close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дискретный фильтр Винера.

код для вставкиСкачать
Вольсков Дмитрий Геннадьевич, кандидат
технических наук, доцент кафедры «Самолётостроение» ИАТУ УлГТУ. Имеет монографию,
научные статьи в журналах ВАК, методические
пособия.
Поступила 11.03.2016 г.
УДК 621.391
К. К. ВАСИЛЬЕВ
ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР ВИНЕРА
Рассмотрена классическая задача синтеза и анализа фильтра Колмогорова – Винера. Предложен
способ синтеза оптимального реализуемого фильтра в дискретном времени. Приведены примеры
решения задач синтеза и анализа оптимальных фильтров для случайных последовательностей с экспоненциальной корреляционной функцией.
Ключевые слова: случайная последовательность, дисперсия ошибки, корреляционная функция,
линейная оценка, фильтр
Введение
Во многих случаях полезная информация заключена в последовательности значений x1 , x2 ,..., xk
изменяющегося в дискретном времени параметра. Для извлечения этой информации используются
наблюдения z1 , z2 ,..., zk ,... , являющиеся функциями полезного параметра и помех. При этом на основе
наблюдений
необходимо дать
наилучшую
в
определённом
смысле
оценку
xˆk = xˆk ( z1 , z2 ,..., zk ,...) значений изменяющегося параметра [1, 2]. К этому классу относятся, например, задачи оценивания изменяющихся параметров сигналов и помех в радиолокации, радионавигации и радиосвязи [3-5].
Решение рассматриваемой задачи для дискретного времени впервые было дано А. Н. Колмогоровым [1]. Построение оптимальных фильтров для непрерывного времени после фундаментального
исследования Н. Винера [2] представлено в большом числе работ. При синтезе непрерывного фильтра
Винера проблема реализуемости решается достаточно просто на основе выбеливания наблюдений и
факторизации передаточной функции. Вместе с тем для дискретного времени методика синтеза реализуемого фильтра, по-видимому, забыта в связи с появлением методов калмановской и квазилинейной фильтрации [3−5]. В настоящей работе приводятся результаты синтеза и анализа оптимальных
нереализуемого и реализуемого линейных фильтров в дискретном времени.
Оценки
=
xˆk
Оценивание в дискретном времени
xˆk ( z1 , z2 ,...,=
zk ,...) xˆk ( zi , i ∈ Dk ) изменяющегося параметра
функциями наблюдений
{
}
{ zi , i ∈ Dk } , сделанных на интервалах дискретного времени
ных задачах для оценивания
xk
xk являются
Dk . В различ-
могут использоваться наблюдения, выполненные как до момента
i = k , так и после этого момента. Если область Dk содержит моменты дискретного времени i ≤ k , то нахождение оценок вида xˆk = xˆk ( z1 , z2 ,..., zk ) называется фильтрацией. Оценивание
xˆk на основе наблюдений z1 , z2 , ..., zk , zk +1 , ... , zk + m , m ≥ 1, полученных до и после момента
i = k , называется интерполяцией, или сглаживанием. Если же i < k , то оценивание будущего значения xˆk xˆ=
=
xˆk ( z1 , z2 , ... , zk −m ), m ≥ 1, является экстраполяцией, или проk ( z1 , z2 , ... , zi )
гнозированием значения xk на основе предшествующих наблюдений.
времени
© Васильев К. К., 2016
Вестник УлГТУ 1/2016
47
Способ получения данных об информационном параметре, как правило, известен и поэтому может быть дано и математическое описание связи наблюдений и значений параметра. Наиболее общим
способом такого описания является совместная плотность распределения вероятностей
w( z1 , z2 ,..., zk ,..., x1 , x2 ,..., xk ,...) = w( x1 , x2 ,..., xk ,...) w( z1 , z2 ,..., zk ,... / x1 , x2 ,..., xk ,...).
При этом w( x1 , x2 ,..., xk ,...) определяет динамику изменения информационной случайной последовательности (СП) x1 , x2 ,..., xk ,... Для гауссовских СП полная информация о динамике СП
x1 , x2 ,..., xk ,... может быть задана с помощью корреляционной функции (КФ)
Bx (i, j ) = M {( xi − mi )( x j − m j )} , i, j = 1, 2,...
В рассматриваемых задачах описание процесса изменения параметра
xi в дискретном времени
xi , i = 1,2,..., k , сочетающий про-
имеет принципиальное значение. Правильный выбор модели СП
стоту математического представления и адекватность реальным физическим явлениям, зачастую
представляет довольно сложную проблему и всегда требует тщательного анализа [3-6].
Во многих реальных системах осуществляются наблюдения
=
zi h=
( xi , ni ), i 1,2,... , зависящие
только от текущего значения параметра
ностях
ni , i = 1,2,...
xi
и случайной погрешности
ni . При независимых погреш-
с известными распределениями совместное распределение факторизуется
k
w( z1 , z2 ,..., zk / x1 , x2 ,..., xk ) = ∏ w( zi / xi ),
и полная информация о способе получения данных
i =1
w( zi / xi ), i = 1,2,...
h( xi , ni ), i = 1,2,... . Заметим, что при изменяющихся случайных параметрах наиболее информативным о значении xk , как правило, оказывается наблюдение zk = h ( xk , nk ) в этот же момент времени. Вклад других наблюдений в результирующую оценку xˆk = xˆk ( z1 , z2 ,..., zk ,...) должен зависеть от их числа и временных свойств СП
x1 , x2 ,..., xk ,... модели наблюдения и характеристик помех ni , i = 1,2,... .
содержится в
или функциях
Оптимальный линейный фильтр
Пусть реализация СП x1 , x2 ,..., xk ,... представляет собой значения изменяющегося в
дискретном времени информационного параметра. Будем
предполагать, что до проведеи
КФ
ния
наблюдений
известны
среднее
значение
=
mi M=
X (ti ) , i 1,2,...
{
}
Bx (i, j ) = M {( X (ti ) − mi )( X (t j ) − m j )} , i, j = 1, 2,... такой СП. Для описания взаимодействия
zi = h ( xi , ni ) скалярных параметров xi и гауссовских некоррелированных помех ni известными
предполагаются КФ
Bz (i, j ) = M { zi z j }
и взаимная КФ
Bzx (i, k ) = M { zi xk } .
Ограничиваясь линейными оценками, можно учесть всё многообразие представленных априорных
данных с помощью выбора весовых коэффициентов
xˆk =
{g } :
∑g
i∈Dk
i ,k
i ,k
zi ,
где Dk – область моментов времени выполненных наблюдений.
Рассмотрим решение задачи построения оптимального в смысле минимума дисперсии ошибки
=
σ ε2k M {( xˆk − xk ) 2 }
линейного алгоритма оценивания
xˆk = ∑ gi ,k zi
изменяющегося параметра
i∈Dk
xk . Такой алгоритм нахождения оптимальных оценок c помощью весового суммирования наблюде-
ний называют фильтром Колмогорова–Винера, или дискретным фильтром Винера [1, 2].
48
Вестник УлГТУ 1/2016
После элементарных преобразований получим следующее выражение для дисперсии ошибки алгоритма с произвольными весовыми коэффициентами


 

2

2
M  ∑ g i ,k zi − xk   =
σ ε2k =
σ xk
+ M ∑

 i∈Dk
где
 

σ xk2 = M { xk2 } .
i∈Dk
Для поиска оптимальных весовых коэффициентов
ошибки оценивания
σ ε2k ,
продифференцируем
σ ε2k
{g } :
i ,k
∑g
j∈Dk
i ,k

g j ,k zi z j − 2 xk ∑ g i ,k zi  ,
i∈Dk

{ g , i ∈ D } , минимизирующих дисперсию
по { g , i ∈ D } и приравняем производные
i ,k
k
i ,k
k
нулю. Получим следующую систему уравнений:


M ( ∑ g j ,k z j − xk ) zi  =
0, i ∈ Dk ,
j
D
∈
k


или
M {( xˆk − xk ) zi } =
0, i ∈ Dk ,
показывающих, что ошибка оптимального оценивания ε=
xˆk − xk и каждое из используемых
k
наблюдений { zi , i ∈ Dk } должны быть некоррелированны. Это условие называют принципом ортогональности ошибки и наблюдений, или леммой об ортогональном проектировании [4−5].
После вычисления математического ожидания полученная система линейных уравнений
B (i, j )
∑g =
j∈Dk
j ,k
Bzx (i, k ), i ∈ Dk
z
в качестве коэффициентов содержит значения КФ
имной КФ
Bz (i, j ) = M { zi z j }
(1)
СП
z1 , z2 ,..., zk ,... и вза-
Bzx (i, k ) = M { zi xk } СП z1 , z2 ,..., zk ,... и СП x1 , x2 ,..., xk ,... Систему уравнений (1)
называют уравнениями Винера-Хопфа для дискретного времени. С учётом (1) легко находится и минимально достижимая в условиях рассматриваемой задачи дисперсия ошибки оценивания:
2
σ=
σ xk2 − ∑ gi ,k Bzx (i, k ) .
εk
i∈Dk
При небольшом числе элементов в области индексов
найти оптимальные весовые коэффициенты
ходимо будет находить
{g
i ,k
, i ∈ Dk }
{g
i ,k
Dk
можно решить систему уравнений (1) и
, i ∈ Dk } . Однако для нестационарных СП
для каждого
необ-
k -го шага оценивания, что может вызвать значи-
тельные вычислительные проблемы даже для скалярной СП x1 , x2 ,..., xk ,... Решение значительно
упрощается для стационарных СП, наблюдаемых на фоне аддитивных помех. В этом случае
z=
xk + nk ,
k
Bzx (i, k )= M { zi xk }= M { xi xk }= Bx (i − k ), Bz (i, j )= M { zi z j }= Bx (i − j ) +
1, если i = j ,
+ M {ni n j }= Bx (i − j ) + σ 2δ K (i − j ), δ K (i − j )= 
0, если i ≠ j.
Таким образом, система уравнений (1) преобразуется к виду:
σ 2 gi +
Вестник УлГТУ 1/2016
∑g
j∈D
j
Bx (i −=
j ) Bx (i ), i ∈ D .
(2)
49
Для бесконечного интервала наблюдений D : ( −∞ < i < ∞) можно воспользоваться теоремой о
свертке и тогда, после z -преобразования, получим
H ( z )(σ 2 + F ( z )) =
F ( z)
или
где
=
H ( z ) F ( z ) / (σ 2 + F ( z )) ,
∞
F ( z) =
∑
j =−∞
Bx ( j ) z − j , H ( z ) =
димо воспользоваться обратным
∞
∑gz
j =−∞
−j
j
. Чтобы найти весовые коэффициенты, необхо-
z -преобразованием:
1
gj =
H ( z ) z j −1dz ,

∫
2π i C
(3)
где C − единичная окружность на плоскости комплексного переменного, а минимально достижимая дисперсия ошибки
∞
σ ε2k =
σ x2 − ∑ g j Bx ( j ) =
σ 2 g0 .
j =−∞
Рассмотрим точное решение задачи нахождения коэффициентов дискретного фильтра Винера для
экспоненциальной КФ
F ( z)
=
∞
Bx ( j ) = σ x2 ρ
j
информационной СП. Тогда
∞
∞
j=0
j =1
2
σ x2 ρ z − j σ x2 ∑ ( ρ / z ) j + σ x=
=
∑
∑ ( ρ z ) j + σ x2
j
j = −∞
Весовая характеристика оптимального фильтра
gj
=
где
1
H ( z ) z j −1dz
=

∫
2π i C
q
1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2 ) / (1 − ρ 2 )
α= (q (1 − ρ ) + (1 + ρ )) / 2 ρ ,
2
2
1− ρ2
.
(1 − ρ z )(1 − ρ z −1 )
(
α − α 2 −1
)
j
,
легко находится, например, с помощью вычетов подынте-
гральной функции. Анализ весовых коэффициентов
g j , j = 0, ± 1, ± 2, ... , показывает, что синте-
зированная структура оценивания является физически нереализуемой, так как для нахождения оптимальных оценок
xˆk =
∞
∑gz
j =−∞
j
j −k
необходимо использовать не только предшествующие
xˆk наблю-
дения z1 , z2 , ..., zk , но и все последующие наблюдения zk +1 , zk + 2 , ... Можно реализовать приближение к оптимальной оценке с помощью запоминания части наблюдений и взвешивания в скользящем окне
xˆk =
N
∑gz
j =− N
j
j −k
, содержащем
2N + 1
элемент. Такая реализация приведёт к задержке
получения оценок на N тактовых интервалах, а также к потерям в эффективности фильтрации за счёт
потери информации, содержащихся в отброшенных наблюдениях. Для оценки величины таких потерь
можно сравнить дисперсию ошибки фильтрации в скользящем окне с минимально достижимой величиной
2
g0 σ 2
=
σ ε2 σ=
q
1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2 ) / (1 − ρ 2 )
.
(4)
Оптимальный реализуемый дискретный фильтр
Для получения физически реализуемого алгоритма оценивания можно воспользоваться известным
методом декорреляции наблюдений в непрерывном времени [4,5], который можно сформулировать
следующим образом. Если бы на вход фильтра поступала последовательность некоррелированных
наблюдений, то весовую характеристику можно было бы представить в виде двух компонент
50
Вестник УлГТУ 1/2016
g j , j = 0, 1, 2, ... и g j , j =−1, − 2, ... , каждая их которых позволяла бы получить две незави∞
симые оценки параметра. Оставляя только одну из них, можно найти структуру
xˆk = ∑ g j z j −k
оп-
j =0
тимального реализуемого фильтра. Воплощение этой идеи возможно с помощью преобразования СП
z=
xk + nk , имеющих спектр σ 2 + F ( z ) =
Ψ ( z )Ψ∗* ( z ) , декоррелирующим фильтk
ром с передаточной функцией H=
1 / Ψ ( z ) . Действительно, после прохождения СП наблюдений
0
z=
xk + nk через декоррелирующий фильтр получим СП ηk с равномерным энергетическим
k
наблюдений
спектром
σ 2 + F ( z) =
(σ 2 + F ( z )) H 0 ( z ) =
Ψ ( z )Ψ * ( z ) H 0 ( z ) H 0* ( z ) =
1
Bη ( j ) = δ K ( j ). Заметим также, что при этом не происходит потери информации о значении
2
и КФ
параметра
ηk
xk , поскольку исходная СП z=
xk + nk может быть в принципе восстановлена из СП
k
с помощью обратного преобразования.
Таким образом, появляется возможность решения задачи оптимальной реализуемой фильтрации по
схеме, представленной на рис. 1.
Рис. 1. Оптимальное оценивание на основе декорреляции
∞
После декоррелирующего преобразования
η j = ∑ g вi z j −i
необходимо найти передаточную ха-
i =0
рактеристику
Hη ( z ) реализуемого линейного фильтра, преобразующего некоррелированную СП
η j , j = 0, 1, 2, ...
∞
xˆk = ∑ gη j ηk − j .
в оценку
При этом коэффициенты
j =0
gη j , j = 0,1,... опти-
мального линейного преобразования находятся из уравнений Винера-Хопфа (2), записанных применительно к заданным условиям в виде
∞
∑ gη
i =0
i
Bη (i=
− j ) Bη x (=
j ), j 0,1,...
Поскольку для некоррелированной СП η j ,
j = 0, 1, 2, ... КФ Bη (i − j )= δ K (i − j ), то систе-
ма распадается на отдельные уравнения, являющиеся её решениями:
 ∞
 ∞
gη j = Bη x ( j ) = M { xkη k − j } = M  xk ∑ g вi zk − j −i  = ∑ g вi Bx (i + j ) , j = 0,1,...
=
 i 0=
 i 0
После этого с помощью
фильтра (рис. 1)
z -преобразования можно найти передаточную функцию линейного
=
Hη ( z )
а
затем
H ( z) =
и
характеристику
H 0 ( z ) Hη ( z ) .
∞
=
gη j z − j
∑
=j 0
∞
∞
∑ ∑g
=j 0=i 0
оптимального
вi
Bx (i + j )z − j ,
реализуемого
дискретного
фильтра
Винера:
Покажем возможности синтеза реализуемого фильтра на примере рассмотренной задачи фильтрации стационарной СП
z=
xk + nk
k
j
xk с КФ Bx ( j ) = σ x2 ρ . Для этого представим спектр наблюдений
в виде двух комплексно-сопряжённых сомножителей:
Вестник УлГТУ 1/2016
51
(1 − ρ 2 )
α (1 − β z −1 ) α (1 − β z )
σ + F ( z) =
σ +σ
=
,
(1 − ρ z −1 )(1 − ρ z ) (1 − ρ z −1 ) (1 − ρ z )
2
2
где коэффициенты β = ρσ / α и
(1 + ρ 2 )
σ x2
2
2
2 
2
2
2 
,
α 0,5σ (1 − ρ )  q +
=
+ q + 1 + 2q (1 + ρ ) / (1 − ρ )=
, q
2
2
(1
)
ρ
σ
−


2
2
2
x
находятся из условия тождественности полиномов в числителях левой и правой частей представленного разложения. Таким образом, передаточная характеристика выбеливающего фильтра имеет следующий вид:
1
(1 − ρ z −1 )
H0 =
.
=
Ψ ( z ) α (1 − β z −1 )
Весовая функция такого фильтра может быть найдена с помощью интегрирования:
1 / α , если j = 0,

1
j −1
=
H
(
z
)
z
dz

0
j −1
∫
2π i 
(( β − ρ ) / α ) β , если j ≥ 1.
C
=
g вj
Для рассматриваемого примера
σ x2 ( ρ − β ) j
gη j ∑ g вi Bx (=
i + j ) ∑ g вiσ=
ρ
ρ , j 0,1,...,
=
=
αβ q
=i 0=i 0
Hη ( z ) =
σ x2 ( ρ − β ) / αβ q(1 − ρ z −1 )
∞
∞
2
x
i+ j
,
и поэтому
(1 − β / ρ )
H ( z) =
H 0 ( z ) Hη ( z ) =
, gj =
(1 − β / ρ ) β j , j =
0, 1, 2, ... .
−1
(1 − β z )
Полученное выражение для передаточной функции позволяет представить процесс фильтрации в
виде следующего рекуррентного соотношения:
(1 − β z −1 ) xˆk =
(1 − β / ρ ) zk
или
β xˆk −1 + (1 − β / ρ ) zk .
xˆ=
k
Таким образом, появляется возможность значительно сократить объём вычислений за счёт замены
∞
весового суммирования
xˆk = ∑ g j z j −k
на эквивалентные с точки зрения достижения минимальной
j =0
дисперсии ошибки рекуррентные вычисления с минимальным числом операций на каждом k-м шаге
оценивания.
Величина дисперсии ошибки
σ ε2 = σ 2 g 0 = σ 2 (1 −
β
2q
)= σ2
ρ
(1 + q ) 1 + 1 + 4q ρ 2 / (1 − ρ 2 )(1 + q ) 2
(
)
( 5)
для физически реализуемых алгоритмов фильтрации оказывается больше, чем (4). Например, при малых q и
(1 − ρ )
для нереализуемого фильтра
σ ε2 / σ x2  1 / 1 + 2q / (1 − ρ ) ,
а применение (5)
σ ε2 / σ x2  2 / (1 + 1 + 2q / (1 − ρ )) . Сравнение этих формул показывает, что при медленном изменении информационной СП (1 − ρ ) << q дисперсия ошиб-
приводит к следующему выражению:
ки (5) в 2 раза больше, чем для нереализуемого фильтра. Это объясняется использованием в реализуемом алгоритме вдвое меньшего числа наблюдений.
52
Вестник УлГТУ 1/2016
Рис. 2. Дисперсия ошибки реализуемого фильтра
Заключение
Основным результатом работы является завершенное изложение теории синтеза и анализа реализуемого и нереализуемого оптимального линейного фильтра в дискретном времени. Представленная методика и рассмотренные примеры будут полезны преподавателям, аспирантам и студентам, изучающим статистическую теорию оптимального приёма сигналов и теорию стохастического
управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. – 1941. − Т. 5, №1. − С. 3−14.
2. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. – N. Y. : MIT
Press/John Wiley, 1964. − 171 p.
3. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и
систем : учебное пособие для вузов. – М. : Радио и связь, 2004. – 608 с.
4. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем : учебное пособие для вузов. –
М. : Радиотехника, 2003. – 400 с.
5. Сейдж Э. П., Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении / Пер. с англ.;
под ред. Б. Р. Левина. – М. : Связь, 1976. – 495 с.
6. Васильев К. К., Служивый М. Н. Математическое моделирование систем связи : учебное пособие. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 170 с.
•••••••••••••••••••
Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Телекоммуникации» УлГТУ.
Поступила 14.03.2016 г.
Вестник УлГТУ 1/2016
53
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
20
Размер файла
721 Кб
Теги
дискретное, фильтра, винера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа