К вопросу предрасчета точности определения координат точек в сетях из четырехугольников с измеренными сторонами.

Научный журнал КубГАУ, №28(4), апрель 2007 года
1
УДК 528.48
К ВОПРОСУ ПРЕДРАСЧЕТА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КООРДИНАТ ТОЧЕК В СЕТЯХ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ С
ИЗМЕРЕННЫМИ СТОРОНАМИ
Соколов Ю.Г., – к.т.н., профессор
Тимошенко Н.А., – ассистент
Данильченко П.М., – к. с.-х. н., доцент
Кубанский государственный аграрный университет
В статье показано, что так называемые «переходные коэффициенты» А, В, С и
Д, участвующие в составлении условных уравнений, характеризуют геометрию фигур
и могут быть использованы для оценки точности положения точек сети. Предлагается
использовать рекуррентную формулу для определения средних квадратических ошибок пунктов, полученных в результате накопления ошибок, определяемых последовательными линейными засечками.
Ключевые слова: КООРДИНАТЫ ТОЧЕК, СЕТИ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ,
РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАСЕЧКИ,
ПЕРЕХОДНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
В работах [1,2] показано, что для определения коэффициентов условных уравнений для уравнивания геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами, требуется знать, так называемые «переходные коэффициенты» А, В, С и Д, имеющие следующий вид:
1
 q(1 − q )  
h ⋅ sin 2α B 1 +
 ;
2
h2  


sin 2α B
 q(1 − q ) 
B = h − (2q − 1)
;
− h ⋅ sin 2 α B 1 +


2
h2 



sin 2α B
 q (1 − q )  
2
C = −h − (2q − 1)
+ h ⋅ cos α B 1 +
;
2
h2  


1
 q(1 − q )  
2
2
D = q − (2q − 1) sin α B + h ⋅ sin α B 1 +
, 
2
h2  

А = q − (2q − 1) ⋅ cos 2 α B −
где α В - дирекционный угол базовой линии АВ (рисунок 1).
1 S  S 
q = 1 +  2  −  1 
2  B   B 

2
2
;

2
S 
h =  2  − q2
 B 
http://ej.kubagro.ru/2007/04/pdf/04.pdf
.
(1)
Научный журнал КубГАУ, №28(4), апрель 2007 года
2
Рисунок 1 – К упрощению коэффициентов А, В, С, Д
Полученные коэффициенты А, В, С и Д можно существенно упростить. Учитывая, что
H
Q
=h,
= tqψ 2
B
H
и
B −Q
= tqψ 1 ,
H
запишем для коэффици-
ента А следующее выражение:
cos(ψ 1 −ψ 2 )
1  S2 − S2 
1
1 1 H
A = − 1 + 2 2 1  cos 2α + cos 2α + − ⋅ sin 2α
2 
2
2
2
B
cos
ψ 1 ⋅ cosψ 2
B

Из рисунка 1 видно, что
A=
cos ψ 1 =
(
H
S1
,
cosψ 2 =
)
H
S2
.
. Тогда для А получим:

S 22 − S12
S ⋅S
1
1
−
⋅ cos 2α − 1 2 sin 2α ⋅ cos(ψ 1 − ψ 2 ) .

2
2 
B⋅H
B

(2)
На основании теоремы синусов запишем:
S2
B
=
sin ϕ1 sin γ
;
S 2 sin ϕ1 cosψ 1
=
=
B
sin γ
sin γ
S1 cosψ 2
=
B
sin γ
;
.
В результате после несложных тригонометрических преобразований получим:
S 22 − S12
B
Кроме того, из соотношения
2
=−
sin (ψ 1 − ψ 2 )
sin γ
S2
B
=
H / S1 sin γ
найдем
Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получим:
http://ej.kubagro.ru/2007/04/pdf/04.pdf
(3)
sin γ =
B⋅H
S1 ⋅ S 2
.
(4)
Научный журнал КубГАУ, №28(4), апрель 2007 года
cos(ψ1 −ψ 2 )

1  sin(ψ1 −ψ 2 )
A = 1 +
cos2α −
sin 2α 
2
sinγ
sinγ

или
3
1  sin[(ψ1 −ψ 2 ) − 2αB ]
A = 1 +
.
2
sinγ

Переходя через углы ψ 1 и ψ 2 к дирекционным углам сторон
S1
(5)
и
S2 ,
полу-
чим:
A=
1  sin (α1 + α 2 )  sin α 2
1+
 = sin γ ⋅ cos α1 .
2 
sin γ

(6)
Аналогичным образом находим выражения для остальных коэффициентов:

sin α 2
⋅ sin α1 ; 
sin γ


cos α 2
⋅ cos α1 ;
C=−
sin γ


cos α 2
D=−
⋅ sin α1. 
sin γ

B=
(7)
Следует заметить, что приведенные коэффициенты характеризуют
геометрию фигур (четырехугольников), т.к. соблюдается равенство
A2 + B 2 + C 2 + D 2 =
1
sin 2 γ
.
(8)
Это подтверждается и известной формулой оценки точности положения
пункта, определенного линейной засечкой:
m2 =
где
mS
2m 2
sin 2 γ
,
(9)
- средняя квадратическая ошибка линейных измерений.
Таким образом, по углам γ можно предрассчитать ожидаемую точность определения положения точек сети (рисунок 2).
http://ej.kubagro.ru/2007/04/pdf/04.pdf
Научный журнал КубГАУ, №28(4), апрель 2007 года
4
Рисунок 2 – Сеть из четырехугольников с измеренными сторонами.
Так, без учета ошибок исходных данных (точек 1, 2,..., 5,6) средняя
квадратическая ошибка ( M 1.2 ) точки 1.2 будет складываться из ошибки
точки 1.1 и ошибки линейной засечки точки 1.2

1
1
M 12.2 = m12.1 + m12.2 = 2m S2  2
+
2
 sin γ
sin γ 1.2
1.1


.


(10)
Аналогично можно найти




2
1
1
1 

2
2
2
2
2

M2.2 = M2.1 + M1.2 + m2.2 = 2mS
+ 2
+ 2
+ 2
,

 sin2 γ

1.1 sin γ1.2 sin γ 2.1 sin γ 2.2 




3
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
.
M2.3 = M2.2 + M1.3 + m2.3 = 2mS  2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
 sin γ

1.1 sin γ1.2 sin γ1.3 sin γ 2.1 sin γ 2.2 sin γ 2.3  

(11)
То есть для вычисления средних квадратических ошибок
узло-
 1
1 
M22.1 = m12.1 + m22.1 = 2mS2  2
+ 2
,
 sin γ

1.1 sin γ 2.1 

М l ,r
вых точек сети применяется рекуррентная формула вида
М l2.r = M l2.r −1 + M l2−1.r + ml2.r
(12)
Как видно из (4), применяя рекуррентную формулу, приходится опираться на значения двух ранее найденных средних квадратических ошибок
точек, что достаточно трудоемко, т.к. углы γ по мере удаления определяеhttp://ej.kubagro.ru/2007/04/pdf/04.pdf
Научный журнал КубГАУ, №28(4), апрель 2007 года
5
мых точек от исходных повторяются различное число раз. Поэтому для
вычисления средних квадратических ошибок узловых точек целесообразно
составить таблицу, используя которую, можно легко находить значения
коэффициентов
К l .r ,
характеризующих число повторений углов γ в зави-
симости от местоположения определяемой точки.
Для сети размером r×l, состоящей из квадратов, (γ 1.1 = γ 1.2 = ... = γ l .r
величину выражений в скобках можно найти по формуле [3] .
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
V =
−1,
l .r
1 ⋅ 2 ⋅ 3...r
= 90 o
)
(13)
где n=l+r.
Например, для точки с координатами l=4 и r=4, получим
n=l+r=8, (n-r+1)=8-4+1=5,
К 4.4 =
8⋅7⋅6⋅5
− 1 = 69 .
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
Литература
1. Соколов Ю.Г. Патент РФ № 2178869, 2002 г.
2. Соколов Ю.Г., Тимошенко Н.А. Об уравнивании заполняющих геодезических
сетей из четырехугольников с измеренными сторонами. Земельный кадастр:
Сборник научных трудов. – Выпуск № 4, Ростов – на – Дону, 2002 г., с 63-67.
3. Соколов Ю.Г., Григулецкий В.Г., Тимошенко Н.А. Об оценке точности проектов
заполняющих сетей четырелатерации. Оросительные мелиорации в Краснодарском крае. Сборник научных трудов КГАУ, Выпуск 364, Краснодар, 2000 г., с
191-199.
http://ej.kubagro.ru/2007/04/pdf/04.pdf