close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Двухкомпонентное многомерное распределение Лапласа.

код для вставкиСкачать
2012
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№68
УДК 519.2
ДВУХКОМПОНЕНТНОЕ МНОГОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛАПЛАСА
И.В.Золотухин
Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена, Санкт-Петербург,
igor.zolotukhin@gmail.com
Исследуется модель векторных случайных процессов, порождающая новый класс многомерных распределений,
включающий как частный случай многомерное симметричное распределение Лапласа. Найдены характеристическая функция и
плотность распределений этого класса, исследованы свойства.
Ключевые слова: распределение Лапласа, многомерное экспоненциальное распределение Маршалла — Олкина,
векторные случайные процессы
Some model of vector stochastic processes is under consideration. The model generates a new class of multivariate
distributions, which includes the multivariate symmetric Laplace distribution as a special case. The characteristic function and the
density of this class of distributions as well as some properties have been found.
Keywords: Laplace distribution, Marshall — Olkin multivariate exponential distribution, vector stochastic processes
все практические случаи, поскольку нередко возмущающие факторы могут влиять одновременно на несколько компонент.
В работе исследуется следующая модель векторных процессов с зависимыми компонентами.
Имеется стационарный процесс ( X1(t ), X 2 (t )) с
1. Введение
Функционирование многих технических систем в процессе их испытаний и эксплуатации наиболее полно может быть описано векторным случайным
процессом, характеризующимся рядом параметров.
Параметры процесса обычно считают детерминированными величинами. Однако на практике
процессы со случайными параметрами нередко оказываются более адекватными моделями функционирования реальных систем, так как учитывают влияние
на изменение параметров случайных внешних и внутренних факторов.
В настоящей работе рассматривается одна из
возможных моделей функционирования технических
систем, описываемая двумерным случайным процессом. Она порождает новый тип вероятностных распределений, который в работе назван двухкомпонентным многомерным распределением Лапласа.
Круг прикладных задач, в которых возникает
распределение Лапласа, весьма широк [1-6].
Теоретическим обоснованием применения распределения Лапласа вместо традиционно используемого нормального может служить энтропийный подход, который состоит в следующем.
Известно, что если измерения проводятся в одних и тех же условиях, причем Eξ  0, Dξ  σ 2 (здесь
ξ — ошибка измерений), то нормальное распределение имеет наибольшую энтропию [7]. Если же при
фиксированных условиях измерений реализуется нормальное распределение, но сами условия меняются
так, что дисперсия является случайной величиной с
фиксированным математическим ожиданием (тогда
она будет распределена экспоненциально), то энтропия
достигает максимума на распределении Лапласа [8].
В более общем случае случайные явления, меняющиеся во времени, описываются векторными
случайными процессами.
Наиболее простым и распространенным методом изучения векторных процессов является анализ
отдельных компонент, что естественно в случае их
независимости. Однако такой подход не исчерпывает
EX1(t )  EX 2 (t )  0, EX 12 (t )  σ12 , EX 22 (t )  σ 22 , r1(t ) и
r2 (t ) — нормированные корреляционные функции
X1(t) и X2(t) соответственно. При фиксированных
(σ12 , σ 22 ) рассматриваемый процесс является гауссовским с независимыми составляющими, а сам вектор
(σ12 , σ 22 ) случаен и имеет двумерное экспоненциальное
распределение типа Маршала—Олкина (см. [9,10]).
Распределение n-мерных сечений процесса,
порождаемого этой моделью, является предметом
исследования данной работы.
2. Характеристическая функция n-мерных
сечений процесса
Рассмотрим n сечений процесса в точках
t1, t2 ,, tn , при этом аргументы ti для упрощения изложения будем опускать. При фиксированных (σ12 , σ 22 )
характеристическая функция 2n-мерного распределения такого процесса в сечениях t1, t2 ,, tn равна
φ
(θ1, θ2 )
(σ12 , σ 22 )
1
1
 exp σ12 θ1R1θ1T  σ 22 θ2 R2θ2T ,
2
 2

где θ1  θ1(1) ,, θ (n1)  , θ2  θ1(2) ,, θ (n2)  ,
1 r1(t1,t2)  r1(t1,tn) 
1 r2(t1,t2)  r2(t1,tn) 




1
 r1(t2,tn)
1
 r2(t2,tn)

R1  
,
R

.

  2 

 




1 
1 


Если параметры (σ12 , σ 22 ) считать случайными с
функцией распределения F(x,y), то характеристическая функция двухкомпонентного процесса представится в виде
60
2012

φ(θ1, θ2 ) 

00
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
1
1
exp x θ1R1θ1T  yθ2 R2 θ2T dF (x, y). (1)
2
 2

φ1(θ1)  φ( θ1,0) 
По аналогии с одномерным случаем предположим,
что случайный вектор (σ12 , σ 22 ) имеет двумерное экспоненциальное распределение типа Маршала—
Олкина с функцией надежности
F (x, y)  P(σ12  x, σ22  y)  exp{λ1x  λ 2 y  λ12 max{x, y}}.
Это распределение выбрано среди множества других
двумерных экспоненциальных распределений (подробный список которых приведен в [11]), поскольку
оно включает в себя два важных для практики крайних случая:
— при λ12  0 случайные величины σ12 и σ22
независимы и, следовательно, независимы процессы
X1(t) и X2(t);
— при λ1  λ 2  0 на оба процесса влияют одни
и те же факторы, вызывающие случайность масштабного параметра.
Кроме того, это двумерное распределение обладает свойствами, аналогичными свойствам одномерного экспоненциального распределения, в том
числе характеристическим для него свойством отсутствия последствия [9].
В [9] выведено следующее выражение для преобразования Лапласа двумерного экспоненциального
распределения типа Маршала—Олкина:

M(z1, z2 ) 
 z1x  z2 y
e
00

dF(x, y) 
(λ  z1  z2)(λ1  λ12  z1)(λ2  λ12  z2)
,
(5)
1
1
1
θ Σ θT
2(λ 2  λ12 ) 2 2
представляют собой характеристические функции nмерного симметричного распределения Лапласа, которое является частным случаем контурных эллиптических законов распределения [12,13], а множитель
1
Φ(θ1, θ2 ) 
(6)
1
1  (θ1, θ2 ) Σ(θ1, θ2 )T
2λ
представляет собой характеристическую функцию
2n-мерного симметричного распределения Лапласа.
Из выражения (4) следует, что в общем случае
2n-мерное распределение процесса ( X1(t ), X 2 (t ))
представляет собой дискретную смесь 2n-мерного
симметричного распределения Лапласа и его сверток
с n-мерными плотностями его составляющих.
Определение. Распределение с характеристической функцией (4) назовем двухкомпонентным многомерным распределением Лапласа.
Класс двухкомпонентных многомерных распределений Лапласа обозначим TCMVL.
При n  1 из (4) получается характеристическая функция обобщенного двумерного распределения Лапласа, введенного в [14].
3. Плотность двухкомпонетного многомерного
распределения Лапласа
Используя выражения для плотности многомерного симметричного распределения Лапласа [13],
можно получить следующие результаты.
1. Распределениям с характеристическими функциями (5) соответствуют плотности распределений вида
(2)
где λ  λ1  λ 2  λ12 . Нетрудно заметить, что правую
часть (2) можно представить в виде
λ
M ( z1, z 2 ) 

λ  z1  z 2
v
fi (xi )  2(2π)
λ
λ
λ 2  λ12
λ
λ1  λ12 
  12  1 
 2
(3)
.
λ
λ
λ

λ

z
λ
λ

2
12
2
1  λ12  z1 
Используя (3), интегралы в правой части (1) вычисляются в явном виде. Если ввести обозначения
λ
λ
λ
p1  2 , p2  1 , p3  12 ,
λ
λ
λ

0

1  R1,  2  R2 ,    1
,
 0 2 

n
2 (λ
v 1
1  x  1x T
2  2  i i i

λ
)
i
12
i
 2


2
 


 Kv 2(λi  λ12 ) xi i1xiT ,
(7)
n
где v  1  ; xi  ( x1(i) , x2(i) ,, xn(i) ), i  1, 2; Kv (u) — мо2
дифицированная функция Бесселя третьего рода:
v
u2
t 
1 u
Kv (u)    t v1e 4t dt, u  0, Kv (u)  Kv (u).
22

0
2. Распределению с характеристической функцией (6) соответствует плотность распределений вида
то получим:
φ(θ1, θ2 ) 
1
,
1
1
θ1Σ θ1T
2(λ1  λ12 )
φ2 (θ2 )  φ(0, θ2 ) 
λ1  λ12
λ λ
 2 12 
λ1  λ12  z1 λ2  λ12  z2
λ12z1z2
№68
1

1
1  (θ1, θ2 )Σ(θ1, θ2 )T
2λ
w
w1
1
1  x 1xT
f (x1, x2)  2(2π)n λ 2 1  2 2  2  1 1 1





1
1
. (4)
  p3  p1
 p2
1
1

1
θ1Σθ1T
1
θ2Σθ2T 


2(λ1  λ12 )
2(λ2  λ12)
При этом характеристические функции n-мерных
распределений составляющих процесса X1(t ) и X 2 (t )


 x221x2T  2
 
2

 Kw 2λx111x1T  x221x2T  ,
(8)
где w = 1 – n.
Из представления (4) следует, что плотность
двухкомпонентного 2n-мерного распределения Лапласа имеет вид
61
2012
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
g(x1, x2 )  p3 f (x1, x2 )  p1( f  f1)(x1, x2 )  p2( f  f2 )(x1, x2 ), (9)
i 1
где * — знак свертки; p1 p 2  p3  1, pi  0, i  1,2,3;
f (x1, x2 ) задается формулой (8);

lii   ii 
k 1
f i (xi ) задаются
На основании этого делаем замену:
1
y  2λtL  t 
yL1, y  (η1, η2 ,, ηn ),
2λ
n
n
1


D(t )
 2 2 λ 2 1 2 ,
D( y )
t11t T 
1 1 T T 1 T 1
yL LL ( L ) y 
2λ
2λ

X1(t ) влияют одни и те же факторы, вызывающие


 
R n
2


Отсюда получим с учетом, что v  0 и u  0
Kv (u)  Kv (u) :
n
n
v 1 1 n  v
 n
2π
2 (λ  λ ) 2 λ 2
1
12
2

( f  f1)(0,0)  2
1
1
2

1
2
 

π

K v 2(λ1  λ12 )t 11t T K w 2λt 11t T dt ,
 l1n 

 l2 n 
,
  

 lnn 
l11  11 ,

1
2
2

1
2


0

 sin n 2 ψ1dψ1 r


0
l12
l22

0
1
 dψ n 1 sin ψn  2 dψn  2 

1
n
2K
0
 λ1  λ12 

r K n 1(r )dr.

λ

n 
1
2 
Совершенно очевидно, что интегралы по ψi конечны. Посему рассмотрим интеграл по r :

1
r
0
n
2K
 λ1  λ12 

r K n 1(r)dr

λ

n 
1
2 
и воспользуемся свойствами функции Бесселя для
оценки снизу для этого интеграла:
 λ λ 
λ λ
K n  1 12 r   K n 1 (r), поскольку 1 12  1,


1
λ

λ

2 
4 2
Воспользуемся разложением Холецкого:
11  LLT ,
где

0


 r n 1 sin n  2 ψ1 sin n  3 ψ 2   sin ψ n  2.
D(r , ψ1, ψ 2 ,, ψ n 1)
n
где v  1  , w  1  n, t  (ξ1, ξ 2 ,, ξ n ).
2
 σ11 σ12  σ1n 


σ
σ 22  σ 2n 
Пусть 11   12
.

   


 σ1n σ 2n  σ nn 
 l11

0
L


0

D(η1, η2 ,, ηn )
n 2
Далее, рассмотрим ( f  f1)(0,0) :
v w
 t 11t T  2


v w
2
ηn  r sin ψ1 sin ψ 2  sinψn 1,


  при ( x1, x2 )  (0,0) (по

2


скольку w  1  n  0 ). Следовательно, f (0,0)  .
n
v 1 w 1
2 (λ  λ ) 2 λ 2
1
12
n
v1 1nv
1
1
2 (λ  λ ) 2 λ 2   2   2 
1
12
1
2

ηn 1  r sin ψ1 sin ψ2  cos ψ n 1,
w
x111 x1T  x2 21 x2T  2

 n
n
η2  r sin ψ1 cos ψ2 ,
4.1. Покажем, что g (0,0)   при n  2 .
Для начала рассмотрим f (0,0) . Известно, что
( f  f1)(0,0)  4(2π)
i 1
η1  r cos ψ1,
4. Некоторые свойства плотности двухкомпонетного
многомерного распределения Лапласа
при
2
i
η .
 λ λ n   n 
Kv 1 12 ηi2 Kw
η2 dη dη  dηn.

λ i1   i1 i  1 2

 

Далее, перейдем к n-мерным сферическим координатам (r, ψ1, ψ 2 ,, ψn 1) :
 n 
  ηi2 

Rn i1
случайность масштабного параметра, при этом характеристическая функция имеет вид
1
φ( θ1, θ2 ) 
.
1
1  (θ1, θ2 )(θ1, θ2 )T
2λ
и
n
( f  f1)(0,0)  2 2 π
— при λ1  λ 2  0, λ  λ12 на процессы X1(t ) и
u 0
n
Получаем:
где f i (xi ) задаются (7);
при

1
двумерного процесса независимы, и их n-мерными
распределениями являются n-мерные симметрические распределения Лапласа, так что плотность их
совместного распределения равна
g (x1, x2 )  f ( x1) f (x2 ),
λ Kλ (u)  
j 1


 
lik l jk , i  2, n, j  i,
 ij



k 1
L  1  2 .
формулой (7).
Рассмотрим крайние случаи введенного
двухкомпонентного 2n-мерного распределения Лапласа:
— при 12  0 составляющие X1(t ) и X 2 (t )

1
l jj
lik2 , lij 
№68
li1 
i1
l11
1 n

4K
r2
,
Отсюда
62
1 n

4K
2
n 1(r )  r
1 (r )  
n

4 2
1 n

d  2  4
r
K n 1 (r ) .


dx 


4 2
2012

1
r
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
n
2K
0
 1 n

  r2 4K

0
№68
 λ1  λ12 

r Kn1(r)dr 

λ

n 
1
2 
 1 n

 1 n

 r 2 4 K (r)    1 r 2 4 K (r)
(
r
)
d
n 1
n
1
n
1

 2







4 2
4 2
4 2
2
 .
0
Следовательно, g (0,0)   .
4.2. Рассмотрим теперь случай n  1. Имеем:
1
,
2
1  σ12 ,  2  σ 22 , w  0, v 
f ( x1, x2 ) 
λ i  λ12
f i ( xi ) 
Рис.2. λ12  λ1  λ 2  1

 x2 x2  
λ
K 0  2λ 12  22  ,

πσ1σ 2 
 σ1 σ 2  

2σi
e
2 ( λ i  λ12 )

xi
σi
4.3. Известно, что одномерные распределения
Лапласа унимодальны с модой в нуле. Естественным
обобщением понятия унимодальности на многомерный случай является понятие линейной унимодальности. Случайный вектор Y называется линейно унимодальным в нуле, если распределение скалярного
произведения cY (c — произвольный вектор) унимодально с модой в нуле [15]. Используя аппарат характеристических функций, нетрудно убедиться, что для
X TCMVL распределение линейной комбинации cX
является смесью одномерного распределения Лапласа
и сверток таких распределений, также унимодальных.
Следовательно, распределения класса TCMVL обладают указанным свойством.
, i  1, 2 .
Известно, что K0(u) ~ log u, поэтому f (x1, x2 )  
при ( x1, x2 )  (0,0).
λ (λ1  λ12 )
( f  f1 )(0,0) 
2 πσ12 σ 2
λ (λ1  λ12 )

e

 2λ 
K 0 
t dt 
 σ1 

πσ1σ 2

   2 ( λ1  λ12 ) t
σ1
e
 λ1  λ12 t
 λ t dt 
K0
0
λ1  λ12
λ(λ1  λ12 ) arccos
λ

.
πσ1σ 2
λ2
5. Заключение
В результате проведенного расследования найдены характеристическая функция и плотность распределения n-мерных сечений процесса, порождаемого рассматриваемой нами моделью. Исследованы
свойства плотности. Также исследованы важные частные случаи. Показано, что:
— многомерное симметричное распределение
Лапласа является частным случаем введенного распределения;
— введенное распределение представляет собой дискретную смесь 2n-мерного симметричного
распределения Лапласа и его сверток с n-мерными
плотностями составляющих.
(интеграл посчитан в Wolfram Mathematica 8.0)
Аналогично:
λ 2  λ12
λ(λ 2  λ12 ) arccos
λ
( f  f 2 )(0,0) 

.
πσ1σ 2
λ1
Получаем, что g (0,0) конечна только при n  1 и
λ12  0. И в этом случае
g (0,0)  p1
 p2
λ1(λ1  λ 2 )
πσ1σ 2
λ 2 (λ1  λ 2 )
πσ1σ 2

arccos

λ1
λ1  λ 2
arccos
λ2
λ2
λ1  λ 2
λ1

1.
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Рис.1. λ12  0, λ1  λ 2  1
63
Hsu D.A. Long-tailed distibutions for position errors in navigation // Appl. Stat. 1979. V.28. P.62-72.
Okuba T., Narita N. On the distribution of extreme winds expected in Japan // National Bureau of Standards Special Publication. 1980. V.560-1. Р.12.
Dadi M.I., Marks R.J. Detector relative efficiencies in presence of Laplace noise // IEEE Trans. in Aerospace Electronic
Systems. 1987. V.23. Р.568-582.
Kozubowski T.J., Podgorski K. Asymmetric Laplace laws
and modeling financial data // Math. Comput. Modeling.
2001. V.34. Р.1003-1021.
Bandorf-Nielsen O.E. Models for non-Gaussian variation
with applications to turbulence // Proc. Royal Soc. A. 1979.
V.353. Р.401-419.
Королев В.Ю. Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешанных гауссовских
моделей. М.: ИПИ РАН, 2007. 363 с.
Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные
задачи математической статистики. М.: Наука, 1972. 656 с.
Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки наблюдений. М.: Радио и связь, 1983. 303 с.
2012
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Marshall A.W., Olkin I. A multivariate exponential distribution // Y. Amer. Statis. Assoc. 1967. V.62. Р.30-34.
Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: Наука, 1984.
327 с.
Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных
порядковых статистик. М., Наука, 1984. 303 с.
Fang K.T., Kotz S., Ng K.V. Symmetric multivariate and related distributions. L.: Chapman Hall, 1990. Monographs on
Statistics and Probability. V.36. 224 р.
Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution // Statist.
Probab. Lett. 1992. V.14. Р.333-336.
Zolotukhin I.V., Zolotukhina L.A. New Class of Multivariate
Generalized Laplace distribution // Transactions of XXIV International Seminar of Stability Problems for Stochastic
Models. Latvia, 2004. Р.267.
Dhamadhikari S., Joag-Dev K. Unimodality, Convexity
and Applications. San Diego: Academic Press, 1998.
278 р.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Bibliography (Transliterated)
1.
2.
3.
Hsu D.A. Long-tailed distibutions for position errors in navigation // Appl. Stat. 1979. V.28. P.62-72.
Okuba T., Narita N. On the distribution of extreme winds expected in Japan // National Bureau of Standards Special Publication. 1980. V.560-1. Р.12.
Dadi M.I., Marks R.J. Detector relative efficiencies in presence of Laplace noise // IEEE Trans. in Aerospace Electronic
Systems. 1987. V.23. Р.568-582.
13.
14.
15.
64
№68
Kozubowski T.J., Podgorski K. Asymmetric Laplace laws
and modeling financial data // Math. Comput. Modeling.
2001. V.34. Р.1003-1021.
Bandorf-Nielsen O.E. Models for non-Gaussian variation
with applications to turbulence // Proc. Royal Soc. A. 1979.
V.353. Р.401-419.
Korolev V.Ju. Verojatnostno-statisticheskijj analiz khaoticheskikh processov s pomoshh'ju smeshannykh
gaussovskikh modelejj. M.: IPI RAN, 2007. 363 s.
Kagan A.M., Linnik Ju.V., Rao S.R. Kharakterizacionnye
zadachi matematicheskojj statistiki. M.: Nauka, 1972. 656 s.
Mudrov V.I., Kushko V.L. Metody obrabotki nabljudenijj.
M.: Radio i svjaz', 1983. 303 s.
Marshall A.W., Olkin I. A multivariate exponential distribution // Y. Amer. Statis. Assoc. 1967. V.62. Р.30-34.
Barlou R., Proshan F. Statisticheskaja teorija nadezhnosti i
ispytanija na bezotkaznost'. M.: Nauka, 1984. 327 s.
Galambosh Ja. Asimptoticheskaja teorija ehkstremal'nykh
porjadkovykh statistik. M., Nauka, 1984. 303 s.
Fang K.T., Kotz S., Ng K.V. Symmetric multivariate and related distributions. L.: Chapman Hall, 1990. Monographs on
Statistics and Probability. V.36. 224 р.
Anderson D.N. A multivariate Linnik distribution // Statist.
Probab. Lett. 1992. V.14. Р.333-336.
Zolotukhin I.V., Zolotukhina L.A. New Class of Multivariate
Generalized Laplace distribution // Transactions of XXIV International Seminar of Stability Problems for Stochastic
Models. Latvia, 2004. Р.267.
Dhamadhikari S., Joag-Dev K. Unimodality, Convexity and
Applications. San Diego: Academic Press, 1998. 278 р.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
529 Кб
Теги
двухкомпонентной, лапласа, распределение, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа