close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Граничные интегралы в геометрически и физически нелинейной плоской задаче.

код для вставкиСкачать
УД К
Вестник СПбГУ. Сер.
539.3
10, 2004,
вып.
3
А . О. Во'Чкарев
ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ *)
Граничные интегралы
-
важнейший инструмент в математической физике. Они не
только обосновывают многие теоретические результаты, но и служат основой для раз­
работ ки эффективных численных методов решения краевых задач, таких как, напри ­
.tер , метод граничных элементов (МГЭ). Однако в нелинейной постановке построение
подобных интегралов сталкивается с рядом существенных препятствий, и главное из
н их
-
неливейность основного дифференциального уравнения . Ранее в
ств ие удалось обойти для одного частного случая плоской задачи
ста ндартного закона упругости
[4, 5],
-
[1-3] это препят­
редуцированного
для которого интегральные представления регу­
.1 ярного решения в форме Сомильяны и граничных потенциалов удалось перенести и
а.::~,аптировать соответствующим образом из линейной теории в геометрически нелиней­
н ую . В общей же (физически и геометрически) нелинеil:ноil постановке, казалось было,
нев озможно в принципе построить подобные линеilнъtе суперпозиции сингулярных ре­
ше ний. Однако автором
[6]
было показано, что линейные суперпозиции определенного
в ида могут быть осуществлены в терминах энергетически сопряженной пары тензоров
1
но.лшналъных напр.я:нсениil { F - ·J:E } и градиента движения F ( J - кратность изме­
- тензор истинных напряжений). В данной статье завершающее сис-
не ния объема, :Е
е )l шое изложение этого вопроса дается на основе комплексного метода, получившего
иракое распространение в плоской задаче теории упругости.
Совместим с двумерным евклидовым пространством Е2 комплексную плоскость,
с в язанную с декартовой системой координат Оху , и сопоставим материальной точке,
за н имающей до деформации и после положения
·о . шлексные переменвые
z
=
х
+ iy
и
z =
х
Z(x, 'У)
+ iy.
и Z (x, у) Е Е2 соответственно,
Для тензоров, описывающих
на п ряженно-деформир ованное состояние упругой среды, будем использовать комплек­
с ные компоненты, отнесенные к ведеформированной конфигурации
Т1 = tн
+ tyiJ + (txiJ
1. Плоская краевая задач а ,
.le)lt eнтa среды по области с Е2
n
- ty x),
Т2 = tн - iiJiJ
согласно
[4, 5],
д{F- 1 ·J I;}l
о
дz
г.::~,е
(j
+
д {F- 1 .J I;}2
до
z
+ (txiJ + ty x)·
описывается уравнением равиовеси.я
о
+ рС7 = о,
Е C(n U f) - комплексная компонента вектора массовых сил, а р
(1)
-
удельная
п..1отность среды до деформации . Упругий закон для изотропного сжимаемого матери­
а.l а определяет алгебраическую зависимость компонент номинальных напряжений от
:·о )l шонент градиента движения
(2)
· ) Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ (грант N2 НШ21 0.2003.1), Российского фонда фундаментальных иссл едо ваний (грант N2 02-01-01258) , а также М и­
н щ:те рства образова ния РФ (грант N2 ЕО2-4.0 - 75).
© А. О . Бочкарев, 2004
13
и задается плоm'Ностъю э'Нергии дефор.маv,ии
(3)
параметрически зависящей от кратности удлинения Л в третьем координатном направ­
лении. Гео.метри-ч,ес-к;ие сооm'Ноше'Ни.я для компонент градиента движения
(4)
замыкают уравнение равновесия
(1)
на основную искомую величину
z -
положение
материальной точки после деформации.
Рассматриваются граничные условия стати-ч,ес-к;ого типа
(5)
и дисторсио'Н'НОго
(6)
где ап
= апх +iапу- комплексная компонента вектора условных напряжений, ориенти­
рованного нормалью n к контуру Г; J - угол наклона орта s касательной к контуру Г
относительно оси Ох; fJ = J +w - угол наклона орта s касательной к контуру Г относи­
тельно оси Ох;
w- относительный угол поворота граничного волокна; Л.s - кратность
удлинения граничного волокна. В частности,
при задел-к;е: Л.s
= 1, w
=О;
для жест-к;ой -к;ро.м-к;и: Л.s
= 1, w = const;
для гиб-к;ой 'Нераст.яжи.мой -к;ро.м.-к;и: Л.s =
1, w = w(s) .
Наряду с основной плоской краевой задачей
юз'Ную, которая, согласно
волокон по области
nс Е2
[4],
(1)-(6)
будем рассматривать и ей со­
описывается урав'Не'Ние.м 'Неразрыв'Ности материальных
(1')
В этом случае упругий закон для изотропного сжимаемого материала определяет ал­
гебраическую зависимость компонент градиента движения от компонент номинальных
напряжений
(2')
и задается плоm'Ностъю допол'Ниmелъ'Ной Э'Нергии дефор.маv,ии
(3')
14
при условии, что нелинейная алгебраическая система уравнений
1
-1
1
дФ
{F ·1~}1 = 2 дJF1J'
разрешима относительно компонент градиента движения
IF1I = х1 (I{F- ·1~}11, I{F- ·1~}21),
IF2I = х2 ( {F- 1 ·1~}1 , {F- 1 ·1~}2 ) .
1
Замыкается уравнение неразрывности
1
на комплексную функцию напряжений t.p,
(J')
определяемую дифференциальным соотношением
{F
-1
'l
дt.р
.J~1 2=-2ai'
(4')
в силу которого она тождественно удовлетворяет однородному уравнению равновесия
(1) о
Б терминах новых величин рассматриваются и граничные условия статического
типа на контуре Г 1 С Г
.
( -д<р
дz
е iJ
д<р -iJ)
+ ~е
дz
1
Гl
= -dt.p. 1 =
ds Гl
•
-итп
( sо )
Е
С(Го 1 )
(5')
и диетареионного на контуре Г 2 С Г
~
(1\eiJ
2
+ F2e-iJ) lг = ei1?(s) Л.s(s) Е
C(r2) ·
(6')
Решения z Е C 2(n) n С 1 (n U r) краевой задачи (1)- (6) и t.p Е C 2(n) n С 1 (n U r)
- ей союзной (1')- (6') - будем называть регул.ярны.ми. Заметим, что оба регулярных
решения - и z, и t.p - при одних и тех же граничных условиях описывают одно и то же
напряженно-деформированное состояние статики сплошной упругой среды .
2.
Формулы типа Грина - ключ к построению искомых интегральных представ­
лений регулярных решений основной плоской краевой задачи и сопряженной .
n
Ради
простоты изложения положим, что область
ограничена простым замкнутым глад­
ким контуром Г.
Для основной плоской краевой задачи (1)-(6) рассмотрим два набора функций:
1
1
1) {F- 1 ·1~}i ), {F- 1 .J~}~ ) Е C 1(n) n C(n U r), удовлетворяющие статичес­
кому граничному условию (5) при абсолютной интегрируемости по
д{F-1.1 ~}р)
дz
2)
z( 2 )
Е
д{F-1.J~}~1)
+
дz
С1
(n U r).
n выражения
'
Тогда для данной задачи справедлива формула типа Грина
=
~
1
.z(2) ( {F-1·1~}i1)eiJ-
г
{F-1·1~}~1)e-iJ) ds
=
1
.z(2)(J"A1)ds .
г
15
В частности, если оба набора функций соответствуют одному и тому же регулярному
решению краевой задачи
(1)-(6),
то формула типа Грина
(7)
с учетом веществ е нности
левой части принимает вид
~
1
(Fl {F- 1 ·1~}~
(!
+ F2{F- 1 ·J~}2 )ds =
1
1
(8)
= Re zCJпds + Re z/юdS.
t
.
В случае же линейности закона упругости
(!
получаем известный результат
(2)
12ФdS = 1zCJпds + 1
Re
t
(!
(9)
z/JCJdS.
Re
[1, 2]
(!
Аналогично для союзной плоской краевой задачи
(1')-(6')
также рассмотрим два
н абора функций:
1) <p(l) Е 1
c
(2)
2) F 1
(2)
,
F2
(n u r),
о
Е С 1 (П)
о
о
n С(П U Г)
удовлетворяет диетареионному граничному уелоо
дF(2)
дF(2)
вию (6') при абсолютной интегрируемости по
n выражения
д~
-
дi
.
ТоГда для
союзной краевой задачи справедлива своя формула типа Грипа
1[rп(1) (дF?) - дFi2)) +
у
дz
дz
(!
+~ ( {F- 1 Щ(1 > Ff'> + {F- JE)\ >F\'))] d!з =
1
1
-_1
-
~
<р
2
(1) (F(2) е -iJ
1
+ -F(2)
2
е
1
iJ) dso -__ ~•
t
<р
(7')
(l) е -i19( 2 ) л\ {2)ds.o
8
t
В частности, если оба набора функций отвечают одному и тому же регулярному реше­
нию краевой задачи
(1')- (6'),
то формула Грина
(7')
с учетом вещественности ее левой
части принимает вид
1({F- ·J~}1F1 + {F- ·J~}2F2)
= 1 Л.sds = 1 Л 8 ds.
~
1
1
dS =
(!
-i
<pe-i
19
Im
t
19
(8')
t
В случае же линейности закона упругости
(2')
опять получаем известный результат
1
1<ре-ы Л5 ds.
(!
t
2\I!dS = Im
Хотя приведеиные формулы типа Грина
•
<pe-i
(7)-(9)
и
(7')-(9')
(9')
для осно_вной и союзной
плоских краевых задач соответственно выполнены в общей (физ ически и геометри­
чески) нелинейной постановке, тем не менее они сохраняют структуру к ilассических
16
формул типа Грина линейной теории
Тем самым они позволяют перейти уже к
(7].
конструктивным гранично-интегральным соотношениям и прежде всего к теореме вза­
и.м:ности типа Бетти.
Пусть z( 1) и <р( 2 ) являются регулярными решениями соответственно краевой задачи
(с однородньrм уравнением равновесия) и ей союзной
(1)-(6)
области
n, но при своих граничных условиях.
типа Грина
(7)
и
~
(7')
(1')- (6') для одной и той же
Подстановка этих решений в формулы
приводит к интегральным равенствам
1(F12){p-1.J~}~1) +F;2),{p-1.J~}~1))ds 1z(2)a-~1)ds,
=
п
~/( {F-1·J~}~1) F?) + {F-1·J~}~1)p;2))ds =
г
-ij <р(1)е-i,э<2> л~2)ds
п
г
с одинаковыми левыми частями, и, следовательно,
о
=
1
z(2) (}"~1) ds + i
1
г
_
-
<р(1) e-i19(2) )..~2) ds
г
·
~
1
-(2)
z
d -(1)
__J!__do
+·
ds s ~
г
1
<р
(1)
=
(10)
d-(2) o
_z_d
ds s'
г
что и представляет собой теоре.му взаимности типа Бетти, связывающую интег­
ральным соотношением граничные значения регулярных решений краевой задачи и ей
союзной.
3.
Элементарные сингулярные решения являются теми кирпичиками, из кото­
рых строятся интегральные представления регулярных решений. Введем в рассмотре­
ние элементарные решения для дифференЦиальных уравнений рассматриваемых плос­
ких краевых задач.
z и по z1 удовлетворяет
Предположим, что функция двух точек z(P)(Z, Z1) по
ди фференциальному уравнению равновесия
д{р-1.J~}1
дz
о
где д(Z,
о
Z1 ) -
д{р-1.J~}2
+
дz
Рд(Z
+
'
z )= о
1
'
(11)
q
двумерная обобщенная функция Дирака, т.е.
j
д(Z, Z1)dS =
{
~:
ZЕП
Механический смысл комплексной величины Р
рирования уравнения (11) по произвольной ;асти
Рх
+ iPy
nс
выясняется после интег­
Е2 , содержащей точку
Z1
и
ограниченной Простым замкнутым контуром Г:
(12)
17
Другими словами, рассматриваемая часть Е2 находится в равновесии при действии на
нее заданной внешней сосредоточенной силы с комплексной компонентой Р = Рх
iPy.
+
Таким образом, функция z(P)(Z, Z1 ) удовлетворяет однородному уравнению равнове­
сия и по Z, и по Z1 всюду в Е2 , где Z f= Z1 , и является по ним регулярной в любой
конечной части Е2 , не содержащей Z1 или Z соответственно. Вблизи же особой точки
элементарное решение дает сингулярность уравнениЮ равновесия:
(13)
Аналогично введем в рассмотрение элементарное решение уравнения неразрыв­
ности . Предположим, что функция двух точек r.p(L)(Z, Z 1 ) по Z и по
Z1
удовлетворяет
дифференциальному уравнению
дF2
дF\
-.--д
о
дz
z
-
о
.
о
~Lб(Z,
Z1)
=О.
(11')
Механический смысл комплексной величины L = Lx + iLy выясняется также после
интегрирования уравнения (11') по произвольной частиn с Е2, содержащей точку Z1
и ограниченной простым замкнутым контуром f :
1(
. .
1
дF(L) дF.(L) ) о
д~ - д~
dS- i .
ZЕП
1
о о
о
dz(L)
Lб(Z, Z1)dS = i . . dГds- iL =О.
ZЕП
То есть любая простая замкнутая дуга
(12')
ZЕГ
в Е2 , проведеиная вокруг точки Z1 , претер­
L = L x + iLy. Таким образом,
функция r.p(L)(Z, Z1 ) удовлетворяет однородному уравнению неразрывности и по Z, и
по Z1 всюду в Е2 , где Z f= Z1 , и является по ним регулярной в любой конечной части
Е2 , не содержащей Z1 или Z соответственно. Вблизи же особой точки элементарное
f
певает разрыв, выражаемый комплексной компонентой
решение дает сингулярность уравнению неразрывности:
дF~L)
дz
_
дFJL)
д Zо
=
о
(
1
1Z
о -
о
)
Zl
12
(13')
Конкретный вид элементарных сингулярных решений z(P) (Z , Z1 ) и r.p(L)(Z, Z1 ) опре­
(3) и плотности дополнительной энергии (3') со­
деляется видом упругого потенциала
ответственно .
Отыскание этих решений представляет собой самостоятельную задачу.
Такие элементарные решения были построены для ряда упругих потенциалов первого
порядка (стандартного
4.
[8]
и малосжимаемого
[9]
материалов).
Интегральное представление регулярных решений , как уже отмечалось
выше, по сути есть линейная суперпозиция элементарных сингулярных решений . Вы­
ведем данные соотношения для рассматриваемых краевых задач .
Подставим в формуле Грина (7) вместо величин, отмеченных индексом (l ) , выра­
жения, отвечающие элементарному решению z(P)(Z, Z1 ) уравнения равновесия (11), а
вместо указанных индексом (2 ) - отвечающие регулярному решению z 1 = z(ZI) краевой
задачи (1)- (6) (с однородным уравнением равновесия).
Рассмотрим первое слагаемое в левой части полученного соотношения - J. По­
. СКОЛЬКУ элементарное решение z(P) ПО Z1 удовлетворяет ОДНОродному уравнению рав­
• иовесия (1) всюду в Е2 за исключением точки Z Е n, то интегрирование в I по области
18 '
n может быть сведено к интегрированию по кругу сколь угодно малого радиуса с: с
центром в точке
Z:
(14)
Далее, искусственно вводя в сомножителях (14) регулярное решение z
тывая асимптотику сингулярного решения (13), получим
= z(Z)
и учи­
l=
0(1/lzl -
1(
+z
(15)
д{F-l·J~}iP) + д{F-l.J~}~P) ) dS =
дz1
l z 1- z l~e
1
zi) + z
= O(l z1 -
zi 2 )i
дz1
zi) - zP.
(Jr) ds = O(l z1 -
li 1-zl=e
Устремляя в
(15)
-zP
с: -т О
+~
(z 1
1
-т
z),
приходим к следующему виду формулы Грина
(Fl {F- 1 ·J~}iP)
1
+ F2{F- 1-J~}~P))ds =
(7):
Zl(Jr)ds.
(16)
Z1ЕГ
Z1Ef2
Подставляя те же решения, z(P) и z 1 , в формуле Грина (7') сразу имеем
~
1
(F1 {F- 1 ·J~}iP)
+ F2{F- 1 .J~}~P))ds =
.zl ЕП
-i
1
<piP)e-i 19 Л.sds.
(17)
ZlEГ
В выражениях (16) и (17) подчеркнутые слагаемые в левых частях представляют
собой один и тот же интеграл по области
Вычитая из второго выражения первое и
n.
~еря у полученной разности комплексное сопряжение, получаем в произвольной точке
Z Е
(6)
n искомое интегральное
представление регулярного решения краевой задачи
через ее граничные значения:
- р
i
z-
1
-(Р)
it9 \ d o
1
<р
е
л .s s- р
1
1
-(P)d s.o
Z1 CI п
(1)-
{18)
Подобное интегральное представление можно вывести и для регулярного решения
союзной краевой задачи. Подставим в формуле Грина
(7') вместо величин, отмеченных
индексом (l), выражения, отвечающие регулярному решению <р 1 = <p(Z1 ) краевой за­
дачи (1').-(6'), а вместо указанных индексом (2 ) - отвечающие элементарному решению
<p(L)(Z, Z 1 ) уравнения неразрывности (11').
19
Аналогично предыдущему рассмотрим первое ерагаемое в левой части получе нного
соотнощения- г. Элементарное решение cp(L) по
z1
удовлетворяет однородному у рав­
нению неразрывности (1') всюду в Е2 за исключением
области
Z Е f!, и интегрирование в Г по
n также может быть сведено к интегрированию по кругу сколь угодно малого
радиуса с с центром в точке
,_1
'Р1
I -
Z:
(дFiL) _ дF;L)) о
до
о
дz
z
_
dS-
Z1Ef'2
1 . (дFiL)
'Р1
до
дF;L)) о
_
о
dS.
дz
z
(14')
'l z ~- z l::;e
.J алее точно так же вводим в сомножителях
уч итываем асимататику сингулярного решения
(14') регулярное
(13'):
решение ер
I' =
0(1/l z - z1 l2)l
( дFiL) дz
= O(l z1 -
Устремляя в
(15')
с-+ О
· 1
-2cpL
+2
zl) -
icp
(z1 -+ z),
1(
(L)
F 1 {F
-1
дFr))
(15')
dS =
дz
dz(L) dSo = 0(1 Zо
~
-
о 1)
Z1
-
. -L .
2ср
приходим к следующему виду формулы Грина
-1
)
о
.JI_;}1 + -(L)
F 2 {F .JI_;}2 dS
= -2
•
1
dz(L) о
'Р1 ~ds.
(7'):
(16')
Z!ЕГ
Z!Ef'2
Подстановка тех же функций ср 1 и cp(L) в формулу Грина (7) непосредственно дает
~
1(
FiL) {F- 1·JI;}1
Z1Ef'2
+ F;L ){F- 1.JI;} 2) dS
=
1z(L)CJ"пds.
(17')
Z1Et
Как и в предыдущем случае, подчеркнутые слагаемые в левых частях выражений
(16') и (17') представляют собой один и тот же интеграл по области
f!. Аналогично,
iL, получаем в
вычитая из второго выражения первое и деля полученную разность на
произвольной точке Z Е f! интегральное представление регулярного решения союзной
краевой задачи (1')-(6') через ее граничные значения
(18')
Полученные в общей (физически и геометрически) нелинейной постановке интег­
. ральные представления регулярных решений плоских краевых задач (18) и (18') явля­
• ются аналогами представления регулярных решений в форме Сомильяны в линейной
20 .
теории . Они могут служить как для аналитического исследования, так и для развития
численных методов решения (как, например , МГЭ).
Summary
А. О.
Bochkarev
Boundary integrals in
а
geometrically and physically nonlinear flat
proЬlem.
In geometrically and physically nonlinear elasticity theory the general integratal ratio similar to
Green's formulas, Betti 's the01·em, and also representation of regular decisions in Somilian's form
with reference to flat boundary proЬlems are formulated .
Литература
1.
Воч?Сарев А . О. О применении метода граничных элементов к геометрИчески нелиней­
ным задачам теории упругости
астрономия.
2.
1996.
Вып.
(N~
3
11
Вести . С . -Петерб . ун-та. Сер .
С.
15).
Математика, механика,
Воч?Сарев А. О. Граничные интегралы в плоской задаче геометрически нелинейной те­
ории упругости
11
Численное моделирование физико-механических процессов.
проблемы прочности и пластичности: Межвуз.
ского . М .,
3.
1:
62-64.
1998.
Вып.
58.
С.
Прикладные
сб., Нижегородский ун-т им. Н. И . Лобачев­
158- 166.
Воч?Сар ев А. О. Прямоугольная пластина с разрезом в геометрически нелинейных за­
дачах механики разрушения
11
астрономия.
24).
1998.
Вып.
4
(N~
Вести.
С.
С.-Петерб.
ун-та.
Сер.
1:
Математика, механика,
62- 64.
4. Чернъtх К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.,
1996. 288 с.
5. ЧернЪLх К. Ф. Нелинейпая сингулярная упругость. Ч. 1: Теория. СПб., 1999. 276 с.
6. Воч?Сарев А. О. Граничные интегралы и МГЭ в плоской задаче геометрически нелиней­
ной упругости
11
Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела
К. Ф. Черных . СПб .,
м.,
1999.
Вып.
2.
С.
1
Под ред.
177- 189.
7. Купрадзе В. Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.
1976. 664 с.
8. Воч?Сарев А. О. Элементарное решение плоской упругой задачи для стандартного за­
11
кона (1-го порядка)
К. Ф. Черных. СПб .,
9.
Вып .
4.
С.
1 Под
ред .
5-12 .
Воч?Сарев А. О . Элементарное решение плоской упругой задачи для одного малосжи­
маемого материала
2002 .
Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела
2001.
Вып .
3
(N~
11
19).
Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер.
С.
62-64.
Статья поступила в редакцию
19
октября
2004
г.
1:
Математика, механика, астрономия .
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 161 Кб
Теги
физическая, интеграл, нелинейные, граничных, плоское, задачи, геометрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа