close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интерполяция рядами экспонент в $h(d) $ с вещественными узлами.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 46-58.
УДК 517.9
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ В (),
С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ УЗЛАМИ
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
Аннотация. В пространстве голоморфных функций в выпуклой области, изучается проблема кратной интерполяции посредством сумм рядов экспонент, сходящихся
равномерно на всех компактах в области. Дискретное множество узлов кратной интерполяции лежит на вещественной оси в области и имеет единственную конечную
предельную точку. Получен критерий разрешимости этой проблемы в терминах распределения предельных направлений показателей экспонент в бесконечности.
Ключевые слова: голоморфная функция, выпуклая область, кратная интерполяция, ряд экспонент, замкнутый идеал, замкнутый подмодуль, сильно сопряженное пространство, двойственность.
Mathematics Subject Classification: 30E05
1.
Формулировка задачи и предварительные сведения
Пусть  – выпуклая область в C. Обозначим через () пространство голоморфных
функций в  с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из
. Рассмотрим произвольное бесконечное дискретное в C множество комплексных чисел
Λ = { }∈N .
Обозначим
∞
∑︁
Σ(Λ, ) = { ∈ () :  () =
   ,  ∈ }.
=1
Предполагается, что сходимость ряда экспонент абсолютная для каждой точки  ∈ ,
тогда ([1]) такой ряд сходится в топологии пространства (). Для многомерной ситуации
это показано, например, в работе [2].
Предположим, что  ∩ R не пустое множество. Пусть задано бесконечное дискретное
в области  множество вещественных узлов интерполяции, ℳ = { }∞
=1 , ℳ ⊂  ∩ R.
Кроме того, будем полагать, что каждому узлу  ∈ ℳ приписана кратность  ∈ N.
Если ,  ∈ (), будем писать  ∼
=  на ℳ, если  () ( ) =  () ( ) для всех  ∈ N и
 = 0, 1, . . . ,  − 1.
Рассмотрим в () следующую проблему интерполяции с вещественными узлами посредством сумм рядов экспонент:
Для произвольного множества узлов ℳ ⊂  ∩ R и для любой функции  ∈ () существует функция  ∈ Σ(Λ, ), такая, что  ∼
=  на ℳ.
В силу классического результата об интерполяции голоморфными функциями ([3],
Следствие 1.5.4), эта задача может быть сформулирована в традиционных терминах:
S.G. Merzlyakov, S.V. Popenov, Interpolation by series of exponentials in () with real
nodes.
c Мерзляков С.Г., Попёнов С.В. 2015.
○
Работа поддержана РФФИ (грант №11-01-00572-а).
Поступила 27 октября 2014 г.
46
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
47
Для любых интерполяционных данных  ∈ C,  ∈ N,  = 0, 1, . . . ,  − 1, существует
функция  ∈ Σ(Λ, ), такая что  () ( ) =  , для всех  и .
Обозначим через ℳ функцию из () с нулями во всех узлах  ∈ ℳ, с кратностями
 , и только в них. Определим
(︀
)︀
ℳ = {ℎ ∈ () : ℎ = ℳ · ,  ∈ ()}
(1)
—
идеал в (), порожденный функцией ℳ . Легко видеть, что
(︀ замкнутый
)︀
ℳ = ℳ = {ℎ ∈ () : ℎ ∼
= 0 на ℳ}.
Для заданного множества узлов ℳ разрешимость проблемы интерполяции в () суммами рядов экспонент с показателями из заданного множества Λ равносильна существованию следующего представления:
(︀
)︀
() = Σ(Λ, ) + ℳ .
(2)
Единственности
в условиях рассматриваемой задачи быть не может, то
(︀ интерполяции
)︀
есть Σ(Λ, ) ∩ ℳ ̸= {0}. Это доказано в работе [4] для пространства целых функций,
но приведенное там доказательство с очевидными изменениями переносится на рассматриваемый случай.
Если имеется(︀ представление
(2) и Σ(Λ, ) ⊂  ⊂ (), то справедливо и представление
)︀
() =  + ℳ .
В работе [5], в случае, когда  = C, а  есть ядро некоторого оператора свертки в пространстве целых функций (C), найдены достаточные условия для интерполяции функциями из ядра оператора свертки в терминах расположения нулей Λ характеристической
функции этого оператора. Множество ℳ в [5] имеет две предельных точки ±∞. В работе
[4] удалось найти другие методы доказательства и, для всех возможных случаев расположения предельных точек ℳ, были получены критерии разрешимости проблемы кратной
интерполяции в (C) посредством сумм рядов экспонент из Σ(Λ, C) ⊂ . В случае, когда
множество узлов имеет две предельные точки ±∞, критерий в [4] формулируется в тех
же терминах, как и в работе [5].
В данной статье метод доказательства достаточности [4] распространяется на случай
пространства голоморфных функций в выпуклой области. Получен критерий интерполяции в случае, когда ℳ имеет единственную предельную точку, которая лежит на границе
  области . Критерий состоит в том, что распределение предельных направлений показателей Λ в бесконечности связывается с геометрической структурой части границы
выпуклой области , которая содержит эту предельную точку.
Доказательство достаточности условия сводится к рассмотрению интерполяции рядами экспонент в пространстве функций, голоморфных в некоторой полуплоскости. Кроме
того, оказалось, что, в рассматриваемой ситуации одной предельной точки, для доказательства необходимости этого условия нужно использовать идеи совсем другой природы,
по сравнению с пространством (C). Дело в том, что ряды экспонент, абсолютно сходящиеся на некотором множестве, обладают свойством распространения сходимости [2].
Следует отметить, что аналитическое продолжение для элементов общих инвариантных
подпространств, допускающих спектральный синтез, изучалось в работе [6].
Замечание при корректуре. Задача интерполяции в ядре оператора свертки в выпуклой области рассматривалась в работе [7]
48
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
2.
Схема сведения к интерполяции в ядре оператора свертки.
Двойственная формулировка проблемы интерполяции
В дальнейшем, как и в работе [4], используется схема доказательства, описанная в работе
[8], основанная на двойственности с использованием преобразования Лапласа ℒ функционалов. При доказательстве достаточности условий интерполяции предлагается рассматривать естественные двойственные утверждения, отдельно для каждого из возможных
вариантов расположения предельных точек множества ℳ.
Кратко опишем эту схему, так как в работе [4] она описана достаточно подробно для
пространства (C). В случае () укажем на некоторые изменения в приведенных там
рассуждениях.
Обозначим через  — пространство всех целых функций экспоненциального типа с
традиционной топологией индуктивного предела, которая обеспечивает топологический
изоморфизм между сильным сопряженным пространством  * () и пространством  ,
реализующийся с помощью преобразования Лапласа ℒ функционалов  ∈  * (). Точнее, линейное непрерывное взаимнооднозначное преобразование Лапласа
ℒ
⟨︀
⟩︀ функционалов
*

 ∈  () определяется следующим образом: ℒ :  ↦−→ ℒ () =  ,  , ℒ ∈  .
Топология в ( * )-пространстве  не описывается в терминах сходимости последовательностей, однако секвенциально замкнутые подпространства являются замкнутыми
([9]). Точное определение сходимости последовательностей в этой топологии будет приведено в доказательстве достаточности условий леммы 4.
Определим раздельно непрерывную билинейную форму [·, ·] : () ×  ↦−→ C,
согласно формуле [, ] = ⟨ℒ−1 , ⟩ ,  ∈ (),  ∈  . С помощью отображения
 ↦−→ [·, ] = ⟨ℒ−1 , ·⟩ , где ℒ−1  ∈  * (), задается изоморфизм между  и сильным сопряженным пространством  * (). Согласно введенной двойственности, любая функция
из пространства  взаимнооднозначно соответствует некоторому линейному непрерывному функционалу из  * ().
Хорошо известно, что каждая функция  ∈  ,  ̸≡ 0, имеющая минимальный тип при
порядке один, порождает в пространстве () оператор свертки  : () ↦−→ (),
который в рассматриваемой двойственности можно определить как
[︀ (︀
)︀
]︀ ⟨︀
⟩︀
 []() =  () ,  = (ℒ−1 ) , ( + ) ,
(︀
)︀
где  — оператор сдвига:  () = ( + ).
Известно, что  линейный, непрерывный и сюръективный оператор. Cопряженный
оператор к оператору свертки  это оператор  умножения на характеристическую функцию , корректно определенный на функциях  ∈  следующим образом:
 ↦−→  ·  (подробности в [10], [11]).
Обозначим Ker  = { ∈ () :  [ ] = 0} — ядро оператора свертки  , которое
является замкнутым подпространством в (), инвариантным относительно оператора
дифференцирования.
Подпространство Ker  допускает спектральный синтез [11], [12], то есть совпадает с замыканием в топологии пространства () линейной оболочки множества всех
полиномиально-экспоненциальных мономов     , содержащихся в нем.
Подпространство рядов экспонент Σ(Λ, ), вообще говоря, не замкнутое в (). В связи
с этим, в доказательстве достаточности условий интерполяции, для каждого из возможных
̃︀ из
вариантов расположения множества узлов ℳ, выделяется подпоследовательность Λ
Λ, таким образом, чтобы она являлась нулевым множеством некоторой целой функции
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
49
̃︀ ). Затем доказывается наличие
 ∈  минимального типа, причем Ker  = Σ(Λ,
̃︀
представления (2) с заменой Λ на Λ, но в таком случае оно будет справедливо и для Λ.
̃︀ достаточно доказать следующие
После того, как выделена подпоследовательность Λ,
два утверждения.
(︀
)︀
(I ) Подпространство Ker  + (︀ℳ )︀— всюду плотное в пространстве ();
(II ) Подпространство Ker  + ℳ — замкнутое в пространстве ().
(︀
)︀
Замкнутый идеал ℳ определен выше в (1). В дальнейшем в этом параграфе для
упрощения обозначений  = ℳ .
Если 1 — подпространство в топологическом векторном пространстве , через 10 обозначим его поляру (или аннулятор), то есть множество функционалов из  * , которые
обращаются в нуль на 1 .
(︀
)︀0 (︀
)︀0 (︀ )︀0
Утверждение (I ) равносильно тому, что Ker  + () = Ker  ∩ () = {0}. Из
Леммы 2 работы [13] следует, что Утверждение (II ) равносильно тому, что подпростран(︀
)︀0 (︀ )︀0
ство Ker  + () — замкнутое в  .
 – модуль над кольцом многочленов. С учетом двойственности поляра
(︀ Пространство
)︀0
Ker  совпадает с подмодулем, определяемым как
(︀ )︀
  = {ℎ ∈  : ℎ =  · ;  ∈  }.
(3)

(︀ )︀
(︀ )︀
В доказательстве достаточности в лемме 4 будет доказано, что   =  ∩  , где

(︀ )︀
 – замкнутый
идеал
в
(C),
порожденный
функцией
.
В
частности
отсюда следует,
(︀ )︀
что подмодуль   – замкнутый.

Как известно, ( * )-пространство () – рефлексивное ([9], [10]), то есть его сильное
второе сопряженное пространство  ** () канонически изоморфно пространству ().
Поэтому отображение  ↦−→ [, ·] , с учетом этого канонического изоморфизма, определяет изоморфизм между ( * )-пространством () и сильным сопряженным * . Любая
функция из () взаимнооднозначно соответствует некоторому линейному непрерывному функционалу из сильно сопряженного пространства  .
Более точно, это отображение понимается следующим образом: канонический изоморфизм () и  ** () имеет вид  ↦−→ Θ =  ,  ∈ * , ⟨ , ⟩ = [, ] = ⟨ℒ−1 , ⟩ .
Здесь  ∈ (),  ∈  .
Каждая функция  ∈ (),  ̸≡ 0, порождает в пространстве целых функций экспо[︀
(︀
)︀]︀
̃︁ :  ↦−→  , 
̃︁ []() = (Θ) ,  () ,
ненциального типа  оператор
свертки

(︀
)︀
где  — оператор сдвига,  () = ( + ),  ∈ C.
⟨︀ −1
⟩︀
⟨︀  −1
⟩︀
̃︁ []() =
Далее получаем, что 
(ℒ  ) , ()
=
 (ℒ ) , ()
=
⟨︀ −1
⟩︀

= (ℒ ) ,  () ,  ∈  .
Отметим, что, используя известную формулу для обратного преобразования Бореля
[14], отсюда можно получить явное интегральное представление этого оператора [5], [4].
̃︁ линейный, непрерывный и сюръективный оператор. Оператор 
̃︁
Известно, что 
̃︀ умножения на функцию  в пространстве (),
является сопряженным к оператору 
̃︀ –
действующему на функциях  ∈ () следующим образом:  ↦−→  · . Оператор 
линейный и непрерывный, а его образ совпадает с замкнутым идеалом (). Обозначим
̃︁ = { ∈  : 
̃︁ [ ] = 0}.
Ker 
(︀ )︀0
̃︁ .
С учетом двойственности, поляра () совпадает с Ker 
В начале этого параграфа была описана схема того, как доказательство существования
представления (2) сводится к утверждениям (I ) и (II ), а затем было доказано следующее.
50
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
Предложение 1. Утверждения (I ) и (II ), в ( * )-пространстве (), равносильны
двум двойственным утверждениям в ( * )-пространстве  , соответственно:
(︀ )︀
̃︁ = {0}.
(I * ) Справедливо равенство   ∩ Ker 

(︀
)︀
̃︁ — замкнутое в пространстве  .
(II * ) Подпространство 
+ Ker 

3.
Вспомогательные результаты
Справедливо следующее простое, но важное, утверждение.
Предложение 2: Пусть 1 – некоторая область, причем  ⊂ 1 , и области имеют
общие части границы, на которых лежат все предельные точки множества ℳ. Если
найдены некоторые условия на Λ, при выполнении которых имеет место представление (2) c множеством узлов ℳ для пространства (1 ), тогда такое представление
имеется и для (), с тем же самым множеством узлов.
Доказательство. Для любой функции  ∈ () существует 1 ∈ (1 ),  ∼
= 1 на ℳ.
Тогда  = 1 +( −1 ) в области . По условию существует 1 ∈ Σ(Λ, 1 ) ⊂ Σ(Λ, ), такая,
что 1 ∼
= 1 |ℳ . В области  получили представление  = 1 + (1 − 1 ) + ( − 1 ). Функции в скобках лежат в () и равны нулю на ℳ с учетом кратностей. Доказательство
закончено.
В дальнейшем нам потребуются некоторые свойства полиномов из экспонент с вещественными показателями. Такие полиномы изучены в монографии [15].
Рассмотрим произвольный полином из экспонент вида

∑︁
() =
 ()  , 0 < 1 < · · · <  ,
(4)
=0
где  () — некоторые многочлены, и пусть 0 ·  ̸≡ 0.
Из Теоремы 12.9 монографии [15] легко получить, что справедливо следующее.
Лемма 1. Существует такое 1 > 0, что во внешности круга { ∈ C : || > 1 }
выполнено: существуют положительные постоянные 2 , 3 и два вещественных числа
0 ,  , причем 0 >  или 0 =  = 0, такие, что
|()| > 2 0 Re  ,
(5)
для всех  в области 0 = { ∈ C : Re( + 0 ln ) < −3 }, и
|()| > 2  Re  ,
(6)
для всех  в области  = { ∈ C : Re( +  ln ) > 3 }.
Для любого фиксированного  ∈ R, рассмотрим кривую Re( +  ln ) = ,  ̸= 0. Она
симметрична относительно вещественной оси. Для  > 0 эта кривая лежит в некоторой
полуплоскости Re  < ,  > 0, а для  < 0 она лежит в некоторой
полуплоскости
⃒⃒

⃒ ⃒
Re  > −,  > 0,. Если точка  =  +  лежит на кривой, то ⃒ ⃒ → ∞, arg  → ,

2
|| = ||(1 + (1)), при || → ∞. Рассматриваемая кривая асимптотически приближается
к показательной кривой  +  ln || = .
[︁  )︁
[︁ 
)︁
Зафиксируем  ∈ 0,
и для  ∈ 0, − , обозначим  () = { ∈ C : | arg  − | 6 }.
2
2
Лемма 2. Пусть  < 0. Для произвольного полинома из экспонент  вида (4), существует такое  = () > 0, что для всех , || > , в угле  () справедлива следующая
оценка
|()| > 3  cos(+)|| .
(7)
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
51
Доказательство. Легко видеть, что все точки  из угла  (), лежащие вне некоторого
круга, лежат в области  . Поэтому, из оценки (6) полинома из экспонент  в области 
для || > 1 вытекает оценка вне некоторого круга || >  в угле  (). Неравенство (7)
вытекает из (6): если  = || , то в этом угле 0 >  Re  >  cos( + ). Лемма 2
доказана.
Пусть некоторая выпуклая область  содержит все показатели  ,  = 0, 1, . . . , , полинома  из экспонент вида (4). Тогда легко показать, что  ∈  .
Следующая лемма по существу доказана в [4] в несколько другой формулировке. Рассмотрим произвольную бесконечную дискретную последовательность комплексных чисел
 = { }, причем Re  > 0. Предположим, что
Re 
lim sup
= ∞.
(8)
→∞ ln | |
Для дальнейшего важно заметить, что если последовательность  лежит в угле  (), то
условие (8) выполняется.
Обозначим  = { ∈ (C) :  ( ) = 0,  ∈ N} – замкнутый идеал в (C). (сравните с
(3)).
Лемма 3. В описанной ситуации, если для  выполнено условие (8), то никакой многочлен из экспонент  ̸≡ 0 вида (4) не может содержаться в идеале  .
Дело в том, что условие (8) на нули идеала противоречит оценке (6).
4.
Основные результаты
Для множества Λ введем множество  (Λ) предельных направлений в бесконечности
как совокупность точек  ∈ S, для которых найдется последовательность { }∈N , что
lim→∞  /| | = , lim→∞ | | = ∞. Множество  (Λ) замкнутое.
Аналоги следующего понятия, под различными названиями, часто возникают в комплексном анализе, например, при изучении эффекта аналитического продолжения сумм
рядов экспонент, их аналогов, а также элементов инвариантных подпространств [2], [16],
[17], [6]. Приведем некоторые необходимые нам определения и результаты из работы [2]:
Обозначим S = { ∈ C : || = 1}. Пусть  – замкнутое подмножество S. Пусть  –
некоторая область в C. Обозначим ℎ() = sup∈ Re( ). Если () : C ↦→ (−∞, +∞] –
опорная функция (в смысле R2 ) выпуклой области , то ℎ() = (−).
Легко также видеть, что ℎ() это опорная функция (в смысле R2 ) области, комплексно
сопряженной с . Функция () = sup∈ Re() = ℎ()||,  = || ∈ C, – позитивно
однородная, полунепрерывная снизу, выпуклая функция. Из этого несложно получить,
что функция ℎ() – полунепрерывная снизу на S.
Для  ∈ S,  =  , определим функцию () = (−),  : S ↦→ (−∞, +∞]. По определению, для каждого  ∈ S, () – это наименьшая верхняя грань проекций точек области 
на направление  = − .
Например, для заданных  ∈ S и  ∈ R, обозначим Π () = { ∈ C : Re() < } –
полуплоскость с направлением  внешней нормали к границе, точка  =  лежит на ее
границе. Для  = Π () имеем, что () = +∞,  ̸= , и () = ,  = .
Множество
 = { ∈ C : Re() < (),  =  ∈ , }
называетcя -выпуклой оболочкой области .
По определению, -выпуклая оболочка  любой области  это пересечение, по всем
 =  ∈ , множеств Π(, ) = { ∈ C : Re() < ()}. Если существует  ∈  : () = ∞,
52
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
тогда Π(, ) = C. Если при этом существует хотя бы одно число  ∈ , для которого
() < ∞, такие  ∈  в определении  можно не учитывать.
Если () < ∞, множество Π(, ) – это опорная полуплоскость области , то есть
 ⊂ Π(, ) и   ∩  Π(, ) ̸= ∅. Легко видеть, что Π(, ) = Π0 () + (). Здесь
Π0 () = { ∈ C : Re() < 0}).
Множество  – выпуклая область, более того, она -выпуклая [2], [16]. Если  = S,
-выпуклая оболочка множества – это обычная выпуклая оболочка.
Предложение
А. Пусть  выпуклая область и  =  (Λ). Если ряд экспонент
∑︀∞
 


абсолютно
сходится для всех  ∈ , то он абсолютно сходится и для
=1 
 ∈  (Λ) . Его сумма — аналитическая функция в выпуклой области  (Λ) .
Первое утверждение вытекает из предложений 16 и 8 работы [2]. В работе [1] доказано,
что ряд, абсолютно сходящийся в выпуклой области , сходится и в топологии пространства () равномерной сходимости на компактах.

Область  – полуплоскость. Зафиксируем , | arg | < , и обозначим  =  .
2
Рассмотрим случай, когда  = Π0 (− ) – "левая"полуплоскость.
Пусть задано произвольное бесконечное дискретное в области множество вещественных узлов интерполяции ℳ ⊂ Π0 ( ) ∩ R− . Каждая точка  ∈ ℳ имеет кратность
 ,  ∈ N.
Лемма 4. Пусть
множество
ℳ имеет единственную предельную точку  = 0. В
(︀
)︀
пространстве
)︀ Π0 ( ) разрешима проблема кратной интерполяции рядами экспонент
(︀
из Σ Λ, Π0 ( ) с множеством узлов ℳ, тогда, и только тогда, когда  ∈  (Λ).
Отметим, что направление  – комплексно сопряженное к направлению  = − внешней нормали к границе  Π0 ( ).
Доказательство. Из соображений
[︁  )︁симметрии (рассматривая функции  ()), в доказа. Условие леммы означает, что множества Λ∩ ()
тельстве можно считать, что  ∈ 0,
2
– бесконечные, для всех достаточно малых .
Пусть проблема кратной интерполяции рядами экспонент из
(︀Необходимость.
)︀
Σ Λ, Π0 ( ) с множеством узлов ℳ разрешима. Предположим, что  ̸∈  (Λ). Тогда
замкнутое множество  (Λ) отделено от направления  , сопряженного к направлению  ,
внешней нормали к границе  Π0 ( ).
Для любого числа  =  ∈  (Λ) выполнено  ̸=  . Поэтому, для области  = Π0 ( ),
() = +∞, следовательно, множество Π(, ) = C, для любого  ∈  (Λ). По определению
-выпуклой оболочки,  (Λ) = C.
Из предложения А получаем следующее. Если ряд экспонент абсолютно сходится в
Π0 ( ) и  ̸∈  (Λ), тогда этот ряд абсолютно сходится всюду в C. Тогда его сумма –
целая функция.
Интерполяция целыми функциями с произвольными (например, неограниченными) данными на множестве узлов ℳ, имеющем конечную предельную точку, невозможна. Противоречие.
Достаточность. Доказательство состоит из двух этапов.
1. Сначала сведем задачу к интерполяции в ядре некоторого оператора свертки. Если
̃︀ ⊂ Λ, то оно будут доказано и для Λ. В дальнейшем,
утверждение леммы доказано для Λ
мы перейдем к специальному подпространству в Σ(Λ, ), замкнутому в (). Для этого
заменим множество показателей на некоторую подпоследовательность из Λ.
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
53
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что: 1) Λ ⊂  (), для некоторого
малого , 2)  (Λ) = { }, и 3) выполняется условие разделенности
|+1 | > 2| |.
(9)
Обозначим через  целую функцию с простыми нулями  ,
() =
∞ (︂
∏︁
=1

1−

)︂
.
1
1
⃒ есть индекс Гельфонда-Леонтьева.
ln ⃒⃒ ′
| |
 ( )⃒
Из условия (9) вытекает, что функция  имеет минимальный тип при порядке 1, и
индекс конденсации  = 0. Это показано в работе [4].
Из результатов монографии [11] (Теорема 4.2.2) вытекает следующее утверждение.
Пусть  = 0. Тогда любая функция из замыкания в топологии () линейной оболочки системы полиномиально-экспоненциальных мономов с множеством показателей,
имеющим конечную верхнюю плотность с учетом кратностей, представляется в виде
ряда экспонент.
Величина  = lim sup→∞
Подпространство Ker  допускает спектральный синтез. Тогда, с учетом Теоремы 4.2.3
из монографии [11], получаем следующее утверждение.
Предложение Б. Ядро Ker  состоит из всех функций  (), которые представляются
рядами экспонент,
∞
∑︁
   ,  ∈ C,
 () =
=1
сходящимися в топологии пространства (), то есть Ker  = Σ(Λ, ).
Следует отметить, что в многомерном случае, в более общей ситуации инвариантных
подпространств, в работе [18] изучался фундаментальный принцип (в нашей ситуации
это утверждение предложения Б). Самая общая постановка этой задачи для комплексной
плоскости рассмотрена в [19]. В работе [20] подробно изучен случай рядов с вещественными
показателями Λ.
В этих работах введена новая характеристика Λ , используя которую удалось получить критерии наличия фундаментального принципа для инвариантных подпространств
в выпуклых областях. В силу этапа 1, Λ лежит в угле, а тогда, повторяя почти дословно
доказательство из [20], с. 100, получаем, что Λ = 0, и предложение Б можно получить и
из результатов [18], [19], [20].
2. На этом этапе переходим к доказательству двойственных утверждений.
Обозначим через  – функцию из () с нулевым множеством ℳ с учетом кратностей
 .
В силу Предложения 1 разрешимость интерполяционной проблемы вытекает из двух
двойственных утверждений: (︀ )︀
̃︁ = {0}.
(I * ) Справедливо равенство   ∩ Ker 

(︀
)︀
̃︁ — замкнутое в пространстве  .
( * ) Подпространство   + Ker 

(︀ )︀
Подмодуль   определен выше в (3).

Важным моментом в доказательстве утверждений ( * ) и ( * ) является следующий известный факт.
54
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
̃︁ ⊂  представляет собой линейную оболочку системы всех
Подпространство Ker 
  
мономов вида {  },  ∈ N,  = 0, 1, · · · ,  − 1, то есть оно состоит только из полиномов из экспонент вида (4), где  =  . Это несложно доказываемый фундаментальный
̃︁ в пространстве  .
принцип для Ker 
Двойственное утверждение ( * ) следует из Леммы 3: покажем, что полином из экспонент
(︀ )︀
̃︁ ,  ̸≡ 0, не может принадлежать 
 ∈ Ker 
. Действительно, после этапа 1, считаем,

что множество Λ лежит в  (). Из этого следует, что (︀для)︀ последовательности  = 
выполнено условие (8) из Леммы(︀ 3.)︀ Заметим,
идеал в (C).
(︀ )︀ что Λ =  – замкнутый
*
Как уже отмечалось выше в (3),   =  ∩  . Утверждение ( ) доказано.

(︀ )︀
Докажем последнее равенство. По определению,   ⊂ Λ ∩  . Cогласно теореме [14]

о делении на функцию минимального типа в пространстве  , верно и обратное включение. Другими словами, это следствие из теоремы о сложении индикаторов. Подмодуль
в правой части последнего равенства — замкнутый, так как топология в C сильнее топологии поточечной сходимости. Значит подмодуль () замкнут в  . Эти факты были необходимы выше, при выводе двойственной формулировки проблемы интерполяции
(Предложение 1).
̃︁ ⊂  . Докажем
Получили, что имеется алгебраическая прямая сумма () ⊕ Ker 
*
замкнутость этого подпространства в  (это утверждение ( )). Как известно [9], в
( * )-пространстве  замкнутость любого подпространства  равносильна его секвенциальной замкнутости.
Сходимость последовательности { }∈N в ( * )-топологии пространства  означает следующее:
1. Последовательность { } сходится к  в топологии пространства (C).
2. Существуют такие  > 0,  ∈ N, что для всех  ∈ N справедлива оценка
| ()| 6  () ,  ∈ C.
(10)
Здесь { } – произвольное фиксированное
счетное исчерпание области  выпуклы⋃︀
ми компактами:  ⊂ int +1 и  = ∈N  ,  () = sup∈ Re . Если  = || ,
ℎ () =  ()/|| – опорная функция (в смысле R2 ) компакта, комплексно сопряженного
с  .
̃︁ и
Рассмотрим произвольную последовательность { }∈N функций из () ⊕ Ker 
предположим, что она сходится в пространстве  к функции  ∈  . Покажем, что
̃︁ .
предельная функция  принадлежит () ⊕ Ker 
Последовательность { } состоит из функций вида  =  +  , где функции  ∈ () ,
̃︁ .
то есть  |Λ = 0, а функции  ∈ Ker 
Если в последовательности { } содержится бесконечно много членов с  ≡ 0, то
̃︁ . Если в { } содержится бесконечно много членов с
предельная функция  ∈ Ker 
 ≡ 0, то  ∈ () . Для последовательностей { } такого типа предельная функция
̃︁ .
 ∈ () ⊕ Ker 
Следовательно, далее можно считать, что последовательность { } такова, что
 ̸≡ 0,  ̸≡ 0 для всех .
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
55
̃︁ ,  ̸≡ 0, это полином
Полагаем, что  < +1 < 0,  → 0,  → ∞. Так как  ∈ Ker 
из экспонент вида
∑︁ ()
 () =
 ()  .
()
Finℳ
Здесь, для любого  ∈ N, функции  — произвольные многочлены степени не выше
 − 1. Для каждого  ∈ N справа стоит сумма по некоторому конечному подмножеству
 ℳ ⊂ ℳ. Обозначим через  номер максимального из  в этом представлении, то есть
 ̸≡ 0.
Пусть последовательность { } такова, что множество чисел { } бесконечное. Покажем,
что оно ограниченное. Предположим, что множество { } является неограниченным.
Выберем в качестве исчерпания полуплоскости Π0 ( ) полукруги  = − · − , где
− = (−1/+{|| 6 })∩{Re  6 −1/}. Для каждого  обозначим  = arctg  2 . Обозначим
1 
 = ( −  ), тогда несложно показать, что справедливы оценки:
2 2
1
− || 6  () 6 − || для  ∈  (),

(11)
√︀
1 + 4
1
sin

=
(1 + ()),  → ∞.
где  =

2
2 2

− .
2
()
Так как − ̸≡ 0, можно применить оценку (7) для  из леммы 2, в которой  =  .
Используя еще оценку (10), получаем следующую оценку для  =  −  ,  ̸≡ 0,  ̸≡ 0 :
Все многочлены из экспонент  имеют вид (1). Выберем  > , такое, что  <
| ()| > | ()| − | ()| > 3  cos(+)|| −  () ,
для всех  в области { ∈  (), || > }. Здесь  = (). Так так  > ,  () ⊂  (),
и тогда из (11) следует, что
| ()| > | ()| − | ()| > 3  cos(+)|| − − || ,
вне некоторого круга || >  в угле  ().
По предположению, множество  неограниченное, поэтому в представлениях полиномов
 из экспонент существуют  , сколь угодно близкие к 0.
Выберем 0 >  / cos( + ), тогда из последней оценки вытекает, что |0 ()| > 0 для
всех  вне некоторого круга {|| > 1 (0 )} в угле  ().
Получили противоречие: действительно, в силу этапа 1,  (Λ) = { }, поэтому для любого  вне любого круга, в угле  () лежит бесконечная последовательность точек из
Λ, а нам дано, что 0 |Λ = 0.
Следует отметить, что для произвольной последовательности { } компакт  может
быть сколько угодно большим, а тогда величина  может быть сколь угодно малой. В
этом смысл условия леммы.
Итак, в представлениях полиномов  из экспонент в произвольной сходящейся последовательности { },  =  + , множество чисел  ограниченное. Следовательно, последова̃︁1 .
тельность { } принадлежит некоторому конечномерному подпространству  ⊂ Ker 
Утверждение ( * ) означает, что все элементы сходящейся последовательности  =  + 
̃︁1 ⊕ () .
лежат в алгебраической прямой сумме  ⊕ () ⊂ Ker 

56
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
В любом топологическом векторном пространстве алгебраическая сумма конечномерного подпространства и замкнутого подпространства является замкнутым подпространством ([21], стр. 41). Итак, предельная функция  последовательности  =  +  при̃︁ ⊕ () . Утверждение ( * ) доказано.
надлежит Ker 

Из доказанных утверждений ( * ) и ( * ) вытекает утверждение леммы 4.
Замечание 1. В доказательстве достаточности показано следующее. Пусть Λ – произвольное множество показателей. Тогда одно лишь общее условие (8) (оно следует из условий
леммы 4) – достаточное для того, чтобы множество Σ(Λ, Π0 ( ))+ℳ было всюду плотным
в топологии пространства (Π0 ( )).
Замечание 2. После преобразования  → − плоскости C получим формулировку, соответствующую случаю "правой"полуплоскости. Кроме того, для любого ℎ ∈ R, в рассматриваемой задаче допустимо преобразование  →  + ℎ комплексной плоскости, после которого соответствующим образом нужно изменить формулировки. Действительно,
в результате этого преобразования, множество рядов экспонент сохраняется, а множество
узлов сдвигается.
Область  – выпуклая, на ее границе лежит конечная предельная точка ℳ.
Пусть  – выпуклая область в C.
Обозначим ℎ() = sup∈ Re( ). Для каждого , число ℎ() – это значение опорной
функции (−) (в смысле R2 ) области  в направлении − . Пусть  =  , ранее была
определена функция () = (−).
Прямая () = { =  +  : Re() =  cos(−) +  sin(−) = } называется опорной для
области  в направлении  = − , если на границе  существует точка, принадлежащая
(), причем область  лежит в опорной полуплоскости Π(, ) = { ∈ C : Re() < }.
Эту точку назовем точкой опоры для прямой (). Легко видеть, что прямая () – опорная,
тогда и только тогда, когда  = ().
Пусть 0 ∈  . Обозначим через  (0) ⊂ S совокупность всех  ∈ S, для которых точка
0 на границе  является точкой опоры для (). Ясно, что  (0) = { ∈ S : () = 0}.
Заметим, что, в условиях леммы 4,  = Π0 ( ),  (0) = { }.
Теорема 1. Пусть  выпуклая область, причем 0 ∈   и  ∩ R ̸= ∅. Предположим,
что множество ℳ ⊂  ∩ R – дискретное в  и имеет единственную предельную точку
 = 0. В пространстве () разрешима проблема кратной интерполяции рядами экспонент из Σ(Λ, ) с множеством узлов ℳ, тогда, и только тогда, когда множество
 (Λ) ∩  (0) ̸= ∅.

, рассмотрен в лемме 4.
2
Без ограничения общности можно считать, что  ∩ R− ̸= ∅, тогда ℳ ⊂  ∩ R− .
В противном случае можно использовать преобразование  → − плоскости C.
Тогда ℎ() > 0, и из полунепрерывности снизу следует, что множество  (0) – замкнутое. Из выпуклости и однородности функции () = ℎ()|| следует, что  (0) – связное

множество. Легко также видеть, что | arg | < для всех  ∈  (0), так как ℳ ∩ R− ̸= ∅.
2
Необходимость условия  (Λ) ∩  (0) ̸= ∅ следует из Предложения Б, а достаточность
доказывается сведением к лемме 4.
Необходимость. Предположим, что проблема интерполяции разрешима, но условие теоремы не выполнено,  (Λ) ∩  (0) = ∅. Далее будет показано, что в этом случае точка
 = 0 лежит в  (Λ) .
Множества  (Λ) и  (0) = { ∈ S : () = 0} замкнутые.
Доказательство. Случай  = Π0 ( ), || <
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ. . .
57
Для любого подмножества  ⊂ S и числа  > 0 обозначим
 = { ∈ S : ∃ ∈ , | − | 6 }.
(︀
)︀
Найдется такое  > 0, что  (Λ) ∩ ( (0)  = ∅, поэтому существует такое связное
замкнутое множество 1 ∈ S, что  (Λ) ∈ int 1 , 1 ∩  (0) = ∅.
Из определения -выпуклой оболочки вытекает, что
1 ⊂  (Λ) .
(12)
Для всех  ∈ 1 выполнено () > 0, поэтому из полунепрерывности следует, что
∃, () >  > 0,  ∈ 1 . Обозначим () = { ∈ C : || = }. Для всех  ∈ () и любого
 ∈ 1 , Re() <  < (). Отсюда (︀следует,
)︀ что точка 0 ∈   лежит в Π () ⊂ Π(, ), для
любого  ∈ 1 . Доказано, что 0 ∈ () 1 ⊂ 1 .
Из (12) получаем, что 0 ∈  (Λ) . Доказательство завершается следующим образом.
В силу предложения А, любой ряд экспонент, который сходится абсолютно в выпуклой
области , абсолютно сходится и в выпуклой области  (Λ) . Его сумма — аналитическая
функция в  (Λ) .
Точка  = 0 лежит в области  (Λ) и, по условию, она является предельной для множества узлов ℳ. Для множества узлов ℳ, имеющем предельную точку в области, интерполяция аналитическими функциями в этой области невозможна для произвольных
(например, неограниченных) интерполяционных данных. Противоречие. Доказательство
необходимости условия теоремы закончено.
Достаточность. По условию, существует предельное направление  =  ∈  (Λ), ле
жащее в  (0), тогда || < , так как множество  ∩ R− непустое.
2
Так как  ∈  (0), точка  = 0 – точка опоры прямой ( ) = { : Re( ) = 0}. Область  лежит в опорной полуплоскости Π0 ( ) = {Re( ) < 0}, и 0 ∈  Π0 ( ) = ( ).
Таким образом, множество ℳ ⊂ Π0 ( ) можно использовать
в )︀качестве множества узлов
(︀
для интерполяции рядами экспонент в пространстве  Π0 ( ) ⊂ (). При этих
(︀ усло-)︀
виях, разрешимость проблемы интерполяции рядами экспонент в пространстве  Π0 ( )
доказана в лемме 4. Разрешимость проблемы в () следует из Предложения 2. Доказательство закончено.
Авторы выражают благодарность участникам Уфимского городского семинара по теории функций за внимание к работе и полезное обсуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 175 с.
2. Мерзляков С.Г. Интегралы от экспоненты по мере Радона // Уфимск. матем. журн., 3:2.
2011. C. 57–80.
3. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир.
1968. 279 с.
4. Мерзляков С.Г., Попенов С.В. Кратная интерполяция рядами экспонент в H(C) с узлами
на вещественной оси // Уфимск. матем. журн., 5:3. 2013. C. 130–143.
5. Напалков В.В., Нуятов А.А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки // Матем. сб., 203:2. 2012. С. 77–86.
6. Кривошеев А.С. Критерий аналитического продолжения функций из инвариантных подпространств в выпуклых областях комплексной плоскости // Изв. РАН., Сер. матем., 68:1.
2004. C. 43–78.
7. Напалков В.В., Зименс К.Р. Кратная задача Валле-Пуссена на выпуклых областях в ядре
оператора свёртки // Доклады РАН. Т. 458, № 4. 2014. С. 387–389.
58
С.Г. МЕРЗЛЯКОВ, С.В. ПОПЕНОВ
8. Напалков В.В., Попенов С.В. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // Докл. РАН., 381. 2. 2001.
C. 164–166.
9. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых простраств, важных в
приложениях // Сб. перев. Математика., 1:1. 1957. С. 60–77.
10. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982. 240 c.
11. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 с.
12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II.
Спектральный синтез на выпуклых областях. Матем. сб., 88(130):1(5). 1972. C. 3–30.
13. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования //
Матем. заметки., 33:5. 1983. C. 701–713.
14. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536 с.
15. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.
16. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимск. матем.
журн., 3:2. 2011. C. 43–56.
17. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных многочленов // Уфимск.
матем. журн., 5:4. 2013. C. 84–90.
18. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Изв. РАН., Сер. матем., 68:2. 2004, C. 71–136.
19. Кривошеева О.А., Кривошеев А.С. Критерий выполнения фундаментального принципа для
инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости // Функц. анализ и его прил., 46:4. 2012. C. 14–30.
20. Кривошеев А.С., Кривошеева О.А. Замкнутость множества сумм рядов Дирихле //
Уфимск. матем. журн., 5:3. 2013. C. 96–120.
21. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. 443 с.
Сергей Георгиевич Мерзляков,
Институт математики c ВЦ УНЦ РАН,
ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
E-mail: msg2000@mail.ru
Сергей Викторович Попёнов,
Институт математики c ВЦ УНЦ РАН,
ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
E-mail: spopenov@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
564 Кб
Теги
интерполяция, рядами, узлами, вещественным, экспонента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа