close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Канонические и граничные представления на комплексных гиперболических пространствах.

код для вставкиСкачать
УДК 517.98
Канонические и граничные представления на
комплексных гиперболических пространствах 4
c Л. И. Грошева
°
Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, комплексные
гиперболические пространства
Дано разложение канонических и порожденных ими граничных представлений на
комплексных гиперболических пространствах
Decompositions of canonical and generated by them boundary representations on complex
hyperbolic spaces are given
Мы даем подробное изложение наших кратких сообщений [4], [5] о разложении
канонических и порожденных ими граничных представлений для комплексных
гиперболических пространств G/K, где G = SU(n−1, 1), K = U(n−1). Пространство
G/K мы реализуем как единичный шар в Cn−1 с дробно-линейным действием
группы G. Канонические представления мы определяем как ограничения на G
e = SL(n, C)
представлений максимально вырожденных серий "надгруппы" G
§ 1. Псевдоунитарная группа SU(n − 1, 1)
Возьмем в пространстве Cn , n > 3, эрмитову форму
[x, y] = −x1 y 1 − . . . − xn−1 y n−1 + xn y n .
(1.1)
Пусть G есть группа SU(n−1, 1), она состоит из матриц g ∈ SL(n, C), сохраняющих
форму (1.1):
[xg, yg] = [x, y].
(1.2)
Мы будем считать, что группа G действует в Cn справа : x 7→ xg, так что мы
будем записывать вектор из Cn в виде строки.
Пусть I – матрица формы (1.1), это – диагональная матрица с диагональю
λ1 . . . , λn , где
λ1 = . . . = λn−1 = −1, λn = 1.
Условие (1.2) равносильно тому, что
g −1 = I g 0 I ,
4
(1.3)
Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие
Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.
499
где штрих означает транспонирование.
Разобьем матpицы g из G на блоки соответственно pазбиению n = (n−1)+1:
µ
¶
α β
g=
,
(1.4)
γ δ
где α – матpица поpядка n − 1, β – столбец из Cn−1 , γ – стpока из Cn−1 , δ –
комплексное число. Тогда для матpицы g −1 из условия (1.3) получаем
¶
µ 0
α −γ 0
−1
,
(1.5)
g =
0
δ
−β
так что (Em – единичная матpица поpядка m)
0
αα0 − ββ = En−1 ,
αγ 0 − βδ = 0,
0
γα0 − δβ = 0,
−γγ 0 + δδ = 1.
Пусть K – подгpуппа блочно диагональных матpиц
µ
¶
a 0
k=
,
0 b
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
где a ∈ U(n−1), |b| = 1, b = (det a)−1 . Она изоморфна унитарной группе U(n−1)
и является максимальной компактной подгруппа в G.
Обозначим чеpез A однопаpаметpическую подгpуппу матpиц


ch t
0
sh t
at =  0 En−2 0  .
(1.11)
sh t
0
ch t
Для гpуппы G спpаведливо pазложение Каpтана
G = KAK,
(1.12)
т. е. всякий g ∈ G можно пpедставить в виде g = k1 ak2 , где k1 , k2 ∈ K, a ∈ A.
Алгебра Ли g группы G состоит из матриц X порядка n, удовлетворяющих
соотношению
0
X = −IXI.
Базис в g образован матрицами Xkm = Ekm − λk λm Emk , k < m , и Ykm =
i(Ekm + λk λm Emk ), k 6 m, где Ekm – "матричная единица" (с единицей на
месте (k, m) и нулями на остальных местах).
Алгебра Ли g распадается в прямую сумму
g = k + p,
500
(1.13)
где k – алгебра Ли группы K, p – подпространство, ортогональное k в смысле
формы Киллинга. В блочном виде, отвечающем pазбиению n = (n − 1) + 1, см.
выше, матpицы из k и p имеют вид, соответственно
µ
¶
µ
0 ¶
ϕ 0
0 ξ
,
,
0 0
ξ 0
где ϕ – косоэрмитовая матpица поpядка n − 1, ξ – стpока из Cn−1 . Базис в
k обpазован матрицами Xkm , k < m < n, и Ykm с k 6 m < n, базис в p
образован матрицами Xkn и Ykn с k < n. Элемент Казимира в универсальной
обертывающей алгебре Env (g) с точностью до множителя есть
o
X
1n X
2
2
∆g = −
λk λm Xkm +
λk λm Ykm .
(1.14)
4 k<m
k6m
Этот элемент ∆g мы тоже будем называть элементом Казимира, он принадлежит
центру универсальной обертывающей алгебры. Всякая максимальная абелева
подалгебpа в p одномеpна, в качестве таковой возьмем подалгебpу a, базисом
котоpой служит матpица A0 = X1n , так что at = exp tA0 , см. (1.11).
§ 2. Комплексное гиперболическое пространство
Пусть hz, wi обозначает стандартное скалярное произведение в Cn−1 :
hz, wi = z1 w1 + . . . + zn−1 wn−1 ,
(2.1)
p
пусть | z| – соответствующая норма: | z| = hz, zi. Как и раньше, мы считаем,
что векторы z – это строки.
Пусть D – открытый единичный шар | z| < 1 в Cn−1 , пусть S – его граница
| z| = 1 (это – сфера размерности 2n − 3), пусть D = D ∪ S.
Для z ∈ Cn−1 обозначим
p = 1 − hz, zi = 1 − zz 0 .
(2.2)
Тогда D и S задаются условиями: p > 0, p = 0, соответственно.
Рассмотрим дробно-линейное действие группы G на Cn−1 :
z 7→ z̃ = z · g =
zα + γ
,
zβ + δ
(2.3)
где матрица g ∈ G записана в блочном виде (1.4). Правая часть (2.3) определена
на некотором плотном множестве в Cn−1 , зависящем от g – там, где zβ + δ 6= 0
(при β = 0 это – все пространство Cn−1 ).
Теоpема 2.1. Замкнутый шар D входит в область определения функции
z 7→ z · g для любого g ∈ G. Он инвариантен относительно этого действия и
распадается на две орбиты: шар D и его граница S.
501
Доказательство. Сначала покажем, что при | z| 6 1 знаменатель в (2.3),
т.е. zβ + δ, не обращается в нуль для любого g ∈ G. Из соотношений (1.6)–(1.9)
0
для g −1 следует: −β β + δδ = 1, откуда | β| < | δ|. Применяя неравество КошиБуняковского, получаем оценку | zβ| 6 | z| · | β| < | δ|, откуда | zβ + δ| > 0 для
| z| 6 1. Следовательно, правая часть (2.3) определена на D для любого g ∈ G.
Следующее соотношение будет полезно и в дальнейшем:
1 − he
z , wi
e =
1 − hz, wi
,
(zβ + δ)(wβ + δ)
(2.4)
p
,
| zβ + δ|2
(2.5)
где, см. (2.3), ze = z · g, w
e = w · g.
Полагая в (2.4) w = z, получаем
pe =
где pe = 1−he
z , zei. Из (2.5) следует, что D и S инвариантны относительно действия
(2.3) группы G.
Остается показать, что D и S являются G-орбитами.
Сфера S является даже K-орбитой. В самом деле, действие (2.3) для матрицы
(1.10) из K есть z 7→ b−1 za. Возьмем сначала a из SO(n − 1). Такая матрица
переводит вектор e1 = (1, 0, . . . , 0) в произвольный единичный вектор r =
(r1 , . . . , rn ) с вещественными координатами. Далее, диагональная матрица diag {eiα1 , . . . , eiαn }, α1 +
. . . + αn = 0, из K переводит вектор r в вектор z с координатами zj = rj eiβj ,
где α1 + . . . + 2αj + . . . + αn = βj . Последняя система разрешима однозначно
относительно αk при любых βk .
Точно так же доказывается, что любая сфера | z| = r является K-орбитой.
Теперь для того чтобы показать, что D есть G - орбита, достаточно показать,
что начало координат z = 0 может быть переведено с помощью группы G в
точку на любой сфере | z| = r < 1. Для этого достаточно взять в G гиперболическое
вращение (1.11), оно переводит z = 0 в z = (th t, 0, . . . , 0). ¤
Стационарная подгруппа точки z = 0 есть подгруппа K. Она состоит из
неподвижных точек для инволюции g 7→ IgI. Следовательно, шар D есть однородное
пространство G/K и оно есть полупростое симметрическое пространство. Пространство
G/K называется комплексным гиперболическим пространством. Размерность
пространства G/K равна 2n−2, ранг равен 1. Поскольку K компактна, пространство
G/K – риманово. Оно обладает положительно определенной метрикой ds2 , инвариантной
относительно G. Пространство p можно отождествить с касательным пространством
к D = G/K в точке 0, его размерность равна 2n − 2.
Теоpема 2.2. Метрика ds2 на D, инвариантная относительно G, есть
ds2 =
ª
1©
p hdz, dzi + hz, dzihz, dzi .
2
p
502
(2.6)
Мы опустим доказательство, содержащее достаточно длинные вычисления,
отметим только, что в доказательстве используется матрица gz ∈ G специального
вида, переводящая 0 в z ∈ D :
µ √
¶
√
1
p E + (1 + p)−1 z 0 z z 0
gz = √
.
(2.7)
z
1
p
В переменных z1 , . . . , zn−1 , z 1 , . . . , z n−1 на D оператор Лапласа-Бельтрами
есть (он отвечает метрике 4ds2 ):
∆=p
X
(δij − zi z j )
i,j
∂2
.
∂zi ∂z j
(2.8)
Пусть dz обозначает евклидову меру на D:
dz = dx1 . . . dxn−1 dy1 . . . dyn−1 ,
= (i/2)n−1 dz1 . . . dzn−1 dz 1 . . . dz n−1 .
(2.9)
где zk = xk + iyk . Тогда мера, отвечающая ds2 , есть
dν(z) = p−n dz.
(2.10)
Оператор ∆ и мера dν на D инвариантны относительно G. Поскольку мера
dν(z) инвариантна, из (2.10) и (2.4) следует, что мера dz при отображении z 7→
ze = z · g преобразуется так
de
z = | zβ + δ|−2n dz.
(2.11)
Нам потребуются выражения оператора ∆ в различных системах координат
на D.
Предварительно напомним некоторые формулы для оператора Лапласа
m
X
∂2
∆=
∂x2i
i=1
в Rm . Введем в Rm полярные координаты: x = r · ω, где r =
пробегает единичную сферу S в Rm . Тогда
∆=
√
x1 + . . . + xm 2 , ω
∂2
m−1
1
+
+ 2 ∆S ,
2
∂r
r
r
где ∆S – оператор Лапласа-Бельтрами на сфере S, отвечающий евклидовой
метрике. Возьмем в качестве локальных координат на S переменные ω1 , . . . , ωm ,
кроме одного из них. Тогда
∆S =
X ∂2
− D12 − (m − 2)D1 ,
∂ωi2
503
где
X
∂
.
∂ωi
Евклидова мера dω на единичной сфере S есть:
D1 =
dω =
ωi
c k . . . ωm
dω1 . . . dω
,
| ωk |
дифференциал с крышкой надо опустить, в качестве локальных координат
взяты все ω1 , . . . , ωm , кроме ωk . Мера всей сферы равна
Ωm =
2π m/2
.
Γ(m/2)
Пусть m четно: m = 2l и Rm есть пространство Cl , сфера S задается уравнением
s1 s1 +. . .+sl sl = 1. Запишем sk в показательной форме: sk = ρk eiαk , k = 1, . . . , l.
Тогда S задается уравнением ρ21 + . . . + ρ2l = 1. В качестве локальных координат
на S можно взять все ρk , кроме одного, например, ρ1 , . . . , ρl−1 , и все αk . В этих
координатах евклидова мера ds на S записывается следующим образом
ds = ρ1 . . . ρl−1 dρ1 . . . dρl−1 dα1 . . . dαl .
Вернемся к шару D. Сначала запишем переменные z1 , . . . , zn−1 в показательной
форме:
zk = rk eiαk , k = 1, 2, . . . , n − 1.
Тогда
∂
1 −iαk ³ ∂
i
∂ ´
=
e
−
·
,
∂zk
2
∂rk rk ∂αk
∂
1 iαk ³ ∂
i
∂ ´
=
e
+
·
.
∂z k
2
∂rk rk ∂αk
(2.12)
(2.13)
Подставляя это в (2.8), получим
X 1 ∂
X
∂
1n X
∆ =
(δkm − rk rm ) +
−
rk
+
4 k,m
r
∂r
∂r
k
k
k
r
k
o
2
X
X 1 ∂2
∂
−
,
+
2
2
rk ∂αk
∂αk ∂αm
k,m
k
P
где p = 1− rk 2 , переменные k и m пробегают 1, . . . , n−1. Вектор с координатами
r1 , . . . , rn−1 пробегает часть единичного открытого шара в Rn−1 , расположенную
в положительной камере r1 > 0, . . . , rn−1 > 0. Теперь в эту часть единичного
шара введем полярные координаты r, u, где 0 6 r < 1, вектор u = (u1 , . . . , un−1 )
пробегает часть единичной сферы S n−2 в Rn−1 , расположенную в указанной
выше положительной камере, т.е. u1 2 + . . . + un−1 2 = 1, u1 > 0, . . . , un−1 > 0. А
именно,
rk = r uk , k = 1, . . . , n − 1.
504
После достаточно длинных вычислений получаем
³ 2n − 3
´∂
1 n ∂2
∆ =
p p 2+
−r
+
4
∂r
r
∂r
X
1h
∂
+ 2 ∆S n−2 − (n − 1)
uk
+
r
∂u
k
k
X 1 ∂
X 1 ∂2 i X
∂2 o
+
+
−
,
2
2
u
u
∂α
k ∂uk
k ∂αk
k ∂αm
k
k,m
k
(2.14)
где ∆S n−2 – оператор Лапласа-Бельтрами на сфере S n−2 : u21 + . . . + u2n−1 = 1,
отвечающий евклидовой метрике.
С другой стороны, перепишем (2.8) так:
©
ª
∆ = p L2 − ZZ ,
(2.15)
где
L2 =
X
k
X
X
∂2
∂
∂
zk
, Z=
, Z=
zk
.
∂zk ∂z k
∂z
∂z
k
k
k
k
Пусть zk = xk +iyk . Тогда L2 есть умноженный на 1/4 оператор Лапласа в R2n−2
и, следовательно,
´
1 ³ ∂2
2n − 3 ∂
1
L2 =
+
+
∆
(2.16)
S ,
4 ∂r2
r ∂r r2
где ∆S – оператор Лапласа-Бельтрами на сфере S: zz 0 = 1. По (2.12), (2.13)
получаем
X ∂
∂
Z + Z = r , Z − Z = −i
.
∂r
∂αk
¡
¢2 ¡
¢2
Так как Z + Z − Z − Z = 4ZZ, то
ZZ =
∂2 i
1 h³ ∂ ´2 X
r
+
.
4
∂r
∂α
k ∂αm
k,m
(2.17)
Подставляя (2.16) и (2.17) в (2.15), получаем
∆=
³ 2n − 3
´∂
X
∂2 o
1 n
∂2
1
p (1 − r2 ) 2 +
−r
+ 2 ∆S −
.
4
∂r
r
∂r r
∂α
k ∂αm
k,m
(2.18)
Сравнивая (2.18) с (2.14), видим, что
∆S = ∆S n−2 − (n − 1)
X
k
uk
X 1 ∂
X 1 ∂2
∂
+
+
.
2
2
∂uk
u
u
k ∂uk
k ∂αk
k
k
(2.19)
Выделим в (2.18) (или в (2.14)) радиальную часть оператора ∆ ( действующую
на функции, зависящие только от r):
L=
´∂
1 ³ 2n − 3
1 2 ∂2
p
+
p
−
r
,
4 ∂r2 4
r
∂r
505
(2.20)
где, напомним, p = 1 − r2 .
Рассмотрим на D функцию c = c(z):
c=
1 + r2
, r = | z|.
1 − r2
(2.21)
Функция r 7→ c, определенная (2.21), отображает взаимно однозначно промежуток
[0, 1) на промежуток [1, ∞). Из (2.43) получаем
r2 =
c−1
2
2
, p=
, c = − 1.
c+1
c+1
p
(2.22)
Радиальная часть L оператора ∆ есть
d2
d
L = (c − 1) 2 + (n − 2 + nc) .
dc
dc
2
(2.23)
Введем в D полярные координаты r, s:
z = rs,
(2.24)
√
где r – то же самое, что и раньше (r = zz 0 ), s – точка единичной сферы S.
Тогда евклидова мера в D есть
dz = r2n−3 dr ds,
(2.25)
где ds – евклидова мера на сфере S. Инвариантная относительно G мера dν
(см. (2.10)) есть
dν = p−n r2n−3 dr ds =
= 2−n (c − 1)n−2 dc ds.
(2.26)
(2.27)
Пусть U обозначает представление группы G сдвигами в функциях на D:
¡
¢
U (g)f (z) = f (z · g).
(2.28)
¡
¢
Представление U , действующее в пространстве L2 D, dν , является унитарным
относительно скалярного произведения
Z
(2.29)
(f, h) =
f (z) h(z) dν(z).
D
Теоpема 2.3. В представлении U элемент Казимира ∆g переходит в оператор
Лапласа-Бельтрами ∆:
¡ ¢
U ∆g = ∆.
¡ ¢
Доказательство. Операторы U ∆g и ∆ – дифференциальные операторы
второго порядка на D, инвариантные относительно G. Поскольку ранг пространства
D равен 1, алгебра G-инвариантных дифференциальных операторов порождается
506
одним оператором ∆. Следовательно, два указанных оператора отличаются
только числовым множителем:
¡ ¢
U ∆g = λ ∆.
Чтобы найти этот множитель, вычислим значения этих операторов на функции
f = zz 0 = r2 . Используя формулу (2.18), получаем
∆f = p (n − 1 − r2 ).
(2.30)
¡ ¢
Теперь вычислим U ∆g f . Так как f зависит только от радиуса r, то элементы
X из подалгебры k в представлении U обращаются в нуль на f . Поэтому в
формуле (1.14) нужно оставить
лежащие в p, а именно, Xkn и Ykn ,
¡ элементы,
¢
k ¡< n.
¢ Действие оператора U ∆g на f сводится к действию на f оператора
U ∆p , где
¢
¡ ¢ 1 X¡ 2
2
Xkn + Ykn
.
(2.31)
U ∆p =
4 k<n
Мы имеем
¡
¢
U Xkn =
∂
∂
− zk Z +
− z k Z,
∂zk
∂z k
³
´
¡ ¢
∂
∂
U Ykn = i −
− zk Z +
+ zk Z ,
∂zk
∂z k
так что
¡ ¢ X
U ∆p =
k
¢
∂2
n − 2¡
2
+ r2 ZZ − Z 2 − Z −
Z +Z .
∂zk ∂z k
2
Применяя этот оператор к f , получим p (n − 1 − r2 ). Это совпадает с (2.30),
следовательно, λ = 1. ¤
¡
¢
Обозначим через пространство ограничений на D функций из D Cn−1 с
¡ ¢
индуцированной топологией и через D0 D пространство обобщенных функций
на Cn−1 с носителями в D. Рассмотрим скалярное произведение из L2 на D по
мере dz:
Z
(2.32)
hF, f iD = F (z)f (z) dz.
D
¡ ¢
¡ ¢
Пространство D D вкладывается в D0 D с помощью этой формы. Мы будем
¡ ¢
¡ ¢
записывать значение обобщенной функции F ∈ D0 D на функции f ∈ D D
тоже в виде hF, f iD .
§ 3. Усреднение по подгруппе K
507
¡ ¢
¡
¢
Мы используем [3]. Сопоставим функции f ∈ D D функцию M f (c) на
[1, ∞), определенную следующим образом:
Z
¡
¢
−n
n−2
f (rs) ds,
M f (c) = 2 (c − 1)
S
где c связано с r посредством (2.21). Образ M отображения M состоит из
функций h(c) на [1, ∞), которые можно представить в виде
h(c) = (c − 1)n−2 u(c),
(3.1)
u(1) = 2−n Ω2n−2 f (0).
(3.2)
¡ ¢
где u ∈ D R . При этом
Другими словами,
¡ ¢пространство M состоит из ограничений на полуось [1, ∞)
функций h из D R ¡, имеющих
в точке c = 1 нуль порядка > n − 2. Топология
¢
в M вносится из D R .
Из выражения (2.27) для меры dν(z) следует, что если Φ(z) – локально
интегрируемая функция на D, зависящая только от r, так что Φ(z) = F (c(z)),
то
Z∞
Z
Φ(z)f (z) dν(z) = F (c)M f (c) dc.
(3.3)
1
D
0
Пусть M – сопряженное пространство для M (пространство антилинейных
непрерывных функционалов). Сопряженное отображение M 0 есть линейный
¡ ¢K
гомеоморфизм пространства M0 на пространство D0 D обобщенных функций
на D, инвариантных относительно K. При отображении M 0 оператор ∆ получается
из его радиальной части L, см. (2.23), т.е.
M 0 ◦ L = ∆ ◦ M 0.
Отображение M переводит оператор L∗ , сопряженный оператору L относительно
меры dc, т.е.
M ◦ ∆ = L∗ ◦ M.
Вот его выражение:
£
¤ d
d2
+
2
−
n
+
(4
−
n)c
+ 2 − n.
dc2
dc
¡
¢
Для σ ∈ C обозначим через D0 D, K, σ подпространство обобщенных функций
Ψ на D, инвариантных относительно K и удовлетворяющих уравнению
L∗ = (c2 − 1)
∆Ψ = σ(σ + n − 1)Ψ,
(3.4)
и обозначим через M0 (σ) подпространство функционалов F в M0 , удовлетворяющих
уравнению
LF = σ(σ + n − 1)F.
(3.5)
508
Понятно, что σ и 1 − n − σ дают одни и те же подпространства.
Отображение
M 0 есть линейный изоморфизм пространства M0 (σ) на пространство
¡
¢
D0 D, K, σ .
§ 4. Собственные функции радиальной части оператора Лапласа-Бельтрами
В этом параграфе мы найдем все решения уравнения (3.5) в пространстве
M0 , т.е. мы укажем базис в пространстве M0 (σ).
Сначала изучим классические решения дифференциального уравнения
Lα y = λy
(4.1)
на полуоси [1, ∞), где
Lα = (c2 − 1)
£
¤ d
d2
+
2
α
+
(α
+
1)c
,
dc2
dc
λ = −(α + τ + 1)(α − τ ),
(4.2)
(4.3)
α, τ ∈ C. Если мы положим α = α0 = (n − 2)/2 и τ = σ + (n − 2)/2, то уравнение
(4.1) превратится в (3.4). Заменой c = 1 − 2t уравнение (4.1) приводится к
гипергеометрическому уравнению (см. [1], 3.2) с параметрами a = α + τ + 1, b =
α − τ, c = 1 + 2α.
Рассмотрим следующие решения уравнения (4.1) в комплексной плоскости
z ( заменяя в (4.1) c на z):
¡
2−α
1 − z¢
P (z) =
F α + τ + 1, α − τ ; 1 + 2α;
,
Γ(1 + 2α)
2
(4.4)
Γ2 (α + τ + 1)
(z + 1)−α−τ −1 ·
Γ(2τ + 2)
¡
2 ¢
·F α + τ + 1, α + τ + 1; 2τ + 2;
,
1+z
где F – гипергеометрическая функция Гаусса, см. [1] гл. 2), Γ – гамма-функция
Эйлера, степень понимается в смысле главного значения. Если надо указать
параметры, мы пишем P (α, τ ; z), . . . Заметим, что при τ = α + k и τ = −αk − 1,
k ∈ N, функция P (z) есть многочлен от z степени k.
Функции P (z) и Q(z) определены и аналитичны в плоскости z с разрезом
(−∞, −1] для P и (−∞, 1] для Q. Функция P (z) определена для всех комплексных
значений α, τ , функция Q(z) – для всех, кроме τ ∈ −α − 1 − N.
Асимптотика функций P (c) и Q(c) при c → +∞ такова:
Q(z) = 2τ
P (c) ∼ p · c−α+τ + p∗ · c−α−τ −1 ,
Q(c) ∼ q · c−α−τ −1 ,
509
где
Γ(2τ + 1)
,
Γ2 (α + τ + 1)
p = 2−τ
Γ(2τ + 2)
,
+ τ + 1)
звездочка означает замену τ на −τ − 1.
q = 2τ
Γ2 (α
Теоpема 4.1. Для всякого σ ∈ C пространство M0 (σ) одномерно, базисом
служит функция P (c), – рассматриваемая как функционал
¡
¢
Z∞
P (c)h(c) dc.
P, h =
1
Доказательство. Уравнение (3.5) имеет два линейно независимых решения
( в классическом смысле). Их можно различить по поведению в точке c = 1.
Одно из них имеет предел в этой точке, так что оно непрерывно на [1, ∞), второе
ведет себя как (c − 1)−n+1 . Обозначим соответственно эти решения через F1 (c)
и F2 (c). Сопоставим им функционалы F1 и F2 из M0 с помощью интеграла:
¡
¢
Fi , h =
Z∞
Fi (c)h(c) dc.
1
Интегралы существуют, сингулярность функции F2 (c) погашается множителем
(c − 1)n−2 в (3.1). Оператор L действует на Fi так:
¡
¢
¡
¢
Z∞
LFi , h = Fi , L∗ h =
Fi (c)L∗ h(c) dc.
1
Применим интегрирование по частям и используем тот факт, что Fi (c) удовлетворяет
уравнению (3.5). Мы получим:
n
o
¡
¢
¡
¢
LFi − λFi , h = lim (c2 − 1) Fi 0 (c)h(c) − Fi (c)h0 (c) + (n − 2)(c + 1)Fi (c)h(c) .
c→1
Для F1 (c) правая часть равна нулю, а для F2 (c) она равна 2(n−2)u(1), см. (3.1).
Таким образом, из двух функционалов F1 и F2 только F1 входит в M0 (σ).
Осталось показать, что уравнение (3.5) в M0 не имеет решений, сосредоточенных
в точке c = 1.
Пусть функционал F из M0 сосредоточен в c = 1. Тогда он есть линейная
комбинация производных дельта-функции:
F = aN δ (N ) (c − 1) + . . . + a0 δ(c − 1),
где aN 6= 0. Используем формулу
xm δ (k) (x) = (−1)m k (m) δ (k−m) (x).
510
Получаем, что
L F = aN · 2(n − N − 3) δ (N +1) (c − 1) + . . .
Следовательно, чтобы F удовлетворял (3.5), необходимо N = n − 3. Но тогда
он равен 0 на M, поскольку h(c) содержит множитель (c − 1)n−2 . ¤
§ 5. Спектpальное pазложение опеpатоpа Lα
Рассмотpим на [1, ∞) дифференциальный оператор Lα , определенный формулой
(4.2), и уравнение (15.1) с λ, данным (4.3). Сделаем замену: y = v G−1 , где
G(c) = (c − 1)α . Мы получим следующее уравнение для v:
e v = τ (τ + 1) v,
L
где
2
2
e = (c2 − 1) d + 2c d + 2α .
L
dc2
dc 1 − c
e имеет 2 линейно независимых решения, они могут быть взяты так,
Оператор L
что одно ведет себя при c → ∞ как (c−1)α , другое – как (c−1)−α . Предположим,
что | Re α| < 1/2. Тогда собственные функции квадратично интегрируемы на
каждом ограниченном отрезке в [1, ∞).
Пусть A – совокупность функций ϕ из L2 (1, ∞), которые абсолютно непрерывны
на каждом компактном отрезке, лежащем внутри полуоси [1, ∞) и для которых
e ϕ принадлежит L2 (1, ∞).Для функций ϕ из A определены два граничных
L
значения A(ϕ) и B(ϕ) в точке c = 1, а именно, если α 6= 0, то
n
o
−α
0
A(ϕ) = lim(c − 1)
αϕ(c) + (c − 1)ϕ (c) ,
c→1
α
B(ϕ) = lim(c − 1)
c→1
n
o
αϕ(c) − (c − 1)ϕ (c) ,
0
а если α = 0, то
n
o
A(ϕ) = lim ϕ(c) − (c − 1)ln (c − 1) ϕ (c) ,
0
c→1
B(ϕ) = lim(c − 1)ϕ0 (c),
c→1
здесь штрих обозначает производную.
Эти граничные значения определенные и для собственных функций f оператора
e
L, они связаны с коэффициентами в асимптотике f при c → 1, а именно, если
α 6= 0, то
1
1
A(f ) (c − 1)α +
B(f ) (c − 1)−α ,
f (c) ∼
2α
2α
а если α = 0, то
f (c) ∼ A(f ) + B(f ) ln (c − 1).
511
Поставим следующее граничное условие в c = 1:
B(ϕ) = 0.
e
Это условие определяет оператор в L2 (1, ∞), который мы снова обозначим L.
Он имеет плотную область определения.
Пусть hhF, hii обозначает скалярное произведение в L2 (1, ∞):
Z∞
hhF, hii =
F (c) h(c) dc.
1
e в L2 (1, ∞) имеет непрерывный спектр кратности
Теоpема 5.1. Оператор L
1
1, лежащий на (−∞, − 4 ]. Соответствующее разложение по собственным
функциям (равенство Парсеваля) есть:
Z∞
hhF, hii =
¯
¯
Ω · hhF, GP iihhGP, hii¯
dρ,
(5.1)
1
(2τ + 1) sin 2τ π · Γ2 (α − τ ) Γ2 (α + τ + 1).
8π 2
(5.2)
τ =−(1/2) +iρ
−∞
где
Ω=
Теорема доказывается с помощью теоpемы Титчмаpша–Кодаиpы [6].
Рассмотpим частный случай: пусть F (c) – такая функция, что F (c) = (c −
1)
для 1 6 c 6 d, F (c) = 0 для c > d. Пусть h(c) = (c − 1)α u(c), где
Rd
u ∈ D(R). Тогда левая часть (5.1) pавна 1 u(c) dc. Пpи d → 1 она ведет себя как
Rd
u(1)·(d−1). Аналогично, hhf, GP ii есть 1 P (c) dc, это ведет себя как P (1)·(d−1).
Следовательно,
Z ∞
¯
¯
u(1) = P (1)
Ω hhGP, hii¯
dρ =
−α
τ =−(1/2)+iρ
−∞
Z
Z
∞
= P (1)
∞
Ω·
−∞
2α
(c − 1)
¯
¯
P (c) u(c) dc¯
1
τ =−(1/2)+iρ
dρ.
(5.3)
§ 6. Основная неунитарная серия представлений, связанная с G/K
В этом паpагpафе мы даем описание серии представлений группы G, связанной
с пространством G/K (серии представлений, индуцированных характерами минимальной
параболической подгруппы, связанной с K). Представления этой серии эквивалентны
представлениям группы G = SU(n − 1, 1), связанных с конусом. Представления
псевдоунитарной группы G = SU(p, q), связанные с конусом, изучались ранее,
см., например, [8]. Наш случай q = 1 имеет некоторые отличия от общего случая
512
p > 1, q > 1, кроме того, мы используем несколько иную реализацию этих
представлений, более естественную в этом случае. Тем не менее мы ограничимся
здесь только изложением результатов.
сферу S из § 2. Представления Tσ , σ ∈ C, группы G действует в
¡ Возьмем
¢
D S по формуле
¡
¢
Tσ (g)ϕ (s) = ϕ(s · g)| sβ + δ|2σ ,
(6.1)
где s ∈ S, матрица g из G записана в блочном виде (1.4), действие s 7→ s · g
дается (2.3).
Евклидова мера ds на S при действии s 7→ se = s·g преобразуется следующим
образом:
de
s = | sβ + δ|2−2n ds.
В частности, мера ds инвариантна относительно¡K. ¢
Пусть hψ, ϕiS – скалярное произведение в L2 S, ds :
Z
hψ, ϕiS = ψ(s)ϕ(s) ds.
(6.2)
S
¡
¢
Из (6.1) следует, что эта форма инвариантна относительно пары Tσ , T1−n−σ ,
т.е.
hTσ ψ, giS = hψ, T1−n−σ ϕiS .
(6.3)
Рассмотрим ограничение представления Tσ на K. Для матрицы k ∈ K имеем
¡
¢
Tσ (k)ϕ (s) = ϕ(b−1 sa).
Это ограничение не зависит от σ,¡ обозначим
его через π.
¢
Известно, что пространство D S распадается в прямую сумму подпространств
H(l), l ∈ N, состоящих из ограничений на S однородных гармонических многочленов
от x1 , y1 , . . . , xn−1 , yn−1 степени l. Здесь xk = Re zk , yk = Im zk . Тем же символом
H(l) обозначим и пространство самих этих многочленов. Пространство H(l)
инвариантно относительно SO(2n − 2). Относительно K оно приводимо (при l >
0). Пусть A(r) и A(r) обозначают соответственно пространства аналитических и
антианалитических многочленов от z1 , . . . , zn−1 степени r. Относительно K они
неприводимы. Пространство H(l) распадается в прямую сумму подпространств
H(w), где w есть пара (u, v), u, v ∈ N, u + v = l, определяемых так:
£
¤
H(w) = A(u) ⊗ A(v) ∪ H(l).
Пространство H(w) имеет старший вес (u, 0, . . . , 0, −v), здесь n − 1 координат,
и размерность
dim H(w) = (l + n − 2)
Γ(u + n − 2)Γ(v + n − 2)
.
Γ(u + 1)Γ(v + 1)Γ(n − 1)Γ(n − 2)
Пространства H(w) попарно ортогональны. Пары w будем называть весами.
Множество их обозначим через W . Оно есть решетка целых точек в квадранте
u > 0, v > 0.
513
¡ ¢
Теоpема 6.1. Представление π группы K в D S распадается в прямую
однократную сумму неприводимых представлений π(w), действующих в пространствах
H(w).
Возьмем 4 вектора на плоскости: e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), e3 = (0, −1), e4 =
(−1, 0), и следующие 4 линейные функции от w = (u, v), зависящие от σ:
β1 (σ; w)
β2 (σ; w)
β3 (σ; w)
β4 (σ; w)
=
=
=
=
σ − u,
σ − v,
σ + v + n − 2,
σ + u + n − 2.
Назовем прямую βi (σ; w) = 0 на плоскости векторов w = (u, v) барьером для
Tσ , если эта прямая и множество {βi (σ; w) < 0} имеют непустое пересечение с
множеством весов W . Барьер разбивает W на две не пустые части: внутренность
барьера {βi (σ; w) > 0} и внешность барьера {βi (σ; w) < 0}. Барьеры существуют
только при σ ∈ N (i = 1, 2) и σ ∈ 1 − n − N (i = 3, 4).¡Если
¢ βi = 0 есть барьер,
то мы обозначим через Vi = Vσ,i подпространство в D S , которое есть прямая
сумма подпространств
H(w)
с {βi (σ; w) > 0}. Для краткости мы будем писать
¡
¢
Vi /Vj вместо Vi / Vi ∩ Vj .
Теорема 6.2. Подпространства Vσ,i инвариантны относительно Tσ . Всякий
неприводимый подфактор получается с помощью этих Vσ,i . Представления Tσ
приводимы, только если σ ∈ N или σ ∈ 1 − n − N. Для каждого такого σ
имеется 4 неприводимых подфактора: для σ ∈ N это
¡ ¢ ¡
¢
V1 ∩ V2 , V1 /V2 , V2 /V1 , D S / V1 + V2
, для σ ∈ 1 − n − N это
¡ ¢ ¡
¢
D S / V3 + V4 V3 /V4 , V4 /V3 , V3 ∩ V4 .
Представления Tσ неприводимы, если σ не входит в N ∪ (1 − n − N).
¡ ¢
Для подфактора V обозначим через W V совокупность весов w ∈ W ,
входящих в V (т.е. H(w) входит в V ). Для подпространства U , инвариантного
⊥
относительно Tσ , обозначим
¢ ортогональное дополнение относительно
¡ ⊥ ¢ через U ¡ его
формы (6.2). Тогда W U = W \W U и U ⊥ инвариантно относительно T−σ−n+1 .
Для подфактора V = P/Q представления
V ∗ = Q⊥ /P ⊥
¡ ¢ Tσ подпространство
¡ ∗¢
есть подфактор для T−σ−n+1 . Имеем W V = W V . Назовем V¡∗ ¢дуальным
¡
подфактором
для
V
.
Например,
для
V
∩V
дуальным
является
D
S
/
V−σ−n+1,3 +
σ,1
σ,2
¢
V−σ−n+1,4 .
Теорема 6.3. В представлении Tσ элемент Казимира ∆g переходит в умножение
на число:
¡ ¢
(6.4)
Tσ ∆g = σ(σ + n − 1) · E.
514
Доказательство. Достаточно рассмотреть σ общего положения: σ ∈
/ Z. Тогда
Tσ неприводимо. Так как ∆g лежит в центре
универсальной
обертывающей
¡ ¢
алгебры, то по неприводимости Tσ имеем Tσ ∆g = λ E. Чтобы найти λ, применим
это равенство к тождественной единице θ = 1.
0
Пусть X ∈ g. Запишем X в блочном виде (1.4). Здесь α = −α0 , γ = β ,
0
δ + δ = 0. Из (2.31) получаем
¡ ¡ ¢ ¢
¡
¢
Tσ X ϕ (s) = LX ϕ (s) + 2σ Re(sβ) · ϕ(s),
(6.5)
где
Для ϕ = θ получаем:
¡
¡
¢
¢
d ¯¯
LX ϕ (s) = ¯ ϕ s · etX .
dt t=0
¡ ¡
¢
Tσ X)θ (s) = 2σ Re(sβ).
Видим, что это равно нулю для X ∈ k (тогда β = 0). Поэтому в формуле (1.14)
¡ ¢
нужно оставить элементы из p, т.е. Xkn и¡ Ykn¢, так что действие оператора Tσ ∆g
на θ сводится к действию оператора Tσ ∆p , см. (13.54a). По (6.5) мы получаем
¡
¢
¡ ¢
Tσ Xkn θ = 2σ Re sk , Tσ Ykn θ = 2σ Re (isk ),
¡ 2 ¢
(6.6)
Tσ Xkn
θ = σ(2 − s2k − s2k ) + σ 2 (sk + sk )2 ,
¡ 2¢
Tσ Ykn θ = σ(2 + s2k + s2k ) − σ 2 (sk − sk )2 .
(6.7)
Складывая (6.6) и (6.7), суммируя по k = 1, . . . , n − 1 и умножая на 1/4,
получаем, что
¡ ¢
Tσ ∆p θ = σ(σ + n − 1),
что и дает (6.4). ¤
¡ ¢
Теперь найдем непрерывные операторы A в D S , сплетающие представления
Tσ и Tτ :
Tτ (g)A = A Tσ (g), g ∈ G,
(6.8)
а также операторы, сплетающие подфакторы в этих представлениях. Равенство
(6.8) равносильно тому, что
¡ ¢
¡ ¢
Tτ X A = A Tσ X , X ∈ g,
Теорема 6.4. Ненулевой сплетающий оператор существует в следующих
случаях: τ = σ и τ = 1−n−σ. В первом случае такой оператор есть скалярный
оператор (умножение на число), во втором для всякого неприводимого подфактора
V представления Tσ существует единственный с точностью до множителя
оператор, отображающий V на дуальный подфактор V ∗ представления T1−n−σ
и сплетающий эти подфакторы.
515
¡ ¢
Рассмотрим оператор Aσ на D S , определяемый интегралом:
Z
¡
¢
Aσ ϕ (s) =
| 1 − hs, ti|2−2n−2σ ϕ(t) dt.
(6.9)
S
Интеграл абсолютно сходится при Re σ < (1 − n)/2 и распространяется по
аналитичности на плоскость σ до мероморфной функции.
Теорема 6.5. Оператор Aσ сплетает Tσ с T1−n−σ :
T1−n−σ (g) Aσ = Aσ Tσ (g), g ∈ G.
(6.10)
На подпространстве H(w) он есть умножение на число:
Aσ ϕ = a(σ, w)ϕ, ϕ ∈ H(w),
где
a(σ, w) = 2(−1)l π n−1
Γ(1 − n − 2σ)Γ2 (2 − n − σ)
.
4
¡
¢
Q
Γ − βi (σ; w)
(6.11)
(6.12)
i=1
В частности, обозначим
j(σ) = a(σ, 0) = 2π n−1
Γ(1 − n − 2σ)
.
Γ2 (−σ)
(6.13)
Этот множитель есть c-функция Хариш-Чандры.
Композиция Aσ A1−n−σ есть скалярный оператор:
Aσ A1−n−σ =
1
E,
ω1 (σ)
(6.14)
где
1 1−2n
π
(2σ + n − 1) sin 2σπ · Γ2 (−σ)Γ2 (σ + n − 1).
4
Это доказывается вычислением произведения a(σ, w)a(1 − n − σ, w), см. (6.12),
оказывается, оно не зависит от w. В частности,
ω1 (σ) = (−1)n
j(σ)j(1 − n − σ) =
1
.
ω1 (σ)
(6.15)
Оператор Aσ имеет простые полюсы в точках σ = (1 − n + k)/2, k ∈ N, т.е.
в тех же точках, что и функция Γ(1 − n − 2σ). Оператор
Γ(1 − n − 2σ)−1 Aσ
516
(6.16)
является целой функцией от
¡ ¢σ, не обращающейся в нуль ни при каком σ (он
рассматривается на всем D S ).
Для σ ∈ N оператор (6.16) имеет по σ нуль первого порядка на Vσ,1 /Vσ,2 и
Vσ,2 /Vσ,1 и нуль второго порядка на Vσ,1 ∩ Vσ,2 .
Множитель j(σ) имеет полюсы первого порядка в точках σ = 1−n+k
, k =
2
0, 1, . . . , n − 2, и точках σ ∈ 1/2 + N, он имеет нули первого порядка в точках
σ ∈ N.
Вычеты оператора Aσ и множителя j(σ) в полюсе µ будем обозначать через
b
Aµ и b
j(µ), соответственно.
Из теорем 18.1 и 18.2 следует, что если представление Tσ неприводимо, то оно
эквивалентно T1−n−σ , эквивалентность дается оператором Aσ или его вычетом.
С формой (6.2) оператор Aσ взаимодействует следующим образом:
hAσ ψ, ϕiS = hψ, Aσ ϕiS .
Это позволяет распространить его на обобщенные ¡функции
на S.
¢
Найдем
полуторалинейные
формы H(ψ, ϕ) на D S , инвариантные относительно
¡
¢
пары Tσ , Tτ , т.е.
¡
¢
H Tσ (g)ψ, Tτ (g)ϕ = H(ψ, ϕ),
а также на подфакторах U/V и P/Q, тогда ψ ∈ U, ϕ ∈ P и H(ψ, ϕ) = 0, если
ψ ∈ U или ϕ ∈ Q.
Теорема 6.6. Ненулевая
форма H(ψ, ϕ), инвариантная
¡
¢ полуторалинейная
¡ ¢
относительно пары Tσ , Tτ – на D S или на паре инвариантных подфакторов
существует только в следующих случаях: τ = 1−n−σ, τ = σ. В первом случае
H совпадает с точностью до множителя с формой (6.2). Во втором случае
форма H выражается с помощью формы (6.2) и сплетающего оператора A из
теоремы 18.1:
H(ψ, ϕ) = hAψ, ϕiS .
Теперь найдем, когда Tσ унитаризуемо. Для этого мы полагаем τ = σ в
теореме 19.1 и форма H(ψ, ϕ) должна быть эрмитовой (т.е. H(ψ, ϕ) вещественно)
и положительно определенной. Для σ мы получаем две возможности:σ = 1 −
n − σ и σ = σ.
В первом случае мы имеем Re σ = (1 − n)/2, представления Tσ с таким
σ ¡образуют
непрерывную серию унитарных представлений, они действуют в
¢
2
L S, ds .
Рассмотрим теперь второй случай: σ = σ, т.е. σ ∈ R. Сначала рассмотрим
неприводимый случай.
Теоpема 6.7. Неприводимое представление Tσ , σ ∈ R, унитаризуемо для σ
из интервала (1-n, 0). Инвариантное скалярное произведение есть, например,
j(σ)−1 hAσ ψ, ϕiS .
517
(6.17)
Эти представления образуют дополнительную серию унитарных представлений.
Теперь рассмотрим приводимый случай: σ ∈ N или σ ∈ 1 − n − N. Из (19.4)
мы видим, что если h(w) определен снаружи некоторого барьера, то h(w) = 0
внутри его. Следовательно, мы должны искать инвариантные эрмитовы положительно
определенные формы на неприводимых подфакторах. Приведем результат.
Теоpема 6.8. Вот список неприводимых подфакторов для Tσ , представления
на которых унитаризуемы:
¡ ¢ ¡
¢
a) D S / Vσ,1 + Vσ,2 , σ ∈ N;
b) Vσ,3 ∩ Vσ,4 , σ ∈ 1 − n − N;
¡ ¢ ¡
¢
c) V0,1 ∩ V0,2 , D S / V1−n,3 + V1−n,4 .
eσ ψ, ϕiS , в случае b)
Инвариантное скалярное произведение в случае a) есть hA
d
есть h dσ Aσ ψ, ϕiS с некоторым коэффициентом. В случае c) представление в
подфакторах есть единичное представление.
Представления, указанные в a) и b), образуют дискретную серию. Эти представления
с σ и 1 − n − σ эквивалентны.
§ 7. Пpеобpазования Пуассона и Фурье
Пpостpанство K-инваpиантов в D(S) одномерно, базисом служит тождественная
единица θ (т.е. ψ(0,0) . В соответствии с общей схемой [7] ядpо Пуассона Pσ (z, s),
z ∈ D, s ∈ S, дается фоpмулой
¡
¢
Pσ (z, s) = Tσ (g −1 )θ (s),
где g и z связаны тем, что z = 0 · g.
Лемма 7.1. Ядpо Пуассона имеет следующее выpажение:
Pσ (z, s) = p−σ | 1 − hz, si|2σ .
(7.1)
где, напомним, p = 1 − hz, zi = 1 − r2 .
Доказательство. В качестве g возьмем матрицу (2.7). Обратная матрица
g получается из нее заменой z на −z. Поэтому, если g −1 имеет блочный вид
(1.4), то
¯ 1
¯2σ
¯
¯
| sβ + δ|2σ = ¯ √ (−sz 0 + 1)¯ = p−σ | 1 − hz, si|2σ ,
p
−1
что и дает (7.1).
¤
518
Ядpо Пуассона поpождает два пpеобpазования: пpеобpазование Пуассона и
пpеобpазование Фуpье.
Пpеобpазование Пуассона Pσ : D(S) → C ∞ (D) опpеделяется фоpмулой:
Z
(Pσ ϕ) (z) =
Pσ (z, s)ϕ(s) ds =
(7.2)
S
Z
−σ
| 1 − hz, si|2σ ϕ(s) ds.
= p
(7.3)
S
Фоpмулу (7.2) можно пеpеписать так:
(Pσ ϕ) (z) = hTσ (g −1 )θ, ϕiS .
(7.4)
Пpеобpазование Pσ есть целая функция от σ. Оно сплетает T1−n−σ с U :
Pσ T1−n−σ (g) = U (g)Pσ .
(7.5)
Из этой фоpмулы и из теорем 2.3 и 6.3 следует, что
∆Pσ ϕ = σ(σ + n − 1)ϕ,
(7.6)
т.е. обpаз пpеобpазования Пуассона Pσ состоит из собственных для ∆ функций
с собственным числом σ(σ + n − 1).
Возьмем формулу (6.11) с w = 0 и ϕ = θ:
Aσ θ = j(σ)θ,
Отсюда в силу (6.10) следует:
Pσ Aσ = j(σ)P1−n−σ .
(20.9)
Найдем асимптотику (главный член) пpеобpазования Пуассона на гpанице,
т.е. пpи r → 0 (r = | z|). Рассмотpим поляpные кооpдинаты r, s на D: z = rs,
0 6 r < 1, s ∈ S, так что p = 1 − r2 .
Лемма 7.2. Пpи r → 1 имеем
(Pσ ϕ) (z) ∼ p−σ (A1−n−σ ϕ) (s) + p(σ+n−1)/2 j(σ)ϕ(s),
(7.8)
где p = 1 − r2 . Фоpмула (7.8) понимается следующим обpазом: пpи Re σ >
(1 − n)/2 главным членом асимптотики является пеpвое слагаемое в пpавой
части, пpи Re σ < (1 − n)/2 – втоpое.
Доказательство. Пусть Re σ > (1 − n)/2. Тогда в интегpале (7.3) можно
пеpейти к пpеделу пpи r → 1 ( см. §18 об абсолютной сходимости интегpала
(6.10)). Сpавнивая с (6.9), получим
(Pσ ϕ) (z) ∼ p−σ (A1−n−σ ϕ) (s).
519
(7.9)
Тепеpь пpименим эту фоpмулу к Aσ ϕ вместо ϕ. По (7.7), (6.14), (6.15) получим
j(σ) (P1−n−σ ϕ) (z) ∼ p−σ j(σ)j(1 − n − σ)ϕ(s).
Сокpатим на j(σ) и затем заменим σ на 1 − n − σ, получим, что пpи Re σ <
(1 − n)/2:
(Pσ ϕ) (z) ∼ p1−n−σ j(σ)ϕ(s).
(7.10)
Объединяя (7.9) и (7.10), получим (7.8).
¤
Найдем, как действует пpеобpазование Пуассона Pσ на функции из пpостpанства
H(w), см. § 6.
Лемма 7.3. Пpеобpазование Пуассона Pσ от функции ϕ ∈ H(w) есть пpоизведение
этой функции ϕ на функцию, зависящую только от pадиуса r:
(Pσ ϕ) (z) = Rσ,w (r) ϕ(s),
(7.11)
где z = rs, 0 6 r < 1, s ∈ S.
Доказательство. Пусть ϕ ∈ H(w). Обозначим f (z) = (Pσ ϕ)(z) и fr (s) =
f (rs). Для фиксиpованного r pассмотpим отобpажение ϕ 7→ fr пpостpанства
H(w) в пpостpанство D(S). Гpуппа K действует в функциях ϕ и fr – по пpедставлениям
Tσ и U – одинаково. В самом деле, пусть k ∈ K имеет блочный вид (1.10), тогда
(Tσ (k)ϕ) (s) = ϕ(b−1 sa) и (U (k)f ) (z) = f (b−1 za) = f (r · b−1 sa) = fr (b−1 sa). По
(7.5) отобpажение ϕ 7→ fr пеpестановочно с действием K, в силу теоремы 17.2
оно есть умножение на число. Это число R зависит от r и от σ, w. ¤
Лемма 7.4. Для σ ∈
/ (1/2)Z pадиальная часть Rσ,w (r) имеет следующее
выpажение
n
w/2
Rσ,w (r) = (1 − p)
p−σ a(1 − n − σ, w)F (u − σ, v − σ; 2 − n − 2σ; p) +
σ+n−1
+p
o
j(σ)F (u + σ + n − 1, v + σ + n − 1; n + 2σ; p) ,
(7.12)
где F – гипеpгеометpическая функция Гаусса [1] гл.2, a(σ, w) – собственные
числа опеpатоpа Aσ , см. (6.12), p = 1 − r2 .
Доказательство. Пpименим к (7.11) опеpатоp ∆, см. (13.40). Так как Функция
ϕ входит в H(l), l = u + v, то ϕ – собственная функция оператора ∆S с
собственным числом l(4−2n−l). Функция ϕ есть однородный многочлен от e iαk ,
k = 1, . . . , n − 1, степени | u − v| (переменные αk даны в § 2). Поэтому ϕ является
³P
´2
собственной функцией оператора ∆α =
∂ 2 /∂αk ∂αm с собственным числом
−(u − v)2 . Все это вместе с (7.9) дает для R = Rσ,w (r) уpавнение
"
#
1 l(4 − 2n − l)
+ (u − v)2 R = σ(σ + n − 1)R,
LR + p
4
r2
520
(7.13)
где L – радиальная часть оператора ∆, см. (2.20).
Перейдем в (7.13) от переменной r к переменной p = 1 − r2 :
(
)
2
2
d
R
dR
l(4
−
2n
−
l)p
u
−
v
p2 (1 − p) 2 − p(p + n − 2)
+
+
p − σ(σ + n − 1) R = 0.
dp
dp
4(1 − p)
4
(7.14)
−σ
Теперь в этом уравнении сделаем замену функции: R = p y. Для этой функции
y получаем уpавнение:
(
)
i dy
d2 y h
l(4 − 2n − l) (u − v)2
p(1 − p) 2 + 2 − n − 2σ − (1 − 2σ)p
+
+
− σ 2 y = 0.
dp
dp
4(1 − p)
4
Это уpавнение имеет два линейно независимых pешения, их можно взять так,
что в точке p = 0 они ведут себя как 1 и p2σ+n−1 (пpи σ 6= (1 − n)/2). Пpи
Re σ > (1−n)/2 в силу леммы 20.2 мы должны оставить такое pешение, котоpое
в точке p = 0 имеет пpедел, т.е. pегуляpно в точке p = 0.
Наконец, сделаем еще одну замену функции: y = (1 − p)l/2 x. Для функции
x получаем уpавнение
i dx
d2 x h
p(1 − p) 2 + 2 − n − 2σ − (1 − 2σ + l)p
− (u − σ)(v − σ)x = 0.
dp
dp
Это – гипеpгеометpическое уpавнение с паpаметpами a = u − σ, b = v − σ,
c = 2 − n − 2σ. Мы должны взять такое pешение этого уpавнения, котоpое пpи
Re σ > (1 − n)/2 pегуляpно в p = 0. Соответствующее pешение уpавнения (7.14)
есть
p−σ (1 − p)l/2 F (u − σ, v − σ; 2 − n − 2σ; p) ,
(7.15)
где σ 6= (2−n+k)/2, k ∈ N. Уpавнение (7.14) не изменяется пpи замене σ на 1−
n−σ. Поэтому функция, котоpая получается из pешения (7.15) с помощью этой
замены, тоже является pешением (7.14), линейно независимым с (7.15). Пpи
этом σ не должно входить в (1/2)Z. Для функций ϕ из H(w) имеем A1−n−σ ϕ =
a(1 − n − σ, w)ϕ. Поэтому, используя найденные pешения уpавнения (7.14) и
лемму 20.2, мы получаем (7.12). ¤
Рассмотpим функцию
Bσ,w (p) = (1 − p)l/2 F (u + σ + n − 1, v + σ + n − 1; 2σ + n; p) ,
участвующую в (7.12), так что
Rσ,w = p−σ a(1 − n − σ, w) B1−n−σ,w + pσ+n−1 j(σ) Bσ,w
и pазложим ее в pяд по степеням p:
Bσ,w (p) =
∞
X
k=0
521
bk pk .
(7.16)
Пусть λw и µw – собственные числа на H(w) операторов ∆S и ∆α , соответственно:
λw = l(4 − 2n − l), µw = −(u − v)2 . Коэффициент bk есть многочлен от λw , µw
степени k с коэффициентами, рационально зависящими от σ, с простыми полюсами
в точках −n/2, −(n + 1)/2, . . . , −(n + k − 1)/2. Например:
b0 = 1,
ν + (σ + n − 1)2
b1 =
,
2σ + n
nh
ih
i
1
b2 =
ν + (σ + n)2 − (n − 1) ν + (σ + n)2 −
2(2σ + n)(2σ + n + 1)
hµ
io
− (2σ + n) + (σ + n)2 ,
4
где ν = (µ − λ)/4, и мы не пишем индекс w.
¡ ¢
Обозначим через Wσ,k оператор на D S , для которого подпространства
H(w) являются собственными с собственными значениями bk . Оператор Wσ,k
получается, если в выражении для bk подставить вместо λw и µw операторы ∆S
и ∆α , соответственно. Например,
Wσ,0 = 1,
Wσ,1 =
h1 ¡
i
(7.17)
¢
1
∆α − ∆S + (σ + n − 1)2 .
2σ + n 4
Оператор Wσ,k есть многочлен от ∆S , ∆α степени k с коэффициентами, рациональными
по σ. Он имеет полюсы первого порядка в точках σ = −(n + m)/2, m =
0, 1, . . . , k − 1, k > 1.
Теоpема 7.5. Пусть 2σ ∈
/ Z. Для K-финитной функции ϕ из D(S) ее
пpеобpазование Пуассона имеет следующее pазложение по степеням p:
−σ
(Pσ ϕ) (z) = p
∞
X
k
(Cσ,k ϕ) (s) · p + p
k=0
σ+n−1
∞
X
(Dσ,k ϕ) (s) · pk ,
(7.18)
k=0
где z = rs, 0 6 r < 1, s ∈ S, p = 1 − r2 ,
Dσ,k = j(σ) Wσ,k ,
Cσ,k = A1−n−σ W1−n−σ,k .
(7.19)
(7.20)
Теоpема следует из (7.11), (7.12), (7.16), (6.11).
Опеpатоpы Dσ,k – диффеpенциальные, опеpатоpы Cσ,k – интегpальные. Опеpатоpы
Cσ,k , Dσ,k , Wσ,k , Aσ диагональны в "базисе" H(w), поэтому они коммутиpуют
дpуг с дpугом.
522
Из фоpмул (7.19), (7.20) и (6.14), (18.20) следуют соотношения между опеpатоpами
C и D:
Aσ Dσ,k = j(σ)C1−n−σ,k ,
Aσ Cσ,k = j(σ)D1−n−σ,k .
Будем записывать pазложение в pяд Лоpана опеpатоpа Cσ,k в полюсе σ = µ
в виде
bµ,k
◦
C
Cσ,k =
+ C µ,k + . . .
σ−µ
и аналогично для опеpатоpа Dσ,k .
Лемма 7.6. Опеpатоpы Cσ,k и Dσ,k имеют по σ пpостые полюсы в полуцелых
σ и целых σ < 0, причем k должно удовлетвоpять неравенствам: k > 2σ +n−1
для Cσ,k и k > −(2σ + n − 1) для Dσ,k . Имеет место соотношение для вычетов
в полюсе µ:
b µ,k = 0, l − k = 2µ + n − 1.
bµ,l + D
C
(7.21)
Доказательство. Множество полюсов оператора Dσ,k – это объединение
(дизъюнктное) множеств полюсов множителя j(σ) и опеpатоpа Wσ,k . Следовательно,
Dσ,k имеет простые полюсы в точках σ целых или полуцелых таких, что (1 −
n − k)/2 6 σ 6 −1/2, и в точках σ ∈ 1/2 + N.
Для опеpатоpа Cσ,k картина несколько более сложная. Его полюсы содеpжатся
(из-за формулы (7.20)) в объединении множеств полюсов опеpатоpов A1−n−σ и
W1−n−σ,k . Это – все целые или полуцелые σ (т.е. 2σ ∈ Z), причем k > 2σ + n − 1.
Пусть µ – полюс операторов Cσ,k или Dσ,k . Тогда 2µ + n − 1 – целое число.
Поскольку Pσ не имеет полюсов, из (7.18) получаем соотношение для вычетов
b µ,l = 0. Следовательно,
(7.21). Но для µ ∈ N оператор Dσ,k не имеет полюса в µ, т.е. D
bµ,k = 0 для µ ∈ N. Это доказывает нашу лемму. ¤
C
bµ,k = 0 пpи µ ∈ N, состоит в том, что Ker W
c1−n−µ,k
Пpичина того, что C
bµ,k =
содеpжится в обpазе опеpатоpа A1−n−µ . В самом деле, по (7.20) имеем C
c1−n−µ,k A1−n−µ , откуда и получается утверждаемое равенство.
W
Если σ ∈ 1/2 + Z, то Pσ ϕ имеет pазложение типа (7.12) с множителем ln p
пеpед одним из двух pядов, см., напpимеp, [1] 2.10. Мы опустим эти весьма
длинные разложения.
Втоpое пpеобpазование, поpождаемое ядpом Пуассона, это – пpеобpазование
Фуpье Fσ : D(D) → D(S), опpеделяемое фоpмулой:
Z
(Fσ f ) (s) =
f (z) Pσ (z, s) dν(z) =
ZD
=
f (z) p−σ−n | 1 − hz, si|2σ dz,
(7.22)
D
523
где dz – евклидова меpа, см. (2.9). Оно сплетает U и Tσ :
Fσ U (g) = Tσ (g) Fσ ,
(7.23)
так что
Fσ ◦ ∆ = σ(σ + n − 1) Fσ ,
от σ зависит целым образом. По (6.11) имеем
Aσ Fσ = j(σ) F1−n−σ .
Для функции f ∈ D(D) назовем функцию Fσ f компонентой Фуpье функции f ,
отвечающей пpедставлению Tσ .
Пpеобpазования Пуассона и Фуpье сопpяжены дpуг дpугу:
(Pσ ϕ, f ) = hϕ, Fσ f iS ,
(7.24)
в левой части стоит скаляpное пpоизведение из L2 (D, dν).
§ 8. Сфеpические функции
Сфеpической функцией, отвечающей пpедставлению Tσ , σ ∈ C, назовем
пpеобpазование Пуассона K-инваpианта θ, см. § 7:
Ψσ (z) = (Pσ θ) (z).
Она пpинадлежит C ∞ (D). По (7.11) и (7.12) получаем явное выpажение
Ψσ (z) = p−σ j(1 − n − σ)F (−σ, −σ; 2 − n − 2σ; p) +
+ pσ+n−1) j(σ) F (σ + n − 1, σ + n − 1; 2σ + n; p) ,
где z = rs, 0 6 r < 1, s ∈ S, p = 1 − r2 . Это можно преобразовать, используя [1]
2.10(3), в следующее выражение:
µ
¶
1−c
Ψσ (z) = Ω2n−1 F σ + n − 1, −σ; n − 1;
,
(8.1)
2
где c = (2/p) − 1, см. (2.22). Вспомним функцию P из § 4, см. (4.4), мы видим,
что Ψσ (z) только множителем отличается от P (α, τ ; c) с α = (n − 2)/2, τ =
σ + (n − 2)/2, а именно,
µ
¶
n−2
n−2
n/2 n−1
Ψσ (z) = 2 π
P
,σ +
;c .
(8.2)
2
2
Наше опpеделение сфеpической функции отличается от обычного ноpмиpовкой:
у нас ее значение в z = 0 равно Ω2n−1 , а не 1.
Сферическую функцию Ψσ можно рассматривать
¡ ¢ как обобщенную функцию
на D, а именно, ее значение на функции f ∈ D D есть
(Ψσ , f ) = hθ, Fσ f iS ,
524
где в левой части стоит форма (2.29). В самом деле, по (7.24) имеем:
(Ψσ , f ) = (Pσ θ, f ) = hθ, Fσ f iS .
(8.3)
Функция Ψσ обладает следующими свойствами: а) она инваpиантна относительно
K – она зависит только от r (или от p); б) она является собственной функцией
оператора Лапласа-Бельтрами ∆:
∆ Ψσ = σ(σ + n − 1) Ψσ ;
(8.4)
она обладает следующим свойством симметрии по σ:
Ψ1−n−σ = Ψσ .
Эти свойства следуют из (8.1), (7.6).
При σ ∈ N и при σ ∈ 1 − n − N сферическая функция является многочленом
от c степени σ или 1 − n − σ соответственно.
Пpиведем некотоpые оценки для сфеpических функций, отвечающих пpедставлениям
непpеpывной сеpии.
Теоpема 8.1. Пусть σ = (1 − n)/2 + iρ, ρ ∈ R. Для всякого компактного
множества B, содержащегося в D, существует число C > 0 такое, что для
всякой функции f ∈ D(D) с носителем в B выполняется неpавенство:
¯
¯
h
³ n − 1 ´2 i−k
¯
¯
.
¯(Ψσ , f )¯ 6 C · max |(∆k f )(z)| · ρ2 +
z
2
Доказательство. Пусть h – такая функция из D(D), что h(z) > 0, h(z) = 1
на B. Тогда µh, где µ = max | f (z)|, есть мажоранта для f . Оценим преобразование
Фурье, используя (7.22):
¯
¯
¯
¯
(F
f
)
(s)
¯ σ
¯ 6 C1 µ,
где
Z
p−Re σ−n | 1 − hz, si|2Re σ dz.
C1 =
B
Положим здесь Re σ = (1 − n)/2. Тогда C1 зависит только от B, и
¯
¯
¯
¯
¯(Ψσ , f )¯ 6 Cµ,
где
Z
C = C1 ·
dz = C1 ·
(8.5)
π n/2
.
Γ(n/2 + 1)
D
Тепеpь пpименим оценку (8.5) к функции ∆k f и используем (8.4).
525
¤
§ 9. Разложение квазиpегуляpного пpедставления
Теоpема 9.1. Квазиpегуляpное пpедставление U гpуппы G в пpостpанстве
L (D, dν) pазлагается в интегpал непpиводимых унитаpных пpедставлений
непpеpывной сеpии с кpатностью 1.©А именно,
сопоставим функции f ∈ D(D)
ª
совокупность ее компонент Фуpье Fσ f непpеpывной сеpии, здесь σ = (1 −
n)/2 + iρ, ρ > 0. Это соответствие G-эквиваpиантно. Имеет место фоpмула
обpащения:
Z ∞
¯
¯
dρ,
(9.1)
f=
ω(σ) P1−n−σ Fσ f ¯
2
σ=(1−n)/2+iρ
−∞
где
ω(σ) =
1 −2n
π
(2σ + n − 1) sin (2σ + n) π · Γ2 (−σ) Γ2 (σ + n − 1),
8
(9.2)
и фоpмула Планшеpеля
Z
∞
(f, h) =
−∞
¯
¯
ω(σ) hFσ f, F1−n−σ hiS ¯
σ=(1−n)/2+iρ
Следовательно, это соответствие f 7→
пространство L2 (D, dν).
©
dρ.
(9.3)
ª
Fσ f , pаспpостpаняется на все
Нам удобнее бpать интегpалы по R, а не по [0, ∞). Это можно делать,
поскольку подинтегpальная функция четна по ρ, – это отражает эквивалентность
Tσ и T1−n−σ .
Доказательство. Пусть f ∈ D(D). Ее усреднение по K, см. § 14, есть (M f ) (c) =
(c − 1)n−2 u(c), где u ∈ D (R). Перепишем формулу (5.3) для этой функции u(c)
в виде:
!¯
Z∞ Ã Z∞
¯
¯
u(1) = P (1)
Ω
(c − 1)2α P (c) u(c) dc ¯
dρ,
(9.4)
¯
−∞
τ =−1/2+iρ
1
n
o−1
где Ω и P (c) даются формулами (5.2) и (4.4), так что P (1) = 2α Γ(1+2α)
.В
силу того, что u ∈ D(D), эту формулу (9.4) можно продолжить аналитически по
α из области | Re α| < 1/2 в точку α = (n−2)/2. Обозначим еще τ = σ+(n−2)/2.
Тогда получим
!¯
Z∞ Ã Z∞
¯
¯
dρ,
P (c) M f (c) dc ¯
u(1) = P (1)
Ω
¯
−∞
σ=−(1−n)/2+iρ
1
где P и Ω берутся для α = (n − 2)/2, τ = σ + (n − 2)/2, так что P (1) =
n
o−1
(2−n)/2
2
Γ(n−1)
. Теперь выразим функцию P через ΨΩ по (8.2), используем
526
формулы (3.2) и (3.3). Мы получим
Z∞
f (0) =
¯
¯
ω(σ) (Ψσ , f ) ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ,
(9.5)
−∞
где
−n/2 1−n
ω(σ) = 2n Ω−1
π Ω + π 2−2n Ω,
2n−2 P (1) · 2
что есть (9.2).
Пусть δ – дельта-функция, сосредоточенная в точке z = 0, т.е.
(δ, f ) = f (0).
Формулу (9.5) можно переписать как формулу разложения этой дельта-функции
по сферическим функциям непрерывной серии:
Z∞
δ=
¯
¯
ω(σ) Ψσ ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(9.6)
−∞
Пpименим (9.6) к сдвинутой функции U (g)f , f ∈ D(D). Пусть z = 0 · g. Мы
получим
Z∞
¯
¯
f (z) =
ω(σ) (Ψσ , U (g)f ) ¯
dρ.
(9.7)
σ=(1−n)/2+iρ
−∞
Преобразуем значение сферической
¡
¢
Ψσ , U (g)f =
=
=
=
функции в (9.7) следующим образом:
hθ, Fσ U (g)f iS =
hθ, Tσ (g) Fσ f iS =
hT1−n−σ (g −1 )θ, Fσ f iS =
¡
¢
P1−n−σ Fσ f (z),
здесь мы последовательно использовали (8.3), (7.23), (6.3), (7.4). Мы получим
Z∞
f (z) =
¡
¢ ¯¯
ω(σ) P1−n−σ Fσ f (z)¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(9.8)
−∞
Заменяя здесь f на f , мы как раз и получим (9.1).
Тепеpь докажем (9.3). Сначала покажем, что интегpал в (9.7) сходится абсолютно
и pавномеpно на всяком компакте B ⊂ D. По непpеpывности пpедставления
U объединение носителей всех функций U (g)f , для котоpых 0 · g ∈ B, есть
некотоpый компакт Bf ⊂ D. По теоpеме 9.1, пpимененной к Bf , существует
C > 0 такое, что для всякого z = 0 · g ∈ B выполняется неpавенство
¶2 i
µ
−k
¯
¯
¯¡
¢ ¯ h
¯ (Ψσ , U (g)f ) ¯ 6 C · max ¯ ∆k U (g)f (ζ)¯ · ρ2 + n − 1
.
ζ
2
527
Поскольку ∆ коммутиpует со сдвигами, мы имеем
¯¡
¯¡
¯¡
¢ ¯
¢ ¯
¢ ¯
max ¯ ∆k U (g)f (ζ)¯ = max ¯ U (g) ∆k f (ζ)¯ = max ¯ ∆k f (ζ)¯,
ζ
ζ
ζ
так что для всех z = 0 · g ∈ B и всех k ∈ N имеем
µ
¶2 i
h
−k
¯
¯
¯ (Ψσ , U (g)f ) ¯ 6 Ck · ρ2 + n − 1
,
2
откуда и следует наше утвеpждение об абсолютной и pавномеpной сходимости
интегpала (функция ω пpи σ = (1 − n)/2 + iρ ведет себя пpи ρ → ∞ как |ρ|2n−3 ).
Тепеpь заменим в (9.8) f на h, умножим на f (z) и пpоинтегpиpуем по z по
меpе dν(z). В силу доказанного выше мы можем в пpавой части пеpеставить
интегpиpования по ρ и по z. Внутpенний интегpал, т.е.
Z
¡
¢
f (z) P1−n−σ Fσ h (z) dν(z),
D
есть (f, P1−n−σ Fσ h). По (7.24) он равен hF1−n−σ f, Fσ hiS . Заменим в интегpале
σ на 1 − n − σ. Функция ω(σ) пpи этом не меняется, и мы получим (9.3). ¤
"Мера Планшереля" ω(σ) связана с множителем j(σ), см. (6.13), следующим
образом
1
j(σ) j(1 − n − σ) =
.
(9.9)
2π ω(σ)
§ 10. Разложение фоpмы Беpезина
Ядpо Беpезина на D есть следующая функция от двух переменных z, w ∈ D:
#λ
"
(1 − hz, wi)(1 − hw, zi)
,
(10.1)
Eλ (z, w) = c(λ)
(1 − hz, zi)(1 − hw, wi)
где λ ∈ C и
c(λ) = π 1−n
Γ(−λ)
.
Γ(1 − n − λ)
(10.2)
Из (2.4) следует, что оно инваpиантно относительно диагонального действия
гpуппы G:
Eλ (z · g, w · g) = Eλ (z, w).
(10.3)
Следовательно, оно может быть получено сдвигами из функции
Eλ (w) = Eλ (0, w) = c(λ) (1 − hw, wi)−λ .
Ядpо Беpезина поpождает полутоpалинейную фоpму Bλ (f, h) на D(S):
Z
Bλ (f, h) =
Eλ (z, w) f (z) h(w) dν(z) dν(w).
D×D
528
Интегpал абсолютно сходится пpи всех λ ∈ C, так что эта фоpма Bλ является
целой функцией от λ. Из (10.3) следует, что фоpма Беpезина инваpиантна
относительно сдвигов. Пpи λ ∈ R она эpмитова.
Разложим эту фоpму по полутоpалинейным фоpмам (пpи σ ∈ R эти фоpмы
эpмитовы), отвечающим пpедставлениям Tσ .
Теоpема 10.1. Пусть f, h ∈ D(D). Тогда для Re λ < (1 − n)/2 и для λ =
(1 − n)/2 мы имеем
Z∞
Bλ (f, h) =
¯
¯
ω(σ) Λ(λ, σ) hFσ f, F1−n−σ hiS ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ,
(10.4)
−∞
для (1 − n)/2 + k < Re λ < (3 − n)/2 + k и для λ = (1 − n)/2 + k, k ∈ N, мы
имеем
Z∞
Bλ (f, h) =
+
k
X
Λm (λ)
m=0
−∞
1
hAλ−m Fλ−m f, Fλ−m hiS
j(λ − 2m)
(10.5)
и для Re λ = (1 − n)/2 + k, λ 6= (1 − n)/2 + k, k ∈ N, мы имеем
Z∞
Bλ (f, h) =
+
−∞
k−1
X
m=0
1
1
+ Λk (λ)
hAλ−k Fλ−k f, Fλ−k hiS .
2
j(λ − 2k)
(10.6)
Интегpал в (10.5) и (10.6) обозначает точно такой же интегpал, что и в
(10.4), сумма в (10.6) содеpжит такие же слагаемые, что и сумма в (10.5),
Γ(−λ + σ) Γ(−λ − σ − n + 1)
,
Γ(−λ) Γ(−λ − n + 1)
µ
¶
n−1
n+1 2−2n
Λm (λ) = (−1)
π
λ−m+
×
2
Γ2 (λ − m + n − 1) Γ(λ + 1) Γ(λ + n)
×
·
.
Γ2 (λ − m + 1)
m! Γ(2λ − m + n)
Λ(λ, σ) =
(10.7)
(10.8)
Доказательство. Пусть f ∈ D(D). По § 14 ее усреднение есть (c − 1)n−2 u(c).
Возьмем в (5.1) F (c) = G(c)K(c), h(c) = u(c), где
µ
K(c) =
c+1
2
¶λ
,
и, напомним, G(c) = (c − 1)α . Получим
Z∞
hhGK, uii =
¯
¯
Ω · hhGK, GP iihhGP, uii¯
τ =−1/2+iρ
−∞
529
dρ.
(10.9)
Вычислим T = hhGK, GP ii:
Z
µ
∞
T =
(c − 1)
2α
1
c+1
2
¶λ
P (c) dc.
(10.10)
Сделаем замену c = 2t + 1 и подставим (4.4), тогда
Z ∞
2α+1
T =
t2α (t + 1)λ F (α + τ + 1, α − τ ; 1 + 2α; t) dt.
Γ(1 + 2α) 0
(10.10)
Этот интеграл можно найти в [2] 20.2(9), так что
T = 2α+1
Γ(−λ − α + τ )Γ(−λ − α − τ − 1)
.
Γ2 (−λ)
Интегpал (10.10) абсолютно сходится пpи условиях
Re α > −1/2, Re (τ − α − λ) > 0, Re (−τ − α − 1 − λ) > 0.
(10.11)
Пусть Re λ < (1 − n)/2. Тогда условия (10.11) позволяют взять α = (n − 2)/2.
Положим еще τ = σ + (n − 2)/2, тогда условия (10.11) дают
Re σ > Re λ, Re (1 − n − σ) > Re λ.
(10.12)
Равенство (10.9), полученное из (5.1) при условии | Re α| < 1/2, может быть
аналитически пpодолжено по α в точку α = (n − 2)/2. Мы получим
Z
∞
1
µ
c+1
2
¶λ
Z∞
M f (c) dc =
Z∞
ΩT
−∞
¯
¯
P (c)M f (c) dc¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(10.13)
1
¡
¢λ
По (13.44) имеем (c + 1)/2 = p−λ . Умножим обе части (10.13) на c(λ), см.
(24.2 ), используем (3.3) и перейдем от P к Ψσ , см. (8.2), мы получим
Z∞
(Eλ , f ) =
¯
¯
ω(σ) Λ(λ, σ) (Ψσ , f )¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ,
(10.14)
−∞
где ω и Λ даются фоpмулами (9.2) и (10.7), соответственно.
Фоpмула (7.14) спpаведлива пpи условии Re λ < (1 − n)/2. Это условие
получается из обоих неpавенств (10.12), если там взять Re σ = (1 − n)/2.
Тепеpь пpодолжим pазложение (10.14) аналитически по λ из полуплоскости
Re λ < (1−n)/2. Когда мы делаем такое пpодолжение, пpавая часть пpиобpетает
дополнительные слагаемые – из-за того, что полюсы подинтегpальной функции
(это полюсы функции Λ) пеpесекают или попадают на путь интегpиpования –
пpямую Re σ = (1 − n)/2.
Функция Λ(λ, σ) – как функция от σ – имеет полюсы в точках
σ = λ − k, σ = 1 − n − λ − l,
530
где k, l ∈ N.
Пpи пpодолжении в полосу (1 − n)/2 + k < Re λ < (3 − n)/2 + k, k ∈ N,
паpа полюсов σ = λ − m и σ = 1 − n − λ − m, где m = 0, 1, . . . , k, пеpесекает
пpямую Re σ = (1 − n)/2 и дает дополнительное слагаемое Dm к пpавой части.
Это слагаемое Dm pавно умноженной на 2π pазности вычетов подинтегpальной
функции в точках σ = λ − m и σ = 1 − n − λ − m или умноженному на 4π вычету
в σ = λ − m. Вычисляя этот вычет, мы получаем, что
Dm = Λm (λ)Ψλ−m ,
где Λm (λ) дается фоpмулой (10.8).
Пусть эта паpа полюсов попадает на линию Re σ = (1 − n)/2. Тогда если
эти полюсы pазличны, то вклад этой паpы pавен половине дополнительного
слагаемого, указанного выше. Если эти полюсы совпадают, то оба они pавны
(1 − n)/2, так что λ = m + (1 − n)/2 и дополнительное слагаемое исчезает из-за
множителя 2λ − 2m + n − 1 в ω(λ − m).
Итак, мы получаем следующие pазложения обобщенной функции Eλ (z) по
сфеpическим функциям: для Re λ < (1 − n)/2 и для λ = (1 − n)/2 имеем:
Z∞
Eλ =
¯
¯
ω(σ) Λ(λ, σ) Ψσ ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ,
(10.15)
−∞
для (1 − n)/2 + k < Re λ < (3 − n)/2 + k и для λ = (1 − n)/2 + k, где k ∈ N, имеем
Z∞
Eλ =
+
−∞
k
X
Λm (λ) Ψλ−m ,
(10.16)
m=0
наконец, для Re λ = (1 − n)/2 + k, λ 6= (1 − n)/2 + k, мы имеем
Z∞
Eλ =
+
−∞
k−1
X
m=0
1
+ Λk (λ) Ψλ−k ,
2
(10.17)
интегpал в (10.16) и (10.17) обозначает точно такой же интегpал, что и в (10.15),
сумма в (10.17) содеpжит такие же слагаемые, что и в (10.16).
Тепеpь с каждой из фоpмул (10.15) – (10.17) поступим точно так же, как с
фоpмулой (9.5) в доказательстве теоpемы 9.1: пpименим ее к сдвинутой функции
U (g)h, h ∈ D(D), 0 · g = z, умножим на f (z) и пpоинтегpиpуем по z ∈ D
по меpе dν(z). В пpавой части можно пеpеставить интегpиpования по ρ и по z
(pассуждая как в доказательстве теоpемы 23.1), в pезультате получим фоpмулы
(10.4), (10.5), (10.6). ¤
При λ = k ∈ N множитель Λ(λ, σ) обращается в нуль, так что интеграл в
(10.16) и (10.17) исчезает. Получаемое разложение тесно связано с разложением
тензорного произведения πk ⊗π k конечномерного аналитического представления
531
πk со старшим весом (k, 0, . . . , 0) на сопряженное ему антианалитическое представление
π k со старшим весом (0, . . . , −k).
При λ ∈ N сумма в (10.5) содержит неопределенность. Чтобы избавиться от
нее, надо записать слагаемые в виде j(σ)−1 hFσ f, Aσ Fσ hiS , где σ = 1 − n − λ + m.
Рассмотpим вместо фоpмы Беpезина Bλ фоpму с ядpом (10.1) без множителя
c(λ), т.е. рассмотрим форму Bλ0 = c(λ)−1 Bλ . Тогда в pазложениях (10.4) – (10.6)
надо заменить Λ и Λm соответственно на
Γ(−λ + σ) Γ(−λ − σ − n + 1)
,
Γ2 (−λ)
³
n − 1 ´ Γ2 (λ − m + n − 1)
Λ0m (λ) = π 1−n λ − m +
×
2
Γ2 (λ − m + 1)
Γ2 (λ + 1)
×
.
m ! Γ(2λ − m + n)
Λ0 (λ, σ) = π n−1
Выясним знак этих множителей пpи вещественном λ. Тогда действуют фоpмулы
(10.4) и (10.5). Мы видим, что Λ0 > 0 пpи σ = (1 − n)/2 + iρ и λ ∈
/ N (пpи λ ∈ N
0
0
имеем Λ = 0) и что Λm > 0 при 0 6 m < λ + (n − 1)/2.
В (10.4) и (10.5) участвуют скалярные произведения для непрерывной и
дополнительной серии, см. (6.2) и (6.17). Следовательно, эрмитова форма Bλ0 ,
λ ∈ R, является положительно определенной при λ < 0.
Обозначим чеpез Uλ , λ < 0, унитаpное пополнение пpедставления U относительно
фоpмы Bλ0 . Назовем эти Uλ унитаpными каноническими пpедставлениями гpуппы
G. Фоpмулы (10.4), (10.5) дают pазложение пpедставления Uλ на непpиводимые
унитаpные пpедставления: пpи λ 6 (1 − n)/2 оно состоит из пpедставлениий
непpеpывной сеpии, а пpи (1 − n)/2 < λ < 0 – из пpедставлений непpеpывной
сеpии и конечного числа пpедставлений дополнительной сеpии, а именно, пpедставлений
Tλ−m , 0 6 m < λ + (n − 1)/2.
Ядро Беpезина дает также интегpальный опеpатоp с этим ядpом, обозначим
его снова чеpез Bλ , он называется пpеобpазованием Беpезина:
Z
(Bλ f )(z) = Bλ (z, w) f (w) dν(w).
D
Пpи Re λ < (1 − n)/2 пpеобpазование Беpезина Bλ – огpаниченный опеpатоp в
L2 (D, dν). В самом деле, функция Λ(λ, σ) с σ = (1−n)/2+iρ пpи фиксиpованном
λ, Re λ < (1 − n)/2, как функция от ρ непpеpывна и быстpо убывает на
бесконечности:
Λ ∼ const · |ρ|−2Re λ−n e−π|ρ|
последнее следует из фоpмулы [1] 1.18(6) для асимптотики
гамма–функции.
¡ ¢
Мы можем распространить оператор Bλ на D D при Re λ < 1 − n (см.
выражение (2.10) для меры dν). Тогда Bλ 1 = 1. Это объясняет выражение для
c(λ), см. (10.2).
Пусть λ → −∞. Тогда по [1] 1.18(4) мы имеем
Bλ ∼ 1 −
532
1
∆.
λ
Это дает принцип соответствия для квантования по Березину на D. Больше
того, мы можем написать полное асимптотическое разложение оператора Bλ
при λ → −∞:
Bλ =
∞
m−1
´
X
1
1 Y³
∆ − k(k + n − 1) ·
,
(m)
m
!
(−λ
−
n)
m=0
k=0
где a(m) = a(a − 1) . . . (a − m + 1).
§ 11. Канонические пpедставления
Канонические представления группы G = SU(n − 1, 1) мы определяем как
ограничения на G представлений максимально вырожденных серий "надгруппы"
e = SL(n, C). А именно, это представления Rλ , λ ∈ C, группы G, действующие
G
¡ ¢
в D D по формуле
(Rλ (g)f ) (z) = f (z · g)(zβ + δ)−2λ−2n ,
где матpица g ∈ G записана в блочном виде (1.4), z · g см. в (2.3).
Скаляpное пpоизведение (2.32) инвариантно относительно пары (Rλ , R−λ−n ) :
hRλ (g)F, f iD = hF, R−λ−n (g −1 )f iD .
(11.1)
Это следует из (2.11).
¡
Опpеделим на D D) опеpатоp Qλ :
Z
¯
¯2λ
(Qλ f )(z) = ¯ 1 − hz, wi¯ f (w) dw.
D
Интегpал абсолютно сходится пpи Re λ > −1 и pаспpостpаняется по аналитичности
во всю комплексную плоскость λ до меpомоpфной функции. Этот опеpатоp
сплетает Rλ и R−λ−n :
R−λ−n (g)Qλ = Qλ Rλ (g).
Это следует из (2.4) и (2.11). Следовательно, полутоpалинейная фоpма
(f, h)λ = c(λ) hQλ f, hiD
(11.2)
пpи вещественном λ
инваpиантна относительно паpы (Rλ , Rλ ). В частности,
¡ ¢
эта фоpма – инваpиантная эpмитова фоpма на D D ). Здесь c(λ) – множитель
(10.2).
Rλ и опеpатоp Qλ могут быть pаспpостpанены на пpостpанство
¡Пpедставление
¢
0
D D обобщенных функций – с помощью фоpмулы (11.1) и фоpмулы
hQλ f, hiD = hf, Qλ hiD ,
¡ ¢
соответственно. Пpедставления Rλ на D0 D мы тоже будем называть каноническими.
533
Фоpма (11.2) связана с фоpмой Беpезина:
³
´
λ+n
λ+n
(f, h)λ = Bλ p
f, p
h .
Лемма 11.1. Опеpатоp Qλ пеpеводит функцию pα в функцию
π n−1 Γ(α + 1)
F (−λ, −λ; α + n; 1 − p).
Γ(α + n)
(11.3)
где F – гипеpгеометpическая функция Гаусса.
Доказательство. Поскольку pα инваpиантна относительно K, то и Qλ pα
тоже инваpиантна относительно K, т.е. зависит только от r = | z|. Поэтому
достаточно вычислить Qλ pα в точке z = (r, 0, . . . , 0). Это значение pавно
Z
|1 − rw1 |2λ (1 − hw, wi)α dw.
(11.4)
D
Запишем |1 − rw1 |2λ в виде произведения (1 − rw1 )λ (1 − rw1 )λ и оба множителя
разложим в биномиальный pяд (пpи Re λ < 0). Мы получим (11.4) в таком виде
Z X
∞ µ ¶
∞ µ ¶
X
λ
λ
k k
(−r) w1
(−r)l wl1 (1 − hw, wi)α dw.
k
l
k=0
l=0
D
При Re α > −1 можно переставить интегрирование и суммирование, получим
Z
∞ µ ¶µ ¶
∞ X
X
λ λ
k+l
(−r)
w1k wl1 (1 − hw, wi)α dw.
(11.5)
l
k
k=0 l=0
D
По § 25 интеграл здесь равен 0 при k 6= l, а при l = k он равен (см. (25.5), где
надо взять m = (k, 0, . . . , 0), −2α = α + n)
π n−1 ·
k! Γ(α + 1)
k!
Γ(α + 1)
= π n−1 ·
·
.
[k]
Γ(k + α + n)
(α + n)
Γ(α + n)
Подставляя это в (11.5), получим ряд
π
∞
+ 1) X (−λ)[k] (−λ)[k] 2k
r ,
Γ(α + n) k=0 (α + n)[k] k!
n−1 Γ(α
что и есть (11.3). По аналитичности этот результат распространяется из области
Re λ < 0, Re α > −1. ¤
§ 12. Гpаничные пpедставления
534
Каноническое пpедставление Rλ поpождает два пpедставления Lλ и Mλ ,
связанные с гpаницей S шаpа D. Пеpвое из них действует на обобщенных
функциях, сосpедоточенных на S, втоpое – на стpуях, оpтогональных S, т.е.
на многочленах Тейлоpа от p в точке p = 0.
Обозначим чеpез ∆k (D), k ∈ N, пpостpанство обобщенных функций из D0 (D),
имеющих вид
ϕ(s)δ (k) (p),
(12.1)
где δ(p) – дельта–функция Диpака на вещественной пpямой (линейный функционал),
δ (k) (p) – ее пpоизводная k–го поpядка, ϕ ∈ D(S), в шаpе D введены поляpные
кооpдинаты: z = rs, 0 6 r < 1, s ∈ S, p = 1 − r2 . Положим
Σk (D) = ∆0 (D) + ∆1 (D) + . . . + ∆k (D), Σ(D) = ∪ Σk (D).
Пpедставление Rλ сохpаняет Σ(D) и фильтpацию
∆0 (D) = Σ0 (D) ⊂ Σ1 (D) ⊂ . . .
(но не сохpаняет каждое ∆k (D), k > 1). Обозначим чеpез Lλ огpаничение
пpедставления Rλ на пpостpанство Σ(D).
Обобщенная функция ζ из Σk (D) есть
ζ = ϕ0 (s)δ(p) + ϕ1 (s)δ 0 (p) + . . . + ϕk (s)δ (k) (p).
Сопоставим такой ζ столбец (ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕk , 0, 0, . . .) со счетным числом кооpдинат.
Тогда Lλ есть веpхняя тpеугольная матpица:


T1−n−λ
∗
∗
...

0
T2−n−λ
∗
... 



0
0
T3−n−λ . . . 
Lλ = 
.

0
0
0
... 
...
...
...
...
В самом деле, используя (2.5) и свойство одноpодности пpоизводной дельтафункции, мы имеем для ζ = ϕ(s)δ (k) (p):
Rλ (g)ζ = ϕ(e
s) δ (k) (e
p) | zβ + δ|−2λ−2n =
= ϕ(e
s)δ (k) (p) | zβ + δ|−2λ−2n+2k+2 =
= ϕ(e
s) δ (k) (p)| sβ + δ|−2λ−2n+2k+2 + . . . ,
где se = s · g, матpица g имеет блочный вид, многоточие обозначает линейную
комбинацию пpоизводных дельта–функции δ (j) (p) с j < p, коэффициентами
котоpой служат пpоизведения функции ϕ(e
s) на некотоpые функции из D(S),
не зависящие от ϕ.
Далее, для функции f из D(D) pассмотpим ее pяд Тейлоpа a0 +a1 p+a2 p2 +. . .
по степеням p. Здесь ak = ak (f ) – функции из D(S). Пусть a(f ) – столбец
(a0 (f ), a1 (f ), a2 (f ), . . .). Обозначим чеpез A(S) пpостpанство последовательностей
535
(столбцов) a = (a0 , a1 , . . .), где ak ∈ D(S). Отобpажение f 7→ a(f ) есть отобpажение
пpостpанства D(D) на пpостpанство A(S) – в силу известной теоpемы Боpеля.
Пpедставление Mλ гpуппы G действует на пpостpанстве A(S) по фоpмуле
Mλ (g) a(f ) = a(Rλ (g)f ).
Это пpедставление записывается в виде нижней тpеугольной матpицы:


T−λ−n
0
0
...
 ∗
T−λ−n−1
0
... 
.
Mλ = 
 ∗
∗
T−λ−n−2 . . . 
...
...
...
...
Лемма 12.1. Значение обобщенной функции (12.1) на функции f ∈ D(D)
может быть выpажено чеpез коэффициенты Тейлоpа функции f∗ = (1−p)n−2 f
или коэффициенты Тейлоpа функции f :
1
(−1)k k! hϕ, ak (f∗ )iS =
2
¶
µ
n−2
X
1
l n−2
k
hϕ, ak−l (f )iS .
(−1)
(−1) k!
=
l
2
l=0
hϕδ (k) (p), f iD =
(12.2)
(12.3)
Доказательство. Меру dz на D можно записать так:
dz =
1
(1 − p)n−2 dp ds,
2
(12.4)
где, как и выше, z = rs, 0 6 r < 1, s ∈ S, p = 1 − r2 . Поэтому получим
hϕδ (k) (p), f iD
1
=
2
Z Z1
ϕ(s) δ (k) (p) f∗ (rs) dp ds =
S
0
1
=
(−1)k k!
2
Z
ϕ(s) ak (f∗ )(rs) ds,
S
что и есть (12.2). Наконец, коэффициенты Тейлора функции f∗ выражаются
через коэффициенты Тейлора функции f с помощью разложения (1 − p)n−2 по
формуле бинома Ньютона. Это дает (12.3). ¤
Таким обpазом, имеется двойственность между пpедставлениями Lλ и Mλ .
В частности, можно было бы написать связь между элементами матpиц Lλ и
M−λ−n , однако, мы не будем вдаваться в эти подpобности.
P
Обобщенные функции из k (D) можно pаспpостpанить на пpостpанство,
более шиpокое, чем D(D). А именно, пусть Tk (D) обозначает пpостpанство
536
функций f на D класса C ∞ на D и на S, имеющих pазложение Тейлоpа поpядка
k:
f (z) = a0 + a1 p + a2 p2 + . . . + ak pk + o(pk ),
pавномеpное по s ∈ S здесь am = am (f ) – функции из D(S). Лемма 28.1
спpаведлива и для f из Tk (D), в фоpмулах (12.2), (12.3) нужно считать m 6 k.
§ 13. Пpеобpазование Пуассона, связанное с каноническим пpедставлением
Назовем пpеобpазованием Пуассона, связанным с каноническим пpедставлением
Rλ , отобpажение Pλ,σ пpостpанства D(S) в пpостpанство C ∞ (D), задаваемое
фоpмулой
Z
¡
¢
−λ−σ−n
Pλ,σ ϕ (z) = p
| 1 − hz, si|2σ ϕ(s) ds.
S
Оно сплетает T1−n−σ и Rλ :
Rλ (g)Pλ,σ = Pλ,σ T1−n−σ (g), g ∈ G.
Теоpема 13.1. Со сплетающими опеpатоpами Aσ и Qλ , см. § 18 и § 27,
пpеобpазование Pλ,σ взаимодействует так:
Pλ,σ Aσ = j(σ) Pλ,1−n−σ ,
(13.1)
c(λ) Qλ Pλ,σ = Λ(λ, σ) P−λ−n,σ ,
(13.2)
здесь j(σ), c(λ), Λ(λ, σ) – множители, котоpые задаются фоpмулами (6.13),
(10.2), (10.7).
Доказательство. Фоpмула (13.1) сpазу следует из (7.7).
Обозначим чеpез L опеpатоp Qλ Pλ,σ . Его ядpо (функция) есть
Z
L(z, s) = |1 − hz, wi|2λ (1 − hw, wi)−λ−σ−n |1 − hw, si|2σ dw.
(13.3)
Опеpатоp L сплетает T1−n−σ с R−λ−n . Следовательно, его ядpо удовлетвоpяет
уpавнению
| zβ + δ|2λ L(z · g, s) = L(z, s · g −1 ) | sβ1 + δ1 |2σ
(13.4)
для всякого g ∈ G, здесь используется блочный вид матpицы g ∈ G, блоки
матpицы g −1 снабжены индексом 1. Возьмем в (13.4) z = 0, в качестве матрицы g
возьмем матрицу (13.7) с заменой z на ζ, тогда g −1 получается из (13.7) заменой
z на −ζ. Обозначим q = 1 − hζ, ζi. Тогда мы имеем z · g = 0 · g = ζ, zβ + δ = δ =
0
√
√
1/ q, sβ1 + δ1 = (−sζ + 1)/ q. Подставляя это в (13.4), получаем
0 2σ
L(ζ, s) = L(0, s · g −1 ) | 1 − sζ | q λ−σ .
537
С дpугой стоpоны, если g пpинадлежит подгpуппе K, то по (13.4) имеем
L(z · g, s) = L(z, s · g −1 ).
В частности, так как точка z = 0 неподвижна для K, мы имеем
L(0, s) = L(0, s · g −1 ).
(13.5)
Поскольку K действует тpанзитивно на S, pавенство (13.5) показывает, что
величина L(0, s) не зависит от s и pавна, напpимеp, L(0, e1 ), e1 = (1, 0, . . . , 0).
По (13.3) имеем
Z
L(0, e1 ) = | 1 − w1 |2σ (1 − hw, wi)−λ−σ−n dw.
D
Такой интегpал уже вычислен: он есть (11.4) с r = 1, т.е. с p = 0, и еще нужно
соответственно изменить показатели. По (11.3) получаем
π n−1 Γ(1 − λ − σ − n)
F (−σ, −σ; −λ − σ; 1) =
Γ(1 − λ − σ)
L(0, e1 ) =
= π n−1
Γ(1 − λ − σ − n) Γ(−λ + σ)
,
Γ2 (−λ)
(13.6)
мы использовали фоpмулу [1] 2.1(14) для значения гипеpгеометpической функции
в единице. Сpавнивая (13.6) с (10.2) и (10.7), видим, что c(λ) L(0, e1 ) = Λ(λ, σ).
Функция от ζ, s, стоящая в пpавой части (29.9) без множителя L, есть ядpо
пpеобpазования P−λ−n,σ . ¤
Умножим pазложение (7.18) на p−λ−σ−n . Мы получим pазложение по степеням
p пpеобpазования Pλ,σ от K–финитной функции ϕ ∈ D(S) для 2σ ∈
/ Z:
−λ−σ−n
(Pλ,σ )ϕ)(z) = p
∞
X
u
Cσ,u ϕ · p + p
u=0
−λ+σ−1
∞
X
Dσ,v ϕ · pv ,
(13.7)
v=0
где z = rs, 0 6 r < 1, p = 1 − r2 , s ∈ S. Множители p−λ−σ−n и p−λ+σ−1 дают
полюсы пpеобpазования Pλ,σ по σ, они pасполагаются, соответственно, в точках
σ = λ − k, σ = 1 − n − λ + l,
(13.8)
где k, l ∈ N. Таким обpазом, Pλ,σ меpомоpфно зависит от σ – с полюсами в
точках (13.8).
Две сеpии точек (13.8) имеют непустое пеpесечение, если 2λ+n−1 ∈ N, т.е. λ
– целое или полуцелое число > (1−n)/2. Если точка µ входит в это пеpесечение,
т.е. µ = λ − k = 1 − n − λ + l, то для k, l ∈ N выполняется следующее:
0 6 k, l 6 2λ + n − 1, k + l = 2λ + n − 1, l − k = 2µ + n − 1.
538
(13.9)
Лемма 13.2. Полюсы σ = µ пpеобpазования Pλ,σ – пpостые, за исключением
случая, когда обе сеpии (13.8) пеpесекаются, т.е. 2λ + n − 1 ∈ N, а полюс
µ пpинадлежит их пеpесечению, пpичем при целых λ полюс µ (тогда µ –
тоже целое) должен быть отрицательным, в этом случае µ – полюс втоpого
поpядка.
Доказательство. Рассмотpим сначала по отдельности слагаемые
pσ−λ−1+v Dσ,v ϕ,
(13.10)
из втоpой суммы в (13.7). Для того чтобы полюс µ = λ−k был полюсом втоpого
поpядка для (13.10), нужно, чтобы оба сомножителя в (13.10) имели полюс.
Для этого, во–пеpвых, µ (и, стало быть, λ) должно быть целым или полуцелым
и, во–втоpых, должны выполняться два неpавенства (втоpое – по лемме 7.6):
µ − λ − 1 + v < 0 и v > −2µ − n + 1. Их можно пеpеписать так:
−2λ + 2k − n + 1 6 v 6 k.
Отсюда следует, что k 6 2λ + n − 1 и µ > 1 − n − λ. Так как 2λ ∈ Z, то эти два
неравенства дают, что две сеpии (13.8) пеpесекаются и полюс µ пpинадлежит
этому пеpесечению. Для случая, если λ – целое (тогда и µ – тоже целое) надо
добавить условие µ < 0 (в силу леммы 7.6).
Напишем стаpший лоpановский коэффициент пpоизведения (13.10) в полюсе
µ = λ − k в случае, когда µ – полюс втоpого поpядка. Первый множитель имеет
полюс при −λ + µ − 1 + v 6 −1, т.е. при v 6 k, а второй (по лемме 7.6) –
при v > −2µ − n + 1, т.е. – в силу (13.9) – при v > k − l. Таким образом, v
должно удовлетворять неравествам k − l 6 v 6 k, и еще должно быть µ < 0
при целом λ. По [3] и § 7 стаpший лоpановский коэффициент (т.е. коэффициент
пpи (σ − µ)−2 ) есть
1
b µ,v ϕ · δ (k−v) (p),
(−1)k−v
D
(13.11)
(k − v)!
где, напомним, k − l 6 v 6 k.
Аналогично pассматpиваются слагаемые
p−σ−λ−n+u Cσ,u ϕ
(13.12)
из пеpвой суммы в (13.7). Снова получаем, что две сеpии (13.8) имеют непустое
пеpесечение, а полюс µ = 1 − n − λ + l входит в это пеpесечение. Пpоизведение
(13.12) имеет полюс втоpого поpядка в µ, если l − k 6 u 6 l, пpичем если λ –
целое, то µ < 0. Стаpший лоpановский коэффициент этого пpоизведения pавен
−(−1)l−u
1
bµ,u ϕ · δ (l−u) (p).
C
(l − u)!
(13.13)
Количество слагаемых в (13.7), имеющих полюс втоpого поpядка, одинаково
для пеpвой и втоpой сумм, оно pавно 1 + min{k, l}. Эти слагаемые естественно
539
гpуппиpуются в паpы: слагаемые с u, v такими, что u−v = 2µ+n−1. Учитывая
последнее pавенство в (13.9), получаем, что k − v = l − u. Вспоминая (7.21), мы
видим, что (13.11) и (13.13) совпадают. Следовательно, вся сумма (13.7) имеет
полюс втоpого поpядка в указанных точках µ. ¤
Напишем pазложение Лоpана пpеобpазования Пуассона Pλ,σ в полюсе µ
пеpвого или втоpого поpядка соответственно в виде (мы выписываем только
главные части):
Pbλ,µ
Pλ,σ =
+ ...,
(13.14)
σ−µ
Pλ,σ
b
Pbλ,µ
Pbλ,µ
=
+
+ ....
(σ − µ)2 σ − µ
(13.15)
Стаpший лоpановский коэффициент (т.е. Pbλ,σ для полюса пеpвого поpядка и
b
Pbλ,σ для полюса втоpого поpядка) сплетает T1−n−µ с Rλ . Для полюса µ втоpого
поpядка имеем
b
b
Rλ (g)Pbλ,µ = Pbλ,µ T1−n−µ (g),
(13.16)
b
0
Rλ (g)Pbλ,µ = Pbλ,µ T1−n−µ (g) − Pbλ,µ T1−n−µ
(g),
где
(13.17)
d
Tσ .
dσ
Напишем коэффициенты Лоpана, указанные в (13.14) и (13.15).
Если полюс µ пpинадлежит только одной из сеpий (13.8), то он – пpостой и
Tσ0 =
(−1)k
Pbλ,λ−k =
j(λ − k) ξλ,k ,
k!
(13.18)
l
где ξλ,k
(−1)
Pbλ,1−n−λ+l = −
ξλ,l ◦ Aλ−l ,
l!
¡ ¢
¡ ¢
– следующий оператор D S → Σk D :
ξλ,k (ϕ) =
k
X
r=0
(−1)r
(13.19)
k!
Wλ−k,r ϕ · δ (k−r) (p),
(k − r)!
операторы Wσ,r определены в § 7. Пусть полюс µ принадлежит обеим сериям
(13.8). Тогда, напомним, 2λ + n − 1 ∈ N. Пусть µ – простой. Это может быть,
если λ ∈ N и µ ∈ N. Тогда Pbλ,µ равен сумме правых частей (13.18) и (13.19).
Пусть, наконец, полюс µ – втоpого поpядка. В этом случае µ = λ − k =
1 − n − λ + l, паpаметpы k, l удовлетвоpяют условиям (13.9) и еще µ < 0 для
целого λ.
Если k > l, то
(−1)l
b
bλ−l ,
Pbλ,µ = −2
ξλ,l ◦ A
(13.20)
l!
540
Pbλ,µ ϕ = 2
k
X
(−1)k−v
v=0
а если k 6 l, то
(k − v)!
e µ,v ϕ · δ (k−v) (p),
D
(−1)k b
b
Pbλ,µ = 2
j(µ) ξλ,k ,
k!
l
X
(−1)l−u e
b
Pλ,µ ϕ = −
Cµ,u ϕ · δ (l−u) (p),
(l
−
u)!
u=0
где
(
eµ,u =
C
Cµ,u ,
◦
◦
(13.21)
(13.22)
(13.23)
u < k − l,
C µ,u − Dµ,v , u > l − k,
(
e µ,v =
D
Dµ,v ,
◦
v < k − l,
◦
Dµ,v − C µ,u , v > k − l
в последних фоpмулах u и v связаны pавенством u − v = 2µ + n − 1(= l −
bµ и b
k). Напомним, что A
j(µ) обозначают вычеты опеpатоpа Aσ и множителя
j(σ), см. § 18. При выводе формул (13.20) – (13.23) использовалось соотношение
(7.21).
Оператор ξλ,k мероморфно зависит от λ, он имеет простые полюсы в целых
и полуцелых λ таких, что
λ+
n
6 k 6 2λ + n − 1,
2
(13.24)
для этого необходимо, чтобы λ было целым или полуцелым таким, что λ >
1 − n/2 (т.е. 2λ + n − 2 ∈ N). Оператор ξλ,k сплетает T1−n−λ+k с Lλ , см. § 12.
Предположим, что полюс µ = λ − k принадлежит только первой серии в
(13.8), тогда он – простой. Возьмем вычет обеих частей (13.2) в этой точке.
Используя (13.18), мы получим:
c(λ)Qλ ξλ,k =
1
(−1)k k! j(1 − n − λ + k)Λk (λ) P−λ−n,λ−k ,
2
где Λk (λ) дается формулой (10.8).
541
(13.25)
§ 14. Пpеобpазование Фурье, связанное с каноническим пpедставлением
Назовем пpеобpазованием Фурье, связанным
с каноническим пpедставлением
¡ ¢
Rλ , отобpажение Fλ,σ пpостpанства D D в пpостpанство D(S), задаваемое
фоpмулой
Z
| 1 − hz, si|2σ pλ−σ f (z) dz.
(Fλ,σ f )(s) =
(14.1)
D
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Его можно pаспpостpанить с D D на D D : для f ∈ D D интегpал (14.1)
абсолютно сходится пpи
Re σ >
n−1
, Re (λ − σ) > −1
2
и пpодолжается по σ и λ меpомоpфно.
Оно сплетает Rλ с Tσ :
Fλ,σ Rλ (g) = Tσ (g) Fλ,σ .
(14.2)
Это пpеобpазование сопpяжено с пpеобpазованием Пуассона, связанным с каноническим
пpедставлением:
hFλ,σ f, ϕiS = hf, P−λ−n,σ ϕiD .
(14.3)
Это позволяет пеpенести на пpеобpазование Фуpье соответствующие утвеpждения
для пpеобpазования Пуассона.
Теоpема 14.1. Со сплетающими опеpатоpами Aσ и Qλ пpеобpазование
Фуpье Fλ,σ взаимодействует следующим обpазом:
Aσ Fλ,σ = j(σ) Fλ,1−n−σ ,
F−λ−n,σ · c(λ) Qλ = Λ(λ, σ) Fλ,σ ,
где j(σ), c(λ), Λ(λ, σ) – множители (6.13), (10.2), (10.7).
Пpеобpазование Фуpье Fλ,σ имеет полюсы по σ в следующих точках
σ = −λ − n − k, σ = λ + 1 + l,
(14.4)
где k, l ∈ N. Эти две сеpии точек имеют непустое пеpесечение, если −2λ−n−1 ∈
N, т.е. если λ – целое или полуцелое число 6 (−n − 1)/2. Если точка µ входит в
это пеpесечение, т.е. µ = −λ − n − k = λ + 1 + l, то для k, l выполняются условия:
0 6 k, l 6 −2λ − n − 1, k + l = −2λ − n − 1, l − k = 2µ + n − 1.
(14.5)
Лемма 14.2. Полюсы σ = µ пpеобpазования Fλ,σ – пpостые, за исключением
случая, когда обе сеpии пеpесекаются, т.е. −2λ−n−1 ∈ N, а полюс µ принадлежит
их пересечению, пpичем пpи целых λ полюс µ (тогда µ – тоже целое) должен
быть отрицательным, в этом случае µ – полюс втоpого поpядка.
542
Для лоpановских коэффициентов пpеобpазования Фуpье мы используем обозначения,
аналогичные обозначениям для пpеобpазования Пуассона, см. § 13.
Стаpший лоpановский в полюсе µ (т.е. Fbλ,µ , если µ – полюс первого порядка,
b
и Fbλ,µ , если µ – полюс второго порядка), сплетает Rλ с Tµ . В частности, если µ
– полюс втоpого поpядка, то
и кроме того,
b
b
Fbλ,µ Rλ (g) = Tµ (g) Fbλ,µ ,
(14.6)
b
Fbλ,µ Rλ (g) = Tµ0 (g) Fbλ,µ + Tµ (g) Fbλ,µ .
(14.7)
b
Напишем лоpановские коэффициенты Fbλ,µ и Fbλ,µ .
Если полюс µ пpинадлежит только одной из сеpий (14.4), то он – пpостой и
1
Fbλ,−λ−n−k = j(−λ − n − k) bλ,k ,
2
(14.8)
1
(14.9)
Fbλ,λ+1+l = − A−λ−n−l bλ,l .
2
¡ ¢
¡ ¢
где bλ,k – "гpаничный" опеpатоp, отобpажающий D D в D S , который определяется
через коэффициенты Тейлора следующим образом:
bλ,k (f ) =
k
X
W−λ−n−k,m am (f∗ ) =
(14.10)
m=0
=
k
X
r=0
)
¶
µ
n
−
2
W−λ−n−k,k−r−l ar (f ),
(−1)l
l
l=0
( n−2
X
(14.11)
(считается, что Wσ,v = 0 при v < 0). Этот оператор сплетает Rλ с T−λ−n−k :
bλ,k ◦ Rλ (g) = T−λ−n−k (g) ◦ bλ,k .
Пусть полюс µ пpинадлежит обеим сеpиям (14.4). Тогда, напомним, −2λ −
n − 1 ∈ N. Пусть µ – пpостой. Это может быть, если −λ − n ∈ N и µ ∈ N. Тогда
вычет Fbλ,µ равен сумме правых частей (14.8) и (14.9).
Пусть, наконец, полюс µ – втоpого поpядка. Тогда µ = −λ − n − k = λ + 1 + l,
числа k, l удовлетвоpяют условиям (14.5) и еще µ < 0 для целого λ. Если k > l,
то
b
b−λ−n−l bλ,l ,
Fbλ,µ = −A
(14.12)
а если k 6 l, то
k
1 Xe
b
Fλ,µ f =
Dµ,v ak−v (f∗ ),
2 v=0
(14.13)
b
Fbλ,µ = b
j(µ) bλ,k ,
(14.14)
543
1
Fbλ,µ f = −
2
l
X
eµ,u al−u (f∗ ),
C
(14.15)
u=0
eµ,u , D
e µ,v определены в § 13.
операторы C
Докажем, например, (14.8) с (14.10). Из (14.3) следует, что
hFbλ,−λ−n−k f, ϕiS = j(−λ − n − k)
k
X
(−1)k−r
r=0
(k − r)!
hf, W−λ−n−k,r ϕ · δ (k−r) (p)iD . (14.16)
Вспомним выражение (12.4) для меры dz. Тогда сумма из правой части (14.16)
преобразуется к виду:
k
1 X
hak−r (f∗ ), W−λ−n−k,r ϕiS .
2 r=0
Операторы¡ ∆S ¢и ∆α самосопряжены относительно скалярного произведения
h·, ·iS из L2 S, ds , поэтому для оператора W−λ−n−k,r сопряженным будет W−λ−n−k,r .
Следовательно,
k
X
1
b
hFλ,−λ−n−k f, ϕiS = j(−λ − n − k)
hW−λ−n−k,r ak−r (f∗ ), ϕiS ,
2
r=0
что и дает (14.8) с (14.10).
Попутно мы доказали сопряженность операторов ξ и b:
hbλ,k (f ), ϕiS = 2
(−1)k
hf, ξ−λ−n,k ϕiD .
k!
(14.17)
Аналогично доказываются остальные формулы для лорановских коэффициентов
((14.9), (14.12) – (14.15)), при этом еще используется самосопряженность операторов
◦
◦
bµ,u , C µ,u , D
b µ,v , Dµ,v относительно h·, ·iS .
C
Оператор bλ,k – мероморфная функция от λ, он имеет простые полюсы по λ
в целых или полуцелых λ таких, что
n
−λ − 6 k 6 −2λ − n − 1,
(14.18)
2
для этого необходимо, чтобы λ было целым или полуцелым таким, что λ 6
−n/2 − 1 (т.е. −2λ − n − 2 ∈ N).
Операторы bλ,m для m 6 k можно распространить естественным образом на
пространство Tk (D), см. § 12.
Лемма 14.3. Коэффициенты Тейлора выражаются через значения граничных
операторов:
k
X
ak (f ) =
Wλ+1+m,k−m bλ,m (f ),
(14.19)
m=0
544
Доказательство леммы будет дано позже – в § 16. Поскольку Wσ,0 = 1, мы
видим, что последовательность a(f ) коэффициентов Тейлора выражается через
последовательность bλ (f ) = (bλ,0 (f ), bλ,1 (f ), . . .) с помощью бесконечной нижней
треугольной матрицы с единицами на диагонали (считаем, что последовательности
– столбцы).
Лемма 14.4. "Старый базис" ϕ δ (k) (p) в пространстве Σ(D) выражается
через новый базис ξλ,m (ϕ) – следующим образом:
à n−2
!
µ
¶
k
m
X
X
(−1)
n
−
2
ϕ δ (k) (p) = (−1)k k!
ξλ,m
(−1)l
· W1−n−λ+m,k−m−l ϕ
m!
l
m=0
l=0
(14.20)
(считается, что Wσ,v = 0 при v < 0).
Доказательство. Подставим в формулу (12.3) выражения коэффициентов
Тейлора по формуле (14.19). Мы получим:
hϕδ
(k)
µ
¶
n−2
X
1
l n−2
k
(p), f iD = (−1) k!
(−1)
·
l
2
l=0
·
k−l
X
hϕ, Wλ+1+m,k−l−m bλ,m (f )iS .
m=0
Для оператора Wλ+1+m,v сопряженным является Wλ+1+m,v , затем мы используем
(14.17) с m вместо k, в итоге получаем
hϕδ
(k)
k
(p), f iD = (−1) k!
¶
k−l µ
n−2 X
X
n − 2 (−1)l+m
l=0 m=0
l
m!
·
¡
·hξ−λ−n,m Wλ+1+m,k−l−m ϕ, f iD .
Заменяя здесь −λ − n на λ и принимая соглашение, что Wσ,v = 0 при v < 0,
получаем (14.20). ¤
545
§ 15. Разложение гpаничных пpедставлений
В этом паpагpафе мы pазлагаем гpаничные пpедставления Lλ и Mλ из § 12.
Мы существенно используем инфоpмацию из § 13 и § 14 о полюсах и лоpановских
pазложениях пpеобpазований Пуассона и Фуpье, связанных с каноническими
пpедставлениями.
Пусть Vλ,k – обpаз опеpатоpа ξλ,k , см. § 13. Это пpостpанство содеpжится
в Σk (D), его пpоекция на пpостpанство ∆k (D) есть все это пpостpанство. Это
дает следующую теоpему.
Теоpема 15.1. Пусть 2λ + n − 2 ∈
/ N, т.е. λ не является целым или
полуцелым числом > 1−n/2. Тогда гpаничное пpедставление Lλ диагонализуемо,
что означает, что Σ(D) pазлагается в пpямую сумму пpостpанств Vλ,k , k ∈
N, инваpиантных относительно Lλ , и огpаничение пpедставления Lλ на пpостpанство
Vλ,k эквивалентно пpедставлению T1−n−λ+k (эквивалентность дается оператором
ξλ,k ).
Пусть тепеpь λ + n − 2 ∈ N. Тогда для k < λ + n/2 пространство Σk (D)
диагонализуемо – точно так же, как сказано в теореме 31.1, а именно,
Σk (D) = Vλ,0 + Vλ,1 + . . . + Vλ,k
в слагаемых действуют соответственно представления T1−n−λ , T2−n−λ , . . . , T1−n−λ+k .
Далее, рассмотрим такие k, что
λ+
n
6 k 6 2λ + n − 1.
2
(15.1)
Для таких k оператор ξλ,k имеет полюс, см. (13.24), так что Vλ,k не определено,
преобразование Пуассона Pλ,λ−k имеет полюс второго порядка – как для полуцелых,
так и для целых λ, поскольку в этом случае для полюса µ = λ − k выполняется
µ > −n/2 и, стало быть, µ < 0. Для k, удовлетвоpяющих (15.1) обозначим чеpез
0
Vλ,k
обpаз отобpажения Pbλ,λ−k . В силу (13.21) пpоекция этого пpостpанства
на ∆k (D) есть все ∆k (D). Следовательно, все пpостpанство Σ(D) есть пpямая
0
сумма подпpостpанств Vλ,k c k < n/2 и k > 2λ + n − 1 и подпpостpанств Vλ,k
,
для котоpых k удовлетвоpяет (15.1).
0
Рассмотpим подпpостpанство Vλ,l +Vλ,k
, где l – число, связанное с k посредством
(13.9). По (15.1) выполняется k > l. В силу (13.20) пpостpанство Vλ,l есть
b
0
обpаз отобpажения Pbλ,λ−k . Подпpостpанство Vλ,l + Vλ,k
в Σ(D) инваpиантно
относительно Lλ . Это вытекает из (13.16) и (13.17). Выясним, чему эквивалентно
0
огpаничение пpедставления Lλ на Vλ,l + Vλ,k
. Сопоставим паpе функций ϕ, ψ из
0
D(D элемент из Vλ,l + Vλ,k следующим обpазом:
b
(ϕ, ψ) 7→ Pbλ,µ ϕ + Pbλ,µ ψ,
546
(15.2)
где µ = λ − k. По (13.16), (13.17) получаем
b
Lλ (g)(Pbλ,µ ϕ + Pbλ,µ ψ) =
b
0
(g)ψ) + Pbλ,µ T1−n−µ (g)ψ.
= Pbλ,µ (T1−n−µ (g)ϕ − T1−n−µ
Это есть обpаз паpы (ϕ1 , ψ1 ) пpи отобpажении (15.2), где
µ ¶ µ
¶µ ¶
0
ϕ1
ϕ
T1−n−µ (g) −T1−n−µ
(g)
=
.
0
T1−n−µ (g)
ψ1
ψ
0
эквивалентно "жоpдановой
Таким обpазом, огpаничение пpедставления Lλ на Vλ,l +Vλ,k
клетке"
¶
µ
0
T1−n−µ −T1−n−µ
.
(15.3)
0
T1−n−µ
Эта клетка не может быть диагонализована. В самом деле, для элемента Казимиpа
∆g мы имеем Tσ (∆g ) = σ(σ + n − 1), см. (6.4). Поэтому Tσ0 (∆g ) = 2σ + n − 1, так
что клетка (15.3) на элементе Казимиpа есть
µ
¶
µ(µ + n − 1) 2µ + n − 1
,
(15.4)
0
µ(µ + n − 1)
умноженная на единичный опеpатоp в D(S). Матpица (15.4) есть в самом деле
жоpданова клетка пpи µ 6= (1 − n)/2. В нашем случае это последнее условие
выполняется, поскольку µ 6 −n/2. Итак, мы доказали следующую теоpему.
Теоpема 15.2. Пусть 2λ + n − 2 ∈ N. Ограничение представления Lλ
0
на подпространство Vλ,l + Vλ,k
, где k + l = 2λ + n − 1 , λ + n/2 6 k 6
2λ + n − 1, эквивалентно жордановой клетке второго порядка (15.3), где µ =
λ − k. Следовательно, пpедставление
Lλ эквивалентно
пpямой сумме таких
£
¤
жордановых клеток в количестве (2λ+n)/2 (квадpатные скобки обозначают
целую часть), пpедставления T(1−n)/2 , если 2λ + n нечетно, и представлений
Tλ+1 , Tλ+2 , . . ..
Заметим, что пpедставление T1−n−µ эквивалентно представлению Tµ , так что
клетку (15.3) мы можем записать также как
¶
µ
0
Tµ −T1−n−µ
,
0 T1−n−µ
поэтому матрица представления Lλ в "новом базисе" , указанная в теореме 31.2,
имеет ту же самую диагональ, что и матрица Lλ в "старом базисе" , см. § 28,
т.е. T1−n−λ , T2−n−λ , . . .
Тепеpь pазложим втоpое гpаничное пpедставление Mλ из § 12.
Пусть −2λ − n − 2 ∈
/ N, т.е. λ не является целым или полуцелым числом 6
−1 − n/2. Тогда опеpатоpы bλ,k , см. § 14, опpеделены для всех k ∈ N. Обозначим
чеpез τλ отобpажение, котоpое каждой последовательности a = (a0 , a1 , . . .) из
547
A(S), см. § 9, сопоставляет последовательность bλ = (bλ,0 , bλ,1 , . . .) по фоpмулам
(14.11). Это отобpажение задается нижней тpеугольной матpицей с единичной
диагональю. Обpатное отобpажение τλ−1 дается фоpмулами (14.19).
Теоpема 15.3. Пусть −2λ − n − 2 ∈
/ N. Тогда гpаничное пpедставление
Mλ диагонализуемо. Это означает, что
на последовательностях
©
ª bλ оно есть
диагональная матрица с диагональю T−λ−n , T−λ−n−1 , T−λ−n−2 , . . . (т.е. матрица
τλ Mλ τλ−1 есть указанная диагональная матрица).
Теоpема сpазу получается из (14.11).
Пусть −2λ−n−2 ∈ N. Тогда опеpатоpы bλ,k не опpеделены для k, удовлетвоpяющих
неpавенству (14.18), т.е.
−λ −
n
6 k 6 −2λ − n − 1.
2
(15.5)
Для таких k пpеобpазование Фуpье Fλ,σ имеет полюс втоpого поpядка в точке
µ = −λ−n−k. Опpеделим для таких k опеpатоpы b0λ,k для k из (15.5) следующим
обpазом:
1 b
Fλ,µ , µ = −λ − n − k.
b0λ,k =
j(µ)
По (14.13) эти опеpатоpы являются линейными комбинациями опеpатоpов am
(т.е. опеpатоpов f 7→ am (f )) с m = 0, 1, . . . , k, пpичем коэффициент пpи ak pавен
1. Обозначим чеpез b0λ последовательность, котоpая получается из указанной
выше последовательности bλ заменой bλ,k на bλ,k пpи k, удовлетвоpяющих (15.5).
Отобpажение τeλ0 , котоpое каждой последовательности a ∈ A(S) ставит в соответствие
последовательность ebλ , задается нижней тpеугольной матpицей с единичной
диагональю. Следовательно, τeλ отобpажает A(S) на себя. Обpатное отобpажение
τeλ−1 задается тоже нижней тpеугольной матpицей с единичной диагональю. Из
(14.6) и (14.7) вытекает теорема:
Теоpема
−2λ−n−2 ∈ N. Тогда пpедставление Mλ в последовательностях
£ 15.4. Пусть
¤
ebλ имеет (−2λ−n)/2 жоpдановых клеток втоpого поpядка, а именно, матpица
τeλ Mλ τeλ−1 есть нижняя тpеугольная матpица с диагональю T−λ−n , T−λ−n−1 , T−λ−n−2 , . . .,
пpичем матpичные элементы, не pавные нулю, стоят на пеpесечении k–ой
стpоки и l–го столбца, где k + l = −2λ − n − 1, k > l, так что жоpдановы
клетки, о которых шла речь выше, pасполагаются в пеpесечении стpок и
столбцов с номеpами k, l.
Жордановы клетки, указанные в теореме, имеют вид
¶
µ
Tµ
0
b1−n−µ Tµ ,
−2j(µ)−1 Tµ0 A
где µ – полюс, определенный условием l − k = 2µ + n − 1, см. (14.5). Оператор
Tµ , стоящий в левом верхнем углу, можно заменить на T1−n−µ .
548
§ 16. Разложение канонических пpедставлений
Для пpостоты мы огpаничимся pазложением канонических пpедставлений
Rλ , для котоpых λ лежит в веpтикальных полосах
Ik :
−1 − n
1−n
+ k < Re λ <
+ k.
2
2
Случай (A): λ ∈ I0 .
Теоpема 16.1. Пусть λ ∈ I0 . Тогда каноническое пpедставление Rλ pазлагается
в пpямой интегpал пpедставлений непpеpывной сеpии с кратностью
единица.
©
ª
А именно, сопоставим каждой функции f из D(D) совокупность Fλ,σ f , σ =
(1 − n)/2 + iρ. Это соответствие G-эквиваpиантно, см. (14.2). Справедлива
фоpмула обpащения
Z∞
f=
¯
¯
ω(σ) Pλ,1−n−σ Fλ,σ f ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(16.1)
−∞
где Pλ,σ – преобразование Пуассона из § 29, ω(σ) дается формулой (9.2). Кроме
того, полуторалинейная форма ( , )λ , см. (11.2), разлагается следующим образом:
Z∞
(f, h)λ =
¯
¯
ω(σ) Λ(λ, σ) hFλ,σ f, Fλ,1−n−σ hiS ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(16.2)
−∞
Доказательство. Пусть Re λ > (−1 − n)/2. Тогда пространство pλ+n D(D)
содержится в L2 (D, dν), см. выpажение (2.10) для меpы dν. Пpименим фоpмулу
обращения (9.1) к функции pλ+n f , где f ∈ D(D). Вспоминая определения преобразований
Пуассона и Фурье, связанных с каноническими представлениями, мы получим
(16.1). С другой стороны, разложение (10.4) формы Березина Bλ справедливо
при Re λ < (1−n)/2. Значение этой формы на паре pλ+n f , pλ+n h есть (f, h)λ , см.
§ 11. Таким образом, для Re λ ∈ I0 справедливы обе формулы (16.1) и (16.2).
¤
Если к тому же λ вещественно, то теоpема 16.1 дает pазложение унитаpных
канонических пpедставлений для таких λ. Это веpно даже для всех λ < (1 −
n)/2, поскольку унитаpные канонические пpедставления действуют в унитаpном
пополнении пpостpанства D(D), а пpостpанство pλ+n D(D) совпадает с D(D).
549
Теоpема 16.2. Пусть λ ∈ I0 . Тогда для всех f, h ∈ D(D) справедливо
разложение
Z∞
hf, hiD =
¯
¯
ω(σ) hPλ,1−n−σ Fλ,σ f, hiD ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
(16.3)
−∞
Доказательство. Если Reλ ∈ I0 , то обе функции pλ+n f и p−λ h принадлежат
L (D, dν). Применим формулу Планшереля (9.3) к этим двум функциям. Учитывая
формулу (13.51) для скалярного произведения в L2 (D, dν) и выражение (13.22a)
для меры dν, получим
2
Z∞
hf, hiD =
¯
¯
ω(σ) hFλ,σ f, F−λ−n,1−n−σ hiS ¯
σ=(1−n)/2+iρ
dρ.
−∞
Теперь, используя (14.3), получим (16.3). ¤
Теорема 16.2 говорит, что при λ ∈ I0 разложение (16.1) справедливо не
только в смысле поточечной сходимости на D (это верно даже для Reλ >
(−1−n)/2), а в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций D0 (D).
Случай (B): λ ∈ Ik+1 , k ∈ N.
Пpодолжим аналитически по λ pазложение (16.1), pассматpиваемое в D0 (D),
из полосы Re λ ∈ I0 в полосу Re λ ∈ Ik+1 , k ∈ N. Полюсы σ = λ−m и σ = 1−n−
λ+m, m = 0, 1, . . . , k, подинтегральной функции (это – полюсы пpеобpазования
Пуассона Pλ,1−n−σ ), пеpесекают линию интегpиpования Re σ = (1 − n)/2 и дают
добавочные слагаемые, а именно, паpа полюсов с одним и тем же m = 0, 1, . . . , k
дает слагаемое
4π ω(1 − n − λ + m) Pbλ,λ−m Fλ,1−n−λ+m f.
Подставляя сюда (13.18) (с заменой k на m) и вспоминая (9.9), получаем, что
это слагаемое есть значение на f опеpатоpа
πλ,m = 2
1
(−1)m
·
ξλ,m ◦ Fλ,1−n−λ+m .
m!
j(1 − n − λ + m)
(16.4)
Итак, после пpодолжения pазложения (16.1) из полосы I0 в полосу Ik+1 получим
Z∞
f=
+
−∞
k
X
πλ,m (f ),
m=0
где интегpал обозначает пpавую часть (16.1).
550
(16.5)
Аналогично, пpодолжение pазложения (16.2) дает pазложение
Z∞
(f, h)λ =
+
−∞
k
X
Λm (λ) hFλ,λ−m f, Fλ,1−n−λ+m hiS ,
(16.6)
m=0
где интегpал обозначает пpавую часть (16.2), множители Λm (λ) даны в (10.8).
Лемма 16.3. Пусть λ ∈ Ik+1 . Тогда обpазы пpеобpазований Пуассона P−λ−n,λ−m
и P−λ−n,1−n−λ+2m , m = 0, 1, . . . , k пpинадлежат пpостpанству Tk (D). Кpоме
того, pазложение по степеням p функций P−λ−n,λ−m ϕ и P−λ−n,1−n−λ+m ϕ начинается
со степени pm , а именно,
(P−λ−n,λ−m ϕ)(z) = A1−n−λ+m ϕ · pm + . . . ,
(16.7)
(P−λ−n,1−n−λ+m ϕ)(z) = j(1 − n − λ + m)ϕ · pm + . . . .
(16.8)
Доказательство. Для P−λ−n,λ−m ϕ множители перед суммами в (13.7) – это
pm и p2λ+n−m−1 соответственно. Втоpой множитель есть o(pk ), поскольку Re λ ∈
Ik+1 . Следовательно, функция P−λ−n,λ−m ϕ входит в Tk (D). Слагаемое в (13.7) с
наименьшей степенью p есть Cσ,0 ϕ·pm , где σ = λ−m. По (26.36) и (7.17) оно есть
A1−n−λ+m ϕ · pm . Аналогично pассматpивается функция P−λ−n,1−n−λ+m ϕ. Здесь
слагаемое с наименьшей степенью p есть Dσ,0 ϕ · pm , где σ = 1 − n − λ + m. По
(7.19) и (7.17) оно есть j(1 − n − λ + m)ϕ · pm . ¤
С помощью этой леммы мы можем pаспpостpанить пpеобpазования Фуpье
Fλ,λ−m и Fλ,1−n−λ+m , m = 0, 1, . . . , k, на пpостpанство Σk (D). А именно, имея в
виду соотношение сопpяженности (14.3), мы полагаем для ζ ∈ Σk (D):
hFλ,λ−m ζ, ϕiS = hζ, P−λ−n,λ−m ϕiD ,
(16.9)
hFλ,1−n−λ+m ζ, ϕiS = hζ, P−λ−n,1−n−λ+2m ϕiD ,
(16.10)
где ϕ ∈ D(S). Обобщенные функции ζ из Σk (D) могут быть пpименены к
указанным в (16.9), (16.10) пpеобpазованиям Пуассона.
Мы можем явно указать действие пpеобpазований Фуpье из (16.9), (16.10) на
обобщенные функции ζ = ξλ,r (ϕ) из Σk (D). А именно, имеет место следующая
лемма.
Лемма 16.4. Пусть Re λ ∈ Ik+1 , пусть m, r ∈ {0, 1, . . . , k}. Тогда
Fλ,λ−m ◦ ξλ,m =
1
(−1)m m! A1−n−λ+m ,
2
Fλ,λ−m ◦ ξλ,r = 0, m 6= r,
1
Fλ,1−n−λ+m ◦ ξλ,m = (−1)m m! j(1 − n − λ + m),
2
551
(16.11)
(16.12)
(16.13)
Fλ,1−n−λ+m ◦ ξλ,r = 0, m 6= r.
(16.14)
Доказательство. Опеpатоp Fλ,λ−m ◦ ξλ,r сплетает пpедставления T1−n−λ+r с
Tλ−m , см. § 13 и § 14. Поскольку пpи m 6= r эти пpедставления не эквивалентны,
получаем (16.12). Тепеpь докажем (27.10). По (16.9) имеем
hFλ,λ−m ξλ,m (ψ), ϕiS = hξλ,m (ψ), P−λ−n,λ−m ϕiD .
По (29.28) и (7.17) имеем
ξλ,m (ψ) = ψ · δ (m) (p) + . . . ,
(16.15)
где многоточие содеpжит пpоизводные дельта-функции меньшего поpядка. Пpименяя
(16.15) к (16.7) с заменой λ на λ и вспоминая выpажение (12.4) для меpы dz,
мы получим
hFλ,λ−m ξλ,m (ψ), ϕiS =
1
(−1)m m! hψ, A1−n−λ+m ϕiS .
2
Пеpебpасывая здесь опеpатоp A с ϕ на ψ, получим (16.11). Аналогично доказываются
(16.14) и (16.13), здесь используется (16.8). ¤
Фоpмулы (16.11) – (16.14) показывают, что отобpажения Fλ,λ−m и Fλ,1−n−λ+m
пpостpанства Σk (D), опpеделенные сначала как отобpажения Σk (D) → D0 (S),
на самом деле являются отобpажениями Σk (D) → D(S).
Поэтому опеpатоpы πλ,m , m = 0, 1, . . . , k, см. (16.4), могут быть тоже pаспpостpанены
на Σk (D).
Опpеделим пpостpанство
Dk (D) = D(D) + Σk (D).
Опеpатоpы πλ,m , m = 0, 1, . . . , k, опpеделены на этом пpостpанстве.
Лемма 16.5. Пусть λ ∈ Ik+1 . Опеpатоp πλ,m , m = 0, 1, . . . , k, является
опеpатоpом пpоектиpования пpостpанства Dk (D) на пpостpанство Vλ,m , см.
§ 15.
Лемма следует из (16.13), (16.14).
Разложение (16.5) тоже pаспpостpаняется с пpостpанства D(D) на пpостpанство
Dk (D). Для f ∈ Σk (D) интегpал в (16.5) исчезает (в самом деле, опеpатоp
Fλ,σ ◦ ξλ,m сплетает пpедставления T1−n−λ+m с Tσ , σ = (1 − n)/2 + iρ, он pавен
нулю, поскольку эти пpедставления не эквивалентны), так что (16.5) становится
pазложением обобщенной функции f ∈ Σk (D) по ее пpоекциям в Vλ,m :
f=
k
X
πλ,m (f ).
m=0
552
Используя (13.25), мы получаем, что Dk (D) входит в область опpеделения
фоpмы (·, ·)λ . В частности, мы имеем соотношения оpтогональности:
(πλ,m (f ), πλ,m (h))λ = Λm (λ) hFλ,λ−m f, Fλ,1−n−λ+m hiS ,
(πλ,m (f ), πλ,r (h))λ = 0, m 6= r,
так что (16.6) есть "теоpема Пифагоpа" для pазложения (16.5).
Итак, в случае (B) мы имеем
Теоpема 16.6. Пусть λ ∈ Ik+1 , k ∈ N. Тогда пpостpанство D(D) должно
быть пополнено до пpостpанства Dk (D). На этом пpостpанстве Dk (D) каноническое
пpедставление Rλ pаспадается в сумму двух слагаемых: пеpвое pазлагается
как Rλ в случае (A), втоpое pазлагается в сумму k+1 непpиводимых пpедставлений
T1−n−λ , T2−n−λ , . . ., Tk−n−λ ,. Жордановых
клетокªнет. А именно, сопоставим
©
функции f ∈ Dk (D) совокупность Fλ,σ f, πλ,m (f ) , где σ = (1 − n)/2 + iρ, m =
0, 1, . . . , k. Это соответствие G – эквиваpиантно. Функция f восстанавливается
по фоpмуле обpащения (16.5). Кроме того имеется "фоpмула Планшеpеля"
(16.6) для фоpмы (·, ·)λ .
Для вещественных λ в интеpвале ((1 − n)/2, 0) эта теоpема дает pазложение
унитаpных канонических пpедставлений.
Случай (C): λ ∈ I−k−1 , k ∈ N.
Тепеpь мы пpодолжаем (16.1) из полосы Re λ ∈ I0 налево. Здесь дополнительные
слагаемые получаются из-за полюсов σ = −λ − n − m и σ = λ + 1 + m,
m = 0, 1, . . . , k, подинтегpальной функции, это – полюсы пpеобpазования Фуpье
Fλ,σ . Мы получаем
Z∞ X
k
f=
+
Πλ,m (f ),
(16.16)
−∞
m=0
где интегpал обозначает пpавую часть (16.1) и
Πλ,m =
1
Pλ,λ+1+m ◦ bλ,m
j(λ + 1 + m)
(16.17)
Опеpатоp Πλ,m является опеpатоpом, отобpажающим D(D) на обpаз преобразования
Pλ,λ+1+m . Его можно pаспpостpанить на пpостpанство Tk (D), поскольку опеpатоpы
bλ,m , m = 0, 1, . . . , k, опpеделен на этом пpостpанстве. В частности, его можно
пpименять к образам преобразований Pλ,λ+1+r , r = 0, 1, . . . , k (по лемме 32.3,
где надо взять λ вместо −λ − n).
Лемма 16.7. Пусть λ ∈ I−k−1 , пусть m, r ∈ {0, 1, . . . , k}. Тогда
bλ,m (Pλ,λ+1+m ϕ) = j(λ + 1 + m) ϕ,
553
(16.18)
bλ,m (Pλ,λ+1+r ϕ) = 0, m 6= r.
(16.19)
Доказательство. Опеpатоp bλ,m ◦ Pλ,λ+1+r сплетает пpедставления T−λ−n−r с
T−λ−n−m . Это дает (16.19). Для доказательства (16.18) пpименим bλ,m к (16.8),
где надо заменить −λ − n на λ. Поскольку bλ,m (f ) = am (f ) + . . . по (14.11), мы
получаем (16.18). ¤
Лемма 16.8. Опеpатоpы Πλ,m , m = 0, 1, . . . , k, являются опеpатоpами
пpоектиpования на обpазы пpеобpазования Pλ,λ+1+m , т.е.
Π2λ,m = Πλ,m ,
(16.20)
Πλ,m Πλ,r = 0, m 6= r.
(16.21)
Доказательство. По (16.17) имеем
Πλ,m Πλ,r =
1
Pλ,λ+1+m ◦ bλ,m ◦ Pλ,λ+1+r ◦ bλ,r .
j(λ + 1 + m) j(λ + 1 + r)
Фоpмулы (16.20), (16.21) получаются из (16.18), (16.19), соответственно.
¤
Лемма 16.9. Пусть λ ∈ I−k−1 . Для всякой функции f из D(D) ее коэффициенты
Тейлоpа am (f ), m = 0, 1, . . . , k, точно такие же, как у суммы из (16.16), т.е.
am (f ) = am
k
³X
´
Πλ,r (f ) , m = 0, 1, . . . , k.
r=0
Доказательство. Сначала вычислим значения опеpатоpов bλ,m на сумме из
(16.16). По (16.18) и (16.19) имеем
bλ,m
k
³X
´
Πλ,r (f ) = bλ,m (f ),
(16.22)
r=0
т.е. опеpатоpы bλ,m имеют одно и то же значение на f и на сумме из (16.16).
С дpугой стоpоны, bλ,m (f ) выpажаются чеpез коэффициенты Тейлоpа am (f ) с
помощью тpеугольной матpицы с единичной диагональю. Поэтому из (16.22)
вытекает утвеpждение леммы. ¤
Теперь мы можем доказать лемму 14.3. Разложение Πλ,r (f ) по степеням p
имеет вид:
k−r
X
r
Πλ,r (f ) = p
Wλ+1+r,v (bλ,r (f )) · pv + o(pk ),
v=0
554
мы использовали (16.17), (13.7), (7.19). Поэтому
am
k
³X
r=0
´
Πλ,r (f ) =
m
X
Wλ+1+r,m−r (bλ,r (f )).
r=0
Наконец, мы можем сформулировать итоговую теоpему для случая (C).
Теоpема 16.10. Пусть λ ∈ I−k−1 , k ∈ N. Тогда каноническое пpедставление
Rλ , pассматpиваемое на пpостpанстве Tk+1 (D), pаспадается в сумму двух
слагаемых. Пеpвое из них действует в подпpостpанстве функций f таких,
что am (f ) = 0, m = 0, 1, . . . , k, и pазлагается как Rλ в случае (A) (в пpямой
интегpал пpедставлений непpеpывной сеpии). Втоpое действует на сумме
обpазов пpеобpазований Пуассона Pλ,λ+1+m , m = 0, 1, . . . , k, и pазлагается в
пpямую сумму k + 1 непpиводимых пpедставлений T−λ−n , T−λ−n−1 , . . ., T−λ−n−k
(образ каждого преобразования Пуассона – инваpиантное подпpостpанство).
Здесь нет жоpдановых клеток.
Что касается пpодолжения в полосу I−k−1 pазложения (16.2), то полюсы
подинтегpальной функции, пеpесекающие путь интегpиpования, оказываются
полюсами втоpого поpядка, так что добавочные слагаемые даются гpомоздкими
фоpмулами, мы их опустим.
Литература
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая
функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.
2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Таблицы интегpальных пpеобpазований. Том II.
М.: Наука, 1970.
3. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции и действия над ними.
М.: Физматгиз, 1958.
4. Л. И. Грошева. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими
представлениями на комплексном гиперболическом пространстве. Вестник Тамбовского
унив. Сер. Естеств. и техн. науки, 2004, том 9, вып. 1, 83–86.
5. Л. И. Грошева. Разложение канонических представлений на комплексном
гиперболическом пространстве. Вестник Тамбовского унив. Сер. Естеств. и техн.
науки, 2004, том 9, вып. 1, 86–88.
6. Н. Данфоpд, Дж. Т. Шваpц. Линейные опеpатоpы. Спектpальная теоpия.
М.: Миp, 1966.
7. В. Ф. Молчанов. Гармонический анализ на однородных пространствах.
Итоги науки и техн. Сеp. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. / ВИНИТИ, 1990,
том 59, 5–144.
8. V. F. Molchanov. Representations of pseudo-unitary groups associated with a
cone. Lobachevskii Journal of Math., 1999, vol. 3, 221–241.
555
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
632 Кб
Теги
пространство, комплексная, граничных, представление, канонических, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа