close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком смеси вязких сжимаемых жидкостей.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2016
Математика и механика
№ 5(43)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
DOI 10.17223/19988621/43/1
А.А. Жалнина
ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ОБЛАСТИ НА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОБ ОБТЕКАНИИ ПРЕПЯТСТВИЯ ПОТОКОМ
СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Изучается зависимость решения неоднородной краевой задачи для нелинейной системы дифференциальных уравнений составного типа, моделирующей обтекание компактного препятствия потоком смеси вязких сжимаемых
жидкостей. Полученные результаты могут служить основой для исследования свойств функционалов от этих решений (например, функционала сопротивления), в частности для вычисления производной по области от функционала и последующего построения численного алгоритма поиска оптимальной формы тела, обтекаемого потоком смеси.
Ключевые слова: смесь вязких сжимаемых жидкостей, обтекание препятствия, неоднородная краевая задача, сопряженная задача.
Авторами [1] построено сильное обобщенное решение неоднородной краевой
задачи, моделирующей обтекание препятствия потоком смеси вязких сжимаемых
жидкостей. Настоящая статья посвящается исследованию зависимости решения
данной краевой задачи от формы области течения. Эти результаты имеют важное
значение для анализа свойств функционалов (скажем, функционала сопротивления) от решений краевой задачи и, следовательно, для решения задачи об оптимизации формы области течения.
Постановка задачи заключается в следующем. Область течения смеси вязких
сжимаемых жидкостей представляет собой область Ω = B \ S евклидова пространства \ 3 точек x = ( x1 , x2 , x3 ) , внешнюю по отношению к обтекаемому пре-
пятствию S (которое предполагается компактным множеством) и ограниченную
G
замкнутой поверхностью Σ . Пусть x 6 T ( x) обозначает векторное поле класса
C 2 (\3 ) , равное нулю в окрестности границы Σ . Определим отображение
G
G
x 6 y = Tε ( x) = x + εT ( x) , задающее возмущение формы обтекаемого препятствия
G
S . Для малых ε отображение x 6 Tε ( x) является диффеоморфизмом области теG
чения Ω на область Ωε = B \ Sε , где Sε = Tε ( S ) – возмущенное обтекаемое препятствие.
А.А. Жалнина
6
Стационарное движение в области Ωε смеси вязких сжимаемых жидкостей
описывается следующими уравнениями [2]:
2
G
Re
G
G
G
∑Lij (uε( j ) ) + Re ρiε (uε(i ) ⋅ ∇)uε(i ) + Ma 2 ∇piε (ρiε ) + J (i) = 0 на Ωε , i = 1, 2, (1)
j =1
G
div(ρiε uε(i ) ) = 0 в Ωε , i = 1, 2,
(2)
G (1) G (2)
где uε , uε обозначают поля скоростей компонент смеси; ρ1ε , ρ2ε – функции
плотностей компонент, а соответствующие давления piε = piε (ρiε ), i = 1, 2, предполагаются известными достаточно гладкими функциями своей плотности; через
Re и Ma обозначены числа Рейнольдса и Маха соответственно; Lij , i, j = 1, 2,
обозначают дифференциальные операторы второго порядка
G
G
G
Lij (u ( j ) ) = −μij ∆u ( j ) − (μij + λ ij )∇ div u ( j ) , i, j = 1, 2,
причем постоянные (безразмерные) коэффициенты вязкости μij , λij удовлетворяют условиям
μ11 > 0, 4μ11μ 22 − (μ12 + μ 21 ) 2 > 0, λ11 + 2μ11 > 0,
4(λ11 + 2μ11 )(λ 22 + 2μ 22 ) − (λ12 + 2μ12 + λ 21 + 2μ 21 ) 2 > 0.
G
G
G
Слагаемые J (i ) = (−1)(i ) a (uε(2) − uε(1) ), a = const > 0, i = 1, 2, характеризуют интенсивность обмена импульсами между компонентами смеси [3, 4]. Уравнения (1) и
(2) отражают соответственно законы сохранения импульсов и массы компонент
смеси.
Для постановки граничных условий используем заданные векторные поля
G ( j)
U , j = 1, 2, класса C 3 (\3 ) , обращающиеся в нуль в окрестности множества S .
G
С помощью вектор-функций U ( j ) на границе Σ области B выделим участки
«втекания»:
G G
Σinj = {x ∈ Σ : U ( j ) n < 0}, j = 1, 2 ,
и участки «вытекания» (см. рис. 1):
G G
j
Σout
= {x ∈ Σ : U ( j ) n > 0}, j = 1, 2 .
Будем предполагать выполненными следующие условия:
Условие 1. Множества Γ j = cl Σinj ∩ (Σ \ Σinj ), j = 1, 2, («характеристические»
части поверхности) представляют собой замкнутые одномерные многообразия,
j
и, кроме того,
такие, что Σ = Σinj ∪ Γ j ∪ Σout
G ( j) G
G ( j) G ( j) G
j
∫U nds = 0, j = 1, 2; U ∇(U n ) > C > 0 на Γ , j = 1, 2,
Σ
где C > 0 – некоторая постоянная.
К уравнениям (1), (2) присоединим граничные условия
G
G
G
uε( j ) = U ( j ) на Σ, uε( j ) = 0 на ∂Sε , ρ jε = ρ0jε на Σinj , j = 1, 2,
где ρ0jε , j = 1, 2, – заданные положительные постоянные.
(3)
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
7
а
b
Рис. 1. Схемы обтекания препятствия j-й компонентой смеси:
a – трехмерный поток; b – плоское сечение
Fig. 1. Schemes of aflow around an obstacle jth component
of the mixture: a) a three-dimensional flow; b) plane section
Сила сопротивления набегающему потоку со стороны препятствия Sε выражается посредством формулы
μ ∇u
∫ ⎜⎜ ∑
⎢ ij ( ε
i=1
j =1 ⎣
G 2
J D ( Sε ) = −U ∞ ∑
⎛
2
⎡
G ( j)
G
+ ∇uε( j)
(
)
T
) + λ divuG
ij
( j)
ε
⎞ G
Re
I⎤ −
p (ρ ) I ⎟ ⋅ nds , (4)
⎦⎥ Ma 2 i ε ⎟⎠
∂Sε ⎝
G∞
где U – постоянный вектор, имитирующий скорость потока на «бесконечности». Проблема минимизации этого функционала означает решение задачи выбора оптимальной формы обтекаемого препятствия.
Задачу (1) – (3) удобно свести к краевой задаче в невозмущенной области Ω
для однопараметрического семейства дифференциальных уравнений с возмущен-
А.А. Жалнина
8
G
ными коэффициентами. С этой целью вводятся функции u (i ) и ρi , i = 1, 2 , определенные в Ω согласно формулам:
G
G
G
G
u (i ) ( x) = N ( x)uε(i ) ( x + εT ( x)), ρi ( x) = ρiε ( x + εT ( x)), x ∈ Ω, i = 1, 2,
G
G
⎧⎪ ∂T ( x) ⎫⎪
где N ( x) = (det M ( x)) M −1 ( x) , M ( x) = I + εDT ( x) , DT ( x) = ⎨ i ⎬ – матрица
⎩⎪ ∂x j ⎭⎪
G
Якоби отображения x 6 T ( x) .
В результате такого преобразования задача (1) – (3) трансформируется в
задачу
2
G
2
G
G
G
G
G
∑μij ∆u ( j ) − ∇qi = ∑μij A (u ( j ) ; N ) + Re B (ρi , u (i ) , u (i ) ; N ) + (−1)i S (u (2) − u (1) ; N ) в Ω,
j =1
j =1
2
2
G
div u (i ) = ∑g σij p j − ∑g γ ij q j в Ω,
j =1
2
(5)
j =1
2
G
u (i ) ⋅∇ρi + ρi ∑g σij p j = ρi ∑g γ ij q j в Ω,
j =1
j =1
G
G
G
i
u (i ) = U (i ) на Σ, u (i ) = 0 на ∂S , ρi = ρi0 на Σin
, i = 1, 2.
Здесь g = g ( x; N ) = det N ( x) ; линейные операторы A, B и нелинейное отображение S определены по формулам
−1
G
G
G
A (u ; N ) = ∆u − N T
div g −1 NN T ∇ N −1u ,
−1 G
G G
G
B (ρ, u , w; N ) = ρ N T
u ∇ N −1w ,
−1
G
G
S (u ; N ) = g ⋅ a N T
N −1 u ;
( ) (
( ) ( (
( )
))
(
))
2
Re
G
qi = −∑ g −1 (μij + λ ij ) div u ( j ) +
p (ρ ), i = 1, 2, – эффективные вязкие давления;
2 i i
Ma
j =1
−1
γ ij – элементы матрицы
μij + λ ij , i, j = 1, 2 ; σij =
, обратной к матрице
, элементы которой есть
Re
γ ij .
Ma 2
Решение задачи (5) строится в виде возмущения специальным образом выG
бранного достаточно гладкого течения u*(i ) , ρ*i , qi(*) , т. е.
2
G
G
G
u (i ) = u*(i ) + v (i ) , ρi = ρ*i + ϕi , qi = qi* + πi + Λ ⋅ pi (ρ*i ) + ∑(μij + λ ij )m j ,
j =1
где ρ*i = ρi0 = const , Λ =
Re
, m j – постоянные, служащие инструментом конMa 2
троля масс компонентов смеси в области Ω . В итоге основным объектом исследования становится задача для возмущений [1]:
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
2
2
G
G
G
G
G
9
G
∑μij ∆v ( j ) − ∇πi = ∑μij A (u ( j ) ; N ) + Re B (ρi , u (i ) , u (i ) ; N ) + (−1)i S (u (2) − u (1) ; N ) в Ω,
j =1
j =1
2
G
1
G
div v (i ) = g ∑ * τij ϕ j − g Φ i [θ] − gmi в Ω,
j =1 ρi
G
G (i )
u ⋅ ∇ϕi + τii ϕi = Ψ i [θ] + gmi ρi в Ω,
1
G
i
v (i ) = 0 на ∂Ω, ϕi = 0 на Σin
qdx), i = 1, 2;
, Ππi = πi (Π q = q −
| Ω | Ω∫
G
G
G
G
m = (m1 , m2 )T , m = (kI − A) −1 f , A = {aij }i2, j =1 , f = ( f1 , f 2 )T ,
2
G
G
1
1
k = ∫ gdx, aij = * ∫ g ρ j ζ i( j ) dx, fi = * ∫ (∑ζ i( j ) Ψ j [θ] − g Φ i [θ])dx;
ρi Ω
ρi Ω j =1
Ω
G (i ) (i )
(i )
(i )
− div(u ⋅ ζ j ) + τii ⋅ ζ j = τ ji g в Ω, ζ (ji ) = 0 на Σ out
, i, j = 1, 2.
(6)
Здесь постоянные параметры τij связаны известным образом с коэффициентами
G
G
вязкости μij , λ ij и заданными граничными значениями ρi0 ; Φ i [θ], Ψ i [θ] – известG
G G
ные функции компонент вектора θ = (v (1) , v (2) ; π1 , π2 , ϕ1 , ϕ2 ) , выражения которых
приведены в [1], где также доказана теорема существования
G
G
Теорема 1. Пусть поверхность Σ и векторные поля U (1) , U (2) удовлетворяют
условию 1. Тогда найдутся такие числа σ* > 1 и τ* ∈ (0,1) , что если матрица N
выбрана из условия I − N
С 2 (Ω)
≤ τ2 , τ ∈ (0, τ* ] , p j (ρ j ) ∈ C 3 (0, ∞), j = 1, 2, а пара-
1
≤ τ2 , Re ≤ τ2 , a ≤ τ2 ,
Λ
i = 1, 2, τ ∈ (0, τ* ] , то задача (6) имеет решение
G
mi , ζ i( j ) , i, j = 1, 2, такое, что θ ∈ V s ,r × X s , r , mi ∈ \,
метры задачи таковы, что
| τ12 |≤ τ, | τ21 |≤ τ, τii ≥ σ* ,
G
G G
θ = (v (1) , v (2) ; π1 , π2 , ϕ1 , ϕ2 ),
ζ i( j ) ∈ X s ,r , где показатели
3
s ∈ (0,1) , r ∈ (1, ∞) удовлетворяют условиям s ⋅ r > 3 , 2 s − < 1 . При этом векr
G
тор θ принадлежит шару Bτ радиуса τ с центром в нуле пространства
V s,r × X s,r .
Здесь V s , r , X s , r обозначают пространства
X s , r = W s ,r (Ω) ∩ W 1,2 (Ω), V s ,r = W s +1,r (Ω) ∩ W 2,2 (Ω),
причем W l , p (Ω) ( l – целое неотрицательное число, 1 ≤ p < ∞ ) – стандартное
пространство С.Л. Соболева [5], состоящее из измеримых в Ω функций, имеющих обобщенные производные в Ω до порядка l включительно, суммируемые со
степенью p . Для вещественных s ∈ (0,1) , r ∈ (1, ∞) функциональное пространство W s ,r (Ω) получается методом вещественной интерполяции [6] между Lr (Ω) и
W 1, r (Ω) и состоит из измеримых функций с конечной нормой
А.А. Жалнина
10
r
u
W s , r (Ω )
= u
Lr (Ω)
+ | u |s , r , Ω , | u | s , r , Ω =
−3 ⎛ | u ( x ) − u ( y ) | ⎞
∫ | x − y | ⎜⎝ | x − y |s ⎟⎠ dxdy.
Ω×Ω
В общем случае пространство W l + s , r (Ω), 0 < s < 1, 1 ≤ r < ∞, l ≥ 0 – целое число, определяется как пространство измеримых функций с конечной нормой
u
W l + s , r (Ω )
= u
W l , r (Ω )
+ sup D α u
|α|= l
W s , r (Ω )
.
Через W0s ,r (Ω) , 0 ≤ s ≤ 1 обозначается замкнутое подпространство W s , r (\3 ) , состоящее из всех функций u ∈ W s , r (\3 ) , обращающихся в нуль вне области Ω .
Для 0 < s < 1, 1 < r < ∞ обозначим через W0s , r (Ω) интерполяционное пространство [W00, r (Ω), W01, r (Ω)]s , r с нормой, определенной методом вещественной интерполяции.
Пусть 0 ≤ s ≤ 1, 1 < r < ∞ ,
1 1
+ = 1 . Через W − s , r (Ω) обозначим замыкание
r r′
Lr (Ω) относительно нормы:
v
W − s , r (Ω )
=
∫u ⋅ vdx .
sup
′
u∈W0s , r (Ω)
Ω
u W s , r ′ (Ω) = 1
0
Как известно [7], пространство W − s , r (Ω) для 0 < s < 1 , 1 < r < ∞ топологически
и алгебраически изоморфно Банахову пространству
( W0s,r′ (Ω) )′ , сопряженному
W0s , r ′ (Ω) , и может быть отождествлено с ним.
Для любых 0 ≤ s ≤ 1 , 1 < r < ∞ Банахово пространство W − s , r (Ω) представляет
собой замыкание Lr (Ω) по норме
v
W − s , r (Ω)
= Lv
(W s , r
′
(Ω))′ ,
где Lv (u ) =< v, u >= ∫v( x) ⋅ u ( x)dx – непрерывный функционал на пространстве
Ω
W
s,r ′
(Ω) , непрерывно вложенном в Lr ′ (Ω) . Известно [7], что если Ω – ограни-
ченная область в \ 3 с границей класса C1 , то W − s , r (Ω) алгебраически и топологически изоморфно двойственному пространству (W s , r ′ (Ω))′ и может быть отождествлено с ним. Введем, кроме того, функциональные пространства
U s , r = W s −1,r (Ω) × W s , r (Ω) × \, V s ,r = W s +1, r (Ω) × W s , r (Ω) × \,
Z s , r = W s −1, r (Ω) ∩ L2 (Ω),
E s , r = Z s , r × X s , r × \, F s , r = V s , r × X s , r × \,
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
11
G
Принадлежность векторной величины F прямому произведению пространств
G
W1 × W2 × W3 следует понимать в том смысле, что F составлен из трех компоненG
тов (векторных или скалярных), разделенных точкой с запятой F = ( F1 ; F2 ; F3 ) и
G
при этом F1 ∈ W1 , F2 ∈ W2 , F3 ∈ W3 . Если W1 = W2 = W3 = W , то пишем F ∈ W и
компоненты вектора разделяем запятой.
Зависимость решений от формы области
Важнейшим этапом исследования задачи оптимизации формы является доказательство единственности решения задачи (6) и дифференцируемости ее решения относительно параметра ε . Для этого прежде всего необходимо исследовать
зависимость этих решений от матрицы N , полностью определяемой деформацией области течения. На данном этапе структура матрицы N не имеет значения и
поэтому полученные ниже результаты справедливы для произвольной гладкой
матричнозначной функции N ( x), x ∈ Ω .
G G
1. Задача для разностей. Для разности q0 − q1 ,
G
G G
(1) (2) (2)
i
i
qi = (vi(1) , vi(2) ; π1i , πi2 , ϕ1i , ϕi2 , ζ1(1)
i , ζ 2i , ζ1i , ζ 2i ; m1 , m2 ), i = 0,1,
решений задачи (6), полученных в сответствии с теоремой 1 и соответствующих
различным матрицам N 0 и N1 , введем обозначения
G
G
G
w( j ) = v0( j ) − v1( j ) , ω j = π0j − π1j , ψ j = ϕ0j − ϕ1j , n j = m0j − m1j , ξ(jk ) = ζ (jk0) − ζ (jk1) ,
k , j = 1, 2.
(7)
Из (6) следует, что вектор-функция
G G
G
G
(2) (2)
q0 − q1 = ( w(1) , w(2) ; ω1 , ω2 , ψ1 , ψ 2 , ξ1(1) , ξ(1)
2 , ξ1 , ξ 2 ; n1 , n2 )
является решением следующей линейной задачи:
2
G
2
G
G
G
G
∑μij ∆w( j ) − ∇ωi = ∑μij A0 (w( j ) ) + Re L(ψi , w(i ) ) + Di + (−1)i (E + S0 (w(2) − w(1) ))
j =1
(8)
j =1
2
2
G
div w(i ) = ∑αij ψ j + ∑βij ω j + γ i ni + δi d ;
j =1
(9)
j =1
2
2
G
G
u0(i ) ⋅ ∇ψ i + τii ψ i = − w(i ) ⋅∇ϕ1i + ∑αˆ ij ψ j + ∑βˆ ij ω j + γˆ i ni + δˆ i d в Ω ;
(10)
G
G
− div(u0(i ) ξ(ji ) ) + τii ξ(ji ) = div( w(i ) ζ (ji1) ) + τ ji d в Ω ;
(11)
G
i
w(i ) = 0 на Ω, ψ i = 0 на Σin
, ωi = Πωi , ξ(ji ) = 0 на Σiout ;
(12)
2
2
⎡
⎤
ni = ∑χik0 ∫ ⎢δ k d + ∑(α kj ψ j + β kj ω j + γ kj ξ(jk ) ) ⎥ dx, i, j = 1, 2.
⎢
k =1
j =1
⎦⎥
Ω⎣
(13)
j =1
j =1
А.А. Жалнина
12
В записи данных уравнений используются обозначения:
G
G
G G
G G
G
G
Ak ( w) = A ( w; N k ), Bk (ρ, u , w) = B (ρ, u , w; N k ), Sk ( w) = S ( w; N k ), k = 0,1,
G
G G
G G
G G
L(ψ i , w(i ) ) = B0 (ψ i , u0(i ) , u0(i ) ) + B0 (ρ1i , w(i ) , u0(i ) ) + B0 (ρ1i , u1(i ) , w(i ) ),
G
G
G
G
E = S0 (u1(2) − u1(1) ) − S1 (u1(2) − u1(1) ),
2
G
G
G G
G G
Di = ∑μij A0 (u1( j ) ) − A1 (u1( j ) ) + Re B0 (ρ1i , u1(i ) , u1(i ) ) − B1 (ρ1i , u1(i ) , u1(i ) ) ,
j =1
(
)
(
)
d = g 0 − g1 , g k = det N k .
G
Cимволы χik0 обозначают элементы матрицы (k ( N 0 ) I − A( N 0 , θ0 )) −1 . Коэффициенты αij , βij , γ i , δi , αˆ ij , βˆ ij , γˆ i , δˆ i , α ij , β ij , γ ij , δ i , i, j = 1, 2, в правых частях уравнеG
G
ний (9), (10) и (13) зависят от решений q0 и q1 и рассматриваются как известные
функции. Выражения для этих коэффициентов весьма громоздкие, в силу чего
здесь не приводятся. Мы укажем лишь оценки для них, которые потребуются в
дальнейшем. Именно, при выполнении условий теоремы 1 справедливы неравенства
ˆ
ˆ
, δˆ
α
≤ cτ,
s,r , α
s,r , i ≠ j, β
s,r , δ
s,r , β
{
ij X
ij X
i X
{ α ij
X s,r
, β ij
{ αii
X s,r
, γi
X s,r
X s,r
ij X s , r
ij X
, γ ij
, γˆ i
X s,r
X s,r
, δ i
} ≤ c,
X s,r
i X s ,r
} ≤ cτ,
}
(14)
i, j = 1, 2,
где параметр τ обозначает радиус шара в пространстве V s , r × X s , r , которому
G
G
принадлежат решения θ0 и θ1 . Через c обозначена постоянная, зависящая только
G
G
от области Ω , векторных полей U (1) , U (2) и параметров r , s , τ11 , τ22 . В дальG
G
нейшем зависимость той или иной постоянной от Ω, U (1) , U (2) , τ11 , τ22 будем коротко называть зависимостью от данных задачи.
G G
2. Сопряженная задача. Задача (8) – (13) для разности q0 − q1 имеет ту особенность, что к уравнениям (10), входящим в состав этой задачи, неприменимы
известные результаты [7] о транспортных уравнениях, в силу того, что слагаемое
G
w(i ) ⋅ ∇ϕ1i не удовлетворяет нужным условиям гладкости (не является ни гладким
ни ограниченным). Однако из теоремы существования вытекает принадлежность
G
слагаемых w(i ) ⋅ ∇ϕ1i пространству W s −1,r (Ω) , и поэтому возникает возможность
G G
трактовать разность q0 − q1 как очень слабое решение задачи (8) – (13). В связи с
этим сформулируем сопряженную задачу следующим образом.
G
Для заданных векторных полей H (i ) , скалярных полей Gi , Fi , M1i , M 2i и конG
стант si , i = 1, 2 найти векторные поля w*(i ) , скалярные поля ω*i , ψ*i , ξi( j )* и константы ni* , i, j = 1, 2, такие, что
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
2
G
G
G
G
13
G
∑μ ji ( ∆w*( j ) − ∇ω*j − A0 (w*( j ) ) ) − Re Hi (w*(i ) ) + (−1)i +1 S0 (w*(2) − w*(1) ) +
j =1
2
G
+ψ*i ⋅∇ϕ1i + ∑ζ (ji1) ⋅ ∇ξ(ji )* = H (i ) в Ω;
(15)
2 ⎡
2
⎤
G
divw*(i ) = Π ∑ ⎢βˆ ki ψ*k + ∑(nk* χ0kj β ji + μ kj β ji ω*k ) ⎥ + Π Gi в Ω;
⎥⎦
k =1 ⎢
j =1
⎣
(16)
j =1
2 ⎡
2
⎤
G
G
− div(ψ*i u0(i ) ) + τii ψ*i = Re Mi ( w*(i ) ) + ∑ ⎢αˆ ki ψ*k + ∑(nk* χ0kj α ji +μ kj α ji ω*k )⎥ + Fi в Ω;
⎢
k =1 ⎣
j =1
⎦⎥
(17)
2
G
u0(i ) ∇ξ(ji )* + τii ξ(ji )* = γ ij ∑nk* χ0ki + M ji в Ω ;
(18)
⎛ 2
⎞
ni* = ∫ ⎜ γ i ∑μ ji ω*j + γˆ i ψ*i ⎟ dx + si ;
⎜
⎟
j =1
⎠
Ω⎝
(19)
G
i
w*(i ) = 0 на ∂Ω, ψ*i = 0 на Σiout , ξ(ji )* = 0 на Σin
, Πω*i = ω*i , i, j = 1, 2.
(20)
k =1
Здесь линейные операторы Hi и Mi определены формулами
G
G
G
G
G
Hi (h ) = ρ1i ∇( N 0−1u0(i ) ) N 0−1h − ( N 0T ) −1 div(ρ1i u1(i ) ⊗ ( N 0−1h )),
G
G
G
G
Mi (h ) = (u0(i ) ∇( N 0−1u0(i ) )) ⋅ N 0−1h , i = 1, 2.
Дальнейшее содержание этого раздела посвящается доказательству существования и единственности сильных и слабых решений сопряженной задачи (15) –
G
(20). Эти результаты позволяют вывести оценки норм разностей w(i ) , ωi ,
ψ i , ξi( j ) и ni .
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно параметры
1
< s < 1, (1 − s ) r > 3 . Тогда найдутся числа c, σc и τc ,
s, r таковы, что
2
зависящие от данных задачи и параметров s, r , такие, что если
G
G
G
min{τ11 , τ22 } > σc и 0 < τ ≤ τc , то для каждой вектор-функции f = ( f (1) , f (2) ) ,
G
G
f (i ) = ( H (i ) ; Gi , Fi , M1i , M 2i ; si ) ∈ U s , r , задача (15) – (20) имеет единственное реG
G G
G
G
шение h = (h (1) , h (2) ) , h (i ) = ( w*(i ) ; ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )* ; ni* ) ∈ V s ,r , удовлетворяющее неравенству
G
G
h s,r ≤ c f s,r .
(21)
V
E
G
Если наложить более ограничительное условие на правую часть f , а именно
G
G
f ∈ E s ,r , то решение h принадлежит классу F s ,r и при этом имеет место неравенство
G
G
h s,r ≤ c f s,r .
(22)
F
E
А.А. Жалнина
14
Схема доказательства теоремы 2. Уравнения (15) – (19) сопряженной задачи представим в символическом виде:
G
G
G G
G
G G
G
A[h* ] − B[h* ] = F , h* = (h*(1) , h*(2) ), h*(i ) = ( w*(i ) ; ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )* ; ni* )
где интегро-дифференциальные операторы A и B определяются посредством
формул
G
G
G
A[h* ] = ( A1[h* ], A2 [h* ]),
2
⎧2
⎫
G ( j)
*
μ
∆
−
∇ω
+
w
∑ζ (ji1) ⋅ ∇ξ(ji )* ⎪
j
⎪∑ ji
*
j =1
⎪ j =1
⎪
G (i )
⎪div w
⎪
*
⎪
⎪
2 2
⎪
* G (i )
*
*⎪
G
⎪− div(ψ i u0 ) + τii ψ i − ∑∑μ kj α ji ωk ⎪
Ai [h* ] = ⎨
k =1 j =1
⎬,
⎪uG (i ) ∇ξ(i )* + τ ξ(i )*
⎪
ii 1
1
⎪ 0
⎪
⎪uG0(i ) ∇ξ(2i )* + τii ξ(2i )*
⎪
⎪
⎪
2
⎛
⎪ *
⎪
*
*⎞
⎪ni − ∫ ⎜⎜ γ i ∑μ ji ω j + γˆ i ψ i ⎟⎟ dx
⎪
j =1
⎩
⎠
⎭
Ω⎝
G
G
G
B[h* ] = ( B1[h* ], B2 [h* ]),
(
)
(23)
⎧2
G ( j)
G (i )
G (2) G (1)
i
*
1⎫
⎪∑μ ji A0 ( w* ) + Re Hi ( w* ) + (−1) S0 ( w* − w* ) − ψ i ⋅ ∇ϕi ⎪
⎪ j =1
⎪
⎪ 2 ⎡
⎪
2
⎤
⎪Π ∑ ⎢βˆ ki ψ*k + ∑(nk* χ0kj β ji + μ kj β ji ω*k ) ⎥
⎪
⎪ k =1 ⎢⎣
⎪
⎥⎦
j =1
⎪
⎪
2 ⎡
2
G (i )
⎪⎪
⎪⎪
*
* 0
* ⎤
G
ˆ
Bi [h* ] = ⎨Re Mi ( w* ) + ∑ ⎢α ki ψ k + ∑(nk χ kj α ji + μ kj α ji ωk ) ⎥
⎬.
⎢
⎥
k =1 ⎣
j =1
⎦
⎪
⎪
⎪ 2 * 0
⎪
⎪ γ i1 ∑nk χ ki
⎪
⎪ k =1
⎪
2
⎪
⎪
* 0
⎪ γ i 2 ∑nk χ ki
⎪
⎪ k =1
⎪
⎪⎩0
⎪⎭
Рассмотрим следующую краевую задачу, присоединяя к системе уравнений
G
G
A[h* ] = F
(24)
граничные условия
G
w*( j ) = 0 на ∂Ω, ψ*i = 0 на Σiout , ξ1(i )* = 0, ξ(2i )* = 0 на Σiin , Πω*i = ω*i , i = 1, 2. (25)
G
G
G
Нетрудно видеть, что для каждой правой части
F = ( F (1) , F (2) ) ,
G
G
F (i ) = ( H (i ) ; Gi , Fi , M1i , M 2i ; si ) из пространства U s ,r краевая задача (24), (25) распадается на несколько независимых линейных граничных задач, а именно, функции ξ(ji )* , i, j = 1, 2, определяются независимо как решения следующей задачи для
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
15
транспортного уравнения
G
i
u0(i ) ∇ξ(ji )* + τii ξ(ji )* = M ji в Ω, ξ(ji )* = 0 на Σin
, i, j = 1, 2.
G
После этого компоненты w*(i ) , ω*i , i = 1, 2, находятся как решения задач типа
Стокса, т.е.
2
2
G
G
∑μ ji (∆w*( j ) − ∇ω*j ) = H (i ) − ∑ζ (ji1) ⋅ ∇ξ(ji )* в Ω,
j =1
j =1
G
div w*(i ) = Π Gi в Ω,
G
w*(i ) = 0 на ∂Ω, Πω*i = ω*i , i = 1, 2.
Следующий шаг – определение компонент ψ*i как решения краевой задачи
2 2
G
− div(ψ*i u0(i ) ) + τii ψ*i = ∑∑μ kj α ji ω*k + Fi в Ω, ψ*i = 0 на Σiout , i = 1, 2.
k =1 j =1
Завершает процедуру построения решения задачи (24), (25) нахождение постоянных ni* по формулам
⎛ 2
⎞
ni* = ∫ ⎜ γ i ∑μ ji ω*j + γˆ i ψ*i ⎟ dx + si , i = 1, 2.
⎜
⎟
j =1
⎠
Ω⎝
На основании известных результатов о транспортных уравнениях и линейной задачи типа Стокса [1, 7] можем утверждать существование таких констант c и σc ,
G
G
зависящих от данных задачи Ω , U (1) , U (2) и параметров r , s , что если
min{τ11 , τ22 } ≥ σc , то задача (24), (25) однозначно разрешима в пространствах
V s , r и справедливо неравенство
G
h*
V s,r
G
≤c F
U s ,r
.
(26)
Сказанное выше мы трактуем в виде существования (обратного) ограниченного
G
линейного оператора A−1 : U s , r → V s , r , сопоставляющего элементу F ∈ U s , r
G
G
единственное решение h* = A−1[ F ] краевой задачи (24), (25).
Обратимся теперь к интегрально-дифференциальному оператору B , заданному формулами (23), и отметим следующие его свойства.
1
< s < 1,
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того,
2
(1 − s )r > 3. Тогда B – ограниченный линейный оператор из V s , r в U s ,r и из F s ,r
в E s ,r , и при этом выполняются неравенства
G
G
Bh s ,r ≤ c ⋅ τ h
G
Bh
U
E s,r
G
≤ c⋅τ h
V s,r
F s,r
;
(27)
.
(28)
G
G
Здесь постоянная c зависит только от Ω , векторных полей U (1) , U (2) и параметров r , s .
А.А. Жалнина
16
Cейчас мы можем завершить доказательство существования и единственности
решения сопряженной задачи.
Пусть выполнены условия теоремы 2. Сопряженная задача (15) – (20) может
быть записана в виде операторного уравнения
G
G
( I − A−1 B)h = A−1 f .
В силу (26), (27) линейные операторы A−1 : U s , r → V s , r и A−1 B : V s ,r → V s , r ограничены, причем
A−1 B
L (V s ,r )
≤ cV ⋅ τ ,
(29)
где постоянная cV зависит только от данных задачи и параметров r , s . На основании условий теоремы 1 параметр τ удовлетворяет условиям 0 < τ ≤ τ* (τ11 , τ22 ) .
Выберем постоянную τc так, чтобы выполнялись неравенства
0 < τc ≤ τ* (τ11 , τ22 ), τc ⋅ cV ≤ q < 1.
Из (29) следует, что для τ ∈ (0; τc ] норма A−1 B
L (V s ,r )
отделена от единицы и на
основании известной теоремы оператор ( I − A−1 B ) −1 существует и ограничен
1
.
1− q
G
Таким образом, для указанных значений τ и любых f ∈ U s ,r сопряженная задача
G
(15) – (20) имеет единственное решение h ∈ V s , r , и для него имеет место неравенство (21).
G
Пусть теперь правая часть f задачи (15) – (20) принадлежит пространству
( I − A−1 B) −1
L (V s ,r )
≤
E s ,r . Так как оператор A−1 решения задачи (24), (25) является ограниченным линейным оператором, действующим из E s ,r в F s ,r , то в силу оценок (26), (28)
имеем
A−1 B
L( F s,r )
≤ cF ⋅ τ .
Если параметр τ подчинен условию τ ∈ (0; τc ] , где
0 < τc ≤ τ* (τ11 , τ22 ), τc ⋅ cF ≤ q < 1,
G
G
то подобно предыдущему случаю получаем, что при условии f ∈ E s ,r решение h
задачи (15) – (20) принадлежит классу F s ,r и справедлива оценка (22). Теорема 2
доказана.
3. Оценки разностей. Для s ∈ (0,1) , r ∈ (1, ∞) обозначим через 〈 ⋅ , ⋅ 〉1 и
〈 ⋅ , ⋅ 〉 0 соотношение двойственности между парами пространств W s −1,r (Ω) ,
W01− s , r′ (Ω) и W − s , r′ (Ω) , W s ,r (Ω) соответственно.
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
17
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда векторные поля
G ( j)
w , j = 1, 2 , скалярные поля ω j , ψ j , ξ(ji ) , i, j = 1, 2, и постоянные n j , j = 1, 2, ,
определенные по формулам (7) принадлежат соответственно пространствам
W01− s , r′ (Ω) , W − s , r′ (Ω) , \ и удовлетворяют тождеству
2
G
G
∑ ⎡⎣〈 H (i ) , w(i ) 〉1 + 〈ωi , Gi 〉 0 + 〈ψi , Fi 〉 0 + 〈ξ1(i ) , M1i 〉 0 + 〈ξ(2i ) , M 2i 〉 0 + ni si ⎤⎦ =
i =1
2
2
⎡G
⎛
⎞⎤
= ∑ ∫ ⎢ w*(i ) (Di + (−1)i E ) + d ⎜ δˆ i ψ*i + ∑(τ ji ξ(ji )* + ni*χij0 δ j + μij δ j ω*i ) ⎟ ⎥ dx, (30)
⎜
⎟
⎢
i =1 Ω ⎣
j =1
⎝
⎠⎦⎥
G (i )
G (i )
f = ( H ; Gi , Fi , M1i , M 2i ; si ), i = 1, 2,
– произвольные функции из
где
G
W s −1,r (Ω) × W s , r (Ω) × \ , а ( w*(i ) ; ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )* ; ni* ), i = 1, 2, – соответствующее
решение сопряженной задачи (15) – (20).
Доказательство. Поскольку множество Lr (Ω) × W 1, r (Ω) × \ содержится в
E s ,r и плотно в U s , r = W s −1,r (Ω) × W s , r (Ω) × \ , то для любого элемента
G
G
G
G
G
f = ( f (1) , f (2) ) , f (i ) = ( H (i ) ; Gi , Fi , M1i , M 2i ; si ) из пространства U s ,r найдется поG
G
G
G
G
f n = ( f n(1) , f n(2) ) ,
f n(i ) = ( H n(i ) ; Gin , Fin , M1in , M 2in ; sin ) ,
следовательность
G
f n(i ) ∈ Lr (Ω) × W 1,r (Ω) × \ , такая, что
G
G
(31)
f n → f в U s , r , n → ∞.
G
Поэтому докажем тождество (30) сначала для вектор-функции f из
пространства Lr (Ω) × W 1, r (Ω) × \ . В этом случае соответствующее решение
G
( w*(i ) , ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )* , ni* ), i = 1, 2, сопряженной задачи (15) – (20) принадлежит
G
классу V s , r × X s , r × \ = F s ,r (в частности, это означает, что векторные поля w*(i )
обладают непрерывными производными первого порядка и производными второго порядка, суммируемыми с квадратом, и скалярные функции ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )*
непрерывны и обладают производными первого порядка, суммируемыми с квадG G G
ратом). В силу теоремы 1 можем утверждать, что w(i ) , vk(i ) , uk(i ) ∈ V s , r ,
ωi , ψ i , ξ(ji ) , ρik , πik , ϕik , ζ (jki ) ∈ X s , r , i, j = 1, 2, k = 0,1. Непрерывность вложений V s , r
в C1 (Ω) обеспечивает непрерывную дифференцируемость в Ω векторных полей
G G G
w(i ) , vk(i ) , uk(i ) и, разумеется, принадлежность их W 2,2 (Ω) . Непрерывность вложения
X s,r
в C (Ω)
влечет непрерывность скалярных функций ωi , ψ i , ξ(ji ) ,
ρik , πik , ϕik , ζ (jki ) , принадлежащих также пространствам W 1,2 (Ω) . Отсюда следует,
что уравнения (8) – (11), (13) выполнены в сильном смысле. Умножая эти уравнеG
ния соответственно на решение w*(i ) , ω*i , ψ*i , ξ1(i )* , ξ(2i )* , ni* , i = 1, 2, сопряженной заG
дачи (15) – (20), соответствующее элементу f ∈ Lr (Ω) × W 1, r (Ω) × \ , и интегрируя
по частям, приходим к тождеству
А.А. Жалнина
18
⎡
2
G
G
⎤
∑ ⎢⎢ ∫ ( w(i ) H (i ) + ωi Gi + ψi Fi + ξ1(i ) M1i + ξ(2i ) M 2i ) dx + ni si ⎥⎥ =
i =1 ⎣ Ω
⎦
⎡G
⎛
⎞⎤
= ∑ ∫ ⎢ w*(i ) (Di + (−1)i E s , r ) + d ⎜ δˆ i ψ*i + ∑(τ ji ξ(ji )* + ni*χij0 δ j + μij δ j ω*i ) ⎟ ⎥ dx. (32)
⎜
⎟
i =1 Ω ⎢
j =1
⎣
⎝
⎠⎦⎥
G
G
Заметим, что вектор-функции ( H (i ) ; ωi , ψ i , ξ1(i ) , ξ(2i ) ) и ( w(i ) ; Gi , Fi , M1i , M 2i )
2
2
W s −1, r (Ω) × W − s , r′ (Ω) ,
и
G
′
W01− s , r (Ω) × W s , r (Ω) , соответственно. Действительно, H (i ) ∈ W s −1,r (Ω) поскольG
ку H (i ) ∈ Lr (Ω) и имеет место ограниченное вложение Lr (Ω) в W s −1,r (Ω) . Ска-
принадлежат
двойственным
лярные поля ωi , ψ i , ξ1(i ) , ξ(2i )
пространствам
есть элементы W s ,r (Ω) , а в силу вложений
W s , r (Ω) ⊂ Lr (Ω) ⊂ W − s , r ′ (Ω) ( r > 3, 1 < r ′ =
r
< r ) получаем, что эти функции
r −1
принадлежат W − s , r′ (Ω) .
G
G
Далее, векторное поле w(i ) ∈ V s , r и, следовательно, w(i ) ∈ C1 (Ω) . Кроме того
G
w(i ) принимает нулевое значение на ∂Ω . Таким образом, ясно, что
G
w(i ) ∈ W01, r ′ (Ω) . Так как W01− s , r′ (Ω) – интерполяционное пространство
[Lr ′ (Ω),W01, r ′ (Ω)]1− s , r ′ и W01, r ′ (Ω) ⊂ Lr ′ (Ω) , то W01, r ′ (Ω) ⊂ W01− s , r ′ (Ω) . Итак, имеет
G
место включение w(i ) ∈ W01− s ,r ′ (Ω) . С другой стороны, элементы Gi , Fi , M1i , M 2i
принадлежат, очевидно, W s ,r (Ω) . В силу вышесказанного, интегралы в левой
части тождества (32) могут быть записаны в терминах форм двойственности и,
таким образом, тождество (30) леммы 2 доказано для вектор-функций
G
( H (i ) ; Gi , Fi , M1i , M 2i ; si ) из более узкого функционального пространства
Lr (Ω) × W 1, r (Ω) × \ , т.е. имеем право написать
2
G
G
∑ {〈 H n(i ) , w(i ) 〉1 + 〈ωi , Gin 〉 0 + 〈ψi , Fin 〉 0 + 〈ξ1(i ) , M1in 〉 0 + 〈ξ(2i ) , M 2in 〉 0 + ni sin } =
i =1
2
2
⎧⎪ G
⎛
⎞⎫⎪
* 0
= ∑ ∫ ⎨ wn(i*) (Di + (−1)i E ) + d ⎜ δˆ i ψ*in + ∑(τ ji ξ(jni )* + nin
χij δ j + μij δ j ω*in ) ⎟ ⎬ dx, (33)
⎜
⎟
⎪
i =1 Ω ⎩
j =1
⎝
⎠⎭⎪
G
G
*
где hn(i ) = ( wn(i*) ; ω*in , ψ*in , ξ1(in)* , ξ(2in)* ; nin
), i = 1, 2, – решение задачи (15) – (20), соотG (i )
ветствующее «правой части» f n , i = 1, 2 . Из (31) в силу теоремы 2 имеем, что
G
G G
G
G G
(34)
hn = (hn(1) , hn(2) ) → h = (h (1) , h (2) ) в V s , r , n → ∞.
Совершая в (33) предельный переход при n → ∞ , получаем в силу (31) и (34)
заявленное в лемме 2 тождество (30). Лемма 2 доказана.
G G
Доказанное в лемме 2 тождество (30) означает, что разность q0 − q1 является
очень слабым решением линейной задачи (8) – (13).
Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком
19
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда имеет место неравенство
2
∑ ⎛⎜⎝
G
w(i )
i =1
′
W01− s , r
+ ψi
W − s,r
′
(
L1 ( Ω )
+ D1
≤c d
+ ωi
W− s,r
L1 ( Ω )
′
+ ξ1(i )
+ D2
W − s ,r
L1 ( Ω )
′
+ E
+ ξ(2i )
L1 ( Ω )
W − s ,r
),
′
⎞
+ | ni | ⎟ ≤
⎠
(35)
где постоянная c зависит от данных задачи и параметров r , s .
Доказательство. Обращаясь к тождеству (30), заметим, что поскольку коэффициенты δˆ i , δ i , δi ограничены по модулю константой, зависящей только от данных задачи и r , s (см. (14)), то правая часть этого тождества может быть оценена
величиной
∑ ( w*(i ) C (Ω) +
2
G
i =1
(
ψ*i
× d
C (Ω)
L1 ( Ω )
+ ω*i
+ D1
C (Ω)
L1 ( Ω )
+ ξ1(i )*
+ D2
C (Ω)
L1 ( Ω )
+ ξ(2i )*
+ E
L1 ( Ω )
C (Ω)
)
+ | ni* | ×
) ⋅ c.
(36)
Кроме того, в силу теоремы вложения и оценки (21) имеем
∑ ( w*(i ) C (Ω) +
2
G
ψ*i
i =1
+ ω*i
G
≤c h
C (Ω)
+ ξ1(i )*
+ ξ(2i )*
C (Ω)
G
≤ c f s,r
C (Ω)
V s,r
C (Ω)
)
+ | ni* | ≤
(37)
U
Из (36) и (37) получим
2
G
G
∑ 〈 H (i ) , w(i ) 〉1 + 〈ωi , Gi 〉 0 + 〈ψi , Fi 〉 0 + 〈ξ1(i ) , M1i 〉 0 + 〈ξ(2i ) , M 2i 〉 0 + ni si ≤
i =1
{
}
2
(
≤ c∑ d
i =1
L1 ( Ω )
+ Di
L1 ( Ω )
+ E
L1 ( Ω )
)
G
f
U s ,r
(38)
Из неравенства (38), очевидно, следует оценка (35). Лемма 3 доказана.
Из неравенства (35) вытекает, во-первых, единственность решения задачи (6).
Кроме того, из (35) следует, что отображение, сопоставляющее матричнозначной
G
функции N решение q неоднородной краевой задачи (6) является Липшицевым
в слабой норме.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жалнина А.А., Кучер Н.А. О корректности неоднородной краевой задачи для уравнений
смесей вязких сжимаемых жидкостей // Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18. № 3.
C. 26–39. DOI 10.17377/sibjim.2015.18.303.
2. Rajagopal K.R., Tao L. Mechanics of mixtures. Singapore: World Sci., 1995.
3. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И. Механика многофазных сред // Итоги науки и техники.
Сер. гидромеханика. 1972. Т. 6. С. 93−174.
4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987.
5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
6. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.
7. Plotnikov P., Sokolowski J. Compressible Navier-Stokes equations: Theory and shape
optimization. Basel: Springer, 2012. DOI 10.1007/978-3-0348-0 367-0.
Статья поступила 16.07.2016 г.
20
А.А. Жалнина
Zhalnina A.A. (2016) DOMAIN SHAPE INFLUENCE ON THE SOLUTION OF THE
PROBLEM ABOUT THE FLOW OF A MIXTURE OF COMPRESSIBLE VISCOUS FLUIDS
AROUND AN OBSTACLE Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics.
5(43). pp. 5−20
DOI 10.17223/19988621/43/1
In this paper, it is studied how the solution of the boundary value problem for the motion
equations of a mixture of compressible viscous fluids depends on the shape of the domain. Such a
problem arises in connection with the problem of searching for the optimum shape of the obstacle
which is flown around by a stream of the mixture. The solution is reduced to studying the
dependence of solutions of a nonlinear system of compound-type partial differential equations on
the matrix setting the deformation of the domain. Properties of coefficients of the linear system
obtained for a difference of two possible solutions (corresponding to two different matrices) allow
one to construct only its very weak solutions. Therefore, there appears the necessity to consider
the conjugate problem and to construct its solutions (weak and strong ones). The basic results of
the work are estimations allowing one to assert that the mapping associating the solution of the
abovementioned boundary value problem to the matrix is a Lipschitz mapping. In particular, this
implies the uniqueness of the solution of the inhomogeneous boundary value problem for the
initial system of equations. On the basis of the obtained results, differentiability of the functional
reflecting the drag force of the streamlined obstacle can be established, as well as an explicit
formula representing the derivative of the functional.
Keywords: mixture of viscous compressible fluids, flow around an obstacle, inhomogeneous
boundary value problem, transposed problem.
ZHALNINA Alexandra Anatolevna (Kemerovo State University, Kemerovo, Russia)
E-mail: qwert1776@yandex.ru
REFERENCES
1. Zhalnina A.A., Kucher N.A. (2015) On the Well-Posedness of an Inhomogeneous Boundary
Value Problem for the Equations of Mixtures of Viscous Compressible Fluids. Journal of
Applied and Industrial Mathematics. 9(4). pp. 598–610. DOI 10.17377/sibjim.2015.18.303.
2. Rajagopal K.R., Tao L. (1995) Mechanics of Mixtures. Singapore: World Sci. Publ.
3. Kraiko A.N., Nigmatulin R.I. (1972) Mekhanika mnogofaznykh sred [Mechanics of
Multiphase Media]. Itogi Nauki. Gidromechanika. 6. pp. 93–174.
4. Nigmatulin R.I. (1987) Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of Multiphase Media].
Vol. 1. Moscow: Nauka Publ.
5. Sobolev S.L. (1991) Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics.
Providence: AMS.
6. Bergh J., Löfström J. (1976) “Interpolation Spaces: An Introduction”. A Series of
Comprehensive Studies in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.
7. Plotnikov P.I., Sokolowski J. (2012) Compressible Navier – Stokes Equations: Theory and
Shape Optimization. Basel: Springer. DOI 10.1007/978-3-0348-0 367-0.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
641 Кб
Теги
решение, препятствий, обтекании, потоков, влияние, жидкостей, вязких, области, смеси, сжимаемых, задачи, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа