close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу построения доверительных областей изменения коэффициентов линейных регрессионных моделей.

код для вставкиСкачать
Математика и информатика
Инструкция пользователя для решения задач на ПВМ
Вносить информацию следует поэтапно, выполняя следующие действия:
Шаг 1. Запустить программу Excel.
Шаг 2. Заполнить ячейку «Издержки выполнения заказа (Cо), y.e. за ед.», используя данные, согласно
выбранному варианту.
Шаг 3. Заполнить ячейку «Количество реализованного товара за год (S), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 4. Заполнить ячейку «Закупочная цена единицы товара (Cu), y.e.», используя данные согласно
выбранному варианту.
Шаг 5. Заполнить ячейку «Издержки хранения (i)», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 6. Заполнить ячейку «Среднесуточное потребление (Sd), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 7. Заполнить ячейку «Время доставки (L), сут.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 8. Заполнить ячейку «Размер производимой партии (p), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 9. Заполнить ячейку «Издержки, или штрафные потери, обусловленные дефицитом (h)», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 10. Заполнить ячейку «Рабочие дни предприятия (Др)», используя данные согласно выбранному
варианту.
Шаг 11. Заполнить ячейку «Страховой запас (В), ед.», используя данные согласно выбранному варианту.
Шаг 12. Нажать кнопку «Enter».
Литература
1.
2.
3.
Григорьев М.Н. Управление запасами в логистике: методы, модели, информационные технологии. –
М.: Бизнес-Пресса, 2006.
Минько А.А. Функции в Ехеl. Справочник пользователя. – М.: Эксмо, 2007. – 512 с.
Логистика: тренинг и практикум: учеб. пособие / Б.А. Аникин [и др.]; под ред. Б.А. Аникина, Т.А. Родкиной. – М.: Проспект, 2009. – 324 с.
УДК 519.237
С.В. Ушанов
К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНЫХ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
В статье представлены результаты решения задачи расчета доверительных областей изменения коэффициентов линейных моделей, удовлетворяющих условиям Гаусса-Маркова. Приведен пример
расчета доверительной области.
Ключевые слова: линейные регрессионные модели, доверительная область изменения коэффициентов, матричные методы.
S.V. Ushanov
TO THE ISSUE OF CONSTRUCTION OF THE CONFIDENCE REGIONS
OF LINEAR REGRESSION MODEL INDEX CHANGE
The solution results for the problem of calculation of the confidence regions of linear model index change,
meeting the Gauss-Markov conditions are given in the article. The example of confidence region calculation is given.
Key words: linear regression models, index change confidence region, matrix methods.
При решении многих практических задач возникает необходимость определения не только оптимальных в некотором смысле значений коэффициентов моделей, но и расчета доверительных областей их изменения. Так, если нулевые значения некоторых коэффициентов принадлежат доверительной области, то соответствующие коэффициенты могут быть исключены, а сама модель упрощена.
24
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 10
Одной из практически важных задач обработки данных является задача анализа моделей линейной
множественной регрессии [1]:
Y = Y(x) + , Y(x) = x
где
a,
(1)
x ( x j )1 K ; x1 = 1; x j , j 2, K , значения j-1 регрессора ; Y, Y(x) – наблюдаемое и рас-
T
(a1,...,a K ) – вектор коэффициентов уравнения регрессчитанное значение выходной величины; a
сии; – случайная величина (помеха); K – число коэффициентов модели. В дальнейшем предполагается,
что для (1) выполняются условия Гаусса-Маркова [1].
i 1, n
Пусть объем выборочных данных равен n. Обозначим:
X
(xij )n K
– номер эксперимента;
(Yф1,...,Yфn ) , Y ( X ) T – экс-
– значение переменных x в i-м эксперименте; YфT
периментальные и расчетные значения выходной величины.
Оценка коэффициентов уравнения регрессии (1) определяется методом наименьших квадратов путем минимизации функции
Ф( a ) e T
e
min ,
(2)
a
где e Yф Y(X) – ошибки уравнения регрессии.
Решение задачи (1) – (2) определяется матричным уравнением:
a
A 1 B
XT
X
1
XT
Yф
,
(3)
где
A
(X T
X ), B (X T
Yф) .
(4)
Доверительная область изменения коэффициентов модели определяется критерием Фишера [1]:
Fp (a )
F( , K , n - K) ,
2
S ост
(5)
2 (a ) n S2
Sост
1
ост (n K) ; 2
Sост1(a ) – остаточная дисперсия проверяеK
2
где Sад (a )
мых коэффициентов
2 (a )
S ад
a
с числом степеней свободы n;
2
S ост
Ф(а)
n K
– остаточная дисперсия модели для
оптимальных значений коэффициентов a.
При расчете доверительных областей можно учитывать дополнительные ограничения на изменения
коэффициентов модели и прогнозируемой величины, обусловленные физическими и техникоэкономическими условиями. В этом случае доверительная область соответствует коэффициентам модели,
которые удовлетворяют не только условиям точности модели, но и заданным физическим и техникоэкономическим ограничениям процесса [3–4].
25
Математика и информатика
Наиболее часто при практических расчетах встречается задача определения доверительной области
для двух выбранных параметров ak1 и ak2. В этом случае результат решения допускает наглядное графическое представление.
Для линейных Гаусс-Марковских моделей из (5) следует, что доверительная область изменения коэффициентов при доверительной вероятности (1- ) определяется условиями (6):
T 2 (a ) T 2 (1
где
T 2 (a )
критерия
Sa
,K,n
для
K)
(6)
1
(a a )(XT X)(a a )
2
Sост
(a a )T Sa 1(a a )
Хотеллинга
T 2 (1
p) ,
,p, N
вектора
проверяемых
K F( , K , n
K)
– расчетное значение
коэффициентов
модели
a;
– критическое значение критерия Хотеллинга;
2 (X T X) 1 – ковариационная матрица векторной оценки a.
Sост
Доверительная область изменения коэффициентов модели
2
2
T (a) T (1
a
ограничена поверхностью
, K , n K ), представляющей эллипсоид в K-мерном пространстве [1].
Расчет доверительной области изменения коэффициентов линейной модели. Достаточно часто
возникает задача, когда некоторые из коэффициентов модели фиксированы на определенном уровне, и
требуется построить доверительную область изменения остальных коэффициентов. Сгруппируем коэффициенты в двух блоках: A1 – блок изменяемых коэффициентов; A2 – блок фиксированных коэффициентов.
После соответствующего упорядочения коэффициентов получим:
a
A1
,X
A2
X1
X 2 , Y( x )
T
A1
A2
x 1T ; x 2 T
x a
x 1 T A1
x 2TA2 ,
(7)
тогда
a
A1
, C
A2
C11
:
T
C12
:
E 11
C12
:
0
, E
XT X
.
0
C22
:
E 22
Предельные изменения коэффициентов первого блока линейной модели в доверительной области их
изменения определяются решением следующей оптимизационной задачи:
A1
A2
T
A1T
E11i
C11
C12T
C12
C22
extr ,
A1
A2
(8)
2
,
Tкр SOCT
(9)
i
где E 11 – i-й столбец единичной матрицы E11.
Решение задачи (8)–(9):
Amax = A + A, Amin = A - A,
A1i
C111
E11i
где
Ui
G( A 2 )
E 11i T C111 E 11i
26
,
Ui
C12
A2
,
(10)
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 10
2
SOCT
Tkp
G( A 2 )
AT2 (C22
T
C12
C111C12 ) A 2 .
(11)
При доверительной вероятности (1- 
) изменение 
2 будет удовлетворять условию G(ΔA2) ≥ 0, откуда
A T2 (C 22
T
C12
C111C12 ) A 2
2
Tкр SOCT
.
(12)
Пример расчета доверительной области. Рассмотрим применение рассмотренных выше методик
на примере расчета доверительной области линейной регрессионной модели, построенной по экспериментальным данным Т.Г. Токаревой [2] о результатах измерения веса хвои ели европейской в различных зонах
дегрессии.
Анализируемая регрессионная модель имеет вид:
Y a0
a 1 x1
a2
,
x2
(13)
где Y – cухая масса хвои ели европейской в различных зонах дигрессии насаждений;
x
T
(1, R , t )
хвои;
T
– аргументы регрессионного уравнения; R – расстояние до очага загрязнения; t – возраст
уравнения регрессии; – случайная величина (помеха).
Определение коэффициентов модели. Расчет коэффициентов модели (13) проводим матричным
методом наименьших квадратов по уравнениям (3)–(4):
a
(a 0 ,..., a 2 ) – коэффициенты
n = 20, K = 3, f ост
n
17 , C
K
20
566
T
X X
50
0,3972
9,2
296,6 , Cc
T
X Yф
1
T
X X
24,05
a
C
T
X Yф
0,2283
0,0044 , Фост
0,0427
a
T
20
566
50
566
24261
1415
50
1415
150
K
3:
a
S ост
1415
150
0,0034
0,1000
0,0034
0,0001
0,0000
0,1000
0,0000
0,0400
N
Yфi
Yi
2
0,035 , Sост
,
0,045 .
i 1
Расчет доверительной области проводим по (6) при уровне значимости
свободы дисперсии адекватности f ад
566
50
24261 1415 ,
2
T ( , f ад , f ост )
= 0,05 и числе степеней
0,0020
9,590
0,0192 ,
,
где
T(1
a a a ; a , a – проверяемые и оптимальные значения коэффициентов,
, f ад , f ост ) f ад F( , f ад , f ост ) 3 3,197 = 9,591 – критическое значение критерия
Хотеллинга.
Определение доверительной области изменения коэффициентов a0 и a1 при заданном значении
a2
= 0,05. Расчет доверительной области проводим по (10)–(11) при уровне значимости
a0max = a0 + a0max, a0min = a0 - a0max , a1max = a1 + a1max, a1min = a1 - a1max ,
27
= 0,05.
Математика и информатика
C11
20
566
566
24261
, C12
a0
a1
0,2283 , A
2
0,0044
U1
тимой области (G > 0)),
a2
E
C111
a0
C111
a1 max
E111
E111
1, C 22
E 22
0,147
0,003
1
0,003
,
0,0001
150 ,
0,0073 , G = 0,01809 ( a 2 = 0,05 принадлежит допус-
a2
1 T
11
U2
a 0 max
a1
0 ,
1
1
0
E 11
A1
50
, C11
1415
C 21 T
G
C111 E 111
2 T
11
E
0,351 ,
G
C111E112
U1
C12
A2
U2
C12
A2
12,212 ,
0,0699
, a 0 max
0,0012
0,02358
,
0,001481
a1 max
0,0699,
0,00148 .
Предельные значения коэффициентов в 95% доверительной области при заданном значении коэффициента a2 = 0,05 представлены в таблице.
Предельные значения коэффициентов в 95% доверительной
области их изменения при заданном значении коэффициента a2 = 0,05
∆a0max
Коэффициент
модели (13)
a0
a1
A
a2
Min
0,1584
0,0056
0,050
∆a1max
Max
0,2982
0,0032
0,050
Min
0,2519
0,0029
0,050
max
0,2047
0,0059
0,050
Построим доверительную область изменения коэффициента a0 при заданных значениях a1
( a1
a 1min , a 1max
уровне значимости
C11
) и a2 = 0,05 (табл.). Расчет доверительной области проводим по (11)–(12) при
= 0,05:
20, C12
E 22
1 0
0 1
2
G SOCT
Tкр
(566 50),
C11
1
A2
, Δa1 = [-0,00147; 0,00147],
A T2 (C 22
a 0 max
1
11
C
E111
1
11
E
U1 C12
U1 C12
150
a1
0,0073
G
E111 TC111E111
A2
A2 ,
нижняя граница ДО: a0min = 0,2283 + ∆a0min ,
верхняя граница ДО:
a0max = 0,2283 + ∆a0max .
28
1415
a1 0,0044
0,0073
T
C12
C111C12 ) A 2 , U1
C111
a 0 min
24261 1415
0,05, E11 1 , C 22
,
,
,
,
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 10
Результаты расчетов 95%-й доверительной области изменения коэффициентов a0 и a1 при a2 = 0,05
представлены на рисунке.
95%-я доверительная область изменения коэффициентов a0 и a1 при a2 = 0,05
Литература
1.
2.
3.
4.
Болч Б., Дж. Хуань К. Многомерные статистические методы для экономики. – М.: Статистика, 1979. –
317 с.
Токарева Т.Г. Экологическая оценка техногенного воздействия на еловые леса Кольского полуострова: автореф. дис. … канд. биол. наук. – М., 1992. – 20 с.
Ушанов С.В. Применение многомерных статистических методов при принятии решений. – Красноярск:
СибГТУ, 2003. – 239 с.
Ушанов С.В. К вопросу построения и анализа доверительных областей изменения коэффициентов
линейных регрессионных моделей // Лесоэксплуатация: межвуз. сб. науч. тр. – Красноярск: СибГТУ,
2004. – Вып. 5. – С. 142–150.
29
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
698 Кб
Теги
построение, доверительных, вопрос, областей, регрессионных, линейный, коэффициента, моделей, изменения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа