close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Декомпозиция векторного поля системы управления на основе построения оператора гомотопии.

код для вставкиСкачать
Д. В. УЛЬЯНОВ
УДК 519.71
ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ
ОПЕРАТОРА ГОМОТОПИИ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Омский государственный
технический университет
В работе предложен метод разложения векторного поля динамической системы,
основанной на построении оператора гомотопии. Рассмотрена декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Построены инварианты для компонент декомпозиции векторного поля. Метод декомпозиции векторного поля динамической системы используется в работе для построения функций
Ляпунова систем управления.
Ключевые слова: декомпозиция векторного поля, система управления, функция
Ляпунова, декомпозиция Ходжа–Гельмгольца, оператор гомотопии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (гранты ¹ 10-07-00032 и ¹ 11-08-01349).
Введение. В 3-мерной теории поля известно разложение Гельмгольца векторного поля f(x)∈R3 в области M∈R3 на безвихревое (потенциальное) поле и
бездивергентное (соленоидальное) поле [1, 2]: f(x)=
=∇φ(x)+∇×A(x), где A(x) — векторный потенциал;
j(x) — скалярный потенциал. Граничные условия
разложения Гельмгольца: векторное поле ∇φ — нормальное к границе ∂M области M, векторное поле
∇×A, касательное к границе ∂M. Градиент потенциальной функции ∇φ(x)= grad j(�������������������
x������������������
) является наилучшей аппроксимацией векторного поля f(x).
Актуальность декомпозиции векторного поля
для исследования динамических систем вида x′=f(x)
обусловлена тем фактом, что использование скалярной потенциальной компоненты функции j(x)
в качестве функции Ляпунова [3, 4]: V(x)=-j(x)
позволяет оценивать устойчивость динамической
системы, так как производная функции Ляпунова
по времени:
, в случае
потенциального векторного поля f(x), равна V(x)=
=-||∇φ(x)||2≤0.
Декомпозиция Гельмгольца может быть записана с использованием оператора Ходжа «*» для дифференциальных форм [2, 5]: f(x)=dφ(x)+dA��������
(�������
x������
). Однако при n>4 оператор Ходжа 1-формам сопоставляет k-формы со значением k>3 и декомпозиция
Ходжа–Гельмгольца некорректна.
Цель настоящей работы — построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамической системы f(x)∈R3; x∈Rn при n≥2. Для выполнения цели в работе решена задача построения
потенциальной и соленоидальной компонент векторного поля формированием оператора гомотопии
для дифференциальной формы, соответствующей
векторному полю f(x).
1. Декомпозиция векторного поля динамической системы. Для динамической системы:
Пусть в евклидовом пространстве с координатами
x1,…,xnRn и метрическим тензором gij(x)=gij(x)=dij
n
∂
задано векторное поле v = ∑ fi
. Для соответству∂
xi
i =1
n
f
ющей 1-формы ω = ∑ ωidx i имеем ωi = i , следоgi
i =1
n
вательно ω = ∑ fi dx i [6].
(1)
(4)
сформируем векторное поле
и соответ-
ствующую дифференциальную форму ω=f(x)dx.
(2)
Оператор гомотопии H удовлетворяет тождеству:
ω=dHw+Hdω. Первый член разложения является
точной формой
, следова-
тельно, является замкнутой формой: dwB=d(d(Hw))=0.
Если считать j(x)=Hw(x) скалярным потенциалом,
∂
то потенциальное векторное поле j′x
является
∂x
дуальным форме:
.
Второй член разложения: ωα — является антиточной формой (по терминологии [7]) ωα =ω–ωB=
=ω–d(Hw)=Hdw, причем: Hwα=H(Hdw)=0.
Из тождества ω=dHω+Hdω=ωв+ωα следует, что
dω=dωα , так как ddω=0. Поэтому антиточная форма
ωα инвариантна по отношению к преобразованию:
ω⇒+HΩ; Ω∈2.
(3)
В случае, когда размерность евклидова пространства Rn четная, можно сформировать абсолютный
инвариант по отношению к преобразованию (3):
который является количественной характеристикой
антиточной форме на многообразии M∈Rn. Величи-
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
x′=f(x); x∈Rn; f(x)∈R3; f(0)=0,
i =1
Построим из векторного поля скалярный потенциал применением оператора гомотопии с центром
в x 0 ≡ 0 для формы ω=f(x)dx (см. приложение 1):
47
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
на Ia не зависит от выбора точной части ωв, поэтому
является инвариантной по отношению к калибровке ωв. В случае, если рассматриваемая система является гамильтоновой, а форма ω — симплектической,
абсолютный инвариант Ia соответствует интегральному инварианту Лиувилля [6].
В случае, когда размерность евклидового пространства Rn нечетная можно сформировать относительный инвариант по отношению к преобразованию (3):
Тангенциальное векторное поле системы ft(x)
можно представить в форме:
Применим оператор внешнего дифференцирования (exterior differentiation) для формы ωR: dωR=
=d((Rx)dx)=0, и для формы ωJ:
.
(5)
Компонентам разложения: ω=dHω+Hdω=ωв+
+ωa можно сопоставить: (ωA)в=ωR=(Rx)dx; (ωA)a=
=ωJ=(Jx)dx.
3. Декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Динамическая
система x′=A(x)⋅x зависит от одного параметра —
времени. Рассмотрим многопараметрическую динамическую систему
так как, в соответствии с теоремой Стокса,
получаем абсолютный инвариант в четномерном
пространстве.
Основным результатом первого раздела является
алгоритм нахождения инварианта антиточной компоненты дифференциальной формы: абсолютного — (4) и относительного — (5), а также инварианта
точной компоненты дифференциальной формы.
2. Декомпозиция векторного поля динамической системы x′=A(x)⋅x. В приложении 2 показано,
что гладкая динамическая система x′=f(x);f(0)=0
может представлена в форме x′=A(x)⋅x. В свою очередь, правая часть выражения A(x)⋅x может быть декомпозирована в форме [8]:
A(x)⋅x=(J(x)+R(x))⋅x,
(6)
где J(x)=0,5⋅(A(x)–A(x)T) — кососимметрическая
компонента матрицы A(x); R(x)=0,5⋅(A(x)+A(x) T) —
симметрическая компонента матрицы.
Для векторных полей
и
построим соответствующие дифференциальные формы в
дуальном базисе:
и
.
Пусть A(x)=A. Применим оператор гомотопии с
центром x0≡0 для формы ωJ:
(11)
которая зависит от m параметров: τ=(τ1,….,τm).
Запишем соотношения для i-ой динамической
системы с использованием фундаментальной матрицы X(τ,τ0)=X(τ):
(12)
или в форме: ∂τiX⋅X–1=Ai, где X(τ0)=I, x0=x(τ≡0).
Если существует путь зависимости параметров от
времени τ(t)=(τ1(t),…., τm(t)), то результат интегрирования дифференциальных уравнений динамической системы зависит от выбранного пути.
Преобразование X(τ→g(τ)⋅X(τ) приводит к преобразованию Ai:
Ai→g–1Aig+g–1dig.
Представим
дифференциальную
форму
ADS(τ)∈g×Λ1, соответствующую многопараметрической динамической системе:
где
(7)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Применив оператор гомотопии с центром x0≡0
для формы ωR, получим скалярную потенциальную
функцию φ(x):
48
(10)
ft(x)=A⋅x–fg(x)=Jx.
(8)
;
,
, Tj∈g — инфинитези-
мальные генераторы конечномерной матричной лиевой группы (любая неособая квадратная матрица
M∈Rm×m может быть представлена как элемент матричной группы лиевой GL(m)).
Введем дифференциальную 2-форму FDS(τ)∈g×
×Λ2(Rm): FDS(τ)=dADS+ADS∧ADS.
Так как при преобразовании X(τ)→g(τ)⋅X(τ) форма FDS преобразуется как: FDS→g–1FDSg, то величина
Tr(FDS) инвариантна по отношению к преобразованию:
X(τ)→g(τ)⋅X(τ).
(13)
Так как H(ωJ(x))=0, то H(ωA(x))=H(ωR(x))=φ(x).
Следовательно, потенциальное векторное поле системы:
Поэтому при четном m можно сформировать абсолютный инвариант по отношению к преобразованию (16):
(9)
(16)
При нечетном m в соответствии с формулой гомотопии Картана можно сформировать относительный
инвариант по отношению к преобразованию (13):
где коэффициент α(x)∈R; α(x)>0.
Определим требование, налагаемое на α(x), требуемое для обеспечения условия
при |x|≠0.
Предположим, что при |x|≠0:
span{B R, Bi RA,….,B RA
T
i
где Ft=d(tA)+(tA)∧(tA). Например, при m=3:
T
T
i
и dim
;i=1,…,m}=n, то есть
n–1
(21)
(16)
получаем инвариант Чженя–Саймонса [9].
Для случая, когда генераторы Tj∈R: FDS=dADS, и
абсолютный инвариант (13) динамической системы
редуцируется к инварианту (4), а относительный инвариант (18) динамической системы редуцируется к
инварианту (5).
Основным результатом третьего раздела является алгоритм нахождения инварианта дифференциальной формы, соответствующей многопараметрической динамической системе: абсолютного
(14) — для случая четного количества параметров;
и абсолютного (15) — для случая нечетного количества параметров.
4. Исследование устойчивости линейных стационарных систем. Для исследования устойчивости
линейных стационарных систем вида:
Неравенство (21) — условие Ляпунова обеспечения устойчивости системы (17), выполняется выбором такого значения α>0:
(22)
при котором выполняется условие
, при |x|≠0
и
, при |x|=0.
Основным результатом четвертого раздела является метод нахождения коэффициента α(x) — (22)
в законе формирования диссипативного управления — (20) для обеспечения условия Ляпунова устойчивости системы (17).
Приложение 1 [7, 12]. Метод оператора гомотопии. Обозначим элементы тангенциального векторного пространства в точке
(17)
с обратной связи в форме: u=K⋅x, обычно выбирается в качестве функции Ляпунова такая функция V(x)
[10]: V(x)=xT⋅P⋅x>0; pii>0; pij,i≠j=0; V(0)=0, для которой матрица K обеспечивает выполнение условий
для производной по времени
, при
и
,
. Однако выполнение условия
, при
ограничивает использование функций Ляпунова для исследования устойчивости диссипативных систем, поэтому в настоящее время известны
способы исследования устойчивости построением
функций Ляпунова, для которых выполняется слабое условие
, при
[3, 4, 11].
Рассмотрим метод построения функции Ляпунова в форме: V(x)=–φ(x), где потенциал φ(x)
определяется применением оператора гомотопии
φ(x)=H(ωR(x)) к симметрической компоненте дифференциальной формы ωR=(Rx)dx, R=1/2(A+AT)
соответствующей динамической системы:
(18)
для которой производная по времени равна:
; элементы котангенциального
пространства (дифференциальные формы):
. Для дифференциальных форм
можно ввести дифференциальный оператор d со
свойствами:
1) d(ω1+ω2)=dω1+dω2;
2)
;
3) d(dω)=0,
и оператор внутреннего произведения (interior product):
(iXω)(X1,…,Xp–1)=ω(X,X1,…,Xp–1);
для случая k=deg(ω)=1:iXω=ω(X).
Согласно лемме Пуанкаре, если локальная область U∈M стягивается в точку и форма ω — замкнутая, то существует такая форма α в U, что ω=dα.
Получение формы α по значениям формы ω может
быть основано на построении оператора гомотопии
H:Λk→Λk–1, действующего на форму ω:
; k=deg(ω).
так как ∇V(x)=grad(V(x))=–R⋅x, и
. Однако при u=0; |x|≠0 условие
может не выполняться.
Для обеспечения выполнения условия
при |x|≠0 выберем диссипативное управление в форме [11]:
При k=1;x0≡0:
.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
(19)
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
(15)
(20)
49
Свойства оператора гомотопии:
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
1) dH+Hd=I;
2) (H(Hω))(xi)=0;(Hω)(xi0)=0;
3)
.
Первый член разложения формы ω=d(Hω)+
+Hdω — точная форма ωв=d(Hω) является замкнутой; форма ωa=Hdω является антиточной. Для случая ω=dφ получим: (Hdφ)(x)=φ(x)–φ(x0).
Приложение 2. Метод приведения к форме
x′=A(x)⋅x. В работе [13] представлен точный метод
приведения гладкой динамической системы: x′=f(x);
f(0)=0; x, f(x)∈Rn; к форме x′=A(x)⋅x; A(x)∈Rn×n:
A=(aij);
. Выбор матри-
цы A не является однозначным так замена mij–φ(x)
xk; mik+φ(x)xj не меняет формы представления.
Заключение. Рассмотрен метод декомпозиции
векторного поля динамической системы на основе
построения оператора гомотопии. Рассмотрена декомпозиция векторного поля многопараметрической динамической системы. Построены инварианты для компонент декомпозиции векторного поля.
Метод декомпозиции векторного поля динамической системы может быть использован для построения функций Ляпунова систем с диссипативным
управлением.
4. Зубов, В. И. Устойчивость движения (методы Ляпунова
и их применение) / В. И. Зубов. – М. : Высшая школа, 1984. –
232 с.
5. Multimedia tools for communicating mathematics / ed.
K. Polthier, J. Rodrigues. – Springer-Verlag, 2002. – P. 241–264.
6. Арнольд, В. И. Математические методы классической
механики / В. И. Арнольд. – М. : Эдиториал УРСС, 2006. –
416 с.
7. Edelen, D. G. B. Applied Exterior Calculus / D. G. B. Edelen. –
John Wiley&Sons, Inc, 1985. – 472 p.
8. Wang, Y. Generalized Hamiltonian realization of timeinvariant nonlinear systems / Y. Wang, Ch. Lia, D. Cheng //
Automatica. – 2003. – Vol. 39. – P. 1437–1443.
9. Balachandran A. P., Marmo G., Skagerstam B. S., Stern A.
Classical topology and quantum states. – World Scientific, 1991. –
356 p.
10. Сейдж, Э. П. III. Оптимальное управление системами /
Э. П. Сейдж, Ч. С. Уайт. – М. : Радио и связь, 1982. – 392 c.
11. Jurdjevic, V. Controllability and Stability / V. Jurdjevic,
J. F. Quinn // Journal of Differential Equations. – 1978. – Vol 28. –
P. 381–389.
12. Hudon, N. Equivalence to Dissipative Hamiltonian
Realization / N. Hudon, K. Hoffner, M. Guay // Proceedings of the
47-th Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico. 2008. –
P. 3163–3168.
13. Cheng, D. Pseudo-hamiltonian realization and its application / D. Cheng, T. Shen, T. J. Tarn // Communications in
information and systems. – Dec. 2002. – Vol. 2, № 2. – P. 91–120.
Библиографический список
1. Saffman, P. G. Vortex dynamics / P. G. Saffman. –
Cambridge University Press. – 1992. – 312 p.
2. Chukanov, S. . Definitions of invariants for n-dimensional
traced vector fields of dynamic systems / S. Chukanov // Pattern
Recognition and Image Analysis. – 2009. – Vol. 19, № 2. –
P. 303–305.
3. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. – М. : ГИФМЛ, 1959. –
211 с.
УЛЬЯНОВ Дмитрий Владимирович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки
информации и управления».
Адрес для переписки: grayfox@list.ru
Статья поступила в редакцию 25.10.2012 г.
© Д. В. Ульянов
Книжная полка
51/С23
Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для бакалавров вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии. В 2 ч. / В. Н. Земсков [и др.] ; под ред. А. С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2012.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Ч. 1. – 1 o=эл. опт. диск (CD-ROM). – ISBN 978-5-9916-1369-9. -978-5-9692-1209-1.
50
В сборнике содержатся задачи по основам математического анализа, векторной алгебре и аналитической геометрии, линейной алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, кратным интегралам и дифференциальным уравнениям. Приведенные краткие теоретические сведения, иллюстрируемые большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать
сборник для всех видов обучения, а также для самостоятельной работы студентов. Соответствует государственному образовательному стандарту нового поколения.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
651 Кб
Теги
построение, векторное, система, декомпозиция, оператора, основы, управления, гомотопии, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа