close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование разностного уравнения Шрёдингера для некоторых физических моделей.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и инорматики УдУ. 2013. Вып. 2 (42)
УДК 517.958 : 530.145.6
Т. C. Тинюкова
ИССЛЕДОВАНИЕ АЗНОСТНОО УАВНЕНИЯ ШњДИНЕА
ДЛЯ НЕКОТОЫХ ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В статье рассматривается дискретный оператор Шрјдингера на грае с вершинами на двух пересекающихся
прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Исследуются спектральные свойства этого оператора. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы
как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические ормулы для вероятностей
распространения частицы во всех возможных направлениях. Кроме того, исследуются спектральные свойства
дискретного оператора Шрјдингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Описана картина рассеяния. Получены простые ормулы для вероятностей прохождения и отражения вблизи граничных
точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов. ассматривается одночастичный дискретный оператор Шрјдингера с периодическим потенциалом, возмущенным ункцией,
периодической по двум переменным и экспоненциально убывающей по третьей. Исследуется задача рассеяния
для данного оператора вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса некоторого собственного
значения оператора Шрјдингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной
составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер. Получены простые ормулы для вероятностей
прохождения и отражения.
Ключевые слова :
разностное уравнение Шрјдингера, резонанс, собственное значение, уравнение Липпмана
Швингера, рассеяние, вероятности прохождения и отражения.
Введение
абота посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шрјдингера, возникающих в квантовой теории
твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также
считать, что изические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку
оба приближения с математической точки зрения приводят к похожим разностным уравнениям.
Важность математического исследования уравнения Шрјдингера в разностном подходе
(или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 2030 лет популярностью такого подхода в изической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам основе будущей микроэлектроники (см., например, [25?). (Заметим, что
классическая теория рассеяния для уравнения Шрјдингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении ЛиппманаШвингера, в настоящее время особенно актуальна для данных
изических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной
электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1?).) Во-вторых, это связано с тем, что,
несмотря на изическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели,
сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd , d > 1. Между тем математические модели в этой области даже в одномерном случае (на грае) имеют достаточно
интересные и необычные свойства.
Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме статьи.
В статье [6? рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным
неоднородным оператором Лапласа. Доказано существование квазиуровней (мод) и решения
уравнения ЛиппманаШвингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности
рассеяния вблизи квазиуровней.
В статье [7? рассмотрен разностный оператор Шрјдингера на грае, полученный из обычного оператора Шрјдингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучаются существование и поведение в зависимости от малой константы связи
собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.
3
Автор работы [8? рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда
с бесконечной цепочкой.
В статье [9? рассматривается семейство дискретных операторов Шрјдингера H(k), полученных из двухчастичного оператора, где k двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора H(0), то операторы H(k) имеют собственное значение левее существенного спектра.
В статье [10? различными способами получены ормулы для ункции рина некоторых
разновидностей разностного оператора Лапласа.
В [11? показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного
оператора Шрјдингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана
отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности,
у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.
Статья [12? посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных ункций на бесконечности разностных аналогов операторов Шрјдингера и Дирака.
В статье [13? строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа
на грае, при этом основные результаты получены для граов-деревьев определенного вида.
В статье [14? изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шрјдингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности.
Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.
В данной работе исследуются собственные значения и резонансы, а также изучены задачи
рассеяния для разностного уравнения Шрјдингера с потенциалами, описывающими электрон
в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.
Перейдем к подробному обзору содержания работы.
Обозначим через G объединение двух ѕцелочисленныхї координатных прямых, то есть
G = (Z Ч {0}) ? ({0} Ч Z),
а через l2 (X), где X ? Z2 , гильбертово пространство квадратично суммируемых ункций
на X со скалярным произведением
X
(?, ?)l2 (X) =
?(n, m)?(n, m).
(n,m)?X
В первых шести параграах работы рассматривается разностный (дискретный) оператор
Шрјдингера H0 , действующий в l2 (G) следующим образом:
(H0 ?)(0, 0) = ?(1, 0) + ?(?1, 0) + ?(0, 1) + ?(0, ?1),
(H0 ?)(n, 0) = ?(n + 1, 0) + ?(n ? 1, 0),
(H0 ?)(0, m) = ?(0, m + 1) + ?(0, m ? 1),
n 6= 0,
(0.1)
m 6= 0.
Оператор H0 является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения
двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в изической
литературе (см., например, [2?). Близкие модели исследованы в работах [7, 8?. Уравнение Шрјдингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов,
при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.
В первом параграе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые
в работе.
езольвенту оператора H0 обозначим через R0 (?) = (H0 ??I)?1 (в дальнейшем, следуя [17?,
для краткости опускаем единичный оператор).
Во втором параграе найден вид R0 (?), исследованы существенный и дискретный спектры
оператора H0 .
4
Т е о р е м а 2.1. Существенный спектр оператора H0 совпадает с отрезком [?2, 2].
Введем в рассмотрение оператор H01 : l2 (Z) ? l2 (Z), действующий по правилу
H01 ? (n) = ?(n ? 1) + ?(n + 1), n ? Z.
езольвенту оператора H01 обозначим R01 (?) = (H01 ? ?)?1 . Ядро резольвенты, вообще говоря,
продолженное по параметру ? на соответствующую риманову поверхность M, будем называть
ункцией рина оператора H01 и обозначать как
?
? ? ?2 ? 4 |n?m|
1
.
G01 (?, n ? m) = ? ?
2
?2 ? 4
Поверхность M получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (?2, 2); при этом [?2, 2] является существенным спектром оператора H01 (см. [15?).
В џџ 35 рассматривается оператор Шрјдингера H? = H0 + ?V с малым параметром ? >
0; здесь V оператор умножения на вещественную ункцию V(n, m) 6= 0, удовлетворяющую
условиям
|V(n, 0)| 6 ?e??|n| , |V(0, m)| 6 ?e??|m| , n, m ? Z, ?, ? > 0.
(0.2)
В дальнейшем ункции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор H? является гамильтонианом электрона вблизи пересечения
двух квантовых проволок, при этом V описывает влияние примесей.
Уравнение Шрјдингера для оператора H? имеет вид
(0.3)
(H0 + ?V)? = ??.
Спектр и существенный спектр оператора A обозначим как ?(A) и ?ess (A) соответственно.
Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе l2 (G), для ? 6? ?(H0 ) можно записать в виде
? = ?R0 (?)V?.
(0.4)
?
p
p
Перейдем к новой неизвестной ункции ? = |V|? и положим V = |V|sgnV (только для V ).
Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде
p
?
? = ? |V|R0 (?) V?
(0.5)
p
?
и, продолжая оператор ? |V|R0 (?) V на двулистную риманову поверхность M ункции рина оператора H0 (ядра резольвенты R0 (?)) (м. ниже), рассматривать его как оператор в l2 (G)
для ? ? M.
О п р е д е л е н и е 0.1 (ср. [26?). Число ?, принадлежащее второму (так называемому
ѕнеизическомуї) листу римановой поверхности M, будем называть резонансом оператора
H? , если существует ненулевое решение ? ? l2 (G) уравнения (0.5).
О п р е д е л е н и е 0.2 (ср. [27?). Квазиуровнем оператора H? будем называть его собственное значение или резонанс.
В случае когда ? принадлежит второму листу римановой поверхности M , ненулевые решения ? уравнения (0.4) (соответствующие решению ? ? l2 (G) уравнения (0.5)), вообще говоря,
экспоненциально возрастают.
В третьем параграе работы найден критерий существования квазиуровня оператора H? .
Кроме того, в этом параграе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для
оператора H? .
Для произвольной ункции ?(n, m), определенной на G, будем пользоваться обозначениями
f (?) = f (?, ?) = (R01 (?)?) (1) + (R01 (?)?) (?1),
?1 (n) = ?(n, 0),
?2 (m) = ?(0, m),
5
n, m ? Z.
(0.6)
Т е о р е м а 3.1. Оператор H? для всех достаточно малых ? не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.
В четвертом параграе доказаны существование и единственность для решения модиицированного уравнения ЛиппманаШвингера
p
p
?
?
?1 (n, ?) = |V1 |eikn ? ? |V1 |R01 (?) V1 ?1 (n, ?) +
?
?
?
?
?
?
?
p
?
2 cos k · f (?) + ?f ( V2 ?2 ) ? ?f ( V1 ?1 )f (?)
?
?
R01 (?)?(n), n ? Z,
? + |V1 |
1 ? f 2 (?)
p
?
(0.7)
?
?
(m,
?)
=
??
|V
|R
(?)
V
?
(m,
?)
+
2
2
01
2
2
?
?
?
?
?
?
?
p
?
?2 cos k + ?f ( V1 ?1 ) ? ?f ( V2 ?2 )f (?)
?
? + |V2 |
R01 (?)?(m), m ? Z,
1 ? f 2 (?)
при определенной взаимосвязи между ? и ?; получена асимпотическая ормула этого решения.
В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и ѕмедленнойї квантовой
частицы.
Т е о р е м а 4.1. Предположим, что k = A? в случае знака ѕ+ї или k? = A? в случае
знака ѕ?ї, где k? = ?? ? k, A 6= 0 вещественная константа. Тогда для достаточно малых ? существует единственное решение ? ? l2 (G) модиицированного уравнения Липпмана
Швингера (0.7), имеющее вид
p
p
?1 (n, ?) = |V1 (n)|(±1)n+1 (1 + n ? |n|)Ai? + O(?2 ), ?2 (m, ?) = |V2 (m)|(±1)m+1 Ai? + O(?2 ).
В џ 5 описана картина рассеяния для оператора H? , выписаны коэициенты отражения
и прохождения. Получены асимптотические ормулы для этих коэициентов в частном случае.
Обозначим через P2± (?) вероятности прохождения вдоль оси m вверх и вниз соответственно,
через P1± (?) вероятности прохождения вдоль оси n вправо и влево соответственно.
Положим
1 X
1 X
C ? = 2A2 ? Ai
(?1)j+1 (1 + j ? |j|)V2 (j)+ Ai
(2j ? 2 + |1 ? j| + |1 + j|)(1 + j ? |j|)V1 (j),
2
4
j?Z
j?Z
1 X
1 X
K ? = 2A2 ? Ai
(1 + j ? |j|)V2 (j) + Ai
(?1)j (2j ? 2 + |1 ? j| + |1 + j|)(1 + j ? |j|)V1 (j).
2
4
j?Z
j?Z
Т е о р е м а 5.2. В условиях теоремы 4.1 для ?, достаточно близких к точке 2, справедливы
равенства
P1+ (?) = P2+ (?) = P2? (?) = A2 ?2 + O(?3 ),
P1? (?) = 1 + (A2 ? 2C ? )?2 + O(?3 );
для ?, достаточно близких к точке ?2, равенства
P1+ (?) = P2+ (?) = P2? (?) = A2 ?2 + O(?3 ),
P1? (?) = 1 + (A2 ? 2K ? )?2 + O(?3 ).
В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.2, потенциал мал, а k любое.
Т е о р е м а 5.3. Пусть ? = 2 cos k, k ? (??, 0), иксировано. Тогда
P1+ (?) = (1 + E)2 + B 2 + O(?),
P1? (?) = E 2 + B 2 + O(?),
P2± (?) = D 2 + B 2 + O(?),
6
где
E=?
2 + 2 cos 2k + sin2 2k
,
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
B=
sin 2k(1 + cos 2k)
,
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
D=
2 sin2 2k
.
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
В џ 6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора H = H0 + V. Здесь V это оператор умножения на ункцию
V0 (?n,N + ?n,?N ), m = 0,
V(n, m) =
0,
n = 0,
при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет ярко выраженный ѕрезонансныйї
характер.
Т е о р е м а 6.1. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 , достаточно близких к ±1/N , существует единственный квазиуровень ?± = 2 cos k±
оператора H, причем
1
1
k+ = i V0 ?
+ o V0 ?
,
N
N
1
1
k? = ?? ? i V0 +
+ o V0 +
.
N
N
2) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 , достаточно близ1
ких к ±
, существует единственный квазиуровень ?± = 2 cos k± оператора H, причем
N ?1
1 1 (N ? 1)2 i V0 ?
+ o V0 ?
,
k+ =
(N ? 1)2 + 1
N ?1
N ?1
(N ? 1)2 i 1 1 k? = ?? ?
V
+
+
o
V
+
.
0
0
(N ? 1)2 + 1
N ?1
N ?1
Кроме того, в этом параграе доказаны существование и единственность и найден вид
решения уравнения ЛиппманаШвингера для оператора H с ѕналетающей волнойї, распространяющейся вдоль Z Ч {0}, а также получен следующий результат.
Т е о р е м а 6.2. В сколь угодно малой окрестности точки ?0 = 0 для всех достаточно
малых V0 существует единственное решение ? уравнения P1? (?) = 0, причем
? = O(V03 ).
В џџ 79 исследуется двумерное разностное уравнение Шрјдингера в полосе, что отвечает
электрону в квантовом волноводе, также являющееся моделью (более реалистичной) квантовой
проволоки (ср. одномерные операторы из предыдущих параграов). Здесь изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей
невозмущенной ункции рина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые ормулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше
особенностей.
Положим ? = Z Ч {1, . . . , N } ? Z2 .
Введем в рассмотрение оператор H0 = (H01 ? 1) + (1 ? H02 ), действующий в l2 (?). Опера
тор H01 , действующий в l2 (Z), определен выше. Оператор H02 действует в l2 {1, . . . , N } ?
= CN
и определяется равенствами
H02 ? (m) = ?(m ? 1) + ?(m + 1), m = 2, . . . , N ? 1,
H02 ? (1) = ?(2),
H02 ? (N ) = ?(N ? 1).
7
Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для m = 0, N.
Положим H? = H0 + ?V, где ? > 0, a V является оператором умножения на вещественную
ункцию V (n, m) 6= 0, заданную на ? и удовлетворяющую условию
|V (n, m)| 6 ?e??|n| ,
n ? Z,
m ? {1, . . . , N },
(0.8)
причем ? > 0.
В џ 7 найден вид ункции рина оператора H0 .
Положим
?jm
µj = ? ? 2 cos
,
N +1
j = 1, . . . , N,
a=
r
2
.
N +1
Л е м м а 7.2. Имеет место ормула
G0 (n, m, n? , m? , ?) =
N
X
j=1
a2 sin
?jm ?jm? sin
G01 n ? n? , µj ,
N +1
N +1
где
? 6?
N h
[
j=1
? 2 + 2 cos
?j
?N
?j i h
? i
= ? 2 + 2 cos
.
, 2 + 2 cos
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
N +1
N +1
Т е о р е м а 7.2. Спектр оператора H0 имеет вид
?(H0 ) =
N h
[
j=1
? 2 + 2 cos
j?
N?
j? i h
? i
= ? 2 + 2 cos
.
, 2 + 2 cos
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
N +1
N +1
џ 8 посвящен изучению спектральных свойств оператора H? .
Т е о р е м а 8.1. Справедливо равенство ?ess (H? ) = ?(H0 ).
Т е о р е м а 8.2. Предположим, что для некоторого j ? {1, . . . , N }
vj± =
X
?
(±1)n sin2
(n? ,m? )??2
?jm? V (n? , m? ) 6= 0.
N +1
?j
для всех достаточно малых ? > 0
N +1
±
существует единственный квазиуровень ?±
j = ?j (?) оператора H? , аналитически зависящий
от ?, для которого справедлива ормула
Тогда в некоторой окрестности точек ?±
j0 = ±2+2 cos
?±
j (?)
?j
= ±2 + 2 cos
±
N +1
?vj±
N +1
2
+ O(?4 ).
В џ 9 описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной ункции рина для малых потенциалов.
Положим
q
sin kj = ? 1 ? (µj /2)2 , j = 1, . . . , N.
В окрестности точки ?0 рассмотрим уравнение ЛиппманаШвингера
X
?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ? ?
G0 (n ? n? , m, m? , ?)V (n? , m? )?(n? , m? , ?),
(n? ,m? )??
8
(0.9)
где ѕналетающая волнаї (записанная для переменной kj0 ) имеет вид
?0 (n, m, ?) = a sin
и удовлетворяет уравнению H0 ?0 = ??0 .
Положим
A±
j (?)
X
?a
=?
2i sin kj
(n? ,m? )??
?j m 0
einkj0
N +1
?jm? ?
sin
e?ikj n V (n? , m? )?(n? , m? , ?).
N +1
(0.10)
(0.11)
Будем предполагать, что
? 6= cos
?j
?j ?
+ cos
,
N +1
N +1
j, j ? = 1, . . . , N.
(0.12)
Т е о р е м а 9.1. Пусть выполнено (0.12). Тогда для вероятностей прохождения P+ и отражения P? = 1 ? P+ в точке ?0 справедливы ормулы
v
2
u
u 4 ? ? ? 2 cos ?j
0
X
2 u
N +1 ,
u
P+ =
?jj0 + A+
j (?0 ) t
?j0 2
?j
4 ? ?0 ? 2 cos
?(?2,2)
j:?0 ?2 cos N+1
N +1
(0.13)
v
u
?j 2
u
2 u 4 ? ?0 ? 2 cos
X
?
N +1 ,
P? =
Aj (?0 ) u
t
?j0 2
?j
4
?
?
?
2
cos
0
j:?0 ?2 cos N+1 ?(?2,2)
N +1
где A±
j (?) определяются равенством (0.11).
Л е м м а 9.2. Предположим, что для j0 из (0.10) и всех достаточно малых ? справедливо
kj0 = ?? в случае знака ѕ?ї, где e
kj0 = ?? ? kj0 ,
равенство kj0 = ?? в случае знака ѕ+ї или e
? 6= 0 вещественная константа. Тогда для решения ? уравнения ЛиппманаШвингера (0.9)
имеет место равенство
?(n, m, ?) =
где
vj±0 =
1?
X
?j m 0
+ O(?),
a
sin
N +1
2i? + a2 vj+0
(±1)n a2 vj±0
(±1)n V (n, m) sin2
(n,m)??
?jm .
N +1
2
a4 vj±0
Т е о р е м а 9.2. В условиях леммы 9.2 справедливо равенство P? =
2 + O(?).
2
4
4? + a vj+0
В џџ 1012 изучается рассеяние для уравнения Шрјдингера на трехмерной решетке с возмущенным периодическим потенциалом, отвечающим бесконечному кристаллу с внедренным
плоским слоем. В частности, для малых потенциалов слоя и одновременно малых перпендикулярных по отношению к слою компонент скорости налетающей ѕблоховскойї частицы получены ормулы прохождения (отражения), имеющие в своем составе скорость частицы и интеграл
по ячейке от произведения квадрата модуля блоховской волновой ункции и потенциала слоя.
ассмотрим оператор Шрјдингера вида
H = H0 + V(n) + ?W(n),
9
n = (n1 , n2 , n3 ) ? Z3 ,
действующий в l2 (Z3 ). Здесь H0 действует по ормуле
(H0 ?)(n) = ?(n1 + 1, n2 , n3 ) + ?(n1 ? 1, n2 , n3 ) + ?(n1 , n2 + 1, n3 ) +
+ ?(n1 , n2 ? 1, n3 ) + ?(n1 , n2 , n3 + 1) + ?(n1 , n2 , n3 ? 1),
V(n) вещественный периодический потенциал по всем переменным nj , j = 1, 2, 3, с периодом T > 1; W(n) вещественный периодический по переменным n1 , n2 с периодом T ненулевой
потенциал, удовлетворяющий оценке
|W(n)| 6 Ce??|n3 | ,
? > 0;
(0.14)
? > 0 малый параметр. Оператор H представляет собой гамильтониан электрона в конечноразностном приближении в периодической слоистой структуре.
Через l2 (A) ? L2 (B), где A ? Zn , B измеримое множество в Rm , будем обозначать гильбертово пространство измеримых по x ункций ?(n, x), где (n, x) ? A Ч B, таких, что
XZ
|?(n, x)|2 dx < ?,
n?A B
с обычным скалярным произведением.
В џ 10 приведены вспомогательные конструкции и утверждения.
Для исследования оператора H потребуется унитарный оператор
Z ?
2
3
2
2
? def
l2 (?0 )dk,
U : l (Z ) ? l (?0 ) ? L (?0 ) =
??0
T 3/2 X
? ? l2 (Z3 ) 7? (U ?)(n, k) = ?(n,
b k) =
e?iT (?,k) ?(n + T ?)?0 Ч?? ,
0
2?
3
??Z
где ?0 = {0, 1, . . . , T ? 1}3 и ??0 = [0, 2?/T )3 ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим HV = H0 + V(n). Оператор U HV U ?1 задается семейством операторов HV (k) = H0 (k) + V, действующих в l2 (?0 ), где k = (k1 , k2 , k3 ) ? ??0 квазиимпульс, а оператор H0 (k) имеет тот же вид, что и оператор H0 , но с использованием свойства блоховости
?(n
b + T n0 , k) = eiT (n0 ,k) ?(n,
b k)
в случае nj ± 1 6? {0, . . . , T ? 1}, j = 1, 2, 3. При этом говорят, что оператор HV разложен
R?
в прямом интеграле пространств ?? l2 (?0 )dk .
0
Для исследования оператора H потребуется также унитарный оператор
Z ?
2
3
2
2
? def
l2 (?)dkk ,
Uk : l (Z ) ? l (?) ? L (? ) =
??
T X ?iT (µ,kk )
?? ? l2 (Z3 ) 7? (Uk ?)(n, kk ) = ??(n, kk ) =
e
?(n + T (µ, 0))?Ч?? ,
2?
2
µ?Z
где ? = {0, 1, . . . , T ? 1}2 Ч Z, ?? = [0, 2?/T )2 , kk = (k1 , k2 ). Свойство блоховости здесь имеет
вид
??(n + T (n0k , 0), kk ) = eiT (n0k ,kk ) ??(n, kk ).
R?
Оба оператора HV и H могут быть разложены в прямом интеграле пространств ?? l2 (?)dkk
в семейства операторов HV (kk ) и H(kk ).
Пусть ?0 = ?m0 (k0 ), где k0 = (k10 , k20 , k30 ) невырожденное собственное значение оператора HV (k0 ), отвечающее нормированному собственному вектору ?m0 (n, k0 ). В дальнейшем
предполагается, что
??m0 (k0 )/?k3 = 0, ? 2 ?m0 (k0 )/?k32 6= 0.
10
Уравнение ??m0 (k)/?k3 = 0 задает в окрестности точки k0 поверхность, описываемую ана(0)
(0)
литической ункцией k3 = k3 (kk ), где kk принадлежит некоторой окрестности точки
k0k = (k10 , k20 ).
Уравнение ?m0 (k) = ?, рассматриваемое относительно k3 , имеет для kk из окрестности
точки k0k ровно два решения k3j = k3j (kk , ?), j = 1, 2, аналитически зависящие от kk , ? там,
(0)
где k31 6= k32 , и сливающиеся, если k = k0 . Положим ?j = k3j ? k3 (kk ), j = 1, 2.
В џ 11 рассмотрено уравнение ЛиппманаШвингера в l2 (Z3 ), отвечающее оператору H, имеющее вид
X
?(n) = ?m0 (n, k) ? ?
(0.15)
GV (n, n? , ? + i0)W(n? )?(n? ),
n? ?Z3
где GV (n, n? , ?) ункция рина оператора HV в l2 (Z3 ), ? = ?m0 (k) принадлежит внутренности
одной из зон (промежутков, образующих спектр оператора H), причем выбираем k3 = k31
(см. выше). Положим
2?
def X
?per (kk ) =
?(kk +
µ).
T
2
µ?Z
Применим к (0.15) оператор Uk , тогда уравнение ЛиппманаШвингера в ячейке ? примет вид
??(n, k?k ) =
X
2?
?m0 (n, k)?per (kk ? k?k ) ? ?
GV (n, n? , k?k , ? + i0)W(n? )??(n? , k?k ),
T
?
(0.16)
n ??
где GV (n, n? , kk , ?) ункция рина оператора HV (kk ).
В дальнейшем будем предполагать, что
?1 = A?,
(0.17)
A = const 6= 0.
Л е м м а 11.1. Предположим, что выполнено (0.17). Тогда для k?k из некоторой окрестности точки k0k и достаточно малых ? существует единственное решение уравнения ЛиппманаШвингера в ячейке ? (0.16) вида
"
#
(0)
iA? 2 ?m0 (kk , k3 )/?k32
2?
(0)
??(n, k?k ) =
?m0 (n, (kk , k3 ))
+ O(?) ?per (kk ? k?k ),
(0)
T
iA? 2 ?m (kk , k )/?k2 ? W0
0
где
3
3
(0)
(0) W0 = T ?m0 (n, (kk , k3 )), W(n)?m0 (n, (kk , k3 )) ,
p
а величина W(n)O(?) аналитически зависит от kk , ? как l2 (?)-значная ункция и удовлетворяет оценке
p
k W(n)O(?)k 6 C?, C = const.
В џ 12 найдена асимптотическая ормула для решения исходного уравнения Липпмана
Швингера (0.15), результат отражен в следующей лемме.
Л е м м а 12.1 В условиях леммы 11.1 имеем равенства
?(n) = a+ ?m0 (n, (kk , k31 )) + ?+ (n) + O(?),
n3 > 0,
?(n) = ?m0 (n, (kk , k31 )) + a? ?m0 (n, (kk , k32 )) + ?? (n) + O(?),
где
n3 < 0,
(0) i??m0 (kk , k31 )/?k3
iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32
+ O(?),
=
a+ =
(0)
2
i??m0 (kk , k31 )/?k3 ? ?W0
iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k3 ? W0
W0
?W0
a? =
+ O(?),
=
(0)
i??m0 kk , k31 /?k3 ? ?W0
iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 ? W0
11
а ункции ?± (n) = ?± (n, k) удовлетворяют неравенству (10.1) и аналитически зависят от k
как l2 (?± )-значные ункции, где ?+ = ? ? {n3 > 0}, ?? = ? ? {n3 < 0}.
Также в этом параграе описана картина рассеяния вблизи точки экстремума по третьей
координате квазиимпульса собственного значения оператора Шрјдингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы
на потенциальный барьер ?W. Получены следующие простые ормулы для вероятностей прохождения P+ и отражения P? :
(0) A2 (? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 )2
(??m0 (kk , k31 )/?k3 )2
+ O(?),
P+ = |a+ | =
+
O(?)
=
(0)
(??m0 (kk , k31 )/?k3 )2 + ?2 W20
A2 (? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 )2 + W20
2
P? = |a? |2 =
W20
(0) A2 (? 2 ?m0 kk , k3
/?k32 )2 + W20
+ O(?) =
?2 W20
+ O(?).
(??m0 (kk , k31 )/?k3 )2 + ?2 W20
Автор выражает глубокую признательность д. .- м. н. Юрию Павловичу Чубурину за постановку задачи, руководство и всестороннюю помощь в ходе исследований.
џ 1. Предварительные сведения
Первые шесть параграов посвящены изучению ункции рина оператора H0 , действующего в l2 (G), где
G = (Z Ч {0}) ? ({0} Ч Z),
следующим образом:
(H0 ?)(0, 0) = ?(1, 0) + ?(?1, 0) + ?(0, 1) + ?(0, ?1),
(H0 ?)(n, 0) = ?(n + 1, 0) + ?(n ? 1, 0),
(H0 ?)(0, m) = ?(0, m + 1) + ?(0, m ? 1),
n 6= 0,
m 6= 0.
Оператор H0 является оператором энергии (гамильтонианом) электрона вблизи пересечения
двух квантовых проволок. Кроме того, в этих параграах исследуются квазиуровни и рассеяние для двух разновидностей возмущенного оператора.
В данном параграе приведены определения и вспомогательные утверждения, наиболее
часто встречаемые в работе.
Через D(A) обозначим область определения оператора A.
О п р е д е л е н и е 1.1 (см. [17, с. 130?). Пусть оператор A, действующий в гильбертовом
пространстве, самосопряжен. Оператор C, такой, что D(A) ? D(C), называется относительно
компактным по отношению к A тогда и только тогда, когда оператор C(A + i)?1 компактен.
Т е о р е м а 1.1 (см. [17, с. 130?). Пусть A амосопряженный оператор, и пусть C его
относительно компактное возмущение. Тогда ?ess (A) = ?ess (A + C).
О п р е д е л е н и е 1.2 (см. [24, с. 140?). Существенным спектром самосопряженного оператора A в гильбертовом пространстве H называется множество, состоящее из неизолированных
точек спектра и собственных значений бесконечной кратности.
Т е о р е м а 1.2 (см. [15, с. 224?, аналитическая теорема Фредгольма). Пусть D открытое связное подмножество в C. Пусть A : D ? L(H) аналитическая операторнозначная
ункция, такая, что A(z) компактный оператор для каждого z ? D . Тогда либо
a) [I ? A(z)]?1 не существует ни для какого z ? D,
либо
b) [I ? A(z)]?1 существует для всех z ? D \ S, где S дискретное подмножество в D
(то есть множество, не имеющее предельных точек в D ). В этом случае операторнозначная
ункция [I ? A(z)]?1 мероморна в D, аналитична в D \ S, ее вычеты в полюсах операторы
конечного ранга, и если z ? S, то уравнение A(z)? = ? имеет ненулевое решение в H.
12
n.
Обозначим множество всех наборов из n неотрицательных чисел ? = h?1 , . . . , ?n i через I+
О п р е д е л е н и е 1.3 (см. [15, с. 152?). Множество быстро убывающих ункций S(Rn ) есть
множество бесконечно диеренцируемых комплекснозначных ункций ?(x) на Rn , для коn
торых при всех ?, ? ? I+
k?k?,? = sup |x? D ? ?(x)| < ?.
x?Rn
Т е о р е м а 1.3 (см. [16, с. 49?). Пусть ункция P : Rn ? R принадлежит C ? (Rn )
и u ? S(Rn ) такая ункция, что u
b имеет компактный носитель. Пусть Z открытое
множество, содержащее компактное множество {grad P (k)|k ? supp u?}. Положим
Z
?n/2
ut (x) = (2?)
exp[i(xk ? tP (k))]b
u(k)dk.
Тогда для любого m существует константа c, зависящая от m, u и Z , такая, что
|ut (x)| 6 c(1 + |x| + |t|)?m
для всех x, t, для которых x/t не лежит в Z .
џ 2. Спектр и резольвента невозмущенного оператора для квантовых проволок
В этом параграе найдены существенный и дискретный спектры оператора H0 , а также
вид резольвенты этого оператора.
Введем оператор F : l2 (G) ? L2 [??, ?] следующей ормулой:
1
b
(F ?)(x) = ?(x)
=?
?(0, 0) + ?(1, 0)e2ix + ?(?1, 0)e?2ix + ?(2, 0)e4ix + ?(?2, 0)e?4ix +
2?
+ ?(3, 0)e6ix + ?(?3, 0)e?6ix + . . . + ?(0, 1)eix + ?(0, ?1)e?ix + ?(0, 2)e3ix + ?(0, ?2)e?3ix +
+ ?(0, 3)e5ix + ?(0, ?3)e?5ix + . . . ,
или
b
?(x)
=
где
a±(2n+1) = ?(0, ±(n + 1)),
+?
X
einx
an ? ,
2?
n=??
a±2n = ?(±n, 0),
(2.1)
n = 0, 1, 2, . . . .
Л е м м а 2.1. Оператор F унитарен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что
b L2 [??,?] = k?kl2 (G)
k?k
? +?
для всех ? ? l2 (G). Функции einx / 2? n=?? образуют ортонормированный базис в L2 [??, ?].
В силу равенства Парсеваля
b 22
k?k
L [??,?] =
+? +?
+? X
+?
eimx einx 2
X
X
X
b einx 2
?
?
?
,
?,
a
|an |2 = k?k2l2 (G) .
=
=
m
2?
2?
2?
n=??
n=?? m=??
n=??
Далее, отображение F сюръективно. Действительно, для каждого ?b ? L2 [??, ?] найдется
прообраз ? ? l2 (G), определенный с помощью равенства (2.1).
Т е о р е м а 2.1. Существенный спектр оператора H0 совпадает с отрезком [?2, 2].
13
b 0 = F H0 F ?1 . Тогда для каждой ункции ?b ? L2 [??, ?]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим H
имеем
1 b
b
b0 ?(x)
H
= F H0 F ?1 ?(x)
= F H0 ?(x) = ?
?(1, 0) + ?(?1, 0) + ?(0, 1) + ?(0, ?1) +
2?
+ ?(0, 0) + ?(2, 0) e2ix + ?(?2, 0) + ?(0, 0) e?2ix + ?(1, 0) + ?(3, 0) e4ix +
+ ?(?3, 0) + ?(?1, 0) e?4ix + ?(2, 0) + ?(4, 0) e6ix + ?(?4, 0) + ?(?2, 0) e?6ix + . . . +
+ ?(0, 0) + ?(0, 2) eix + ?(0, ?2) + ?(0, 0) e?ix + ?(0, 1) + ?(0, 3) e3ix +
+ ?(0, ?3) + ?(0, ?1) e?3ix + ?(0, 2) + ?(0, 4) e5ix + ?(0, ?4) + ?(0, ?2) e?5ix + . . . =
1 2ix
=?
e
?(0, 0) + ?(1, 0)e2ix + ?(?1, 0)e?2ix + ?(2, 0)e4ix + ?(?2, 0)e?4ix +
2?
+ ?(3, 0)e6ix + ?(?3, 0)e?6ix + . . . + e?2ix ?(0, 0) + ?(1, 0)e2ix + ?(?1, 0)e?2ix +
+ ?(2, 0)e4ix + ?(?2, 0)e?4ix + ?(3, 0)e6ix + ?(?3, 0)e?6ix + . . . + e2ix ?(0, 1)eix + ?(0, ?1)e?ix +
+ ?(0, 2)e3ix + ?(0, ?2)e?3ix + ?(0, 3)e5ix + ?(0, ?3)e?5ix + . . . +
+ e?2ix ?(0, 1)eix + ?(0, ?1)e?ix + ?(0, 2)e3ix + ?(0, ?2)e?3ix + ?(0, 3)e5ix + ?(0, ?3)e?5ix + . . . +
+ ?(0, 1) + ?(0, ?1) + ?(0, 0)eix + ?(0, 0)e?ix ? ?(0, ?1)eix ? ?(0, 1)e?ix =
1
b
= 2 cos 2x · ?(x)
+?
?(0, 1) + ?(0, ?1) + ?(0, 0)eix + ?(0, 0)e?ix ? ?(0, ?1)eix ? ?(0, 1)e?ix .
2?
b
b
b0 = A + B, где A?(x)
Следовательно, H
= 2 cos 2x ?(x)
и
1
b
B ?(x)
=?
?(0, 1) + ?(0, ?1) + ?(0, 0)eix + ?(0, 0)e?ix ? ?(0, ?1)eix ? ?(0, 1)e?ix =
2?
Z +?
1
b
=
?(t)
e?it + eit + e?ix + eix ? eit eix ? e?it e?ix dt =
2? ??
Z
1 +? b
=
?(t) (cos t + cos x ? cos(t + x)) dt.
? ??
Оператор B является конечномерным и, следовательно, компактным. В силу унитарной эквиb 0 и теоремы об относительно компактных возмущениях (см. теовалентности операторов H0 и H
рему 1.1) имеем
b0 ) = ?ess (A) = ?(A) = [?2, 2].
?ess (H0 ) = ?ess (H
Л е м м а 2.2. Из ограниченности и самосопряженности операторов A и B следуют те же
свойства для оператора H0 .
Заметим, что ункция
g(?) = ?/2 ?
q
2
?/2 ?1
является обратной к ункции Жуковского w = (z + z ?1 )/2 для z = ?/2. иманова поверхность ? ункции g двулистна, причем листы склеиваются вдоль интервала (?2, 2), а точки ±2
являются точками ветвления.
Введем в рассмотрение оператор H01 , действующий в l2 (Z) по ормуле
(H01 ?)(n) = ?(n + 1) + ?(n ? 1),
14
n ? Z.
Известно (см. [15?), что ?(H01 ) = [?2, 2]. Ядро G01 (n, m, ?) резольвенты R01 (?) = (H01 ??)?1
оператора H01 имеет вид (см. [25?)
1
G01 (n, m, ?) = G01 (n ? m, ?) = ? ?
?2 ? 4
??
?
?2 ? 4
2
|n?m|
= ??
1
?2
?4
g|n?m| (?/2) . (2.2)
Функция G01 аналитически продолжается по ? на двулистную риманову поверхность ?; при
этом на первом листе G01 экспоненциально убывает при |n ? m| ? ? и является на нем ядром
резольвенты.
Для произвольной ункции ?(n, m), определенной на G, будем пользоваться обозначениями
f (?) = f (?, ?) = (R01 (?)?) (1) + (R01 (?)?) (?1),
?1 (n) = ?(n, 0),
?2 (m) = ?(0, m),
n, m ? Z,
(2.3)
при этом ?1 (0) = ?2 (0).
Л е м м а 2.3. езольвента R0 (?) оператора H0 имеет вид
?
f (?2 ) ? f (?1 )f (?)
?
?
(R01 (?)?1 ) (n) ?
(R01 (?)?) (n),
?
?
?
1 ? f 2 (?)
?
?
n ? Z, m = 0,
R0 (?)?(n, m) =
f
(?
)
?
f
(?
)f
(?)
?
1
2
?
(R01 (?)?2 ) (m) ?
(R01 (?)?) (m),
?
?
2 (?)
?
1
?
f
?
?
n = 0, m ? Z.
Д о к а з а т е л ь с т в о. езольвенту R0 (?) ищем, решая уравнение
(H0 ? ?)? = ?,
? ? l2 (G)
(2.4)
относительно ? для ? 6? [?2, 2] = ?ess (H0 ) (см. теорему 2.1). С учетом (0.1) уравнение (2.4)
можно переписать в виде системы
?
? ?(n + 1, 0) + ?(n ? 1, 0) ? ??(n, 0) = ?(n, 0), n 6= 0,
?(0, m + 1) + ?(0, m ? 1) ? ??(0, m) = ?(0, m), m 6= 0,
(2.5)
?
?(1, 0) + ?(?1, 0) + ?(0, 1) + ?(0, ?1) ? ??(0, 0) = ?(0, 0).
Система (2.5) эквивалентна системе
(
n ? Z,
(H01 ? ?)?1 (n) = ?1 (n) ? (?2 (1) + ?2 (?1))?(n),
(H01 ? ?)?2 (m) = ?2 (m) ? (?1 (1) + ?1 (?1))?(m), m ? Z,
(2.6)
условием ?1 (0) = ?2 (0). Докажем, что если ? ? l2 (G) (откуда ?1 (0) = ?2 (0)), то данное
условие выполняется автоматически. Действительно, при n = m = 0 из (2.6) получаем
?1 (1) + ?1 (?1) ? ??1 (0) = ?1 (0) ? (?2 (1) + ?2 (?1)) ,
?2 (1) + ?2 (?1) ? ??2 (0) = ?2 (0) ? (?1 (1) + ?1 (?1)) .
Отсюда в силу равенства ?1 (0) = ?2 (0) имеем ? (?1 (0) ? ?2 (0)) = 0 и ?1 (0) = ?2 (0).
Подействовав на обе части каждого из уравнений системы (2.6) оператором R01 (?), получим
систему
(
?1 (n) = (R01 (?)?1 ) (n) ? (?2 (1) + ?2 (?1)) (R01 (?)?) (n),
n ? Z,
(2.7)
?2 (m) = (R01 (?)?2 ) (m) ? (?1 (1) + ?1 (?1)) (R01 (?)?) (m), m ? Z.
Из (2.7) находим линейную систему относительно сумм ?1 (1) + ?1 (?1) и ?2 (1) + ?2 (?1) :
f (?1 )
?1 (1) + ?1 (?1)
1
f (?)
.
=
·
f (?2 )
?2 (1) + ?2 (?1)
f (?)
1
15
Если d(?) = 1 ? f 2 (?, ?) 6= 0, то по ормулам Крамера
f (?1 ) ? f (?2 )f (?)
,
1 ? f 2 (?)
f (?2 ) ? f (?1 )f (?)
.
?2 (1) + ?2 (?1) =
1 ? f 2 (?)
(2.8)
?1 (1) + ?1 (?1) =
(2.9)
(Если d(?) = 0, то ?j (1) + ?j (?1), j = 1, 2, не определяются однозначно по ?1 , ?2 и, следовательно, резольвента R0 (?) не существует.) Из (2.7)(2.9) следует, что R0 (?) имеет вид,
указанный в ормулировке леммы.
?
З а м е ч а н и е 1. Дискретный спектр оператора H0 состоит из двух собственных значений ±4/ 3
кратности единица. Действительно, резольвента оператора H0 , как видно из доказательства леммы 2.3,
вне существенного спектра имеет полюсы в таких точках ?, в которых
1 ? f 2 (?, ?) = 0.
(2.10)
?
X ? ? ?2 ? 4 |1?m|
f (?, ?) = ? ?
?(m) ?
2
?2 ? 4 m?Z
?
X ? ? ?2 ? 4 |?1?m|
?
1
?(m) = 1 ? ?
.
??
2
2
2
? ? 4 m?Z
? ?4
(2.11)
В силу (2.2), (2.3)
1
Из (2.10), (2.11) получаем уравнения
?
??
= 0,
2
? ?4
?
= ?2.
??
2
? ?4
Первое из них имеет корень ? = 0. Непосредственно проверяется, что для данного ? не существует
?
собственных ункций оператора H0 в классе l2 (G). Второе уравнение имеет два корня ?± = ±4/ 3.
Нетрудно проверить, что ?± являются собственными значениями кратности единица соответствую?
щими собственными ункциями ?± (n, m) = (1/ 3)|n|+|m| .
џ 3. Квазиуровни слабо возмущенного оператора для квантовых проволок
В данном параграе доказано, что в окрестности нуля для малых ? нет ненулевых квазиуровней возмущенного оператора H? (это интересно тем, что возмущение ?V оставляет резонанс
? = 0 оператора H0 неподвижным). Кроме того, найден критерий существования квазиуровня
оператора H? .
ассмотрим оператор H? = H0 +?V с малым параметром ? > 0, где V оператор умножения
на вещественную ункцию V(n, m) 6= 0, удовлетворяющую условиям
|V(n, 0)| 6 Ce??|n| ,
|V(0, m)| 6 Ce??|m| ,
n, m ? Z,
C = const.
(3.1)
Уравнение Шрјдингера (H0 + ?V)? = ?? , рассматриваемое в классе l2 (G), перепишем для
? 6? ?(H0 ) в виде
? = ??R0 (?)V?.
(3.2)
?
?
p
? p
Введем обозначение
p V = |V|sign V (только для V ), тогда V = V |V|. Сделаем в (3.2)
замену, полагая ? = |V|?, тогда (3.2) примет вид
p
?
? = ?? |V|R0 (?) V?.
(3.3)
p
?
Операторнозначная ункция |V|R0 (?) V аналитически продолжается в достаточно малую окрестность отрезка [?2, 2] на каждом из листов римановой поверхности ? своей ункцией
рина (кроме точек полюса), причем принимает значения в множестве операторов ильберта
Шмидта. Этоp
следует из p
вида резольвенты оператора H0 (см. лемму 2.3) и аналогичного результата для |Vj |R01 (?) Vj , j = 1, 2 (см. [25?).
16
Уравнение (3.3) будем решать в классе l2 (G). Сделанная замена позволяет находить не только собственные значения (в этом случае ? ? l2 (G) и тем более ? ? l2 (G)), но и резонансы
(см. ниже), когда ?,p
вообще говоря,
экспоненциально возрастает.
?
? При этом ? не должно совпадать с полюсами |V|R0 (?) V, то есть с точками 0 и ±4/ 3 (см.
p замечание
? 1). Особенности в точках ? = ±2 ормально присутствуют в выражении для |V|R0 (?) V, поскольку
являются особенностями ядра R01 (?) (см. лемму 2.3), но, как нетрудно убедиться, являются
устранимыми.
О п р е д е л е н и е 3.1 (ср. [26?). Число ?, принадлежащее второму (так называемому ѕнеизическомуї) листу римановой поверхности ? , будем называть резонансом оператора H? , если
существует ненулевое решение ? ? l2 (G) уравнения (3.3).
Если решение существует на первом листе, причем ? 6? [?2, 2], то ? является собственным
значением.
Определение резонанса можно сормулировать по-другому. Обозначим через R? (?) резольвенту оператора H? . В силу резольвентного тождества имеем
p
? ?1 p
? p
?
1 + ? |V|R0 (?) V
|V|R0 (?) V = |V|R? (?) V,
(3.4)
откуда
p
p
? ?1
?
= 1 ? ? |V|R? (?) V.
(3.5)
1 + ? |V|R0 (?) V
p
?
Вследствие компактности оператора ? |V|R0 (?) V и аналитической теоремы Фредгольма
(см. теорему 1.2) операторнозначная ункция
p
? ?1
1 + ? |V|R0 (?) V
мероморна по ? и имеет полюс в точке ?0 тогда и только тогда, когда
p
? dim ker 1 + ? |V|R0 (?) V > 0.
?
Отсюда в силу (3.5) следует, что ?p
6? {0, ±4/ ?3} является резонансом тогда и только тогда, когда операторнозначная ункция ? |V|R? (?) V , или, что то же, ункция рина оператора H? ,
имеет полюс на втором листе ? .
О п р е д е л е н и е 3.2 (см. [27?). Число ? ? ? называется квазиуровнем оператора H? , если ?
является резонансом или собственным значением оператора H? .
В частности, ? = 0 является резонансом оператора H0 (если считать, что точки отрезка
[?2, 2] принадлежат обоим листам) см. замечание
1.
p
Заметим, что ункция ? из равенства |V|? = ? восстанавливается по известной унк?
ции ?, в том числе и для n, m таких, что V(n, m) = 0, по ормуле ? = ??R0 (?) V?.
Из
? = ??R0 (?)V?, которое имеет смысл и для элемента ? 6? l2 (G) такого, что
p равенства
|V|? ? l2 (G), следует равенство (H0 + ?V)? = ??. Предположим, что резонанс ? находится на втором листе в достаточно малой окрестности отрезка [?2, 2]. При помощи леммы
2.3 и оценок ункции рина G0 , подобных сделанным в [25?, нетрудно доказать неравенство
|?(n, m)| 6 Ce?(|n|+|m|) , где C и ? положительные константы, причем при уменьшении окрестности [?2, 2] число ? становится как угодно малым. Если ? собственное значение, то оценка
принимает вид |?(n, m)| 6 Ce??(|n|+|m|) , где C, ? > 0.
p
Пусть ? находится на втором листе. Для того чтобы выполнялось условие |V|? ? l2 (G),
естественно потребовать выполнение неравенства ? < ?, где ? взято из (3.1). При этом ?
должно находиться достаточно близко к отрезку [?2, 2], в частности, величина Im ? должна
быть малой. Это соответствует изическим требованиям, так как время жизни резонансного
состояния должно быть достаточно велико, а оно, как известно из изических соображений
(см. главу 13 [28?), обратно пропорционально |Im ?|.
Положим R?Vj (?) = (H01 + ?Vj ? ?)?1 , j = 1, 2.
17
Л е м м а 3.1. Точка ? ? ? , такая, что ? 6= ?V1 (0) и 1 6= f 2 (?, ?), является квазиуровнем
оператора H? для достаточно малых ? тогда и только тогда, когда
p
1 ? f 2 (?, ?) + ?f (?, V1 ?1 )f (?, ?) Ч
(3.6)
p
p
p
Ч 1 ? f 2 (?, ?) + ?f (?, V2 ?2 )f (?, ?) = ?2 f (?, V1 ?1 )f (?, V2 ?2 ),
где ?j = ?j (n, ?) =
p
|Vj |R?Vj (?)?(n), j = 1, 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (3.3) запишем с помощью леммы 2.3 в виде системы
?
?
?
p
?
?
f ( V2 ?2 ) ? f ( V1 ?1 )f (?)
?
?
?
(n)
=
??
|V
|
R
(?)
V
?
?
R
(?)?
(n),
n ? Z,
1
01
1 1
01
? 1
1 ? f 2 (?)
?
(3.7)
?
p
?
?
V
?
)
?
f
(
V
?
)f
(?)
f
(
1
1
2
2
?
? ?2 (m) = ?? |V2 | R01 (?) V2 ?2 ?
R01 (?)? (m), m ? Z,
?
1 ? f 2 (?)
или для достаточно малых ? в эквивалентной орме
?
?
?
p
p
?
f ( V2 ?2 ) ? f ( V1 ?1 )f (?)
?
?
?
(1 + ? |V1 |R01 (?) V1 )?1 ( |V1 |R01 (?)?) (n), n ? Z,
? ?1 (n) = ?
1 ? f 2 (?)
?
?
p
p
?
?
f ( V1 ?1 ) ? f ( V2 ?2 )f (?)
?
?
(1 + ? |V2 |R01 (?) V2 )?1 ( |V2 |R01 (?)?) (m), m ? Z.
? ?2 (m) = ?
2
1 ? f (?)
При этом
Докажем,
обратно к
?
?
?
?
(3.8)
от решения ?1 , ?2 системы (3.8) требуется выполнение равенства ?1 (0) = ?2 (0).
что в условиях леммы оно должно выполняться автоматически. После перехода
ункциям ?1 , ?2 из (3.7) получаем
f (V2 ?2 ) ? f (V1 ?1 )f (?)
R01 (?)?(n), n ? Z,
1 ? f 2 (?)
?
f (V1 ?1 ) ? f (V2 ?2 )f (?)
?
? ?2 (m) = ??R01 (?)V2 ?2 (m) + ?
R01 (?)?(m), m ? Z,
1 ? f 2 (?)
?1 (n) = ??R01 (?)V1 ?1 (n) + ?
откуда
(
где
x = ??
?1 (1) + ?1 (?1) = ??f (V1 ?1 ) ? yf (?),
?2 (1) + ?2 (?1) = ??f (V2 ?2 ) ? xf (?),
f (V1 ?1 ) ? f (V2 ?2 )f (?)
,
1 ? f 2 (?)
y = ??
f (V2 ?2 ) ? f (V1 ?1 )f (?)
1 ? f 2 (?)
удовлетворяют системе (см. доказательство леммы 2.3)
(
x + f (?)y = ??f (V1 ?1 ),
f (?)x + y = ??f (V2 ?2 ).
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Из (3.10) и (3.12) получаем равенства
x = ?1 (1) + ?1 (?1),
y = ?2 (?1) + ?2 (?1).
(3.13)
Применяя теперь к уравнениям (3.9) оператор H01 ? ? и пользуясь (3.11) и (3.13), приходим
для n = m = 0 к системе
(
?1 (1) + ?1 (?1) + ?V1 (0)?1 (0) ? ??1 (0) = ??2 (1) ? ?2 (?1),
?2 (1) + ?2 (?1) + ?V2 (0)?2 (0) ? ??2 (0) = ??1 (1) ? ?1 (?1).
Вследствие равенства V1 (0) = V2 (0) получаем
(?V1 (0) ? ?)?1 (0) = (?V1 (0) ? ?)?2 (0).
18
В силу условия леммы ?1 (0) = ?2 (0), откуда ?1 (0) = ?2 (0).
Вследствие (3.4) систему (3.8) можно переписать в виде
?
?
?
?
f ( V2 ?2 ) ? f ( V1 ?1 )f (?) p
?
?
|V
|R
(?)?
(n), n ? Z,
1
?V
? ?1 (n) = ?
1
1 ? f 2 (?)
?
?
?
f ( V1 ?1 ) ? f ( V2 ?2 )f (?) p
?
?
|V2 |R?V2 (?)? (m), m ? Z.
? ?2 (m) = ?
2
1 ? f (?)
p
Положим ?j (n) = |Vj |R?Vj (?)?(n), j = 1, 2. Из (3.14) имеем
?j = Cj ?j ,
j = 1, 2,
(3.14)
(3.15)
p
где Cj константы. Заметим, что при малых ? векторы ?j близки к |Vj |R01 (?)? и потому
отличны от нуля. Из (3.14), (3.15) получаем следующую систему относительно C1 , C2 :
?
?
?
?
?
? C1 = 1 ? f 2 (?) C2 f ( V2 ?2 ) ? C1 f ( V1 ?1 )f (?) ,
(3.16)
?
?
?
?
? C2 =
C
f
(
V
?
)
?
C
f
(
V
?
)f
(?)
.
1
1 1
2
2 2
1 ? f 2 (?)
В условиях леммы ненулевое решение уравнения (3.3) существует тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение (C1 , C2 ) системы (3.16), то есть когда определитель систе
мы (3.16) равен нулю, что и означает выполнение (3.6).
О п р е д е л е н и е 3.3. Назовем геометрической кратностью квазиуровня
p
?
dim ker(1 + ? |V|R0 (?) V).
З а м е ч а н и е 2. В условиях леммы 3.1 геометрическая кратность квазиуровня совпадает с размерностью пространства решений системы (3.16) и равна единице.
В дальнейшем (до конца џ 3) будем предполагать, что V1 = V2 = W, тогда ?1 = ?2 = ?.
Т е о р е м а 3.1. Оператор H? для всех достаточно малых ? не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f 2 (?, ?) 6= 1. Предположим вначале, что W (0) 6= 0. Из (3.15)
получаем (см. доказательство леммы 3.1), что необходимое для наличия квазиуровня равенство
?1 (0) = ?2 (0) выполнено тогда и только тогда, когда C1 ?(0) = C2 ?(0). Поскольку для ?, близких
к нулю, при ? ? 0
p
p
|W (0)|
6= 0,
?(0) = |W (0)| R?W (?)? (0) ?? ? ?
?2 ? 4
то C1 = C2 ?
= C. При этом C 6= 0 (иначе ? = 0 и квазиуровней нет). Следовательно, согласно (3.16), f ( W ?) 6= 0 и
?
?f ( W ?)
1=
(1 ? f (?)),
1 ? f 2 (?)
откуда получаем уравнение
?
?
2 ?2 ? 4 ? ?
?
1 + f (?) =
= ?f ( W ?),
?2 ? 4
которое при малых ? и ?, очевидно, не имеет решений.
ассмотрим случай W (0) = 0. Тогда ?1 (0) = ?2 (0) и условие ? 6= ?W (0) в ормулировке
леммы 3.1 накладывать не нужно. Из леммы 3.1 следует, что ? ? ? является квазиуровнем H? ,
если ? удовлетворяет одному из уравнений
?
?
1 ? f 2 (?, ?) + ?f (?, W ?)f (?, ?) = ±?f (?, W ?).
19
В случае знака ѕ+ї уравнение не имеет решений при малых ? и ? (см. выше). В случае знака ѕ?ї получаем уравнение
F (?, ?) = 0,
(3.17)
где
?
?
?
+ ?f ( W ?).
F (?, ?) = 1 ? f (?) + ?f ( W ?) = ?
?2 ? 4
2
Функция F (?,
??) является аналитической в окрестности точки (0, 0) ? C (для любого выбора
знака корня ?2 ? 4), причем
F (0, 0) = 0,
?F (0, 0)
1
= ± 6= 0.
??
2i
В силу теоремы о неявной ункции (м. [29?), для любого выбора знака корня для всех достаточно малых ? существует единственное решение ? = ?± (?) уравнения (3.17), причем ?± (?)
аналитически зависит от ?.
Перепишем уравнение (3.17) в виде
p
X
?
?
? = ?? ?2 ? 4f ( W ?) = ?
W ? (n),
(3.18)
q |1+n| + q |1?n|
n?Z
где
??
?
?2 ? 4
.
2
q = q(?) =
?
Явно выписывая разные знаки у корня ?2 ? 4, приведем необходимые в дальнейшем равенства:
?
?
? ? ?2 ? 4 ?
?
, (q ? (?))? = ? ?
q ? (?),
q (?) =
2
2
? ?4
?q ? (?)
?q ? (?)
??
?
?
(q (?)) = ? ±
,
+ 2
? ?4
(?2 ? 4) ?2 ? 4
(3.19)
?2
?
(q ? )(0) = (?i)? , (q ? )? (0) = ? (?i)? , (q ? )?? (0) = ? (?i)? ,
2i
4
?
2
i?
?
?2i + ? ±
+ O(?4 ), n = 0,
q |1+n| + q |1?n| =
4
? ?q |n| ,
n 6= 0.
Далее, преобразуем для малых ? и ? выражение
p
?
?
? ?1 p
( W ?)(n) = W 1 + ? |W |R0 (?) W
|W |R0 (?)? (n) =
= (W R0 (?)?)(n) ? ?(W R0 (?)W R0 (?)?)(n) + ?2 (W R0 (?)W R0 (?)W R0 (?)?)(n) + O(?3 ) =
W (n) |n| ?W (n) X |n?m|+|m|
q
W (m) ?
q ? 2
= ??
? ?4
?2 ? 4
m?Z
XX
?2 W (n)
?
?
q |n?k|+|k?m|+|m|W (k)W (m) + O(?3 ). (3.20)
(?2 ? 4) ?2 ? 4 k?Z m?Z
В силу (3.18) ? = O(?), тогда из (3.18)(3.20), а также из равенства W (0) = 0 получаем
следующее уравнение:
X
q |n|
?
|n?m|+|m|
? = ??
q W (n) ? ?
q
W (m) + O(?3 ).
? 2
2
?
?
4
? ?4
m?Z
n6=0
X
|n|
Очевидно, что оно не имеет решений, если ? = ?(?) 6? 0.
20
З а м е ч а н и е 3. Обычно квазиуровни возмущенного оператора возникают как сдвиги полюсов
резольвенты невозмущенного оператора под действием возмущения (см., например, [26?). Квазиуровнями (понимаемыми как полюса ункции рина) оператора H0 являются изолированные собственные
?
значения ? = ±4/ 3, поведение которых описывается обычной теорией возмущений, а также резонанс
? = 0. Таким образом, рассматриваемый в теореме 3.1 оператор имеет весьма необычное свойство: полюс в нуле ункции рина, несмотря на введение возмущающего потенциала, остается неподвижным.
џ 4. Уравнение ЛиппманаШвингера для слабо возмущенного оператора для
квантовых проволок
В этом параграе доказаны существование и единственность решения уравнения ЛиппманаШвингера, отвечающего оператору H? , для малого параметра ?, получены асимптотические
ормулы для данного решения.
Пусть переменные k и ? связаны соотношениями
p
cos k = ?/2, sin k = ? 1 ? (?/2)2 .
Кроме того, введем обозначения
V1 (n), m = 0,
V(n, m) =
V2 (m), n = 0,
?(n, m, ?) =
?1 (n, ?), m = 0,
?2 (m, ?), n = 0.
Пусть ?0 ? (?2, 2) и ?0 не является квазиуровнем оператора H01 . В некоторой окрестности ?0 рассмотрим уравнение Шрјдингера для оператора H? :
(H0 + ?V)? = ??,
? ? l2 (G).
Перепишем (4.1) в виде системы
(
((H01 ? ?)?1 ) (n, ?) = ??V1 (n)?1 (n, ?) ? (?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?))?(n),
(4.1)
n ? Z,
((H01 ? ?)?2 ) (m, ?) = ??V2 (m)?2 (m, ?) ? ?(?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?))?(m), m ? Z,
(4.2)
с условием ?1 (0, ?) = ?2 (0, ?). Заметим, что при n = m = 0 из (4.2) получаем
(
?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?) ? ??1 (0, ?) = ??V1 (0)?1 (0, ?) ? (?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?)),
?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?) ? ??2 (0, ?) = ??V2 (0)?2 (0, ?) ? (?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?)).
Откуда (? ? ?V1 (0))?1 (0, ?) = (? ? ?V2 (0))?2 (0, ?). Так как V1 (0) = V2 (0), то для ? 6= ?V1 (0)
получаем равенство ?1 (0, ?) = ?2 (0, ?). Таким образом, данное условие для решений уравнения (4.2) выполняется автоматически.
ассмотрим уравнение ЛиппманаШвингера для оператора H? с ѕналетающей волнойї,
распространяющейся вдоль Z Ч {0}:
(
?1 (n, ?) = eikn ? ?R01 (? + i0)V1 (n)?1 (n, ?) ? (?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?))R01 (? + i0)?(n), n ? Z,
?2 (m, ?) = ??R01 (? + i0)V2 (m)?2 (m, ?) ? (?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?))R01 (? + i0)?(m),
m?Z
(4.3)
(данное уравнение позволяет описать картину рассеяния для налетающего электрона (см. ниже)). В дальнейшем опускаем +i0; данному выбору знака отвечает k ? (??, 0). Действуя на
каждое уравнение системы (4.3) оператором (H01 ? ?) и учитывая, что (H01 ? ?)eikn = 0, получим, что решение уравнения ЛиппманаШвингера (4.3) является решением уравнения Шрјдингера (4.2), а значит, ?1 (0, ?) = ?2 (0, ?) для ? 6= ?V1 (0). Далее, из (4.3) видим, что величины
?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?) и ?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?) удовлетворяют линейной системе
(
[?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?)] + f (?)[?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?)] = 2 cos k ? ?f (V1 ?1 ),
f (?)[?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?)] + [?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?)] = ??f (V2 ?2 ).
21
По ормулам Крамера имеем
?1 (1, ?) + ?1 (?1, ?) =
2 cos k ? ?f (V1 ?1 ) + ?f (V2 ?2 )f (?)
,
1 ? f 2 (?)
?2 cos k · f (?) ? ?f (V2 ?2 ) + ?f (V1 ?1 )f (?)
.
1 ? f 2 (?)
Таким образом, окончательно уравнение ЛиппманаШвингера (4.3) принимает вид
?
?1 (n, ?) = eikn ? ?R01 (?)V1 (n)?1 (n, ?) +
?
?
?
?
?
2 cos k · f (?) + ?f (V2 ?2 ) ? ?f (V1 ?1 )f (?)
?
?
R01 (?)?(n), n ? Z,
+
?
1 ? f 2 (?)
(4.4)
?2 (m, ?) = ??R01 (?)V2 (m)?2 (m, ?) +
?
?
?
?
?
?
?2 cos k + ?f (V1 ?1 ) ? ?f (V2 ?2 )f (?)
?
?
R01 (?)?(m),
m ? Z.
+
1 ? f 2 (?)
p
?
?
=
|Vi |?
2 (для Vi принимаем
Перейдем
в
(4.4)
к
новым
неизвестным
ункциям
i
pi , i = 1,p
p
?
равенство Vi =
|Vi |signVi ). Домножив оба уравнения на |V1 | и |V2 | соответственно,
получим
?
p
p
?
?1 (n, ?) = |V1 |eikn ? ? |V1 |R01 (?) V1 ?1 (n, ?) +
?
?
?
?
?
?
?
p
?
2 cos k · f (?) + ?f ( V2 ?2 ) ? ?f ( V1 ?1 )f (?)
?
?
R01 (?)?(n), n ? Z,
? + |V1 |
1?? f 2 (?)
p
(4.5)
?
?2 (m, ?) = ?? |V2 |R01 (?) V2 ?2 (m, ?) +
?
?
?
?
?
?
?
p
?
? + |V2 | ?2 cos k + ?f ( V1 ?1 ) ? ?f ( V2 ?2 )f (?) R01 (?)?(m), m ? Z.
?
1 ? f 2 (?)
?2 (1, ?) + ?2 (?1, ?) =
Введем обозначения
V1 =
X
j?Z
V1 (j),
V2 =
X
j?Z
V2 (j).
Условие k = A?, наложенное в следующей теореме, означает, что для малых потенциалов рассматриваются малые импульсы (скорости) налетающих частиц; в этой ситуации малый
потенциал существенно меняет картину рассеяния.
Т е о р е м а 4.1. Предположим, что k = A? в случае знака ѕ+ї или k? = A? в случае
знака ѕ?ї, где k? = ?? ? k, A 6= 0 вещественная константа. Тогда для достаточно малых ? существует единственное решение ? ? l2 (G) модиицированного уравнения Липпмана
Швингера (4.5), имеющее вид
p
?1 (n, ?) = |V1 (n)|(±1)n+1 (1 + n ? |n|)Ai? + O(?2 ),
p
?2 (m, ?) = |V2 (m)|(±1)m+1 Ai? + O(?2 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем несложные преобразования:
?
p
p
p
f ( V1 ?1 )f (?)
? |V1 |R01 (?) V1 ?1 (n, ?) ? |V1 |
R01 (?)?(n) =
1 ? f 2 (?)
X
p
p
G01 (?, n ? j) V1 ?1 (j, ?) ?
= ? |V1 |
?
p
|V1 |
P
j?Z
?
(G01 (?, 1 ? j) + G01 (?, 1 + j)) V1 ?1 (j, ?) · 2G01 (?, 1)
j?Z
1 ? 4G201 (?, 1)
X
p
p
Ч G01 (?, n) = |V1 |
?G01 (?, n ? j) V1 (j) ?
j?Z
Ч
p
2G01 (?, 1)G01 (?, n)(G01 (?, 1 ? j) + G01 (?, 1 + j)) V1 (j)
?
?1 (j, ?).
1 ? 4G201 (?, 1)
22
Обозначим через Li = Li (?), i = 1, 2, оператор с ядром
p
p
li (?, n, j) = ? |Vi (n)|G01 (?, n ? j) Vi (j) ?
p
p
2 |Vi (n)|G01 (?, n)G01 (?, 1)
(G
(?,
1
?
j)
+
G
(?,
1
+
j))
?
Vi (j).
01
01
1 ? 4G201 (?, 1)
Легко убедиться, что в условиях теоремы ункции li (?, n, j) аналитичны по ?.
Систему (4.5) перепишем в виде
?
?
p
p
V2 ?2 )
2
cos
k
·
f
(?)
+
?f
(
?
ikn
? (1 ? ?L1 ) ?1 (n, ?) = |V1 |e + |V1 |
R01 (?)?(n), n ? Z,
?
2 (?)
1
?
f
?
p
?2 cos k + ?f ( V1 ?1 )
?
?
? (1 ? ?L2 ) ?2 (m, ?) = |V2 |
R01 (?)?(m),
m ? Z.
1 ? f 2 (?)
(4.6)
Положим
?1 (n, ?) = (1 ? ?L1 ) ?1 (n, ?),
n ? Z,
?2 (m, ?) = (1 ? ?L2 ) ?2 (m, ?),
m ? Z,
тогда из (4.6) имеем
?
?
p
p
?
2 cos k · f (?) + ?f ( V2 (1 ? ?L2 )?1 ?2 )
?
ikn
?
R01 (?)?(n), n ? Z,
? ?1 (n, ?) = |V1 |e + |V1 |
1 ? f 2 (?)
?
p
?
?2 cos k + ?f ( V1 (1 ? ?L1 )?1 ?1 )
?
?
R01 (?)?(m),
m ? Z.
? ?2 (m, ?) = |V2 |
1 ? f 2 (?)
Следовательно,
(
p
p
|V1 |eikn + C1 |V1 |eik|n| , n ? Z,
p
m ? Z,
?2 (m, k) = C2 |V2 |eik|m| ,
?1 (n, k) =
(4.7)
(4.8)
где C1 = C1 (k) и C2 = C2 (k) не зависят от n и m.
Несмотря на экспоненциальное возрастание G01 (?, n?j) при |n?j| ? ?, для малыхp
k ункции
p li (?, n, j), i = 1, 2, экспоненциально убывают за счет умножения слева и справа на |Vi (n)|
и Vi (j) соответственно, поэтому Li (?) определены и ограничены в l2 (Z). Обратные операторы
(1 ? ?Li (?))?1 , i = 1, 2, существуют для малых значений параметра ?, если k?Li (?)k < 1.
Далее, из (4.7), (4.8) получим
?
p
?
f V2 (1 ? ?L2 )?1 C2 |V2 |eik|m|
?
1
2 cos k · f (?)
1
?
?
·
+
·
,
? C1 = ?
2
2
1 ? f (?)
2i sin k
1 ? f (?)
2i sin k
p
p
?
?
|V1 |eikn + C1 |V1 |eik|n|
f V1 (1 ? ?L1 )?1
1
2 cos k
1
?
?
? C2 = ?
·
?
·
.
2
2
1 ? f (?)
2i sin k 1 ? f (?) 2i sin k
Заметим, что
f (V2 eik|m| ) =
X
1
(eik|1?j| + eik|1+j| )V2 (j)eik|j| =
2i sin k
j?Z
=
X
O(?)
V2
1
(eik(|1?j|+|j|) + eik(|1+j|+|j|))V2 (j) =
+
.
2i sin k
i sin k 2i sin k
j?Z
Далее, как нетрудно видеть
f
p
V1 (1 ? ?L1 )?1
p
|V1 |eikn = O(1),
p
p
(1 + C1 )V 1
O(?)
|V1 |eikn + C1 |V1 |eik|n| =
+
.
i sin k
2i sin k
L1
23
(4.9)
Таким образом, (4.9) можно переписать в виде
?C2 V 2
+ O(?2 ),
2
?(1 + C1 )V 1
+ O(?2 ).
C2 = iA? ?
2
C1 = ?1 + iA? ?
(4.10)
Получаем систему
?
?
? C1 + ?V 2 C2 = ?1 + iA? + O(?2 ),
2
?
? ?V 1 C + C = iA? ? ?V 1 + O(?2 ).
1
2
2
2
По ормулам Крамера легко получить
C1 = ?1 + iA? + O(?2 ),
C2 = iA? + O(?2 ),
откуда
?1 (n, ?) = ?1 (n, k) = (1 ? ?L1 )?1 ?1 (n, k) = ?1 (n, k) + O(?2 ) =
p
|V1 (n)|(1 + n ? |n|)Ai? + O(?2 ),
p
?2 (m, ?) = ?2 (m, k) = (1 ? ?L2 )?1 ?2 (n, k) = ?2 (n, k) + O(?2 ) = |V2 (m)|Ai? + O(?2 ).
Асимптотическая ормула для случая k = ???A? доказывается аналогично, использованием
равенства
eik? = (?1)? e?ik?? ,
где k? = A?.
џ 5. Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного оператора
В этом параграе описана картина рассеяния для оператора H? , выписаны коэициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические ормулы для этих коэициентов
в частном случае.
ассмотрим при t ? R нестационарное уравнение
i
??
= H01 ?,
?t
(5.1)
где ? = ?(n, t) с условием в нуле
?(n, 0) = ?0 (n),
?0 ? l2 (Z),
(5.2)
принадлежит классу C 1 (R, l2 (Z)) (C 1 (R, l2 (Z)) обозначает пространство непрерывно диеренцируемых на R ункций со значениями в l2 (Z)).
Введем преобразование Фурье F : l2 (Z) ? L2 [??, ?] ормулой
1 X
b
?(k)
= (F ?)(k) = ?
?(n)e?ikn .
2? n?Z
Л е м м а 5.1. ешение уравнения (5.1) с начальным условием (5.2) имеет вид
Z ?
1
?
?(n, t) =
?b0 (k)eink e?2it cos k dk.
2? ??
(5.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Подействовав преобразованием F на уравнение (5.1), получим
i
? ?b
b
= 2 cos k · ?,
?t
b t) ? L2 [??, ?]. Отсюда, с учетом (5.2), имеем ?(k,
b t) = ?b0 (k)e?2i cos k·t и, следовагде ?b = ?(k,
тельно, (5.3).
24
С л е д с т в и е 5.1. В силу самосопряженности оператора H01 (см., например, [15?)
k?(n, t)k = k?0 (n)k = k?b0 (t)k,
Введем обозначения
?1+ (n, k) = ??
?1? (n, k) = ??
X e?ik(n?j) ? eik(n?j)
2i sin k
j>n
X eik(n?j) ? e?ik(n?j)
2i sin k
j<n
t ? R.
V1 ?1 (j, ?),
V1 ?1 (j, ?),
2 cos k · f (?) + ?f (V2 ?2 ) ? ?f (V1 ?1 )f (?)
,
1 ? f 2 (?)
X e?ikj
C1 (k)
V1 ?1 (j, ?) +
.
A±
(k)
=
??
1
2i sin k
2i sin k
C1 (k) =
j?Z
Из первого уравнения (4.4) имеем
?1 (n, ?) = eikn ? ?
X eik|n?j|
j?Z
2i sin k
V1 (j)?1 (j, ?) + C1 (k)
??
или
?1 (n, ?) = eikn ? ?
X e?ik(n?j)
j?Z
2i sin k
j?Z
e?ik(n?j)
eik(n?j)
?
2i sin k
j>n
V1 (j)?1 (j, ?) + C1 (k)
eik|n|
,
2i sin k
V1 (j)?1 (j, ?)?
??
Отсюда
X
X eik(n?j)
eik|n|
= eikn ? ?
V1 (j)?1 (j, ?)?
2i sin k
2i sin k
X eik(n?j) ? e?ik(n?j)
j<n
2i sin k
V1 (j)?1 (j, ?) + C1 (k)
±ikn
?1 (n, ?) = eikn + A±
+ ?1± (n, k)
1 (k)e
eik|n|
.
2i sin k
(5.4)
(знаки ѕ+ї и ѕ?ї отвечают n > 0 и n 6 0 соответственно). ассуждая аналогично, получаем
±ikm
+ ?2± (m, k),
?2 (m, ?) = A±
2 (k)e
где
?2? (m, k) = ??
?2+ (m, k) = ??
X eik(m?j) ? e?ik(m?j)
V2 ?2 (j, ?),
2i sin k
j<m
X e?ik(m?j) ? eik(m?j)
V2 ?2 (j, ?),
2i sin k
j>m
?2 cos k + ?f (V1 ?1 ) ? ?f (V2 ?2 )f (?)
,
1 ? f 2 (?)
X e?ikj
C2 (k)
V2 ?2 (j, ?) +
.
A±
(k)
=
??
2
2i sin k
2i sin k
C2 (k) =
j?Z
Определим ункцию
? +
?1 (n, k),
?
?
?
? ? ? (n, k),
1
?(n, m, k) =
+
?
?
?
2 (m, k),
?
? ?
?2 (m, k),
25
n > 0, m = 0,
n 6 0, m = 0,
n = 0, m > 0,
n = 0, m 6 0.
(5.5)
Л е м м а 5.2. Функция ?(n, m, k) является l2(G)-значной аналитической ункцией в окрестности точки ?0 = 2 cos k0 , k0 ? [??, 0].
Д о к а з а т е л ь с т в о.
k?(n, m, k)k2l2 (G) =
X
(n,m)?G
+
X
m>0
|?(n, m, k)|2 =
|?2+ (m, k)|2 +
X
n>0
X
m60
|?1+ (n, k)|2 +
|?2? (m, k)|2 .
X
n60
|?1? (n, k)|2 +
В силу неравенства КошиБуняковского справедлива оценка
X ?2i sin[k(n ? j)]
X e?ik(n?j) ? eik(n?j)
|?1+ (n, k)| = ? ?
V1 ?1 (j, k) = ?
V1 ?1 (j, k) 6
2i sin k
2i sin k
j>n
j>n
1/2
1/2 X
X sin2 [k(n ? j)]
2
|V
(j)|
|?
(j,
k)|
.
6?
1
1
2
sin
k
j>n
j>n
В окрестности k0 6= 0, очевидно, справедливо
(5.6)
sin2 [k(n ? j)]
< C. В случае k0 = 0
sin2 k
sin2 [k(n ? j)]
k2 (n ? j)2
6
6 C ? (n2 + j 2 ).
2
2
sin k
sin k
Таким образом, из (5.6) имеем
|?1+ (n, k)| 6 C1
1/2
1/2
X
X
j 2 e??|j|
6
(n2 + j 2 )e??|j|
k?1 kl2 (Z) 6 C2
j>n
j>n
6 C2 e?
?|n|
2
X
j 2 e?
j>n
?|j|
2
1/2
= C3 e?
?|n|
2
.
Отсюда следуют экспоненциальное убывание ?1+ и равномерная сходимость в (комплексной)
окрестности точки ?0
k?1+ (n, k) ? (?1+ )M (n, k)kl2 (Z) ? 0,
M ? ?,
где (?1+ )M (n, k) = ?[?M,M ](n) · ?1+ (n, k), ?[?M,M ](n) характеристическая ункция отрезка
[?M, M ]. Аналогичные рассуждения справедливы и для ?1? (n, k), ?2+ (m, k), ?2? (m, k). СледоP ? ?|n|
P
|?(n, m, k)|2 6 C
e 2 . В силу (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса
вательно,
(n,m)?G
n<0
l2 (G)-значная ункция ?(n, m, ?) аналитична в окрестности точки ?0 .
Будем искать решение уравнения
??
= H? ?,
i
?t
где ? = ?(n, m, t) l2 (G)-значная ункция аргумента t, ? ? C 1 (R, l2 (G)), в виде
?(n, m, t) =
Z
?0 +?
C(?)?(n, m, ?)e?i?t d?,
(5.7)
?0 ??
где ? > 0 достаточно мало, C(?) ? C0? (?0 ? ?, ?0 + ?), ?(n, m, ?) решение уравнения
26
ЛиппманаШвингера (4.4). Используя (5.4), (5.5), перепишем (5.7) в виде
? Z
?0 +?
?
?
±
±
ikn
±ikn
?
C(?)
e
+
A
(k)e
+
?
(n,
k)
e?i?t d?, n ? Z, m = 0,
?
1
1
? ? ??
0
?(n, m, t) =
=
Z ?0 +?
?
?
?
±
±
±ikm
?i?t
?
C(?) A2 (k)e
+ ?2 (m, k) e
d?, n = 0, m ? Z,
?
?0 ??
=
Z
?
?
?
?
? ?2
?
?
?
?
Z
?2
0
??
0
??
±
±ikn
C(?) eikn + A±
(k)e
+
?
(n,
k)
e?2it cos k sin k dk, n ? Z, m = 0,
1
1
±
±ikm
C(?) A±
(k)e
+
?
(m,
k)
e?2it cos k sin k dk,
2
2
n = 0, m ? Z,
(5.8)
знаки ѕ+ї и ѕ?ї отвечают n, m > 0 и n, m 6 0 соответственно. ассмотрим норму выражений
±
. Используя ормулу интегрирования по частям, получим
в (5.8), отвечающих ?1,2
Z
?0 +?
?0 ??
2
± ?i?t
C(?)?1,2
e
d?
l2 (Z)
? 0,
t ? ?.
Таким образом, соответствующие интегралы не играют роли в рассеянии.
Далее,
Z
0
??
?2it cos k±ikn
C(k)A±
sin k dk
1 (k)e
=
A±
1 (k0 )
+
Z
0
??
Z
0
C(k)e?2it cos k±ikn sin k dk +
??
?2it cos k±ikn
±
C(k) A±
sin k dk, (5.9)
1 (k) ? A1 (k0 ) e
второе слагаемое в правой части (5.9)
где k0 отвечает ?0 (точнее, ?0 = 2 cos k0 ). Сравнивая
?
±
с (5.3), из следствия леммы 5.1 при ??0 (k) = 2?C(k)(A±
1 (k) ? A1 (k0 )) sin k получаем, что
норма данного слагаемого в l2 (Z) при всех t совпадает с
? ±
2? C(k) A±
1 (k) ? A1 (k0 ) sin k L2 [??,0]
и может быть сделана сколь угодно малой равномерно по t выбором носителя ункции C(?)
в достаточно малой окрестности точки ?0 при сохранении нормы этой ункции в L2 [??, 0]. Аналогичные рассуждения верны и для интеграла, отвечающего A±
2 . Таким образом, для частиц
с достаточно локализованным волновым вектором k картина рассеяния определяется числа±
ми A±
1 (k0 ) и A2 (k0 ).
Далее, вследствие теоремы о стационарной азе (см. теорему 1.3) для всех n и t таких, что
|n/t + 2 sin k0 | > ?, где ? > 0 достаточно мало, интеграл в первом слагаемом правой части (5.9)
стремится к нулю по норме в l2 (Z) при |t| ? ?. Следовательно, для больших |t| в рассеянии
играют роль лишь такие n, для которых
?? < n/t + 2 sin k0 < ?
(5.10)
(аналогичные выводы справедливы и для подобных интегралов во втором уравнении (5.8)).
Суммируя сказанное, приходим к следующему описанию рассеяния. Предположим, что
?
2? k2 sin k · C(k)kL2 [??,0] = 1.
(5.11)
При t < 0 имеется волновой пакет, отвечающий налетающей с вероятностью 1 частице, локализованный в основном в подмножестве Z вида (5.10) (норма соответствующей ункции
стремится к единице в этой области при t ? ??). При t ? ? пакет делится на четыре части,
27
отвечающие разным полуосям. Отраженной волне отвечает коэициент A?
1 (?0 ). Скорость
волнового пакета приближенно равна по модулю (в любом направлении) |2 sin k0 |.
В силу равенства
k?(n, m, t)k2l2 (G) = 1, t ? R,
для заданного произвольно малого ? > 0, сужая окрестность точки ?0 , содержащую носитель
ункции C(?) и устремляя |t| к бесконечности, получаем неравенство
?
?
+
2
2
2
2
|1 ? (|1 + A+
1 (k0 )| + |A1 (k0 )| + |A2 (k0 )| + |A2 (k0 )| )| < ?.
(5.12)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Т е о р е м а 5.1. Имеет место равенство
?
+
?
2
2
2
2
|1 + A+
1 (?0 )| + |A1 (?0 )| + |A2 (?0 )| + |A2 (?0 )| = 1.
(5.13)
С л е д с т в и е 5.2. Из проведенных рассуждений следует, что для вероятностей прохождения и отражения в точке ?0 справедливы ормулы
2
P1+ (?0 ) = |1 + A+
1 (?0 )| ,
2
P1? = |A?
1 (?0 )| ,
2
P2± = |A±
2 (?0 )| ,
(5.14)
где P2± (?) вероятности прохождения вдоль оси Om вверх и вниз соответственно, P1± вероятности прохождения вдоль оси On вправо и влево соответственно.
Для малых ? при определенном соотношении между ? и ? существует практически полное
прохождение вдоль оси абсцисс.
Положим (определение константы A см. в ормулировке теоремы 4.1)
1 X
C ± = 2A2 ? Ai
(?1)j+1 (1 + j ? |j|)V2 (j) +
2
j?Z
1
+ Ai
4
X
j?Z
(?2j ? 2 + |1 ? j| + |1 + j|)(1 + j ? |j|)V1 (j),
1 X
F ± = 2A2 ? Ai
(1 + j ? |j|)V1 (j) +
2
j?Z
1
+ Ai
4
X
j?Z
(?1)j+1 (?2j ? 2 + |1 ? j| + |1 + j|)(1 + j ? |j|)V2 (j).
1 X
K ? = 2A2 ? Ai
(1 + j ? |j|)V2 (j) +
2
j?Z
1 X
+ Ai
(?1)j (2j ? 2 + |1 ? j| + |1 + j|)(1 + j ? |j|)V1 (j).
4
j?Z
В следующей теореме 5.2 предполагается малость как потенциала, так и скорости частицы
(приближенно пропорциональной k , см. выше, при малых k ).
Т е о р е м а 5.2. В условиях теоремы 4.1 для ?, достаточно близких к точке 2, справедливы
равенства
P1+ (?) = P2+ (?) = P2? (?) = A2 ?2 + O(?3 ),
P1? (?) = 1 + (A2 ? 2C ? )?2 + O(?3 )
и для ?, достаточно близких к точке ?2 равенства
P1+ (?) = P2+ (?) = P2? (?) = A2 ?2 + O(?3 ),
28
P1? (?) = 1 + (A2 ? 2K ? )?2 + O(?3 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя теорему 4.1, для ?, близких к точке 2, найдем
± 2
3
A±
1 (?) = ?1 + iA? + C ? + O(? ),
± 2
3
A±
2 (?) = iA? + F ? + O(? ).
Тогда
2
? 2
3 2
2 2
? 2
3
P1? (?) = |A?
1 (?)| = | ? 1 + iA? + C ? + O(? )| = 1 + A ? ? 2C ? + O(? ),
2
+ 2
3 2
2 2
3
P1+ (?) = |1 + A+
1 (?)| = |iA? + C ? + O(? )| = A ? + O(? ),
2
± 2
3 2
2 2
3
P2± (?) = |A±
2 (?)| = |iA? + F ? + O(? )| = A ? + O(? ).
Для ?, близких к точке ?2, доказательство аналогично.
В следующей теореме 5.3, в отличие от теоремы 5.2, мал только возмущающий потенциал
(описывающий, например, примесь).
Т е о р е м а 5.3. Пусть ? = 2 cos k, k ? (??, 0) иксировано. Тогда
P1+ (?) = (1 + E)2 + B 2 + O(?),
P1? (?) = E 2 + B 2 + O(?),
2 + 2 cos 2k + sin2 2k
,
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
sin 2k(1 + cos 2k)
,
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
P2± (?) = D 2 + B 2 + O(?),
где
E=?
B=
D=
2 sin2 2k
.
(1 + cos 2k)2 + 4 sin2 2k
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование и единственность решения модиицированного
уравнения ЛиппманаШвингера (4.5) следуют из рассуждений, аналогичных представленным
в доказательстве теоремы 4.1. Справедливость ормул для P1± (?) и P2± (?) легко следует из равенств
A±
1 (k) = E+Bi+O(?),
A±
2 (k) = D+Bi+O(?).
џ 6. Квазиуровни и рассеяние для оператора H
В настоящем параграе рассмотрен оператор H = H0 + V. Здесь V это оператор умножения на ункцию
V0 (?n,N + ?n,?N ), m = 0,
V(n, m) =
0,
n = 0,
при некотором натуральном N > 1. Доказаны существование и единственность квазиуровней
этого оператора в окрестностях точек ±2 для определенных значений V0 , получены асимптотические ормулы для квазиуровней. Кроме того, доказано существование точки в (?2, 2),
коэициент отражения в которой в задаче рассеяния равен нулю для всех достаточно малых V0 .
Уравнение Шрјдингера (H0 + V)? = ??, рассматриваемое в классе l2 (G), для ? 6? ?(H0 )
перепишем в виде
? = ?R0 (?)V?.
(6.1)
Здесь V это оператор умножения на ункцию
V0 (?n,N + ?n,?N ), m = 0,
V(n, m) =
0,
n = 0,
при некотором натуральном N и вещественном V0 . Данный потенциал, в отличие, вообще говоря, от потенциала џџ 35, имеет ярко выраженный ѕрезонансныйї характер: квантовая частица
может последовательно
отражаться бесконечное число раз от потенциалов V0 ?n,N и V0 ?n,?N .
p
Положим ? = |V|?, тогда (6.1) примет вид
p
?
? = ? |V|R0 (?) V?.
(6.2)
Определения квазиуровней оператора H аналогичны определениям, данным в предыдущем
параграе для оператора H? .
p
Определим k равенствами cos k = ?/2, sin k = ? 1 ? (?/2)2 .
29
Т е о р е м а 6.1. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 , достаточно близких к ±1/N , существует единственный квазиуровень ?± = 2 cos k±
оператора H, причем
1
1
+ o V0 ?
,
k+ = i V0 ?
N
N
1
1
k? = ?? ? i V0 +
+ o V0 +
.
N
N
2) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 , достаточно близ1
, существует единственный квазиуровень ?± = 2 cos k± оператора H, причем
ких к ±
N ?1
(N ? 1)2 i 1 1 k+ =
V
?
+
o
V
?
,
0
0
(N ? 1)2 + 1
N ?1
N ?1
1 1 (N ? 1)2 i k? = ?? ?
V
+
+
o
V
+
.
0
0
(N ? 1)2 + 1
N ?1
N ?1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (6.1) запишем в виде системы (см. лемму 2.3)
?
f (V1 ?1 )f (?)
?
?
(R01 (?)?)(n), n ? Z,
? ?1 (n) = ?(R01 (?)V1 ?1 )(n) ?
1 ? f 2 (?)
f (V1 ?1 )
?
?
(R01 (?)?)(m),
m ? Z.
? ?2 (m) =
1 ? f 2 (?)
(6.3)
Первое уравнение системы (6.3) с учетом (2.2) можно переписать в виде
V0
q |n?N | ?1 (N ) + q |n+N | ?1 (?N ) +
?2 ? 4
2q |n|+1
V0
,
q N ?1 + q N +1 (?1 (N ) + ?1 (?N )) 2
+?
? ? 4 ? 4q 2
?2 ? 4
?1 (n) = ?
?
(6.4)
?2 ? 4
= eik .
2
Заметим, что, зная ?1 (n), легко найти ?2 (m). Далее, в силу (6.4) для нахождения ?1 (n)
достаточно знать ?1 (N ) и ?1 (?N ), удовлетворяющие системе
?
V0
V0
?
?1 (N ) = ?
?1 (N ) + q 2N ?1 (?N ) + ?
q N ?1 + q N +1 Ч
?
?
?
?2 ? 4
?2 ? 4
?
?
?
N
?
?
2q +1
?
?
Ч
(?
(N
)
+
?
(?N
))
,
1
1
?
?2 ? 4 ? 4q 2
V0
V0
?
?
?
?1 (?N ) = ?
q 2N ?1 (N ) + ?1 (?N ) + ?
q N ?1 + q N +1 Ч
?
?
?2 ? 4
?2 ? 4
?
?
?
?
N
+1
?
2q
?
?
.
Ч (?1 (N ) + ?1 (?N )) 2
? ? 4 ? 4q 2
где q =
??
Условие существования ненулевого решения, то есть равенство нулю определителя системы,
имеет вид
a b b a = 0,
где
2V0 q N +1 q N ?1 + q N +1
2V0 q N +1 q N ?1 + q N +1
V0
V0 q 2N
a=1? ?
? ?
, b = ??
? ?
,
?2 ? 4
?2 ? 4(?2 ? 4 ? 4q 2 )
?2 ? 4
?2 ? 4(?2 ? 4 ? 4q 2 )
или
V0 q 2N
V0
2V0 q 2N +1 ?
2V0 q 2N +1 ?
?
?
?
?
1?
?
=±
+
.
?2 ? 4
?2 ? 4(?2 ? 4 ? 4q 2 )
?2 ? 4
?2 ? 4 (?2 ? 4 ? 4q 2 )
30
(6.5)
Для определенности рассмотрим случай V0 вблизи 1/N . Уравнение (6.5) для знака ѕ?ї можно
переписать следующим образом:
1? ?
или
1+
V0
1 ? q 2N = 0,
?2 ? 4
V0
(1 ? e2N ik ) = 0.
2i sin k
(6.6)
V0
(1 ? e2N ik ). Проведем несложные преобразования для k, близОбозначим F (V0 , k) = 1 +
2i sin k
ких к нулю:
F (V0 , k) = 1 +
V0 (?2N ik + o(k2 ))
= 1 ? V0 N + o(k) = o(k).
2ik + o(k3 )
(6.7)
Очевидно, что ункция o(k) аналитически зависит от k . Если V0 = 1/N , то, согласно (6.7),
k = 0 решение уравнения (6.6). Имеем
V0 N 2
?F
=
+ o(k),
?k
i
?F
= ?N + o(k).
?V0
?F 1 , 0 6= 0. По теореме о неявной ункции (см., например, [29?) в достаточно
?k N
малой окрестности точки 1/N существует единственное решение k = k(V0 ) уравнения (6.6),
причем
?F 1 ,0 1
1
1
1
?V0 N
k(V0 ) = ?
V0 ?
+ o V0 ?
= i V0 ?
+ o V0 ?
.
?F 1
N
N
N
N
,0
?? N
Заметим, что
Аналогично доказываются оставшиеся утверждения теоремы.
С л е д с т в и е 6.1. Из (6.3) вытекает экспоненциальное убывание на бесконечности, а следовательно принадлежность l2 (G), ункции ? в случае, если Im k > 0 (р. [30?). Таким образом, для V0 , достаточно близких к ±1/N и |V0 | > 1/N , значения ?± являются собственными
1
1
значениями оператора H. В случае V0 , достаточно близких к ±
и |V0 | >
, значеN ?1
N ?1
ния ?± также являются собственными значениями оператора H.
ассмотрим уравнение ЛиппманаШвингера для оператора H ѕналетающей волнойї, распространяющейся вдоль Z Ч {0} :
?
?
? ?1 (n) = eikn ? R01 (?)V1 ?1 (n) + 2 cos k · f (?) ? f (V1 ?1 )f (?) R01 (?)?(n), n ? Z,
?
1 ? f 2 (?)
(6.8)
?2 cos k + f (V1 ?1 )
?
?
R01 (?)?(m), m ? Z.
? ?2 (m) =
1 ? f 2 (?)
Первое уравнение системы можно переписать в виде
?1 (n) = eikn ?
V0
eik|n?N | ?1 (N ) + eik|n+N | ?1 (?N ) ?
2i sin k
cos k · eik(1+N +|n|) (?1 (N ) + ?1 (?N ))
V0
cos k · eik(1+|n|)
·
+
.
?
2
2i sin k
sin k + e2ik
sin2 k + e2ik
Положим
? = 1+
V0
V0
cos k · eik(1+2N )
?
·
2i sin k
2i sin k
sin2 k + e2ik
31
(6.9)
2 V0 e2ikN
V0
cos k · eik(1+2N ) 2
?
?
·
,
2i sin k
2i sin k
sin2 k + e2ik
?1 =
ikN
e
cos k · eik(1+N )
?
sin2 k + e2ik
?
?2 =
!
V0
V0
?
1+
2i sin k 2i sin k
!
ik(1+N )
cos
k
·
e
e?ikN ?
sin2 k + e2ik
!
?
V0
cos k · eik(1+2N )
V0 e2ikN
?
·
2i sin k
2i sin k
sin2 k + e2ik
!
,
!
ik(1+N )
cos
k
·
e
e?ikN ?
?
sin2 k + e2ik
!
!
V0
cos k · eik(1+2N )
V0 e2ikN
cos k · eik(1+N )
ikN
?
·
e
?
.
2i sin k
2i sin k
sin2 k + e2ik
sin2 k + e2ik
V0
cos k · eik(1+2N )
V0
?
·
1+
2i sin k 2i sin k
sin2 k + e2ik
?
cos k · eik(1+2N )
·
sin2 k + e2ik
!
Л е м м а 6.1. Пусть ? 6= 0, тогда существует единственное решение уравнения ЛиппманаШвингера (6.8), которое имеет вид
?1 (n) = eikn ?
V0 ik|n?N | ?1
?2 cos k · eik(1+|n|)
+
e
?
+ eik|n+N |
2i sin k
?
?
sin2 k + e2ik
cos k · eik(1+N +|n|) ?1 ?2 V0
,
·
+
+
2i sin k
?
?
sin2 k + e2ik
?2 (m) =
i sin k cos k
V0 eik(N +|m|) cos k ?1 ?2 .
?
+
?
?
sin2 k + e2ik
sin2 k + e2ik
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (6.9) для нахождения ?1 (n) достаточно найти величины
?1 (N ) и ?1 (?N ), которые удовлетворяют системе
?
V0
?
?1 (N ) + e2ikN ?1 (?N ) ?
?1 (N ) = eikN ?
?
?
?
2i sin k
?
?
?
?
ik(1+N
)
?
cos k · eik(1+2N ) (?1 (N ) + ?1 (?N ))
V0
cos k · e
?
?
·
+
,
? ?
2i sin k
sin2 k + e2ik
sin2 k + e2ik
?
V0
?
?
?1 (?N ) = e?ikN ?
e2ikN ?1 (N ) + ?1 (?N ) ?
?
?
2i sin k
?
?
?
?
ik(1+N
)
?
V0
cos k · eik(1+2N ) (?1 (N ) + ?1 (?N ))
?
? ? cos k · e
+
.
·
2i sin k
sin2 k + e2ik
sin2 k + e2ik
Записав решение полученной системы помощью ормул Крамера, получим требуемую ор
мулу для ?1 (n). После этого легко получаем ормулу для ?2 (m).
Обозначим через P1? (?) вероятность отражения в точке ? ? (?2, 2). Имеем равенство
?
2
P1? (?) = |A?
1 (?)| , где A1 (?) коэициент отражения (вдоль прямой ZЧ{0}), который легко
выписывается из вида решения уравнения ЛиппманаШвингера (см. лемму 6.1):
?1 (n) = eikn + Ce?ikn ,
n < ?N,
где
C = A?
1 (?, V0 ) = ?
cos k · eikn
?2 V0 ikN ?1
+
e
?
+ e?ikN
2i sin k
?
?
sin2 k + e2ik
V0
cos k · eik(1+N ) ?1 ?2 +
.
·
+
2i sin k
?
?
sin2 k + e2ik
?
Для краткости будем пользоваться обозначением A?
1 (k, V0 ) вместо A1 (2 cos k, V0 ).
32
Т е о р е м а 6.2. В сколь угодно малой окрестности точки ?0 = 0 для всех достаточно
малых V0 существует единственное решение ? уравнения P1? (?) = 0, причем
? = O(V03 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Несложно убедиться, что значения V0 = 0, k = ?/2 удовлетворяют
уравнению A?
1 (k, V0 ) = 0, и найти частные производные
?A?
1 (k, V0 )
(?/2, 0) = 0,
?V0
? 2 A?
1 (k, V0 )
(?/2, 0) = 0.
?V02
?A?
1 (k, V0 )
(?/2, 0) 6= 0,
?k
В силу теоремы о неявной ункции в сколь угодно малой окрестности точки k0 = ?/2 для V0 ,
близких к нулю, существует единственное решение уравнения A?
1 (?, V0 ) = 0, для которого
справедлива асимптотическая ормула
k = k(V0 ) = ?/2 + O(V03 ).
Положим k? = k ? ?/2 = O(V03 ), тогда ? = 2 cos k = ?2 sin k? = O(V03 ).
џ 7. Спектральные свойства оператора H0
В џџ 79 рассматривается оператор H0 = (H01 ? 1) + (1 ? H02 ), действующий в l2 (?), где
? = Z Ч {1, . . . , N } ? Z2 . Оператор H01 : l2 (Z) ? l2 (Z) действует по правилу
H01 ? (n) = ?(n ? 1) + ?(n + 1), n ? Z.
Оператор H02 действует в l2 {1, . . . , N } ?
= CN и определяется равенствами
H02 ? (m) = ?(m ? 1) + ?(m + 1), m = 2, . . . , N ? 1,
H02 ? (1) = ?(2),
H02 ? (N ) = ?(N ? 1).
Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для m = 0, N.
В данных параграах собраны результаты, относящиеся к исследованию оператора H? =
H0 +?V, где ? > 0, a V является оператором умножения на вещественную ункцию V (n, m) 6= 0,
заданную на ? и удовлетворяющую условию
|V (n, m)| 6 ?e??|n| ,
n ? Z,
m ? {1, . . . , N },
причем ? > 0.
В џ 7 найдены вид ядра резольвенты и спектр оператора H0 .
Т е о р е м а 7.1. Оператор H0 самосопряжен и ограничен.
Теорема проверяется непосредственно. В дальнейшем понадобится следующее утверждение.
Л е м м а 7.1. Существует ровно N различных собственных значений оператора H02 :
?j = 2 cos
?j
,
N +1
j = 1, . . . , N,
с соответствующими собственными ункциями
?j (m) = a sin
?jm ,
N +1
образующими ортонормированный базис в
ент.
CN ,
33
j = 1, . . . , N,
где a =
r
2
нормировочный коэициN +1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение на собственные значения
H02 ? = ??
перепишем в виде
?(m ? 1) + ?(m + 1) = ??(m),
?(2) = ??(1),
m = 2, . . . , N ? 1,
?(N ? 1) = ??(N ).
(7.1)
ешение уравнения (7.1) ищем в виде
?(m) = c1 eikm + c2 e?ikm ,
m = 1, . . . , N.
Для m ? {2, . . . , N ? 1} имеем
c1 eikm (e?ik + eik ) + c2 e?ikm (e?ik + eik ) = ?(c1 eikm + c2 e?ikm ).
Следовательно, ? = e?ik + eik = 2 cos k. Второе уравнение (7.1) примет вид
c1 e2ik + c2 e?2ik = (e?ik + eik )(c1 eik + c2 e?ik ),
откуда c1 = ?c2 = c. Подставим ?(m) = c eikm ? e?ikm в третье уравнение (7.1):
ceik(N ?1) ? ce?ik(N ?1) = (e?ik + eik )(ceikN ? ce?ikN ).
Следовательно, sin k(N + 1) = 0, откуда
k=
?j
,
N +1
j ? Z.
Таким образом, существует ровно N различных собственных значений оператора H02 :
?j = 2 cos
?j
,
N +1
j = 1, . . . , N,
которым соответствуют N собственных ункций
?jm sin
, j = 1, . . . , N.
N +1
Собственные ункции, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны, а их количество совпадает с размерностью пространства. Следовательно, ункции
?jm aj sin
, j = 1, . . . , N , образуют ортонормированный базис с соответствующими норN +1
мировочными коэициентами aj , j = 1, . . . , N . Известна ормула
sin
cos ? + cos 2? + . . . + cos n? =
откуда
Отсюда легко видеть, что a =
r
N
X
sin2
m=1
(2n + 1)?
?
? sin
2
2,
?
2 sin
2
?jm
N +1
=
.
N +1
2
2
.
N +1
Ядро {G0 (n, m, n? , m? , ?)}(n,m),(n? ,m? )?? резольвенты R0 (?) = (H0 ? ?)?1 оператора H0 назовем ункцией рина этого оператора.
34
Положим
?j
, j = 1, . . . , N,
N +1
cos kj = µj /2, j = 1, . . . , N,
q
sin kj = ? 1 ? (µj /2)2 , j = 1, . . . , N.
µj = ? ? 2 cos
(7.2)
Функцию рина оператора H01 , как и прежде, будем обозначать как
G01 (?, n ? m) = ? ?
1
?2 ? 4
??
?
?2 ? 4 |n?m|
.
2
Л е м м а 7.2. Имеет место ормула
?
?
G0 (n, m, n , m , ?) =
N
X
a2 sin
j=1
?jm ?jm? sin
G01 n ? n? , µj ,
N +1
N +1
(7.3)
где
? 6?
N h
[
j=1
? 2 + 2 cos
?j
?N
?j i h
? i
= ? 2 + 2 cos
.
, 2 + 2 cos
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
N +1
N +1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что
R0 (?)(H0 ? ?)? = ?,
Имеем
R0 (?)(H0 ? ?)?(n, m) =
=
N
?1
X
X
m? =2 n? ?Z
X
n? ?Z
N
?1
X
G0 (n, m, n? , N, ?) ?(n? + 1, N ) + ?(n? ? 1, N ) + ?(n? , N ? 1) ? ??(n? , N ) =
X
G0 (n, m, n? ? 1, m? , ?) + G0 (n, m, n? + 1, m? , ?) ? ?G0 (n, m, n? , m? , ?) ?(n? , m? ) +
m? =2 n? ?Z
+
G0 (n, m, n? , 1, ?) ?(n? + 1, 1) + ?(n? ? 1, 1) + ?(n? , 2) ? ??(n? , 1) +
X
n? ?Z
=
N X
X
m? =3 n? ?Z
G0 (n, m, n? , m? ? 1, ?)?(n? , m? ) +
+
X
n? ?Z
+
X
n? ?Z
?
X
n? ?Z
(n? ,m? )??
G0 (n, m, n? , m? , ?) (H0 ? ?)? (n? , m? ) =
G0 (n, m, n? , m? , ?) ?(n? +1, m? )+?(n? ?1, m? )+?(n? , m? +1)+?(n? , m? ?1)???(n? , m? ) +
+
+
X
? ? l2 (?).
N
?2
X
X
G0 (n, m, n? , m? + 1, ?)?(n? , m? ) +
m? =1 n? ?Z
G0 (n, m, n? ? 1, 1, ?) + G0 (n, m, n? + 1, 1, ?) ?(n? , 1) +
G0 (n, m, n? , 1, ?)?(n? , 2) ?
X
G0 (n, m, n? , 1, ?)??(n? , 1) +
n? ?Z
n? ?Z
+ G0 (n, m, n? + 1, N, ?) ?(n? , N ) +
G0 (n, m, n? , N, ?)??(n? , N ) =
X
X
(n? ,m? )??
X
n? ?Z
G0 (n, m, n? ? 1, N, ?) +
G0 (n, m, n? , N, ?)?(n? , N ? 1) ?
G0 (n, m, n? ? 1, m? , ?) + G0 (n, m, n? + 1, m? , ?) ?
35
N X
X
? ?G0 (n, m, n? , m? , ?) ?(n? , m? ) +
G0 (n, m, n? , m? ? 1, ?)?(n? , m? ) +
m? =2 n? ?Z
+
=
N
?1
X
X
G0 (n, m, n? , m? + 1, ?)?(n? , m? ) =
m? =1 n? ?Z
X
(n? ,m? )??
Справедливо равенство
H0 G0 (n, m, n? , m? , ?) ? ?G0 (n, m, n? , m? , ?) ?(n? , m? ).
(H0 ? ?)G0 (n, m, n? , m? , ?) = ?nn? ?mm? .
Действительно,
(H0 ? ?)G0 (n, m, n? , m? , ?) = (H01 ? 1) ? ?
+ 1 ? H02
=
N
X
j=1
N
X
a2 sin
j=1
N
X
a2 sin
j=1
?jm ?jm? sin
G01 n ? n? , µj +
N +1
N +1
?jm? ?jm sin
G01 n ? n? , µj =
N +1
N +1
?jm ?jm? (H01 ? 1) ? ?j a2 sin
sin
G01 n ? n? , µj =
N +1
N +1
= ?nn?
N
X
j=1
a2 sin
?jm? ?jm sin
= ?nn? ?mm? .
N +1
N +1
Осталось показать справедливость равенства
? ? l2 (?),
(H0 ? ?)R0 (?)? = ?,
(7.4)
при условии, что оператору R0 (?) отвечает ядро (7.3). Используя лемму 7.1, получим
(H0 ? ?)R0 (?)?(n, m) = ((H01 ? 1) ? ?)
N
X
j=1
a sin
j=1
X
a sin
(n? ,m? )??
?jm? Ч
N +1
a sin
(n ,m )??
N
?jm X
?jm? X
((H01 ? 1) ? µj )
a sin
G01 (n ? n? , µj )?(n? , m? ) =
N +1
N
+
1
?
?
m =1
=
N
X
j=1
n ?Z
N
?jm? ?jm X
?(n, m? ).
a sin
a sin
N +1
N
+
1
?
m =1
Считая n константой, разложим ?(n, m) по базису
?(n, m) =
N
X
j=1
где
?jm N +1
Ч G01 n ? n? , µj ?(n? , m? ) +
N
?jm? ?jm X
X
a sin
G01 n ? n? , µj ?(n? , m? ) =
?j a sin
+
N +1
N +1
?
?
j=1
=
N
X
n
a sin
?jm oN
:
N + 1 j=1
?jm cj (n)a sin
,
N +1
N
?jm? ?jm X
?
.
=
?(n,
m
)a
sin
cj (n) = ?(n, m), a sin
N + 1 l2 ({1,...,N })
N +1
?
m =1
36
(7.5)
Имеем
?(n, m) =
N
X
j=1
N
?jm? ?jm X
?(n, m? ).
a sin
a sin
N +1
N
+
1
?
(7.6)
m =1
Из (7.5) и (7.6) следует справедливость равенства (7.4).
То же равенство (7.4) можно доказать следующим способом. Положим R0 (?)(H0 ? ?)? = ?,
в силу доказанного выше (H0 ? ?)(? ? ?) = 0. Осталось доказать, что если (H0 ? ?)? = 0, то
? = 0. Имеем
N
?jm X
bj (n)a sin
?(n, m) =
(7.7)
,
N +1
j=1
где
N
?jm ?jm? X
?
bj (n) = ?(n, m), a sin
.
=
?(n,
m
)a
sin
N + 1 l2 ({1,...,N })
N +1
?
m =1
Отсюда
(H0 ? ?)?(n, m) =
N
?jm X
(H01 ? (? ? ?j ))bj (n)a sin
=0
N +1
j=1
и (H01 ? (? ? ?j ))bj (n) = 0, j = 1, . . . , N. Но по условию ? ? ?j 6? [?2, 2]. Беря преобразование
Фурье F (см. парагра 2), получаем
bj (k) = 0,
откуда b
доказана.
[2 cos k ? (? ? ?j )]bbj (k) = 0,
j = 1, . . . , N. Следовательно, bj = 0, j = 1, . . . , N , и в силу (7.7) лемма
Т е о р е м а 7.2. Спектр оператора H0 имеет вид
?(H0 ) =
N h
[
j=1
? 2 + 2 cos
j?
N?
j? i h
? i
= ? 2 + 2 cos
. (7.8)
, 2 + 2 cos
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
N +1
N +1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
A=
N h
[
j=1
? 2 + 2 cos
?j
?j i
.
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
Пусть ? 6? A. Покажем, что ? 6? ?(H0 ), то есть R0 (?) ограниченный оператор в l2 (?). Действительно, тогда µj = ? ? ?j 6? [?2, 2], j = 1, . . . , N. Поэтому ядра G01 (n ? n? , µj ) определяют
ограниченный оператор в l2 (?) и, следовательно, ядро G0 оператора R0 (?) определяет ограниченный оператор в l2 (?) в силу (7.3).
Пусть теперь ? ? A, то есть найдется такое j0 ? {1, . . . , N }, что
h
?j0
?j0 i
? ? ? 2 + 2 cos
.
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
2
Покажем, что найдется последовательность {?r }?
r=1 ? l (?) такая, что
k?r k = 1,
(H0 ? ?)?r ? 0 при r ? ?.
Это, в силу критерия Вейля (см., например, [15, с. 262?), будет означать, что ? ? ?(H0 ).
ассмотрим последовательность
?r (n, m) =
?j m a ikj n
0
,
e 0 ?[?r,r](n) sin
c
b
N +1
37
где
?[?r,r] (n) =
c=b
b
c(r) =
Имеем
1, n ? [?r, r],
0, n ?
6 [?r, r],
r
X
ik n 2
e j0 = 2r + 1.
n=?r
?j m 2
X a
0
ikj0 n
·
e
?
(n)
sin
=
[?r,r]
b
c(r)
N +1
(n,m)??
1
2
?j m 2
0
=
=
· eikj0 n ?[?r,r](n) 2 · a sin
l (Z)
b
c(r)
N + 1 l2 ({1,...,N })
2
1
ikj0 n
·e
?[?r,r](n) 2 = 1.
=
b
c(r)
l (Z)
k?r (n, m)k2l2 (?) =
Далее,
?j m 1
0
(H0 ? ?)?r (n, m) = (H01 ? 1) ? µj0
=
· eikj0 n ?[?r,r](n) a sin
b
c(r)
N +1
?j m 1
0
=
eikj0 (n+1) ?[?r,r] (n + 1) + eikj0 (n?1) ?[?r,r] (n ? 1) ?
a sin
b
c(r)
N +1
? µj0 eikj0 n ?[?r,r](n) =
?
?j m 1
0
?
?
eikj0 (n+1) + eikj0 (n?1) ? µj0 eikj0 n , r ? [?r + 1, r ? 1],
a
sin
?
?b
c(r)
N +1
?
?
?
?
?
? 1 a sin ?j0 m e±ikj0 (r?1) ? µj e±ikj0 r ,
n = ±r,
0
c(r)
N +1
= b
?
?j m ?
1
?
0
?
e±ikj0 r ,
n = ±(r + 1),
a
sin
?
?
?
b
c
(r)
N
+
1
?
?
?
0,
|n| > r + 2.
Так как |eikj0 | = 1 и b
c(r) ? ? при r ? ?, то очевидно, что
|(H0 ? ?)?r (n, m)| ? 0,
r ? ?.
З а м е ч а н и е 4. Промежутки в объединении (7.8) в изической литературе называются подзонами.
џ 8. Квазиуровни слабо возмущенного оператора
В данном параграе исследуются спектральные свойства оператора H? = H0 + ?V . В частности, доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной
ункции рина возникают собственные значения или резонансы, найдена их асимптотика.
R? (?). В дальнейшем
будем использовать обоассмотрим
оператор H? и его резольвенту
p
?
?
? p
значение V = |V | sign V (только для V ), тогда V = V |V |.
Уравнение на собственные значения оператора H? в области, где существует резольвента
R0 (?), можно записать в виде
? = ??R0 (?)(V ?),
(8.1)
где ункция ? ? l2 (?) и отлична от нуля. Для того чтобы, оставаясь p
в рамках пространства
2
l (?), исследовать также резонансы,
переходим
к новой ункции ? = |V |? ? l2 (?).
p
?
Обозначим через L(?) = |V |R0 (?) V оператор с ядром
?
?
l(n, m, n , m , ?) =
p
|V (n, m)|
N
X
j=1
a2 sin
?jm? ?jm p
sin
G01 n ? n? , µj
V (n? , m? )
N +1
N +1
38
(8.2)
(аналитическое продолжение операторнозначной ункции, осуществляемое ее ядром, обозначаем тем же символом).
Обозначим через V риманову поверхность, образованную аналитическими продолжениями
ункции l из области
в область
? 2 + 2 cos
? 2 + 2 cos
? ?N
Ч (0, ?)
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
? ?N
Ч (??, ?)
, 2 + 2 cos
N +1
N +1
?j , где ? > 0 настолько мало, что l принимает значения в l2 (?2 ).
N +1
В дальнейшем будем предполагать, что
включая точки ±2+2 cos
? 6= cos
?j
?j ?
+ cos
,
N +1
N +1
j, j ? = 1, . . . , N.
(8.3)
Докажем, что в этом случае все величины ?2 sin kj различны. Действительно, если при j 6= j ?
sin kj = sin kj ? , то cos kj ? = ? cos kj . Но тогда из равенств
? = 2 cos kj + 2 cos
?j ?
?j
= 2 cos kj ? + 2 cos
N +1
N +1
?j ?
?j
? cos
, что противоречит (8.3).
N +1
N +1
?1
Л е м м а 8.1. Оператор 1 ? L(?)
существует и аналитически зависит от ? на многообразии V \ S , где S некоторое дискретное подмножество в V (то есть множество, не
имеющее предельных точек в V ).
вытекает, что 2 cos kj = cos
Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, для каждого ? ? V покажем компактность оператора L(?). Для этого достаточно, чтобы он являлся оператором ильбертаШмидта, то есть
достаточно выполнения условия
X
X
|l(n, m, n? , m? , ?)|2 < +?,
(n,m)?? (n? ,m? )??
для иксированного ? ? V.
Пусть ? ? V, тогда
X
X
(n,m)?? (n? ,m? )??
?
?
2
|l(n, m, n , m , ?)| =
Ч G01 n ? n? , µj
p
Имеем
X
X
(n,m)?? (n? ,m? )??
N
?jm? ?jm X
p
|V (n, m)|
sin
Ч
sin
N +1
N +1
j=1
N
XX
X
2
?
G01 n ? n? , µj 2 .
V (n? , m? ) 6 C
e??|n| e??|n |
n?Z n? ?Z
(8.4)
j=1
?
e?|n?n |
G01 n ? n? , µj 6 q
µ2 ? 4 j
для всех j, где ? > 0. Следовательно, полученная в (8.4) сумма для ? < ?, то есть для
достаточно малых ?, не превосходит
C
N
X
j=1
XX
1
?
e?(???)|n| e?(???)|n | < ?.
q
2
µ2 ? 4 n?Z n? ?Z
j
39
(8.5)
Во-вторых, покажем, что отображение ? ? V ? L(?) ? L(l2 (?)) является аналитической
операторнозначной ункцией в V (под L(l2 (?)) понимаем множество линейных ограниченных
операторов, действующих в l2 (?)).
Неравенства (8.4) и (8.5) показывают, что ряд (8.2) сходится равномерно на компактах
из V \ S . В силу (векторнозначного варианта) теоремы Вейерштрасса об аналитичности ряда из аналитических ункций ункция l(n, m, n? , m? , ?) определяет аналитическую ункцию
в V \ S со значениями в l2 (? Ч ?). Следовательно, и L(?) является аналитической ункцией
в V \ S со значениями в L(l2 (?)).
Вследствие оценок (8.4) и (8.5) kL(?)k < 1 для достаточно больших |?|. Отсюда вытекает
существование обратного оператора (1 ? L(?))?1 для таких ?. В силу аналитической теоремы
Фредгольма (м. [15?) это доказывает лемму.
С л е д с т в и е 8.1. В комплексной окрестности произвольной точки ?0 ? ?(H0 ) может
быть лишь конечное число квазиуровней. Не более, чем счетное множество S может иметь
?j
предельные точки либо на границе V, либо в множестве точек ±2 + 2 cos
, j = 1, . . . , N.
N +1
?j
Но в окрестности точек ±2 + 2 cos
ункция l становится мероморной после замены
N +1
?j cos kj = ? ? 2 cos
(8.6)
2,
N +1
где kj меняется в окрестности точки 0 или точки ?, причем, например, для kj ? 0 имеем
?
?
l(n ? n , m, m , kj ) =
p
?jm? ?jm |V (n, m)|V (n? , m? ) 2
sin
+ O(1)
a sin
2ikj
N +1
N +1
(8.7)
(легко видеть, что случай sin kj = sin kj ? = 0 возможен лишь если j = j ? ). Следовательно, вычет является оператором ранга один, и в силу мероморной теоремы Фредгольма [17?
в окрестности точек kj = 0 оператор (1 ? L(kj ))?1 существует всюду, кроме, возможно,
конечного числа точек.
Т е о р е м а 8.1. Справедливо равенство
?ess (H? ) = ?(H0 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что V относительно компактное возмущение оператора H0 , то есть что оператор V R0 (?) компактен для некоторого ? 6? ?(H0 ). Имеем
X
X
(n,m)?? (n? ,m? )??
?
?
2
|V (n, m)G0 (n, m, n , m , ?)| 6 C
=C
X
e?2?|n|
n?Z
N X
X
j=1 n? ?Z
X
?2?|n|
e
n?Z
N
XX
n? ?Z j=1
?
|qj ||n?n | =
?
|qj ||n | < +?,
где |qj | < 1, j = 1, . . . , N, C = onst. Следовательно, оператор V R0 (?) является оператором
ильбертаШмидта, а значит, компактен. Утверждение данной теоремы вытекает из теоремы 1.1.
О п р е д е л е н и е 8.1 (ср. определение 3.2). Назовем резонансом оператора H? значение
? ? V, не являющееся собственным значением, для которого существует ненулевое решение
? ? l2 (?) уравнения
p
?
? = ?? |V |R0 (?) V ?
(8.8)
(здесь ? 6= ±2 + 2 cos
?j
, j = 1, . . . , N ).
N +1
40
О п р е д е л е н и е 8.2. Назовем квазиуровнем оператора H? его собственное значение или
резонанс.
В силу аналитической теоремы Фредгольма (см. теорему 1.2 в џ 1) и равенства
p
p
p
?
?
?
|V |R? (?) V = (1 + ? |V |R0 (?) V )?1 |V |R0 (?) V
(8.9)
? является квазиуровнем
только тогда, когда в этой точке существует полюс операp тогда и ?
торнозначной ункции |V |R? (?) V .
Т е о р е м а 8.2. Предположим, что для некоторого j ? {1, . . . , N }
?jm? X
?
V (n? , m? ) 6= 0.
vj± =
(±1)n sin2
N
+
1
?
?
2
(8.10)
(n ,m )??
?j
для всех достаточно малых ? > 0
N +1
±
существует единственный квазиуровень ?±
j = ?j (?) оператора H? , аналитически зависящий
от ?, для которого справедлива ормула
Тогда в некоторой окрестности точек ?±
j0 = ±2+2 cos
?±
j (?)
?v ± 2
?j
j
+ O(?4 ).
±
= ±2 + 2 cos
N +1
N +1
(8.11)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В окрестности, например, точки ?+
j0 произведем замену (8.6) с kj
из окрестности нуля. Тогда (см. (8.7)) уравнение (8.8) можно записать в виде
?a2
?(n, m) = ?
p
|V (n, m)| sin
2ikj
?jm N +1 Ч
Ч
X
(n? ,m? )??
p
V (n? , m? ) sin
?jm? ?(n? , m? ) + ?K(kj )?(n, m),
N +1
где K(kj ) некоторый оператор ильбертаШмидта, аналитически зависящий от kj . Положим
для достаточно малых ?
?(n, m) = (1 ? ?K(kj ))?(n, m),
тогда
?a2
?(n, m) = ?
Ч sin
p
|V (n, m)| sin
2ikj
?jm N +1
X
(n? ,m? )??
p
V (n? , m? ) Ч
?jm? ?jm p
(1 ? ?K(kj ))?1 ?(n? , m? ) = C |V (n, m)| sin
,
N +1
N +1
где C = onst, откуда
kj = ?
?a2
2i
X
(n? ,m??? )??
=?
?a2
2i
p
V (n? , m? ) sin
X
(n? ,m? )??
sin2
p
?jm? ?jm? (1 ? ?K(kj ))?1
=
|V (n? , m? )| sin
N +1
N +1
?jm? ?a2 vj
V (n? , m? ) + O(?2 ) = ?
+ O(?2 ).
N +1
2i
(8.12)
Правая часть полученного уравнения аналитически зависит от ?, kj . Вследствие теоремы
о неявной ункции для аналитических ункций [29? и условия (8.10) данное уравнение имеет
для всех достаточно малых ? единственное решение kj = kj (?), аналитически зависящее от ?.
Возвращаясь к переменной
kj2
?j
?j
+ 2 cos kj = 2 cos
+2 1?
? = 2 cos
+ O(kj4 ),
N +1
N +1
2
41
получаем с помощью (8.12) ормулу (8.11).
e
Случай точки ??
j0 рассматривается аналогично с заменой kj на ?? ? kj , при этом пользуемся
kj и
kj ) = sin e
равенствами sin(?? ? e
e
?
e
?
?
?
e
?
e?i(?+kj )|n?n | = e?i?|n?n | · e?ikj |n?n | = (?1)n (?1)n e?ikj |n?n | .
(8.13)
?
С л е д с т в и е 8.2. Квазиуровень ??
N (?) вблизи левой граничной точки ?N 0 является собственным значением при vN > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, ункция рина G0 (см. (7.3)) экспоненциально убывает в точке ? = ??
(7.3) к переменN (?) при |n| ? ?, это следует из (8.12) после перехода в?
p
ной kN . Запишем уравнение (8.8) в виде ? = ??R0 (?)V ? , где ? = ??R0 (?) V ? (= ?/ |V |
в точках, где V 6= 0) удовлетворяет уравнению Шрјдингера H? ? = ?? при ? = ??
N (?). Легко
видеть, что ункция ? вместе с G0 экспоненциально убывает (ср. аналогичные рассуждения
в [25?), так что ? ? l2 (?) (более того, экспоненциально убывает) и ??
N (?) есть собственное
(?)
вблизи
правой
граничной
точки
?+
значение. Аналогично, квазиуровень ?+
1
10 существенного
спектра является собственным значением при v1 < 0 (показатель экспоненты в составе ункции рина, согласно (8.13), меняет знак).
џ 9. Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного оператора
В данном параграе описана картина рассеяния: явление диракции (рассеяние главным
образом по конечному числу выделенных направлений в двумерном и трехмерном случаях)
трансормируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в наличие волн вероятностей
прохождения (отражения) во времени. Изучен характер рассеяния для малых потенциалов
вблизи особенностей невозмущенной ункции рина.
?j0
?j
, j = 1, . . . , N , и ?0 не является
? (?2, 2), причем ?0 6= ±2+2 cos
Пусть ?0 ?2 cos
N +1
N +1
квазиуровнем. В окрестности точки ?0 рассмотрим уравнение ЛиппманаШвингера
?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ? ?
X
(n? ,m? )??
G0 (n ? n? , m, m? , ?)V (n? , m? )?(n? , m? , ?),
(9.1)
где ѕналетающая волнаї (записанная для переменной kj0 ) имеет вид
?0 (n, m, ?) = a sin
?j m 0
einkj0
N +1
(9.2)
и удовлетворяет
уравнению H0 ?0 = ??0 . ешение уравнения (9.1) ищем в классе ункций ?
p
таких, что |V |? = ? ? l2 (?). В силу леммы 8.1 в окрестности точки ?0 существует решение
ѕмодиицированногої [16? уравнения ЛиппманаШвингера
?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ? ?
X
(n? ,m? )??
p
p
|V (n, m)|G0 (n ? n? , m, m? , ?) V (n? , m? )?(n? , m? , ?) (9.3)
p
p
относительно ? = |V |?, где ?0 = |V |?0 , аналитически, как l2 (?)-значная ункция, зависит
от ?.
В дальнейшем для краткости пользуемся обозначениями
X?
=
X
j:??2 cos
X??
,
?j
?(?2,2)
N+1
(j ? {1, . . . , N }).
42
=
X
j:??2 cos
?j
6?(?2,2)
N+1
Согласно (7.3) имеем
X
(n? ,m? )??
=
X?
+
X
(n? ,m? )??
X??
X
G0 (n ? n? , m, m? , ?)V (n? , m? )?(n? , m? ) =
?jm? ?jm ?j p
sin
G01 n ? n? , ? ? 2 cos
a2 sin
V (n? , m? )?(n? , m? ) +
N +1
N +1
N +1
a2 sin
(n? ,m? )??
?jm? ?jm ?j p
sin
G01 n ? n? , ? ? 2 cos
V (n? , m? )?(n? , m? ).
N +1
N +1
N +1
(9.4)
В обеих суммах в правой части (9.4)
G01 n, ? ? 2 cos
?j ? l? (Z).
N +1
?
Кроме того, V , ? ? l2 (?). Оценивая правую часть с помощью неравенства КошиБуняковского, получаем ограниченность решения ? уравнения ЛиппманаШвингера (9.1).
Переходя в слагаемых первой суммы правой части (9.4) к переменным kj = kj (?), запишем
уравнение (9.1) в виде
X?
?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ? ?
X
a2 sin
(n? ,m? )??
?jm? ?jm sin
Ч
N +1
N +1
?jm? ?jm X?? X
eikj
sin
Ч
V (n? , m? )?(n? , m? , ?) ? ?
a2 sin
2i sin kj
N +1
N +1
(n? ,m? )??
?j Ч G01 n ? n? , ? ? 2 cos
V (n? , m? )?(n? , m? , ?).
N +1
P
Положим для j из суммы ?
|n?n? |
Ч
X
sin
X?
?± (n, m, ?) = ??
X
A±
j (?) = ?
?a
2i sin kj
(n? ,m? )??
?jm? ?
e?ikj n V (n? , m? )?(n? , m? , ?).
N +1
(9.5)
(9.6)
p
В силу аналитичности ункции ?(n, m, ?) = |V (n, m)|?(n, m, ?) ункции A±
j (?) также являются аналитическими в окрестности точки ?0 .
Далее, определим ункцию
?+ (n, m, ?), n > 0,
?(n, m, ?) =
?? (n, m, ?), n < 0,
где
X
(n? ,m? )??
(n? ,m? )??
?jm ?jm? sin
Ч
N +1
N +1
#
?
?
eikj |n?n | ? e±ikj (n?n )
(9.7)
V (n? , m? )?(n? , m? , ?) ?
Ч
2i sin kj
?jm? ?jm ?j sin
G01 n ? n? , ? ? 2 cos
V (n? , m? )?(n? , m? , ?).
a2 sin
N +1
N +1
N +1
"
X??
??
a2 sin
Вследствие (9.2), (9.5) имеем
?jm ?j m X?
0
eikj0 n +
e±ikj n + ?(n, m, ?),
A±
(?)a
sin
?(n, m, ?) = a sin
j
N +1
N +1
где знаки ѕ+ї и ѕ?ї отвечают n > 0 и n < 0 соответственно.
43
(9.8)
Л е м м а 9.1. Функция ?(n, m, ?) является l2 (?)-значной аналитической ункцией в окрестности точки ?0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение леммы для второй суммы в (9.7) вытекает из аналитичности резольвенты оператора H01 , примененной к аналитической l2 (Z)-значной ункции
(0)
V (n? , m? )?(n? , m? , ?) (при иксированном m? ) см. лемму 8.1. Далее, в окрестности точки kj
из первой суммы, отвечающей ?0 , оценим, пользуясь неравенством КошиБуняковского и условием (0.8), например, для n > 0, ряд
X eikj |n?n? | ? eikj (n?n? )
V (n? , m? )?(n? , m? , ?) =
2i sin kj
n? ?Z
X sin[(n? ? n)k ] p
j
=
V (n? , m? )?(n? , m? , ?) 6
sin kj
n? >n
1 X
X sin2 [(n? ? n)k ]
1
2
j
?
?
?
?
2 2
|V (n , m )|
6
6
|?(n , m , ?)|
sin2 kj
n? >n
n? >n
X
1
X
1
?|n|
?|n|
?|n? |
?
2
2
6 C?
6 C ? e? 4
= C ?? e? 4 .
n?2 e??|n |
n?2 e? 2
n? >n
n? >n
Отсюда вытекает экспоненциальное убывание первой суммы обозначим ее через ?(n, m, ?) в (9.7). Кроме того, из данной оценки следует равномерная в (комплексной) окрестности точки ?0 сходимость
k?(n, m, ?) ? ?M (n, m, ?)kl2 (?) ? 0, M ? ?,
где ?M (n, m, ?) = ?[?M,M ](n)?(n, m, ?), ?[?M,M ] (n) характеристическая ункция отрезка
[?M, M ]. В силу (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса l2 (?)-значная ункция ?(n, m, ?)
аналитична в окрестности точки ?0 . Тем самым лемма доказана.
Теперь будем искать решение уравнения
??
= H? ?,
?t
где ? = ?(n, m, t) l2 (?)-значная ункция аргумента t, в виде
Z ?0 +?
C(?)?(n, m, ?)e?i?t d?,
?(n, m, t) =
i
(9.9)
?0 ??
где ? > 0 достаточно мало, C(?) ? C0? (?0 ??, ?0 +?),
?(n, m, ?) решение
уравнения Липпмана
?j
Швингера (9.1). Введем обозначение fe(kj ) = f 2 cos kj + 2 cos
. Пользуясь (9.8), переN +1
пишем (9.9) в виде
?j m Z 0
?j0
0
e j )e?2it cos kj0 +ikj0 n dkj ?
sin kj0 C(k
?(n, m, t) = ?2ae?2it cos N+1 sin
0
0
N + 1 ??
?jm Z 0
X? ?2it cos ?j
e± (kj ) sin kj C(k
e j )e?2it cos kj ±ikj n dkj +
N+1 sin
?2
ae
(9.10)
A
N + 1 ?? j
Z ?0 +?
C(?)?(n, m, ?)e?i?t d?,
+
?0 ??
где знак ѕ±ї совпадает со знаком n. Промежуток интегрирования выбран таким, чтобы движение налетающей частицы происходило слева направо (см. ниже (9.13)).
ассмотрим норму последнего выражения в (9.10). Имеем
2
Z ?0 +?
C(?)?(n, m, ?)e?i?t d? 2 =
=
X Z
(n,m)??
?0 +?
?0 ??
Z
?0 ??
?0 +?
l (?)
?
C(?)C(?? )?(n, m, ?)?(n, m, ?)e?i(??? )t d? d?? .
?0 ??
44
(9.11)
Пользуясь равенством
?
?
e?i(??? )t d? = d e?i(??? )t
(?it),
проинтегрируем по частям и, с помощью неравенства КошиБуняковского и леммы 9.1, получим стремление к нулю слагаемых в (9.11) при |t| ? ?. Следовательно, ункция ? не играет
роли в рассеянии.
P
ассмотрим теперь интегралы в (9.10) из суммы ? . Имеем
Z 0
Z
0
e± (kj ) sin kj C(k
e j )e?2it cos kj ±ikj n dkj = A
e± k(0)
e j )e?2it cos kj ±ikj n dkj +
A
sin kj C(k
j
j
j
??
??
(9.12)
Z 0
±
± (0)
?2it cos kj ±ikj n
e
e
e
+
Aj (kj ) ? Aj kj
sin kj C(kj )e
dkj ,
??
(0)
(0)
(0)
где kj отвечает ?0 . Выбираем kj ? (??, 0), тогда sin kj < 0 (имеем промежуток (??, 0)
вместо (0, ?), поскольку изначально изменен знак оператора H0 , который является конечноразностной аппроксимацией ? вместо ?? в операторе Шрјдингера). Это обеспечит стандартное движение налетающей волны слева направо (см. ниже). Сравнивая второе слагаемое в правой части (9.12) с (5.3), из следствия леммы 5.1 получаем, что норма данного слагаемого в l2 (Z)
при всех t совпадает с
? ±
e (kj ) ? A
e± k(0) sin kj C(k
e j ) 2
2? A
j
j
j
L (??,0)
и может быть сделана сколь угодно малой равномерно по t выбором носителя ункции C(?)
в достаточно малой окрестности точки ?0 при сохранении нормы этой ункции в L2 (??, 0)
(точнее, ниже требуем выполнения равенства (9.14)). Таким образом, для частиц с достаточно
e± k(0) .
локализованным волновым вектором картина рассеяния определяется числами A
j
j
Далее, вследствие теоремы о стационарной азе (см. теорему 1.3 в џ 1) для всех n и t таких,
(0) что n/t + 2 sin kj > ?, где ? > 0 достаточно мало, интеграл в первом слагаемом правой
части (9.12) стремится к нулю по норме в l2 (Z) при |t| ? ?. Следовательно, для больших |t|
в рассеянии играют роль лишь такие n, для которых
(0)
?? < n/t + 2 sin kj
< ?.
(9.13)
Суммируя сказанное, приходим к следующему описанию рассеяния. Предположим, что
? e j ) 2
2? 2 sin kj0 C(k
(9.14)
= 1.
0
L (??,0)
Тогда (см. следствие леммы 5.1) имеем
k?(n, m, t)k2l2 (?) = 1,
t ? R.
Поэтому при t < 0 имеется волновой пакет, отвечающий налетающей с вероятностью 1 частице,
локализованный в основном в подмножестве Z вида (9.13) для j = j0 (норма соответствующей
ункции стремится к единице в этой области при t ? ??). При t ? ? пакет делится на 2n0
?j
частей, где n0 число kj таких, что ?0 ? 2 cos
? (?2, 2), при этом отраженной волне
N +1
?
отвечает коэициент Aj (?0 ), а проходящей коэициент A+
j (?0 ). Скорость j -го волнового
(0)
пакета, согласно (9.13), приближенно равна по модулю (в любом направлении) ?2 sin kj . В
силу предположения (8.3) все скорости различны.
Из сказанного вытекает, что для достаточно малых ? (что соответствует достаточно большой локализации волнового вектора) множества в Z вида (9.13) не пересекаются. Таким образом, в рассматриваемом квазиодномерном случае наличие поперечных волн приводит не к явлению диракции (то есть преимущественному распространению волновых пакетов в трехмерном
пространстве по конечному числу определенного рода направлений см. [13?), а к дроблению
исходного волнового пакета во времени на конечное число ѕменьшихї пакетов, движущихся
45
один за другим вперед или назад с разными скоростями. Для заданного произвольно малого ? > 0, сужая окрестность точки ?0 , содержащую носитель ункции C(?), устремляя |t|
к бесконечности, а также используя следствие леммы 5.1, получаем неравенство
X? ? (0) 2 ?
e j )2 2
e+ k(0) 2 + A
e k
< ?,
1 ?
?jj0 + A
2 2? sin kj C(k
j
j
j
j
L (??,0)
(9.15)
где ?jj0 символ Кронекера.
Заметим, что
Z
0
?j 2
2
2
cos
k
+
2
cos
sin
k
=
4
C
dkj =
j
j
L (??,0)
N +1
??
Z ?0 +? r
?j 2
=
4 ? ? ? 2 cos
|C(?)|2 d?.
N +1
?0 ??
2 sin kj C(k
e j )2 2
(9.16)
Предположим, что выполнено (8.3). Тогда имеет место равенство
X
j:?0 ?2 cos
?j
?(?2,2)
N+1
?jj
0
v
2
u
u 4 ? ? ? 2 cos ?j
0
u
2 ?
2 u
N +1
= 1.
+ A+
j (?0 ) + Aj (?0 ) t
?j0 2
4 ? ?0 ? 2 cos
N +1
(9.17)
Действительно, выберем в (9.15) ? = 1/n, n = 1, 2, . . . , а также соответствующие последовательности стягивающихся к точке ?0 ее окрестностей и ункций Cn (?) с носителями в этих
окрестностях таких, что выполнено (9.14). Переходя в (9.15) к пределу с учетом (9.14), (9.16),
где также переходим к пределу, получаем равенство (9.17).
Т е о р е м а 9.1. Пусть выполнено (8.3). Тогда для вероятностей прохождения P+ и отражения P? = 1 ? P+ в точке ?0 справедливы ормулы
v
2
u
u 4 ? ? ? 2 cos ?j
0
X
2 u
N +1 ,
u
P+ =
?jj0 + A+
j (?0 ) t
?j0 2
?j
4
?
?
?
2
cos
0
j:?0 ?2 cos N+1 ?(?2,2)
N +1
v
u
?j 2
4
?
?
?
2
cos
2 u
0
X
u
?
N +1 ,
P? =
Aj (?0 ) u
t
?j0 2
?j
4
?
?
?
2
cos
0
j:?0 ?2 cos N+1 ?(?2,2)
N +1
(9.18)
где A±
j (?) определяются равенством (9.6).
С л е д с т в и е 9.1. Имеем
отношение скоростей.
v
2
u
u 4 ? ? ? 2 cos ?j
sin k(0) 0
u
j N +1
u
=
t
?j0 2 sin k(0) 4 ? ?0 ? 2 cos
j0
N +1
Для малой константы связи ? в потенциале ?V при определенном соотношении между ? и ?
существуют простые ормулы как для решения уравнения ЛиппманаШвингера, так и для
?j0
вероятностей отражения и прохождения вблизи точек ?±
, где j0 взято
j0 0 = ±2 + 2 cos
N +1
из (9.2).
46
Л е м м а 9.2. Предположим, что для j0 из (9.2) и всех достаточно малых ? справедливо
kj0 = A? в случае знака ѕ?ї, где e
kj0 = ?? ? kj0
равенство kj0 = A? в случае знака ѕ+ї или e
(см. конец доказательства теоремы 8.2), A 6= 0 вещественная константа. Тогда для решения ? уравнения ЛиппманаШвингера (9.1) имеет место равенство
?j m (±1)n a2 vj±0
0
?(n, m, ?) = 1 ?
+ a sin N + 1 + O(?),
2
2iA + a vj0
где
vj±0 =
X
(±1)n V (n, m) sin2
(n,m)??
?j m 0
.
N +1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности докажем утверждение для знака ѕ+ї. Действуя, как и при доказательстве теоремы 8.2 и в тех же обозначениях, перепишем уравнение (9.3) в виде
?j m p
0
?a2 |V (n, m)| sin
N
+
1 Ч
?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ?
2ikj0
?j m? X p
0
Ч
V (n? , m? ) sin
?(n? , m? , ?) + ?K(kj0 )?(n, m, ?),
N
+
1
?
?
(n ,m )??
откуда, для достаточно малых ?,
?(n, m, ?) = (1 ? ?K(kj0 )) ?(n, m, ?) = ?0 (n, m, ?) ?
?j m p
0
?a2 |V (n, m)| sin
?j m? X p
0
N +1
V (n? , m? ) sin
?
Ч
2ikj0
N
+1
(n? ,m? )??
?j m p
0
.
Ч (1 ? ?K(kj0 ))?1 ?(n? , m? , ?) = ?0 (n, m, ?) + C |V (n, m)| sin
N +1
Следовательно,
h
?j m? X p
0
C = ? ?a3
V (n? , m? ) sin
Ч
N
+1
?
?
(n ,m )??
p
?j m? ? i.
0
Ч (1 ? ?K(kj0 ))?1
ein kj0
|V (n? , m? )| sin
N +1
?j m? h
X p
0
2ikj0 + ?a2
Ч
V (n? , m? ) sin
N
+1
?
?
(n ,m )??
Ч (1 ? ?K(kj0 ))?1
и, далее,
p
|V (n? , m? )| sin
?j m? i
0
N +1
?j m p
0
=
?(n, m, ?) = (1 ? ?K(kj0 ))?1 ?0 (n, m, ?) + C |V (n, m)| sin
N +1
?
?
?
P
? , m? ) sin2 ?j0 m ein? kj0 + O(?)
3
V
(n
a
?
?
N +1
(n? ,m? )??
?
?
= ?aeikj0 n ?
?Ч
?
P
?
?
2 ?j0 m
?
?
2
+ O(?)
V (n , m ) sin
2iA + a
N
+
1
(n? ,m? )??
?j m p
0
Ч |V (n, m)| sin
+ O(?) =
N +1
?j m p
a2 vj+0
0
|V
(n,
m)|
sin
+ O(?).
a
= 1?
N +1
2iA + a2 vj+0
Лемма доказана.
47
Т е о р е м а 9.2. В условиях леммы 9.2 справедливо равенство
2
a4 vj±0
P? =
2 + O(?).
4A2 + a4 vj+0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем (см. (9.6)) A?
j (?) = O(?), j 6= j0 (если kj0 = O(?), то, как
легко проверить, соотношение lim kj = 0 для j 6= j0 невозможно). Далее, вследствие (9.6)
??0
и леммы 9.2 имеем
?
?
X
(±1)n a2 vj±0
a2
?
2 ?j0 m
n?
?
?
Aj0 (?) = ?
(±1) sin
V (n , m ) 1 ?
+O(?) =
2iA ? ?
N +1
2iA + a2 vj+0
(n ,m )??
a2 vj±0
a2 vj+0 vj±0
a2
±
+ O(?).
+O(?)
=
?
=?
vj0 ?
2iA
2iA + a2 vj+0
2iA + a2 vj+0
Применение ормулы (9.18) завершает доказательство.
С л е д с т в и е 9.2. Волновые операторы ?± (H? , H0 ) существуют и полны. Действительно, в силу теоремы КуродыБирмана [10? достаточно доказать, что
p ?
R? (i) ? R0 (i) = ??R0 (i)V R? (i) = ??R0 (i) |V | V R? (i)
(9.19)
p
?
есть оператор со следом. Ядра операторов R0 (i) |V |, V R0 (i) суммируемы с квадратом,
поэтому эти операторы являются операторами ильбертаШмидта. Следовательно,
?
?
V R? (i) = V R0 (i) (1 ? ?V R? (i))
также есть оператор ильбертаШмидта, а потому оператор (9.19) является оператором
со следом.
џ 10. Вспомогательные конструкции и утверждения
Последние три параграа работы посвящены изучению задачи рассеяния для разностного
оператора
H = H0 + V(n) + ?W(n), n = (n1 , n2 , n3 ) ? Z3 ,
действующего в l2 (Z3 ). Здесь H0 действует по ормуле
(H0 ?)(n) = ?(n1 + 1, n2 , n3 ) + ?(n1 ? 1, n2 , n3 ) + ?(n1 , n2 + 1, n3 ) + ?(n1 , n2 ? 1, n3 ) +
+ ?(n1 , n2 , n3 + 1) + ?(n1 , n2 , n3 ? 1),
V(n) вещественный периодический потенциал по всем переменным nj , j = 1, 2, 3, с периодом
T > 1, W(n) вещественный периодический по переменным n1 , n2 с периодом T ненулевой
потенциал, удовлетворяющий оценке
|W(n)| 6 Ce??|n3 | ,
? > 0,
(10.1)
? > 0 малый параметр. Оператор H представляет собой гамильтониан электрона в периодической слоистой структуре в конечно-разностном приближении.
В этом параграе приведены, в основном, известные вспомогательные конструкции и утверждения, необходимые для дальнейших рассуждений и используемые в доказательствах.
ассмотрим унитарный оператор (ср. [17, 25?)
Z ?
2
3
2
2
? def
l2 (?0 )dk,
U : l (Z ) ? l (?0 ) ? L (?0 ) =
??0
? ? l2 (Z3 ) 7? (U ?)(n, k) = ?(n,
b k) =
T 3/2 X
e?iT (?,k) ?(n + T ?)?0 Ч?? ,
0
2?
3
??Z
48
где ?0 = {0, 1, . . . , T ? 1}3 и ??0 = [0, 2?/T )3 ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим HV = H0 + V(n). Оператор U HV U ?1 задается семейством операторов
HV (k) = H0 (k) + V, действующих в l2 (?0 ), где k = (k1 , k2 , k3 ) ? ??0 квазиимпульс, а оператор
H0 (k) имеет тот же вид, что и оператор H0 , но с использованием свойства блоховости
?(n
b + T n0 , k) = eiT (n0 ,k) ?(n,
b k)
(10.2)
в случае nj ± 1 6? {0, . . . , T ? 1}, j = 1, 2, 3. При этом говорят, что оператор HV разложен
Z ?
l2 (?0 )dk .
в прямом интеграле пространств
??0
Для исследования оператора H потребуется также унитарный оператор (ср. [31, 32?)
def
Uk : l2 (Z3 ) ? l2 (?) ? L2 (?? ) =
? ? l2 (Z3 ) 7? (Uk ?)(n, kk ) = ??(n, kk ) =
Z
?
??
l2 (?)dkk ,
(10.3)
T X ?iT (µ,kk )
e
?(n + T (µ, 0))?Ч?? ,
2?
2
µ?Z
где ? = {0, 1, . . . , T ? 1}2 Ч Z, ?? = [0, 2?/T )2 , kk = (k1 , k2 ). Свойство блоховости здесь имеет
вид
??(n + T (n0k , 0), kk ) = eiT (n0k ,kk ) ??(n, kk ).
(10.4)
Z ?
l2 (?)dkk
Оба оператора HV и H могут быть разложены в прямом интеграле пространств
??
в семейства операторов HV (kk ) и H(kk ) соответственно.
Обозначим через ?(A) и ?ess (A) спектр и существенный спектр оператора A соответственно.
Заметим, что ?(HV (kk )) имеет ѕзонную структуруї (см. [17?), то есть справедливо равенство
[
?(HV (kk )) =
?(HV (k)),
k3 ?[0,2?/T )
и спектр ?(HV (kk )) состоит, таким образом, из объединения промежутков (зон). Подобно [31?
можно доказать следующее равенство:
?ess (H(kk )) = ?(HV (kk )).
3
Оператор HV (k), действующий в конечномерном пространстве l2 (?0 ) ?
= CT , является самосопряженным, и, следовательно, в l2 (?0 ) существует ортонормированный базис, состоящий
из собственных векторов ?m (n, k) оператора HV (k), отвечающих собственным значениям ?m (k),
m = 1, . . . , T 3 , занумерованных, с учетом кратности, в порядке возрастания. Ядро резольвенты
(ункцию рина) оператора HV (k) обозначим через
3
T
X
?m (n, k)?m (n? , k)
GV (n, n , k, ?) =
.
?m (k) ? ?
?
(10.5)
m=1
Через GV (n, n? , kk , ?) будем обозначать ункцию рина оператора HV (kk ). Связь между двумя
ункциями рина выражается ормулами (ср. [25?)
GV (n ? (0, 0, T m3 ), n? , kk , ?) = GV (n, n? + (0, 0, T m3 ), kk , ?) =
Z 2?/T
T
GV (n, n? , k, ?)e?iT m3 k3 dk3 , (10.6)
=
2? 0
GV (n, n? , k, ?) =
X
m3 ?Z
eiT m3 k3 GV (n ? (0, 0, T m3 ), n? , kk , ?).
49
Пусть ?0 = ?m0 (k0 ), где k0 = (k10 , k20 , k30 ) невырожденное собственное значение оператора HV (k0 ), отвечающее нормированному собственному вектору ?m0 (n, k0 ). Можно считать,
что ункции ?m0 (k), ?m0 (n, k) аналитически зависят от k в некоторой окрестности точки k0
(см. [17?). В дальнейшем предполагается, что
??m0 (k0 )/?k3 = 0,
? 2 ?m0 (k0 )/?k32 6= 0.
(10.7)
В силу (10.7) и теоремы о неявной ункции [6? уравнение ??m0 (k)/?k3 = 0 задает в окрестности
(0)
(0)
точки k0 поверхность, описываемую аналитической ункцией k3 = k3 (kk ), где kk принадлежит некоторой окрестности точки k0k = (k10 , k20 ). Далее, будем предполагать, что в окрестности точки k0 равенство ?m (k) = ?0 при иксированном kk может выполняться не более
(m,?) чем в конечном числе точек km,? = kk, k3
, ? = 1, . . . , Am , в которых для m 6= m0 при
этом выполнено соотношение ??m (km,? ) ?k3 6= 0, а собственные значения ?m (km,? ) невырождены. Множество точек km,? , в которых данные производные положительны (соответственно
отрицательны) обозначим через N+ (соответственно через N? ). Далее, произвольные n, n? ? ?
запишем в виде
n = n0 + T (0, 0, ?), n? = n?0 + T (0, 0, ? ? ),
p
?
где n0 , n?0 ? ?0 , ?, ? ? ? Z. Введем обозначение (только для W) W = |W|sgnW.
Согласно [31?, уравнение ?m0 (k) = ?, рассматриваемое относительно k3 , имеет для kk
из окрестности точки k0k ровно два решения k3j = k3j (kk , ?), j = 1, 2, аналитически зави(0)
сящие от kk , ? там, где k31 6= k32 , и сливающиеся, если k = k0 . Положим ?j = k3j ? k3 (kk ),
j = 1, 2, тогда имеем ?2 = f (?1 ), где f аналитическая ункция такая, что f ? (0) = ?1 (см. [31?).
Таким образом, ?2 = ??1 + o(?1 ). В дальнейшем вместо параметра ? будем часто пользоваться
(0)
параметром ?1 . Аргумент kk у ункции k3 для краткости обычно будет опускаться.
Из (10.5), (10.6), как и в [31, 33?, можно получить следующие утверждения, в которых приведены несколько отличающиеся друг от друга ормулы для ункции рина GV (n, n? , kk , ?).
Л е м м а 10.1. Для точек ? 6= ?0 из достаточно малой окрестности точки ?0 имеет
место ормула
GV (n0 + T (0, 0, ?), n?0 + T (0, 0, ? ? ), kk , ? + i0) =
X
?m (n0 + T (0, 0, ?), km,? )?m (n?0 + T (0, 0, ? ? ), km,? )
T
Ч
=?
i
??m (km,? )/?k3
m:km,? ?N+
+
T
i
X
Ч ?(? ? ? ? ? 1) +
m:km,? ?N?
?m (n0 + T (0, 0, ?), km,? )?m (n?0 + T (0, 0, ? ? ), km,? )
Ч
??m (km,? )/?k3
Ч ?(? ? ? ?) + ?(n, n? , kk , ?),
где ?(t) ункция Хевисайда, а ? удовлетворяет оценке
?
|?(n, n? , kk , ?)| 6 Ce??|??? | ,
причем
p
? > 0,
p
?(n, n? , kk , ?) W(n? )
W(n)?(n, n? , kk , ?),
аналитически зависят от (kk , ?) из некоторой окрестности точки (k0k , ?0 ) как l2 (? Ч ?)значные ункции.
В следующей лемме опускаем ±i0 в выражении ?1 ± i0 (см. ниже замечание перед леммой 11.1).
50
Л е м м а 10.2. Для точек (kk , ?1 ), где ?1 6= 0, из достаточно малой окрестности точки
(k0k , 0) справедливо равенство
(0)
(0)
GV (n, n? , kk , ?1 ) = ?
T ?m0 (n, (kk , k3 ))?m0 (n? , (kk , k3 )
(0)
i?1 ? 2 ?m0 (kk , k3 )/?k32
+ g(n, n? , kk , ?1 ),
p
p
причем |W(n)|g(n, n? , kk , ?1 ) W(n? ) является l2 (? Ч ?)-значной аналитической ункцией
от (kk , ?1 ) в окрестности точки (k0k , 0).
џ 11. Уравнение ЛиппманаШвингера для слабо возмущенного оператора
В этом параграе доказаны существование и единственность решения модиицированного
уравнения ЛиппманаШвингера, а также найдена асимптотическая ормула для его решения.
Уравнение ЛиппманаШвингера в l2 (Z3 ), отвечающее оператору H, запишем в виде
X
?(n) = ?m0 (n, k) ? ?
(11.1)
GV (n, n? , ? + i0)W(n? )?(n? ),
n? ?Z3
где GV (n, n? , ?) ункция рина оператора HV в l2 (Z3 ), ? = ?m0 (k) принадлежит внутренности одной из зон, причем выбираем k3 = k31 (см. выше). Применяя к (11.1) (ормально)
оператор Uk и пользуясь (10.3), (10.4), получим уравнение ЛиппманаШвингера в ячейке ?:
X
2?
?m0 (n, k)?per (kk ? k?k ) ? ?
GV (n, n? , k?k , ? + i0)W(n? )??(n? , k?k ),
T
?
??(n, k?k ) =
(11.2)
n ??
где
def
?per (kk ) =
X
?(kk +
µ?Z2
и
GV (n, n? , kk , ?) =
X
µ?Z2
2?
µ)
T
eiT (µ,kk ) GV (n ? T (µ, 0), n? , ?)
ункция рина оператора HV (kk ) (ср. [25?).
(0)
Полагая k3 = k31 = k3 (kk ) + ?1 , запишем, с помощью леммы 10.2, уравнение (11.2) для kk ,
близких к k0k , и малых ?1 в виде
??(n, k?k ) =
2?
?m0 (n, k)?per (kk ? k?k ) +
T
(0)
?T ?m0 (n, (k?k , k3 )) X
(0)
+
?m0 (n? , (k?k , k3 ))W(n? )??(n? , k?k ) ?
(0)
2
2
i?1 ? ?m0 (k?k , k3 )/?k3 n? ??
X
??
g(n, n? , k?k , ?1 )W(n? )??(n? , k?k ).
(11.3)
n? ??
Обозначим через K(k?k , ?1 ) оператор с ядром
p
p
? |W(n)|g(n, n? , k?k , ?1 ) W(n? ).
p
p
Введем обозначения ? = |W|??, ?m0 = |W|?m0 и положим
(11.4)
?(n, k?k ) = (1 ? ?K(k?k , ?1 ))?(n, k?k ).
Для новой неизвестной ункции ? уравнение (11.3) примет вид
(0)
?T ?m0 (n, (k?k , k3 ))
2?
Ч
?(n, k?k ) =
?m0 (n, k)?per (kk ? k?k ) +
(0)
T
i?1 ? 2 ?m0 (k?k , k3 )/?k32
Xq
(0)
Ч
W(n? ) ?m0 (n? , (k?k , k3 )) ?(n? , k?k ) + ?K(k?k , ?1 )?(n, k?k ).
n? ??
51
(11.5)
ешение ? уравнения (11.5) будем искать в классе l2 (?)-значных обобщенных периодических
ункций с периодом 2?/T по переменным k?j , j = 1, 2, поскольку такой ункцией является ѕправая частьї уравнения (11.5) (2?/T )?m0 (n, k)?per (kk ? k?k ). Поэтому поясним действие
операторнозначной ункции K в (11.4), (11.5) на векторнозначную обобщенную ункцию.
Заметим, что K можно (не единственным образом) представить в виде ряда (см. [38?)
K(k?k , ?1 ) =
?
X
?m ?m (k?k )Am ,
m=1
где {?m } ? l1 , {?m } и {Am } сходящиеся к нулю последовательности в E(?) и L(l2 (?)) соответственно. Тогда
(K(k?k , ?1 )?(n, k?k ))(?) =
?
X
?m Am ?(n, k?k )(?m ?),
m=1
? ? D(?).
Корректность такого действия нетрудно обосновать с помощью теории топологических тензорных произведений (см. [4043?).
В дальнейшем будем предполагать, что
?1 = A?,
A = onst 6= 0,
(11.6)
тогда ?2 = ?A? + o(?) (см. рассуждения перед леммой 10.1). Данное предположение означает,
что для малых потенциалов рассматриваются частицы с малой третьей компонентой скорости
(см. ниже). Заметим, что выбор знака ? + i0 в уравнении (11.2) означает выбор определенного
знака у ?1 ± i0. Принятое условие (11.6) делает полюс в точке ?1 = 0 (см. (11.3)) устранимым.
Таким образом, выбор знака не играет роли и в дальнейшем опускается.
Л е м м а 11.1. Предположим, что выполнено (11.6). Тогда для k?k из некоторой окрестности точки k0k и достаточно малых ? существует единственное решение уравнения ЛиппманаШвингера в ячейке ? (11.2) вида
2?
(0) ?m0 n, kk , k3
Ч
T
(0) iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32
+ O(?) ?per (kk ? k?k ),
Ч
(0) iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 ? W0
??(n, k?k ) =
где
(11.7)
(0) (0) ,
W0 = T ?m0 n, kk , k3
, W(n)?m0 n, kk , k3
p
а величина W(n)O(?) аналитически зависит от kk , ? как l2 (?)значная ункция и удовлетворяет оценке
p
k W(n)O(?)k 6 C?, C = onst.
(11.8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (11.4) и (11.5) имеем в окрестности точки k0k
?=
2?
(0) ?m0 (n, k)?per kk ? k?k + C?m0 n, k?k , k3
,
T
(11.9)
где C не зависит от n. Подставляя (11.9) в (11.5), находим выражение для C и затем получаем
ормулу
?(n, k?k ) = (1 ? ?K)?1 ?(n, k?k ) =
(0) 2? iA? 2 ?m0 k?k , k3 /?k32
(0) =
+
O(?)
?
k
?
k?
n,
k?
,
k
?
.
m
per
k
k
k
0
3
T iA? 2 ?m k?k , k(0) ? W0
0
3
p
Аналитическая зависимость W(n)O(?) от kk , ? следует из леммы 10.1, а оценка (11.8) очевидна.
52
џ 12. ассеяние для слабо возмущенного оператора
В данном параграе описана картина рассеяния для оператора H в случае малого ? и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер ?W.
Получены простые ормулы для вероятностей прохождения и отражения.
Пользуясь (11.2), (11.7), а также леммой 10.1, запишем решение ? уравнения (11.2) в виде,
подходящем для исследования рассеяния. Имеем, для n0 , n?0 ? ?0 ,
2?
T
?? n0 + T (0, 0, ?), k?k =
Ч
1+
(0) 2
T
iA? ?m0 kk , k3 /?k32 ? W0
X
(0) 2
?
?
?
?
Ч
?m0 n0 + T (0, 0, ? ), kk , k3
| W(n0 + T (0, 0, ? )) ?m0 (n, (kk , k31 ))?per kk ? k?k +
n? ??,? ? 6??1
+
2?
T
T iA? 2 ?m kk , k(0) /?k 2 ? W0
0
3
3
X
n? ??,? ? >?
?m0 n?0 +T (0, 0, ? ? ), kk , k(0) 2 W(n?0 +T (0, 0, ? ? )) Ч
3
Ч ?m0 (n, (kk , k32 ))?per kk ? k?k + O(?)?per kk ? k?k .
(12.1)
Здесь ? является суммой слагаемых, порожденных слагаемым ? в лемме 10.1, а также
слагаемыми, отвечающими km,? 6= (kk , k3j ), j = 1, 2 (у этих слагаемых знаменатели по условию
не обращаются в нуль при ?m (k) = ?0 , и, таким образом, все они войдут в состав O(?)). Легко
видеть, что величина O(?) аналитически зависит от (kk , ?), близких к (k0k , 0).
Используя (10.3), (10.4), (12.1), найдем решение исходного уравнения ЛиппманаШвингера (11.1) в Z2 (точный смысл интеграла от периодической обобщенной ункции см. в [34?).
Имеем для n = n + T (µk , 0), где n = n0 + T (0, 0, µ3 ) ? ?, n0 ? ?0 ,
Z
T
T
iT (µk ,k?k )
?(n) =
e
?? n, k?k dk?k = 1 +
Ч
2
2? ??
iA? ?m0 kk , ?k32 ? W0
X
(0) 2
?
?
?
?
?m0 n0 + T (0, 0, µ3 ), kk , k3
W(n0 + T (0, 0, µ3 )) ?m0 (n, (kk , k31 )) +
Ч
n? ??,µ?3 6µ3 ?1
+
iA? 2 ?m0
T
kk , k32 ? W0
X
n? ??,µ?3 >µ3
?m n?0 + T (0, 0, µ?3 ), kk , k(0) 2 Ч
0
3
(12.2)
Ч W(n?0 + T (0, 0, µ?3 )) ?m0 (n, (kk , k32 )) + O(?).
Отсюда получаем следующее утверждение.
Л е м м а 12.1. В условиях леммы 11.1 имеем равенства
?(n) = a+ ?m0 (n, (kk , k31 )) + ?+ (n) + O(?),
n3 > 0,
?(n) = ?m0 (n, (kk , k31 )) + a? ?m0 (n, (kk , k32 )) + ?? (n) + O(?),
где
n3 < 0,
(12.3)
(0) iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32
i??m0 (kk , k31 )/?k3
a+ =
+ O(?),
=
(0)
i??m0 (kk , k31 )/?k3 ? ?W0
iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 ? W0
W0
?W0
a? =
+ O(?),
=
(0)
i??m0 (kk , k31 )/?k3 ? ?W0
iA? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 ? W0
а ункции ?± (n) = ?± (n, k) удовлетворяют неравенству (10.1) и аналитически зависят от k
как l2 (?± )-значные ункции, где ?+ = ? ? {n3 > 0}, ?? = ? ? {n3 < 0}.
Из рассмотрения нестационарного уравнения Шрјдингера и волновых пакетов вытекает
равенство P± = |a± |2 . Отсюда получаем теорему.
53
Т е о р е м а 12.1. Имеют место равенства
(0) (??m0 (kk , k31 )/?k3 )2
A2 (? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 )2
+
O(?)
=
+ O(?),
P+ =
(0)
(??m0 (kk , k31 )/?k3 )2 + ?2 W20
A2 (? 2 ?m0 kk , k3 /?k32 )2 + W20
P? = |a? |2 =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
W20
(0) A2 (? 2 ?m0 kk , k3
/?k32 )2 + W20
+ O(?) =
?2 W20
+ O(?).
(??m0 (kk , k31 )/?k3 )2 + ?2 W20
Список литературы
B
uttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalizet many-hannel ondutane formula with
appliation to small rings // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. ќ 10. P. 62076215.
Miroshnihenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonanes in disrete arrays // Phys. Rev. E. 2005.
Vol. 72. ќ 5. 056611 (7 p).
Bellissard J., Shulz-Baldes H. Sattering theory for lattie operators in dimension d > 3 // Rev. Math.
Phys. 2012. Vol. 24. 1250020 (51 p).
Karahalios N.I. The number of bound states for a disrete Shrodinger operator on ZN , N > 1, latties //
J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. ќ 45. 455201.
Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport in
multi-branh iruits // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. ќ 5. 052201 (5 p).
Ptitsyna N., Shipman S.P. A lattie model for resonane in open periodi wavequides // arXiv:
1101.0170v1 [math-ph?. 2010.
Чубурин Ю.П. Об одном дискретном операторе Шрјдингера на грае // Теор. и матем. изика.
2010. Т. 165. ќ 1. С. 119133.
Арсеньев А.А. езонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении
сильной связи // Теор. и матем. изика. 2004. Т. 141. ќ 1. C. 100112.
Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрјдингера на решетке //
Теор. и матем. изика. 2008. Т. 155. ќ 2. С. 287300.
Chung F., Yau S.-T. Disrete Green's Funtion // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2000.
Vol. 91. ќ 12. P. 191214.
Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soer A. Eigenvalue repulsion estimates and some appliations
for the one-dimensional Anderson model // J. Phys. A.: Math. Theor. 2011. Vol. 44. ќ 30. 305206 (19 p).
Rabinovih V.S., Roh S. Essential spetra and exponential estimates of eigenfuntions of lattie operators
of quantum mehanis // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. ќ 38. 385207 (21 p).
Dutkay D.E., Jorgensen P.E.T. Spetral theory for disrete Laplaians // Complex Analysis and Operator
Theory. 2010. Vol. 4. ќ 1. P. 138.
Evans M., Harrell II. On the behavior at innity of solutions to dierene equations in Shrodinger
form // arXiv:1109.4691v1 [math.CA?. 2011.
ид M., Саймон Б. Методы современной математической изики. Т. 1. Функциональный анализ.
М.: Мир, 1977. 360 .
ид М., Саймон Б. Методы современной математической изики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир,
1982. 446 .
ид М., Саймон Б. Методы современной математической изики. Т. 4. Анализ операторов. М.:
Мир, 1982. 428 .
Тинюкова Т.С., Чубурин Ю.П. Квазиуровни дискретного оператора Шрјдингера с убывающим потенциалом на грае // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные
Науки. 2009. Вып. 3. С. 104113.
Тинюкова Т.С. Квазиуровни дискретного оператора Шрјдингера для квантового волновода //
Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2.
С. 8897.
Тинюкова Т.С. Уравнение ЛиппманаШвингера для квантовых проволок // Вестник Удмуртского
университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 99104.
Тинюкова Т.С. ассеяние в случае дискретного оператора Шрјдингера для пересекающихся квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные
науки. 2012. Вып. 3. С. 7484.
Тинюкова Т.С. Дискретное уравнение Шрјдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 8093.
Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Eletron sattering by a rystal layer // Theor. Math. Phys. 2013.
Vol. 176. ќ 3. P. 12071219.
Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шрјдингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.
54
25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-partile disrete Shrodinger operator with a
perturbed periodi potential // J. Phys. A.: Math. Theor. 2008. Vol. 41. 435205 (11 p).
26. Альбеверио С., естези Ф., Хјэг-Крон ., Хольден Х. ешаемые модели в квантовой механике. М.:
Мир, 1991. 568 с.
27. атауллин Т.М., Карасев М.В. О возмущении квазиуровней оператора Шрјдингера с комплексным
потенциалом // Теор. и матем. изика. 1971. Т. 9. ќ 2. С. 252263.
28. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.: Мир, 1975.
567 с.
29. аннинг ., осси Х. Аналитические ункции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.
395 .
30. Морозова Л.Е., Чубурин Ю.П. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шрјдингера с убывающим потенциалом // Известия Института математики и инорматики УдУ. 2004. Вып. 1 (29).
С. 8594.
31. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шрјдингера с периодическим потенциалом //
Теор. и матем. изика. 1997. Т. 110. ќ 3. C. 443453.
32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodi Shrodinger operator // Commun. Math. Phys.
2004. Vol. 249. P. 497510.
33. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шрјдингера в случае полуограниченного кристалла // Теор.
и матем. изика. 1994. Т. 98. ќ 1. С. 3847.
34. Владимиров В.С. Уравнения математической изики. М.: Наука, 1971. 512 .
35. Shwartz L. Theorie des distributions a valeurs vetoriels I // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 7. P. 1142.
36. Shwartz L. Theorie des distributions a valeurs vetoriels II // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 8. P. 1210.
37. Grothendiek А. Produits tensoriels topologiques et espaes nuleaires. Amerian Mathematial Soiety,
1979.
38. Шеер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.
Поступила в редакцию 21.08.2013
REFERENCES
1. B
uttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalizet many-hannel ondutane formula with
appliation to small rings, Phys. Rev. B., 1985, vol. 31, no. 10, pp. 62076215.
2. Miroshnihenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonanes in disrete arrays, Phys. Rev. E.,
2005, vol. 72, no. 5, 056611 (7 p).
3. Bellissard J., Shulz-Baldes H. Sattering theory for lattie operators in dimension d > 3, Rev. Math.
Phys., 2012, vol. 24, 1250020 (51 p).
4. Karahalios N.I. The number of bound states for a disrete Shrodinger operator on ZN , N > 1,
latties, J. Phys. A: Math. Theor., 2008, vol. 41, no. 45, 455201.
5. Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport
in multi-branh iruits, Phys. Rev. B., 2012, vol. 85, no. 5, 052201 (5 p).
6. Ptitsyna N., Shipman S.P. A lattie model for resonane in open periodi wavequides, 2010, arXiv:
1101.0170v1 [math-ph?.
7. Chuburin Yu.P. A disrete Shrodinger operator on a graph, Theor. Math. Phys., 2010, vol. 165, issue 1,
pp. 13351347.
8. Arseniev А.А. Resonanes and tunneling in the tight-binding approximation to sattering in a quantum
billiard, Theor. Math. Phys., 2004, vol. 141, issue 1, pp. 14151426.
9. Lakaev S.N., Khalkhuzhaev A.M. Spetrum of the two-partile Shrodinger operator on a lattie,
Theor. Math. Phys., 2008, vol. 155, issue 2, pp. 754765.
10. Chung F., Yau S.-T. Disrete Green's funtion, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 2000,
vol. 91, no. 12, pp. 191214.
11. Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soer A. Eigenvalue repulsion estimates and some appliations
for the one-dimensional Anderson model, J. Phys. A.: Math. Theor., 2011, vol. 44, no. 30, 305206 (19 p).
12. Rabinovih V.S., Roh S. Essential spetra and exponential estimates of eigenfuntions of lattie
operators of quantum mehanis, J. Phys. A: Math. Theor., 2009, vol. 42, no. 38, 385207 (21 p).
13. Dutkay D.E., Jorgensen P.E.T. Spetral theory for disrete Laplaians, Complex Analysis and Operator
Theory, 2010, vol. 4, no. 1, pp. 138.
14. Evans M., Harrell II. On the behavior at innity of solutions to dierene equations in Shrodinger
form, 2011, arXiv:1109.4691v1 [math.CA?.
15. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematiheskoi ziki. I. Funktsionalnyi analiz (Methods of
modern mathematial physis, Vol. I: Funtional analysis), Mosow: Mir, 1977, 360 p.
55
16. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematiheskoi ziki. III. Teoriya rasseyaniya (Methods of
modern mathematial physis, Vol. III: Sattering theory), Mosow: Mir, 1982, 443 p.
17. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematiheskoi ziki. IV. Analiz operatorov (Methods of
modern mathematial physis. IV. Analysis of operators), Mosow: Mir, 1982, 428 p.
18. Tinyukova Т.S., Chuburin Yu.P. Quasilevels of the disrete Shrodinger equation with a dereasion
potential on a graph, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2009, no. 3, pp. 104113.
19. Tinyukova Т.S. Quasilevels of the disrete Shrodinger operator for a quantum waveguide, Vestn.
Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, no. 2, pp. 8897.
20. Тinyukova Т.S. The LippmannShwinger equation for quantum wires, Vestn. Udmurt. Univ. Mat.
Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, no. 1, pp. 99104.
21. Тinyukova Т.S. Sattering in the ase of the disrete Shrodinger operator for interseted quantum
wires, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 3, pp. 7484.
22. Тinyukova Т.S. The disrete Shrodinger equation for a quantum waveguide, Vestn. Udmurt. Univ.
Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 4, pp. 8093.
23. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Eletron sattering by a rystal layer, Theor. Math. Phys, 2013,
vol. 176, no. 3, pp. 12071219.
24. Berezin F.A., Shubin М.А. Uravnenie Shredingera (Shrodinger equaion), Мosow: Mosow State
University, 1983, 392 p.
25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-partile disrete Shrodinger operator with a
perturbed periodi potential, J. Phys. A.: Math. Theor., 2008, vol. 41, 435205 (11 p).
26. Albeverio S., Gesztesy F., Hшegh-Krohn R., Holden H. Reshaemye modeli v kvantovoi mekhanike
(Solvable models in quantum mehanis), Мosow: Мir, 1991, 568 p.
27. Gataullin T.M., Karasev M.V. On the perturbation of the quasilevels of a Shrodinger operator with
omplex potential, Theor. Math. Phys., 1971, vol. 9, issue 2, pp. 11171126.
28. Taylor J. Teoriya rasseyaniya. Kvantovaya teoriya nerelyativistskikh stolknovenii (Sattering theory:
the quantum theory of nonrelativisti ollisions), Мosow: Мir, 1975, 567 p.
29. Gunning R., Rossi H. Analyti funtions of several omplex variables, New York: Prentie-Hall, 1965.
30. Morozova L.E., Chuburin Yu.P. On levels of the one-dimensional disrete Shrodinger operator with
a dereasing small potential, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2004, no. 1 (29), pp. 8594.
31. Chuburin Yu.P. On small perturbations of the Shrodinger operator with a periodi potential, Theor.
Math. Phys., 1997, vol. 110, issue 3, pp. 351359.
32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodi Shrodinger operator, Commun. Math.
Phys., 2004, vol. 249, pp. 497510.
33. Chuburin Yu.P. Solutions of the Shrodinger equation in the ase of a semiinnite rystal, Тheor.
Math. Phys., 1994, vol. 98, issue 1, pp. 3847.
34. Vladimirov V.S. Uravneniya matematiheskoi ziki (Equations of mathematial physis), Мosow:
Nauka, 1971, 512 p.
35. Shwartz L. Theorie des distributions a valeurs vetoriels I, Ann. Inst. Fourier., 1958, vol. 7, pp. 1142.
36. Shwartz L. Theorie des distributions a valeurs vetoriels II, Ann. Inst. Fourier., 1958, vol. 8, pp. 1
210.
37. Grothendiek А. Produits tensoriels topologiques et espaes nuleaires, Amerian Mathematial
Soiety, 1979.
38. Shaefer H.H. Topologiheskie vektornye prostranstva (Topologial vetor spaes), Мosow: Мir, 1971,
360 p.
Reeived 21.08.2013
T. S. Tinyukova
Research of the difference Schro?dinger operator for some physical models
In this paper, the discrete Schro?dinger operator on a perturbed by the decreasing potential graph with vertices at
the two intersecting lines is considered. We investigate spectral properties of this operator and the scattering problem
for the above operator in the case of a small potential and also in the case when both a potential and velocity of
a quantum particle are small. Asymptotic formulas for the probabilities of the particle propagation in all possible
directions are obtained. In addition, we investigate the spectral properties of the discrete Schro?dinger operator for the
infinite band with zero boundary conditions. The scattering pattern is described. Simple formulas for transmission
and reflection coefficients near boundary points of the subbands (this corresponds to small velocities of quantum
particles) for small potentials are obtained. We consider a one-particle discrete Schro?dinger operator with a periodic
potential perturbed by a function which is periodic in two variables and exponentially decreases in third variable. In
the paper, we also investigate the scattering problem for this operator near the extreme point of the eigenvalue of
56
the periodic Schro?dinger operator in the cell with respect to the third component of the quasimomentum, i.e. for the
small perpendicular component of the angle of incidence of a particle on the potential barrier. Simple formulas of the
propagation and reflection probabilities are obtained.
Keywords: difference Schro?dinger operator, resonance, eigenvalue, Lippmann?Schwinger equation, scattering, propagation and reflection probabilities.
Mathematical Subject Classifications: 81Q10, 81Q15
Тинюкова Татьяна Сергеевна, старший преподаватель, каедра математического анализа, Удмуртский государственный университет, 426034, оссия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: tashihmail.ru
Tinyukova Tat?yana Sergeevna, Senior Lecturer, Department of Mathematical Analysis, Udmurt State University,
ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: tashih@mail.ru
57
?еляет аналитическую ункцию
в V \ S со значениями в l2 (? Ч ?). Следовательно, и L(?) является аналитической ункцией
в V \ S со значениями в L(l2 (?)).
Вследствие оценок (8.4) и (8.5) kL(?)k < 1 для достаточно больших |?|. Отсюда вытекает
существование обратного оператора (1 ? L(?))?1 для таких ?. В силу аналитической теоремы
Фредгольма (м. [15?) это доказывает лемму.
С л е д с т в и е 8.1. В комплексной окрестности произвольной точки ?0 ? ?(H0 ) может
быть лишь конечное число квазиуровней. Не более, чем счетное множество S может иметь
?j
предельные точки либо на границе V, либо в множестве точек ±2 + 2 cos
, j = 1, . . . , N.
N +1
?j
Но в окрестности точек ±2 + 2 cos
ункция l становится мероморной после замены
N +1
?j cos kj = ? ? 2 cos
(8.6)
2,
N +1
где kj меняется в окрестности точки 0 или точки ?, причем, например, для kj ? 0 имеем
?
?
l(n ? n , m, m , kj ) =
p
?jm? ?jm |V (n, m)|V (n? , m? ) 2
sin
+ O(1)
a sin
2ikj
N +1
N +1
(8.7)
(легко видеть, что случай sin kj = sin kj ? = 0 возможен лишь если j = j ? ). Следовательно, вычет является оператором ранга один, и в силу мероморной теоремы Фредгольма [17?
в окрестности точек kj = 0 оператор (1 ? L(kj ))?1 существует всюду, кроме, возможно,
конечного числа точек.
Т е о р е м а 8.1. Справедливо равенство
?ess (H? ) = ?(H0 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что V относительно компактное возмущение оператора H0 , то есть что оператор V R0 (?) компактен для некоторого ? 6? ?(H0 ). Имеем
X
X
(n,m)?? (n? ,m? )??
?
?
2
|V (n, m)G0 (n, m, n , m , ?)| 6 C
=C
X
e?2?|n|
n?Z
N X
X
j=1 n? ?Z
X
?2?|n|
e
n?Z
N
XX
n? ?Z j=1
?
|qj ||n?n | =
?
|qj ||n | < +?,
где |qj | < 1, j = 1, . . . , N, C = onst. Следовательно, оператор V R0 (?) является оператором
ильбертаШмидта, а значит, компактен. Утверждение данной теоремы вытекает из теоремы 1.1.
О п р е д е л е н и е 8.1 (ср. определение 3.2). Назовем резонансом оператора H? значение
? ? V, не являющееся собственным значением, для которого существует ненулевое решение
? ? l2 (?) уравнения
p
?
? = ?? |V |R0 (?) V ?
(8.8)
(здесь ? 6= ±2 + 2 cos
?j
, j = 1, . . . , N ).
N +1
40
О п р е д е л е н и е 8.2. Назовем квазиуровнем оператора H? его собственное значение или
резонанс.
В силу аналитической теоремы Фредгольма (см. теорему 1.2 в џ 1) и равенства
p
p
p
?
?
?
|V |R? (?) V = (1 + ? |V |R0 (?) V )?1 |V |R0 (?) V
(8.9)
? является квазиуровнем
только тогда, когда в этой точке существует полюс операp тогда и ?
торнозначной ункции |V |R? (?) V .
Т е о р е м а 8.2. Предположим, что для некоторого j ? {1, . . . , N }
?jm? X
?
V (n? , m? ) 6= 0.
vj± =
(±1)n sin2
N
+
1
?
?
2
(8.10)
(n ,m )??
?j
для всех достаточно малых ? > 0
N +1
±
существует единственный квазиуровень ?±
j = ?j (?) оператора H? , аналитически зависящий
от ?, для которого справедлива ормула
Тогда в некоторой окрестности точек ?±
j0 = ±2+2 cos
?±
j (?)
?v ± 2
?j
j
+ O(?4 ).
±
= ±2 + 2 cos
N +1
N +1
(8.11)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В окрестности, например, точки ?+
j0 произведем замену (8.6) с kj
из окрестности нуля. Тогда (см. (8.7)) уравнение (8.8) можно записать в виде
?a2
?(n, m) = ?
p
|V (n, m)| sin
2ikj
?jm N +1 Ч
Ч
X
(n? ,m? )??
p
V (n? , m? ) sin
?jm? ?(n? , m? ) + ?K(kj )?(n, m),
N +1
где K(kj ) некоторый оператор ильбертаШмидта, аналитически зависящий от kj . Положим
для достаточно малых ?
?(n, m) = (1 ? ?K(kj ))?(n, m),
тогда
?a2
?(n, m) = ?
Ч sin
p
|V (n, m)| sin
2ikj
?jm N +1
X
(n? ,m? )??
p
V (n? , m? ) Ч
?jm? ?jm p
(1 ? ?K(kj ))?1 ?(n? , m? ) = C |V (n, m)| sin
,
N +1
N +1
где C = onst, откуда
kj = ?
?a2
2i
X
(n? ,m?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
544 Кб
Теги
физическая, разностного, уравнения, некоторые, моделей, шрёдингера, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа