close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 1 (34). С. 37–47
УДК 517.956.326
ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
О. А. Репин1,2 , С. К. Кумыкова3
1
Самарский государственный экономический университет,
Россия, 443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.
2 Самарский государственный технический университет,
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.
Для вырождающегося гиперболического уравнения в характеристической области (двуугольнике) исследована внутреннекраевая задача с операторами дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана—Лиувилля), в которой значения решения уравнения на характеристиках поточечно связаны со значением
решения и производной от него на линии вырождения уравнения. Модифицированным методом Трикоми при ограничениях в виде неравенств на известные
функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи редуцирован к разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши нормального типа.
Ключевые слова: задача Коши, задача со смещением, операторы дробного интегро-дифференцирования, сингулярное уравнение с ядром Коши, регуляризатор,
гипергеометрическая функция Гаусса, гамма-функция Эйлера.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|m uxx − uyy + a|y|m/2−1 ux = 0,
(1)
где m = const > 2; a 6= 0 — действительная постоянная, |a| 6 m/2 в конечной
области Ω, ограниченной характеристиками
AC : x −
AD : x −
2
y (m+2)/2 = 0,
m+2
2
(−y)(m+2)/2 = 0,
m+2
2
y (m+2)/2 = 1,
m+2
2
BD : x +
(−y)(m+2)/2 = 1.
m+2
BC : x +
Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB — единичный интерα f (x), I α f (x), D α f (x), D α f (x) —
вал 0 < x < 1 прямой y = 0; I0+
1−
0+
1−
операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана—Лиувилля [1, с. 42–43]; Θi0 (x), Θi1 (x) — точки пересечения характеристик уравнения
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1280
© 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец цитирования: О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а, “Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения” // Вестн. Сам. гос. техн.
ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 37–47. doi: 10.14498/vsgtu1280.
Сведения об авторах: Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой,
каф. математической статистики и эконометрики1 ; профессор, каф. прикладной математики и информатики2 . Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф.
теории функций и функционального анализа.
E-mail addresses: matstat@mail.ru (O.A. Repin, Corresponding author ),
bsk@rect.kbsu.ru (S.K. Kumykova)
37
О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а
(1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, BC, AD, BD
соответственно, i = 1, 2.
Задача. Найти решение u(x, y) уравнения (1) со свойствами
1) u(x, y) ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω1 ∪ I) ∩ C 1 (Ω2 ∪ I) ∩ C 2 (Ω1 ∪ Ω2 );
2) u(x, +0) = u(x, −0), x ∈ I;
lim uy (x, y) = µ(x) lim uy (x, y) + λ(x), x ∈ I;
y→+0
3)
y→−0
pi
qi
i
Ai (x)I0+ δi (x)u[Θ0 (x)] + Bi (x)I1−
wi (x)u[Θi1 (x)]+
+Ci (x)ui y (x,0) + Di (x)ui (x, 0) =
γi (x), i = 1, 2, x ∈ I,
где Ai (x), Bi (x), Ci (x), Di (x) γi (x), δi (x), wi (x), µ(x), λ(x) — заданные
функции такие, что
A2i (x) + Bi2 (x) + Ci2 (x) + Di2 (x) 6= 0,
Ai (x), Bi (x), Ci (x), Di (x), γi (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), µ(x), λ(x) ∈ C 1 (I),
pi , qi — действительные постоянные, причём 0 < pi , qi < 1.
(2)
Отметим, что рассматриваемая задача относится к классу краевых задач
со смещением [2] (по терминологии А. М. Нахушева).
2. Единственность решения задачи.
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения
задачи, если
µ(x) = 1,
λ(x) = 0, p1 = p2 = α,
q1 = q2 = β,
δ1 (x) = δ2 (x) = xα+β−1 , w1 (x) = w2 (x) = (1 − x)α+β−1 ;
Ei (x) =
(3)
Γ(α + β)
Γ(α + β) 1−β
(1 − x)1−α Ai (x) +
x
Bi (x)+
Γ(β)
Γ(α)
+ x1−β (1 − x)1−α Di (x) 6= 0,
i = 1, 2, x ∈ I (4)
и выполняются неравенства
h B (x)
i0
i0
h A (x)
C1 (x) 1−β
1
1
1−α
1−β
(1 − x)
6 0,
x
> 0,
x
(1 − x)1−α 6 0, (5)
E1 (x)
E1 (x)
E1 (x)
h A (x)
i0
h B (x)
i0
C2 (x) 1−β
2
2
(1 − x)1−α > 0,
x1−β 6 0,
x
(1 − x)1−α > 0, x ∈ I,
E2 (x)
E2 (x)
E2 (x)
либо
µ(x) > 0, λ(x) = 0, p1 = p2 = 1 − β,
q1 = q2 = 1 − α, δ(x) = w(x) = 1;
(6)
2/(m+2)
ei (x) = Γ(2 − α − β) m + 2
E
(1 − x)β Ai (x)+
Γ(1 − α)
4
Γ(2 − α − β) m + 2 2/(m+2) α
+
x Bi (x)+
Γ(1 − β)
4
+ xα (1 − x)β Ci (x) 6= 0,
38
i = 1, 2, x ∈ I (7)
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
и выполняются неравенства
B1 (x) α
D1 (x) α
A1 (x)
(1 − x)β < 0,
x < 0,
x (1 − x)β < 0,
e
e
e1 (x)
E1 (x)
E1 (x)
E
A2 (x)
B2 (x) α
D2 (x) α
(1 − x)β > 0,
x > 0,
x (1 − x)β > 0, x ∈ I,
e
e
e
E2 (x)
E2 (x)
E2 (x)
(8)
(9)
либо
p1 = α,
p2 = 1 − β,
q1 = β,
q2 = 1 − α,
δ(x) = w(x) = 1;
(10)
выполняются условия (4), (5) в области Ω1 , а в области Ω2 справедливы
условия (7), (9), где
α=
m − 2a
,
2(m + 2)
β=
m + 2a
.
2(m + 2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Переходя к доказательству единственности решения задачи, положим
τ (x) = u(x, 0),
ν1 (x) = lim uy (x, y),
y→0+0
ν2 (x) = lim uy (x, y).
y→0−0
Пусть выполняются условия (3), (4) теоремы.
Используя формулу решения задачи Коши для уравнения (1) в областях
Ω1 , Ω2 [3, с. 13–14] и удовлетворяя краевым условиям 3), получим соотношения между τ (x) и νi (x), принесённые на I из Ω1 и Ω2 соответственно:
1−α−β
1−α−β
νi (x) + B i (x)I1−
νi (x) + C i (x)νi (x) + γ i (x),
τ (x) = Ai (x)I0+
(11)
где
Ai (x) = −
Γ(2 − α − β) m + 2 2/(m+2) Ai (x)
(1 − x)1−α ,
Γ(1 − α)
4
Ei (x)
Γ(2 − α − β) m + 2 2/(m+2) Bi (x) 1−β
x
,
Γ(1 − β)
4
Ei (x)
Ci (x) 1−β
C i (x) = −
x
(1 − x)1−α ,
Ei (x)
γi (x) 1−β
x
(1 − x)1−α , i = 1, 2.
γ i (x) =
Ei (x)
B i (x) = −
После преобразований, аналогичных [4, 5], получим, что
Z 1
τ (x)νi (x)dx = 0.
0
Затем нетрудно доказать равенство νi (x) = 0 (см., например, [4]). Тогда
из (11) при γ
ei (x) = 0 имеем τ (x) = 0. Следовательно, ui (x, y) ≡ 0 как решения задачи Коши с нулевыми данными в областях Ω1 , Ω2 , что и завершает
39
О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а
доказательство единственности решения исследуемой задачи для уравнения
(1).
Если выполняются условия (6), (7) теоремы, то соотношения между τ (x)
и νi (x) имеют вид
ei (x)D1−α−β τ (x) + B
ei (x)D1−α−β τ (x) + D
e i (x)τ (x) + γ
νi (x) = A
ei (x),
0+
1−
(12)
где
ei (x) = − Γ(α + β) Ai (x) (1 − x)β , B
ei (x) = − Γ(α + β) Bi (x) xα ,
A
ei (x)
ei (x)
Γ(β) E
Γ(α) E
γi (x) α
e i (x) = − Di (x) xα (1 − x)β , γ
D
ei (x) =
x (1 − x)β , i = 1, 2.
e
e
Ei (x)
Ei (x)
В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x, y) в Ω1 , Ω2 достигается на I. Пусть положительный максимум функции u(x, y) достигается
в точке (x0 , 0) ∈ I.
1−α−β
1−α−β
Пользуясь тем, что дробные производные D0+
τ (x), D1−
τ (x) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [2, с. 82–83], получаем при выполнении
условий (8), (9) ν1 (x0 ) > 0, ν2 (x0 ) < 0.
Это противоречит условию сопряжения 2) при µ(x) > 0, λ(x) = 0, откуда
и следует справедливость теоремы единственности решения рассматриваемой
задачи для уравнения (1). 3. Существование решения задачи. Д о к а з а т е л ь с т в о существования
решения задачи проведём для трёх случаев.
Случай 1. Пусть в областях Ω1 и Ω2 выполняются условия (3) и
C2 (x)E1 (x) − C1 (x)E2 (x) = 0.
Полагая ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x) и удовлетворяя (11), требованию сопряжения 2), получим
1−α−β
1−α−β
A(x)I0+
ν(x) + B(x)I1−
ν(x) = F (x),
(13)
где
A(x) = A1 (x) − A2 (x),
B(x) = B 1 (x) − B 2 (x),
F (x) = γ 2 (x) − γ 1 (x).
Здесь m > 2, 0 < α, β < 1, α + β = m/(m + 2).
Разделим обе части (13) на A(x) 6= 0, а затем к обеим частям получивше1−α−β
гося соотношения применим оператор D0+
.
В результате будем иметь
1−α−β
1−α−β
1−α−β F (x)
ν(x) + D0+
M (x)I1−
ν(x) = D0+
,
(14)
A(x)
где M (x) = B(x)/A(x).
40
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
Используя методику и результаты работы [6], а также монографии [7,
с. 81–89], можно записать
1−α−β
1−α−β
I1 (x) = D0+
M (x)I1−
ν(x)
в виде
Z
x
I1 (x) = cos[π(α + β)]M (x)ν(x) + µ
Z
K1 (x, ξ)ν(ξ)dξ + µ
0
1
K2 (x, ξ)ν(ξ)dξ,
x
где
sin[π(α + β)]
1
=
,
Γ(α + β)Γ(1 − α − β)
π
Z ξ
d
M (t)dt
K1 (x, ξ) =
,
1−α−β
dx 0 (x − t)
(ξ − t)α+β
Z x
M (t)dt
d
.
K2 (x, ξ) =
1−α−β
dx 0 (x − t)
(ξ − t)α+β
µ=
Исследуем поведение ядер K1 (x, ξ) и K2 (x, ξ). Имеем
d
K1 (x, ξ) = M (ξ)
dx
ξ
Z
0
dt
(x −
t)1−α−β (ξ
− t)α+β
−
d
−
dx
Z
0
ξ
[M (ξ) − M (t)]dt
.
(x − t)1−α−β (ξ − t)α+β
Гладкость ядра K1 (x, ξ) определяется гладкостью первого интеграла
Z ξ
dt
d
=
I2 (x, ξ) = M (ξ)
1−α−β
dx 0 (x − t)
(ξ − t)α+β
M (ξ) d h ξ 1−α−β ξ i
=
F 1 − α − β,1; 2 − α − β;
=
1 − α − β dx x
x
ξ 1−α−β M (ξ)
=−
,
x
x−ξ
где F (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса [1, с. 31].
Аналогично
Z x
d
dt
K2 (x, ξ) = M (ξ)
−
dx 0 (x − t)1−α−β (ξ − t)α+β
Z x
d
[M (ξ) − M (t)]dt
−
,
dx 0 (x − t)1−α−β (ξ − t)α+β
d
I3 (x, ξ) = M (ξ)
dx
Z
0
x
dt
(x −
t)1−α−β (ξ
− t)α+β
=
41
О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а
=
M (ξ) d h x α+β x i ξ 1−α−β M (ξ)
F α + β,1; 1 + α + β;
=
.
α + β dx ξ
ξ
x
ξ−x
Тогда уравнение (14) примет вид
Z 1 ∗
K (x, ξ)ν(ξ)dξ
∗
A (x)ν(x) +
= F ∗ (x),
ξ
−
x
0
(15)
где
A∗ (x) = 1 + cos[π(α + β)]M (x),
µK1 (x, ξ)(x − ξ), ξ 6 x,
∗
K (x, ξ) =
µK2 (x, ξ)(ξ − x), ξ > x,
1−α−β F (x)
∗
.
F (x) = D0+
A(x)
Из установленных свойств ядер K1 (x, ξ) и K2 (x, ξ) заключаем, что ядро
K ∗ (x, ξ) дважды непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 < x, ξ < 1 при
ξ 6= x и допускает оценку
K ∗ (x, ξ) = O(1)(ξ − x)−1 ,
где O(1) означает ограниченную в I × I величину.
В силу условий (2) и свойств дробных производных можно заключить,
что F ∗ (x) ∈ C 1 (I).
Таким образом, уравнение (15) при A∗ (x) 6= 0 есть сингулярное интегральное уравнение [8, с. 157] с ядром Коши.
Условие
[A∗ (x)]2 + π 2 [K ∗ (x)]2 6= 0
гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (15) к
интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения исследуемой задачи.
Случай 2. Пусть в областях Ω1 и Ω2 выполняются требования (6), (7).
Тогда на основании условия сопряжения 2) и соотношений (12) имеем
1−α−β
1−α−β
D0+
τ (x) + N (x)D1−
τ (x) + P (x)τ (x) = Q(x),
где
N (x) =
Q(x) =
e1 (x) − µ(x)B
e2 (x)
B
,
e1 (x) − µ(x)A
e2 (x)
A
P (x) =
µ(x)e
γ2 (x) + λ(x) − γ
e1 (x)
,
e1 (x) − µ(x)A
e2 (x)
A
e 1 (x) − µ(x)D
e 2 (x)
D
,
e1 (x) − µ(x)A
e2 (x)
A
e1 (x) − µ(x)A
e2 (x) 6= 0.
A
1−α−β
Действуя на обе части оператором I0+
и используя результаты [4,
с. 98–103], после преобразований получим
Z 1
∗
K (x, ξ)τ (ξ)dξ
∗
∗
A (x)τ (x) +
= F (x),
ξ−x
0
42
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
где
∗
∗
1−α−β
A (x) = 1 + π ctg[π(α + β)]N (x), F (x) = I0+
Q(x),

sin[π(α + β)]


[K5 (x, ξ) − K3 (x, ξ)](x − ξ)+



π

1
∗
+
P (ξ)(x − ξ)1−α−β
при x > ξ,
K (x, ξ) =
Γ(1
−
α
−
β)




sin[π(α + β)]


[K6 (x, ξ) − K4 (x, ξ)](ξ − x)
при x 6 ξ,
π
Z ξ
N 0 (t)dt
K3 (x, ξ) =
,
α+β (ξ − t)1−α−β
0 (x − t)
Z x
N 0 (t)dt
,
K4 (x, ξ) =
α+β (ξ − t)1−α−β
0 (x − t)
Z ξ
N (t)dt
d
K5 (x, ξ) =
,
α+β
dx 0 (x − t)
(ξ − t)1−α−β
Z x
d
N (t)dt
K6 (x, ξ) =
.
dx 0 (x − t)α+β (ξ − t)1−α−β
Теперь достаточно повторить аргументацию доказательства существования решения задачи первого случая.
Случай 3. Пусть в области Ω1 выполняется условие (3), а в области Ω2 —
условие (10). Краткости ради положим C1 (x) = 0, µ(x) = 1, λ(x) = 0.
Учитывая условия сопряжения 2), соотношение (11) при i = 1 и соотношение (12) при i = 2, получим уравнение
1−α−β e
1−α−β
1−α−β e
1−α−β
A2 (x)D0+
τ (x) − A1 (x)I0+
B2 (x)D1−
τ (x)−
τ (x) − A1 (x)I0+
1−α−β
1−α−β
1−α−β e
1−α−β e
τ (x) − B 1 (x)I
τ (x)−
A2 (x)D
B2 (x)D
− B 1 (x)I
0+
1−
1−
1−α−β e
1−α−β e
A1 (x)I0+
D2 (x)τ (x) − B 1 (x)I1−
D2 (x)τ (x) =
1−α−β
1−α−β
= A1 (x)I0+
γ
e2 (x) + B 1 (x)I1−
γ
e2 (x) +
1−
−
γ 1 (x). (16)
Преобразуем уравнение (16). Рассмотрим вначале второе слагаемое (без
учёта внешнего коэффициента −A1 (x)):
1−α−β e
1−α−β
I11 (x) = I0+
B2 (x)D1−
τ (x).
Вычисления, проведённые для второго случая, дают возможность записать I11 (x) в виде
e2 (x)τ (x)+
I11 (x) = π ctg[π(α + β)]B
Z
sin[π(α + β)] x
[K7 (x, ξ) − K8 (x, ξ)]τ (ξ)dξ+
+
π
0
Z
sin[π(α + β)] 1
+
[K9 (x, ξ) − K10 (x, ξ)]τ (ξ)dξ,
π
x
43
О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а
где ядра K7 (x, ξ), . . . , K10 (x, ξ) имеют такой же вид, что и ядра K3 (x, ξ), . . . ,
e2 (t).
K6 (x, ξ), только функцию N (t) надо заменить функцией B
Рассмотрим
1−α−β e
1−α−β
I12 (x) = I0+
A2 (x)D0+
τ (x) =
sin[π(α + β)]
=
π
x
Z
0
e2 (t)dt d Z t
A
τ (ξ)dξ
.
α+β
dt 0 (t − ξ)1−α−β
(x − t)
В силу равенства
Z t
Z x e
d
A2 (t)dt
τ (ξ)dξ
I13 (x) =
=
α+β
1−α−β
dx 0 (x − t)
0 (t − ξ)
Z t
Z
Z x e0
Z x e
τ (ξ)dξ
A2 (t)dt d t
τ (ξ)dξ
A2 (t)dt
+
=
α+β
1−α−β
α+β
1−α−β
dt 0 (t − ξ)
0 (t − ξ)
0 (x − t)
0 (x − t)
имеем (после перемены порядка интегрирования)
Z
sin[π(α + β)] x
I12 (x) =
K11 (x, ξ)τ (ξ)dξ,
π
0
где
K11 (x, ξ) =
d
dx
x
Z
ξ
Z x
e2 (t)dt
e2 (t)dt
A
A
−
.
α+β (t − ξ)1−α−β
(x − t)α+β (t − ξ)1−α−β
ξ (x − t)
Очевидно, что поведение ядра K11 (x, ξ) аналогично поведению в смысле
гладкости интегралов
(1)
e2 (x)
I14 (x) = A
d
dx
x
Z
ξ
dt
(x −
t)α+β (t
− ξ)1−α−β
=
e2 (x) d B(α + β, 1 − α − β) = 0,
=A
dx
и
(2)
I14 (x) = A02 (x)B(1 + β, 1 − α − β),
где B(a, b) — бeта-функция [1, с. 31].
Рассмотрим
1−α−β e
1−α−β
I15 (x, ξ) = I1−
A2 (x)D0+
τ (x) =
sin[π(α + β)]
=
π
Z
x
1
e2 (t)dt d Z t
A
τ (ξ)dξ
.
α+β
dt 0 (t − ξ)1−α−β
(t − x)
Проводя необходимые вычисления, получим
Z x
Z 1
sin[π(α + β)]
I15 (x, ξ) =
K12 (x, ξ)τ (ξ)dξ +
K13 (x, ξ)τ (ξ)dξ ,
π
0
x
44
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
где
d
dx
Z
d
K13 (x, ξ) =
dx
Z
K12 (x, ξ) =
1
e2 (t)dt
A
−
(t − x)α+β (t − ξ)1−α−β
Z 1
e2 (1)
e2 (t)dt
A
A
+
,
−
α+β (t − ξ)1−α−β
(1 − x)α+β (1 − ξ)1−α−β
x (t − x)
1
e2 (t)dt
A
−
(t − x)α+β (t − ξ)1−α−β
Z 1
e0 (t)dt
e2 (1)
A
A
2
−
+
.
α+β
1−α−β
α+β
(t − ξ)
(1 − x)
(1 − ξ)1−α−β
ξ (t − x)
x
ξ
Гладкость K12 (x, ξ) и K13 (x, ξ) будет определяться соответственно гладкостью
Z 1
1 − ξ α+β 1
d
dt
I16 (x, ξ) =
=
;
dx x (t − x)α+β (t − ξ)1−α−β
1−x
ξ−x
Z 1
1 − ξ α+β 1
dt
d
=
.
I17 (x, ξ) =
dx ξ (t − x)α+β (t − ξ)1−α−β
1−x
ξ−x
Преобразуем интеграл
1−α−β
1−α−β e
τ (x) =
B2 (x)D1−
I18 (x, ξ) = I1−
Z 1 e
Z
sin[π(α + β)]
B2 (t)dt d 1
τ (ξ)dξ
=−
=
α+β
π
dt t (ξ − t)1−α−β
x (t − x)
Z
sin[π(α + β)] 1
=
K14 (x, ξ)τ (ξ)dξ,
π
x
где
K14 (x, ξ) =
d
dx
Z
x
ξ
Z ξ
e2 (t)dt
e 0 (t)dt
B
B
2
+
.
α+β
1−α−β
α+β
(t − x)
(ξ − t)
(t
−
x)
(ξ − t)1−α−β
x
Гладкость ядра K14 (x, ξ) будет определяться гладкостью
I19
d
=
dx
Z
x
ξ
dt
(t −
x)α+β (ξ
−
t)1−α−β
=
d
B(1 − α − β, α + β) = 0.
dx
Следовательно, ядро K14 (x, ξ) особенностей не имеет и его гладкость буe2 (x) и B
e 0 (x).
дут определять функции B
2
Теперь уравнению (16) можно придать вид
Z
µ(x)τ (x) +
0
1
K ∗∗ (x, ξ)τ (ξ)dξ
= F1∗ (x),
ξ−x
(17)
45
О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а
где
e2 (x)π ctg[π(α + β)],
µ(x) = 1 − A1 (x) · B
 h
sin[π(α + β)]


K11 (x, ξ)A1 (x) − K7 (x, ξ) − K8 (x, ξ)−


π


e 2 (ξ) i

A1 (x)D


(x − ξ) при x > ξ,
−B1 (x)K2 (x, ξ) −

Γ(1 − α − β)
K ∗∗ (x, ξ) =
h sin[π(α + β)]


B 1 (x) K13 (x, ξ) − K14 (x, ξ) −



π


e 2 (ξ) i

B 1 (x)D


(ξ − x) при ξ > x,
−
Γ(1 − α − β)
1−α−β
1−α−β
γ
e2 (x) + B 1 (x)I1−
γ
e2 (x) + γ 1 (x).
F1∗ (x) = A1 (x)I0+
Условие нормальной разрешимости уравнения (17) имеет вид
µ2 (x) + π 2 [K ∗∗ (x, x)]2 6= 0.
Проведённые вычисления дают возможность провести далее доказательство существования решения задачи аналогично первому случаю, что затруднений не вызывает.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES
1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko,
A. A. Kilbas, O. I. Maritchev, Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye
ikh prilozheniya [Integrals and Derivatives of the Fractional Order and Some of their
Applications], Minsk, Nauka i Tekhnika, 1987, 688 pp. (In Russian)]
2. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных, М.: Наука, 2006. 287 с. [A. M. Nakhushev, Zadachi so smeshcheniyem dlya uravnenii v chastnykh
proizvodnykh [Problems with shifts for partial differential equations], Moscow, Nauka, 2006,
287 pp. (In Russian)]
3. М. М. Смирнов, Вырождающиеся гиперболические уравнения, Минск: Высшая школа,
1977. 158 с. [M. M. Smirnov, Vyrozhdayushchiyesya giperbolicheskiye uravneniya [Degenerate
Hyperbolic Equations], Minsk, Vysshaya Shkola, 1977, 158 pp.]
4. С. К. Кумыкова, “Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения” // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, № 1. С. 93–
104; S. K. Kumykova, “Boundary-value problem with translation for a hyperbolic equation
degenerate in the interior of a region”, Differ. Equations, 1980, vol. 16, no. 1, pp. 68–76.
5. О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Нелокальная задача для уравнения смешанного типа
третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования
произвольного порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011.
№ 4(25). С. 25–36. doi: 10.14498/vsgtu1014. [O. A. Repin, S. K. Kumykova, “Nonlocal
problem for a equation of mixed type of third order with generalized operators of fractional
integro-differentiation of arbitrary order”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat.
Nauki, 2011, no. 4(25), pp. 25–36. (In Russian)].
6. С. К. Кумыкова, Ф. Б. Нахушева, “Об одной краевой задаче для гиперболического
уравнения, вырождающегося внутри области” // Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 1.
С. 50–65; S. K. Kumykova, F. B. Nakhusheva, “A boundary-value problem for a hyperbolic
equation degenerate in the interior of a region”, Differ. Equations, 1978, vol. 14, no. 1, pp. 35–
46.
46
Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
7. О. А. Репин, Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов, Самара: Саратов. гос. ун-т, Самарский филиал, 1992. 164 с. [O. A. Repin,
Krayevyye zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy giperbolicheskogo i smeshannogo tipov
[Boundary value problems with shift for equations of hyperbolic and mixed type], Samara,
Saratov State Univ., Samara Branch, 1992, 164 pp. (In Russian)]
8. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968. 512 с.
[N. I. Muskhelishvili, Singulyarnyye integral’nyye uravneniya [Singular Integral Equations],
Moscow, Nauka, 1968, 512 pp. (In Russian)]
Поступила в редакцию 04/XII/2013;
в окончательном варианте — 11/II/2014;
принята в печать — 26/II/2014.
MSC: 35L80; 35L20, 35C15
A BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH SHIFT
FOR A HYPERBOLIC EQUATION DEGENERATE
IN THE INTERIOR OF A REGION
O. A. Repin1,2 , S. K. Kumykova3
1
Samara State Economic University,
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation.
2 Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.
3 Kabardino-Balkarian State University,
173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation.
For a degenerate hyperbolic equation in characteristic region (lune) a boundary-value
problem with operators of fractional integro-differentiation is studied. The solution of
this equation on the characteristics is related point-to-point to the solution and its
derivative on the degeneration line. The uniqueness theorem is proved by the modified Tricomi method with inequality-type constraints on the known functions. Question
of the problem solution’s existence is reduced to the solvability of a singular integral
equation with Cauchy kernel of the normal type.
Keywords: Cauchy problem, boundary-value problem with shift, fractional integrodifferentiation operators, singular equation with Cauchy kernel, regularizer, Gauss hypergeometric function, Euler gamma function.
Received 04/XII/2013;
received in revised form 11/II/2014;
accepted 26/II/2014.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1280
© 2014 Samara State Technical University.
Citation: O. A. R e p i n, S. K. K u m y k o v a , “A Boundary-value Problem with Shift for a Hyperbolic Equation Degenerate in the Interior of a Region”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ.,
Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 1 (34),
pp. 37–47. doi: 10.14498/vsgtu1280. (In Russian)
Authors Details: Oleg A. Repin (Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Mathematical
Statistics and Econometrics1 ; Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science2 .
Svetlana K. Kumykova (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Function
Theory.
E-mail addresses: matstat@mail.ru (O.A. Repin, Corresponding author ),
bsk@rect.kbsu.ru (S.K. Kumykova)
47
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
618 Кб
Теги
уравнения, области, задачи, смещением, вырождающегося, внутри, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа