close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Геометрия сингулярных кривых для одного класса задач быстродействия.

код для вставкиСкачать
2013
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10
Вып. 3
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.58
В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, П. Д. Лебедев
ГЕОМЕТРИЯ СИНГУЛЯРНЫХ КРИВЫХ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ∗)
Постановка задачи. Пусть управляемая система [1] на плоскости R2 имеет динамику
ẋ = ν1 ,
(1)
ẏ = ν2 ,
8
где управление ν = (ν1 , ν2 ) стеснено ограничением ν = ν12 + ν22 1.
Рассмотрим задачу о приведении системы (1) на замкнутое целевое множество
M ⊂ R2 с границей Γ = ∂M за кратчайшее время [2]. Функция оптимального результата
u(x, y) в данной задаче совпадает с евклидовым расстоянием ρ(x) = min{x − y : y ∈
M } от точки x = (x, y) ∈ R2 до M . Кроме того, функция u(x, y) совпадает с минимаксным решением задачи Дирихле [3] для дифференциального уравнения Айзекса–
Беллмана [4] системы (1) на множестве G = R2 \ M :
∂u
∂u
+ ν2
ν1
min
+ 1 = 0,
(2)
∂x
∂y
ν : ν
1
(3)
u|Γ = 0.
Условие (3) определено на границе Γ = ∂M целевого множества M ⊂ R . Границу
Γ = ∂M считаем непрерывной склейкой дважды гладких кривых без точек самопересечения. Решение задачи (2), (3) определено на дополнении G = R2 \ M , но его
2
Ушаков Владимир Николаевич – член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,
профессор, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург;
e-mail: ushak@imm.uran.ru.
Успенский Александр Александрович – кандидат физико-математических наук, старший научный
сотрудник, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург;
e-mail: uspen@imm.uran.ru.
Лебедев Павел Дмитриевич – кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург; e-mail:
pleb@yandex.ru.
∗) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31247 мол_а «Управление и сингулярности в дифференциальных играх»), Программы президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при финансовой поддержке
Уральского отделения РАН (проект № 12-П-1-1002), Программы президиума РАН «Математические
модели и алгоритмы в управляемых системах с нелинейной динамикой» при финансовой поддержке
Уральского отделения РАН (проект № 12-П-1-1012) и проекта молодых ученых и аспирантов Уральского отделения РАН «Оптимальные конструкции и аппроксимации в динамических игровых задачах».
c В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, 2013
157
можно непрерывно продолжить на множество M , приняв его там равным нулю. С задачей (2), (3) тесно связано изучаемое в геометрической оптике [5] уравнение эйконала
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
=1
(4)
с краевым условием
u|Γ = 0.
(5)
Эйконал u = u(x) в плоском случае – функция от двух переменных x = (x, y), линии
уровня которой совпадают с волновыми фронтами. С. Н. Кружковым введено так называемое фундаментальное решение краевой задачи для уравнения эйконала [6]. Для
задачи (4), (5) оно совпадает с функцией расстояния до множества M , взятой с противоположным знаком: u(x) = −ρ(x, M ). Это согласуется с представлениями геометрической оптики о распространении лучей в однородной среде.
В настоящей работе изучаются свойства сингулярных кривых в задаче быстродействия, на которых функция u(x) = ρ(x, M ) теряет гладкость. Выводится уравнение
касательной к ним в их регулярных точках. Изучаются дифференциальные свойства
функции оптимального результата в этих точках, устанавливается направление ее наибольшего роста.
Биссектриса множества. Задача быстродействия для системы (1) изучалась
ранее с применением методов дифференциальной геометрии [7], выпуклого анализа
[8] и теории особенностей [9]. Была выявлена структура линий негладкости решения
и предложены алгоритмы их построения.
Определение 1. Биссектрисой L(M ) замкнутого непустого множества M ⊂ R2
назовем [10–15] множество всех точек из его дополнения до R2 , которые имеют не менее
двух проекций на множество M :
L(M ) = x ∈ R2 \ M : ∃y1 ∈ ΩM (x), ∃y2 ∈ ΩM (x)(y1 = y2 ) .
Здесь и далее под множеством ΩM (x) проекций точки x на множество M понимаем
набор всех точек y ∈ M , ближайших в евклидовой метрике к x.
На биссектрисе L(M ) функция оптимального результата в задаче (1) теряет гладкость [16]. В исследовании по негладкому анализу [17] показано, что функция u(x) =
ρ(x, M ) во всех точках G = R2 \ M , за исключением точек биссектрисы. На множестве
L(M ) она супердифференцируема, и ее супердифференциал имеет вид
x−y
: y ∈ ΩM (x) .
(6)
D+ u(x) = co
ρ(x, M )
То есть все точки супердифференциала D+ u(x) лежат в круге единичного радиуса
с центром в начале координат. При этом минимум две точки расположены на его границе.
Построение биссектрисы связано с геометрией волновых фронтов и конструкциями
множеств симметрии [18, 19]. В работах научной школы В. И. Арнольда [20, 21] выделяется так называемое медиальное множество, пересечение которого с R2 \M совпадает
с L(M ). В работах Л. М. Местецкого [22] по идентификации плоских фигур рассматривается так называемый скелет S(M ) множества M ⊂ R2 . По определению скелет есть
геометрическое место центров кругов O(x, r) произвольного радиуса r ∈ [0, +∞), для
которых выполняются следующие включения:
158
1) O(x, r) ⊆ M ;
2) ∀ε > 0 : O(x, r + ε) M.
Из определения скелета вытекает равенство
S(M ) = cl L cl(R2 \ M ) ,
связывающее его с биссектрисой множества. Здесь и далее cl X означает замыкание
множества X.
Построение линий уровня функции расстояния до множества применяется, в частности, при конструировании решений дифференциальных игр. Множества со сложной
геометрией регуляризуются с помощью дискриминантных преобразований границы, использующих функцию расстояния [23]. Граница регуляризованного множества может
иметь негладкие особенности, для выявления которых требуется построение биссектрисы множества.
Ключевыe элементы ее построения – симметричные точки и псевдовершины.
Определение 2. Несовпадающие точки y1 и y2 границы ∂M множества M, являющиеся проекциями точки x ∈ L(M ) на это множество, называются α-симметричными
точками [10]. При этом x называется точкой, порожденной парой (y1 , y2 ).
Определение 3. Будем называть точку y0 ∈ ∂M псевдовершиной [10] множества M, если существует последовательность {(ȳn , ỹn )}∞
n=1 пар α-симметричных точек,
сходящаяся к (y0 , y0 ):
lim (ȳn , ỹn ) = (y0 , y0 ).
n→∞
Определение 4. Пусть y0 – псевдовершина множества M с биссектрисой L(M ).
Будем говорить, что точка x̂ есть крайняя точка биссектрисы [11], соответствующая псевдовершине y0 , если существуют последовательности {(ȳn , ỹn )}∞
n=1 ⊂ ∂M
и {xn }∞
⊂
L(M
),
для
которых
выполняются
условия
n=1
1) lim (ȳn , ỹn ) = (y0 , y0 );
n→∞
2) lim xn = x̂;
n→∞
3) ∀n ∈ N (ȳn , ỹn ) ⊂ ΩM (xn ).
Подробнее о нахождении псевдовершин и крайних точек см. в [12–15].
Свойства биссектрисы L(M ). Ранее в работах авторов разрабатывались алгоритмы построения рассеивающих линий в задаче (1). В частности, были выведены
формулы их крайних точек [12, 13] и изучено строение биссектрисы в их окрестности
[14]. Найдены достаточные условия существования асимптот [10].
Исследовались свойства гладкости биссектрисы. В работе [15] были получены достаточные условия у биссектрисы, которые содержали довольно жесткие требования
к границе целевого множества M . Они включали существование во всех точках его
границы Γ касательной и соприкасающейся окружности, т. е. гладкость второго порядка кривой Γ. Однако в теории управления часто приходится иметь дело с множествами,
граница которых содержит точки негладкости, например с многоугольниками или фигурами, ограниченными дугами окружностей. В этом случае требуется дополнительное
рассмотрение свойств биссектрисы. Применение выпуклого и негладкого анализа позволяет сделать важное обобщение относительно существования касательной к L(M ).
Теорема 1. Пусть M – односвязное множествo с кусочно-гладкой границей Γ
159
и биссектрисой L(M ). Если множество проекций точки x∗ ∈ L(M ) состоит ровно
из двух элементов ΩM (x∗ ) = {y1 , y2 }, то к L(M ) в x∗ определена касательная Π,
совпадающая с биссектрисой угла ∠y1 x∗ y2 :
Π = {p ∈ R2 : p = x∗ + λ(2x∗ − y1 − y2 ), λ ∈ (−∞, +∞)}.
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что x∗ лежит на некоторой ветви
биссектрисы, а не является изолированной особой точкой. При исследовании топологии
множеств симметрии в [18, 19] показано, что линии на плоскости – это замыкания биссектрисы, гладкие в окрестности точек, имеющих ровно две проекции. У особых точек
кривой cl L(M ) имеют или одну проекцию (либо точки прекращения, либо лежащие
на ∂M ), или три и более (обычно точки ветвления L(M ), но если граница содержит
дуги окружностей, то могут быть точки прекращения и изолированные особые точки).
Поэтому в некоторой окрестности x∗ биссектриса представляет собой гладкую кривую.
Покажем теперь, что к кривой L(M ) определена асимптота, заданная формулой (7).
Допустим, что это неверно. Выберем координатные оси так, чтобы выполнялись равенства
x∗ = (0, 0), y1 = (−l, p), y2 = (l, p), p < 0, Π = {p ∈ R2 : p = (0, λ), λ ∈ (−∞, +∞)}.
∞
Рассмотрим последовательность {xi }∞
i=1 = {(xi , yi )}i=1 ⊂ L(M ) точек биссектрисы,
такую, что
(8)
lim {(xi , yi )} = (0, 0).
i→∞
Покажем, что для нее выполняется предельное соотношение
lim (xi /yi ) = 0,
i→∞
(9)
из которого и вытекает уравнение асимптоты Π.
Отображение x → ΩM (x) полунепрерывно сверху по включению [8]. При этом любая
точка биссектрисы имеет не меньше двух проекций, а точка x∗ – ровно две. Следовательно, выполняется предельное соотношение
lim ΩM (xi ) = ΩM (x∗ ) = {y1 , y2 }.
i→∞
Обозначим проекции точек {(xi , yi )}∞
i=1 ⊂ L(M ) последовательности
i ∈ ΩM (xi ).
yi , y
Без ограничения общности полагаем, что они выбраны так, что
i ) = (y1 , y2 ).
lim (yi , y
i→∞
(10)
Условие наличия ровно двух проекций у x∗ означает, что круг O(x∗ , r), r = ρ(x∗ , M ),
и множество M имеют ровно две общие точки y1 , y2 . При этом
O(x∗ , r) ∩ M = O(x∗ , r) ∩ M = {y1 , y2 }.
В (11) и далее обозначаем окружность O(x∗ , r) = ∂O(x∗ , r).
160
(11)
i ] будет пересекаться с окружДля достаточно близких к x∗ точках xi отрезок [xi , y
zi . При этом точка zi будет единственной, поскольку
ностью O(x∗ , r) в некоторой точке i – вне круга (рис. 1). Слеxi будет находиться вблизи x∗ , а значит, внутри круга, а y
довательно, выполняется оценка
zi xi − yi .
xi − (12)
Рис. 1. Окрестность точки гладкости биссектрисы
В то же время из определения проекции выполняется оценка
i .
xi − y1 xi − y
(13)
Из оценок (12) и (13) следует
zi .
xi − y1 xi − (14)
zi ]. Геометрическая интерпреПроведем срединный перпендикуляр Ξ к отрезку [y1 , тация неравенства (14) означает, что точка xi лежит либо на Ξ, либо в той полуплоскости, ограниченной Ξ, в которой находится точка zi , а при достаточно больших i и y2
(в силу предела (10) и того факта, что y2 ∈ O(x∗ , r)). По построению Ξ проходит через
zi ] есть хорда окружности O(x∗ , r). Из данного
начало координат x∗ , поскольку [y1 , геометрического факта вытекает для координат xi оценка
161
xi − yi tg γ
i 0,
(15)
zi )/2 (сонаправленным с прямой Ξ) и положигде γi – угол между вектором x∗ − (y1 + тельным направлением оси ординат. По построению
zi − y1 , y2 − y1 ),
γi = ∠(
поскольку отрезок [y2 − y1 ] как хорда окружности O(x∗ , r) лежит на прямой, перпендикулярной к оси ординат,
Из (15) вытекает оценка для абсциссы точки биссектрисы
i −|yi || tg γi |.
xi yi tg γ
(16)
i ] с окружностью
Аналогичные рассуждения для точек zi пересечения отрезка [xi , y
дают оценку
(17)
xi yi tg γ i |yi || tg γ i |,
где
γ i = ∠(zi − y2 , y1 − y2 ).
i на окружность
Из определения zi следует, что она является проекцией точки y
O(x∗ , r), содержащую и точку y2 . С учетом (12) получаем
zi − y2 = 0.
lim i→∞
Длина вектора y2 − y1 не зависит от i и отлична от нуля. Соответственно в пределе
zi − y1 в пределе выполняется для углов
для углов γ
i между векторами y2 − y1 и lim γ
i = 0.
i→∞
(18)
Аналогично, исходя из (13), выводится соотношение
lim γ i = 0.
i→∞
(19)
Обозначим
γi }.
γi = max{γ i , Из (16) и (17) для абсциссы точек биссектрисы следует
|xi | |yi || tg γi |.
(20)
Пределы (18), (19) и неравенство (20) позволяют вывести оценку для координат xi
и yi точек последовательности, для которой выполняется (8):
|xi |
= lim tg γi = 0,
i→∞ |yi |
i→∞
lim
что совпадает с пределом (9).
Замечание 1. В том случае, если множество M – подграфик функции y = f (x),
то формулу (7) можно записать, используя только абсциссы проекций точки x∗ =
(x∗ , y ∗ ) ∈ L(M ). Она примет вид
162
(2x − x1 − x2 )(x2 − x1 ) + (2y − f (x1 ) − f (x2 )) f (x2 ) − f (x1 ) = 0,
(21)
где x1 , f (x1 ) , x2 , f (x2 ) ∈ ΩM (x∗ ).
Замечание 2. Крайняя точка x̂ биссектрисы в общем случае может не лежать
на L(M ), но по определению входит в ее замыкание. Для кривой cl L(M ) в соответствии с принятой в дифференциальной геометрии классификации x̂ является точкой
прекращения [7]. Теорема 1 позволяет указать в ней одностороннюю касательную Π∗ ,
т. е. предельное положение касательных в точках последовательности {xi }∞
i=1 , сходящейся к x̂. Подставив точки проекций ȳi , ỹi ∈ ΩM (xi ) в формулу (7), получим
Π∗ = {p ∈ R2 : p = x̂ + λ(x̂ − y0 ), λ ∈ (−∞, +∞)},
(22)
где y0 – псевдовершина, порождающая точку x̂.
Замечание 3. Касательная Π, определенная по формуле (7), связана с супердифференциалом D+ u(x∗ ) функции расстояния до множества в точке x∗ ∈ L(M ). Прямая
Π параллельна срединному перпендикуляру к отрезку
6
5 ∗
x − y1 x∗ − y2
,
,
ρ(x∗ , M ) ρ(x∗ , M )
/ [y1 , y2 ], направление касательной, сонасовпадающему с D+ u(x∗ ). В случае, если x∗ ∈
правленное вектору
y1 + y2
,
x∗ −
2
есть направление наибольшего роста функции u(x) в точке x∗ ∈ L(M ).
Построение биссектрисы и функции u(x, y).
Пример 1. Рассмотрим задачу управления для системы (1), в которой в качестве
целевого множества взят подграфик hyp f функции
f (x) = exp(x − 2) + exp(−x + 3) + x/8.
На базе конструкций, предложенных в [10–15], можно построить волновые фронты –
линии уровня функции оптимального результата. Ключевым элементом для их вычисления является биссектриса множества L(M ). В данном случае она состоит из объединения трех одномерных многообразий (гладких ветвей L1 , L2 и L3 ) и одного нульмерного – точки бифуркации x0 , в которой они склеиваются. Координаты точки бифуркации x0 ≈ (−0.68, 3.78). Две ветви биссектрисы L1 и L2 содержат в своем замыкании крайние точки биссектрисы, порожденные двумя псевдовершинами множества
M : y1 ≈ (−2.61, 0.36) и y2 ≈ (1.58, 0.87). Третья ветвь L3 не ограничена и появляется
в результате слияния первых двух.
Все точки биссектрисы, за исключением x0 , имеют ровно две проекции на M . Соответственно в них к кривой L(M ) определены касательные, задаваемые уравнением
(21). Также односторонние касательные к биссектрисе определены согласно формуле
(22) в крайних точках биссектрисы.
Кривая Γ, линии уровня Φ функции оптимального результата u(x) = ρ(x, M ) c
шагом hρ = 0.4, рассеивающая линия L и точка бифуркации биссектрисы x0 показаны
на рис. 2.
Функция u(x, y) в виде аппроксимации на прямоугольной сетке с размером клетки 0.2 × 0.2 представлена на рис. 3. На нем видно, что область недифференцируемости функции u(x, y) совпадает с биссектрисой L(M ). При этом характер негладкости
163
обусловлен формой супердифференциала D+ u(x, y) функции оптимального результата на множестве L(M ) в соответствии с (6). В точках ее гладкости он есть отрезок,
а в точке x0 это треугольник, вписанный в окружность единичного радиуса с центром
в начале координат.
Рис. 2. Распространение волновых фронтов и биссектриса в примере 1
Рис. 3. График функции u(x) = ρ(x, M ) в примере 1
Пример 2. Рассмотрим задачу управления для системы (1), в которой в качестве
целевого множества взят подграфик hyp f функции
164
f (x) =
exp −x2 , x ∈ (−∞, 0],
1
x ∈ (0, +∞).
x + 1,
Рис. 4. Распространение волновых фронтов и биссектриса в примере 2
Рис. 5. График функции u(x) = ρ(x, M ) в примере 2
165
Биссектриса L(M ) состоит из двух гладких ветвей L1 (в левом верхнем квадранте)
и L2 (в правом верхнем квадранте плоскости xOy). Им соответствуют две псевдовершины y1 ≈ (−1.39, 0.14) и y2 = (0, 1). Проекции точек L1 лежат на участках гладкости
кривой Γ, как и в примере 1. В то же время ветвь L2 имеет другое строение: у всех ее
точек есть общая проекция – псевдовершина y2 . При этом y2 есть точка излома для
кривой Γ.
Кривая Γ, линии уровня Φ функции оптимального результата u(x) = ρ(x, M ) c
шагом hρ = 0.4 и рассеивающая линия L приведены на рис. 4.
Функция u(x, y) в виде аппроксимации на прямоугольной сетке с размером клетки
0.1 × 0.1 представлена на рис. 5.
Как видно из рассмотренных примеров, график gr u функции u(x, y) = ρ (x, y), M
есть линейчатая поверхность. Она образована лучами, идущими под углом π/4 к плоскости xOy. Два и более
таких
луча стыкуются в точках (x, y, z) ∈ gr u, в которых
(x, y) ∈ L(M ), z = ρ (x, y), M .
Литература
1. Красовский Н. Н. Игровые задачи динамики. I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. № 5.
С. 3–12.
2. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
456 с.
3. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных технологий, 2003. 336 с.
4. Айзекс Р. Дифференциальные игры / пер. с англ. В. И. Аркина, Э. Н. Симаковой; под ред.
М. И. Зеликина. М.: Мир, 1967. 479 с. (Isaacs Rufus. Differential Games).
5. Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М.: Изд-во АН СССР, 1946. 332 с.
6. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона–Якоби типа эйконала // Матем.
сб. 1974. Т. 98, вып. 3. С. 450–493.
7. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Едиториал, УРСС, 2003. 432 с.
8. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В. А. Залгаллера, Т. В. Хачатуровой; под ред.
В. А. Залгаллера. М.: Наука, 1985. 335 с. (Leichtweiss K. von. Konvexe Nengene).
9. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей / пер. с англ. И. Г. Щербак; под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с. (Bruce J. W., Giblin P. J. Curves and singularities).
10. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Изв. высших
учеб. заведений. Математика. 2008. № 3 (550). С. 27–37.
11. Успенский А. А., Лебедев П. Д. О множестве предельных значений локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов // Труды Ин-та математики и механики. 2010. Т. 16, № 1.
С. 171–186.
12. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Алгоритмы построения сингулярных множеств для одного класса задач быстродействия // Вестн. Удмурд. ун-та. Сер. Математика, механика, компьютерные науки.
Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 30–41.
13. Лебедев П. Д., Успенский А. А., Ушаков В. Н. Построение минимаксного решения уравнений
типа эйконала// Труды Ин-та математики и механики. 2008. Т. 14, № 2. С. 182–191.
14. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 50–57.
15. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикл. математика и информатика:
труды факультета ВМК Моск. ун-та. 2007. № 27. С. 65–79.
16. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.
17. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.
18. Sedykh V. D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk // Advanced Studies
in Pure Mathematics Singularity Theory and Its Applications. 2006. Vol. 43. P. 401–419.
19. Sedykh V. D. Some invariants of convex manifolds // Workshop, on Real and Complex Singularities
(Sao Carlos 1992). Mat. Contemp. 1993. Vol. 5. P. 187–198.
20. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996. 334 с.
166
21. Арнольд В. И. Инварианты и перестройки фронтов на плоскости // Труды Матем. ин-та имени В. А. Стеклова. 1995. № 209. С. 14–64.
22. Местецкий Л. М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. М.: Физматлит, 2009. 288 с.
23. Ушаков В. Н., Успенский А. А., Малев А. Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды Ин-та математики
и механики Урал. отд. РАН. 2011. Т. 17, № 2. С. 209–224.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
803 Кб
Теги
быстродействия, геометрия, одного, класс, кривые, задачи, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа