close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование сходимости явной разностной схемы для параболического уравнения с нелинейным нелокальным пространственным оператором.

код для вставкиСкачать
Том 155, кн. 4
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические науки
2013
УДК 519.6
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ
РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ НЕЛОКАЛЬНЫМ
ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
О.В. Глазырина, М.Ф. Павлова
Аннотация
Рассмотрена первая краевая задача для параболического уравнения с вырождающимся по градиенту пространственным оператором, зависящим также от интегральной
характеристики решения. Доказана теорема о сходимости явной разностной схемы при
минимальных предположениях на гладкость исходных данных.
Ключевые слова: параболическое уравнения, монотонный оператор, нелокальный
оператор, явная разностная схема, устойчивость, сходимость.
В работе в ограниченной области Ω ⊂ Rn рассматривается начально-краевая
задача для параболического уравнения с пространственным оператором вида
(Lu)(x, t) = −
n
X
¢
∂ ¡
ai (x, u(x, t))ki (x, ∇u(x, t), (Bu)(t)) ,
∂xi
i=1
x ∈ Ω, t ∈ (0, T ), (1)
где ∇u – градиент u , (Bu) – нелокальная характеристика решения:
Z
Bu(t) = g(x)u(x, t) dx.
(2)
Ω0
Здесь g – известная функция, Ω0 – область, принадлежащая Ω или совпадающая
с ней.
Следует отметить, что нелинейные параболические уравнения с операторами
вида (1) в случае, когда коэффициенты ki зависят лишь от x и ∇u, изучены
достаточно хорошо. Приведем лишь наиболее значимые с нашей точки зрения результаты. В работах [1–5] исследованы свойства дифференциальной задачи, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения. Изучению
приближенных методов решения, в частности, сходимости разностных схем посвящены работы [6–8].
Более поздние исследования показали, что в приложениях возникают также
задачи, в которых пространственный оператор зависит от нелокальной характеристики решения. Например, в работах [9, 10] исследуется математическая модель
процесса распространения популяции бактерий, содержащая параболическое уравнение с пространственным оператором
(Lu)(x, t) = −
n
X
¢
∂ ¡
a((Bu)(t))∇u(x, t) ,
∂xi
i=1
где B – оператор вида (2), a – заданная нелинейная функция.
24
(3)
25
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
Работы [11, 12] являются по сути продолжением и обобщением полученных в
[9, 10] результатов. В [11] доказана теорема существования обобщенного решения
начально-краевой задачи для уравнения
∂ϕ(u)
+ Lu = f.
∂t
(4)
Здесь L – определенный равенством (1) оператор с нелокальной характеристикой
более общего по сравнению с (2) вида. В [12] доказана теорема единственности
решения начально-краевой задачи для уравнения (4) при ϕ(u) = u и при некоторых
дополнительных условиях на оператор L.
В настоящей работе доказана теорема о сходимости явной разностной схемы
для параболического уравнения с пространственным оператором вида (1), (2).
1.
Постановка задачи
Пусть Ω – ограниченная область пространства Rn , Γ – граница области Ω ,
QT = Ω × (0, T ) . В области QT рассмотрим следующую начально-краевую задачу:
n
∂u X ∂
−
(ai (x, u)ki (x, ∇u, Bu)) = f,
∂t
∂xi
i=1
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ Ω,
u(x, t) = 0,
x ∈ Ω,
x ∈ Γ,
t ∈ (0, T ),
(5)
t ∈ [0, T ].
(6)
Здесь ai , ki , u0 – заданные функции, B – оператор вида (2).
В дальнейшем будем предполагать, что ai (x, ξ0 ) , ki (x, ξ, ν), i = 1, . . . , n, непрерывны по всем аргументам и при любых значениях x ∈ Ω, ξ0 , ν ∈ R, ξ 1 , ξ 2 , ξ ∈ Rn
удовлетворяют условиям
0 < β0 ≤ ai (x, ξ0 ) ≤ β1 ,
(7)
| ki (x, ξ, ν) |≤ d0
n
X
| ξj |p−1 +d1 ,
d0 > 0,
d1 ≥ 0,
p > 1,
(8)
d3 > 0,
(9)
j=1
n
X
ai (x, ξ0 )ki (x, ξ, ν)ξi ≥ d2
i=1
n
X
| ξi |p −d3 ,
d2 > 0,
i=1
n
X
ai (x, ξ0 )(ki (x, ξ 1 , ν) − ki (x, ξ 2 , ν))(ξi1 − ξi2 ) ≥ 0.
(10)
i=1
◦
Отметим, что из условий (7), (8) следует, что оператор L, действующий из
0
(Ω) в Wp−1
0 (Ω), где p = p/(p − 1), является ограниченным. Условия (9), (10)
обеспечивают соответственно коэрцитивность и монотонность по градиенту оператора L.
Wp1
◦
Определение 1. Функцию u ∈ Lp (0, T ; Wp1(Ω))
u(x, 0) = u0 (x) п. вс. в Ω,
T
L∞ (0, T ; Lα (Ω)) такую, что
∂u
∈ Lp0 (0, T ; Wp−1
0 (Ω)),
∂t
(11)
назовем обобщенным решением задачи (5), (6), если для любой функции v из
◦
пространства Lp (0, T ; Wp1(Ω)) справедливо следующее интегральное тождество
ZT ¿
0
À
ZT Z X
ZT Z X
n
n
∂u
∂v
∂v
, v dt +
ai (x, u)ki (x, ∇u, Bu)
dx dt =
fi
dx dt. (12)
∂t
∂xi
∂xi
i=1
i=0
0 Ω
0 Ω
26
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
◦
1
Здесь hg, vi – значение функционала g из Wp−1
0 (Ω) на элементе v из Wp (Ω),
n
X ∂
∂v
≡ v, функции fi , i = 0, . . . , n, такие, что f = f0 −
fi .
∂x0
∂xi
i=1
Заметим, что из результатов работы [11] следует существование обобщенного
T ◦1
решения задачи (5), (6) при любых f ∈ Lp0 (0, T ; Wp−1
Wp (Ω) .
0 (Ω)) и u0 ∈ L2 (Ω)
В работе [12] была доказана единственность обобщенного решения задачи (5), (6)
при условии, что оператор L – сильно-монотонный и ai ≡ 1.
2.
Вспомогательные результаты и обозначения
Лемма 1. Пусть g(x) ∈ Lp1 (Ω0 ). Тогда оператор
◦
B : Lp (0, T ; Wp1 (Ω))
T
L∞ (0, T ; L2 (Ω)) → Lpe (0, T )
является непрерывным
1) при pe ∈ [1, +∞), если p1 ≥ 2;
2) при pe = p, если (1 ≤ p1 < µ
2) ∧ (p ≥ n);
¶ µ
¶
np
np
3) при pe = p, если (p < n) ∧
<2 ∧
≤ p1 < 2 .
np − n + p
np − n + p
Доказательство. Пусть p1 ≥ 2. По неравенству Коши – Буняковского
¯Z
¯
¯
¯
¯
|(Bu)(t)| = ¯ g(x) u(x, t) dx¯¯ ≤ kgkL2 (Ω0 ) ku(t)kL2 (Ω) .
Ω0
Так как u ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)), то kBukL∞ (0,T ) ≤ kgkL2 (Ω0 ) kukL∞ (0,T ;L2
ждение 1 доказано.
(Ω)) .
Утвер-
◦
Рассмотрим случай 2. Если p ≥ n, то, как известно, Lp (0, T ; Wp1 (Ω)) ⊂ L∞ (Ω).
Следовательно,
|(Bu)(t)| ≤ kgkL1 (Ω0 ) ku(t)kL∞ (Ω) ≤ kgkL1 (Ω0 ) ku(t)k
◦
Wp1 (Ω)
а потому kBukLp (0,T ) ≤ kgkL1 (Ω0 ) kuk
◦
Lp (0,T ;Wp1 (Ω))
◦
,
.
Для случая 3 имеем Wp1 (Ω) ⊂ Lr (Ω), где r = np/(n − p) при p < n. Следовательно, для непрерывности оператора B необходимо, чтобы p1 ≥ r0 , где r0 –
число, удовлетворяющее равенству 1/r + 1/r0 = 1. Нетрудно видеть, что
r0 =
Поэтому если
r
np
=
.
r−1
np − n + p
np
np
< 2, то при
≤ p1 < 2 справедлива оценка
np − n + p
np − n + p
|(Bu)(t)| ≤ kgkLr0 (Ω0 ) ku(t)k
◦
Wp1 (Ω)
из которой следует, что kBukLp (0,T ) ≤ kgkLr0 (Ω0 ) kuk
,
◦
Lp (0,T ;Wp1 (Ω))
. Лемма доказана.
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
27
В дальнейшем
будем предполагать, что область
©
ª Ω – n-мерный параллелепипед: Ω = x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ li , i = 1, 2, . . . , n. . На Ω построим равномерную
сетку ω h с шагом hi по i -му направлению, ~h = (h1 , . . . , hn ), h = min hi . Бу1≤i≤n
дем предполагать, что существует константа c такая, что h ≤ ch, h = max hi .
1≤i≤n
Обозначим
½
ωh =
¾
li
,
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω : xi = jhi , j = 0, . . . , Ni , Ni =
hi
γh = ω h ∩ Γ,
ωh = ω h \γh .
На [0, T ] построим равномерную сетку с шагом τ :
½
¾
T
ω τ = t ∈ [0, T ] : t = jτ, j = 0, . . . , M, M =
,
τ
ωτ = ω τ \{0}.
◦
Пусть H – пространство сеточных функций, определенных на ω h , H – множество сеточных функций, равных нулю на границе γh .
Введем n -мерный вектор r = (r1 , r2 , . . . , rn ), координаты которого могут принимать значения ±1 . Для сеточной функции y определим разностные отношения
∂ri y по формуле
(
yxi , ri = +1,
∂r i y =
∇r y = (∂r1 y, ∂r2 y, . . . , ∂rn y).
yx i , ri = −1;
Обозначим через Hr (x) ячейку сетки, содержащую все точки сетки, участвующие в записи выражения ∇r y(x) = (∂r1 y(x), ∂r2 y(x), . . . , ∂rn y(x)), ωr – множество
точек сетки ω h , в которых определена операция ∇r .
В H введем скалярные произведения
X
¡
¢
(y, v)r =
mes Hr (x) y(x)v(x),
x∈ωr
[y, v] = 2−n
X
(y, v)r ,
r
а также нормы
µ
kykp = [|y|p , 1]1/p ,
kyk+p =
2−n
n
XµX
r
kyk = [y, y]
1/2
,
¶ ¶1/p
|∂ri y|p , 1
r
,
i=1
kyk−p0 = sup
z6=0
¯
¯
¯[y, z]¯
kzk+p
.
В дальнейшем будем использовать следующие восполнения сеточных функций.
Пусть z ∈ H , через Πr z будем обозначать функцию, постоянную в каждой
ячейке сетки и определенную следующим образом
Πr z(x0 ) = z(x),
где x ∈ ωr : x0 ∈ Hr (x).
Для сеточных функций аргумента t введем два кусочно-постоянных восполнения
(Π− w)(t0 ) = w(t), где t = kτ : (k − 1)τ < t0 ≤ kτ,
(Π+ w)(t0 ) = w(t),
где t = kτ : kτ ≤ t0 < (k + 1)τ.
Если z(x, t) – сеточная функция, определенная на ω h ×ω τ , то для нее определим
следующие восполнения
±
±
Π±
r z(x, t) = (Πr z(x, t)) = Πr z (x, t).
28
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
3.
Построение и исследование явной разностной схемы
Для задачи (5), (6) рассмотрим явную разностную схему
yt (x, t) + Ay(x, t) = ϕ(x, t),
x ∈ ωh ,
y(x, 0) = y0 (x),
t ∈ ω τ \{T },
(13)
y |γh = 0.
◦
◦
Здесь A – разностный оператор, действующий из H в H и определяемый соотношением
n
1 XX
[Ay, w] = n
(ai (x, y)ki (x, ∇r y, Bh y), ∂r i w)r ,
2 r i=1
P
где Bh y(t) = B(2−n Πr y(t)), y0 – разностный аналог u0 такой, что
r
Πr y0 → u0
в L2 (Ω),
(14)
ϕ – сеточная функция, являющаяся аппроксимацией правой части исходного уравнения, которую определим следующим образом
[ϕ, v] =
n
1 XX
(ϕir , ∂ri v)r
2n r i=0
где
∂r0 v ≡ v,
1
¡
¢
ϕir (x, t) =
τ mes Hr (x)
◦
∀ v ∈H ,
t+τ Z
Z
fi (ξ, η) dξ dη.
t Hr (x)
0
Лемма 2. Пусть u0 ∈ L2 (Ω) и f ∈ Lq (0, T ; Wp−1
0 (Ω)), где q = max{2, p }. Шаги
сеток ω τ и ω h удовлетворяют условию

h2


1 < p < 2,
c 2/p ,
4n
τ≤
(15)
p+n(p−2)/2


c h
,
p
≥
2.
2p n
Тогда для решения явной разностной схемы имеют место следующие априорные
оценки:
t0
X
(16)
τ kykp+p ≤ c ∀ t0 ∈ ω̄τ ,
t=0
max ky(t0 )k2 ≤ c
t0 ∈ω̄τ
∀ t0 ∈ ω̄τ ,
(17)
0
t
X
τ 2 kyt k2 ≤ c
∀ t0 ∈ ω̄τ \{T },
(18)
t=0
T −kτ
1 X
τ ky(t + kτ ) − y(t)k2 ≤ c
kτ t=0
∀ k = 1, 2, . . . , M.
(19)
Доказательство. Умножим обе части (13) скалярно в H на 2τ yb. Воспользовавшись очевидными соотношениями [Ay, yb] = [Ay, y] + τ [Ay, yt ], а также
[ϕ, yb] = [ϕ, y] + τ [ϕ, yt ], результат запишем в виде
2τ [yt , yb] + 2τ [Ay, y] = 2τ [ϕ, y] + 2τ 2 [ϕ, yt ] − 2τ 2 [Ay, yt ].
(20)
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
29
Учитывая условие (9), из равенства (20) нетрудно получить
kb
y k2 − kyk2 + τ 2 kyt k2 + 2τ d2 kykp+p − 2τ d3 mes Ω ≤
≤ 2τ [ϕ, y] + 2τ 2 [ϕ, yt ] − 2τ 2 [Ay, yt ]. (21)
Оценим правую часть неравенства (21). Для оценки первых двух слагаемых применим неравенство Гельдера, ε-неравенство, разностный аналог неравенства Фридрихса. В результате будем иметь
[ϕ, y] =
n
n
0
1 1 XX
ε1
1 XX
(ϕ
,
∂
y)
≤
kϕir kpp0 + (1 + cΩ )kykp+p ,
ir ri r
n
0
n
2 r i=0
ε1 p 2 r i=0
p
(22)
µ
¶
n
ε22 τ 3
1 1 XX
2
2
2
τ [ϕ, yt ] ≤ 2 n
τ kϕir kp0 +
kyt k+p + kyt kp ≤
2ε2 2 r i=0
2
2
≤
n
1 1 XX
ε22 τ 3
2
(1 + cΩ )λ2 kyt k2 . (23)
τ
kϕ
k
0 +
ir
p
2ε22 2n r i=0
2
Здесь cΩ – постоянная из разностного аналога неравенства Фридрихса, λ – из
оценки вида
kyk+p ≤ λkyk,
(24)
где λ =
c n1/p
, если p ≥ 2, и λ =
h(1+n(p−2)/2p)
Из условия (8) следует
c n1/p
, если 1 < p < 2.
h
p−1
+ d1 )kyt k+p = 2τ 2 β1 nd0 kykp−1
2τ 2 [Ay, yt ] ≤ 2τ 2 β1 n(d0 kyk+p
+p kyt k+p +
+ 2τ 2 β1 nd1 kyt k+p ≡ I + 2τ 2 β1 nd1 kyt k+p ≤ I + τ 3 kyt k2+p + c1 τ,
(25)
где c1 = β 21 n2 d 21 .
Используя (22)–(25) для преобразования (21), нетрудно получить
kb
y k2 − kyk2 + τ 2 kyt k2 + 2τ d2 kykp+p − τ d3 mes Ω ≤
µ
¶
n
1 XX
1
1
p0
2
≤ n
τ
kϕir kp0 +
kϕir kp0 +
2 r i=0
2ε22
ε1 p0
+
ε2 τ 3
ε1
(1 + cΩ )2τ kykp+p + 2 (1 + cΩ )λ2 kyt k2 + τ 3 kyt k2+p + I + c1 τ.
p
2
(26)
При 1 < p < 2 оценим I следующим образом:
I≤
γ p τ p+1
γ p τ ¡ τ 2 kyt k2+p
2 − p¢
τ εp0
τ εp0
p
p
p
3
3
kyk
+
kyk
+
+
ky
k
≤
≤
t
p
p
+p
+p
+p
p0
pε3
p0
pε3
2/p
2
0
τ εp
γ p τ 3 λ2
≤ 03 kykp+p +
kyt k2 + c2 τ,
p
2εp3
где γ = 2β1 nd0 .
(27)
30
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Подставляя (27) в (26) и суммируя полученные неравенства по t ∈ ω τ от 0 до
t0 , будем иметь
0 ¶ t0
µ
2ε1
εp3 X
p
ky(t )k + 2d2 −
(1 + cΩ ) − 0
τ kykp+p +
p
p
t=0
0
2
µ
¶X
t0
2
τ ε22
2
p τλ
(2 + cΩ )λ − γ
τ 2 kyt k2 ≤
+ 1−
2
2εp3 t=0
( t0
!
µ
¾
n
X 1 XX
1
1
p0
2
2
≤C
kϕ
k
+
kϕ
k
+
ky
k
τ
+
1
, (28)
0
0
ir
ir
0
p
p
2n r i=0
2ε22
ε1 p0
t=0
где C – постоянная, не зависящая от h и τ. Условие (15) позволяет выбрать h, τ,
ε1 , ε2 , ε3 так, чтобы
0
2ε1
εp
(1 + cpΩ ) − 30 ≥ δ1 > 0,
p
p
µ 2
¶
ε
λ2
1 − τ 2 (2 + cΩ )λ2 − γ p p ≥ δ2 > 0.
2
2ε3
2d2 −
(29)
Из последних неравенств и (28) следуют оценки (16)–(18).
Пусть теперь p ≥ 2. Оценим I с помощью неравенств Гельдера и (24), в результате получим
p/2
(p−2)/2
I ≤ τ 2 γkyk+p kyk+p
p/2
λkyt k ≤
≤ τ 2 γkyk+p λp/2 kyk(p−2)/2 kyt k ≤
τ ε23
τ 3 γ 2 λp
kykp−2 kyt k2 . (30)
kykp+p +
2
2ε23
Подставляя (30) в (26) и суммируя полученные неравенства по t от 0 до t0 ∈ ω̄τ ,
будем иметь
µ
¶ t0
2ε1
ε23 X
p
τ kykp+p +
ky(t )k + 2d2 −
(1 + cΩ ) −
p
2 t=0
0
2
¶
t0 µ
p
X
τ ε22
2
2 τλ
p−2
+
1−
τ 2 kyt k2 ≤
(2 + cΩ )λ − γ
p ky(t)k
2
2ε
3
t=0
( t0
)
µ
¶
n
X 1 XX
1
1
p0
2
2
≤C
τ
kϕir kp0 +
kϕir kp0 + ky0 k + 1 . (31)
2n r i=0
2ε22
ε1 p0
t=0
Докажем сначала, что из (31) следует для любых t0 ∈ ω̄τ оценка вида
à T
!
¶
µ
n
X 1 XX
0
1
1
p
2
ky(t0 )k2 ≤ e
c
+ ky0 k2 + 1 = m2 , (32)
τ
2 kϕir kp0 + ε p0 kϕir kp0
n
2
2ε
1
2
r
t=0
i=0
где e
c – постоянная, не зависящая от h и τ. При t0 = 0 оценка (32) выполняется.
Предположим, что (32) справедлива для всех значений t0 ≤ t1 ; t1 ∈ ω τ \{T }. Докажем, что (32) имеет место при t0 = t1 + τ. Для этого запишем неравенство (31)
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
31
при t0 = t1 + τ, в результате будем иметь
µ
0 ¶ t1
2ε1
ε23 X
p
ky(t )k + 2d2 −
(1 + cΩ ) −
τ kykp+p +
p
2 t=0
µ
¶X
t1
τ ε2
τ λp
+ 1 − 2 (2 + cΩ )λ2 − γ 2 p mp−2
τ 2 kyt k2 ≤
2
2ε3
t=0
(t
)
µ
¶
n
1
X 1 XX
1
1
p0
2
2
≤C
kϕir kp0 +
kϕir kp0 + ky0 k + 1 . (33)
τ
2n r i=0
2ε22
ε1 p0
t=0
0
2
Выбирая ε1 , ε2 , ε3 , h и τ так, чтобы
ε2
2ε1
(1 + cpΩ ) − 3 ≥ δ1 > 0,
p
2
2
τε
τ λp
1−
(2 + cΩ )λ2 − γ 2 p mp−2 ≥ δ2 > 0,
2
2ε3
2d2 −
(34)
получаем,
следует
неравенство (32) при t0 = t1 + τ , при этом e
c =
ª
© что0 из (33)
2
= max 2/(ε1 p ), 1/ε2 , 1 . Следовательно, оценка (32) имеет место. Из (31) и (32)
следуют (16)–(18). Заметим, что постоянная c в (15) выбирается так, чтобы были
выполнены оценки (29), (34).
Докажем далее справедливость оценки (19). Для этого просуммируем обе части
(13) по t от t̄ до t̄ + (k − 1)τ, затем умножим полученное равенство скалярно в H
на τ (y(t̄ + kτ ) − y(t̄)) и снова просуммируем по t̄ от 0 до T − kτ, обозначив через
J левую часть, в результате будем иметь
J =−
T −kτ t̄+(k−1)τ
1 X X
τ [Ay(t), y(t̄ + kτ ) − y(t̄ )]+
k
t̄=0
t=t̄
T −kτ t̄+(k−1)τ
1 X X
+
τ [ϕ(t), y(t̄ + kτ ) − y(t̄ )]. (35)
k
t̄=0
t=t̄
Используя ограниченность оператора A и обобщенное неравенство Коши – Буняковского, нетрудно получить, что
J≤
T −kτ
1 X
k
t̄=0
t̄+(k−1)τ ½µ
X
t=t̄
p−1
+d1
d0 k y(t) k+p
¶µ
¶
ky(t̄ + kτ )k+p + ky(t̄ )k+p +
µ
¶¾
n
1 XX
+ n
kϕir kp0 ky(t̄ + kτ )k+p + ky(t̄ )k+p
. (36)
2 r i=0
Докажем, что правая часть неравенства (36) ограничена постоянной, не зависящей от τ и ε. Рассмотрим слагаемое вида
T −kτ
1 X
J1 =
k
t̄=0
t̄+(k−1)τ
X
t=t̄
d0 k y(t) kp−1
+p ky(t̄ + kτ )k+p .
32
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Оценивая его с помощью неравенства Гельдера, будем иметь
d0
J1 ≤
k
à T −kτ
X
t=0
t+(k−1)τ
X
τ k y(t)
t=t
kp+p
!1/p0Ã T −kτ
X
t=0
!1/p
t+(k−1)τ
X
τ ky(t +
kτ )kp+p
≤
t=t
!1/p0Ã T −τ
à T −τ
!1/p
X
X
d0
p
p
≤
k
τ k y(t) k+p
k
τ ky(t)k+p
.
k
t=0
t=0
Из последнего неравенства и (16) следует, что J1 ограничен сверху постоянной,
не зависящей от τ и ε. Оценка остальных слагаемых проводится аналогично.
Лемма доказана.
Из априорных оценок (16), (17) следует ограниченность множества {Π±
r y}
в пространствах Lp (QT ) и L∞ (0, T ; L2 (Ω) , а также ограниченность множества
{Π±
r ∂ri y} в пространстве Lp (QT ). В силу слабой компактности ограниченных
множеств в рефлексивных пространствах и *-слабой компактности ©ограниченª∞
ных множеств в L∞ (0, T ; L2 (Ω) существуют подпоследовательности ~h(m) m=1 ,
◦
© ª∞ 1
T
τm m=1 и элемент u, принадлежащий Lp (0, T ; Wp1 (Ω)) L∞ (0, T ; L2 (Ω), такие,
что при ~h(m) , τm → 0
Π±
(37)
r y * u в Lp (QT ),
∂u
Π±
в Lp (QT ),
(38)
r ∂r i y *
∂xi
Π±
(39)
r y → u *-слабо в L∞ (0, T ; L2 (Ω).
Используя оценки (16), (17), (19) и сеточный аналога теоремы компактности
(см. [4][Лемма 9]), нетрудно убедиться в существовании подпоследовательностей
© (m) ª∞
© ª∞
~h
, τm m=1 , для которых наряду с (37), (38) справедливы также преm=1
дельные соотношения вида
Π±
r y → u в Lp0 (QT ),
p0 = min{2, p},
Π±
r y → u п. вс. в QT .
(40)
(41)
◦
Заметим, что Lp (0, T ; Wp1 (Ω)) ⊂ Lp (0, T ; Lpe(Ω)), где pe ≤ np/(n − p), если n > p,
и pe < +∞, если n ≤ p . Поэтому из оценок (16), (17) вытекает,
что множествоT {Π±
r y} равномерно по h и τ ограничено в пространстве
Lp (0, T ; Lpe(Ω)) L∞ (0, T ; L2 (Ω). Из этого факта и предельного соотношения (40)
следует, что
Π±
(42)
b(Ω)),
r y → u в Lp∗ (0, T ; Lp
где p∗ < +∞, pb < 2, если (n > p) и (np/(n − p) ≤ 2) ; pb < np/(n − p), если (n > p)
и (np/(n − p) > 2) ; pb ∈ [2, +∞), если n ≤ p .
Из определения оператора Bh и предельного соотношения (42) следует, что
Π+ Bh (y) → Bu в Lp∗ (0, T )
(43)
если функция g, определяющая этот оператор, будет принадлежать Lp1 (Ω) , где


n ≤ p,
1,
p1 > np/(np − n + p), (n > p) ∧ (np/(n − p) > 2),
(44)


2,
(n > p) ∧ (np/(n − p) ≤ 2).
1 В дальнейшем за выбранными подпоследовательностями будем сохранять обозначения самих
последовательностей.
33
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
Далее
(16) вытекает ограниченность в Lp0 (QT ) мно© из¡условия (8) и оценки
¢ª
жества Π±
k
(x,
∇
y,
B
y)
при
любом
i ∈ {1, 2, . . . , n} . Поэтому найдутся k i ∈
i
r
h
r
© (m) ª∞
© ª∞
~
∈ Lp0 (QT ) и последовательности h
, τm m=1 такие, что
m=1
¡
¢
Π±
(45)
r ki (x, ∇r y, Bh y) * k i в Lp0 (QT ).
Из непрерывности функции ai (x, ξ) и предельного соотношения (41) следует,
что
Π±
(46)
r (ai (x, y)) → ai (x, u) п. вс. в QT.
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, кроме того, шаги ~h и τ
удовлетворяют условиям
τ
n
hp+n(p−2)/2
→ 0,
если
p ≥ 2;
τ
n2/p
→ 0,
h2
если
1 < p < 2,
2
(47)
тогда функция u, определенная соотношениями (37)–(41), является обобщенным
решением задачи (5), (6).
Доказательство. Пусть zh и ηh – сеточные функции, определенные на wh и
wτ соответственно и совпадающие со значениями функции z ∈ C0∞ (Ω) и функции
η ∈ C ∞ (0, T ) такой, что η(T ) = 0 , на этих множествах.
Умножим равенство (13) скалярно в H на τ zh ηbτ (t) и просуммируем по t от 0
до T − τ. В результате будем иметь
T
−τ
X
τ [yt (t), zh ]b
ητ (t)+
t=0
+
T
−τ
X
t=0
n
T
−τ
X
¢
1 X X¡
τ
a
(x,
y)k
(x,
∇
y,
B
y),
∂
z
η
b
(t)
=
τ [ϕ, zh ]b
ητ (t).
i
i
r
h
r
h
τ
i
r
2n r i=1
t=0
После преобразования первого слагаемого с помощью формулы суммирования
по частям получим
½ TX
−τ
¡
¢
¡
¢
1 X
−
τ y, zh r (ητ )t − y0 , zh r ητ (0)+
n
2 r
t=0
¾
T
−τ X
n
X
¡
¢
+
τ
ai (x, y)ki (x, ∂r y, Bh y), ∂ri zh r ηbτ (t) =
t=0
i=1
=
n T −τ
¢
1 XX X ¡
τ ϕir , ∂ri zh r ηbτ .
n
2 r i=0 t=0
Последнее тождество, используя восполнения, запишем в виде
µ Z
Z
1 X
−
−
−
Π
yΠ
z
Π
(η
)
−
Πr y0 Πr zh ητ (0)dx+
r
r h
τ t
2n r
QT
Ω
¶
Z X
n
¡
¢
+
+
Πr ai (x, y) ki (x, ∇r y, Bh y) Πr ∂ri zh Π− ητ dx dt =
QT i=1
=
n Z
1 XX
−
Π+
r ϕir Πr ∂ri zh Π (ητ ) dx dt.
2n r i=0
(48)
QT
©
ª∞
В дальнейшем будут использованы лишь выбранные последовательности ~h(m) m=1 ,
ª∞
τm m=1 , для которых справедливы соотношения (37)–(46). Поэтому для сокращения записей
здесь и далее индекс m будем опускать.
©
2
34
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Используя (48), теорему Лебега о предельном переходе, а также очевидные со∂z
отношения Πr ∂ri zh →
в Lq (Ω), Π± ητ → η в Lq (0, T ) для любого q ≥ 1,
∂xi
нетрудно показать, что
−
Π−
r ai (x, y) Πr ∂ri zh Π ητ → ai (x, u)
∂z
η
∂xi
в Lp (QT ).
(49)
Учитывая (14), (37)–(46), (49), в равенстве (48) перейдем к пределу при
h, τ → 0. В результате получим
ZT Z
dη
uz
dx dt −
dt
−
0 Ω
Z
u0 z η(0) dx +
ZT Z X
n
ai (x, u) k i
0 Ω i=1
Ω
=
∂z
η dx dt =
∂xi
ZT Z X
n
fi
0 Ω i=0
∂z
η dx dt. (50)
∂xi
∂u
из про∂t
−1
∞
странства Lp0 (0, T ; Wp0 (Ω)). С этой целью в (50) выберем функцию η ∈ C0 (0, T ).
В результате получим


¶
¶
ZT µZ
ZT Z µX
n
n
X
dη
∂z
∂z
−
u z dx
fi
dt = 
−
ai (x, u) k i
dx η dt.
(51)
dt
∂x
∂x
i
i
i=0
i=1
Далее докажем, что функция u имеет обобщенную производную
0
0
Ω
Ω
◦
Поскольку C0∞ (Ω) плотно в Wp1 (Ω), то равенство (51) будет справедливо для
◦
любой функции z ∈Wp1 (Ω). Из (51) следует, что функция
Φ(t) =
Z µX
n
Ω
¶
n
X
∂z
∂z
fi
−
ai (x, u) k i
dx,
∂xi i=1
∂xi
i=0
принадлежащая
пространству Lp0 (0, T ), является обобщенной производной функZ
ции Φ(t) = uz dx. Следовательно, по определению производной векторозначной
Ω
∂u
функции, функция u имеет обобщенную производную
∈ Lp0 (0, T ; Wp−1
0 (Ω)) и
∂t
справедливо равенство
ZT Z
0 Ω
∂u
z η dx dt +
∂t
ZT Z X
n
ZT Z
0 Ω
0 Ω
∂z
ai (x, u) k i
η dx dt =
∂xi
i=1
f z η dx dt,
(52)
◦
где z ∈Wp1 (Ω), η ∈ C0∞ (0, T ).
В силу плотности множества функций
½
◦
w∈
Lp (0, T ; Wp1
(Ω)) : w(x, t) =
m
X
k=1
¾
◦
zk (x)ηk (t),
zk ∈Wp1
(Ω), ηk ∈
C0∞ (0, T ),
m∈N
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
35
◦
в Lp (0, T ; Wp1 (Ω)) из (52) следует справедливость равенства
ZT Z
0 Ω
∂u
w dx dt +
∂t
ZT Z X
n
ZT Z X
n
0 Ω
0 Ω i=0
∂w
ai (x, u) k i
dx dt =
∂x
i
i=1
fi
∂w
dx dt
∂xi
(53)
◦
для любых w ∈ Lp (0, T ; Wp1 (Ω)).
Докажем далее, что u(x, 0) = u0 (x) .
◦
Полагая в (53) w(x, t) = z(x)η(t), где z – произвольная функция из Wp1 (Ω), η –
произвольная функция из C ∞ (0, T ) такая, что η(T ) = 0, и, учитывая равенство
(50), будем иметь
ZT Z
0 Ω
∂u
z η dx dt = −
∂t
ZT Z
uz
0 Ω
dη
dx dt −
dt
Z
u0 z η(0) dx.
Ω
Из этого равенства и формулы интегрирования по частям следует, что
Z
◦
(u0 (x) − u(x, 0)) z(x) η(0) dx = 0 ∀ z ∈Wp1 (Ω).
(54)
Ω
В силу произвольности функции z из (54) вытекает, что u0 (x) = u(x, 0) почти
всюду в Ω .
Осталось доказать, что
ZT Z X
n
ZT Z X
n
0 Ω
0 Ω i=1
∂w
ai (x, u) k i
dx dt =
∂x
i
i=1
ai (x, u) ki (x, ∇u, Bu)
∂w
dx dt.
∂xi
(55)
Пусть v – снос в точках сетки ω̄τ × ω̄ функции v̄ ∈ C ∞ (0, T ; C0∞ (Ω)). Рассмотрим неравенство вида
n µ
¡
1 XX
ai (x, y) ki (x, ∇r y, Bh y)−
n
2 r i=1
¶
¢
1
1
− ki (x, ∇r vb, Bh y) , ∂ri (y − vb) ≥
kb
y − vbk2 −
ky − vk2 , (56)
2τ
2τ
r
[(y − v)t , yb − vb] +
справедливость которого следует из свойства (10) и очевидного соотношения
[zt , zb] ≥
1
1
τ
kb
z k2 −
kzk2 + kzt k2 .
2τ
2τ
2
Учитывая, что y – решение явной разностной схемы, неравенство (56) запишем
в виде
n ½
¡
¢
¢
1 XX ¡
v) r −
ϕir , ∂ri (b
y −b
v ) r − ai (x, y)(ki (x, ∇r vb, Bh y), ∂ri (y −b
n
2 r i=1
¾
¡
¢
1
1
kb
y − vbk2 −
ky − vk2 .
− τ ai (x, y)(ki (x, ∇r y, Bh y), ∂ri yt r ≥
2τ
2τ
− [vt , yb−b
v] +
36
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Последнее неравенство умножим на τ , просуммируем от 0 до T − τ , результат,
используя процедуру кусочно-постоянного восполнения, запишем в виде
Z
QT
½
n ½
X
1 X
+
+
−Π
(v
)
Π
(b
y
−
v
b
)
+
Π+ r ϕir Π+ r ∂ri (b
y − vb) −
r
t
r
2n r
i=1
¾¾
+
−Π
+
+
b, Bh y) Π r ∂ri (y
r ai (x, y) Π r ki (x, ∇r v
− vb)
dx dt +
T
−τ
X
¯
¯
τ ¯[Ay, yt ]¯ ≥
t=0
°2
1° 1 X
≥ − ° n
Πr (y0 − v(0)) °L2 (Ω) . (57)
2 2 r
Из условия (см. (14)) следует, что при h → 0
−
X
°2
°2
1°
1°
° 1
Πr (y0 − v(0)) °L2 (Ω) → − ° u0 − v̄(0)) °L (Ω) .
n
2
2 2 r
2
(58)
Докажем далее, что
T
−τ
X
lim
τ,h→0
¯
¯
τ 2 ¯ [Ay, yt ] ¯ = 0.
(59)
t=0
Воспользовавшись ограниченностью оператора A (см. (8)) и неравенством Коши –
Буняковского, будем иметь
J≡
T
−τ
X
−τ
¯
¯ TX
¡
¢
(p−1)
τ 2 ¯ [Ay, yt ] ¯ ≤
τ 2 d0 ky(t)k+p + d1 kyt k+p ≤
t=0
t=0
à µT −τ
!µT −τ
¶1/2
¶1/2
X
X
2(p−1)
1/2
1/2
2
2
τ ky(t)k+p
≤ τ λ d0
+ d1 T
τ kyt k
. (60)
t=0
t=0
Если 1 < p < 2 , то
µTX
−τ
2(p−1)
¶1/2
τ ky(t)k+p
≤ c1
µTX
−τ
t=0
τ ky(t)kp+p
¶(p−1)/p
.
t=0
Из последнего неравенства (60) и оценок (16)–(18) вытекает, что
J ≤ c1 λτ 1/2
µµTX
−τ
τ ky(t)kp+p
¶(p−1)/p
+1
¶µTX
−τ
t=0
¶1/2
τ 2 kyt (t)k2
≤ c2 (τ λ2 )1/2 .
(61)
t=0
Из неравенства (61) и условия (24) следует (59).
Пусть теперь p ≥ 2. Используя оценку (24), запишем следующую цепочку неравенств
µTX
−τ
2(p−1)
τ ky(t)k+p
¶1/2
=
t=0
µTX
−τ
τ ky(t)kp+p ky(t)kp−2
+p
¶1/2
≤
t=0
≤λ
p/2−1
µTX
−τ
τ ky(t)kp+p ky(t)kp−2
¶1/2
t=0
≤λ
p/2−1
0
max ky(t )k
t0 ∈ω̄τ
p/2−1
≤
µTX
−τ
t=0
τ ky(t)kp+p
¶1/2
. (62)
37
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
Учитывая оценки (62), (16)–(18), из (60) будем иметь
Ã
J ≤ c1 λ
p/2−1 1/2
τ
0
p/2−1
max ky(t )k
t0 ∈ω̄τ
ÃT −τ
X
!1/2
τ ky(t)kp+p
t=0
×
à T −τ
X
!
+1 ×
!1/2
τ 2 kyt (t)k2
≤ c2 (τ λp−2 )1/2 .
t=0
Из последнего неравенства и условия (24) следует (59).
Докажем далее, что
¡
¢
Π+
b, Bh y) → ai (x, u) ki (x, ∇v̄, Bu)
r ai (x, y) ki (x, ∇r v
в
Lp0 (QT ).
(63)
Обозначим
Z
¯ +¡
¯ 0
¢
¯Πr ai (x, y) ki (x, ∇r vb, Bh y) − ai (x, u) ki (x, ∇v̄, Bu)¯p dx dt.
J=
(64)
QT
Используя предельные соотношения (43), (46), гладкость функции v̄ и непрерывность ki (x, ξ, ν) по каждому из аргументов, нетрудно убедиться в том, что подынтегральная функция в (64) стремится к 0 при h, τ → 0 почти всюду в QT . Кроме
того, из оценки (8) следует, что
¯ +¡
¯ 0
¢
¯Πr ai (x, y) ki (x, ∇r vb, Bh y) − ai (x, u) ki (x, ∇v̄, Bu)¯p ≤
µ X
¾
¶p0
n ½
¯
¯
¯
¯
¯∂ri vb¯p−1 + ¯ ∂v̄ ¯p−1 + 2 d1
≤ d0
.
∂xi
i=1
Правая часть последнего неравенства в силу гладкости v̄ является интегрируемой
по QT функцией, следовательно, по теореме Лебега о предельном переходе J → 0
при τ, h → 0, то есть (63) справедливо.
Далее, из определения ϕir , гладкости функции v̄ и предельных соотношений
(37)–(39), (63) следует, что при h, τ → 0
n Z
1 XX
Π+ r ϕir Π+ r ∂ri (b
y − vb) dx dt =
2n r i=1
QT
=
n Z
n Z
X
1 XX
∂(u − v̄)
+
f
Π
∂
(b
y
−
v
b
)
dx
dt
→
fi
dx dt,
i
r ri
2n r i=1
∂xi
i=1
QT
−
1
2n
XZ
r
(65)
QT
Z
Π+ r (vt ) Π+ r (b
y − vb) dx dt → −
QT
∂v̄
(u − v̄) dx dt ,
∂t
(66)
QT
n Z
1 XX
Π+ r ai (x, y) Π+ r ki (x, ∇r vb, Bh y) Π+ r ∂ri (y − vb) dx dt →
2n r i=1
QT
→
n Z
X
i=1 Q
T
ai (x, u)ki (x, ∇v, Bu)
∂(u − v̄)
dx dt.
∂xi
(67)
38
О.В. ГЛАЗЫРИНА, М.Ф. ПАВЛОВА
Используя предельные соотношения (58), (59), (65)–(67), в неравенстве (57) перейдем к пределу при h, τ → 0 , в результате получим
ZT ¿
0
À
µ
¶
Z X
n
∂(u − v̄)
∂(u − v̄)
, u − v̄ dt +
ai (x, u) k i − ki (x, ∇v̄, Bu)
dx dt ≥
∂t
∂xi
i=1
QT
≥−
°
1°
° u0 − v̄(0)) °2
. (68)
L2 (Ω)
2
Напомним, что v̄ – произвольная функция из C ∞ (0, T ; C0∞ (Ω)). Это множество
(см., например, [13][с. 174]) плотно в пространстве
½
¾
◦
∂z
W = z ∈ Lp (0, T ; Wp1 (Ω)) :
∈ Lp0 (0, T ; Wp−1
(Ω))
.
0
∂t
Учитывая это, выберем в (68) v̄ = u − λw , где λ – произвольное положительное
число, w – произвольная функция из W . В результате получим
ZT ¿
λ
0
µ
À
¶
Z X
n
∂w
∂w
ai (x, u) k i − ki (x, ∇(u − λw), Bu)
, w dt +
dx dt ≥
∂t
∂x
i
i=1
QT
≥−
°
λ°
° w(0) °2
. (69)
L2 (Ω)
2
Переходя к пределу в неравенстве (69) при λ → 0, будем иметь
µ
¶
Z X
n
∂w
ai (x, u) k i − ki (x, ∇u, Bu)
dx dt ≥ 0.
∂x
i
i=1
QT
В силу произвольности функции w из последнего неравенства вытекает равенство
(55). Лемма доказана.
Из лемм 2–4 следует справедливость следующей теоремы
Теорема 1. Пусть функции ai , ki удовлетворяют условиям (7)–(10) и выполнены условия (15), (47). Тогда при любых f ∈ Lq (0, T ; Wp−1
q = max{2, p0 },
0 (Ω)),
0
u0 ∈ L2 (Ω), g ∈ Lp1 (Ω ), где выбор параметра p1 подчинен условию (44), любая
подпоследовательность восполнений решения явной разностной схемы, удовлетворяющая условиям (37)–(46), сходится к обобщенному решению задачи (5), (6).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00955, 12-01-97022, 12-01-31515).
Summary
O.V. Glazyrina, M.F. Pavlova. Research on the Convergence of an Explicit Difference
Scheme for a Parabolic Equation with a Nonlinear Nonlocal Spatial Operator.
We consider the first boundary value problem for a parabolic equation with a spatial
operator degenerating with respect to the gradient. This operator also depends on the integral
characteristic of the solution. We prove the convergence theorem for an explicit difference
scheme under minimal assumptions on the smoothness of the initial data.
Keywords: parabolic equations, monotone operator, nonlocal operator, explicit difference
scheme, stability, convergence.
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ. . .
39
Литература
1.
Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Усп. матем наук. – 1968. – Т. 23, Вып. 1. – С. 45–90.
2.
Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических
уравнениях // Матем. сборник. – 1965. – Т. 67, № 4. – С. 609–642.
3.
Raviart P.A. Sur la résolution de certaines équations paraboliques non linéaires //
J. Funct. Anal. – 1970. – V. 5, No 2. – P. 299–328.
4.
Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. –
1983. – Bd. 183, H. 8. – S. 311–341.
5.
Otto F. L1 -contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations //
J. Differ. Equations. – 1996. – V. 131, No 1. – P. 20–38.
6.
Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных нелинейных операторно-разностных
схем с весами // Изв. вузов. Матем. – 1995. – № 4.– С. 739–752.
7.
Масловская Л.В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся
квазилинейных уравнений параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем.
физ. – 1972. – Т. 12, № 6. – С. 1444–1455.
8.
Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости явных разностных схем для одного
вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Матем. – 1997. – № 7. – С. 53–65.
9.
Chipot M., Molinet L. Asymptotic behavior of some nonlocal diffusion problems // Appl.
Anal. – 2001. – V. 80, No 3–4. – P. 279–315.
10. Chipot M., Lovat B. Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and
parabolic problems // Dynam. Cont. Dis. Ser. A. – 2001. – V. 8, No 1. – P. 35–51.
11. Pavlova M.F. On the solvability of nonlocal nonstationary problems with double
degeneration // Differ. Equations. – 2011. – V. 47, No 8. – P. 1161–1175.
12. Glazyrina O.V., Pavlova M.F. The unique solvability of a certain nonlocal nonlinear
problem with a spatial operator strongly monotone with respect to the gradient // Russ.
Math. (Iz. VUZ). – 2012. – No 3. – P. 83–86.
13. Гаевский Х., Грегер К., Захареас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 c.
Поступила в редакцию
30.09.13
Глазырина Ольга Владимировна – аспирант кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: glazyrina-olga@ya.ru
Павлова Мария Филипповна – доктор физико-математических наук, профессор
кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: mpavlova@kpfu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа