close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Канонические представления.

код для вставкиСкачать
Bсстнltк ТГ}'' т.2, вьrп'4.l997
CAINo l{ICAL RЕP RЕS ENITATIO}tS
G. vAN DIJк
Departnrеrrt of IvIathеmatiсs, Leiderr University
P'o Bох 951.2.23oo RA Lеidсn, The Nеt}rегlaтrds
e-rnail : dijk@wi.lеidenuniv.nl
.Ihеse
l е с t u г е n o t е s p г o v i d е a n i r r t г o d u с t i o nt o i h e t l r с o г у o f s o . с a l l е d с а n o n i с a l r е р r е s е n t а t i o n s .
a spесial tуpе оf (геduсiЬlе) unitarу.rеpгеsentations'Thе simplеst rvay to dеflrrеthеm and to seе thеil.
iпrрoгtanсe is donе in thе сontехt of thе gгоup SL(2, R.),thе grorrpof 2 х 2 matгiсеs of detегminantonе, seе
= SU(l, n), n> i. Notiсе that SI,(2.R) is isomor.phiс:
[ l 6 ]. \ v с i i a v c с h o s е na с l а . s so Г g r o L r p s n, a r n е l у G
' с п с r a l l 1s' p с i r k i r r gа. s t } r . lс o l r l p l с t i o ror f L 2 G l I i )
I o S U ( 1 , 1 ) . C а n o r r i с a lг е p t ' с s с l l t . ; r t i rсl tl tr st l t l . ' s . , t l l l g
. , с o m p l е n i е n t a rsyе r i е s , .i s
l v i t h г с s p e с t t o a n с r v G - i n v a г i i r r l ti n t i t t е rp г o d ш с t ,i n t h е s a m t :s р i г i t a s t 1 r е
..pгinсipalsеriеs''fог G. Hеге 1{ = 51;1";. But this is only one (Ьut impoгtant) point of
obtained i.rom thе
viеtt,,sее sссtion 5. Canoniсal rеpгеsеntationsoссuг also lvhеn studying tеnsoг pгoduсts of holomoгphiс
and antihoiomorphiс disсrеtе sеriеs гepгesеntations. This is eхplainеd in seсtion 4. Thе сonneсtion
rvith quarrtization in thе sеnsе of Bегezin is not trеatеd in thеsе notеs bесausе wе lvill еmphasizе thе
геpгesentationthеory. on thе othеr hand, Berеzin has made a laгgе сontribution to thе undеrstanding
oГ сanoniсalгeргesentations.
Tliе main pгoЬlеm is to dесomposеthс сanoniсa]rеpгеsеntationsinto iггеdrrсiЬlесonstituсnts. This
i s n o t а n е a s y t a s k . I t h a s Ь е е n d o n е Ь y B е г с z i n [ 1 ] a n d , l a t е r , Ь у U p r n е i е r a n d U n t е г Ь с г g с : [г1 5 .]
Тhеге arе horvеvсr,in Ьoth treatmеnts, сonditions on the set of paгamеtегsof thе rеpresеntations:only
laгgе paгamеtегs arе a]]оrvеd. Гor small palamеtегs (sее [3]) an interеsting new phеnomеttonoссurs:
f i r r i t с : l 1 . п l i r nсvo I n P l е m e n t a г } ' s c г i l г. sР P г . s c r r t a t i o ntsа k е p а r t i r r t h r : d t : с o r r r р o s i t i o r\r\.i с :s h а l I t г r : а tt,h t l
с ; r s t lС , ' = S t ( 1 , r r ) i I r d с t a i 1 i n t l i с s с n o t е s a r r с lt r у t o , i l l u s t г a t еa l i а s 1 l с t : tos f t 1 r r lt h с о г ; 'о Г с ; r n о r t i с i r l
геpresеntationswе havе mеntionеd.
1. SP}IЕR,ICAL
FOURIЕR
oN
ANALYSIS
нYPЕRвOLIC
CoМPLЕx
SPACЕS
Thе main геfегеnсеfor this seсtion is [9].
1 . 1 . C o п r р l е х h у p е r b o l i t : s p a с е s а n < 1t h e i r Ь o u n d е d r е а l i z а t i o n . s
l,r:t n ) i' (.]olrsidегon C,,*1 thе }Iегrrritiallfoгrtl
|*,у]= ao ro
_
lJtrt
- . . . _ln
T,.
(i 1)
t lh i s f о г m a n d h а r . с
I , t ' ' |( } = 5 1 -( l . l r ) Ь с t h е g г o u p o f ( n + 1 ) x ( n * 1 ) с o m p l е - хm a t г i с е sl r . h i с }pt г с s с t ' l . 1
d с t ' t ; r t t i i l t a tеtrt ' 1 r r at ol 1 . T h е g r o r r pG a с t s o n t h е p г o j е с t i v es p a с e 1 , ' ( C ) а r r . l t l r t l s t a Ь i l i z c го f t h е l i r i с
g е n е г a t е dЬ у t h е v е с t o г( 1 , 0 , . . ' 0 ) i s t h e с o m p a с ts u Ь g г o u p1 i = S ( U ( l ) х U ( n ) ) \ \ i . с a l l 7 , = G l I i a
sрaсе of thtl пon-сompaсt t1.pе.of
сotnplех hурегЬоliс sрасе. lU is, in aсldition, a Riеmanniatrs1'пtrтiеtгiс
r a n k o n с . a l t d с a r r i е s a с o m р l е х s t г u с t u г с ,a s r v е r v i l l s е е .
L е t т d с n o t e t h е n a t u r a l p г о j е с t i o nп i a р l
C " + ' \ { 0_} & ( с ) '
(i 2)
sendirrgеaсh veсtor to thе line gеnегatedЬy it.
T h е h y p е г Ь o l i сs p a с е , Y i s t h е i m a g е u n d е r т o f t h е o p е n s e t
{r€C,.+1
:[z,z] >0}.
(1
on C,, ц.е hal.с thс usrrsalinnег pгoduсt
\ , , у ) = У r r r*
,r ,v, tl L*l r, r r- l ^
u r- l- r. r ll ll r- i ll l
з50
= ( : r :t.) 1 / ? . L r : t .
B(С")_{r€C"
*
У,,I,'
l l ' l l< 1 ) '
(l {t
(l 5)
Bестник
TГУ,т.2,вьrп.с,
rssu
t h с u n i t Ь a l l i n C " ] T h e s p a с е , Y с a n Ь е г е a l i z е da s t h е u n i t Ь a l l
i n C ' : t h e m a p f г o m ( 1 . 3 )t o C ' , g i v е n
x+у
rvith Уp=Ipxi\
( 16 )
dеfines, Ьy passing to thе quotiеnt spaсе, a rеal analуtiс Ьijeсtion
of .Y onto B(9")
G aсts on B(C" )
,
transitivеlу Ьy fгaсtional linеaг tгansfoгmations. If
s с G is of the to,^ g с (o
*ith matriсеs
а1 /) ,
с(1 x 1),6(1x n), с(n x l) and d(n x n), thеn
g . у = @ у+ , ) ( ( Dy' )+ с ) - '
( 17 )
where y and с aге гegaгdedas сolumn vесtoгs and
{b'у) = bflt l
'..* bn'лn.
(18)
Clеaгly Ii = 51u61o;
Аn easу'сomputatiorr
showsthat
1_ ( s у , g . z ) = ( Б ,z } l 6 ; - , . [ ' _ f u , , ) ]( ( 6y,)+ o ) _ 1 ,
1 - l l s. у | |=
, [ t_ l l y l l ,. ]| ( b , у+)o | - ,
( 1e )
(1.10)
and
( b , у+)o = ( a ,s ' у )+ a ) - i1f n - =
' ( 1 dx/)
\c
(1.11)
on t}rеothеr hand, the aЬsolutеvaluе o[ thе JaсoЬiaтi of thе геal analytiс tгansfoгmation y *
g у (у С
B ( с " ) ) i s е a s i l y s е е nt o Ь e e q u a l t o
l ( ь 'y ) + с ] _ z 1 n a ' ,
(r 12)
I Г d у i s t } r с Е u с l i d с a l r I I l е a s u [ еo l l С , . , t I r с l l с l t : a г l 1 .
d р @ )= ( t - l l y l l , ) - ( " ' , t ) d a
(1.13)
i s a G - i n v a г i a n tm е a s u r еo n B ( C " ) .
1 . 2 . F . i r r е s t r u с t u r e o 1 5 1 i ( 1 ,n )
I , е t - I Ь с t h е ( n * 1 ) x ( u + t ) r l r a t г i хd i a g
-1'
{1,
( " + 1 ) Х ( l z+ 1 ) w е s е t X - = J T t J .
, -1}.
Г o г a r r y с o n r р l е х m a t r i х Х oГ tr'рc
Thс I,iе a.lgсЬra g oГ СJ сotlsists of t}rе пratriссs Х tlrat vеrifу t}rе rеl:rtiorr
x+х-=0,
f.hеsе aге t}rепra-triсеsoГ tIrе Гогrn
traсеХ=0.
/ z, z"\
\ 7 i z ,)
(114)
( rr 5 )
lvlth Z1 anсl Z3 anti.Hсгrnitiatrand 22 аrЬitгarу.,tгaсе (Z,
i z,) = 0. Lеt 0 Ье t}rе involutivе autorrrorplrisпr of g dеfinеd Ь1'
0х - JXJ.
(1,16)
f . h е n d i s a C a г t a n i n v o l u t i o nw i t h t l r е u s u a l d е с o п r p o s i t i o n g =8 + p .
HeгеP is thе Liе algeЬгaof 1{.
Let i Ье the follorvingеlеment of g:
'=(3Ь
Ё)
o o)
\i
(1 li)
Wе liаvе Z € р and q = R'l is a m aхimаl AЬеliarr suЬspaссof p. Wе aге going to
diagonalizе thе opсratoг
ad i. The сеntгalizеrof l, in l is
lu ( )
m={[о
\о
u
0
;):
u* u = 0, u €
u ( n- 1 ) , 2 u * t г a с e , = 0 , }
(1 . 1 8 )
351
BестникTГУ, т.2, ььtл.4,|997
Let a = ].. The nonzегo eigеnvalrtеsof adI aгe *сr, *2o . Тhe spaсe go сonsists of thе mal,гiсes
z*
/o
( 1 .l e )
О
z* *)
X=|z
\о
whегez is a matгix of typе (n _ |,1) and z* = _7t.
The dimension of go is еqual to mo = 2(n _ |). Thе spaсe g20 сonsists of thе matгiсes of thе foгm
"=(:i -1)
( 12 0 )
ш . i t hu , *' ш = 0 . T h е d i п r е n s i o n o Г 9 2 i.s е q u a l t o T f I 2 a =1 . \ \ . е h a v еB = у - 2 a * g - "
Lеt ,4 Ье thе suЬgгoup ехp о. This is the subgroup of thе matriссs
+o+m+Bo*Bzo
f cosht 0 sinht \
ut=l
1
o
o I
сoshl/
0
\sinhl
( 1 . 2 )1
wherе l is a геal numЬег. Thе сentгalizer of А in Ii is thе suЬgгoupfuI of tЬ'еmatгiсеs
/u
0 0\
lо,0l
\о o "l
(1.22)
l v i t } r| u |= 1 a n d о € U ( n _ 1 ) , u z d е t u = 1 . T h e L i с a l g е b r ao f , V 1i s m . T . l r еs u Ь s p a с еT 1= g o * g 2 o i s a
nilpotеnt suЬalgеЬгa. Sеt N = ехp n. This is thе suЬgгoupof thе matгiсеs
n(;.ш)=
_
Ь|,,,1z.
I t +.
z
[
I
_ u + } [ z z, ]
\
-z
I
1 . . . _} [ , , , J z - l - ш * Ь | . , ] l
- |,\), z" =_7',
lvith ш *trr = 0 аnd with z a matгixof type (,
/:] \
| .Ь\
\," /
\,,:)
( 12 3 )
and iГ
,=1,I ''=1,I
t h с n [ z 'z | f= _ 7 l 2 z 2 _ . . . ! , , ' = , , .
Тlrе сomposition laiv in .N is thе follorving:
n ( ш ' z ) . l i ( u , ,',,,) = n ( ш + ш , + | m | z , z , f , z* z , )
.lhе
suЬgroup А noгmalizсs -N.:
а 1n ( z , . ) u . , = n ( e 2 t ш , ze )1.
( 12 4 )
(1 . 2 5 )
I,еt 2p Ье thе tгurсеof tlrе rt:stгiсtiolrof ad I' Lo tt
, = f , { , , "} 2 п ц o ) l t '
\\t: h;rvс tliе llr'irsarvadeсorrr1lоsitionG = 1{,4l{ = NАI{. Еaсh g €
g = k о 1 1 n 1аnс с o r d i n g l у .o. n c l r а s t l l е с o г г е s p o n d i n gi n t е g г a lf o г m u l a :
|
з52
r rnlon =
"
| * o*
e2p'
dkdtdn
f (Ьa1n)
(126)
(j сan urriquely Ье wгittеn as
(1,.27)
\
BестникТГУ' т.2' вьtп.4,1997
foг / € D(G).Thi3 is alsoequalto
f @a1k) e-2ptd.ndtd.k.
f
JNАК
(1.28)
Heге dn = dzdш (n = n{z,ш)) and d,t is the noгmalized Haaг measuгe on 1{. oЬsегve that 1{,4
paгametrizеs Х = GlIi' Мorеoveг, wе havе thе Caгtan deсompositionG _ KA11{ whегe
(1 . 2 e )
Ау={ц:l)0},
and, after dg is noгmalizеd a с с o г d i n gt o ( 1 . 2 7 ) ,t h е с o r r е s p o n d i n gi n t e g г a lf o г m u l a
frl-f
I ttg)ds= I |
JкJo
JG
Hеrе
| f(kalk',)6(t)dkdtdk'
J^
тfl
sinh 2l ,^,.
о 1 t ;= z ц n ; ( s i n h l ) ' "" ", ,\
z
)'',,"'
( 13 0 )
( 13 1 )
1.3. Sphеriсal funсtions, inversion аnd Plаnсherel forтnula
Еoгs€Clet
p , ( g ) = [ . r , - Й t ( s - , ь ) d k( o с с 1
(132)
I
JA
Ье tlrе zonal sphеriсal funсtion lvith paгamеtеr s, in integra}foгm, aссoгding to Haгish-Chandгa It is
k n o l v n t h a t 9 , ( 9 ) = Р - , k ) = Р , ( 9 - 1 ) . Е u т t h е г m o r el e t с ( s ) d е n o t eH a г i s h . C h a n d г a ' sс . f u n с t i o n :
- Г(n)2o_з
je.
с(.s)
(1.33)
Г(?),
F'oг / с D(GllIi), thе spaсe of Ьi/{_invaгiant, сompaсtly suppoтtеd C*-funсtions on G, wе dеfine its
sphеriсal Еouгiеr transform as
^ I
f G ) = I f ( s )p - ' k ) d s ( s с C ) .
(i 34)
lг
oГ Palеy-Wiеnег сlass' and f is еvеn in thе argumeпt s. onе has
f is a funсtiс-rrr
Invегsion forпrula:
f(s)=,,!, f(;р)p,,k)
i#
(sСG)'
( 1. 3 б )
and
Plаnсherel
foгmula
dp
trtslfdg= с6 l |ftit')|,
I
JG
Jо
|"(ф)Р,
.
I ф
t.
I
(i 36)
r v h е г ес 6 = 2 2 т т - 2 Г ( n )тf " + 1.
Thе funсtion 9(l, s) := 9,{a) is thе uniquе solution of the ordinaгy diffeгеntial еquation
d2u
;р
* L'n"
сosh1
cosh2t.dц
^
=
+ 2m2"
р ") у ,
.,nh 1
s'|nь2tJ7 1s"
(1.3i)
t } r a ts a t i s f i е s9 ( 0 , s ) = 1 . S o
s ( t ,s ; = , r r ( # , = # t p ; - s i n h 2 t ) .
(138)
n . 1 * oо and is
T h е г е i s a n o t h е rs o l u t i o nf o r l > 0 ' Ф ( , , s ) , l v h i с h h a s t h е a s y m p t o t i сЬ е l r a v i o u г
"("-я)t
givеn eхpliсitlу"Ьу
Ф ( l s, ) = 2 , -p ( s i nth; , - я , ' , ( # , = f , 1
_ s ;_ s i n h - zt )
(1 . 3 e )
35з
BестникTГУ' т.2' вьtп.4,1997
, еn
f o гs f | , 2 , 3 , . . . .I f s i s n o t a n i n t e g е гt h
p ( t , ' ) = с ( s )Ф ( l ,s ) + с ( _ s ) Ф ( l -, s )
(t > 0).
(1.40)
as f apрroaсhes0, Ф(l,s) and ff1z,') havеthе foliowingasymptotiсЬеhaviouг;
NIoгeover,
-," i.f.n t
C^\')',},
t'
Ф(t,s) - {
IC(s)logt if n=l'
( 14 1 )
d Ф ( s , l )- | с[ 11'z;-tz7"t1 C ( s ) t \ - 2 " i f n { |
iГn=1'
at
\1.42)
aге intеgгaЬlеlvith rеspeсt to thе mеasuге
6(l)dl
for a сегtain funсtion C of s. Notiсе that, Ф u"d sp
o n ( 0 , o о ) w h е n с r , е гR e s < - p .
It еasily follorvsfгoпr (1.36) tirat for l ) 0:
j!_
f (o,)=,o [- f1lр1a1t,_ili
' '
'
c(itt)'
J-*"''
(1.43)
Sinсe f is of Palеy.Wiеnеr сlass and с(s)-1 of polynomial gгowth (sее (1.33)) foг R e s ) _ 1 , o n еh a si n
addition, Ьy Cauсhy's thеorеm:
f ( o , )= , u
Гоro ) -1, l ) 0 аnсlf сD(cll
2. CANONICAL
/г-^
dр
+ i р ) Ф { t , - a_ i , ,|, 1 o
+ i,1
J --f(o
(1.44)
Ii).
RBPRЕSЕNTATIOI{S
2.1. Dеfinition of сanoniсal repгesentations
Foг,\€Raпdg€Gwеset
ф х(s)
(ф=(t_lly|l,)^
r . , , l r е r1с7с Г J ( С " ) ' y = . g o . C l е a г l 1 , ф д i s aa Ь i - 1 i - i n v a г i a n tс o n t i n t t o r i s f u т r . t i о l r o t r G
ф х f u , ) ( с o s ht ) - z ^ ( t с I R ' ) .A n е a s y с o п t p u t a t i o ns h o w st h a t
r!
{
llvЦ)
u
ц
t [ 1 (у, )l
7
l^
l l zI l ' )
(z
у)J
(21)
ollsегvс t}ra.t
( 22 )
if z,у С в(с"), z = gr .o' у = 92.o.
L е t u s d е n о t е t h i s е x p г е s s i o nЬ y B х ( у , , ) . B д i s с a l l е d a B е r е z i n k е r n е l o { Х . S i n с е p г o d u с t s
and (unifоrm) iimits of positivе.definitе keгnels aгe again positivе-dеfinitе,we еasilу'gеt, Ьy ехpanding
I l ( . . y ) ] _ ^i n l o a p o w е гs e г i e s :
[ 1_ ( , , y ) ] - ^=
Ё
(;)
Q,у)^(_1)-
( 23 )
that 81 is a positivе-dеfinitе kеrnel foг ,\ > 0. oг, othеrwisе said'
rvith (-j) : 1;i)Еi:*l=l=.1-D,
) ) 0.
furtсtiorr
Гor
positivе-dеfirritе
a
is
{,д
o I G n a t u г a l l ya s s o с i a t e dw i t h ф r o г . B r .
L е t т 1 d е n o t et h е u n i t a г y г е p г е s е n t a t i o n
\\.e сall the тд (A > 0) cаnoniсal repтеsen|аlionsaftсr \rегshik' Gеl'fand and Graеv [16]and wе shal]
stuilу in this sесtion t}rеirsресtral dесompositionin dеt,ail.
2.2' SJlесtral deсompositiorr
Thе Гunсtion фд is the геproduсing distгibution of тд in thе sеnsе of L. Sс}rwartz'sее [2]. Wе slrall
dеtегminе the integгal deсomposition of фд into (elеmеntaгy)positivе-definitespheгiсal funсtions. It is
35.1
'*фs&щы*'
ш-;;i*iФ.&;*ы"
l
BестникТГУ, т.2,вьrп'4,l997
in (1.32),are positivе-dеfinitеif and only if s is purеly
wеll-known (sеe [11l)that the funсtions Р,, dеfinеd
inrаginaгyor-p1s1p'
for ) > p' oг evеn for Rе) > p' sinсeфд
B y ( 1 , 1 3 ) ,t h е г u n с i i o n ф д i s a с t u a l i y a f u n с t i o ni n , L l ( G )
to dеtermine thе spheгiсalFouгiег
suffiсes
(Re) > p),it
is weli-deflnedfoг сomplех ) too. So in this сasе
tгansfoгm oд(p) of фд:
o^(tD=
| 1^вl
(2.4)
dg.
9-r1,(g)
Applying the,Caгtan deсomposition G
The сomputation of o1(p) is surpгisingly simplе.
v a r i a Ь l еr = s i n h , t ,
a n d ( 1 . 3 6 ) ,w е g е t Ь y m a k i n g t h e с h a n g eo f
тn
'
o , l (t ' ) =
r*
Цo Jo
z .r,t_\i_р -*Тp _ ,
iД+p.^. -i1l*
2
= /{А+1{, (1.30)
(2 5)
t)-^x"-|dr
'у'_&)|
Ihis eхpгеssionis Ьy |71,20.2(9) equal to
'##)Г()+ f#)
- |',\_-" Г()+
ц^\P) -
(26)
Г()),
is a positive-deflnitеfunсtion for ) > p.
Wе may, in paгtiсular, rесonсludе that фд
Moгеovег
(ф.l,
fk)dg
/)=!",l^tФ
"o!o*o^fu)f(;p)
dfu
(27)
for all / сD(GllIi). Hеrесg is as in (1.35).
pтoсееd
anothегway, in oгdеr to gain insight how to
Wе will nolv dеsсriЬеthe dесomposition (2.7) in
positivе-dеfinite.
in thе сasе 0 < ) < p, whегe фд is still
s
atisfiеs:
Ф
W е a p p l y ( 1 . 4 4 ) .T h е f u n с t i o n
(2 8)
- o . _ ; д ) l l v - ^ ( t ) | 5<
(tС
) oe-(o*2Rе,\-p)l
|Ф(l,
Thus foт с and ) suсh that o *2P;e\>
foт some positivе сonstant Co and t laгgе.
p.
dр
* lЙ
(рl./)--,o _-?@+it4bд(o
ffi
J
/ф^
rф
6 r ( s ) : =/ Ф ( l ,_ s ) ф ^ U )5 U )d t
lvherе
(2e)
(2 10)
JO
Еor RеA > p lvе havе:
_ip)]6(t)dt
i 1(l+
a д ( t r=
r)
о^{".)[с(;д)Ф
z) ,c ( - i f l Ф ( t '
Jo
гl
= с ( i i r ) b д ( - i у L )+ с ( - i 1 t ) b , l ( ' p ) .
(2.11)
-1, it is
Ф(t,_s) is analytiс in s foг Re(s) >
W е r v i l l n o r r . t a k еa с l o s e гl o o k a t t h e f u n с t i o n b д . S i n с e
>maх(p_2Rе),-1)}.Wеwillсonsiсleг
i m п r е d i a t е l y s е е n t h a t t д (i ss a) n a l у t i с i n s o t r И д = { s I R e ( s )
b
д
(
s
)
.
o
f
с
o
n
t
i
n
u
a
t
i
o
n
t h е p r o Ь l е mo f a n a l y t i с
= s i n h _ 2 ta n d
( 1 . 3 9 )a n d m a k i n g t h е s u Ь s t i t u t i o n sr
Еiх ) > 0 and let C(s) = 2,_pт'lГ(n). Using
x = ul(l _ y). wе gеt
b 1 ( s=)С ( , ) / , г ' t f f ' ! , 1 +
=C ( s )
!o,,r,,-#,Ч''
Applying thе rеlation
s ; _ ur)З ! + х _ t (+l r ) _ ^ d r
+ , ; { o ) У ? + A _ 1 (_1Й # d у .
- b;c;;\l
z F t ( o , b ; cz;) = ( 1 z ) - o z F t ( a , c
(2.r2)
(2r3)
355
BестникТГУ, т.2' вьIп.4,l997
(сf. [8]'2.\.a (p. 64))yields
6 д ( s )C=@ [ ^, r , { f f , L - f , l * s ; y )
Jo
у="+^-|dу'
(t 14\
By suЬstituting the seгiеsexpansion
( | ,<
I 1)
zFt(o,b;c;z)=
Ё%#,,
( 2 .1 5 )
and taking сaге of thе possiЬlеsingulaгity \n у _ 1 (in сasе n = 1) wе oЬtain
(=
=С(,)
Dд(s)
i G * rl.']i
-,l)r/!
ff+t+r
3
(216)
T h i s s е г i еiss a Ь s o l u t е сl yo n v e г g еfnotrs f _ I , _ 2 , . . . a n ds l s 1 ( ) )= p - 2 ^ _ 2 / ( / = 0 , 1 , 2 , . . . )s, i n с е
the terms arе majoгatedЬy /-t-о foг somе 6 Ьеtwееn0 and n, foг / laгgе. This сan easily Ьe seеnЬy
using Еulег's limit formulafoг the gammafunсtion:
(2.1,7)
1 h u s 6 1 h a s a m е г o т n o r p h i с e х t е n s i o n t o C l v i t h p o l е s i n s = s r((l)=) 0 , | , 2 , . . . ) a n d s = - | , - 2 , - 3 , . . . .
T h е r e s i d u е si n s 1 ( ) ) a г е е q u a l t o
22\l2t-2p*\
nn
Г(")
(1-)-/)7
(p_zх _2/+1)./!'
(218)
i f s 1 ( ) ) + - L , _ 2 , _ 3 , . . . . A n e a s y o Ь s е г v a t i o ns h o w s t h a t t h е s e г е s i d u е sa r е s t г i с t l y p o s i t i v е f o r } > 0
foг all values of / suсh that sl ) 0'
Considег the геlation (2.11) again. Thе ехpliсit еxprеssionfor сд sholvs that Гoг arry fixеd р f 0 in
LR, ) * oд(дr) dеpеnds analytiсaliy on A foг A in somе stгip around thе positive reаl aхis. So doеs thе
г i g h t - h a n ds i d е o f ( 2 . 1 | ) . T h u s t h i s г е l a t i o n a с t u a l l y h o l d s f o г a l ] рl t ' 0 i n R a n d ) > 0 .
.i.hе
dеfirritiorl
L e t Ф - , b е t h е Ь i - I i . i n v a r i a n tГ u n с t i o no n G d е f i n е dЬ y Ф - " ( o 1 ) : = Ф ( l , _ s ) Г o гl > 0 .
of Dд сan t}ren Ье гeformulatеdas
Г
Ь д ( s=
)
Ф*,(r)d:r
J*Фх@)
( 21 9 )
Г o r s € I , i . Е o r m u l a ( 1 . 3 0 )t o g е t h е rw i t h ( 1 . 4 1 ) ,( 1 . 4 2 )s h o l v st h a t t h е i n t е g r a lе х i s t , sГ o r t l r o s еs ' L е t t r s
dеfine thе diffегential opегatoг Ar on X = G/K Ьу
Aд :=сr (A + dr)
(2.2n
lvith сд *_ _|/(4^,), d^ = _4)(A _ p) and A the Laplaсe-Bеltгami opeгator oГ.Т
A diгeсt сomputation using the ехpliсit foгrn for фд yiеlds
A,lфr = фr+l
Гoг all A > 0. Гix ) > 0. onе has
(2.211
r
/ дф^(,)Ф_,(r)dr
JA
= Й(')
Г t , г; r l l s €
C s u с l r t ' ] r a LRе (s) >
+
r
/ ф ^ ( * ) д о - ' ( r ) d r = C о ( s )+ ( r ' - p 2 ) 0 ^ ( s )
- 2) rvith
_,),{,).
Й(s):=li,xlФr(сt)
ff{,,
356
( 2 2 ' !'
Jх
(2.2:t
)
BестникTГУ' т.2' вьrп.4.l997
This limit сan easilybe сomputedГoгRe(s) > 0 (сf. [9],Ch. IV, sесtionV, $2,p. 415-416)
and is еqual
to
Й ( s ) = _ , #r . s с ( s ) '
(,2.24)
(n,,,
For ) > 0 and s € Иr П {Re(s) > 0i we oЬtain
6 r + (r , ) = [ ь ^ ф ^ ( аФ) - , ( x ) d x
Jх
= с 1 { C 6 ( s )+ ( ' , _ ( p _ 2 ^ ) , )D , l ( " ) i
Q.25)
BесausеCg(s) is analytiс foг Re(") > -1, this rеlation сan Ье usеd to eхtеnd 6д to Rе(s) > _1 Ьy
i t е г a t i o n . S i n с е с ( s ) a n d Ь д 1 6 ( s )г е m a i n Ь o u n d е d a s | s |* o о i n t h е s t г i p 0 < R e ( s ) ( p f o г s u f f i с i е n t l у
laгge A € N, it is norv easily sеen that 6д(s) rеmains Ьoundеd too whеn l,l *"* in that stгip. \\Iе thus
havе:
P г o p o s i t i o n 2 . | . L е l \ ) 0 . T h е f u n с | i o n b 7 ( s ) ,d е f i n e df o r s С V 2 , , h a s а m е r o m o r p h i се r t e n s i o n
t o С ш i t hp o l e si n ' . ( ) ) - p _ 2 ^ _ 2 l ( l = 0 , 1 ' 2 , . . . ) а n d - | ' - 2 , _ 3 , . . . , g i u е nb у P 1 6 ) . T h е r e s i d ш e s
i n s 1 ( ) ) a r e е q ш а lt o
22),I2t-2p*In" (1 * ) _/)i
ГТГ-
prouidеd,r())l-|,_2,-3,....
Fiх ) > 0. Lеt f сD(Gllk)
6:,^:тГ+тIt|'
М o r e o u е r , b ^ r е m a i n s b o u n d , е d с- sв ]i n
s |t h ' е s t r i p 0 < R е ( s ) < p .
and сonsidеr the funсtion
f(s)01(s)
.
9):,9-.0
.(r)
T h е f u n с t i o l l g A i s r n e т o m o г p h i сf o г R е ( ' ) > 0 l v i t h s i m p l е p o l с s i n s ; = s 1( ) ) , / s u с h t h a t s 1 ) 0 .
Lеt 1p Ье thе сontour deteгminеdЬy thе гeсtanglе given Ьy thе points *iЕ and p * iR' Sinсе f is oГ
Paley-Wienег tуpе and 6д геmains Ьoundеd as Is| * oо in thе strip 0 < Rе (s) ( p, intеgrating 91 ovег
7в and lеtting Л tеnd to infinity yiеlds
( ф хf,) = 2 n I
r l ( } ) ( p "/, ), * с о
l , s ;; o
(vt,'flaр
- *щ#
(2 26)
foг ) > 0. I{егеп'е usеd геlation (2.9) with o - p and
r1(.\)
:_ - +
с 6 с ( s 1J
bд(s).
Rеs,=,,
(2 .2 т)
Thus wе finallу oЬtain,Ьy using (2.11)'
( Фхf)
, = zo I
I,s1)0
r l())(я,,
(p;,,f)
, f) * co o^,o,,
/o#
(2 28)
Г o r a l l ) ) 0 . S o , i n p a r t i с u l a г ,r v еp i с k u p с o m p l е m е n t a r ys e г i е sг е p г е s е n t a t i o ni sn s = s 1 ( ) ) .
T } r e o г е r n 2 . 2 . L e { ) ) 0 . I f ^ > p l 2 , т х d е с o т n p o s еi sn l o a d i r e c l i n l e g r а l o f p r i n c l p а l s e т i е s
r е p r e s е n l а t i o n s ' I f 0 < ) < p l 2 I h е .s p е с l r u m 'o f т s h а s а d i s с r e t еp а r | c o n s i s t i n go f f i n t t e l у m а n у
с o m p l е m e n t a r уs е r i е s r е p r е s е n l а I i o n sT. h е с o п t i n u o u sp a r l c o n s i s l so f p r i n c i p a l s е r i е sr е p r е s е n l a l i o n s .
3. ASYN4PTOTIC
вЕ}IAVIOUR
oF' TtIЕ
CANONICAL
RЕPRЕSЕI\TATIONS
I n t h i s s е с t i o n r v е с o n s i d е гt h е a s y р p 1 g t i сЬ е h a v i o u ro f т д ( o . ф r ) a s ) t е n d s t o i n f i n i t y . T h е г е f o r е
w e a p p l y a n a l t е r n a t i v еm е a n i n go f Ф r . W е r e Г e rt o [ 1 0 ] .
Considегon {r € C"*1 : [,,,] > 0} thе Riemannianmеtriс
,1
ldx,dxl
|т т|
a1
(31)
*l
l.* )
з57
BестникTГУ' т.2, выл.4,|99,7
n etгiс on.Т whiсh is
T h i s m e t г i с i s l n u a г i u n t u n d е г r - , \ r ( ) с C ' ) l 0 ) a n d t h u s g i v e sa R , i е m a r r n i am
invaгiant undег G' Coггespondingto this mеtгiс wе have a G-invaгiantsесond oгdег diffегеntial opeгatoг,
t h е L a p l a с i a n A , w h i с h w е a l r е a d y m e t i n s е с t i o n 2 . L e Lт Ь e t h e m a p d е f i n e d i n ( 1 . 2 ) .I f / i s a f u n с t i o n
o Г с l a s s C 2 o n . t , w е s e t | = f o т , s o t } t a t/ i s d e f i n " d o n t h е o p е n s е t
{ J с C " + 1 : [ r ,r ] > 0 )
and satisfies/1,t,; = i(,) (r с C, ) l 0). We have
Г1 =1","1t|
( 32 )
wherе t is thе psеudo_Laplaсianassoсiatеdwith thе psеudo-Еuсlidеanmеtriс ds2 = _|d,x'dr] on C"+t
C o n s i d е г a l s o o n t } r es е t { I с с n + l : | x , x l > 0 } t h е f u n с t i о n Q d e f i n е db y
l^, t2
ф1,;= ЦзL
( 33 )
Lr'rl
__
ф s a t i s f i е sб ( t ' )
О@) (t сС,t
following pгopeгties:
+ 0 ) a n d t h e r е f o г еQ = Q o т f o г s o m e f u n с t i o n Q o n . Y . Q h a s t h е
о Q is invaгiant undег 1{,
о Q is геal analytiс,
o Q@)2r,
о Q has a non-degenеrate
сгitiсalpoint x0: еI{, thе Hessianof Q at r0 has signatuгe(2п,0),
. Q@) : t (t > 1) is a /i-oгЬit on .Z'
funсtionon R of сlassC2. Thеn
Lеt Л Ье a сomplex-valued
( 31 )
A(l'o Q) = (LF) o Q
lvheге .L is thс ordinarv diffеrential opегatoт
r = а (' D
' d t*
z +ь(t\!
dt
l v i r h a ( l ) = 4 t ( t _ 1 ) , ь ( l ) = 4 | ( n + 1 ) l - 1 ] . T h i s f o l l o r v sе a s i l yf r o m ( 3 . 2 ) .
Rесаll tlrat D(.11)is thе spaсe of сornplех-vаluеdС*-funсtions on .t'rvitlr сoпt1litсtsuрlport. l..iх arr
i n v a г i a n t m е a s u г еd r o n Х , с o r r е s p o n d i n gt o t h е R i e m a n n i a n m е t r i с . I Г l i s n o t a с г i t i с a l v a l u e o Г Q ( s o
I ' + I ) , w е с a n d е f i n et h e a v е г a g еh [ 1 ( t ) o t a f u n с t i o n f с т ц х 1 o v е r t h с s u г Г a с е{ Q ( " ) = l } Ь у m е a n s о f
thе foгmula
rr*
-/ r ' ( 0 ( , ) )f ( r ) h
|
JI
J,Y
( 35 )
F(t)xtt(t)dt
for anу сontirruousfunсtion Л on ]R.
T h е f u n с t i o n , L , ! h a s a s i n g r l l a г i t ya t t h е с r i t i с a l v a l u е t = 1 o Г Q . N l o г еp г с с i s е l у
IvIrU=
) Y(l - 1)(f- 1)'-1e(i)
l т i t h g € ? ) ( R . ) . I I e г е У i s t h е H е a v i s i d е f u n с t i o nУ:( l ) = 1 f o г t ) 0 , y ( ' )
(36)
=0foтl(0.N,Ioreovег
"f!o)=p(1)
rvhеrес = т- fГ(n). Sinсe Q is a /{_invariantfunсtion' !vе сan assoсiatеrvit}rQ a G-invariant kегnеl 1iq
oп ,t, х ,1, rvith
ft t, "rl [tr, tt]
( r . r/
I{q(r1, rz) =
[rr,,t] [rz,xz)
( ' ' , " , , € { r € С " * 1 : [ r , с ]> 0 } ) .
that this kсгttсlсoггеsponds
on B(C")x B(C'.)to tlrekегrrеl
onе еirsi11'vегifiеs
[1
_ ( y ,z ) ] | \ - ( z ' у ) ]
lt-llyll'llt-ll,ll'l
358
lid;e..
(38)
Bестник ТГУ, т.2, вьIп.4,.i997
oг р^
, х ( g )= Q ( s ) _ ^ f o г a l l g € G . T h i s i n t е г p г с t a t i o n
i Г 1 1 t a , 1 2 - , - { у , , € B ( с " ) ) . T h е г с f o r eФ
*
m.
)
as
of
Ьеhaviouг
asymptotiс
the
in
flnding
фд
grеat
hеlp
wili Ьс of
Cоnsidеr thе distгiЬution
Г
f -
lQ(,)-^f(x)dr
U стцх11 By (3.6)wеgеt
Г
f ( x ) d r=
I Q(*)-^
Jх
l,-
Г ^ f t _ \ " - 1 , p ( td) t .
=
. n еh a s
oЬsегvе that this eхprсssiotris an entiге analytiс Гunсt i o no f ) . F o г & 0 , 1 , 2 , . . o
/"ф
- Г()_n-*)Г(n+,L)
I t - ^( /- 1 ; " t " - r' ,
Г())
Jt
for ехamplе foг Rе,\ > n * .t. Wгitе
p ( t )= Р ( 1 ) +( t_ 1 ) 9 , ( 1 ) \+Ц 1 , r r l
2
w i t h t ф ( t ) |( m a х " 1 , ( 2 ) ( s ) |a' n d с o n s i d e тt h е d i s t г i b u t i o nЦ g i v e n Ь y
Г())
Г() - n)Г(n)с
for ) -
=
Q@)_^
7#Ь
Q@)-^,
oс. We get
=
+
" ( , ] ,fх) , я ( 1 ) +} я , ( r )
+ } я , , ( r ) ) n*( n1 )+ o ( * )
( 3e )
"tя,tr)
asA-*oо.
= L,k МI foг al1A с N. А
L e L L | d е n o t е t h е t т a n s p o s eo f l w i t h т е s p e с tt o d l . \ V e h a v е М д . J
с o l l l р l l;1r ti о n 1 . i е l J s
L , | ( t- i ) ' ' _ ' я ( l ) ]= ( 1- t ) " - i { [ ( , l l+l 4 ) t - Ц р , ( t ) + 4 t ( t 1 ) я , , ( t ) }
a n r l f r o m t h i s е q u a t i o n o n е с a n d е r i v еt h a t
с A / ( r 0 ) = 4 r rр , ( 1 ) ,
l , , f ( , o ) = l 6 n ( n + 1 ) [ я , , ( 1+
) p,(i)].
It is an еasy ехеrсisе to arrivе at
(3 10)
. , , ( i=
) l д/t*o)
4rt
p"(t) =,r,t,,,{a'/(ro)
i0nln f
l,
-4(n*
1)a/(20)}.
( 3 . 1r )
S u b s t i t u t i n g( 3 . l 0 ) a n d ( 3 . 1 1 )i n t o ( 3 . 9 )y i е l d s :
(I'^
+ fi111,o1
f) = r'(rn)
+)o}( i ) ( )- о о )
- # { A , J . ( , o ) *4 ( n* 1 ) ^ / ( r o
(з l2)
rvhс'г.:^ -- |lh rvith A dtlnoting PlaIrсk.s
So ?.r * 6 zrs А ----о.э. In tеrms of Bегсzin qirantization (сГ' [1],
trut:.
с o n s t a r r t ) i t п r е i r t t si n p i r г t i с u l a г t } r а | t l t с c o r r е s p o n d с n с ep г i n с i p l е i s
tliс as}'пlptotiсeх1ianstotr,
I t i s с l e a r t l r a t t h t т с i s n o o Ь s t r r t с t i o n i n d е t е т r n i n i n g h i g h е r o г d е г t с г t r r so f
duе to ouг method.
359
Beстник TГУ. т.2. вьlп.4. 1997
4. TЕNsoR
сRЕTЕ
SЕRIЕS
oF'нoLoМoRP}IIс
PRoDUстs
AND
ANTI-нOLOMORPI{IC
DIs-
4.1. The spaсe L2(G/ Ii,l)
Denote by хr (/ с v,) Lhe сhaгaсteг of 1{ givеn Ьy
Xr
(; 3)*"'
(41\
w h е г е| с |_ | , d € U ( n ) ,a d e t d - 1 . L е t p 1= I n d 6 1 6 } 1a n d И 1t h e s p a с еo f p 1 .S o f с V t i t
(1)f : G * C is mеasuraЬle,
(ii)/(et)= x,(,t-')f(s),
( i i )| l / l l =
, Iс 1 к |kf ) |а рG ){ o o ,wheгgе= gI{,
I1eredрh) is the invaгiаnt measure on GlIi - B(C"), seе (1.13). Instead of I{ onе also usеs thе
n o t a t i o n L z ( G l K , / ) . W e s h a l l i d e n t i f y I { w i t h a s p a с e o f f u n с t i o n so n t h е u n i t Ь a l l B : B ( С " ) i n C " .
R е с a l l t h a t G a с t s o n B , Ь y ( 1 . 7 ) ' 1 { = S t a b ( o ) a n d g l i с G l I { с o г г e s p o n d st o g . o . N o w d е f i n е
Аf (g) = аIf (s)
foг/€
L2(GlIi,/)'9=
hаs
/
n
t;
ь\
)/.
(4 2)
т t r е nА f ( g k ) = А f ( s ) f o г a l lf r € 1 { . S o , 4 / i s d е f l n е d o n B a n d o n е
l l / П--'Il
JВ
| А I k ) |(,1- l l . l | , ) . d у Q ) ,
w i t h d р Q ) a s i n ( 1 . 1 3 ) .L е t } l l d е n o t е t h е H i l Ь e г t s p a с е o Г a l l mеasuгablеfunсtions .p og ]З suсh that
t | p ( ' ) |('t _ l i , l l , ) . d р Q< )х .
JB
,Jlt
is a G.spaсе; G aсts unitarily in }/1 by т1, givеn by
".(фp?)
, t s" _ ' = ( "
\с
1)
d/
= P ( g - I . . ) ( ( b ,z ) + а ) - l
, i s a u n i t а r y i n t e г t w i n i n go p е г a t o rЬ е t w е е np I a \ d т t .
360
'l,**д&{l*liи;й'*l,uд'
(43)
BестникIГУ, т.2' вьrп.4.1997
4.2. TЬe holomoгphiс
disсrеtе seriеs1 Foсk spaсes
funсtions on B satisfying
For ) € ]R сonsidеr thе Гoсk spaсе -Fд of holomorphiс
dp(z)
<в'
ll/lli.=J|B vor (t_ ll,l|,)^
(4 4)
_ n), sinсе Лr сontains thе funсtion whiсh is idеntiсally I in this
This spaсе is non.tгivral for ) > p (p
с a s е .o n e h a s
тn
(45)
I | 1 l l ?- = ' ( й т - ( Й
(|_iIz||,)"dд(:)
h е n с еa H i l b е r t s p a с е ,w } t е г еd р ^ G ) =
l l o г e o v е r , " F r i s a с I o s е ds u Ь s pa c еo f L 2 ( B ' c д r 1 ) ,
l t a l s o h a s a г е p г o d u с i n gk . г n е l . n а t r t . l 1 .
Г. /'
L l t ; r
l@ rt . \-_ .
'
(\ ) - n ) /, '
2
- \(. .^ - I. )/
il -
т,'
( u ' .z ) ] _ o
(46)
() > p) it
thе univетsal сovегingg.oup ё of G; foг integeг)
It is also a unitaгy module foг the aсtion of
Ьy
aсts
gгoup
G
Thе
typе.
геpгеsеntationof sсalaг
is еvеn a G-modulе: a holomoгphiс disсгеtе sегiеs
(4 7)
| , nЬ
-'\
of elеmеnts in T7. It сonsistsof
Let us dеnote Ьу 7.l thе spaсе of сomplех сonjugatеs
= {
o-1
l.
"
a/
\c
an оlэviousunitaтy aсtion 7r of G as well. So
anti-holomoтphiсfunсtions and gil.еs тisе to
'l .--Lс
т , l ( s ) / ( - - )- ,rt/( 6 ' . ) + с , . '
, r ", , _ 1= ( o
\с
1),r
а/
СTх'АСZ.For)сN()>p)
--\.
(48)
,
*.gеtpartof thеanti.holomorp}riсt]isсrеtеseгtеs.
4.3. Tеnsoг pгodrrсts
. r h е g . o ' p G a с t s d i a g с . r . a l l уl .t
) ) p.
C o n s i с l е гt h е H i l b е : i s p a с е t с n s o r р г о с i u с t f х 6 , T х , r v i t h
intеgеr ) is givеn by
trrrns out that rvе aсtually huu" u G-aсtion, whiсh for
* ( b .' ) ) - ^G Т т 3 ' _ ^
0 ( u ) )= f ( r t a , . ) 3 o 1 ] i ' t о ) ( o
so.(I(,)о
-1
ttgo.=
|а
(n.u)
b\
d)
\с
tсnsors in.Fr,6z7д
Lеt Аr dеnotе thе bilinеaг пrap' dеfinеd oп
Ьy
/ ( . ) E Т ( , )* f ? ) t r Q ) ( r _ l l , l l , ) ^
(4.10)
is dеnsеly dеfinеd with image iл ?|o. Еuгtheгпtoге,
Thеn, геstriсting ,4д to рolynomial funсtions, Аr
a с с o г d i I r gt о J . R е p k a ( [ l 4 ] ,P г o p o s i t i o n4 . i ) :
о А1 lras trivial kегnеl and dеnsе ilnagc,о , 4 д i n t е r t l v i n e st h е G _ a с t i o n so n T > , ф z f х a n d т g ,
о ,41 is сlosеd.
o f , 4 д . T h с l t / r i s a u п r t a r у еquivalеlrсеЬеtrvееn
L е t А д = | А s А - ^ | 1 1t /2r Ь е t l r е p o l a г d е с o r n p o s i t i o n
L, (G l Ii).
tlrе G.spaсе' Tх6zT х and }lo
}lo l v i t h | | , 4 д | |{, I l , х ,
to a Ьoundеd opеratог f,o^ Fх6zTr into
eхtеndес]
Ьe
сan
Aсtually ,41
i n z , a n t i - h o l o п r o г p h ii сn rl' suсh that
* ь " * . ^ = i r J . r r i I n d е . d , f u n с t i o n sF ( z ' l . ) . h o l o m o г p h i с
!" |"'ou,ш)|2
d 1 t 7 ( z ) d р l ^<( lal )'
361
BестникТГУ, т.2,вьlп.4,1997
aгe geneгal elemеnts in thе Hilbегt spaсе Fх6,Fх'
F(z,t) =
therefoге'
Hеnсе
Clеaгly for suсh funсtions Л,
|uu^,.,t)
F ( z , u l )d р 7 ( ш ) ,
(4.1i)
= Е 7 ( ш , zF)( z ' ш ) d р х ( * () 1 _ l l , l l , ) ^
д^r{4
!u
d р х @ )( t _ I l , | | , ) , ^
s !u|в^{',,)rdр^@)
|А1F(z)|2
!B| F ( z , u , ) | 2
So
=
dрQ)s
ll,a^Лll,
!uА^o{,)|, } ttгtt3
4.4. Тh.e adjoirrt of .41. The Berezin kеrnel
in ш, and bеlongingto Tх6zTх, or L2(B х
Let F(z,ш) be holomoгphiсin z, anti-holomoгphiс
shall
dеtеrminе
an ехpliсitexpгession
for,4! A. It is сlear
B,dрхфdpr). Let h Ьelongto L2(B,dfi. We
t h a t , 4 i A i s i n f х 6 z T х , s o , 4 i h ( z , u ) i s l r o l o m o г p h i с i n z a n d a n t i - h o l o m o г p h i oс innethl .a s
(А\ h' F) = (h, А1F)
r r
=
Е 1 ( zш
' )F ( z , ш () 1_ | |. z| | 2 ) ^d ' р { ш ) d р ( , ) .
Ju J u h ( z )
So ,4i h is thе pгojесtion of thе funсtion
(z,u) -
h ( z )Е 7 ( z , ш )
o n t o T s $ 2 T д . T h е a Ь o v е f u n с t i o n i s i n L 2 ( в x B , d p у в d д . l ) . T h e o г t h o g o n a lp г o j е с t i o n .с a l l i t Е , i s
givеn by
r r
(1 12)
Е Г ( z , . ) = l | Е ^ ( * , , ш )Е s ( z , z , )F ( z , , ш , ) d p 1 ( z , ) d / t ^ ( i ' , )
JB
}Iеnсe
JB
. I
А ! / r ( : 'u ) = l Е 7 ( z , z , ) Е l ( ' , , ш ) h ( / ) d р х ( . , ) .
JR
D е f i n еf o г , \ > p a n d f , 9 С , t 7 o = L z ( B , d t ' ' ) .
U , s ) ^ =( А 1 А \ f ' l ) .
(113)
\.Ioгеехpliсitly:
This Гoгrnis сlеarly (stтiсtly)positivе-dеfinitе.
А; A\f (z)=
l r ^ G ,z , 1Е 1 ( z,, )f ( / ) d р ^ Р (, )r _ l l , l l , ) ^
Jв
So ,4д Аi
is a keгnel operator with kеrnel
(4 14)
This is again the l]егеzin kегnеl (up to afaсtor); it is G-invaгiant, positil.e-dеflnite,and dеfinеsa Ьoundеd
for ) > p. Notiсе thаt thе Bегеzin kегrrеlis givеn Ь1'
[Iегтnitianfoгm on L2Glri)
Е7(z, z,) Е2,(z, z)
Е { z , z ) Е 1 ( z ,, z ' )
з62
(415)
B е с т н иT
к Г У , т . 2 ,в ь r л ' 4l.9 9 7
МAхIMAL
o.
DЕGЕNЕRATЕ
RЕPRЕSЕNTAтIONS
S L ( n* l , C )
oF
5.1. Dеflrritiorr of tlrе геprеserrtаtiоns
. еnotеЬy 1i. thе suЬgroup
L е t G = S U ( l , n ) a n d G " = S L ( n + 1 , C ) , a с o m p l е х i f i с a t i o nD
1 { .= 5 1 6 ; 1 1C,) х G L ( n ' C ) )
o f G . a n d s e t L ' = S U ( n + 1 ) , 1 { _ s ( L r ( l ) x U ( n ) ) . L е t P * Ь е t h е t l v o ( s t a n d a г d )m a х i m a l p a r a b o l i с
suЬgгoups oГ G" сonsisting of uppeг аnd loweг Ьloсk matгiсеs rеspесtivеly:
i), ,- ,(;:)
"*,(A
(
rvith o с с",
L,,
UJ
/ n
( ;
\\u/
n\
:c l ) €
1 { . , 6 a r o l v ( с o l u п i n ) v e с t o г in C". Foг рl €
(51)
C, dеfinе thе сhtrгaсtеr.,', oГ P*
+L^ f^**,,1^.
Urrс lUl lllul@.
u r ( p ) = l a l P,
тf of G, induсеdГromPt
whегеp с P* has onе of thе forms(5.1).Consideгthе гepгesentations
тi : |oduтр.
(52)
..сompaсtpiсturе''. one has thе follolvingdесompositions:
Lеt us dеsсriЬе thсsе rеpгеsеntationsin thе
G=(JP+_LIP-,
( 53 )
r v h i с hц ' е с a l l I r v l r s a r vtаv p е t l е с : o m р o s i t i o nГso. г t ' h eс о г г е s р o n d i n gd е с o п r p o s i t i o ngs = l L po Г а т tе l с m с t l t
- fl'fl1{. = 1i'
9 С G " , t h е f a с t o г sp a n d u a r е d e f i n е du p t o a n е l е t l r е r rotf, t } r сs u Ь g r o u pL ,П P + = L , О P . Г Ь ^. ^ . ^ r
r
:
/
r
э
l
г lе
l Ln
l l lt( iu f i с dr v i t h t h е с o s е t s D a с еt / / 1 { . S е t
J
Lсdа
lln b
U ге liud
l llU
lUD(,l
Эl/(t' ( J
Uс/
S={,сC"+l:||z||2=1},
d i t h S U ( n + t ) / s U ( n )v i a u * u е g( u с S U ( n+ 1 ) ) .
rvlriсh
с l е а г l 1 ' с aЬl rс :i d е n t i f l еw
L е t r r s d с t t o t с Ь . r .У t h е v с с t o r s 1 l a с еo Г С - - f u n с t i o n s
g on S satisГуing
p().s)= e(s)
(54)
f с l rа l 1) с С r v i t h l ) | = 1 .
spaсе oГ Ьсэtlr;г} аrr.l т, ' Irr fасt т.-]-- o; o;. rr'ltt:гег is tlrс
У сan Ье sссn as tirе геpгеsrэntatiоп
С a г t a n i n l ' o l u t i o ror f G , : т ( g ) = ( g ") _ ' .
Т h e g r o u р G . a с t s o n S ; d е n o t еЬ } 9 ' ( g с G " , s € S ) t h е a с t i o n o f g o n s :
s(r)
s s = 176ll
\\,е havе foг 9 €
У
In a similaг rvaу lvс havе:
т / ( v ) я ( s=)Р ( g - |
")|Is-.(,)ll,
т [ ( Ф v G )= p ( т ( ! ] _ .1, ; 1 1 , 1 19;_, 1 1 , , .
(55)
(56)
(5i)
L с t ( | ) d е n o t е t l r е s t a п d i r г di n n е r p r o d u с to r r i 2 ( S ) '
( p | , i=
' , )[ e @ 1 щ ; а , .
(5 E)
JJ
}Iеrе ds is tlrе noгrnalizеd U-invariant mеasureon S. Тhis mеasuте d.s is tгansfoгmеdЬ1' tlrс aсtionof
g с G, as follorvs:
( 5e )
d ; = l l 9 ( s ) l l - z ( " * 1 ) d s3, : 9 . s .
з6з
BестнrtкТГУ, т.2, вьrп.4,l997
It implies that thе Hегmitian foгm (5.8) is invaгiant with гespесt to thе paiгs
( n } , o_ v _ , 1 , 4 )
and
(т! , т!v-z1"+t).
.I.hегefoгe,
i f R е д l - _ ( " + 1 ) , t h e n t h е г е p r е s е n t a t i o nos f , u . " u n i t a r i z a Ь ] еt,h е i n n е г p г o d u с t Ь e i n g ( 5 . 8 ) .
5.2. Irrtеrtwining
opeгatoгs and iггeduсiЬility
It is an intегesting pгoЬlеm tо dеteгminеthе сomplех numЬетsд suсh that т} is iггеduсiЬlе' and in
сasс it is геduсiblе, to obtain thе сomposition seгiеs. We wili not pегsue this proЬlem heге. Wе геfег to
[6] whсrе a similаг пiеthod is usеd. It tuгns out that т} is at lеast irгеduсiЬlеif д f Z. Let us turn to
i п t e r t w i r i i n go p е r a t o г s .
Dеfinr: t}rt:oреratoг Аu ol У by thе foгmula
А u p { , )= [ | G , , '),| - / , - 2 ( , + i9) Q ) r ] t .
I.''
(5 10)
JJ
This intеgral сonveгges absolutеly for Rе р <' _2n _ 1 and сan Ьe analytiсally extеndеd to thе whc]е
д.plane as a mегеomoгphiс funсtion. It is еasily сheсkеd that Аu is an intегtwiningopегator
lu"f(Ф =
Аp, g С G",
"f,,(э)
(5.11)
w i t hp , _ _ р - 2 { n + | ) '
T h е o p е г a t o r А - u - z 1 n + t 1o , 4 , i n t e г t r v i n етs , t w i t h i t s е l f a n d i s t h е г е f o r еa s с a l a l с ( д ) , i n d е p е n d е n t
o Г t h е * _ s i g n . I n g e n e г a iс ( д ) w i l l b е a m е г o п t o r p h i сf u n с t i o n o f д . I t с а n b е с o m p u t е du s i n g 1 { . t y p e s ,
s е е e - g . [ 6 ]' $ 1 . I t t u г r t so u t t h a t
с(Й=c(_р_2(n+1)).
(sееagain[6]'s1)
I t t u г n s o t r t , i n a d d i t i o n , t h a t o n l y thе т* lvith R,ср,= _(n * 1) arс unitaтizablе
5.3. Rеstгiсtiorr tо (l
С o n s i d е гt h е d i a g o n a lm а t г i х " r = d i a g{ l , - 1 , . . . , _ l } . T h е n
(512)
G = {g СG" : g* = Jg-|J\.
т} rs
S o t h е C a г t a r r i n v o l u t i o n т o f G , г е s t г i с t е d| o G i s g i v е n b у . т Q ) = J ! ] J ( s с G). СorrsеqLrеntly.
e с 1 r r i v a l t l tl rol т ; o n G : t h е e q t t i v a l е n сiеs g i v с n Ь } . ? _ Е 9 r v i t i r
(5.1З)
Ечэ$) = p(J s)
for g С v".
N o r v с o n s i t l е rt h е a с t i o n o Г G o n S g i v е n Ь y .( 5 . 5 ) . Т h с r е a r с l ] o г Ь i t s ,g i v е n Ь 1 '
[ s .. s l= 0
[ s ,s ] > 0 ,
and
[ s ,s ] < 0 .
(5.14)
А l l t h r е е o г Ь i t s a г е i n v a r i a n t u n d е г s _ ) r v i t h A € С , | ) l = 1 С ' . а l ol r . О , 2 . О 3 t l i с с o г г . l s p o t r d i t l g
"
G . o г Ь i t s o n S / - l v h е г еs - s , i f a n d o n l v i f s = ) s , f о r s o п l е ) с C , l ) i = 1 . T h е n r v е h a v е :
' "
" "
" l
О1-GlIi
Оz-GlfuIА|i
via
via
(a.1o)
9-9'eo'
g+g.(.о+.")'
ОЗ- Gls(u(\,n_1) x Lт(1))
via
9 _ 9.en.
(516)
(51i)
o f ( i ) s c с s с с t i o r r1 . 2 '
l Ъ г t l r с s u Ь g г o u р j | I А | { ( a m i u i m а l p a r a h o l i сs r t Ь g г o r r p
L е t g Ь e a C - - f u n с t i o n r v i t h с o п i p a с ts u p p o r t o l r [ s ,s ] f 0 , s a t i s Г y i n g( 5 . 4 ) .S с t
v \ s ) = я ( " ) l [ . -s, ] | - \ l z u .
-',,,
ф(s-''
u|iУ,,',,.3
lt']Рr;,T],','
T h е n ф s a t i f i е st h с s i r r n сс o n d i t i o n ( 5 . 4 ) ' N { o г е o r . е r ,
з64
(51E)
Bестник TГУ, т.2. вьIп.4.l997
So thе lineaгmap tр- ф intегtwinсsthе rеstriсtionof т, to G with thе lеft гegulaггеpгеsеntation
oГ G
on D(Gl Ii) andD(Gl H) геspeсtivеly
wheгеff = S(U(1,n _ 1) x U(1)).
A G-invaгiantmeasuгeon 01 U 03 is givenby
rltr(
"\
-
ds
l [ s 's ] 1 " + t '
( 51 e )
So, if lve pгovide 2(.S) lvith thе innег produсt on [s,s] l 0 given Ьy
( p ' ,p , ) =
f
J,,еJ{.p,14
1 1 s' '] | - R e r - ( n + t ) 7 , ,
(520)
tlrеn т, Ьeсomes unitarу, if rr'еrеstгiсt it to G. Еrom norv on rvеshall onlу сonsidеr thе геstriсtion o I
to G and сall it Л,' Clеaгly r?, is еquivalеnt to Лд,. Thе iпtегtrvinigopeгatoгbесomеs
_t
А,p(') -I
JS
- и- zt"+'
|[s,t]|
P(t)dt.
т',
(5.2r)
obsегve Lhat А, is definedon [s,s] ) 0 for all д, pгovided g has сompaсt suppoтt'in this open sеt. Thеn
y i t h с o m p a с t s u p p o r t ) . o n [ s , s ] < 0 o n е s t i ] ]h a s t o
А u g i s a C - - f u n с t i o n o n t h i s s е t ( n o n - n e с e s s a г i lw
dеal rvith analytiс сontinuation in д. sinсe сonveгgеnсеoГ thе intеgгal is not garantuееd for all дr.
Еoг сp1, Рz СУ and д € 1R',сonsidеr the lIeтmitian foгm
,
\ р ' ' . 4 u p=, )J , LI , ,I ', , l,],| _ p - 2 ( n + i ) rяr:(osd) s d r .
(5.22)
This foгm is сlеaгly invariаnt with rеspесt to R,' Aрplying thе lineaг tгansformation(5 1 8 ) o n t h е o p e n
s с t [ s ,s ] f 0 . r v е g е t t } r е| o l l о п ' i n g :
(,,.,.)=
o,1,1o,1,,.
Й2(l)
l, l,l' r(") |i}#j|++(''+1,
N o r v r e s t r i с t t o [ s .s ] ) 0 . T h с n
( 5 . 2)3
' ] ! '' ] } '
B , ( s"t/.)-=l [{sl ,' 1 ] [ r , s ] J
i s t h е B е r е z i n k e r n e lo n D ( G l I i ) , s е е ( 3 . 7 ) .
NOTI'S
о C a n о n i с a l r с p г е s е n t a t i o t]rtsa r . еЬ с е r .i r r t г о с l u с еfdo г с 1 a s s i с aHl с г m i t i a ns 1 ' n t п r с t г isсP a с е Sb . vB r г с z i r r
a n d l a t e г , i n a d i f f e т е n tс o n t е х t ,Ь у \ ' ' е г s h t kG. е l . f a n d a n d G г a e v f o г S L ( 2 , R ) ( s е е [ 1 ] ' [ 1 6 ] ) .
о A morе сonсеptual tгeatmrnt foг Hеrmitian sуmmеtгiс spaсеs iIr thе сontехt of Joгdan algеЬгas
h a s r е с е n t l y Ь е е n g i v е r rЬ 1 'L , p m с i е гa n d U п t с г Ь е г g е г[ 1 5 .]
о A n e х t е n s i o nt o l r у p e г Ь o l i сs p a с с s ,а l s o Г о r s m a l l v a l u е so f t h е p a г a m e t e r s 'a n d f o г l i n е Ь u n d l е s
o v е r t h е s еs р а с е s 'i s d u е t o l ] i l l с a n d v a n D i j k [ 3 ]' [ 4 ]' [ 1 2 .]
[13]
. Сanoniсal геpгеsentationsfoг paгa_Hегmitianspaсеswеге pгoposеdand intгoduсеd Ьу Nlolсlr;rnov
о A t l r o г o u g ht г е a t п r е n o
t f t l r е г a n k o n е p a г a . I l е г m i t i a ns p a с с S L ( n , i R ) / G L ( n - l , ] R l )i s d t t с t о l ' z r r r
Dijk arrd N'Iolсlranov[5]' [6]
.J.lrс
g е t r е r а l i z а t i о It o
. r р a г a _ I I с r п l i t i a rsr1 l a с е sf о l l o l v st h с s с t r е r n o
с f s е с t i o n5 . , r v } r i с }rrv а s 1 l г о 1 l o s с d
Ьy N{olсhanov.
RЕF'ЕRЕNCЕs
I l ] B е г с z i n ,F . A . ( 1 9 7 3 ) :Q u a n t i z a t i o ni n с o m p l е х Ь o u n d е dd o m a i n s 'D o k l . A k a d . N a u k S S S t t 2 1 1 ,
1 2 6 3 _ 1 2 6 6Е
. п g l ' t r a n s l . : S о v . N I a t l r . ,D o k l . / / , | 2 0 9 _ 1 2 1 3( 1 9 7 3 )
[ 2 ] D i j k , G . v a n ( 1 9 9 a ) :G г o u p г е p r е s е n t a t i o nosn s p a с е so f d i s t r i Ь u t i o n s .R u s s i a n J . N , I a t h .I ) l r у s i с s
2. No. 1.57-68
36s
ТГУ. т-2' вьrп.4'l997
Bестнrrк
[ 3 ] D i j k , G . v a n , H i l l е , S . C . ( 1 9 9 5 ) :C a n o n i с a l г e p г e s е n t a t i o nrsе l a t e dt o h y p е г Ь o i i сs p a с e s .R ' е p < - l г t
n о . 3 , I n s t i t , u t I i t t a g I , е [ П с lг9 9 5 / 9 6
т е р г е s е n t a t i o n sB,е r е z i n k е r n e ] sa n d с a n о n [ 4 ] D i j k , G . v a n , H i l l е , S . C . ( 1 9 9 6 ) :N . [ а х i n r аdle g е n е г a t e
iсal гергеsеIrtations.Rеpoгt !\. 96.04' Lеidеn Ulrivсгsitу
v ,. F . ( 1 9 9 7 ) :T h е B е г е z i n f o г m f o r t h е s p a с e S L ( n ' R ) / G L ( n - l , i ' )
[ 5 ] D i j k , G . v a n , t \ { o l с } r a n oV
Prepгint Lеidеn Univегsity
[ 6l Dijk' G. van, Ivlolсhanov,V.Е. (1997): Tensoг produсts оf maхimai dеgеnеratеsегiеs гергеs"tr
ta[ioпs o[ thе gгoup SL(n, R). Рrеprint Lеidеn Univегsitу
7] Егdelyi, A. еt al. (195a): TaЬlеs of Intеgгal Transfoгms, vоlumе II. MсGгaw-llill, Nеrv Yoгk
8 ] Е r d е l y i , A . e t a l . ( 1 9 5 3 ) :H i g h е г T г a n s с е n t a lF u n с t i o n s ,v o l u m е I . N { с G г a w - H i l l ,N е l v Y о r k
9 ] Е ; r r a r r t j' . ( 1 9 8 2 ) : ; \ n a l 1 ' s eh a r m o n i q r r сs u r l е s р a i г е s d е G u e ] f a n de t l с s с s p а с е sh 1 . р с r Ь o l i 1 L
.
.
A
n a l 1 . s еH a т п r o n i q u е ' ' L, е S C o u r s d е С I } I Р A , 3 1 5 _ 4 4 6
Itl:
[ 1 0 ] I i . a г ; l u tJ,. ( 1 9 7 9 ) : D i s t r i Ь u t i o n s s р h t i r i q u e s u г l е s e s p a с е sh 1 . p е r Ь o l i q u е sJ. . N I a t } t . Р u г . . .
Appl. 58, З69-444
[ 1 i ] Е l е n s t e < l - J е n s е rNr',I . ,К o o г n r v i t r d е rT, . l I . ( 1 9 7 9 ): P о s i t i v е . d е f i n i t еs p h е r i с a lf u n с t i o n so t l а I l r : .
сompaсt гank one symmеtгiс spaсе. Spгingсr Lесturе Notes in МatЬ, 739,249_282
[12]нiilе S.C. (1996): Canoniсal repгеsеntationsassoсiatеdto a сhaгaсtегon a Heгmitian sуrтlп.rеt::
spaсе of rank onе. Pгepгint Lеidеn Univеrsity
[ 1 3 ] N l o l с h a n o v ,V . Е . ( 1 9 9 6 ) : Q u a n t i z a t i o n o n p a г a - H е r m i t i a ns y m t n е t r i с S р a с е s . A d v . i n . \ I а r i .
Sсi.' AN{S Tгansl.,Seг. 2, 175, 81.'96
j.
[ 1 4 ]R е p k a , J . ( 1 9 7 9 ) :Т e n s o r p г o d u с t so f h o l o m o г p h i сd i s с r е t еs е r i e sг e p г е s е n t a t i o n sC. a n . . J .} 1 а i
31,836-844
[ 1 5 ]U n t e г b е r g e гA . , U p r п e i е г ,I I . ( 1 9 9 a ) :T l r e B е г е z i nt r а n s f o г ma n d i n v a г i a n td i f f е г е n t i aol Р е г a t o г s
Comm. Nlath. Physics 16J, No. 3, 563 597
[ 1 6 ]V е г s h i k , A . N ' I . ,G е l , f a n d , I . N { ' ,G г a е v , M . I . ( 1 9 7 3 ) :R е p r е s е n t a t i o n os f t h е g r o u p S L ( 2 , I t ) п . h . . г .
, R i s a г i n g o f Г u n с t i o n s .[ . I s p .N { a t . N a u k 2 8 , I ' . I o5. ' 8 2 - 1 2 E . Е n g l . t г i r n s l . :R , u s s .N I a t h . S u т v . 2 . у .\ '
5 . 8 7 - 1 i i 2( 1 9 7 3 )
366
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 028 Кб
Теги
представление, канонических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа