close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кольца в которых любой идеал является абсолютным.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 93–113
Математика
УДК 512.541
Кольца, в которых любой идеал
является абсолютным
Тхи Тху Тхюи Фам
Аннотация. Кольцом на абелевой группе G называется любое
кольцо, аддитивная группа которого изоморфна G. Подгруппа A
абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A
является идеалом в любом кольце на группе G. Абелева группа
называется RAI-группой, если на ней сущестует кольцо, в котором
любой идеал является абсолютным. В работе изучаются RAI-группы
ранга без кручения 1 из некоторого класса смешанных абелевых
групп.
Ключевые слова: абелева группа, аддитивная группа кольца,
абсолютный идеал, RAI-группа.
Введение
Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм
µ : G ⊗ G → G. Это умножение будем часто обозначать знаком ×, то есть
g1 × g2 = µ(g1 ⊗ g2 ) для всех g1 , g2 ∈ G. Абелева группа G с заданным на
ней умножением × называется кольцом на группе G, которое обозначается
(G, ×). Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом,
если A является идеалом в любом кольце на G. Кольцо (G, ×) на группе
G, в котором любой идеал является абсолютным называется AI-кольцом.
Абелева группа, на которой существует AI-кольцо называется RAI-группой.
Пусть Γ — подмножество множества всех простых чисел P. Абелева
группа G называется Γ-делимой, если G является p-делимой для всех p ∈ Γ.
Обозначим через L класс редуцированных абелевых групп G таких, что
факторгруппа G/T (G) по периодической части T (G) является Λ(G)-делимой
и p-компонента Tp (G) является неограниченной сепарабельной для всех
простых чисел p ∈ Λ(G), где Λ(G) = {p ∈ P | Tp (G) 6= 0}. В работе описаны
RAI-группы ранга без кручения 1 из класса L.
Все группы, рассматриваемые в данной работе, — абелевы, и слово
«группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа».
Через Q, Z, N0 , N обозначаются множества рациональных, целых,
целых неотрицательных и натуральных чисел соответственно. Через Q∗p
обозначается кольцо целых p-адических чисел. Если n1 , ..., nk — целые числа,
94
Тхи Тху Тхюи Фам
то (n1 , ..., nk ) — их наибольший общий делитель. Запись n | g означает n
делит элемент g. Через |I| обозначается мощность множества I.
Если g — элемент группы G, то o(g) — его порядок, h∗p (g) — его
обобщенная p-высота, Hp (g) — его p-индикатор и H(g) – его высотная
матрица. Через hgi обозначается циклическая подгруппа группы G,
порожденная элементом g и hgi× — идеал кольца (G, ×), порожденный
элементом g.
Через Hom (A, B) обозначается группа гомоморфизмов из группы A в
группу B. Для произвольной группы G будем использовать следующие
обозначения: E (G) — кольцо эндоморфизмов группы G, End G — группа
эндоморфизмов группы G, rp (G) — p-ранг группы G. Если p ∈ Λ(G),
(p)
L (p)
(p)
то Bp =
hei i — p-базисная подгруппа группы T (G), o(ei ) = psi ,
(p)
Ik
=
= hi
L
i∈I (p)
∈ I (p)
(p)
| si
(p)
(p)
= ki, mk = |Ik |, Bk
=
L
(p)
(p)
hei i. Обозначим B =
i∈Ik
Bp — базисная подгруппа группы T (G). Если M — ω × ω-матрица
p∈Λ(G)
из порядковых чисел и символов ∞, где ω — наименьшее бесконечное
порядковое число, то G(M) = {g ∈ G | H(g) > M}. Если G — p-примарная
группа и u — строго возрастающая последовательность порядковых чисел и
символов ∞, то G(u) = {g ∈ G | Hp (g) > u}.
Если не оговорено противное, то все определения и обозначения
соответствуют [1].
1. Основной результат
Пусть G — группа, g ∈ G. Минимальный абсолютный идеал, содержащий
элемент g группы G называется главным абсолютным идеалом группы G,
порожденным элементом g, и обозначается hgiAI .
В [2] рассматривается подгруппа M (G) = hϕ(g) | g ∈ G, ϕ ∈
∈ Hom (G, End G)i и доказывается, что M (G) является идеалом кольца
эндоморфизмов группы G. Нетрудно видеть, что M (G)(g) = hg × a |
a ∈ G, × — умножение на Gi. Подгруппа A является абсолютным идеалом
группы G тогда и только тогда, когда M (G)(A) ⊆ A [2].
Лемма 1. Пусть G — группа. Тогда
1. hgiAI = hgi + M (G)(g) для любого элемента g ∈ G.
2. Кольцо (G, ×) является AI-кольцо тогда и только тогда, когда hgi× =
= hgiAI для каждого элемента g ∈ G.
Доказательство. 1. Пусть g ∈ G и A = hgi + M (G)(g). Так как M (G)
является идеалом кольца эндоморфизмов E (G) группы G, то нетрудно
видеть, что M (G)(A) ⊆ A. Поэтому A является абсолютным идеалом группы
G. Следовательно, hgiAI ⊆ A. С другой стороны, так как hgiAI — абсолютный
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
95
идеал группы G и g ∈ hgiAI , то M (G)(g) ⊆ hgiAI . Следовательно A = hgi +
+ M (G)(g) ⊆ hgiAI . Таким образом, hgiAI = hgi + M (G)(g).
2. Пусть (G, ×) — AI-кольцо, g ∈ G. Тогда hgi× является абсолютным
идеалом группы G и поэтому hgiAI ⊆ hgi× . Так как обратное включение
очевидно, то hgi× = hgiAI . Пусть теперь hgi× = hgiAI для любого
P элемента
g ∈ G. Пусть A — идеал кольца (G, ×). Тогда M (G)(A) ⊆
M (G)(g) ⊆
g∈A
P
P
⊆
hgiAI =
hgi× = A. Следовательно, A является абсолютным идеалом
g∈A
g∈A
группы G.
Лемма 2. Пусть G — группа, e — p-базисный элемент группы G, o(e) =
= ps < ∞. Тогда heiAI = G[ps ].
Доказательство. Так как hei является ограниченной сервантной
подгруппой группы G, то G = hei ⊕ A для некоторой подгруппы A группы
G [1, теорема 27.5]. Пусть g ∈ G[ps ]. Определим умножение × на G, задав
e × e = g, e × A = A × e = A × A = 0. Тогда g = e × e ∈ heiAI . Следовательно,
G[ps ] ⊆ heiAI . С другой стороны, так как G[ps ] — абсолютный идеал группы
G, содержащий e, то heiAI ⊆ G[ps ]. Следовательно, heiAI = G[ps ].
Лемма 3. Пусть G — группа, T = T (G). Пусть p ∈ Λ(G), n ∈ N. Тогда
G[pn ] ∼
= B[pn ] ⊕ (T /B)[pn ].
Доказательство. Докажем, что B[pn ] сервантна в группе G[pn ]. Пусть
t ∈ G[pn ] ⊆ T, 0 6= pk t ∈ B[pn ]. Так как подгруппа B сервантна в T , то
существует элемент b1 ∈ B такой, что pk b1 = pk t. Так как pk t 6= 0, то k < n.
Тогда pn b1 = pn−k (pk b1 ) = pn−k (pk t) = pn t = 0. Следовательно, b1 ∈ B[pn ].
Значит, подгруппа B[pn ] сервантна в группе G[pn ]. Так как B[pn ] ограничена,
то по [1, теорема 27.5] B[pn ] выделяется прямым слагаемым в G[pn ], то есть
G[pn ] ∼
= B[pn ] ⊕ G[pn ]/B[pn ] = B[pn ] ⊕ T [pn ]/B[pn ].
(1)
Рассмотрим гомоморфизм ϕ : T [pn ] → (T /B)[pn ], при котором ϕ(t) =
= t + B. Легко видеть, что Kerϕ = B[pn ]. Докажем, что Imϕ = (T /B)[pn ].
Пусть t + B ∈ (T /B)[pn ]. Тогда pn t ∈ B. Так как B сервантна в группе
T , то существует элемент b ∈ B такой, что pn b = pn t. Тогда pn (t − b) = 0.
Пусть a = t − b, тогда a ∈ T [pn ] и ϕ(a) = a + B = t + B. Следовательно,
Imϕ = (T /B)[pn ]. Таким образом,
T [pn ]/B[pn ] ∼
= (T /B)[pn ].
(2)
Из (1) и (2) следует, что G[pn ] ∼
= B[pn ] ⊕ (T /B)[pn ].
Следствие 1. Пусть G — группа, T = T (G) — неограниченная группа.
∞
P
(p)
mk + rp (T /B).
Пусть p ∈ Λ(G), n ∈ N. Тогда |pn−1 (G[pn ])| =
k=n
96
Тхи Тху Тхюи Фам
L n−1 (p)
Доказательство. Из леммы 3 следует, что pn−1 (G[pn ]) ∼
(p
Bk ) ⊕
=
k>n
pn−1 ((T /B)[pn ]). Так как T /B — делимая периодическая группа, то
∞
P
rp (pn−1 ((T /B)[pn ])) = rp (T /B). Следовательно, rp (pn−1 (G[pn ])) =
mk +
k=n
+ rp (T /B) > ℵ0 , так как множество I (p) бесконечно. Тогда pn−1 (G[pn ])
∞
P
— бесконечная ограниченная группа и поэтому |pn−1 (G[pn ])| =
mk +
k=n
+ rp (T /B).
Лемма 4. Пусть G — группа, T = T (G), Tp (G) неограничена и
∞
P
(p)
(p)
rp (T /B) 6
mk для каждого p ∈ Λ(G), n ∈ N. Пусть Zi , i ∈ I (p) —
k=n
конечные подмножества множества I (p) . Тогда существуют семейства
(p)
попарно непересекающихся подмножеств {Ji | i ∈ I (p) } таких, что для
(p)
(p)
(p)
каждого i ∈ I (p) выполняется Ji ⊆ I (p) и Ji ∩ Zi = ∅. При этом для
L
(p)
(p)
(p)
hej i → G[pn ].
каждого i ∈ Ii существует эпиморфизм ϕi :
(p)
j∈Ji
Доказательство. Пусть Tp = Tp (G). По [1, §32] существуют подгруппы
n ∈ N группы Tp такие, что для каждого n ∈ N
(p)
An ,
(p)
(p)
Tp = B1 ⊕ ... ⊕ Bn−1 ⊕ A(p)
n ,
(p)
(p)
(3)
(p)
где An = Bn ⊕ An+1 . Ясно, что
n
(∀n ∈ N) Bn(p) ⊆ A(p)
(4)
n [p ].
L (p)
(p)
Из (3) нетрудно проверить, что
Bk — базисная подгруппа группы An ,
k>n
∞
L
(p)
(p) ∼
при этом An /(
Bk ) = Tp /Bp — делимая группа. По лемме 3 имеем
k=n
∞
∞
∞
L
L
L
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
An [pn ] ∼
Bk [pn ]) ⊕ (An /(
Bk )[pn ] ∼
Bk [pn ]) ⊕ (Tp /Bp )[pn ] ∼
=(
=(
=
k=n
k=n
k=n
∞
∞
L
P
(p)
(p)
(p)
Bk [pn ]) ⊕ (T /B)[pn ]. Так как rp (T /B) 6
mk и mk > ℵ0 в силу
(
k=n
k=n
неограниченности группы Tp , то
n
(∀n ∈ N) |A(p)
n [p ]| = rp (T /B) +
∞
X
(p)
mk =
k=n
(p)
∞
X
(p)
(5)
mk .
k=n
(p)
(p)
(p)
Для каждого n ∈ N обозначим I n = {i ∈ I (p) | si > n}, где psi = o(ei )
∞
P
(p)
(p)
mk > ℵ0 для всех n ∈ N, то индукцией по
(i ∈ I (p) ) . Так как |I n | =
k=n
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
97
n можно доказать, что существуют семейство попарно непересекающихся
∞
P
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
множеств Xn (n ∈ N) таких, что Xn ⊆ I n , |Xn | = |I n | =
mk и
(p)
(p)
|I n+1 \Xn |
(p)
|I n+1 |
=
k=n
∞
P
=
k=n+1
(p)
mk .
(p)
Пусть n ∈ N. Так как |Xn | =
∞
P
k=n
(p)
∞
P
(p)
mk = (
k=n
(p)
(p)
mk )2 = |I n |
∞
P
k=n
(p)
mk , то
(p)
можно разделить Xn на попарно непересекающиеся подмножества Yni , i ∈
∞
P
(p)
(p)
(p)
(p)
mk > ℵ0 . Для каждого i ∈ I n пусть
∈ I n такие, что |Yni | =
k=n
(p)
(p)
(p)
(6)
Jni = Yni \Zi .
(p)
(p)
Так как Yni бесконечно и Zi
конечно, то
(∀n ∈ N)(∀i ∈
(p)
In )
(p)
|Jni |
=
∞
X
(p)
mk .
(7)
k=n
(p)
Пусть i ∈ I (p) . Из (5) и (7) следует, что для каждого n 6 si
биекции
(p)
ϕni
:
(p)
{ej
|j∈
(p)
Jni }
(p)
An [pn ].
→
(p)
(p)
Тогда так как
(p)
(p)
(p)
Jni
⊆
существуют
(p)
Xn
(p)
⊆ I n , то
(p)
(∀n 6 si )(∀j ∈ Jni ) o(ϕni (ej )) 6 pn 6 o(ej ).
(p)
Пусть Ji
L
=
(p)
(p)
(p)
si
(p)
G[p
]=
P
(p)
n6si
[p
(p)
(p)
i
] ⊆
P
(p)
An [pn ]. Так как обратное очевидно, то
(p)
n6si
(p)
(p)
An [pn ]. Поэтому из (8) следует, что отображения ϕni , n 6
(p)
6 si
L
(p)
(p)
Jni . Из (3) и (4) следует, что G[psi ] = Tp [psi ] =
n6si
(p)
(p)
s
Bn ⊕ A
n<si
(p)
si
S
=
(8)
(p)
можно единственным образом продолжить до эпиморфизма ϕi :
(p)
L L (p)
P
(p)
(p)
hej i =
hej i →
An [pn ] = G[psi ]. Кроме того, из (6)
j∈Ji
следует, что
(p)
(p)
n6si j∈Jni
(p)
(p)
Ji ∩ Zi =
(p)
(
S
(p)
n6si
n6si
(p)
Jni )
(p)
∩ Zi
= ∅.
Лемма 5. Пусть G — группа из класса L и T = T (G). Если G является
∞
P
(p)
mk для всех p ∈ Λ(G), n ∈ N.
RAI-группой, то rp (T /B) 6
k=n
Доказательство. Пусть G является RAI-группой, тогда существует
AI-кольцо (G, ×) на группе G. Пусть p ∈ Λ(G), n ∈ N. Так как Tp (G)
(p)
неограничена, то в ней существует p-базисный элемент e = ei0 такой, что
98
Тхи Тху Тхюи Фам
(p)
s = si0 > n. По предложению 2 имеем heiAI = G[ps ]. Так как (G, ×) является
AI-кольцом, то hei× = heiAI . Следовательно,
G[ps ] = hei× .
(9)
Q
Q
Имеем hei× = h e gi | gi ∈ Gi, где e gi — конечное произведение элементов
gi группы G, среди которых есть e, с некоторой расстановкой скобок.
Так как T /Bp является p-делимой группой, то для произвольного
элемента g ∈ G существуют элементы g1 ∈ G, b ∈ Bp такие, что
g = ps g1 + b, поэтому e × g = e × b ∈ Bp × Bp . Следовательно,
Q (p)
Q (p)
hei× = h e ei | i ∈ I (p) i, где
(i ∈ I (p) ) — конечное произведение
e ei
(p)
p-базисных элементов ei
группы G, среди которых есть e, с
некоторой расстановкой скобок. Поэтому нетрудно видеть, что
Q (p) (p)
hps−1 ei× = hps−1 e ei | si > si. Так как подгруппа Tp (G) неограничена,
Q (p)
то множество I (p) бесконечно, и поэтому |hps−1 ei× | = |hps−1 e ei |
∞
P
(p)
(p)
(p)
si > si| 6 |{i ∈ I (p) | si > s}| =
mk . С другой стороны, из (9)
k=s
следует, что
По
∞
P
k=s
hps−1 ei×
следствию
(p)
1
mk + rp (T /B) 6
так как n 6 s.
=
ps−1 (G[ps ]).
имеем
∞
P
k=s
(p)
Следовательно, |ps−1 (G[ps ])| 6
|ps−1 (G[ps ])|
= rp (T /B) +
mk . Следовательно, rp (T /B) 6
∞
P
k=s
∞
P
k=s
∞
P
k=s
(p)
mk ,
(p)
mk 6
(p)
mk .
поэтому
∞
P
k=n
(p)
mk ,
В [3] для каждого элемента g смешанной группы G определяется ω ×
× ω-высотная матрица H(g) = [σpk ]p∈P, k∈N0 такая, что σpk = h∗p (pk g) —
обобщенная высота элемента pk g в группе G. Строку, соответствующую
простому числу p будем называть p-строкой матрицы H(g). Ясно, что
p-строка матрицы H(g) есть p-индикатор Hp (g) элемента g в группе G [1].
Будем говорить, что между σpk и σp,k+1 существует скачок, если σp,k+1 >
> σpk + 1.
Согласно [3] две ω × ω-матрицы [σpk ]p∈P, k∈N0 и [τpk ]p∈P, k∈N0 называются
эквивалентными, если p-строки обеих матриц совпадают для почти всех
простых p, а для каждого из оставшихся p найдутся такие неотрицательные
целые числа l, m (зависящие от p), что выполняется условие σp,k+l =
= τp,k+s для всех k ∈ N0 . Если ранг без кручения группы G равен 1,
то любые два элемента a, b бесконечного порядка линейно зависимы, и
поэтому их высотные матрицы эквивалентны. Следовательно, группе G
ранга без кручения 1 можно сопоставить однозначно определенный класс
эквивалентности матриц, который обозначается через H(G).
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
99
Лемма 6. Пусть G — группа из класса L, p ∈ Λ(G). Пусть g ∈ G
и Hp (g) = (σpk )k∈N0 . Тогда {σpk − k}k∈N0 — неубывающая неограниченная
последовательность.
Доказательство. Пусть n ∈ N. Так как G — группа из класса L, то
группа G/Tp (G) является p-делимой. Поэтому pn | g + tp для некоторого
элемента tp ∈ Tp (G). Тогда pm+n | pm g, где pm = o(t). Следовательно,
h∗p (pm g) = σpm > m + n. Поэтому, σpm − m > n. В силу произвольности числа
n последовательность {σpk − k}k∈N0 неограничена.
Для любого k ∈ N0 имеем σp,k+1 = h∗p (pk+1 g) > h∗p (pk g) + 1 = σpk +
+ 1, поэтому σp,k+1 − (k + 1) > σpk − k. Следовательно, последовательность
{σpk − k}k∈N0 не убывает.
Будем использовать следующие результаты из [4]
Лемма 7 [4]. Пусть G — редуцированная смешанная группа ранга без
кручения 1, G/T (G) является Λ(G)-делимой. Пусть H(G) = [σpk ]p∈P,k∈N0 .
n
Группа ⊗G расщепляется тогда и только тогда, когда H(G) удовлетворяет
следующим условиям:
n
1) для почти всех p ∈ Λ(G) выполняется неравенство σpk −
k > 0 при
n−1
всех k ∈ N0 ;
n
2) lim (σpk − n−1
k) = ∞ для всех p ∈ Λ(G).
k→∞
Для произвольной группы G обозначим TΓ (G) =
L
p∈Γ
Tp (G). Аналогично
теореме 61.3 в [1] можно доказать, что для групп A, C и множества простых
чисел Γ имеем
∼ [TΓ (A) ⊗ TΓ (C)] ⊕ [TΓ (A) ⊗ A/TΓ (A)] ⊕ [C/TΓ (C)] ⊗ TΓ (C);
TΓ (A ⊗ C) =
(A ⊗ C)/TΓ (A ⊗ C) ∼
= (A/TΓ (A)) ⊗ (C/TΓ (C)).
Индукцией по n нетрудно доказать следующую лемму:
Лемма 8. Пусть G — редуцированная смешанная группа, G/T (G)
n
n
N
N
является Λ(G)-делимой. Для n ∈ N имеем TΓ ( G) ∼
TΓ (G) и
=
n
n
n
N
N
N
( G)/TΓ ( G) ∼
= (G/TΓ (G)).
Лемма 9. Пусть G — редуцированная смешанная группа ранга без
кручения 1, G/T (G) является Λ(G)-делимой. Если существует простое
число p ∈ Λ(G) такое, что Hp (G) не содержит ∞, то G × G ⊆ T (G) для
любого умножения × на группе G.
Доказательство. Пусть p ∈ Λ(G) и Hp (G) не содержит ∞. Допустим,
что G × G * T (G). Тогда существует элементы a, b ∈ G\T (G) такие, что
c = a × b 6∈ T (G).
(10)
100
Тхи Тху Тхюи Фам
Так как G — группа ранга без кручения 1, то существуют x, y, z ∈ Z такие,
что xa = yb = zc. Из (10) следует, что xyz 2 c = (zxa) × (zyb) = z 2 c × z 2 c. Пусть
g = z 2 c и xy = upr , (u, p) = 1, r ∈ N0 . Тогда
g × g = xyg = upr g.
(11)
Пусть Hp (g) = (σpk )k∈N0 . Так как G — группа из класса L, то из леммы 6
следует, что существует r ∈ N такое, что σpk − k > r + 1. Пусть n = k + r + 1,
тогда
σpk > n.
(12)
Пусть i > n − 1 = k + r. Имеем pi−n+1 g × pk g = pi−(k+r) g × pk g = pi−r (g ×
× g) = pi−r (upr g) = upi g в силу (11). Так как (u, p) = 1, то отсюда следует,
что σpi > σp,i−n+1 + σpk > σp,i−(n−1) + n в силу (12). Индукцией по s
i
i
получим, что σpi > σp,i−s(n−1) + sn для всех s 6 n−1
. Тогда при s = [ n−1
]
i
i
i
имеем σpi > σp,i−[ i ](n−1) + [ n−1 ]n > [ n−1 ]n > ( n−1 − 1)n. Следовательно,
σpi −
−
n+1
n i
n
n−1 )
n−1
i
> ( n−1
− 1)n −
n+1
n i
=
= ∞, то
lim (σpi −
i→∞
1
n(n−1) i
−
n
n−1 .
n+1
i) = ∞.
n
Пусть G = G/TΛ(G)\{p} (G), где TΛ(G)\{p} (G) =
1
Так как lim ( n(n−1)
i−
i→∞
(13)
L
Tq (G). Легко видеть,
q6=p
что T (G) ∼
= Tp (G) и Hp (G) = Hp (G) = (σpi )i∈N0 . Поэтому из (13) следует,
n
N
что группа
G расщепляется в силу теоремы 7. С другой стороны,
n
n
n
n
n
N
N
N
N
N
G∼
= ( G)/ (TΛ(G)\{p} (G)) ∼
= ( G)/TΛ(G)\{p} ( G) в силу леммы 8.
n
n
N
N
Следовательно, группа ( G)/TΛ(G)\{p} ( G) расщепляется, то есть
n
n
n
n
O
O
O
O
(
G)/TΛ(G)\{p} (
G) = T (
G)/TΛ(G)\{p} (
G) ⊕ A
(14)
n
n
N
N
для некоторой подгруппы без кручения A группы ( G)/TΛ(G)\{p} ( G).
n
n
n
n
N
N
N
N
Так как T ( G) = TΛ(G)\{p} ( G) ⊕ Tp ( G), то из (14) следует, что
G=
n
n
N
N
= Tp ( G) + A и кроме того, Tp ( G) ∩ A = 0, где A — прообраз группы A
при естественном эпиморфизме. Значит
n
O
n
O
G = Tp (
G) ⊕ A,
(15)
n
n
n
N
N
N
где A ∼
= (G/Tp (G)) — p-делимая группа.
= ( G)/Tp ( G) ∼
n
N
G → G, где µ(g1 ⊗ ... ⊗ gn ) = ((g1 × g2 ) ×
Рассмотрим гомоморфизм µ :
× g3 ) × ...) × gn для всех g1 , ..., gn ∈ G. Так как Hp (G) не содержит ∞,
то максимальная p-делимая подгруппа группы G не содержит элементов
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
101
бесконечного порядка. Так как A является p-делимой группой, то µ(A)
является p-делимой подгруппой группы G. Следовательно, µ(A) ⊆ T (G).
n
n
N
N
Очевидно, µ(Tp ( G)) ⊆ T (G). Поэтому из (15) следует, что µ( G) ⊆ T (G).
Следовательно, g n = ((g × g) × g)... × g ∈ T (G). В силу (11) имеем g n =
= (xy)n g, значит g ∈ T (G), что противоречит выбору элемента g. Таким
образом, G × G ⊆ T (G) для любого умножения × на группе G.
Лемма 10. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 и H(G) =
= [σpk ]p∈P,k∈N0 . Пусть существует бесконечно много простых чисел p, для
каждого из которых существует np ∈ N0 такое, что np < σpnp ∈ Z. Тогда
G × G ⊆ T (G) для любого умножения × на группе G.
Доказательство. Пусть (G, ×) — кольцо на G. Допустим, что G × G *
T (G). Тогда существуют элементы a, b ∈ G\T (G) такие, что a × b 6∈ T (G).
Так как G — группа ранга без кручения 1, то существуют x, y ∈ Z такие, что
xa = yb. Пусть g = xa = yb. Тогда g 6∈ T (G) и g × g = xa × yb = xy(a × b) 6∈
6∈ T (G).
Пусть H(g) = [σpn ]p∈P, n∈N0 и X — множество всех простых чисел p, для
которого существует np ∈ N0 такое, что np < σpnp ∈ Z. По условию множество
X бесконечно. Пусть p ∈ X. Так как h∗p (pnp g) = σpnp ∈ Z, то существует
элемент a ∈ G такой, что pnp g = pσpnp a. Тогда pnp (g − pσpnp −np a) = 0.
Пусть t = g − pσpnp −np a, тогда g = t + pσpnp −np a и pnp t = 0. Откуда pnp g ×
× g = pnp (t + pσpnp −np a) × (t + pσpnp −np a) = p2σpnp −np a × a. Следовательно,
h∗p (pnp g × g) > 2σpnp − np = σpnp + (σpnp − np ) > σpnp , так как σpnp ∈ Z.
Значит, h∗p (pnp g × g) > h∗p (pnp g). Следовательно, Hp (g × g) 6= Hp (g) для всех
p ∈ X. Так как множество X бесконечно, то матрицы H(g × g) и H(g) не
эквивалентны, что противоречит тому, что G — группа ранга без кручения
1. Таким образом, G × G ⊆ T (G) для любого умножения × на группе G.
Будем говорить, что матрица H(g) = (σpn )p∈P,n∈N удовлетворяет условию
(∗∗), если σpn = n или σpn = ∞ для всех p ∈ P, n ∈ N0 . Ясно, что в
этом случае, каждая строка матрицы H(g) имеет один из трех видов
( 0 1 2 ... n ∞ ... ), ( 0 1 2 3 ... ), ( ∞ ∞ ... ). Пусть G —
смешанная группа ранга без кручения 1. Будем говорить, что матрица
H(G) удовлетворяет условию (∗∗), если существует g ∈ G такой, что H(g)
удовлетворяет условию (∗∗).
Лемма 11. Пусть G — редуцированная смешанная группа и G/T (G)
является Λ(G)-делимой. Если матрица H(G) не удовлетворяет условию
(∗∗), то G × G ⊆ T (G) для любого умножения × на группе G.
Доказательство. Нетрудно проверить, что если матрица H(G) не
удовлетворяет условию (∗∗), то выполняется по крайней мере одно из
следующих условий:
i) существует p-строка, содержащая бесконечные элементы, но не
содержащая ∞,
102
Тхи Тху Тхюи Фам
ii) существует p-строка, содержащая только целые числа и бесконечно много
скачков,
iii) существует бесконечно много p-строк, для каждой из которых существует
целое число σpnp > np такое, что σpnp ∈ Z.
Если выполняется условие i) или ii), то p ∈ Λ(G) [4, лемма 1] и p-строка не
содержит ∞. В силу лемм 9 и 10 имеем G × G ⊆ T (G) для любого умножения
× на группе G.
Известно, что редуцированная алгебраически
компактная группа G
Q
однозначно представима в виде G =
Gp , где для каждого простого p
p
группа G является редуцированной p-адической алгебраически компактной
Q
группой. Более того, в любом кольце на группе G разложение G = Gp
p
является также разложением данного кольца в прямое произведение
идеалов [6]. Поэтому любое кольцо на G полностью определяется
умножениями на ее p-адических компонентах Gp .
Пусть G — редуцированная p-адическая алгебраически компактная
группа. Набор элементов {gi }i∈I группы G называется почти конечным,
если не более, чем счетное число gi (i ∈ I) отлично от нуля и для
любого натурального числа n почти все gi делятся на pn . Если {gi }i∈I
— почти конечный набор элементов группы G и {gik }k∈N — все
ненулевые элементы этого набора, то последовательность частичных сумм
n
P
gik является последовательностью Коши в p-адической топологии
k=1
на группе G, эта последовательность имеет предел в группе G [1],
∼
P
который обозначается
i∈I gi . Известно, что редуцированная p-адическая
алгебраически компактная группа G является регулярной прямой суммой
∼
P
∗
i∈I Qp ei циклических p-адических модулей, то есть подгруппой прямого
∼
Q ∗
P
произведения
Qp ei , состоящей из элементов g =
ui ei ({ui ei }i∈I — почти
i∈I
i∈I
Q ∗
конечный набор элементов в группе
Qp ei ) [5].
i∈I
∼
P
∗ (p)
i∈I (p) Qp ei
— p-адическая алгебраически
∼
P
(p) (p)
∈ G. Тогда
компактная группа и T = T (G). Пусть g =
i∈I (p) ui ei
(p)
P (p)
s
T (Hp (g)) ⊆
ui G[p i ].
Лемма 12. Пусть G =
i∈I (p)
Доказательство. Пусть 0 6= t ∈ T (Hp (g)). Пусть Hp (g) = (σpk )k∈N0 и
Hp (t) = (τpk )k∈N0 . Тогда
(∀k ∈ N0 ) τpk > σpk .
Более того, так как группа T сепарабельна, то Hp (t) имеет вид
Hp (t) = ( τp0
τp1
... τpn
∞ ... ),
(16)
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
103
где n ∈ N, τp0 , τp1 , ..., τpn ∈ Z. Поэтому нетрудно видеть, что Hp (t) =
n
T
wr , где wr = ( τpr − r τpr − r + 1 ... τpr ∞ ... ) и ∩ означает
=
r=0
покомпонентное взятие минимума. Поэтому T (Hp (t)) =
Так как t ∈ T (Hp (t)), то t =
что wr > ( σpr − r
n
P
r=0
n
P
r=0
T (wr ) [1, §67].
tr , где Hp (tr ) > wr , 0 6 r 6 n. Из (16) следует,
σpr − r + 1 ... σpr
(∀0 6 r 6 n) Hp (tr ) > ( σpr − r
∞ ... ), 0 6 r 6 n. Поэтому
σpr − r + 1 ... σpr
∞ ... ).
(17)
∼
P
r (p) (p)
(p)
Пусть 0 6 r 6 n. Так как pr g =
i∈I (p) p ui ei , то существует ir ∈ I
такой, что
(p) (p)
h∗p (pr uir eir ) = h∗p (pr g) = σpr .
(18)
(p) (p)
Следовательно, h∗p (uir eir ) = σpr − r. Поэтому
(p)
uir = pσpr −r z,
(19)
(z, p) = 1.
(p)
Из (17) следует, что pσpr −r | tr . Поэтому из (19) следует, что uir | tr , то есть
(p)
tr = uir xr = pσpr −r zxr
(20)
(p)
для некоторого элемента xr ∈ T . Покажем, что o(xr ) 6 psir . Так как σpr 6=
(p) (p)
(p)
(p)
6= ∞, то из (18) и (19) следует, что 0 6= pr uir eir = pr (pσpr −r z)eir = pσpr zeir .
Значит,
(p)
(p)
psir = o(eir ) > pσpr +1 .
(21)
Из (20) следует, что pr+1 tr = pσpr +1 zxr . Следовательно, h∗p (pσpr +1 xr ) =
= h∗p (pr+1 tr ) = ∞ в силу (17). Следовательно, pσpr +1 xr = 0, так как группа
(p)
T редуцирована. Поэтому из (21) следует, что psir xr = 0, значит,
(p)
xr ∈ G[psir ].
(p)
(22)
(p)
Из (20) и (22) следует, что tr ∈ uir (G[psir ]). Поэтому, t =
∈
n
P
r=0
⊆
(p)
(p)
uir (G[psir ]) ⊆
P
i∈I (p)
(p)
P
i∈I (p)
(p)
(p)
ui (G[psi ]).
Следовательно,
n
P
r=0
tr ∈
T (Hp (g)) ⊆
(p)
ui (G[psi ]).
В теоремах 13 и 16 через Bp =
L
i∈I (p)
(p)
hei i (p ∈ P) обозначается p-базисная
подгруппа группы G. Отметим, что если G — группа из класса L, то для всех
104
Тхи Тху Тхюи Фам
p ∈ Λ(G) группа G/T (G) является p-делимой, и поэтому нетрудно проверить,
(p)
что p-базисные подгруппы групп G и T (G) совпадают. Очевидно, o(ei ) = ∞
для всех p 6∈ Λ(G).
Лемма 13. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса
L, матрица H(G) которой не удовлетворяет условию (∗∗), T = T (G). Если
∞
P
(p)
rp (T /B) 6
mk для всех p ∈ Λ(G), n ∈ N, то G является RAI-группой.
k=n
Доказательство. Группу G будем рассматривать как сервантную
b
подгруппу своей сервантно-инъективной оболочки G∗ . Имеем G∗ = D ⊕ G,
Q b
1
b
b
где D — делимая оболочка группы G и G =
Bp , где Bp — пополнение
p∈P
Q b
Bp и
группы Bp в p-адической топологии [1, §41]. Пусть S = D ⊕
Q
C=
p6∈Λ(G)
bp . Тогда
B
p∈Λ(G)
G∗ = S ⊕ C.
(23)
Любой элемент g ∈ G∗ представляется в виде g = a + c, где a ∈ S, c =
∼
P
(p) (p)
(p)
∈ Q∗p . Фиксируем произвольный
= (cp )p∈Λ(G) , cp =
i∈I (p) ki ei ∈ Bp , ki
элемент g0 ∈ G\T . Пусть
∼
X
(p) (p)
g0 = a0 + c0 = a0 + (
i∈I (p) ki ei )p∈Λ(G) ,
(p) (p)
6= 0}, тогда
∼
P
(p) (p)
(p) (c )
0
i∈I (p) ki ei )p∈Λ(G) ∈ C. Пусть I
|I (p) (c0 )| 6 ℵ0 для каждого p ∈ Λ(G).
(p)
где a0 ∈ A, c0 = (
ki ei
Для каждого i ∈ I
(p)
Zi
(24)
= {i ∈ I (p) |
обозначим
(p) (p)
(p) (p)
(p)
= {j ∈ I (p) (c0 ) | h∗p (kj ej ) < h∗p (ki ei ) + si }.
(25)
(p)
Так как {kj }j∈I (p) (c0 ) — почти конечный набор целых p-адических чисел, то
(p)
Zi — конечное множество для всех i ∈ I (p) . Поэтому по лемме 4 существует
(p)
(p)
семейство {Ji | i ∈ I (p) } попарно непересекающихся подмножеств Ji ⊆
(p)
(p)
⊆ I (p) таких, что Ji ∩ Zi = ∅, причем для каждого i ∈ I (p) существует
(p)
L (p)
(p)
эпиморфизм ϕi :
hej i → G[psi ]. Поэтому, из (25) следует, что
(p)
j∈Ji
(p)
(∀ j ∈ Ji
(p) (p)
(p) (p)
(p)
∩ I (p) (c0 )) h∗p (kj ej ) > h∗p (ki ei ) + si .
(26)
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
(p)
(p)
(p)
(p)
105
(p)
Так как ϕi — эпиморфизм, то o(ϕi (ej )) 6 o(ej ) для всех j ∈ Ji .
Согласно [1, теорема 120.1] можно определить умножение × на T (G), задав
произведения p-базисных элементов таким образом:
(
(p) (p)
(p)
ϕi (ej ), если j ∈ Ji ,
(p)
(p)
ei × ej =
(p)
0,
если j 6∈ Ji .
Это умножение однозначно продолжается до умножения на C = Tb [1, теорема
119.3]. Положив S × C = C × S = S × S = 0, получим умножение на G∗ .
Докажем, что G является подкольцом кольца (G∗ , ×). Пусть g1 , g2 ∈ G.
Покажем, что g1 × g2 ∈ T . Рассмотрим случай, когда g1 ∈ T , o(g1 ) = n. Так
как G/T — p-делима для всех p ∈ Λ(G), то n | g2 − t2 для некоторого элемента
t2 ∈ T , откуда g1 × (g2 − t2 ) = 0. Следовательно, g1 × g2 = g1 × t2 ∈ T × T =
= B × B ⊆ G по построению умножения ×. Аналогично, если g2 ∈ T , то
g1 × g2 ∈ G. Таким образом,
T × G, G × T ⊆ G.
(27)
Пусть теперь g1 , g2 ∈ G\T (G) и
∼
X
(p) (p)
g1 = a1 + c1 = a1 + (up )p∈Λ(G) = a1 + (
i∈I (p) ui ei )p∈Λ(G) ,
g2 = a2 + c2 = a2 + (vp )p∈Λ(G) = a2 + (
∼
X
(p) (p)
i∈I (p) vi ei )p∈Λ(G) ,
(28)
(29)
∼
∼
P
(p) (p)
bp и vp = P (p) v (p) e(p) ∈ B
bp . Так как G
где a1 , a2 ∈ A, up = i∈I (p) ui ei ∈ B
i∈I
i
i
— группа ранга без кручения 1, то существуют целые числа n1 , n2 , n0 такие,
что n1 g1 = n2 g2 = n0 g0 . Тогда из (24), (28) и (29) следует
(p) (p)
(∀p ∈ Λ(G)) (∀i ∈ I (p) ) n1 ui ei
(p) (p)
= n 2 v i ei
(p) (p)
= n0 ki ei .
(30)
Для каждого p ∈ Λ(G) пусть
(p) (p)
Xp = {i ∈ I (p) (c0 ) | n0 ki ei
6= 0}.
(31)
∼
P
Представим c1 , c2 в виде c1 = x1 + t1 , c2 = x2 + t2 , где x1 = (
∼
∼
P
P
(p) (p)
(p) (p)
(p) (p)
∼ i∈Xp ui ei )p∈Λ(G) , t1 = ( i6∈Xp ui ei )p∈Λ(G) , x2 = ( i∈Xp vi ei )p∈Λ(G) ,
∼
P
(p) (p)
t2 = ( i6∈Xp vi ei )p∈Λ(G) . Тогда
g1 × g2 = c1 × c2 = t1 × t2 + x1 × t2 + t1 × x2 + x1 × x2 .
(p) (p)
(p) (p)
(32)
(p) (p)
В силу (30) и (31) имеем n1 ui ei = n2 vi ei = n0 ki ei = 0 для всех i 6∈
6∈ Xp . Поэтому, n1 t1 = n2 t2 = 0. Поэтому в силу (27) имеем
t1 × x2 + x1 × t2 + t1 × t2 ∈ T.
(33)
106
Тхи Тху Тхюи Фам
∼
P
(p) (p) (p)
Покажем, что x1 × x2 = 0. Имеем x1 × x2 = ( i,j∈Xp ui vj ei ×
(p)
× ej )p∈Λ(G) . Пусть i, j ∈ Xp ⊆ I (p) (c0 ).
(p)
(p)
(p)
i) Если j 6∈ Ji , то ei × ej
ii) Пусть j ∈
(p)
Ji .
= 0.
Так как i, j ∈ Xp , то из (30) имеем
(p) (p)
n 2 v i ei
(p) (p)
= n 0 ki ei
(p) (p)
6= 0 и n2 vj ej
(p) (p)
= n0 kj ej
6= 0.
(34)
Если n0 = pr0 w0 , n2 = pr2 w2 , где (w0 , p) = (w2 , p) = 1 и r0 , r2 ∈ N0 , то
(p) (p)
(p) (p)
(p) (p)
из (34) следует, что h∗p (vi ei ) + r2 = h∗p (ki ei ) + r0 и h∗p (vj ej ) + r2 =
(p) (p)
(p) (p)
(p) (p)
(p) (p)
= h∗p (kj ej ) + r0 , откуда h∗p (vj ej ) = h∗p (kj ej ) + r0 − r2 = h∗p (kj ej ) +
(p) (p)
(p) (p)
+ h∗p (vi ei ) − h∗p (ki ei ) и поэтому
(p) (p)
(p) (p)
(p) (p)
h∗p (vj ej ) > h∗p (kj ej ) − h∗p (ki ei ).
(p)
Так как j ∈ Ji
(p) (p)
(p)
∩ Xp ⊆ Ji
(35)
(p) (p)
∩ I (p) (c0 ), то по (26) имеем h∗p (kj ej ) >
(p)
(p) (p)
(p)
> h∗p (ki ei ) + si . Из этого и (35) следует, что h∗p (vj ej ) > si .
(p) (p) (p)
(p)
(p) (p) (p)
ui vj ei
(p)
ej
Следовательно, ui vj ei × ej
Таким образом,
×
= 0.
= 0 для всех i, j ∈ Xp , откуда
x1 × x2 = 0.
(36)
Из (32) (33) и (36) следует, что g1 × g2 ∈ T (G). Таким образом, G × G ⊆ T (G),
значит G является подкольцом кольцо (G∗ , ×).
∼
P
Покажем, что (G, ×) — AI-кольцо. Пусть g = a + (cp )p∈Λ(G) = a + (
∼
P
(p) (p)
(p) (p)
b
∼ i∈I (p) ui ei )P
p∈Λ(G) , где a ∈ A, cp =
i∈I (p) ui ei ∈ Bp . Пусть t ∈ T (H(g)),
причем t =
tp , tp ∈ Tp (G). Пусть p ∈ Λ(G). Тогда Hp (tp ) > Hp (cp ). По
p∈Λ(G)
лемме 12 имеем tp ∈
P
i∈I (p)
(p)
(p)
ui G[psi ], то есть
tp =
n
X
(p)
uir xr
(37)
r=0
(p)
для некоторых ir ∈ I (p) , xr ∈ G[psir ]. Пусть x =
(p)
(ϕi )−1 (xr )
понимается
любой
элемент
n
P
(p)
(ϕir )−1 (xr ) (под
r=0
(p)
ej (j ∈ Ji ) такой, что
n
P
(p)
(p) (p)
(p)
ϕi (ej ) = xr ). Тогда g × x = cp × x =
[uir eir × (ϕir )−1 (xr )] =
r=0
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
107
n
P
(p) (p)
(p)
(p)
[uir ϕir ((ϕir )−1 (xr ))] =
uir xr = tp в силу (37). Следовательно,
r=0
P r=0
tp ∈ g × G. Поэтому t =
tp ∈ g × G. Таким образом,
=
n
P
p∈Λ(G)
T (H(g)) ⊆ g × G ⊆ hgi× .
(38)
С другой стороны, так как H(G) не удовлетворяет условию (∗∗), то из
леммы 11 следует, что M (G)(g) ⊆ T (H(g)). Следовательно, hgiAI = hgi +
+ T (H(G)) ⊆ hgi× в силу (38). Так как обратное включение очевидно, то
hgi× ⊆ hgiAI . Следовательно, (G, ×) является AI-кольцом по предложению 1.
Таким образом, G является RAI-группой.
Лемма 14. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса
L, матрица H(G) которой удовлетворяет условию (∗∗). Пусть p ∈ Λ(G).
Тогда G = Tp (G) ⊕ G(p) , где G(p) — максимальная p-делимая подгруппа
группы G.
Доказательство. Так как H(G) удовлетворяет условию (∗∗), то
найдется элемент a ∈ G\T (G) с высотной матрицей H(a) = [σpn ]p∈P, n∈N0
такой, что σpn = n или σpn = ∞ для всех p ∈ P, n ∈ N0 . Пусть p ∈ Λ.
Допустим, что σpn = n для всех n ∈ N0 , тогда последовательность
{σpn − n}n∈N0 ограничена, что противоречит лемме 6. Следовательно, Hp (a)
содержит ∞. Более того, так как G является группой ранга без кручения
1, то Hp (g) содержит ∞ для всех g ∈ G\T (G). Очевидно Hp (t) содержит ∞
для всех t ∈ T (G). Поэтому, Hp (g) содержит ∞ для всех g ∈ G.
Пусть g ∈ G. Тогда h∗p (pn g) = ∞ для некоторого n ∈ N0 . Поэтому
существует элемент c ∈ Gp такой, что pn c = pn g. Следовательно, pn (g −
− c) = 0. Тогда g = t + c, где t = g − c ∈ Tp (G). Поэтому, g ∈ Tp (G) + G(p) ,
значит G = Tp (G) + G(p) . Более того, так как группа Tp (G) редуцирована, то
G(p) ∩ Tp (G) = 0. Следовательно, G = Tp (G) ⊕ G(p) .
Лемма 15. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1. Если
p 6∈ Λ(G) и h∗p (g) = ∞ для некоторого элемента g ∈ G\T (G), то группа G
является p-делимой.
Доказательство. Пусть p 6∈ Λ(G) и a ∈ G. Если a ∈ T (G), то (p, o(a)) =
= 1, поэтому p | a. Если a 6∈ T (G), то существуют ненулевые целые числа
m, n такие, что ma = ng. Поэтому h∗p (ma) = h∗p (ng) = ∞. Пусть m = pr u, r ∈
∈ N0 , (u, p) = 1. Тогда h∗p (pr a) = ∞ и поэтому pr+1 | pr a. Следовательно,
pr a = pr+1 x для некоторого элемента x ∈ G, откуда pr (a − px) = 0. Так как
Tp (G) = 0, то a = px. Таким образом, p | a для любого элемента a ∈ G, значит
группа G является p-делимой.
Лемма 16. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса
L, матрица H(G) которой удовлетворяет условию (∗∗), T = T (G). Если
∞
P
(p)
mk для всех p ∈ Λ(G), n ∈ N, то G является RAI-группой.
rp (T /B) 6
k=n
108
Тхи Тху Тхюи Фам
Доказательство. Группу G будем рассматривать как сервантную
b
подгруппу своей сервантно-инъективной оболочки G∗ . Имеем G∗ = D ⊕ G,
1
b
где D — делимая оболочка группы G и G — пополнение группы G в своей
b= QB
bp [1, §§ 39, 40].
p-адической топологии [1, теорема 41.9]. Имеем G
p∈P
Так как H(G) удовлетворяет условию (∗∗), то найдется элемент
a ∈ G\T (G) такой, что каждый p-индикатор имеет вид Hp (a) =
= (0 1 2 ... np ∞ ... ) или Hp (a) = (0 1 2 3 4 ... ) или
Hp (a) = (∞ ∞ ... ).
b ). Пусть Pa = {p ∈ P | ap 6= 0}.
Пусть a = d0 + (ap )p∈P (d0 ∈ D, ap ∈ B
Qb p
b
Пусть p ∈ Pa . Так как группа G =
Bp редуцирована, то h∗p (ap ) 6= ∞,
p
поэтому, Hp (ap ) = Hp (a) = (0 1 2 ... np ∞ ... ) или Hp (ap ) = Hp (a) =
= (0 1 2 3 4 ... ). Тогда нетрудно видеть, что из pk | pn ap следует,
что k 6 n или pn ap = 0, значит система, состоящая из одного элемента ap ,
(p)
является p-независимой [1]. Следовательно, существует p-базис {ei }i∈I (p)
(p)
группы G такой, что ap = eip для некоторого ip ∈ I (p) [1]. В этих p-базисах
(p ∈ P) элемент a имеет вид
(p)
(39)
a = d0 + (eip )p∈Pa .
Так как rp (T /B) 6
∞
P
(p)
k=n
mk
для всех p ∈ Λ(G) и n ∈ N, то по
(p)
лемме 4 существует семейство {Ji | i ∈ I (p) } попарно непересекающихся
(p)
(p)
подмножеств Ji ⊆ I (p) такие, что ip ∈
6 Ji , причем для каждого i ∈ I (p)
L (p)
(p)
hej i → G[pn ].
существует эпиморфизмы ϕi :
(p)
j∈Ji
Известно,
что
если
(p)
τij
b
— элементы группы Bp такие, что
(p)
(p)
6 min(o(ei ), o(ei )), то существует единственное умножение × на
(p)
(p)
(p)
(p)
при котором ei × ej = τij [6]. Так как ϕi , i ∈ I (p) — эпиморфизмы,
(p) (p)
(p)
(p)
o(ϕi (ej )) 6 o(ej ) для всех j ∈ Ji . Поэтому можно определить
(p)
o(τij )
b
G,
то
b положив
умножение × на группе G,
 (p)

если p ∈ Pa и i = j = ip ;
eip ,
(p)
(p)
(p)
(p)
ei × ej = ϕi (ej ), если p ∈ Λ(G) и j ∈ Ji(p) ;


0,
в остальных случаях.
b следующим образом:
Это умножение продолжим на группу G∗ = D ⊕ G
b=G
b × D = 0,
i) если d0 = 0, то положим D × D = D × G
ii) если d0 6= 0, то так как G — группа ранга без кручения 1 и первая
ульмовская подгруппа (T (G))1 = 0, то D = Qd0 . Положим r1 d0 × r2 d0 =
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
109
b=G
b × D = 0.
= r1 r2 d0 для r1 , r2 ∈ Q и D × G
Нетрудно проверить, что в любом случае имеем d0 × d0 = d0 .
Покажем, что G — подкольцо кольца (G∗ , ×). Из построения умножения
× ясно, что T × T = B × B ⊆ G. Так как G/T является p-делимой для всех
p ∈ Λ, то
G × T = T × G = T × T ⊆ T.
(40)
Пусть g1 , g2 ∈ G\T (G). Так как G — группа ранга без кручения 1, то
существуют ненулевые целые числа n1 , n2 , m1 , m2 такие, что
n1 g1 = m1 a и n2 g2 = m2 a,
(41)
причем так как Tp (G) = 0 для всех p 6∈ Λ(G), то n1 , m1 и n2 , m2 можно
выбрать так, чтобы
(∀p 6∈ Λ(G)) p - (n1 , m1 ) и p - (n2 , m2 ).
(42)
Пусть Γ = {p ∈ Λ(G) | p | n1 n2 }. Так как множество Γ конечно, то из
леммы 14 следует, что
G = TΓ (G) ⊕ G(Γ) ,
(43)
L
где TΓ (G) =
Tp (G) и G(Γ) — максимальная Γ-делимая подгруппа группы
p∈Γ
L b
Q b
G. Ясно, что TΓ (G) ⊆
Bp и так как D ⊕
Bp — максимальная Γ-делимая
p∈Γ
p6∈Γ
Q b
подгруппа группы G∗ , то G(Γ) ⊆ D ⊕
Bp . Поэтому разложение (43) также
p6∈Γ
является разложением группы G как подгруппы группы G∗ в разложении
M
Y
bp ).
bp ) ⊕ (D ⊕
B
(44)
G∗ = (
B
p∈Γ
p6∈Γ
L b
Пусть g1 = t1 + c1 , g2 = t2 + c2 , где t1 , t2 ∈ TΓ (G) ⊆
Bp , c1 , c2 ∈ G(Γ) ⊆
p∈Γ
Q b
L b
Q b
⊆D⊕
Bp . Так как
Bp и D ⊕
Bp — вполне характеристические
p∈Γ
p6∈Γ
p6∈Γ
подгруппы группы G, то
g1 × g2 = t1 × t2 + c1 × c2 .
(45)
t1 × t2 ∈ G.
(46)
Из (40) следует, что
Покажем, что c1 × c2 ∈ G. Пусть a = t0 + c0 , где t0 ∈ TΓ (G), c0 ∈ G(Γ) . Так как
Q b
c0 также является проекцией элемента a на D ⊕
Bp в разложении (44),
p6∈Γ
поэтому c0 = d0 +
(p)
(eip )p∈Pa \Γ .
Нетрудно проверить, что c0 × c0 = c0 . Из (41)
110
Тхи Тху Тхюи Фам
следует, что n1 c1 = m1 c0 и n2 c2 = m2 c0 . Поэтому n1 n2 (c1 × c2 ) = (n1 c1 ) ×
× (n2 c2 ) = (m1 c0 ) × (m2 c0 ) = m1 m2 (c0 × c0 ) = m1 m2 c0 . Следовательно,
n1 n2 (c1 × c2 ) ∈ G(Γ) .
(47)
Покажем, что группа G(Γ) является p-делимой для всех p | n1 n2 . Не теряя
общности можно считать, что p | n1 . Возможны два случая:
i) Если p ∈ Λ(G), то p ∈ Γ и поэтому G(Γ) — p-делимая группа.
ii) Пусть p 6∈ Λ(G). Так как p | n1 , то p - m1 в силу (42). Следовательно,
h∗p (a) = h∗p (m1 a) = h∗p (n1 g1 ) > 0 в силу (41). Так как H(a) удовлетворяет
условию (∗∗), то h∗p (a) = ∞. Поэтому G является p-делимой по лемме 15.
Следовательно, G(Γ) — p-делимая группа.
Таким образом, группа G(Γ) является p-делимой для всех p | n1 n2 .
Поэтому из (47) следует, что n1 n2 (c1 × c2 ) = n1 n2 x для некоторого x ∈ G(Γ) .
Тогда
n1 n2 (c1 × c2 − x) = 0.
(48)
Q b
Q b
Так как c1 , c2 , x ∈ G(Γ) ⊆ D ⊕
Bp , то c1 × c2 − x ∈ D ⊕
Bp . Так как
p6∈Γ
p6∈Γ
Q b
Q b
Tp (D ⊕
Bp ) = 0 для всех p ∈ Γ = {p ∈ Λ | p | n1 n2 }, то Tp (D ⊕
Bp ) = 0
p6∈Γ
p6∈Γ
для всех p | n1 n2 . Поэтому из (48) следует, что c1 × c2 − x = 0. Значит,
c1 × c2 = x ∈ G(Γ) ⊆ G.
(49)
Из (45), (46) и (49) следует, что g1 × g2 ∈ G.
Покажем, что (G, ×) является AI-кольцом. Пусть g ∈ G, h ∈ G(H(g)).
Так как G — смешанная группа ранга без кручения 1, то существуют целые
числа n1 , n2 , n0 такие, что
n1 g = n2 h = n0 a,
(50)
причем n1 , n2 , n0 можно выбрать так, чтобы
(∀p 6∈ Λ) p - (n1 , n2 , n0 ).
(51)
Пусть Γ = {p ∈ Λ(G) | p | n2 }. Пусть p ∈ Γ. Из леммы 14 следует, что G =
= TΓ (G) ⊕ G(Γ) , где G(Γ) — максимальная Γ-делимая подгруппа группы G.
Пусть
X
g=
gp + c1 ,
p∈Γ
h=
X
p∈Γ
hp + c2 ,
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
111
где gp , hp ∈ Tp (G), p ∈ Γ и c1 , c2 ∈ G(Γ) . Пусть p ∈ Γ. Так как H(h) > H(g),
∼
P
(p) (p)
то Hp (hp ) > Hp (gp ). Пусть gp =
i∈I (p) ui ei . По лемме 12 имеем hp ∈
(p)
P (p)
∈
ui G[psi ], то есть существуют i0 , ..., in ∈ Ip такие, что
i∈Ip
hp =
n
X
(p)
uir xr(p)
(52)
r=0
для
(p)
некоторых
xr
g × xp = gp × xp =
n
P
=
r=0
n
P
(p)
∈ G[psir ].
(p) (p)
(p)
Пусть
xp =
(p)
[uir eir × (ϕir )−1 (xr )] =
r=0
n
P
(p)
(p)
(ϕir )−1 (xr ).
Тогда
r=0
n
P
(p) (p)
(p)
(p)
[uir ϕir ((ϕir )−1 (xr ))]
r=0
=
(p) (p)
uir xr = hp в силу (52). Следовательно,
(53)
(∀p ∈ Γ) hp = g × xp ∈ g × G.
Пусть a =
P
p∈Γ
ap + c0 , где ap ∈ Tp (G), c0 ∈ G(Γ) . Из (50) следует, что
n1 c1 = n2 c2 = n0 c0 .
Так как c0 также является проекцией элемента a на D ⊕
(54)
Q b
Bp в разложении
p6∈Γ
G∗
L b
Q b
(p)
=(
Bp ) ⊕ (D ⊕
Bp ), то c0 = d0 + (eip )p∈Pa \Γ . Нетрудно проверить,
p∈Γ
p6∈Γ
что c0 × c0 = c0 . Поэтому из (54) следует, что
c1 × (n1 c0 ) = (n1 c1 ) × c0 = n0 c0 × c0 = n0 c0 = n2 c2 .
(55)
Покажем, что G(Γ) является p-делимой для всех p | n2 . Пусть p | n2 .
Возможны два случая:
i) Если p ∈ Λ(G), то p ∈ Γ. Поэтому G(Γ) является p-делимой группой.
ii) Пусть p 6∈ Λ(G). Так как p | n2 , то p - n1 или p - n0 в силу (51).
Если p - n0 , то h∗p (a) = h∗p (n0 a) = h∗p (n2 h) > 0 в силу (50). Так как H(a)
удовлетворяет условию (∗∗), то h∗p (a) = ∞. Следовательно, G(Γ) является
p-делимой группой по лемме 15. Если p - n1 , то h∗p (n1 g) = h∗p (g), поэтому
h∗p (ph) 6 h∗p (n2 h) = h∗p (n1 g) = h∗p (g) 6 h∗p (h) в силу (50). Следовательно,
h∗p (h) = ∞. Следовательно, G(Γ) является p-делимой группой по лемме 15.
Таким образом, G(Γ) — p-делимая группа для всех p | n2 . Так как c0 ∈ G(Γ) ,
то n2 | n1 c0 в G(Γ) , значит существует элемент y ∈ G(Γ) такой, что n2 y = n1 c0 .
Поэтому из (55) следует, что n2 (c1 × y) = c1 × (n1 c0 ) = n2 c2 . Значит,
n2 (c1 × y − c2 ) = 0.
(56)
112
Тхи Тху Тхюи Фам
Q b
Q b
Так как c1 , y, c2 ∈ G(Γ) ⊆ D ⊕
Bp , то c1 × y − c2 ∈ D ⊕
Bp . Так как
p6∈Γ
p6∈Γ
Q b
Q b
Tp (D ⊕
Bp ) = 0 для всех p ∈ Γ = {p ∈ Λ(G) | p | n2 }, то Tp (D ⊕
Bp ) = 0
p6∈Γ
p6∈Γ
для всех p | n2 . Поэтому из (56) следует, что c1 × y − c2 = 0. Следовательно,
X
gp ) × y = c1 × y = c2 .
(57)
g × y = (c1 +
p∈Γ
Из (53) и (57) следует, что g × (
P
p∈Γ
xp + y) =
P
p∈Γ
hp + c2 = h. Следовательно,
h ∈ g × G. Значит G(H(g)) ⊆ g × G ⊆ hgi× . Так как G(H(g)) является
абсолютным идеалом группы G, содержащим g, то hgiAI ⊆ G(H(g)).
Следовательно, hgiAI ⊆ hgi× . Так как обратное включение очевидно, то
hgi× = hgiAI . Следовательно, (G, ×) — AI-кольцо по предложению 1 и
поэтому G является RAI-группа.
Таким образом, из лемм 5, 13 и 16 получим критерий того, что смешанная
группа ранга без кручения 1 класса L является RAI-группой.
Теорема 1. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из
L (p)
класса L. Пусть Λ(G) = {p ∈ P | Tp (G) 6= 0}, Bp =
hei i — p-базисная
(p)
In
I (p)
i∈I (p)
(p)
o(ei ) =
(p)
(p)
подгруппа группы T = T (G),
= {i ∈
|
pn }, mn = |In |,
n ∈ N. Группа G является RAI-группой тогда и только тогда, когда
∞
P
(p)
rp (T /B) 6
mk для всех p ∈ Λ(G), n ∈ N.
k=n
Список литературы
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.; Т.1. М.: Мир,
1977. 417 с.
2. Fried E. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc.
Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P.51–54.
3. Megibben C. On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen.
1965. V.12. P.293–294.
4. Фам Тхи Тху Тхюи Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без
кручения 1 // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т.14, №7. С.209-–221.
5. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы // I. Труды Московского
математического общества. 1952. Т.1. С.247-–326, II. Труды Московского
математического общества. 1953. Т.2. С.85-–167.
6. Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундаментальная и прикладная
математика. 2009. Т.15, №8. С.95–143.
Фам Тхи Тху Тхюи (ptthuthuy@yahoo.com), аспирант, кафедра алгебры,
Московский педагогический государственный университет.
Кольца, в которых любой идеал является абсолютным
113
Rings, whose every ideals are absolute
Thi Thu Thuy Pham
Abstract. A ring on an abelian group G is a ring, whose additive group is
isomorphic to G. A subgroup A of an abelian group G is called its absolute ideal,
if A is an ideal in every ring on G. An abelian group is called a RAI-group, if
there exists a ring on it, whose every ideal is absolute. In this work, RAI-groups
of torsion free rank 1 from some class of mixed groups are studied.
Keywords: abelian group, additive group of a ring, absolute ideal, RAI-group.
Pham Thi Thu Thuy (ptthuthuy@yahoo.com), postgraduate student, department of algebra, Moscow State Pedagogical University.
Поступила 02.06.2012
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
665 Кб
Теги
идеал, кольцо, абсолютное, является, любой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа