close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Классификация биссекторов двух окружностей на плоскости.

код для вставкиСкачать
Раздел I
Алгебра, геометрия, математический анализ
УДК 514.75/.77
ББК 22.151
В. Т. Фоменко
КЛАССИФИКАЦИЯ БИССЕКТОРОВ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
Аннотация. Автор дает полную классификацию множеств точек, равноудаленных от двух
окружностей на плоскости.
Ключевые слова: плоскость, точка, окружность, расстояние, эллипс, гипербола, парабола,
прямая, луч, отрезок.
V. T. Fomenko
CLASSIFICATION OF THE BISECTORS OF TWO CIRCLES ON THE PLANE
Abstract. The author gives the full classification of the sets of the points equidistant from two circles on the plane.
Key words: plane, point, circle, distance, ellipse, hyperbola, parabola, straight line, ray, segment.
Пусть на плоскости
заданы две окружности
и
радиуса
и , соответственно, с
центрами в точках
и . Будем считать, что
,
, полагая, что
окружность нулевого радиуса есть точка, а окружность бесконечного радиуса есть прямая, при
этом центр такой окружности находится в бесконечности и константа не определена. Множество
точек плоскости
, равноудаленных от окружностей
и , будем называть биссектором окружностей
и обозначать через
. В настоящей работе дается полная классификация биссекторов окружностей
, заданных на плоскости
.
п. 1. Для формулировки теоремы введем следующее определение.
Определение 1. Будем говорить, что окружность
лежит внутри окружности , если все
точки окружности принадлежат открытому кругу с границей .
Имеет место
Теорема 1. Пусть
и окружность
лежит внутри окружности . Тогда
биссектор окружностей
есть эллипс, фокусы которого совпадают с центрами
окружностей
. Для всякого эллипса на плоскости
можно указать однопараметрическое семейство
окружностей
, для которых данный эллипс является биссектором для любого значения параметра , при этом фокусы эллипса являются центрами окружностей
.
Доказательство. Выберем на плоскости
правую декартову прямоугольную систему координат
, взяв за ось
прямую, проходящую через точки
в направлении от
к ,а
начало координат в середине отрезка
. Тогда расстояния
и
текущей точки
биссектора
до окружностей и
даются формулами:
;
.
В силу определения биссектора имеем
, что означает
.
Последнее уравнение есть уравнение эллипса с фокусами в точках
, которое приводится к
виду
Докажем вторую часть теоремы. Рассмотрим на плоскости
эллипс
, заданный уравнением
и – полуоси эллипса, > ; координаты фокусов
данного эллипса имеют, соответственно,
вид –
и
, где
. Обозначим через
окружность с центром в точке радиуса
, лежащую внутри открытой области с границей
, а через
– окружность с центром в
точке и радиуса
. Подсчитаем
и
, где – произвольная точка эллипса
. Имеем
13
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Покажем, что
для любого выбранного ранее значения . Так как координаты
точки удовлетворяют уравнению эллипса, то имеем
и потому
В правой части этого соотношения необходимо выбрать знак
, и поэтому
, так как
. Отсюда следует, что
. Аналогично находим
=
.
Так как
, то
=
и поэтому имеем
.
Сравнивая значения
и
убеждаемся, что
для любого значения . Теорема 1 доказана.
Замечание. В силу теоремы 1 можно дать следующее определение эллипса: эллипсом называется множество точек плоскости, равноудаленных от окружностей
при условии, что окружность лежит внутри окружности .
п. 2. Для формулировки теоремы 2 введем следующее
Определение 2. Будем говорить, что окружность
лежит вне окружности , если все точки окружности не принадлежат замкнутому кругу с границей .
Имеет место следующая
Теорема 2. Пусть
и окружность
лежит вне окружности . Тогда биссектор окружностей
есть связная компонента гиперболы, фокусы которой совпадают с центрами
окружностей
. Для всякой связной компоненты гиперболы на плоскости
можно
указать однопараметрическое семейство окружностей
, для которых данная компонента гиперболы является биссектором для любого значения параметра , при этом фокусы гиперболы
являются центрами окружностей
.
Доказательство. Выберем на плоскости
декартову систему
, как это сделано при доказательстве теоремы 1. Тогда для любой точки
биссектора окружностей
имеем
В силу определения биссектора отсюда находим уравнение биссектора в виде
Это есть уравнение левой связной компоненты гиперболы, заданной уравнением
Фокусы этой гиперболы совпадают с центрами окружностей
и
, при этом фокус
лежит внутри выпуклой области плоскости
, ограниченной левой связной компоненты гиперболы.
Докажем вторую часть теоремы 2. Рассмотрим на плоскости
гиперболу, заданную уравнением
где
; координаты фокусов
и
данной гиперболы имеют вид
и
,
. Обозначим через
окружность с центром в точке радиуса
, лежащую в выпуклой области, ограниченной левой компонентой гиперболы, а через
- окружность с центром в
точке
и радиуса
. Подсчитаем расстояния
и
, где
произвольная
точка левой ветви гиперболы.
Имеем
Покажем, что
=
для любого выбранного значения . Так как координаты точки
левой ветви гиперболы удовлетворяют соотношениям
14
Раздел I
Алгебра, геометрия, математический анализ
то имеем
Так как
и
, то следует выбрать знак
. Тогда имеем
Аналогично находим
.
Так как
и
, то следует выбрать знак
. Тогда имеем
Это означает, что
, где – радиус окружности
с центром в точке , выбранный указанным выше образом, а радиус окружности
с центром в точке
равен
.
Следовательно, левая связная компонента гиперболы есть биссектор окружностей
и . Теорема 2 доказана.
Замечание. В силу теоремы 2 можно дать следующее определение: связной компонентой гиперболы называется множество точек плоскости, равноудаленных от окружностей
и ,при условии,
что окружность лежит вне окружности и еѐ радиус отличен от радиуса окружности .
п. 3. Рассмотрим случай, когда одна из окружностей
, вырождается в прямую.
Имеет место
Теорема 3. Пусть
и пересечение
и
пусто, т.е.
. Тогда биссектор окружности
и прямой
есть парабола с фокусом в центре окружности . Для всякой
параболы существует однопараметрическое семейство окружностей
и прямых
для которых
данная парабола является биссектором, при этом фокус параболы является центром окружностей
для любого значения параметра .
Доказательство. Выберем на плоскости
правую декартову прямоугольную систему координат
, направив ось
ортогонально прямой
через центр окружности
в сторону от
к . Начало координат выберем на оси
в середине отрезка
, где есть точка пересечения прямой
и оси
. Положим
. Тогда расстояние
и
текущей
точки
даются формулами
В силу определения биссектора уравнение последнего имеет вид
Это означает, что биссектор есть парабола с фокусом
кажем вторую часть теоремы 3. Рассмотрим на плоскости
,
. Пусть
– окружность радиуса
выпуклой открытой области
уравнением
с границей
с центром в фокусе
. Тогда
. Тогда для любой точки
и директрисой
. Допараболу , заданную уравнением
, расположенная в
. Рассмотрим прямую
параболы
, заданную
имеем
15
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Так как
то
. Это означает, что парабола
есть биссектор окружности
и
прямой . Теорема доказана.
Замечание. В силу теоремы 3 можно дать следующее определение параболы: парабола есть
множество точек плоскости, равноудаленных от заданных окружности
и прямой , не пересекающихся между собой.
п. 4. В случае, когда одна из окружностей
имеют общие точки, то для полной классификации биссекторов окружностей
и
можно использовать следующие теоремы, приводимые
без доказательства.
Теорема 4. Точки биссектора
, лежащие одновременно вне окружностей
или лежащие одновременно внутри окружностей
, могут принадлежать
а) кривой второго порядка, заданной уравнением
б) прямой, заданной уравнением
в) прямой, заданной уравнением
Теорема 5. Точки биссектора
, лежащие внутри одной из окружностей
вне другой окружности, могут принадлежать
а) кривой второго порядка, заданной уравнением
и лежащие
б) прямой, заданной уравнением
Замечание. Биссектор
окружностей
представляет, вообще говоря, лишь часть точек кривых, отмеченных в теореме 4, 5. Общая классификация биссекторов
окружностей
с условием
дается таблицей 1:
Таблица 1
№
1.
Условие
;
Эллипс
Описание биссектора
2.
;
Объединение эллипса и луча, исходящего из
3.
или
Объединение эллипса и связной компоненты
гиперболы
Объединение связной компоненты гиперболы и отрезка
Связная компонента гиперболы
4.
5.
6.
7.
;
8.
;
Объединение прямой и отрезка
;
;
9.
;
;
10.
;
;
(точка)
16
Объединение эллипса и прямой
;
Прямая, ортогональная
Парабола
Объединение параболы и отрезка
Раздел I
Алгебра, геометрия, математический анализ
Окончание таблицы 1
11.
;
;
(две точки)
12.
;
;
13.
;
;
(точка)
14.
;
16.
,
17.
;
18.
19.
Объединение двух ортогональных прямых
Прямая, ортогональная отрезку
;
15.
Объединение двух парабол, проходящих
через точки
Прямая
Парабола
;
;
Эллипс
,
;
Прямая, ортогональная прямой
дящая через .
Луч с началом в
,
;
Ветвь гиперболы
,
и прохо-
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
761 Кб
Теги
биссекторов, плоскости, классификация, двух, окружности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа