 0,
(11)
84
Р.М. Сафина
R00 +
k+1 0
R + λ2 R = 0.
ρ
(12)
Из равенств (9) имеем
R0 (0) = 0, R(1) = 0.
(13)
Найдем решение спектральной задачи (12),(13). Умножая уравнение (12)
на ρ2 , получим
ρ2 R00 + (k + 1)ρR0 + λ2 ρ2 R = 0.
(14)
В этом уравнении произведем замену переменной ρ и неизвестной
функции R по формулам
³ r ´− k
r
2
R=
v, ρ = .
(15)
λ
λ
В результате имеем уравнение Бесселя
µ
µ ¶2 ¶
2
k
dv
2d v
2
r
+ r −
v = 0.
(16)
+r
2
dr
dr
2
Известно [1], что общее решения уравнения (16) имеет вид
(17)
v(r) = C1 J k (r) + C2 Y k (r),
2
2
где J k (r) и Y k (r) — функции Бесселя первого и второго родов
2
2
соответственно, C1 и C2 — произвольные постоянные.
k
Переходя к переменным ρ и R по формулам r = λρ, v = ρ 2 R, которые
получаются из (15), получим общее решение уравнения (14). Оно имеет вид
k
k
R = C1 ρ− 2 J k (λρ) + C2 ρ− 2 Y k (λρ),
2
2
(18)
где λ, C1 и C2 — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы
решение (18) удовлетворяло граничным условиям (13).
По известным формулам дифференцирования функции Бесселя имеем
k
k
R0 = −C1 λρ− 2 J k+2 (λρ) − C2 λρ− 2 Y k+2 (λρ).
2
2
(19)
Из формулы разложения функции Бесселя в степенной ряд следует, что
при ρ = 0 первое слагаемое в (19) обращается в нуль, а второе слагаемое —
в ∞. Поэтому решение (18) удовлетворяет первому граничному условию из
(13), если C2 = 0. Также здесь положим C1 = 1, так как собственные функции
определяются с точностью до постоянного множителя. В результате имеем
k
R(ρ) = ρ− 2 J k (λρ).
(20)
2
Потребуем теперь, чтобы
граничному условию из (13)
решение
J k (λ) = 0.
2
(20)
удовлетворяло
второму
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
85
По известным теоремам [1] это уравнение имеет бесконечное число
простых вещественных корней λ1 < λ2 < ... < λn < ..., которые определяют
собственные значения спектральной задачи (12), (13). Полагая в (20) λ = λn ,
получим соответствующие собственные функции
k
Rn = ρ− 2 J k (λn ρ), n = 1, 2, 3, ...
(21)
2
Известно [1], что система функций {J k (λn ρ)} ортогональна с весом ρ в
2
промежутке [0, 1]. Поэтому система собственных функций (21) ортогональна
с весом ρk+1 в этом промежутке, т.е.
Z1
− k2
ρ
− k2
J k (λn1 ρ)ρ
2
Z1
k+1
J k (λn2 ρ)ρ
2
dρ =
0
ρJ k (λn1 ρ)J k (λn2 ρ)dρ = 0.
2
2
(22)
0
Также известно [1], что система функций {J k (λn ρ)} полна в пространстве
2
L2 ([0, 1], ρ) и для них имеет место соотношение
Z1
ρJ 2k (λn ρ)dρ =
2
0
1 2
J k+2 (λn ).
2 2
Отсюда следует, что система собственных функций (21) полна в
пространстве L2 ([0, 1], ρk+1 ) и для функций этой системы имеет место
соотношение
Z1
Z1
1
−k 2
k+1
ρ J k (λn ρ)ρ dρ = ρJ k (λn ρ)dρ = J 2k+2 (λn ).
(23)
2
2 2
2
0
0
Поэтому любая функция f (ρ) из L2 ([0, 1], ρk+1 ) может быть разложена в
ряд Фурье — Бесселя по системе собственных функций (21), т.е.
f (ρ) =
∞
X
k
σn ρ− 2 J k (λn ρ).
(24)
2
n=1
Коэффициенты определяются по формулам
2
σn = 2
J k+2 (λn )
2
Z1
f (ρ)J k (λn ρ)ρ
2
k+2
2
dρ = fn .
(25)
0
На основании формул дифференцирования цилиндрических функций
коэффициенты σn представим в виде
σn =
2
λn J 2k+2 (λn )
2
Z1
f (ρ)
0
´
d ³ k +1
ρ 2 J k+2 (λn ρ) dρ.
2
dρ
(26)
86
Р.М. Сафина
Интегрируя по частям интеграл (26), получим
#
"
Z1
k+2
2
σn =
f (1)J k+2 (λn ) − f 0 (ρ)ρ 2 J k+2 (λn ρ) dρ =
2
2
λn J 2k+2 (λn )
2
(
2
0
"
1
=
f (1)J k+2 (λn )−
f 0 (1)J k+4 (λn )−
2
2
2
λn
λn J k+2 (λn )
2
(
=
#)
Z1
f 00 (ρ)ρ
k+4
2
J k+4 (λn ρ) dρ
2
0
(28)
"
2
1
f (1)J k+2 (λn ) −
f 0 (1)J k+4 (λn )−
2
2
λn
λn J 2k+2 (λn )
1
−
λn
2
Ã
000
f (1)J k+6 (λn ) −
f (ρ)ρ
2
(29)
!#)
Z1
00
(27)
k+6
2
J k+6 (λn ρ) dρ
2
.
(30)
0
Обозначим через C03 [0, 1] множество функций f (ρ) из класса C 3 [0, 1],
удовлетворяющих условиям
f 0 (0) = 0, f (1) = 0, f 0 (1) = 0, f 00 (1) = 0.
Если f (ρ) ∈ C03 [0, 1], то коэффициенты разложения (24) могут быть
определены по формулам
σn =
Z1
2
λ3n J 2k+2 (λn )
2
f 000 (ρ)ρ
k+6
2
J k+6 (λn ρ) dρ =
2
0
fn000
.
λ3n
(31)
Полагая в (11) λ2 = λ2n , получим
Zn00 − (a2 + λ2n )sgnz|z|−m Zn = 0.
Это уравнение при z > 0 имеет вид
Zn00 − (a2 + λ2n )z −m Zn = 0,
(32)
Zn00 + (a2 + λ2n )(−z)−m Zn = 0.
(33)
а при z < 0 — вид
Известно [2], что уравнения (32) и (33) с помощью замены переменных
соответственно по формулам
p
1
2 a2 + λ2n 2−m
2−m
υ(ξ), ξ =
(34)
Zn = ξ
z 2 ,
2−m
p
1
2−m
2 a2 + λ2n
Zn = ξ 2−m w(ξ), ξ =
(−z) 2
(35)
2−m
=
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
87
приводятся соответственно к уравнениям
µ
¶
1
ξ 2 υ 00 + ξυ 0 − ξ 2 +
υ = 0,
(2 − m)2
¶
µ
1
2 00
0
2
w = 0.
ξ w + ξw + ξ −
(2 − m)2
(36)
(37)
Также известно [1], что общее решение уравнений (36) и (37)
определяются соответственно по формулам
υ(ξ) = C1 I
1
2−m
w(ξ) = C3 J
где
I
1
2−m
(ξ)
и
K
1
2−m
(ξ)
—
(ξ) + C2 K
1
2−m
(ξ) + C4 Y
1
2−m
1
2−m
(ξ),
(ξ),
модифицированные
соответственно первого и третьего родов порядка
функции
1
2−m ,
J
1
2−m
Бесселя
(ξ) и Y
1
2−m
(ξ)
1
2−m ,
— функции Бесселя соответственно первого и второго родов порядка
Cj , j = 1, 2, 3, 4 — произвольные постоянные.
Переходя к переменным z и Zn по формулам (34), (35), получим общие
решения уравнений (32) и (33) соответственно
√
√
Zn+ (z) = an zI 1 (pn z q ) + bn zK 1 (pn z q ), z > 0,
(38)
2−m
2−m
√
√
Zn− (z) = cn −zJ 1 (pn (−z)q ) + dn −zY 1 (pn (−z)q ), z < 0,
(39)
2−m
2−m
√
2 a2 +λ2n
где pn = 2−m , q = 2−m
2 ; an , bn , cn и dn — произвольные постоянные.
Таким образом, система частных решений уравнения (3) при 1 < m < 2
на множестве D+ ∪ D− , удовлетворяющих условиям (4) – (6), определяются
по формулам
(40)
un (ρ, z) = Rn (ρ)Zn (z), n = 1, 2, 3, ...,
где Rn (ρ) заданы равенствами (21) , а Zn (z) определены по формулам (38)
и (39)
½ +
+
+
Zn (z) = an Z1n
(z) + bn Z2n
(z), z > 0;
Zn (z) =
−
−
−
Zn (z) = cn Z1n (z) + dn Z2n
(z), z < 0,
где
√
√
+
+
Z1n
(z) = zI 1 (pn z q ), Z2n
(z) = zK 1 (pn z q ),
2−m
2−m
(41)
√
√
−
−
(z) = −zY 1 (pn (−z)q ).
Z1n
(z) = −zJ 1 (pn (−z)q ), Z2n
2−m
2−m
88
Р.М. Сафина
2. Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией
для уравнения (1) при 1 < m < 2
Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией (Задача E с
осевой симметрией). Найти в области D функцию u(ρ, z), удовлетворяющую
условиям
(42)
u(ρ, z) ∈ C 2 (D+ ∪ D− ) ∩ C 1 (D) ∩ C(D);
TB u(ρ, z) ≡ 0, (ρ, z) ∈ D+ ∪ D− ;
¯
∂u ¯¯
= 0, u|ρ=1 = 0, −α 6 z 6 β;
¯
∂ρ ¯
(43)
u(ρ, β) = f (ρ), 0 6 ρ 6 1, f (ρ) ∈ C03 [0, 1].
(45)
(44)
ρ=0
Для решения задачи (42) – (45) применим метод разделения переменных.
Решение задачи E ищем в виде

∞
X

¡
¢ k

+
+
+

an Z1n
(z) + bn Z2n
(z) ρ− 2 J k (λn ρ),
u
(ρ,
z)
=


2
n=1
(46)
u(ρ, z) =
∞
X¡
¢ −k


−
−
−

2
J
u
(ρ,
z)
=
c
Z
(z)
+
d
Z
(z)
ρ
(λ
ρ),
k

n 1n
n 2n
n

2
n=1
где an , bn , cn , dn — пока неопределенные постоянные. Их найдем
из требования, чтобы функция u(ρ, z), определяемая рядами (46),
удовлетворяла условиям (42) и (45).
±
Для этого сначала исследуем поведение функций Zin
, i = 1, 2, и их
производных первого порядка при z → 0.
Используя формулы дифференцирования цилиндрических функций,
получим
+
p
1−m
dZ1n
= a2 + λ2n z 2 I m−1 (pn z q ),
2−m
dz
(47)
+
p
1−m
dZ2n
q
= − a2 + λ2n z 2 K m−1 (pn z ),
2−m
dz
−
p
1−m
dZ1n
= − a2 + λ2n (−z) 2 J m−1 (pn (−z q )),
2−m
dz
(48)
−
p
1−m
dZ2n
q
2
2
= − a + λn (−z) 2 Y m−1 (pn (−z) ).
2−m
dz
С помощью формул асимптотического поведения цилиндрических
функций при 1 < m < 2 и z → 0 имеем
1
+
Z1n
(z)
1
(pn /2) 2−m
(pn /2) 2−m
−
¡ 3−m ¢ z, Z1n
¡
¢ (−z),
∼
(z) ∼
Γ 2−m
Γ 3−m
2−m
(49)
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
1
+
(z)
Z2n
89
1
(2/pn ) 2−m
(2/pn ) 2−m
−
¡ 1−m ¢ , Z2n
¡ 1−m ¢ ,
∼
(z) ∼
Γ 2−m
Γ 2−m
p
1−m
a2 + λ2n (2/pn ) 2−m
¡ 1 ¢
,
Γ 2−m
p
1−m
−
a2 + λ2n (2/pn ) 2−m
dZ1n
(z)
¡ 1 ¢
∼−
,
dz
Γ 2−m
+
dZ1n
(z)
∼
dz
(50)
(51)
1−m
+
p
(pn /2) 2−m
dZ2n
(z)
∼ − a2 + λ2n ¡ 3−2m ¢ z 1−m ,
dz
Γ 2−m
1−m
−
p
dZ2n
(z)
(pn /2) 2−m
∼ − a2 + λ2n ¡ 3−2m ¢ (−z)1−m .
dz
Γ 2−m
(52)
В силу формул (52) асимптотического поведения первой производной
+
−
функций Z2n
(z) и Z2n
(z) при 1 < m < 2
lim
z→0+0
+
dZ2n
(z)
= ∞,
dz
lim
z→0−0
−
dZ2n
(z)
= ∞.
dz
Так что функция u(ρ, z) не удовлетворяет условию (42). Поэтому, чтобы
функция (46) удовлетворяла этому условию, положим bn = 0 и dn = 0.
В таком случае решение (46) принимает вид

∞
X

k

+
 u+ (ρ, z) =
an Z1n
(z)ρ− 2 J k (λn ρ),


2
n=1
u(ρ, z) =
(53)
∞
X

k

−
−
−

cn Z1n (z)ρ 2 J k (λn ρ).

 u (ρ, z) =
n=1
2
Также требуется, чтобы выполнялось условие
∂u+ (ρ, 0 + 0)
∂u− (ρ, 0 − 0)
=
.
∂z
∂z
В силу (51) решение (53) удовлетворяет этому условию, если an = −cn .
Поэтому решение (53) может быть представлено в виде

∞
X

k

+
+

an Z1n
(z)ρ− 2 J k (λn ρ),

 u (ρ, z) =
2
n=1
u(ρ, z) =
(54)
∞
X


−
− k2
−

an Z1n (z)ρ J k (λn ρ).

 u (ρ, z) = −
n=1
2
90
Р.М. Сафина
±
Заменяя Z1n
(z) на их значения из (41), получим

∞
X

√
k

+

u
(ρ,
z)
=
an zI 1 (pn z q )ρ− 2 J k (λn ρ),


2−m
2
n=1
u(ρ, z) =
∞
X √

k

−

an −zJ 1 (pn (−z)q )ρ− 2 J k (λn ρ).

 u (ρ, z) = −
2−m
n=1
(55)
2
Постоянные an находим из требования, чтобы решение (55)
удовлетворяло граничному условию (45). Подставляя его в это граничное
условие, получим
∞
X
an
p
βI
n=1
k
(pn β q )ρ− 2 J k (λn ρ) = f (ρ).
1
2−m
(56)
2
Ряд (56) представляет собой разложение функции f (ρ) в ряд Фурье –
Бесселя по системе собственных функций (21). В силу (31) коэффициенты
этого разложения находим по формуле
p
an βI
1
2−m
2
q
(pn β ) =
λ3n J 2k+2 (λn )
2
Z1
f 000 (ρ)ρ
√
λ3n βI
fn000
1
2−m
(pn β q )
J k+6 (λn ρ) dρ =
2
0
откуда
an =
k+6
2
fn000
,
λ3n
.
Заменяя в (55) коэффициенты an на их значения из (57), получим

√
∞ f 000 zI 1 (pn z q )

X
n

2−m
− k2


√
ρ
u+ (ρ, z) =
J k (λn ρ),

3 βI 1 (p β q )

2
λ
n
n
n=1
2−m
√
u(ρ, z) =
000
q
∞ f
−zJ 1 (pn (−z) ) k

X
n

−


√ 2−m
u
(ρ,
z)
=
−
ρ− 2 J k (λn ρ).


2
λ3n βI 1 (pn β q )
n=1
(57)
(58)
2−m
Сначала докажем равномерную сходимость рядов из (58) в области D.
Известно [3], что для цилиндрических функций при ξ → ∞ имеют место
следующие асимптотические формулы
µ
¶
µ
¶
1
1
Jν (ξ) = O
(59)
, Yν (ξ) = O
,
ξ 1/2
ξ 1/2
µ
¶
µ
¶
1
1
ξ
Iν (ξ) = O
(60)
e , Kν (ξ) = O
e−ξ .
ξ 1/2
ξ 1/2
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
91
Также известно [1], что при f (ρ) ∈ C[0, 1] и ξ → ∞
µ
Z1
f (ρ)ρJν (ξρ) dρ = O
0
1
ξ 3/2
¶
.
Из (59)и (61) следует, что при n → ∞
µ
¶
1
000
fn = O
.
1/2
λn
(61)
(62)
Отсюда и из (59)и (60) имеем, что при n → ∞
√
µ
¶
fn000 zI 1 (pn z q ) k
1
2−m
−2
√
ρ J k (λn ρ) = O
,
7/2
2
λ3n βI 1 (pn β q )
λ
n
2−m
√
000
µ
¶
fn −zJ 1 (pn (−z)q ) k
1
q
2−m
−2
√
ρ J k (λn ρ) = O
e−pn β .
q
3
7/2
2
λn βI 1 (pn β )
λn
2−m
Отсюда следует, что ряды из (58) сходятся равномерно в D и,
следовательно, u(ρ, z) ∈ C(D).
Продифференцируем ряды из (58) по z и ρ

1−m
∞ p
fn000 z 2 I m−1 (pn z q ) k
+

X

∂u
2−m


=
a2 + λ2n 3 √
ρ− 2 J k (λn ρ),

q)

2
∂z
λ
βI
(p
β
1
n
∂u
n
n=1
2−m
=
(63)
1−m
∞ p

∂z
fn000 (−z) 2 J m−1 (pn (−z)q ) k
−
X

∂u

2−m

√

ρ− 2 J k (λn ρ),
a2 + λ2n
 ∂z =
2
λ3 βI 1 (p β q )
n
n=1







∂u
=

∂ρ





2−m
n
√
∞ f 000 zI 1 (pn z q )
X
n
k
∂u+
√ 2−m
=
ρ− 2 J k+2 (λn ρ),
q
2
2
∂ρ
λn βI 1 (pn β )
n=1
2−m
√
000
q
∞ f
−zJ 1 (pn (−z) ) k
X
n
∂u−
√ 2−m
=−
ρ− 2 J k+2 (λn ρ).
2 βI 1 (p β q )
2
∂ρ
λ
n
n
n=1
(64)
2−m
Также из асимптотических формул (59), (60) и (62) следует, что при n →
→∞
1−m
¶
µ
fn000 z 2 I m−1 (pn z q ) k
p
1
2−m
−2
2
2
a + λn 3 √
,
ρ J k (λn ρ) = O
5/2
2
λn βI 1 (pn β q )
λn
2−m
p
¶
µ
fn000 (−z)
J m−1 (pn (−z)q ) k
1
q
2−m
−2
√
e−pn β ,
ρ J k (λn ρ) = O
3
q
5/2
2
λn βI 1 (pn β )
λn
1−m
2
a2
+
λ2n
2−m
92
Р.М. Сафина
√
¶
µ
fn000 zI 1 (pn z q ) k
1
2−m
−2
√
ρ J k+2 (λn ρ) = O
,
5/2
2
λ2n βI 1 (pn β q )
λn
2−m
√
µ
¶
−zJ 1 (pn (−z)q ) k
1
q
2−m
−2
√
ρ J k+2 (λn ρ) = O
e−pn β .
2
q
5/2
2
λn βI 1 (pn β )
λn
fn000
2−m
Отсюда следует, что u(ρ, z) ∈ C 1 (D).
Дифференцируя два раза по z ряды из (58) и применяя к ним оператор
∂2
k+1 ∂
Bρ = ∂ρ
2 +
ρ ∂ρ , получим

1−2m
∞ p
fn000 z 2 I 1 (pn z q ) k

X

∂ 2 u+
2−m


=
a2 + λ2n 3 √
ρ− 2 J k (λn ρ),

2
q

2
2
∂z
λn βI 1 (pn β )
∂ u
n=1
2−m
=
1−2m
∞ p

∂z 2
fn000 (−z) 2 J 1 (pn (−z)q ) k
X

∂ 2 u−

2−m

2
2
√

a + λn
ρ− 2 J k (λn ρ),
 ∂z 2 = −
2
λ3 βI 1 (p β q )
n
n=1







Bρ u =






2−m
n
(65)
√
∞ f 000 zI 1 (pn z q )
X
n
k
√ 2−m
Bρ u+ =
ρ− 2 J k (λn ρ),
q
2
λn βI 1 (pn β )
n=1
2−m
√
q
000
∞ f
−zJ 1 (pn (−z) ) k
X
n
√ 2−m
ρ− 2 J k (λn ρ).
Bρ u− = −
q)
2
(p
β
λ
βI
1
n
n
n=1
(66)
2−m
Аналогично вышеизложенному для членов рядов (65), (66) при n → ∞
имеют место следующие асимптотические формулы
p
µ
¶
fn000 z 2 I 1 (pn z q ) k
1
2−m
−2
2
2
a + λn 3 √
ρ J k (λn ρ) = O
,
3/2
2
λn βI 1 (pn β q )
λn
1−2m
2−m
p
a2 + λ2n
1−2m
fn000 (−z) 2 J 1 (pn (−z)q )
2−m
µ
− k2
1
√
ρ J k (λn ρ) = O
3/2
2
βI 1 (pn β q )
λn
2−m
√
¶
µ
fn000 zI 1 (pn z q ) k
1
2−m
−2
√
ρ J k (λn ρ) = O
,
3/2
2
λn βI 1 (pn β q )
λn
λ3n
¶
q
e−pn β ,
2−m
√
µ
¶
fn000 −zJ 1 (pn (−z)q ) k
1
q
2−m
−2
√
ρ J k (λn ρ) = O
e−pn β .
q
3/2
2
λn βI 1 (pn β )
λn
2−m
Из этих асимптотических формул следует, что ряды (65), (66) на
множестве D+ ∪ D− сходятся равномерно и поэтому u(ρ, z) ∈ C 2 (D+ ∪ D− ).
Единственность решения задачи E (42) – (45) следует из полноты
системы собственных функций (21) в пространстве L2 ([0, 1], ρk+1 ).
Видоизмененная задача Дирихле для уравнения смешанного типа
93
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема. Если f (ρ) ∈ C03 [0, 1], то задача E с осевой симметрией (42)
– (45) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (58).
Список литературы
1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: ИЛ, 1949. 799 c.
2. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003.
255 c.
3. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966.
Т.2. 296 c.
Сафина Римма Марселевна (rimma77705@mail.ru), старший преподаватель,
кафедра экономической информатики и математики, Татарский
государственный гуманитарно-педагогический университет, Казань.
The modificate problem of Dirichlet with axial symmetry for a
mixed type equation with the Bessel operator with
characteristic degeneration
R.M. Safina
Abstract. For the equation mixed type with the Bessel operator
uxx +
k
ux + uyy + sgnz|z|m uzz − a2 u = 0
x
in the semi cylinder D = {(x, y, z)| x2 + y 2 < 1, x > 0, −α < z < β} where
a > 0, k > 0, 1 < m < 2, α > 0, β > 0 — the setting real numbers, of method
spectral decomposition is investigated the modificate problem of Dirichlet with
axial symmetry.
Keywords: Bessel operator, the equation of mixed type, Dirichlet problem,
method of the spectral analysis.
Safina Rimma (rimma77705@mail.ru), senior teacher, department of Economic Computer Science and Mathematics, Tatar State University of Humanities and
Education, Kazan.
Поступила 16.11.2010
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа