close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 64–71
Математика
УДК 512.541
Кольца на смешанных абелевых группах
ранга без кручения 1
Е. И. Компанцева
Аннотация. Кольцом на абелевой группе G называется любое
кольцо, аддитивная группа которого изоморфна G. Под абсолютным
радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радикалом) абелевой
группы G понимается пересечение J ∗ (G) (N ∗ (G)) радикалов
Джекобсона (верхних ниль-радикалов) всех ассоциативных колец
на G. В работе описаны абсолютные радикалы Джекобсона и
абсолютные ниль-радикалы смешанных абелевых групп ранга без
кручения 1.
Ключевые слова: кольцо на группе, смешанная абелева группа
ранга без кручения 1, радикал кольца, абсолютный радикал абелевой
группы.
Введение
Умножением на абелевой группе называется любой гомоморфизм
µ : G ⊗ G → G. Абелева группа G с заданным на ней умножением µ
называется кольцом на группе G, это кольцо обозначим (G, µ). Под
абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радикалом)
абелевой группы G понимается пересечение J ∗ (G) (N ∗ (G)) радикалов
Джекобсона J(G, µ) (верхних ниль-радикалов N (G, µ)) всех ассоциативных
колец (G, µ) на G. B [1] сформулирована проблема описания абсолютных
радикалов абелевой группы [проблема 94]. Там же доказано,
что если G —
T
периодическая абелева группа, то N ∗ (G) = R∗ (G) = pG. В [4] изучаются
p
абсолютные радикалы абелевых групп без кручения, при этом проблема
описания абсолютных радикалов сводится к случаю редуцированных
абелевых групп. В работе описаны абсолютные радикалы смешанных
абелевых групп ранга без кручения 1.
В работе рассматриваются только абелевы группы и ассоциативные
кольца и слова «группа», «кольцо» и «умножение» в дальнейшем
соответственно означают «абелева группа», «ассоциативное кольцо» и
«ассоциативное умножение».
Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1
65
Через N, Z, N0 обозначаются множества натуральных, целых и целых
неотрицательных чисел соответственно. Для элемента g группы G через
hp (g) и h∗p (g) будем обозначать p-высоты и обобщенную p-высоту элемента
g. Если g — элемент бесконечного порядка, то t(g) — его тип. Если G
— группа без кручения ранга 1, то она с точностью до изоморфизма
определяется своим типом t(G) [1]. Для произвольной группы G будем
использовать следующие обозначения: T (G) — периодическая часть группы
G, Tp (G) — p-примарная компонента группы G, Λ(G) = {p — простое |
Tp (G) 6= 0}, G1 — первая ульмовская подгруппа группы G, G1Λ = {g ∈ G |
(∀p ∈ Λ(G)) hp (g) = ∞}, GΛ = G/G1Λ .
Пусть S — произвольное множество простых чисел. Группа G
называется S-делимой, если она p-делима для всех p ∈ S; подгруппа A
группы G называется S-сервантной, если она p-сервантна для всех p ∈ S.
Обозначим через L класс редуцированных групп, имеющих Λ(G)-делимую
факторгруппу G/T (G).
За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное,
мы отсылаем к [1].
1. Основной результат
Лемма 1. Пусть G ∈ L, E — копериодическая оболочка группы G, B —
базисная подгруппа группы T (G). Тогда:
1) группа GΛ изоморфна некоторой Λ(G)-сервантной подгруппе группы E Λ ;
2) группа E Λ изоморфна Z-адическому пополнению группы B.
Доказательство. 1. Так как G сервантна в E [1], то факторгруппа
(G + EΛ1 )/EΛ1 , изоморфная группе GΛ , является Λ(G)-сервантной в E Λ .
2. E = A ⊕ C, где A ∼
= Ext(Q/Z, G/T (G)), C ∼
= Ext(Q/Z, T (G)) —
урегулированная копериодическая группа. Следовательно, A является
Λ(G)-делимой группой, а C — p-делимой для всех p 6∈ Λ(G) [1, §52]. Поэтому
EΛ1 = A ⊕ C 1 , и группа E Λ = E/(A ⊕ C 1 ) изоморфна группе C/C 1 , которая
изоморфна Z-адическому пополнению группы B.
Замечание 1. Пусть G ∈ L (в частности, группа G может быть
периодической). Для каждого p ∈ Λ(G) базисную подгруппу группы
L (p)
L
Tp (G) будем записывать в виде Bp =
heα i; B =
Bp — базисная
α∈Jp
p∈Λ(G)
b = QB
bp — Z-адическое пополнение группы B.
подгруппа группы T (G); B
p
В силу леммы 1 везде в дальнейшем группу GΛ будем отождествлять с
b Группа B
b в свою очередь везде далее
Λ(G)-сервантной подгруппой группы B.
Q Q (p)
heα i,
рассматривается как сервантная подгруппа группы V =
то есть элемент a ∈ V записывается в виде a =
kα,p ∈ Z.
p∈Λ(G) α∈Jp
(p)
(kα,p eα )p∈Λ(G), α∈Jp ,
где
66
Е. И. Компанцева
T
Лемма 2. Пусть G ∈ L. Тогда для любого элемента g ∈ G\(
pG)
p∈Λ(G)
существует ассоциативное и коммутативное умножение µ : G ⊗ G →
→ T (G) такое, что g не принадлежит R(G, µ).
Доказательство. Группу GΛ рассматриваем как Λ(G)-сервантную
Q Q (p)
подгруппу группы V =
heα i (см. замечание). Пусть g ∈
T
∈ G\(
pG) и g = g +
p∈Λ(G)
p∈Λ(G) α∈Ip
(p)
G1Λ = (kα,p eα )p∈Λ(G),α∈Ip
∈ GΛ . Тогда существуют
p0 ∈ Λ(G) и α0 ∈ Ip0 такие, что p0 не делит kα0 ,p0 . Определим гомоморфизм
(p )
η : V ⊗ V → T (G), положив η(s ⊗ m) = sα0 ,p0 mα0 ,p0 eα00 для любых элементов
(p)
(p)
s = (sα,p eα )p∈Λ(G),α∈Ip и m = (mα,p eα )p∈Λ(G),α∈Ip из V .
Пусть ϕ : G → GΛ — естественный эпиморфизм. Тогда отображение
µ = η|GΛ ⊗GΛ (ϕ ⊗ ϕ) : G ⊗ G → T (G) является ассоциативным и
(p )
коммутативным умножением на G, причем подгруппа heα00 i — идеал кольца
(p)
(G, µ) с единичным элементом eα0 .
(p )
(p )
Допустим, g ∈ J(G, µ). Тогда µ(g ⊗ eα00 ) = kα0 ,p0 eα00 ∈ J(G, µ) и значит,
(p )
(p )
eα00 ∈ J(G, µ), так как p0 не делит kα0 ,p0 . Следовательно, heα00 i = J(G, µ) ∩
(p )
(p )
(p )
∩ heα00 i = J(heα0) i, µ), что противоречит тому, что eα0)
(p )
элемент кольца (heα00 i, µ). Значит, g 6∈ J(G, µ).
— единичный
Лемма 3. Пусть G — редуцированная смешанная группа ранга без
кручения
T 1. Пусть группа G расщепляется. Тогда для любого элемента g ∈
∈ G\(
pG) существует ассоциативное и коммутативное умножение
p∈Λ(G)
µ : G ⊗ G → T (G), при котором g не принадлежит J(G, µ).
Доказательство. Так как группа G расщепляется, то G = A ⊕ T , где
A — редуцированная группа без кручения ранга 1; T = T (G). Если B =
L L (p)
Q Q (p)
=
heα i — базисная подгруппа группы T и V =
heα i, то
p∈Λ(G) α∈Ip
p∈Λ(G) α∈Ip
существует гомоморфзим ϕ : T → V , сохраняющий высоты элементов.
T
(p) (p)
Пусть g = a + t 6∈
pG (a ∈ A, t ∈ T ) и ϕ(t) = (kα eα )p∈Λ(G),α∈Ip .
p∈Λ(G)
Тогда существует p0 ∈ Λ(G), не делящее элемент g.
Случай 1. Элемент t ∈ T не делится на p0 . Тогда существует такой
(p )
индекс α0 ∈ Ip0 , что p0 не делит kα00 . Определим теперь гомоморфизм ψ1 :
(A ⊕ V ) ⊗ (A ⊕ V ) → T , положив ψ1 (A ⊗ V ) = ψ1 (V ⊗ A) = ψ1 (A ⊗ A) = 0
(p ) (p ) (p )
(p) (p)
и ϕ1 (s ⊗ m) = sα00 mα00 eα00 для любых элементов s = (sα eα )α∈Λ(G),α∈Ip и
(p) (p)
m = (mα eα )α∈Λ(G),α∈Ip из V . Это отображение индуцирует ассоциативное
и коммутативное умножение µ1 = ψ1 [1A ⊕ ϕ ⊗ (1A ⊕ ϕ)] : G ⊗ G → T .
Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1
(p)
67
(p) (p)
Предположим, что g ∈ J(G, µ1 ), тогда µ1 (g ⊗ eα0 ) = kα0 eα0 ∈ J(G, µ1 ) и,
(p)
(p)
значит, eα0 ∈ J(G, µ1 ), так как p0 не делит kα0 .
(p)
Случай 2. Элемент t делится на p0 . Тогда p0 не делит a, и p0 делит kα
при любом α ∈ Ip0 . Зафиксируем индекс α0 ∈ Ip0 и определим гомоморфизм
(p ) (p ) (p )
ψ2 : (A ⊕ V ) ⊗ (A ⊕ V ) → T , положив ψ2 (s ⊗ m) = sα00 mα00 eα00 , ψ2 (a ⊗
(p )
(p ) (p )
a) = eα00 , ψ2 (a ⊗ s) = ψ2 (s ⊗ a) = sα00 eα00 для произвольных элементов
(p) (p)
(p) (p)
s = (sα eα )p∈Λ(G),α∈Ip и m = (mα eα )p∈Λ(G),α∈Ip из V . Эти соотношения
полностью определяют действие ψ2 на подгруппах A ⊗ A, A ⊗ V, V ⊗ A.
Определим теперь ассоциативное и коммутативное умножение µ2 на G
следующим образом: µ2 = ψ2 [(1A ⊕ ϕ) ⊗ (1A ⊕ ϕ)] : G ⊗ G → T .
(p )
(p )
Предположим, что g ∈ J(G, µ2 ), тогда µ2 (g ⊗ eα00 ) = µ2 (a ⊗ eα00 ) + µ2 (t ⊗
(p ) (p )
(p )
(p )
eα00 ) = (1 + kα00 )eα00 ∈ J(G, µ2 ) и, значит, eα00 ∈ J(G, µ2 ), так как p0 не
(p )
делит 1 + kα00 .
В каждом случае из предположения, что элемент g принадлежит
радикалу Джекобсона построенного кольца, следует, что при некотором
(p )
α0 ∈ Ip0 подгруппа heα00 i является идеалом соответствующего кольца,
(p )
(p )
содержащимся в его радикале. Отсюда имеем eα00 ∈ heα00 i = J(G, µ1 ) ∩
(p )
(p )
(p )
(p )
∩ heα00 i = J(heα00 i, µ1 ) или аналогично, eα00 ∈ J(heα00 i, µ2 ). Это
(p )
(p )
противоречит тому, что eα00 — единичный элемент идеала heα00 i.
Далее умножение µ на группе G часто будем обозначать знаком ×, то
есть µ(g1 ⊗ g2 ) = g1 × g2 для g1 , g2 ∈ G.
Теорема 1. Пусть G — смешанная редуцированная группа ранга без
кручения 1. Пусть группа G расщепляется. Тогда:
1)T если t(G/T (G)) — неидемпотентный тип, то N ∗ (G) = J ∗ (G) =
=
pG,
p∈Λ(G)
T
2) если t(G/T (G)) — идемпотентный тип, то N ∗ (G) = pT (G),
p
T
J ∗ (G) = pG.
p
Доказательство. Пусть G = A ⊕ T , где A — редуцированная группа
без кручения ранга 1, T = T (G). Если t(A) — неидемпотентный тип, то
при любом умножении µ на G факторкольцо G/T (G) является кольцом
с нулевым
умножением, то есть µ(G ⊗ G) ⊆ T . Следовательно, подгруппа
T
pG является ниль-идеалом в любом кольце на G и, значит, содержится
p∈Λ(G)
T
в N ∗ (G). Так как по лемме 3 имеем J ∗ (G) ⊆
pG, то N ∗ (G) = J ∗ (G) =
p∈Λ(G)
T
=
pG.
p∈Λ(G)
68
Е. И. Компанцева
∗
∗
TПусть t(A) — идемпотентный тип. Тогда, так как N (A) = 0, J (A) =
= pA и абсолютные радикалы прямой суммы содержатся в прямой сумме
p
T
радикалов [4], то N ∗ (G) ⊆ N ∗ (A) ⊕ N ∗ (T ) = pT , J ∗ (G) ⊆ J ∗ (A) ⊕ J ∗ (T ) =
p
T
T
= pG. Так как подгруппа pT является ниль-идеалом в любом кольце на
p
p
T
G, то N ∗ (G) = pT .
p T
Покажем, что pG ⊆ J ∗ (G). Пусть × — произвольное умножение на G.
p
T
Тогда определено факторкольцо (G/T (G), ×), для которого p(G/T (G)) ⊆
Tp
⊆ J(G/T (G), ×). Следовательно, для любого элемента g ∈ pG существует
p
T
такой элемент g1 ∈ G, что g + g1 − g × g1 = t ∈ T (G). Так как g ∈ pG, то
p
существует такое натуральное число k, что g k × t = 0, где g k = g × ... × g (k
сомножителей). Легко видеть, что элемент g имеем квазиобратный элемент
gT1 − t − g × t − g 2 × t − ... − g k−1 × t в кольце (G, ×), и, следовательно,
T
pG ⊆ J(G, ×). В силу произвольности умножения × на G имеем pG ⊆
p
p
⊆ J ∗ (G).
Для смешанной группы G ранга без кручения 1 рассмотрим однозначно
определенный класс эквивалентности H(G) высотных матриц, содержащих
матрицу H(g) = (σnk ), где g — произвольный элемент бесконечного порядка
группы G и σnk = h∗pn (pkn g) [2]. Согласно [2] мы говорим, что между σnk и
σn,k+1 имеется скачок, если σnk + 1 < σn,k+1 .
Лемма 4. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1. Группа G
расщепляется тогда и только тогда, когда почти каждая строка высотной
матрицы H(G) не имеет скачков, никакая строка не имеет бесконечного
числа скачков, и строка, содержащая не только целые числа, содержит и
символ ∞.
Доказательство. Необходимость условий леммы очевидна. Для
доказательства их достаточности заметим, что из результатов [3] легко
следует, что группа G расщепляется тогда и только тогда, когда для любого
элемента g ∈ G\T (G) существует такое целое число m 6= 0, что для любого
простого числа p обобщенная p-высота элемента mg в группе G совпадает с
обобщенной p-высотой элемента mg + T (G) в группе G/T (G). Это условие
выполняется, если ни в одной строке матрицы H(mg) нет скачков и нет
бесконечных порядковых чисел. Если H(g) удовлетворяет условиям леммы,
то нетрудно видеть, что необходимое число m существует.
Теорема 2. Пусть G — смешанная редуцированная группа ранга
без
T
кручения 1 и пусть G не расщепляется. Тогда N ∗ (G) = J ∗ (G) =
pG.
p∈Λ(G)
Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1
Доказательство. Докажем включение
T
69
pG ⊆ N ∗ (G). Заметим
p∈Λ(G)
сначала, что если в группе G существует элемент бесконечного порядка,
который не делится ни на одно простое число из некоторого бесконечного
T
T
T
подмножества множества Λ(G), то
pG =
pT (G) = pT (G) ⊆
p
p∈Λ(G)
p∈Λ(G)
T
∗
⊆ N (G), так как pT (G) является ниль-идеалом в любом кольце на группе
p
G. Поэтому далее будем считать, что в группе G нет элементов с указанным
свойством.
Пусть теперь × — произвольное умножение на G. Покажем, что G ×
× G ⊆ T (G). Допустим, что существуют такие элементы a, b ∈ G, что a ×
× b 6∈ T (G). Очевидно, в этом случае элементы a, b принадлежат G\T (G), и
существуют такие целые числа m, n, что mb = na. Имеем m(b × a) = n(a × a),
и следовательно, a × a 6∈ T (G), то есть a × a = g ∈ G\T (G).
Так как группа G не расщепляется, то возможны следующие случаи:
Случай 1. В H(G) имеется бесконечное число строк, имеющих скачки.
В этом случае h∗p (a) 6= ∞ для бесконечного множества чисел p ∈ Λ(G).
В силу замечания, сделанного в начале доказательства, h∗p (a) 6= 0
почти для всех таких чисел p. Следовательно, «обобщенный» тип
t∗ (a) = (h∗p1 (a), ..., h∗pn (a), ...) не является идемпотентным типом и, значит,
a × a ∈ T (G), что противоречит предположению.
Случай 2. В некоторой строке H(G) имеется бесконечное число скачков
или содержатся бесконечнвые порядковые числа, но нет символа ∞. В этом
случае факторгруппа G/T (G) является p-делимой для некоторого p ∈ Λ(G).
Для элементов a и g возможны следующие соотношения:
1) (∃i1 ∈ N)(∃k ∈ N)(∀i > i1 ) h∗p (pi a) = h∗p (pi+k a).
Тогда для всех натуральных чисел i > i1 будем иметь h∗p (pi a ⊗ a) >
> h∗p (pi a) = h∗p (pi+k g) > h∗p (pi g) + k > h∗p (pi g), так как h∗p (pi g) 6= ∞.
2) (∃i1 ∈ N)(∃k ∈ N0 )(∀i > i1 ) h∗p (pi g) = h∗p (pi+k a).
Так как G/T (G) является p-делимой, то найдется такое i2 ∈ N, что для
всех i > i2 существуют элементы ai ∈ G, для которых pi a = pi+k+1 ai . Полагая
i0 = max{i1 , i2 }, для всех i > i0 будем иметь h∗p (pi a ⊗ a) = h∗p (pi+k+1 ai ⊗ a) =
= h∗p (pai ⊗ pi+k a) > 1 + h∗p (pi+k a) = 1 + h∗p (pi g) > h∗p (pi g), так как h∗p (pi g) 6=
6= ∞.
Но h∗p (pi a × a) = h∗p [pi (a × a)] = h∗p (pi g) при всех iT∈ N0 . Из полученного
противоречия следует, что G × G ⊆ T (G). Значит
pG является нильp∈Λ(G)
T
pG ⊆ N (G, ×). Из произвольности
идеалом кольца (G, ×), откуда
p∈Λ(G)
T
умножения × на G следует включение
pG ⊆ N ∗ (G).
p∈Λ(G)
70
Е. И. Компанцева
Докажем, что J ∗ (G) ⊆
T
p∈Λ(G)
pG. Пусть g 6∈
T
pG. Тогда существует
p∈Λ(G)
такое p ∈ Λ(G), что g 6∈ pG.
Допустим, Tp (G) выделяется в G прямым слагаемым, то есть G = G1 ⊕
Tp (G). Пусть группа G1 ∼
= G/Tp (G) является p-делимой группой, тогда
g = g1 + t, где g1 ∈ G1 , t ∈ Tp (G) и t 6∈ pTp (G). Однако J ∗ (G) ⊆ J ∗ (G1 ) ⊕
J ∗ (Tp (G)) = J ∗ (G1 ) ⊕ pTp (G) [4] и следовательно, g 6∈ J ∗ (G).
Если же Tp (G) не выделяется в G прямым слагаемым или G/Tp (G)
не является p-делимой группой, то запишем группу T (G) в виде
T (G) = T1 ⊕ Tp (G) и рассмотрим факторгруппу G/T1 . Она является
смешанной редуцированной группой ранга без кручения 1 с периодической
частью, изоморфной Tp (G) при изоморфизме ϕ : T (G/T1 ) → Tp (G). Если
группа G/T1 не расщепляется, то в группе G подгруппа Tp (G) не выделяется
прямым слагаемым. Тогда в строке матрицы H(G), соответствующей числу
p, либо имеется бесконечное множество скачков, либо есть бесконечные
порядковые числа, но нет символа ∞. Следовательно, факторгруппа
G/T (G) ∼
= (G/T1 )/T (G/T1 )) является p-делимой, и следовательно, группа
G/T1 содержится в классе L.
Итак, группа G/T1 удовлетворяет условию леммы 2 или условию
леммы 3. Поэтому, так как g + T1 6∈ p(G/T1 ), то существует ассоциативное
и коммутативное умножение µ1 : (G/T1 ) ⊗ (G/T1 ) → T (G/T1 ), при котором
g + T1 6∈ J(G/T1 , µ1 ).
Пусть ψ : G → G/T1 — естественный эпиморфизм. Тогда гомоморфизм
µ = ϕµ1 (ψ ⊗ ψ) : G ⊗ G → Tp (G) является ассоциативным и коммутативным
умножением на G, причем отображение ψ является эпиморфизмом кольца
(G, µ) на (G/T1 , µ1 ). Из включения ψ[J(G, µ)] ⊆ J(G/T1 , µ1 ) [5, §7] следует,
T
pG.
что g 6∈ J(G, µ) и следовательно, g 6∈ J ∗ (G), откуда J ∗ (G) ⊆
p∈Λ(G)
Теорема доказана.
Список литературы
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.; Т.1. М.: Мир,
1977. 417 с.
2. Megibben C.K. On mixed groups of torsion-free rank one // Ill. J. Math. 1967. V.11.
P.133–144.
3. Bican L. Mixed abelian groups of torsion-free rank one // Czech. Math. J. 1970.
V.20(95). P.232–242.
4. Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундаментальная и прикладная
математика, 2009. Т.15, №8. С.95–143.
5. Jacobson N. Structure of rings // Amer. Math. Soc. Colloquium Publications. 1956.
V.37.
Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1
71
Компанцева Екатерина Игоревна (kompantseva@yandex.com), д.т.н.,
профессор, Высшая школа экономики – национальный исследовательский
университет, Москва.
Rings on mixed abelian groups of torsion free rank 1
E. I. Kompantseva
Abstract. A ring on an abelian group G is a ring, whose additive group
is isomorphic to G. The absolute Jacobson radical (absolute nil-radical) of an
abelian group G is the intersection J ∗ (G) (N ∗ (G)) of Jacobson radicals (upper
nil-radicals) of all associative rings on G. In this work descriptions of absolute
Jacobson radicals and absolute nil-radicals of mixed abelian groups of torsion
free rank 1 are given.
Keywords: mixed abelian group of rank 1, ring on group, radical of ring,
absolute radical of abelain group.
Kompantseva Ekaterina (kompantseva@yandex.com), doctor of technical sciences, professor, Higher School of Economics – National Research University,
Moscow.
Поступила 02.06.2012
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
597 Кб
Теги
кольцо, ранга, смешанных, без, кручение, группа, абелевы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа