close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование краевых задач для одной $b$-эллиптической системы уравнений методом потенциалов.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 31–41
Математика
УДК 517.946
Исследование краевых задач для одной
B-эллиптической системы уравнений
методом потенциалов
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
Аннотация. В работе рассматриваются основные краевые
задачи для одной многомерной B-эллиптической системы уравнений.
На основе представления решения в виде потенциала краевые задачи
сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго
рода. Доказывается существование и единственность решения.
Ключевые
слова: В-эллиптическоя
система
уравнений,
фундаментальная матрица решений, метод потенциалов.
Эллиптические уравнения, по одной или нескольким переменным
которых действует оператор Бесселя
Bx =
∂2
k ∂
,
+
2
∂x
x ∂x
k>0
и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А.
Киприяновым в [1] были названы B-эллиптическими.
Пусть E+ p — полупространство xp > 0 p — мерного евклидова
пространства точек x = (x0 , xp ), x0 = (x1 , x2 , . . . , xp−1 ), D — конечная
область в E+ p , ограниченная открытой частью Γ0 гиперплоскости xp = 0 и
гиперповерхностью Γ .
В работе исследованы внутренние и внешние краевые задачи Дирихле и
Неймана для B-эллиптической системы уравнений вида
LB [u] = ∆B u + Au = 0,
(1)
∂2
∂2
k ∂
—
лапласиан,
B
=
—
+
x
p
2
2
∂xp
xp ∂xp
l=1 ∂xl
оператор Бесселя, k > 0, A = (aij ) — симметрическая матрица порядка m,
 
u1
 u2  ¡ T
¢

u=
 ...  u = (u1 u2 . . . um ) — неизвестная вектор–функция.
где ∆B = ∆x0 + Bxp , ∆x0 =
um
p−1
P
32
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами к
решению краевых задач как для эллиптических уравнений, так и для
эллиптических систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в
литературе [2,3], хорошо известны.
Что касается В-эллиптических систем уравнений, впервые удалось
применить метод потенциалов к решению такой системы первому автору
этой статьи. В докторской диссертации Ф.Г. Мухлисова [4] предложен способ
нахождения потенциалов, сводящих задачу Дирихле к регулярной системе
интегральных уравнений.
Целью данной работы является изучение возможности распространения
указанных результатов Ф.Г. Мухлисова на другие системы B-эллиптических
уравнений.
1. Формулы Грина
2 (D)
Обозначим через CB
множество вектор–функций, дважды
непрерывно дифференцируемых в D и четных по xp (т.е. удовлетворяющих
∂uj (x0 , 0)
∞ (E + ) множество четных
условию
= 0, j = 1, m), а через C0,B
p
∂xp
по xp , бесконечно непрерывно дифференцируемых и финитных в E+ p
вектор–функций.
2 (D). Через S(u) обозначим оператор L [u],
Пусть u, v T ∈ C 1 (D) ∩ CB
B
k
умноженный на xp
S(u) = xkp LB [u] = xkp
p−1 2
X
∂ u
∂x2l
l=1
+ xkp
∂2u
∂u
+ xkp Au.
+ kxk−1
p
∂x2p
∂xp
Рассмотрим сопряженный оператор к оператору S(u)
∗
T
S (v ) =
p−1 2 k T
X
∂ (xp v )
l=1
∂x2l
+
T
∂ 2 (xkp v T ) ∂(kxk−1
p v )
−
+ xkp v T A.
∂x2p
∂xp
Нетрудно доказать, что
µ
¶
µ
¶
p−1
X
∂
∂
k ∂u
k ∂u
S(u) =
xp
+
xp
+ xkp Au,
∂xl
∂xl
∂xp
∂xp
l=1
µ
¶
p−1
X ∂ µ ∂v T ¶
∂
∂v T
S ∗ (v T ) =
xkp
+
xkp
+ xkp v T A.
∂xl
∂xl
∂xp
∂xp
(2)
l=1
Учитывая (2), с помощью формулы Остроградского, получаем
" p−1
#
Z
Z
T ∂u
X ∂v T ∂u
∂v
v T LB [u]xkp dx = −
xkp
+
dx+
∂xl ∂xl
∂xp ∂xp
D
D
l=1
(3)
Исследование краевых задач для одной B-эллиптической системы
Z
vT
+
Γ
∂u k
x dΓ +
∂n p
33
Z
D
v T Auxkp dx,
(4)
где n –внешняя нормаль к границе Γ .
Формула (4) называется первой формулой Грина для оператора LB .
Рассмотрим разность
µ
¶
µ
¶
p−1
X
∂
T
∗ T
T
k ∂u
k ∂u
T ∂
v S(u) − S (v )u = v
xp
−
(5)
xp
+v
∂xl
∂xl
∂xp
∂xp
l=1
à p−1
!
µ
µ
¶¶
T
X ∂ µ ∂v T ¶
∂
k
k ∂v
−
xp
u−
xp
u.
(6)
∂xl
∂xl
∂xp
∂xp
l=1
Интегрируя (6) и применяя формулу Остроградского, получаем
¸
Z ·
Z
£ T
¤ k
∂v T
T
T ∂u
v LB [u] − LB [v ]u xp dx =
v
−
u xkp dΓ.
∂n
∂n
Γ
D
(7)
Формула (7) называется второй формулой Грина для оператора LB .
2. Фундаментальная матрица решений с особенностью в
произвольной точке
Фундаментальная матрица решений системы (1) с особенностью в начале
координат найдена в [5] и имеет вид


ϕ1 (r)
0
0 ...
0
ϕ2 (r) 0 . . .
0 
 0
Φ(r) = 
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0 . . . ϕm (r)
где ϕj (r) =
(1) p
σj r−ν Hν ( λj
ν/2
r), r = |x|, σj =
λj
¡
¢ , j = 1, m.
p−3
i2ν+1 π 2 Γ k+1
2
Применим к Φ(r) оператор обобщенного сдвига Txx0 и обозначим
полученную матрицу через Ψ (x, x0 )


ψ1 (x, x0 )
0
0 ...
0
0
ψ2 (x, x0 ) 0 . . .
0


(8)
Ψ (x, x0 ) = 
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0 . . . ψm (x, x0 )
Диагональные элементы матрицы (8) имеют вид
Z π
√
x0
(1)
ψj (x, x0 ) = Tx ϕj (r) = Ck σj
ρ−ν
H
(
λj ρϕ ) sink−1 ϕ dϕ,
ϕ
ν
0
34
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
µ
¶
k+1
Γ
¡
¢
p+k−2
2
µ ¶ , ρϕ = |x0 − x00 |2 +x2p +x2p0 −2xp xp0 cos ϕ 1/2 , ν =
где Ck =
,
√
k
2
πΓ
2
j = 1, m.
Определение 1. Матрица Ψ (x, x0 ) называется фундаментальной
матрицей решений системы (1) с особенностью в точке x0 ∈ E+
p , если она
удовлетворяет условиям


f1 (x)
 f (x) 
1) для любой вектор–функции f (x) =  2
, f (x) ∈ C0∞ (E+
p ) такой,
... 
fm (x)
что x0 ∈ Supp f (x) имеет место равенство
Z
Ψ (x, x0 )LB [f (x)]xkp dx = f (x0 )
E+
p
2) Ψ (x, x0 ) является решением системы (1) во всех точках E+
P , за
+
исключением точки x0 ∈ Ep .
Лемма 1. В окрестности точки x = x0 нормальная производная
фундаментальной матрицы решений (8) может быть представлена в виде
∂Ψ (x, x0 )
= Ψe(x, x0 ) + Ψ ∗ (x, x0 ),
∂n
(9)
где Ψe(x, x0 ), Ψ ∗ (x, x0 ) — диагональные матрицы порядка m, диагональные
элементы которых имеют вид
µ
¶
2ν iCk σj νλ−ν/2
k p
e
B
,
×
ψj (x, x0 ) =
Γ(1 − ν) sin νπ
2 2
p
X
×(xp , xp0 )−k/2 ρ1−p
cos(xl , ρxx0 ) cos(xl , n),
xx0
l=1
ψj∗ (x, x0 )
=
O(ρ−(p−2)
),
xx0
j = 1, m,
ρ2xx0
p
X
=
(xl − xl0 )2 .
l=1
Лемма доказывается по схеме, предложенной в [6].
С помощью этой леммы легко можно доказать, что Ψ (x, x0 ) является
фундаментальной матрицей решений системы (1) с осбенностью в точке x0 .
Нетрудно проверить, что при фиксированном x0 и r = |x| → ∞ элементы
фундаментальной матрицы решений (8) удовлетворяют следующим
условиям
³
´
³
´ ∂ψ (x, x )
p
j
0
− i λj ψj (x, x0 ) = O r−(γ+1)/2 , (10)
ψj (x, x0 ) = O r−(γ−1)/2 ,
∂r
Исследование краевых задач для одной B-эллиптической системы
35
где γ = p + k, j = 1, m. Они называются условиями излучения.
Используя представление функции Ханкеля через ряды, по схеме
предложенной в [6] легко доказать, что Ψ (x, x0 ) допускает при x → x0 оценку
¡
¢
Ψ (x, x0 ) = O |x − x0 |2−p .
(11)
3. Интегральное представление и свойства решений
системы (1)
2 (D) решения системы
Для всякого вектор–столбца u(x) ∈ C 1 (D) ∩ CB
(1) и для любой точки x0 ∈ D в [7] получено следующее интегральное
представление
¸
Z ·
∂u(x) ∂Ψ (x, x0 )
u(x0 ) = −
Ψ (x, x0 )
−
u(x) xkp dΓ.
(12)
∂n
∂n
Γ
С помощью интегрального представления (12) и свойства (10)
фундаментальной матрицы решений доказывается следующее свойство
решений системы (1)
• существуют решения u(x) системы (1) в области De = E+ p \ D
удовлетворяющие при r → ∞ условиям
³
´
³
´
p
∂u(x)
u(x) = O r−(p+k−1)/2 ,
− i λj u(x) = O r−(p+k+1)/2 .
∂r
4. Постановка краевых задач и теоремы единственности
Внутренняя краевая задача Дирихле (Задача Di ). Требуется найти
вектор–функцию u(x), удовлетворяющую следующим условиям:
2
u(x) ∈ CB
(D) ∩ C(D),
(13)
LB [u(x)] = 0,
(14)
u|Γ = f (ξ),
x ∈ D,
f (ξ) ∈ CB (Γ ).
(15)
Теорема 1. Внутренняя краевая задача Дирихле (13)–(15) не может
иметь более одного решения.
Внешняя краевая задача Дирихле (Задача De ). Требуется найти
вектор–функцию u(x), удовлетворяющую следующим условиям:
2
u(x) ∈ CB
(De ) ∩ C(De ),
LB [u(x)] = 0,
u|Γ = f (ξ),
x ∈ De ,
f (ξ) ∈ CB (Γ ),
(16)
(17)
(18)
36
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
при R → ∞ условиям излучения
¯
¯2
Z
Z
p
¯ ∂uj
¯ k
2 k
¯
¯ xp dSR = o(1), j = 1, m.
|uj | xp dSR = O(1),
λ
u
−
i
j
j
¯
¯
S+R
S + R ∂r
(19)
Теорема 2. Внешняя краевая задача Дирихле (16)–(19) не может
иметь более одного решения.
Внутренняя краевая задача Неймана (Задача Ni ). Требуется найти
вектор–функцию u(x), удовлетворяющую следующим условиям:
2
u(x) ∈ CB
(D) ∩ C 1 (D),
(20)
LB [u(x)] = 0, x ∈ D,
¯
∂u(ξ) ¯¯
= g(ξ), g(ξ) ∈ CB (Γ ).
∂n ¯
(21)
(22)
Γ
Теорема 3. Внутренняя краевая задача Неймана (20)–(22) не может
иметь более одного решения.
Внешняя краевая задача Неймана (Задача Ne ). Требуется найти
вектор–функцию u(x), удовлетворяющую следующим условиям:
2
u(x) ∈ CB
(De ) ∩ C 1 (De ),
(23)
LB [u(x)] = 0,
x ∈ De ,
¯
¯
∂u(ξ) ¯
= g(ξ), g(ξ) ∈ CB (Γ ),
∂n ¯
(24)
(25)
Γ
при R → ∞ условиям излучения
¯2
¯
Z
Z
p
¯
¯ ∂uj
2 k
¯
− i λj uj ¯¯ xkp dSR = o(1), j = 1, m.
|uj | xp dSR = O(1),
¯
S+R
S + R ∂r
(26)
Теорема 4. Внешняя краевая задача Неймана (23)–(26) не может
иметь более одного решения.
5. Потенциалы простого и двойного слоев, аналог интеграла
Гаусса
∂u(x)
,
∂n
u(x) соответственно произвольными вектор–функциями точек контура
µ(ξ), ν(ξ) ∈ CB (Γ ), введем в рассмотрение следующие интегралы
Z
V (x) =
Ψ (ξ, x) µ(ξ)ξpk dΓ,
(27)
В интегральном представлениии (12) заменяя вектор–функции
Γ
Исследование краевых задач для одной B-эллиптической системы
Z
W (x) =
Γ
37
∂Ψ (ξ, x)
ν(ξ)ξpk dΓ,
∂n
которые соответственно назовем потенциалами простого и двойного слоя для
системы (1).
Очевидно, что потенциалы V (x) и W (x) являются регулярными
решениями системы (1) в любой области, лежащей в полупространстве E+
p,
не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Γ , ни с гиперплоскостью
xp = 0.
Введем в рассмотрение аналог интеграла Гаусса
Z
∂Ψ (ξ, x) k
W0 (x) =
ξp dΓ.
∂n
Γ
Лемма 2. Если Γ — поверхность Ляпунова
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то
¯
Z ¯
¯ ∂Ψ (ξ, x) ¯ k
¯
¯
¯ ∂n ¯ ξp dΓ 6 C,
Γ
и
образует
с
Лемма 3. Если Γ — поверхность Ляпунова и образует
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то

E, если x ∈ D,


Z

1
∂Ψ (ξ, x) k
E, если x ∈ Γ,
ξp dΓ =
W0 (x) =

2
∂n
Γ


0, если x ∈ De = E+
p \ D,
с
где C — постоянная.
где E — единичная, 0 — нулевая матрицы.
Теорема 5. Пусть Γ — поверхность Ляпунова и образует с
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол. Тогда при ν ∈ CB (Γ ) имеют место
следующие предельные соотношения
1
1
Wi (x0 ) = ν0 + W (x0 ),
We (x0 ) = − ν0 + W (x0 ),
2
2
где Wi (x0 ) и We (x0 ) означают предельные значения потенциала двойного
слоя W (x) в точке x0 ∈ Γ при x → x0 соответственно изнутри и извне
границы Γ , а W (x0 ) — прямое значение потенциала двойного слоя W (x)
в точке x0 ∈ Γ . Здесь точка x0 ∈ Γ — фиксированная точка границы Γ ,
ν0 = ν(x0 ) — вектор–столбец.
Доказательство теоремы 5 следует из лемм 2 и 3.
Рассмотрим теперь потенциал простого слоя (27). Из оценки (11) следует,
что фундаментальная матрица решений системы (1) с особенностью в
точке x0 имеет такую же особенность вида ρ2−p , что и фундаментальное
решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (27) на границе Γ ведет
38
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
себя подобно гармоническому потенциалу простого слоя [8], т.е имеют место
следующие теоремы, в которых Γ — поверхность Ляпунова и образует с
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол.
Теорема 6. Если плотность µ ∈ CB (Γ ), то потенциал простого слоя
V (x) непрерывен в E+
p.
Теорема 7. При µ ∈ CB (Γ ) имеют место предельные соотношения
·
¸
·
¸
∂V (x0 )
1
∂V (x0 )
∂V (x0 )
1
∂V (x0 )
= − µ0 +
,
= µ0 +
,
∂nx0 i
2
∂nx0
∂nx0 e
2
∂nx0
¸ ·
¸
·
∂V (x0 )
∂V (x0 )
где
и
— предельные значения нормальной производной
∂nx0 i
∂nx0 e
потенциала простого слоя в точке x0 ∈ Γ соответственно изнутри и
∂V (x0 )
извне границы Γ , µ0 = µ(x0 ), а
— прямое значение нормальной
∂nx0
производной потенциала простого слоя. Индекс у нормали означает что
она проведена в точке x0 .
6. Системы интегральных уравнений задач Дирихле
и Неймана
Решение задачи Di ищем в виде потенциала двойного слоя
Z
∂Ψ (ξ, x)
u(x) =
ν(ξ)ξpk dΓ,
∂n
Γ
(28)
Легко видеть, что вектор–функция u(x) удовлетворяет условиям (13),
(14) внутренней задачи Дирихле. Пока неопределенную плотность ν(ξ)
найдем из требования, чтобы (28) удовлетворяла граничному условию (15)
задачи Di . Подставив ее в это граничное условие и учитывая формулу
предельного значения потенциала двойного слоя (теорема 5), получаем
Z
∂Ψ (ξ, x)
ν(ξ)ξpk dΓ = 2f (x).
(29)
ν(x) + 2
∂n
Γ
Система интегральных уравнений (29) соответствует внутренней задаче
Дирихле.
Таким же образом задачи De , Ni и Ne сводятся, соответственно, к
следующим системам
Z
∂Ψ (ξ, x)
ν(x) − 2
ν(ξ)ξpk dΓ = −2f (x),
(30)
∂n
Γ
Z
∂Ψ (ξ, x)
µ(x) − 2
µ(ξ)ξpk dΓ = −2g(x),
(31)
∂nx
Γ
Z
∂Ψ (ξ, x)
µ(x) + 2
µ(ξ)ξpk dΓ = 2g(x).
(32)
∂n
x
Γ
Исследование краевых задач для одной B-эллиптической системы
39
Системы (29)–(32) имеют следующие свойства:
1) Из формул (9), (11) следует, что эти системы являются системами
интегральных уравнений со слабой особенностью.
∂Ψ (ξ, x)
∂Ψ (ξ, x)
2) Ядра–матрицы
и
получаются одно из другого
∂n
∂nx
перестановкой точек x и ξ. Так как эти ядра вещественные, то они
сопряженные. Отсюда следует, что системы (29) и (32), (30) и (31) — попарно
сопряженные системы интегральных уравнений. Следовательно, для них
справедливы все теоремы Фредгольма.
Докажем, что системы (29) и (32), соответствующие задачам Di и
Ne , разрешимы, и притом единственным образом, при любых вектор–
функциях f (x), g(x) ∈ CB (Γ ). С этой целью рассмотрим систему однородных
интегральных уравнений внешней задачи Неймана
Z
∂Ψ (ξ, x)
µ(x) + 2
µ(ξ)ξpk dΓ = 0.
(33)
∂n
x
Γ
Пусть µ1 (x) ненулевое решение (33). Тогда вектор–функция
Z
u1 (x) =
Ψ (ξ, x) µ1 (ξ)ξpk dΓ
Γ
удовлетворяет условиям (23),
(24), (26) внешней задачи Неймана и
¯
∂u1 (x) ¯¯
граничному условию
= 0, т.е.
∂nx ¯Γ
¸
·
Z
1
∂u1 (x)
∂Ψ (ξ, x)
= µ1 (x) +
µ1 (ξ)ξpk dΓ ≡ 0.
(34)
∂nx e
2
∂n
x
Γ
По теореме 4 о единственности внешней задачи Ne u1 (x) ≡ 0, x ∈ De .
Но потенциал простого слоя — вектор–функция, непрерывная во всем
полупространстве (теорема 6), поэтому
u1 (x) ≡ 0,
x ∈ Γ.
(35)
Рассмотрим теперь потенциал u1 (x) в области D. В этой области вектор–
функция u1 (x) удовлетворяет условиям (13), (14) задачи Di и в силу (35)
обращается в нуль на границе Γ . По теореме 1 о единственности задачи Di
u1 (x) ≡ 0,
Но тогда в D
·
∂u1 (x)
∂nx
¸
i
1
= − µ1 (x) +
2
Z
Γ
x ∈ D.
∂Ψ (ξ, x)
µ1 (ξ)ξpk dΓ ≡ 0.
∂nx
(36)
Вычитая из равенства (36) равенство (34) получаем µ1 (x) ≡ 0, x ∈ D.
Итак, система однородных интегральных уравнений (33) имеет
только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, система
40
Н. А. Ибрагимова, Ф. Г. Мухлисов
интегральных уравнений (32) задачи Ne однозначно разрешима для любой
функции g(x) ∈ CB (Γ ).
Таким образом, значение параметра λ = 2 — правильное для ядра
∂Ψ (ξ, x)
, по известной теореме Фредгольма, является правильным и для
∂nx
∂Ψ (ξ, x)
сопряженного ядра
.
∂n
Отсюда следует, что система интегральных уравнений (29) задачи Di
однозначно разрешимо для любой вектор–функции f (x) ∈ CB (Γ ).
Из разрешимости систем интегральных уравнений задач Di и Ne следует,
что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим утверждениям,
в которых Γ — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0
прямой угол.
Теорема 8. Задача Di разрешима при любых граничных данных из
CB (Γ ) и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.
Теорема 9. Задача Ne разрешима при любых граничных данных из
CB (Γ ) и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.
Аналогичным образом доказывается, что системы интегральных
уравнений (30) и (31), соответствующие задачам De и Ni , разрешимы
единственным образом при любых вектор–функциях f (x), g(x) ∈ CB (Γ ). Из
разрешимости интегральных систем задач De и Ni следует, что разрешимы
и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.
Теорема 10. Если Γ — поверхность Ляпунова и образует с
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача Ni для этой поверхности
разрешима при любых граничных данных из CB (Γ ) и решение можно
представить в виде потенциала простого слоя.
Теорема 11. Если Γ — поверхность Ляпунова и образует с
гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача De однозначно разрешима
при любых граничных данных из CB (Γ ).
Список литературы
1. Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения B-эллиптических
уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.3, №1. С.114–129.
2. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для многомерных вырождающихся
B-эллиптических уравнений методом потенциалов: дисс. ... канд. физ.–матем.
наук. Казань, 2010. 133 с.
3. Lanzara Flavia. On BVPS for strongly elliptic systems with higher order boundary
conditions // Georg. Math. Journal. 2007. V.14, №1. P.145–167.
4. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и
краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: дисс.
... докт. физ.–матем. наук. Казань, 1993. 260 с.
Исследование краевых задач для одной B-эллиптической системы
41
5. Ибрагимова Н.А. О фундаментальной матрице решений одной B-эллиптической
системы уравнений // Интегративный характер современного математического
образования: матер. Второй всеросс. научно–практической конф., посвящ.
памяти докт. физ.–матем. наук В.Ф. Волкодавова/ Поволжеск. гос.
социалн.–гуманитарн. академия. Самара, 2009. С.21–26.
6. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Of
the Amer. Math. Soc. 1948. V.63, №2. P.342–354.
7. Ибрагимова Н.А. Об интегральном представлении решения B-эллиптической
системы уравнений // Математика. Экономика. Образование: труды XVIII
Межд. конф./ ЮФУ. Ростов–на–Дону, 2011. С.13–17.
8. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа,
1977. 432 с.
Ибрагимова Наиля Анасовна (ibnailya@yandex.ru), ассистент, кафедра
высшей
математики,
Казанский
государственный
энергетический
университет.
Мухлисов Фоат Габдуллович, д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей
математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский)
федеральный университет.
Investigation by the method of potentials of boundary value
problems for one B-elliptic system of the equations
N. A. Ibragimova, F. G. Mukhlisov
Abstract. In this paper we study basic boundary value problems for one multidimensional B-elliptic system of the equations. Using the method of potentials
we reduce the boundary value problems to the systems of the integral Fredholm
equations of the second kind and prove the unique solvability of the mentioned
problems.
Keywords: B-elliptic system of the equations, fundamental matrix of solutions, method of potentials.
Ibragimova Nailya (ibnailya@yandex.ru), assistant, department of higher
mathematics, Kazan State Energy University.
Mukhlisov Foat, doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of higher mathematics and mathematical design, Kazan (Volga Region)
Federal University.
Поступила 09.08.2011
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
653 Кб
Теги
методов, уравнения, эллиптическая, система, одной, потенциал, исследование, задачи, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа