close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы знаний WolframAlpha.

код для вставкиСкачать
Клоков А.С., Сорокин А.Н. Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы
знаний WolframAlpha // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. - 2016. -№4 (7) октябрь декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/index.php/2016-god/7/32-statya-2016-4/491-00236. - ISSN 2413-4066
УДК 378.14
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент
ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск
aleklokov@yandex.ru
Сорокин Анатолий Никифорович
Кандидат технических наук, доцент
ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск.
anatoliy40in@gmail.com
Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики с использованием базы
знаний WolframAlpha
Аннотация: В статье обсуждается применение базы знаний WolframAlpha при
изучении теории колебаний материальной точки в курсе теоретической механики.
Рассмотрены конкретные примеры, показывающие высокую эффективность такого рода
подхода, ориентированного на повышение качества профессиональной подготовки студентов,
обучающихся на инженерных специальностях.
Ключевые слова: база знаний WolframAlpha, теоретическая механика, динамика точки,
колебания материальной точки, учебные задачи по теоретической механике,
дифференциальные уравнения.
Изучение теории колебаний в курсе теоретической механики начинается с
рассмотрения простейшей задачи о линейных колебаниях материальной точки, которые
описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными
коэффициентами. Эта задача относится к числу обратных задач динамики, в которых при
заданных силах определяется движение.
Как правило, сначала рассматривают свободные колебания материальной точки. Затем
рассматривают влияние сопротивления на свободные колебания точки. И, наконец,
вынужденные колебания точки, которые возникают при движении точки под действием
восстанавливающей и возмущающей силы, а также некоторой постоянной силы и силы
сопротивления среды, линейно зависящей от скорости точки.
Одной из специфических особенностей изучения теории колебаний является
необходимость демонстрации на конкретных задачах практических приложений общих
формул, а также доведения решения задач до получения численного результата. Высокая
эффективность такого подхода невозможна без применения современной вычислительной
техники и высокопроизводительного программного обеспечения. Одним из вариантов,
который легко реализуем на практике, является применение базы знаний WolframAlpha [1, 2].
К числу достоинств данной базы знаний относятся: открытый доступ в интернете,
возможность работать с использованием планшетов и смартфонов, которые имеют
практически все студенты, удобный интерфейс, предоставляемый пользователю.
1
Наличие у преподавателя теоретической механики такого помощника, как база знаний
WolframAlpha, позволяет значительно больше внимания уделять обсуждению различных
вариантов постановки задач, учитывающих те или иные особенности рассматриваемой
механической модели движения материальной точки, а также детальному рассмотрению
влияния на движение материальной точки сопротивления среды, структуры, действующих на
материальную точку сил: изучению зависимостей, как в аналитическом, так и числовомвиде,
имеющих место между начальными условиями (начальным положением, начальной
скоростью), массой точки, коэффициентом упругости пружины, амплитудой, периодом
колебаний в случаях большого и малого сопротивления среды (в случае, когда сила
сопротивления пропорциональна первой степени скорости материальной точки), а также при
наличии возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.
Ниже мы приведём решения учебных задач в рабочей среде WolframAlpha из пособия
И. В. Мещерского [3], которое уже многие десятилетия используется при изучении
теоретической механики на инженерных специальностях в вузах России.
Задача 32.80. Найти уравнение прямолинейного движения точки массой m, на которую
действует восстанавливающая сила Q = – cx и сила F = F0e -t, если в начальный момент точка
находилась в положении равновесия в состоянии покоя.
Решение. 1. Выбираем систему отсчёта с началом в положении статического
равновесия материальной точки (использование условия статического равновесия позволит
уничтожить постоянные слагаемые в правой части дифференциального уравнения,
описывающего движение материальной точки).
2. Используем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в проекции на
соответствующую ось (в нашем случае это ось Ох) для составления дифференциального
уравнения движения материальной точки.
В данном случае уравнение движения будет иметь следующий вид:
(1)
Выбирая начало системы координат в положении статического равновесия, получаем
(2)
или
Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение находят в
виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения
неоднородного, которое зависит от вида правой части уравнения (3). Как правило, это
достаточно трудоёмкий процесс ввиду большого объёма вычислений.
3. Решаем полученное дифференциальное уравнение движения материальной точки с
использованием базы знаний WolframAlpha.
Запрос для его решения будет иметь вид:
solve x''(t)+(c/m)*x(t)=(F0/m)*e^(-alfa*t), x(0)=0, x'(0)=0
Результат решения уравнения приведён на рис. 1.
Таким образом, мы видим, что основная сложность при решении задачи заключается в
правильном составлении дифференциального уравнения движения материальной точки.
Изменяя незначительно вид запроса,который использовался при решении задачи 32.80
можно получать решения и других учебных задач. Например, рассмотрим, как решается
задача, в которой исследуется влияние сопротивления среды на движение материальной
точки.
2
Задача 32.71. Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости.
Коэффициент жёсткости пружины с = 19.6 H/м. Сила сопротивления движению
пропорциональна первой степени скорости груза:
где  = 3,5 Нс/м.
Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещён из
положения равновесия на
см и отпущен без начальной скорости.
Решение. Составление уравнения движения материальной точки не представляет
особых затруднений. Запрос для решения этого уравнения имеет вид:
solvex''+35*x'+196*x=0, x(0)=1, x'(0)=0
Результат решения задачи 32.71 приведён на рис. 2.
Рис. 1
3
В условии учебной задачи 32.73 изменены начальные условия: в начальный момент
груз смещёниз положения равновесия на расстояние
см и ему сообщена начальная
скорость
см/с в том же направлении.
Решение задачи аналогично решению предыдущей и запрос уже имеет такой вид:
solvex''+35*x'+196*x=0, x(0)=5, x'(0)=100
Результат решения задачи 32.73 – см. рис. 3.
Кроме того, база знаний WolframAlpha позволяет построить график зависимости
перемещения от времени и найти максимальное отклонение точки на задаваемом промежутке
времени с помощью запроса
maximize (5/7)*e^(-28*t)*(16*e^(21*t)-9) t=0..0.3
Рис. 2
4
График зависимости перемещения от времени и значение локального максимума(задача
32.73) приведён на рис. 4.
В заключение следует отметить, что база знаний WolframAlpha может выдавать ответ к
поставленной задаче в форме отличной от той, которая приводится в сборнике задач [3].
Например, ответ к задаче 32.93 имеет вид, который отличается формой записи от
приведённого в сборнике задач.
Задача 32.93.Груз на пружине колеблется так, что его движение описывается
дифференциальным уравнением
.
Найти закон движения груза, если в начальный момент его смещение и скорость равны
нулю, а также определить, при каких значениях
наступит резонанс.
Запрос для решения дифференциального уравнения будет иметь вид:
solve m*x''(t)+c*x(t)=5*cos(omega*t)+2*cos(3*omega*t), x(0)=0, x'(0)=0
5
Решение представлено на рис.5.
Рис. 3
6
Рис.4
Для определения значений угловой скорости
, при которых наступит резонанс,
приравниваем нулю знаменатель выражения найденного закона x(t) движения груза
.
Решая данное уравнение, относительно
, находим значения критических угловых
скоростей.
Запрос для решения этого уравнения будет иметь вид:
solve c^2-10*c*m*omega^2+9*m^2*omega^4, omega
Решение представлено на рис. 6.
Исходя из физического смысла поставленной задачи, значения критических угловых
скоростей
должны быть только положительными величинами.
Тогда резонанс наступит в двух случаях при:
7
Рассмотренные в статье примеры решения учебных задач показывают, что применение
базы знаний WolframAlpha существенным образом изменяют традиционное представление о
методике проведения аудиторных занятий и внеаудиторной работы студентов.
Данный подход может мотивировать студентов к проведению дополнительного анализа,
полученных с помощью базы знаний WolframAlpha, результатов решения поставленных
учебных задач, что крайне полезно, как нам представляется, для будущего специалиста.
Рис. 5
8
Рис. 6
Ссылки на источники:
1.
WolframAlpha:
Computational
Knowledge
Engine.
Режимдоступа:
http://www.wolframalpha.com/ - [23.12.2016].
2. Книга Стивена Вольфрама «Элементарное введение в язык WolframLanguage»
(перевод поста Stephen Wolfram "IWroteaBook—ToTeachtheWolframLanguage".) - URL:
https://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/273601/.- [23.12.2016].
3. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике: Учеб пособие. - 37-е издание,
исправл. Под ред. В.А. Пальмова, Д. Р. Меркина./ Оформление обложки С.Л. Шапиро, А. А.
Олексенко. - Спб.: Издательство «Лань», 1998. -448 с.
AleksandrKlokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
FSBEI HO Omsk SAU, Omsk
aleklokov@yandex.ru
Sorokin AnatoliyNikiforovich
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
FSBEI HO Omsk SAU, Omsk
anatoliy40in@gmail.com
9
Studying The Oscillation Theory In The Course Of Theoretical Mechanics
Using Wolfram Alpha Knowledge Base
Abstract: In the article we discuss using Wolfram Alpha knowledge base while studying the
material point oscillation theory in the course of theoretical mechanics. A few concrete examples
are considered to show a high efficiency of such an approach oriented to increasing the quality of
students' training.
Keywords: Wolfram Alpha knowledge base, theoretical mechanics, dynamics of a point,
oscillations of a point, case studies in theoretical mechanics, differential equations.
10
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
1 344 Кб
Теги
знание, теоретические, wolframalpha, механика, использование, базы, изучения, колебания, теория, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа