close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Влияние статистических и геометрических параметров шероховатой поверхности на формирование потока разреженного газа в канале.

код для вставкиСкачать
2012
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 1
Вып. 4
МЕХАНИКА
УДК 533.5
ВЛИЯНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
НА ФОРМИРОВАНИЕ ПОТОКА
РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В КАНАЛЕ∗
О. А. Аксенова1 , В. И. Свиридович2 , И. А. Халидов3
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, доцент, olga.a.aksenova@gmail.com
2. С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, ansys2@mail.ru
3. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., khalidov@ih6208.spb.edu
Введение. При описании течений разреженного газа в каналах и соплах определяющую роль играют модели взаимодействия частиц газа с поверхностью [1]. Влияние шероховатости на свободномолекулярное течение газа в канале рассматривалось
вслед за Р. Г. Баранцевым [1] и Р. Н. Мирошиным [2–3] в работах [4–5]. Следуя подходу, разработанному в лаборатории аэродинамики Санкт-Петербургского государственного университета [1–3], мы моделируем форму шероховатости стенок гауссовским однородным изотропным случайным полем, которое характеризуется основным
параметром σ1 , представляющим собой среднее квадратичное отклонение тангенса
угла наклона шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня [2]. Данный подход позволяет вводить поправки на шероховатость, вводя интегралы по множеству реализаций случайного поля (так называемые континуальные интегралы),
определяемые исключительно геометрической формой течения и шероховатой поверхности, т. е. минимально используя зависимость от физических параметров течения [3, 5].
Постановка задачи о численном моделировании течения газа в каналах и соплах
на основе статистического подхода и методика ее решения были подробно изложены в
предыдущей работе [6]. Представленная работа отличается моделью взаимодействия
∗ Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января — 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.
c О. А. Аксенова, В. И. Свиридович, И. А. Халидов, 2012
39
частиц газа с поверхностью (за основу взята диффузная схема отражения на шероховатой поверхности), подходом к вычислению промежуточных данных (расчет производится на основании теории локального взаимодействия [5], которая точна в свободномолекулярном режиме и хорошо аппроксимирует экспериментальные данные в
переходном режиме между свободномолекулярным течением и сплошной средой), а
также геометрией стенок канала.
Цель настоящей работы — определение вероятности прохождения канала и распределения частиц по скоростям во всем канале как функций параметра шероховатости σ1 и степени кривизны стенок. Сужение канала в середине и расширения к
концам задают его геометрическую форму с параметром b, определяющим степень
сужения.
1. Учет влияния шероховатости на течение газа в канале. Траектории
атомов газа рассчитываются методом Монте-Карло на базе усовершенствованного
алгоритма моделирования скоростей отраженных атомов газа [5, 6]. При этом считаем, что течение газа свободномолекулярное. В данном случае количества падающих
на поверхность и отраженных от неё атомов газа совпадают, а течение полностью
определяется взаимодействием с поверхностью. Закон отражения определяется [1]
−
→ → −
→
−
→
функцией рассеяния Ve ( U , −
n , U1 ), аргументами которой являются скорость U1 атома
→
после отражения, внешняя нормаль −
n к площадке поверхности около точки удара и
−
→
скорость налетающего атома U .
В отличие от работы [6] для описания течения применяется диффузная «в малом» (т. е. на микроуровне) модель взаимодействия частиц газа с шероховатой поверхностью. Отметим, что по сравнению с работами других авторов (например, [7]),
в которых изучалась диффузная «в малом» модель рассеяния, рассматриваемая нами
модель шероховатости ближе к реальности [5]. Как показано в [5], для индикатриссы
рассеяния (плотности вероятности распределения по направлениям вылета) в этом
случае получается тригонометрическая аппроксимация на шероховатой поверхности:
V = a1 + a2 sin(Θ1 ) + a3 cos(Θ1 ).
Коэффициенты a1 , a2 , a3 являются функциями параметров режима (чисел Кнудсена, Маха, температурного фактора, шероховатости и так далее). Нелинейная зависимость коэффициентов режима от параметра шероховатости σ1 представлена в [5].
Зависимостью этих величин от модуля скорости на данном этапе пренебрегаем, полагая, что распределение по модулю скорости вылета не зависит от распределения по
направлениям. Для расчета зависимости a1 , a2 , a3 от статистических характеристик
шероховатости, в частности, от σ1 , эти коэффициенты представлены в виде континуальных интегралов по множеству реализаций моделирующего шероховатость случайного поля. Полученные континуальные интегралы определены при расчете согласно
предложенному ранее разложению оператора шероховатости [5] и найдены численно
аналогично интегралам, вычисленным ранее в задачах внешнего обтекания [3].
Для расчета вероятности прохождения молекул без столкновения с поверхностью W0 , общей вероятности прохождения Wn , а также для получения данных о распределении частиц по скоростям во всем канале реализован метод пробных частиц
Монте-Карло.
Для простоты расчета была выбрана эллиптическая форма стенок и произведена нормировка относительно ширины sh выходного сечения. Кривизна стенок опре40
делялась
сечения XOY нижняя стенка
p параметрами эллипса: для произвольного
p
y = b 1 − (x − a)2 /a2 , верхняя стенка y = 1 − b 1 − (x − a)2 /a2 (аналогично [6]).
При отсутствии взаимных соударений частиц расчет потока сводится к последовательному прямому статистическому моделированию движения каждой отдельной частицы. Для этого сначала разыгрывается распределение частиц на входном
сечении канала (предполагается, что исследуемый элемент присоединён к бесконечно большому объёму). Тогда, как следует из молекулярно-кинетической теории [8],
молекулы, попадающие на входное сечение, равномерно распределены по площади
сечения и имеют распределение Максвелла по скоростям, т. е. угловое распределение
скорости согласно закону косинуса. Затем рассчитываются траектории частиц и находятся точки столкновения частиц с поверхностью канала. При этом часть частиц
пересекает канал без столкновения с поверхностью, для них находится интересующая
нас скорость вылета, и процедура расчёта заканчивается. Для остальных (оставшихся
в канале) частиц разыгрываются соответствующие угол и модуль скорости вылета. В
нашем случае угол вылета определяется как случайная величина с заданной переменной плотностью. Далее находятся точки следующих пересечений траекторий молекул
газа с поверхностью. На этом шаге помимо вылета частиц «вперед» возможен случай
вылета частиц через входное сечение; для таких молекул процедура расчёта также
завершается. Вероятность прохождения молекулой от входного сечения до выходного
Wn = Nn /N находится как отношение количества частиц, которые прошли через канал Nn , т. е. оказались на выходном сечении, к общему числу разыгранных частиц N .
2. Результаты расчета. В процессе расчетов определялись вероятность прохождения канала и распределение частиц по скоростям во всем канале как функции
коэффициента шероховатости и параметров кривизны стенок. Вычисления произведены для каналов длиной от L = 1 до L = 10. Кривизна стенок определена параметром b, принимающим значения b = 0, 1; 0, 2.
На рис. 1 представлена зависимость вероятности прохождения канала от параметра шероховатости σ1 .
Рис. 1. Вероятность вылета частиц «вперед» в зависимости от σ1 .
На рис. 2 представлены распределения частиц по скоростям вылета (распределения углов вылета) в зависимости от параметра шероховатости и кривизны стенок
для канала длины L = 10.
41
Рис. 2. Распределение вылетевших «вперед» при b = 0, 1 (a) и «назад» при b = 0, 2 (с) атомов в
зависимости от σ1 и распределение вылетевших «вперед» при σ1 = 0, 2 (b) и «назад» при σ1 = 0, 5
(d) атомов в зависимости от характеризующей кривизну канала величины b.
На рис. 3 приведено распределение максимального расстояния пролета частиц
вдоль оси канала длины L = 10 в зависимости от параметра шероховатости σ1 и от
кривизны стенок.
На рис. 4 представлена зависимость количества прохождений атомов газа через
различные сечения канала (L = 10), также в зависимости от σ1 и от b.
Заключение. Следует отметить, что математические модели течения в цилиндрическом канале, а также в канале формы сопла Лаваля, сходны с моделью течения
в плоском щелевом канале, анализ результатов для которой позволяет сделать следующие выводы:
42
Рис. 3. Распределение максимального пролета атомов вдоль оси канала при b = 0, 2 в зависимости от параметра шероховатости σ1 (a) и при σ1 = 0, 5 в зависимости от величины b (b).
Рис. 4. Количество всевозможных пересечений траекторий атомов газа с сечениями канала
x = 0, x = L/4, x = L/2, x = 3L/4, x = L для разных σ1 при b = 0, 2 (a) и для разных b при σ1 =
0, 5 (b).
1) влияние изменения кривизны стенок канала и коэффициента шероховатости
сводится к смещению максимума потока отраженных частиц в обратном направлении, т. е. к увеличению трения на поверхности;
2) характер движения (направление скорости вылета) при фиксированной кривизне стенок напрямую зависит от коэффициента шероховатости σ1 ; пики в
распределении скоростей вылетающих атомов характеризуют направления скоростей атомов, вылетевших без столкновения со стенками;
3) использованное при расчете непосредственное моделирование скорости вылета
атомов без использования аналитических формул для функции рассеяния обеспечило высокую скорость расчета, которая, тем не менее, зависит от значения
коэффициента шероховатости σ1 — скорость убывает с ростом шероховатости.
43
Литература
1. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями.
М., 1975. 344 c.
2. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Изд-во Ленингр. унта, 1981. 212 с.
3. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
4. Борисов С. Ф., Власов А. С., Кулёв А. Н., Поликарпов Ф. Д., Сажин О. В. Роль структуры поверхностной фазы в формировании потока разреженного газа в канале. Научные
труды Института теплофизики УРО РАН, 2001. 5(MS&PT) : 252.
5. Аксенова О. А., Халидов И. А. Шероховатость поверхности в аэродинамике разреженного газа: фрактальные и статистические модели. СПб.: Изд-во ВВМ, 2004. 120 с.
6. Свиридович В. И. Роль параметров диффузно-лучевого отражения в формировании
потока разреженного газа в плоском щелевом канале // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1.
2011. Вып. 1 (№ 1). С. 138–143.
7. Sigiyama W., Savada K., Nakamori K. Rarefied gas flow between two-dimensional surface
roughness // J. Vacuum. 1996. Vol. 47 (6–8). P. 791–794.
8. Bird G. A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows. Oxford: University
Press, 1996.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
44
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа