close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование устойчивости движения и автоколебания гироскопа в кардановом подвесе.

код для вставкиСкачать
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ В МЕТАЛУРГІЇ ТА МАШИНОБУДУВАННІ
6.
метричной деформации / Ю. А. Лымаренко, А. Д. Шамровский // Вісник Харківського національного університету. Серія «Математика, прикладна математика і
механіка». – 2005. – Т. 711. – С.68–79.
Потапов А. И. Волны деформации в среде с внутренней структурой / А. И. Потапов // Нелинейные волны. –
7.
Нижний Новгород : ИПФ РАН, 2005. – С. 125–140.
Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого
тела: уч. пособие для вузов / Ю. Н. Работнов. – М. :
Наука, 1979. – 744 с.
Одержано 14.10.2010
Шамровський О.Д., Лимаренко Ю.О., Безнос О.С., Веселов А.І. Моделювання пружного стержня
дискретним ланцюжком з елементами змінної маси
Пропонується вдосконалена дискретна модель пружного стержня у вигляді ланцюжка, маса елементів
якого залежить від виду руху (поступальний або коливальний). У якості критерію удосконалення
дискретної моделі використовується близькість графіків дисперсійних залежностей дискретної й
континуальної моделей.
Ключові слова: стержень, дискретна модель, пружинно-масовий ланцюжок, дисперсійна залежність.
Shamrovskiy A., Lymarenko Yu., Beznos A., Veselov A. Modeling of elastic rod by discrete chain with
variable mass elements
An advanced model of elastic rod is offered. The rod is modeled by spring-mass chain, which elements have
variable mass that changes depending on type of motion (forward or oscillatory). Dispersion curves of discrete
and solid models are used as discrete model improvement criterion.
Key words: rod, discrete model, springy-mass chain, dispersion dependency.
УДК:[62-754.2:62-585.862]:519.711/718
А. В. Куземко1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2
1
Национальный технический университет, 2 Национальный университет;
г. Запорожье
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И
АВТОКОЛЕБАНИЯ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
Рассматривается задача о колебаниях гироскопа в кардановом подвесе. Исследуется устойчивость системы
под действием нелинейных диссипативных и циркулярных сил. Найдено условие асимптотической
устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней. Рассмотрен так же случай автоколебания
системы.
Ключевые слова: гироскоп, кардановый подвес, критический случай, резонанс.
1 Уравнения движения
Рассматривается сбалансированный кардановый
подвес гироскопа, размещенный на неподвижной
подставке. Ось внешнего кольца карданового подвеса
горизонтальна и вращение определяется углом α . Вращение во внутреннем кольце характеризуется углом β .
Кинетическая энергия системы имеет вид:
T=
[(
]
)
1
A − C sin 2 β α& 2 + Bβ& 2 + C (ϕ& + α& sin β)2 ,
2
A = A0 + A1 + A2 , B = A0 + D1, C = A0 + A1 − C1,
где A2 – момент инерции внешнего кольца по отно-
шению к оси вращения; A1, B1, C1 –моменты инерции
по отношению к главным осям, связанных с этим кольцом; A0 , C0 – экваториальные и полярные моменты
инерции гироскопа; ϕ – угол отклонения гироскопа;
точка означает производную по времени t .
Уравнения движения гироскопа получаем согласно уравнений Лагранжа:
⎧d
⎪⎪ dt
⎨d
⎪
⎪⎩ dt
∂T ∂T
−
= Qα ;
∂α& ∂α
∂T ∂T
−
= Qβ ,
∂β& ∂β
© А. В. Куземко, И. А. Костюшко, 2011
ISSN 1607-6885
Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
133
где обобщенные силы Qα , Qβ выбираем в следующем
виде:
(
)
Qα = − B1α& + D1α& 3 + Eβ , Qβ = −( B2β& + D2β& 3 − Eα).
Слагаемые Eα, Eβ соответствуют циркулярным
силам, возникающих в опорах ротора, слагаемые
B α& + D α& 3 , B β& + D β& 3 – диссипативным силам,
1
1
2
2
E , B1, B2 , D1, D2 – заданные положительные постоянные.
После исключения циклической координаты ϕ [1]
уравнения движения гироскопа принимают вид
(
)
⎧⎪ А − С sin 2 β α
&& − Cα& β& sin 2β + Hβ& cos β + B1α& + D1α& 3 + Eβ = 0,
⎨
&& + Cα& 2 sin β cos β − Hα& cos β + B β& + D β& 3 − Eα = 0.
(1)
⎪⎩ Bβ
2
2
(
)(
)
2
2
~ ~ 2h b1h + b2 b1b2 + h
при e < e , e =
имеет корни с
2
4h 4 + b1h 2 + b2
(
)
отрицательными действительными частями, т.е. решеe корни
ние (2) асимптотически устойчиво. При e > ~
уравнения (5) имеют положительные действительные
части, т.е. решение (2) неустойчиво.
При e = ~
e характеристическое уравнение (5) имеет два корня с отрицательными действительными частями и пару чисто мнимых корней
~ ~
λ1,2 = ±iλ, λ = 2h
b1b2 + h 2
(
4h 4 + b1h 2 + b2
)
2
.
где H – циклическая постоянная.
Очевидно, что уравнения (1) допускают решение
Присутствие пары чисто мнимых корней подразумевает критический случай устойчивости. Следовательно, проблему устойчивости следует решать, учитывая нелинейные слагаемые системы (3).
α = β = 0, α& = β& = 0 ,
3 Исследование устойчивости в критическом
случае
(2)
устойчивость которого мы в дальнейшем будем исследовать.
tH
, получаем
Вводя безразмерное время τ =
AB
уравнения движения (1) в безразмерной форме
(
)
⎧⎪ 1 − a sin 2 β α′′ − Cα′β′ sin 2β + hβ′ cos β + b1α′ + d1α′3 + eβ = 0;
⎨ 2
(3)
⎪⎩h β′′ + aα′2 sin β cos β − hα′ cos β + b2β′ + d 2β′3 − eα = 0,
где a =
d1 =
C
,h=
A
D1H
A3 B
B
B
, b1 = 1
A
H
, d2 =
D2 H
A3 B
B
B
, b2 = 2
A
H
,e =
EB
H2
B
,
A
; штрих означает
Z 3 (z1, z 2 , z3 , z 4 ) =
2 Исследование устойчивости по первому
приближению
Раскладывая нелинейные слагаемые уравнений
системы (3) в окрестности решения (2) в ряды Тейлора, запишем систему первого приближения
⎪⎧α′′ + b1α′ + hβ′ + eβ = 0,
⎨ 2
⎪⎩h β′′ + b2β′ − hα′ − eα = 0.
)
134
В системе (6) вводим новые переменные
y = x = c1 z1 + c2 z 2 + c3 z3 + c4 z 4 ;
(4)
)
h 2 λ4 + b1h 2 + b2 λ3 +
+ b1 b2 + h 2 λ2 + 2ehλ + e 2 = 0
1⎞
⎛
= 2az2 z3 z 4 − h z 22 z 4 ⎜ a − ⎟ − ab1z 22 z3 − d1z33 − e~az23 ;
2⎠
⎝
a
1
d
(7)
Z 4 (z1, z 2 , z3 , z4 ) = − 2 z 2 z32 −
z3 z22 − 22 z 43 .
2
h
h
h
x = c1 z1 + c2 z 2 + c3 z3 + c4 z 4 ;
Согласно критерия Рауса-Гурвица соответствующее
характеристическое уравнение
(
⎧z ′ = z ;
3
⎪1
′
⎪z = z ;
4
⎪ 2
⎨ z ′ = −e~z − b z − hz + Z (z , z , z , z ) + ...;
2
1 3
4
3 1 2 3 4
⎪ 3
⎪ ′ e~
1
b2
⎪ z 4 = 2 z1 + z3 − 2 z 4 + Z 4 (z1 , z 2 , z3 , z 4 ) + ...,
h
h
h
⎩
где многоточие означает совокупность членов не ниже
пятого порядка;
производную по τ .
(
Введем обозначения: z1 = α, z2 = β, z3 = α′, z4 = β′ .
Раскладывая нелинейные слагаемые системы (3) в
окрестности решения (2) в ряды, ограничиваясь членами до третьего порядка включительно, запишем систему (3) в нормальной форме при e = ~
e:
(5)
x1 = z1 , x2 = z 2 ,
(
)
~
~
b ⎞
e⎛
e~ e~ + iλ h
,
⎜1 − i ~1 ⎟ , c2 =
~
h⎝
λ⎠
λ2 h
~
e~i
c3 = 1 − ~ , c4 = h iλ + b1 ;
λh
где c1 =
(
)
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ В МЕТАЛУРГІЇ ТА МАШИНОБУДУВАННІ
черта означает сопряжение величин. В результате система (6) примет вид:
~
⎧ x′ = iλ
x +Y 1 (x, y, x1, x2 ),
⎪
~
⎪⎪ y′ = −iλy +Y 2 (x, y, x1, x2 ),
⎨ ′
⎪ x1 = m1x + m2 y + m3 x1 + m4 x2 ,
⎪ ′
⎪⎩ x2 = n1x + n2 y + n3 x1 + n4 x2 ,
Причем коэффициент K3 равен коэффициенту при
c c −c c
c4
c
c c −c c
, m2 = − 4 , m3 = 1 4 4 1 , m4 = 2 4 4 2 ;
Δ
Δ
Δ
Δ
c3
c3
c3c1 − c1c3
n1 = − , n2 = , n3 =
,
Δ
Δ
Δ
c c −c c
n4 = 3 2 2 3 , Δ = c4 c3 − c3c4 ;
Δ
⎛ x1 , x2 , m1 x + m2 y + m3 x1 + m4 x2 , ⎞
⎟⎟ +
Y1 (x, y, x1 , x2 ) = c3 Z 3 ⎜⎜
⎝ n1 x + n2 y + n3 x1 + n4 x2
⎠
⎛ x1 , x2 , m1 x + m2 y + m3 x1 + m4 x2 , ⎞
⎟⎟ ;
+ c4 Z 4 ⎜⎜
⎝ n1 x + n2 y + n3 x1 + n4 x2
⎠
+
+
,
,
x
x
m
x
m
y
m3 x1 +
⎛ 1 2
⎞
1
2
⎟⎟ +
Y2 (x, y, x1 , x2 ) = c3 Z 3 ⎜⎜
+
+
+
+
,
m
x
n
x
n
y
n
x
n
x
4 2
1
2
3 1
4 2⎠
⎝
⎛ x1 , x2 , m1 x + m2 y + m3 x1 + m4 x2 , ⎞
⎟⎟ .
+ c4 Z 4 ⎜⎜
⎝ n1 x + n2 y + n3 x1 + n4 x2
⎠
Согласно основной теоремы о критических случаях [2] систему (8) можно записать в «укороченном»
виде
(9)
где u1(x, y ) = A1x + B1 y , u2 (x, y ) = A2 x + B2 y ;
(
)
~
− m1 n4 − iλ + n1m4
;
~
~
m3 − iλ n4 − iλ − n3m4
~
− n1 m3 − iλ + n3m1
;
A2 =
~
~
m3 − iλ n4 − iλ − n3m4
(
(
(
(
)(
)(
)
)
)
)
~
− m2 n4 + iλ + n2 m4
;
~
~
m3 + iλ n4 + iλ − n3m4
~
− n2 m3 + iλ + n3m2
B2 =
.
~
~
m3 + iλ n4 + iλ − n3m4
B1 =
(
(
(
)(
)(
)
)
)
Используя метод нормальной формы, можно найти такое полиномиальное преобразование
x = v + Q3 (v, w), y = w + R3 (v, w) , где Q3 , R3 – одно-
ISSN 1607-6885
(10)
x y в разложении функции Y1(x, y, u1(x, y ), u2 (x, y )) .
В системе (10) делаем подстановку
v = r (cos θ + i sin θ), w = r (cos θ − i sin θ) . Приравнивая
действительные и мнимые части, приходим к новой
системе
2
m1 =
A1 =
~
⎧⎪v′ = iλ
v + K 3v 2 w + ...,
⎨
~
⎪⎩w′ = −iλw + K 3w2v + ...
(8)
где
~
⎧⎪ x ′ = iλ
x + Y1 (x, y , u1 (x, y ), u 2 (x, y ));
⎨
~
⎪⎩ y ′ = −iλ y + Y2 (x, y, u1 (x, y ), u 2 (x, y )),
родные формы третьего порядка, что в правых частях
системы (9) останутся лишь резонансные слагаемые.
Таким образом, система (9) приводится к виду
⎧⎪r ′ = Re K 3 ⋅ r 3 + ...
⎨
~
⎪⎩θ′ = λ + Im K 3 ⋅ r 3 + ...
(11)
Таким образом, задача устойчивости для системы
(6) эквивалентна той же задаче для системы (11). Последняя определяется знаком величины Re K3 . Если
Re K 3 < 0 , то нулевое положение равновесия асимптотически устойчиво, в противном случае – неустойчиво.
Задавая
значения
параметров
B1
B
= 0,25,
= 0,8 (что соответствует значениям
H
A
реальных приборов [3]), d1 = d 2 = d построена поверхность Re K 3 (a, b2 , d ) = 0 (рис. 1). Для значений параметров a, b2 , d , лежащих выше указанной поверхности Re K 3 < 0 (имеет место асимптотическая устойчивость), а ниже – Re K 3 > 0 (неустойчивость).
Приведенные аналитические результаты подтверждаются численными. На рис. 2, 3 приводится численное решение системы дифференциальных уравнений
(3)
при
начальных
условиях
α(0) = α′(0) = β(0) = β′(0) = 0,01 . Согласование численных и аналитических результатов свидетельствуют о достоверности последних.
4 Автоколебания
При переходе величины e через критическое значение e~ может возникнуть автоколебательный режим
гироскопа. Для этого достаточно, что бы два корня
характеристического уравнения (5) пересекали мнимую ось с ненулевой скоростью и решение (2) при
e=~
е было асимптотически устойчивым или неустойчивым [19].
Учитывая, что два корня уравнения (5) пересекают мнимую ось с положительной скоростью, полагаем, что параметры системы таковы, что при e = ~
е
Re K 3 < 0 .
Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
135
Рис. 1. Область устойчивости решения при значении параметров h =
4
1
, b1 = , d1 = d 2 = d
5
5
1
1
Рис. 2. Неустойчивость в критическом случае при a = −50, b1 = , b2 = , d1 = d 2 = −4
5
2
136
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ В МЕТАЛУРГІЇ ТА МАШИНОБУДУВАННІ
Рис. 3. Устойчивость в критическом случае при a = 0,1, b1 = 1 , b2 = 5, d1 = d 2 = 0,1, h = 0,8
5
В системе (6) полагаем e = е~ + ε , где ε – малый
положительный параметр. Проведя выкладки, аналогичные рассмотренным ранее, приходим к системе
⎧
⎡⎛ A1c4
~
⎞ ⎛ B1c4
⎞ ⎤
⎪ x′ = iλx + ε ⎢⎜⎜ 2 − A2c3 ⎟⎟ x + ⎜⎜ 2 − c3 B2 ⎟⎟ y ⎥ + R( x, y );
⎠ ⎝ h
⎠ ⎦
⎪
⎣⎝ h
(12)
⎨
⎡
~
⎛ A1c4
⎞ ⎛ B1c4
⎞ ⎤
⎪ ′
y
i
y
A
c
x
c
B
y
R
x
y
+
=
−
λ
+
ε
−
+
−
(
,
)
,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
2 3⎟
3 2⎟
⎜ 2
⎜
⎪
⎠ ⎝ h2
⎠ ⎦
⎣⎝ h
⎩
где
3
2
2
R ( x, y ) = F1x + F2 x y + F3 xy + F4 y
3,
здесь
Fi (i = 1,4) – известные комплексно-значные функции,
зависящие от параметров задачи.
В системе (12) делаем замену переменных
x = reiϕ , y = x = re −iϕ , выделяя действительные и мнимые части, находим выражения для производных r ′, ϕ′ .
Отношение полученных выражений определяет знаdr
, которое с точностью до ε можно предстаачение
dϕ
вить в виде:
dr ε r
= ~ ⋅ E1 (ϕ) +
dϕ λ
r3
ε r3
~ E2 (ϕ) + ~2 E3 (ϕ) + ..., (13)
λ
λ
ISSN 1607-6885
где Ei (i = 1,3) – вполне определенные действительные
функции аргумента ϕ , имеющие следующую структуру:
Ei = Ei1 + Ei2 cos 2ϕ + Ei3 sin 2ϕ + Ei4 cos 4ϕ +
+ Ei5 sin 4ϕ + Ei6 cos 6ϕ + E 7i sin 6ϕ,
где Ei j – известные действительные величины, являющиеся комбинацией параметров задачи.
Периодическое решение уравнения (13), отвечающее автоколебательному режиму, ищем в виде
⎛ k + εp1 cos 2ϕ + εp2 sin 2ϕ + ⎞
⎟⎟ + ...
r = ε1 2 ⎜⎜
⎝ + εq1 cos 4ϕ + εq2 sin 4ϕ
⎠
(14)
Здесь многоточие означает члены порядка ε 2 . Постоянные k , pi , qi (i = 1,2) определяются путем подстановки выражения (14) в (13).
На рис. 4 приведено графическое решение задачи,
отвечающие автоколебательному режиму.
Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
137
Рис. 4. Автоколебательный режим при значении параметров:
d1 = 0,1, d 2 = 0,1, h = 0,8, b1 = 0,2, b2 = 5, a = 0,1, ε = 0,00007, e = 0,482
Перечень ссылок
1.
2.
Маркеев А. П. Теоретическая механика / Маркеев А. П. –
М. : ЧеРо, 1999. – 572 с.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения /
Малкин И. Г. – М. : Едиториал УРСС, 2004. – 432 с.
3.
Меркин Д. Р. Гироскоптческие системы / Меркин Д. Р. –
М. : Наука, 1974. – 344 с.
Одержано 24.11.2010
Куземко А.В., Костюшко І.А. Дослідження стійкості руху і автоколивання гіроскопа в кардановому
підвісі
Розглядається задача про коливання гіроскопа в кардановому підвісі. Досліджується стійкість системи
під дією нелінійних дисипативних і циркулярних сил. Знайдено умову асимптотичної стійкості в
критичному випадку пари чисто уявних коренів. Розглянутий також випадок автоколивання системи.
Ключові слова: гіроскоп, кардановий підвіс, критичний випадок, резонанс.
Kuzemko A., Kostyushko I. Research of gimbal suspension gyro stability and self-excited oscillations
A task about the vibrations of gyroscope in a gimbal is examined. System stability is probed under the action of
nonlinear dissipative and circular forces. The condition of asymptotic stability is found in critical case of cleanly
imaginary roots pair. The auto-oscillation case of system is considered similarl
Key words: gyroscope, gimbal, critical case, resonance.
138
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 167 Кб
Теги
движение, карданова, гироскопов, подвеса, устойчивость, автоколебаний, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа