close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квазистационарные траектории задачи Тейлора для обобщенной модели несжимаемой вязкоупругой жидкости.

код для вставкиСкачать
2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№75 Т.2
УДК 517.9
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЗАДАЧИ ТЕЙЛОРА
ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ
О.П.Матвеева, Т.Г.Сукачева
QUASI-STATIONARY TRAJECTORIES OF THE TAYLOR PROBLEM
FOR A GENERALIZED MODEL OF INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC FLUID
O.P.Matveeva, T.G.Sukacheva
Институт электронных и информационных систем НовГУ, oltan.72@mail.ru, tamara.sukacheva@novsu.ru
Рассматривается задача Тейлора для обобщенной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—
Фойгта ненулевого порядка. Указанная задача исследуется в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа.
Доказана теорема существования единственного решения, являющегося квазистационарной траекторией, и получено
описание ее фазового пространства.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое пространство, квазистационарная траектория,
несжимаемая вязкоупругая жидкость
This paper considers the Taylor problem for a generalized model of dynamics of the incompressible viscoelastic Kelvin—Voight
fluid of nonzero order. This problem is investigated within the theory of the semilinear Sobolev type equations. The theorem of the
unique solution existence which is a quasi-stationary trajectory is proved, and the description of its phase space is obtained.
Keywords: Sobolev type equations, phase space, quasi-stationary trajectory, incompressible viscoelastic fluid
гие свойства жидкости соответственно. Параметры
Am, s определяют время ретардации (запаздывания)
Введение
Система уравнений
(1   2 )vt   2v  (v  )v 
 r nm 1

Am, s 2 wm, s  p  f , 0    v,

 m 1 s  0
(1)
 wm,0
 t  v  α m wm,0 , m  1, r,
 wm, s
 swm, s 1  α m wm, s , s  1, nm  1,

 t
αm  R , Am, s  R
моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой
жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка [1].
Функция v  (v1,, vn ), vi  vi ( x, t ), x   имеет физи-
давления, функция f  ( f1,, f n ), f i  f i ( x, t ) характеризует внешнее воздействие на жидкость.
Задача Тейлора для системы (1) моделирует
ситуацию, когда вязкоупругая несжимаемая жидкость
Кельвина—Фойгта занимает пространство между
двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами

бесконечной длины [2]. Область   R n , n  2,3,4 (с
кусочно-гладкой границей) выбирается так, чтобы на
ее границе 1 (лежащей, например, при n  3 на
ческий смысл скорости течения, функция p  p( x, t )
двух плоскостях α и , перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности
(т.е. v(x, t) α  v(x, t) , wm, s (x, t)
 wm,s (x, t )
,
отвечает давлению. Здесь   R n , n  2,3,4 — огра-
  (α  )  1, t  R ).
ниченная область с границей  класса C  . Параметры   R и   R характеризуют вязкие и упру-
Выбирается некоторое стационарное решение
~ w
~ ( x) системы (1), удовлетворяюv~  v~( x), w
m, s
m, s
α
34

2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№75 Т.2
на
Определение 3. Решение u  u(t ) задачи (4),
 2   \ 1 — неоднородным условиям Дирихле
(например, течение Куэтта), и исследуется динамика
отклонения v  v(x, t ), wm, s  wm, s ( x, t ) от этого ста-
(5), для которого выполняется L u 0  0 t  (t0 ; t0 ),
ционарного решения, вызванного начальным условием. Поэтому система (1) приобретает вид
~ ~
(1   2 )vt    2v  (v  )v  (v  )v  (v  )v 
 r nm 1

Am, s 2 wm, s  p, 0    v,

m 1 s  0
 w
(2)
 m,0  v  α w , m  1, r,
m m,0
 t
 wm, s
 t  swm, s 1  α m wm, s ,

s  1, nm  1, αm  R , Am, s  R .
Для системы (1) рассматривается задача Тейлора
v(x,0)  v0 (x), wm, s ( x,0)  wm0 , s (x), x  ,

v(x, t )  0, wm, s (x, t )  0,  ( x, t )   2  R,
(3)

v(x, t ), wm, s (x, t ) 
 удовл. условию периодичности на    R.
1
Ранее задача Тейлора для модели нулевого порядка рассматривалась в [3], для ненулевого порядка
изучалась в [4], а задача Коши-Дирихле для системы
(1) исследовалась в [5]. Целью данной статьи является изучение разрешимости задачи (2), (3). Разрешимость указанной задачи исследуется в рамках теории
полулинейных уравнений соболевского типа [6]. В
первой части статьи приводятся результаты о разрешимости абстрактной задачи Коши для указанного
класса уравнений. Во второй части задача (2), (3)
приводится как конкретная интерпретация этой абстрактной задачи.
Здесь u  u 0  u1, u0  U 0 , u1  U 1, U  U 0  U .
щее
на
1
условию
периодичности,
а
где u 0  P u, называется квазистационарной траекторией уравнения (5).
1
P — проектор банахова пространства U на U 0 .
Предположим, что оператор L бирасщепляющий, т.е. его ядро ker L и образ im L дополняемы в
пространствах U и F соответственно [8]. Обозна-

чим через Mu/  L(U ; F ) производную Фреше опера0
тора M в точке u0  U и введем в рассмотрение цепочки Mu/ -присоединенных векторов оператора L ,
0
которые будем выбирать из некоторого дополнения
coim L к ядру ker L в банаховом пространстве U .
Введем в рассмотрение условие
(А1). Независимо от выбора coim L любая цепочка Mu/ -присоединенных векторов любого вектора
0
  ker L\ 0 содержит точно p элементов.
~
Обозначим через L сужение оператора L на
coim L . В силу теоремы Банаха о замкнутом гра~
фике оператор L : coim L  im L — топлинейный
изоморфизм. Положим U 00  ker L и построим
~
~ ~
множества U q0  A q [U 00 ], q  1, p, где A  L1Mu/ .
0
Очевидно, множества
U q0
 coim L являются ли-
нейными пространствами, следовательно, образ
Fp0  M u/ [U 0p ] есть тоже линейное пространство,
o
причем Fp0  im L  0 (если выполнено (А1)).
1. Абстрактная задача Коши
Введем в рассмотрение еще одно условие
(А2). Fp0  im L  F .
Рассмотрим задачу Коши
u(0)  u0
(4)
для полулинейного уравнения соболевского типа
L u  M(u).
(5)
Уравнение (5) перепишем в виде
L u  Mu/ u  F(u),
(6)
0
где F  M Mu/  C  (U ; F ) по построению. Подейст-
Здесь операторы L  L(U ; F ) и M  C  (U ; F ),
U и F — банаховы пространства.
Определение 1. Решением задачи (4), (5) называется вектор-функция
u  C  ((t0 ; t0 );U ), t0  t0 (u0 )  0,
удовлетворяющая уравнению (5) и условию (4).
Хорошо известно, что задача (4), (5) разрешима не для всех начальных данных из банахова пространства U ; и даже если решение этой задачи существует, то оно может быть неединственным. Поэтому
введем еще два определения.
Определение 2. Банахово C k-многообразие 
называется фазовым пространством уравнения (5),
если u0   существует единственное решение
0
вовав на уравнение (6) последовательно проекторами
Qq : F  Fq0 (Fq0  M /u [U q0 ], q  1, p) и I  Q, полу0
чим эквивалентную систему
0
/
0
L u1  Mu u0  F0 (u),
0


L u 0  M / u 0  F (u),
(7)
u0 p 1
p 1
 p
0  M / u 0  F (u),
u0 p
p

L u1  (I  Q) M(u),

где uq0  U q0 , Fq  Qq F(u)  Qq M u/ u1, q  1, p, u1  U 1.
0
Лемма 1. Пусть операторы

L  L(U ; F ),
M  C (U ; F ), причем L — бирасщепляющий оператор, и выполнены условия (А1) и (А2). Тогда уравнение (5) эквивалентно системе (7).
u  u(t ) задачи (4), (5) на некотором интервале
(t0 , t0 ) [7].
35
2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Замечание 1. В условиях леммы 1 оператор
Mu/ (L, p) ограничен в точке u0 [9].
Редуцируем задачу (8), (3) к задаче (4), (5). Для
этого положим
U  lK0U l , F  lK 0 Fl , K  n1  n2    nr ,
1 
где U  H2  H2  H , F  H2  H2  H , U  H2  H
0
Займемся поисками решения задачи (4), (5).
Для выделения квазистационарных траекторий из
множества возможных решений задачи (4), (5) наложим еще одно условие.
~
Рассмотрим множество U  {u  U : uq0  const,
~
q  1, p}. Как нетрудно видеть, U — полное аффинное многообразие, моделируемое подпространством
~
~
U 00  U 1. Пусть точка u0  U , через Ou  U обозна-
0

p

0

H 2  H 2 ,
p
i
2
Fi  L  H   H  , i  1, K .
ортогональное (в смысле L2 ()  (L2 ())n ) дополнение к H 2 ; H  и H — замыкания подпространств
H 2 и H 2 в норме L2 соответственно, H p  H .
чим некоторую окрестность точки u0.
(А3). Fq (u)  0 u  Ou , q  1, p.
Обозначим через  : L2 ()  H  ортопроектор
 1), причем im   H 2 ,
вдоль H  . Тогда   L(H 2  H


2
ker   H . Элемент пространства U , вектор u ( x, t ),
0
Теорема 1. Пусть
(i) выполнены условия леммы 1;
~
(ii) точка u0  B, где B  {u  U : Q0 M(u)  0};
будет иметь вид

u ( x, t )  (u , u , u p , w10 , , wr 0 , w11, , w1l , , wr1, , wrl ),
(iii) выполнено условие (А3).
Тогда существует единственное решение задачи (4), (5), являющееся квазистационарной траекторией, причем u(t )  B t  (t0 , t0 ).
r
1
где u  v, u  (I  )v, u p  p, ls  ns  1, s  1, r, и

0
0
u (0)  (u0 , u0 , u p0 , w10
,, wr00 , w11
,, w10l ,, wr01,, wrl0 ),
Доказательство теоремы 1 см., напр., в [4].
r
1
wi00
2. Конкретная интерпретация
где u0  v0 , u0  (I  )v0 , u p0  p0 ,
 wi0 ( x,0),

i  1, r, wij0  wij (x,0), i  1, r, j  1, lr ; u(x, t)  0 (x, t)    R.
Для редукции задачи (2), (3) к задаче (4), (5)
перейдем от системы (2) к ее модификации
~ ~
(1   2 )vt   2v  (v  )v  (v  )v  (v  )v 
 r nm 1

Am, s 2 wm, s  p, 0    v,

 m 1 s  0
(8)
 wm,0
 t  v  α m wm,0 , m  1, r,
 wm, s
 swm, s 1  α m wm, s , s  1, nm  1,

 t
α

R
 m
 , Am, s  R .
Замена p  p объясняется тем, что в большинстве гидродинамических задач рассмотрение
градиента предпочтительнее рассмотрения давления [10].
Оператор L определим формулой
 Lˆ 0 
,
L  
0 Ek 

~

 ˆ
~

 ˆ
I
~
A10 
A ˆ
10
C
C
0
I
I

0
0
 A


A 0 ,   I  , A  1   2 .
где L̂   0


0
0
 0
Здесь единичная матрица E K имеет порядок
K  n1  n2    nr .
Оператор M определим равенством



M(u )  M1 u  M 2 (u ),
где матрица M1 порядка K  3 имеет вид

~
Ar 0
A ˆ
r0
~
A11
A ˆ
11

~
A1l 
1
A ˆ
0

0
0

0

0
1

0
0

0










I
I
0
0

αr
0

0

0
0
0
I

0
α1

0











0
0
0
0

0
0

α1











0
0
0
0

0
0

0

0

Здесь H2 —
подпространство соленоидальных векторов простран 1  (W 1())n , H 2 —
 1, H 2  (W 2 ())n , H
ства H2  H
2
2


o










M1  










№75 Т.2

36

1l1


~
Arl  
r

Arl ˆ 
r1 
0 

0 

 

0 ,

0 

 
0 

 

αr 
2013
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
M2 (u) — вектор-столбец с K  3 компонентами, ко-
торый можно записать в виде M 2  (B(u  u ),
~
B(u  u ), 0, , 0). Здесь   , ˆ  , C(u  u ) 
 (  (u  u )), B(u  u )  ((u  u )  )~
v  (~
v  ) 





6.
7.

(u  u )  ((u  u )  )(u  u ).
Можно доказать аналогично [4], что оператор
L  L(U ; F ), причем ker L  {0}{0} H p {
0}

{0},
8.
9.
K
im L  H   H p  {0} F1    FK , M  C  (U ; F ).
10.
Выполнимость условий (А1)-(А3) проверяется
аналогично [4]. Доказывается, что любой вектор
  ker L\ {0} имеет точно один Mu/ -присоединенный
11.
0
вектор независимо от точки u  U . После проверки
условий (А1)-(А3) устанавливается справедливость
следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть u0  B. Тогда для некоторого
12.
13.
t0  t0 (u0 ) существует единственное решение задачи
(8), (3), являющееся квазистационарной траекторией
u  (u ,0, p, w10 ,  , wr 0 , w11,  , w1l , , wr1,  , wrl ) клас1
14.
r

са C ((t0 , t0 ); B) и такое, что u  B для всех
t  (t0 , t0 ).
Здесь
~ 1 1 ~
B  {u  U : A
 A B (u )  u p , u  0,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
4.
5.
на—Фойгта ненулевого порядка // Изв. вузов. 1998.
№3(430). С.47-54.
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev type equations and
degenerate semigroups of operators. Utrecht-Boston: VSP.
2003. 179 p.
Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифф. уравнения.
1990. Т.26. №2. С.250-258.
Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере—
Шаудера // Успехи матем. наук. 1977. Т.32. №4. С.3-54.
Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред //
Вестник МаГУ. 2005. №8. С.5-33.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука,
1986. 736 с.
Матвеева О.П. Модель термоконвекции несжимаемой
вязкоупругой жидкости ненулевого порядка. Вычислительный эксперимент // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирования и программирования. 2013. № 6(1). С.134138.
Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева
с относительно ограниченным оператором // Доклады
Академии наук. 1991. Т.18. №4. С.828.
Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Оптимальное управление
линейными уравнениями типа Соболева с относительно
p-секториальными операторами // Дифференц. уравн.
1995. Т.31. №4. С.1912.
Свиридюк Г.А., Семенова И.Н. О разрешимости неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Биссинеска // Дифференц. уравн. 1988. Т.24. №9.
С.1607.
Bibliography (Transliterated)
u  H2 , ui  H2  H2, i  1, K } — фазовое пространство рассматриваемой задачи Тейлора, где входящие в
множество B операторы имеют тот же смысл, что и в
[4].
Замечание 1. Вычислительный эксперимент
для модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка приведен в [11].
Замечание 2. Впервые понятие относительно
ограниченного оператора было введено в [12], некоторые направления развития теории уравнений соболевского типа были предложены в [13, 14], а впоследствии были развиты в работах профессора Г.А.Свиридюка и его учеников.
Работа выполнена в рамках проекта, поддержанного программой стратегического развития
Новгородского государственного университета им.
Ярослава Мудрого на 2012-2016 гг.
1.
№75 Т.2
Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений
движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей
Олдройта // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. №179.
C.126-164.
Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.
Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного
класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб.
матем. журнал. 1990. Т.31. №5. C.109-119.
Матвеева О.П. Квазистационарные траектории задачи
Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Мат.
моделирования и программирования. 2010. Вып.5.
№16(192). С.39-47.
Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи
динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельви-
10.
11.
12.
13.
14.
37
Oskolkov A.P. Nachal'no-kraevye zadachi dlia uravnenii
dvizheniia zhidkostei Kel'vina—Foigta i zhidkostei Oldroita
// Trudy matem. in-ta AN SSSR. 1988. №179. C.126-164.
Marsden Dzh. Bifurkatsiia rozhdeniia tsikla i ee prilozheniia.
M.: Mir, 1980. 368 s.
Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Zadacha Koshi dlia odnogo
klassa polulineinykh uravnenii tipa Soboleva // Sib. matem.
zhurnal. 1990. T.31. №5. C.109-119.
Matveeva O.P. Kvazistatsionarnye traektorii zadachi Teilora
dlia modeli neszhimaemoi viazkouprugoi zhidkosti nenulevogo
poriadka // Vestnik IuUrGU. Ser.: Mat. modelirovaniia i
programmirovaniia. 2010. Vyp.5. №16(192). S.39-47.
Sukacheva T.G. O razreshimosti nestatsionarnoi zadachi
dinamiki neszhimaemoi viazkouprugoi zhidkosti Kel'vi-na—
Foigta nenulevogo poriadka // Izv. vuzov. 1998. №3(430).
S.47-54.
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev type equations and
degenerate semigroups of operators. Utrecht-Boston: VSP.
2003. 179 p.
Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Fazovye prostranstva odnogo klassa operatornykh uravnenii // Diff. uravneniia. 1990.
T.26. №2. S.250-258.
Borisovich Iu.G., Zviagin V.G., Sapronov Iu.I. Nelineinye
fredgol'movy otobrazheniia i teoriia Lere—Shaudera //
Uspekhi matem. nauk. 1977. T.32. №4. S.3-54.
Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Nekotorye matematicheskie
zadachi dinamiki viazkouprugikh neszhimaemykh sred //
Vestnik MaGU. 2005. №8. S.5-33.
Landau L.D., Lifshits E.M. Gidrodinamika. M.: Nauka. 1986.
736 s.
Matveeva O.P. Model' termokonvektsii neszhimaemoi
viazkouprugoi zhidkosti nenulevogo poriadka. Vychislitel'nyi eksperiment // Vestnik IuUrGU. Ser.: Mat. modelirovaniia i programmirovaniia. 2013. №6 (1). S.134-138.
Sviridiuk G.A. Polulineinye uravneniia tipa Soboleva s
otnositel'no ogranichennym operatorom // Doklady Akademii
nauk. 1991. T.18. №4. S.828.
Sviridiuk G.A., Efremov A.A. Optimal'noe upravlenie lineinymi
uravneniiami tipa Soboleva s otnositel'no p-sektorial'nymi
operatorami // Differents. uravn. 1995. T.31. №4. S.1912.
Sviridiuk G.A., Semenova I.N. O razreshimosti neodnorodnoi
zadachi dlia obobshchennogo fil'tratsionnogo uravneniia
Bissineska // Differents. uravn. 1988. T.24. №9. S.1607.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
543 Кб
Теги
обобщенные, квазистационарных, тейлора, траектория, задачи, модель, жидкости, вязкоупругих, несжимаемой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа