close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений.

код для вставкиСкачать
17
Вестник СамГУ. 2014. № 10(121)
УДК 517.956
С.А. Алдашев 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ПУАНКАРЕ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО
КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Краевые задачи в обобщенных пространствах для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами хорошо изучены.
Корректные постановки краевых задач на плоскости для эллиптических
уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного достаточно хорошо исследованы.
При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера.
Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений.
В данной статье методом, предложенным автором, показана однозначная
разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Пуанкаре
в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических
уравнений.
Ключевые слова: корректность, многомерные эллиптические уравнения, функция, уравнение, цилиндрическая область, плотность, операторы,
системы функций.
1.
Постановка задачи и результаты
Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с
ребрями изучены в [1–3].
В данной статье, используя предложенный в [4–6] метод, получено в явном виде классическое решение задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного
класса многомерных эллиптических уравнений.
Пусть D− цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек
(x1 , ..., xm , t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1}, плоскостями t = α > 0
и t = 0, где |x| — длина вектора x = (x1 , ..., xm ).
Части этих поверхностей, образующих границу ∂D области D, обозначим через
Γα , Sα , S0 соответственно.
1⃝
c Алдашев С.А., 2014
Алдашев Серик Аймурзаевич (aldash51@mail.ru), кафедра математического анализа, алгебры
и геометрии, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, 050012, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Толе би, 86.
18
С.А. Алдашев
В области D многомерные эллиптические уравнения
m
∑
Lu ≡ ∆x u + utt +
ai (x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0,
(1)
i=1
L∗ υ ≡ ∆x υ + υtt −
m
∑
(1∗ )
ai υxi − bυt + dυ = 0,
i=1
где ∆x − оператор Лапласа по переменным x1 , ..., xm , m > 2, d(x, t) = c−
m
∑
aixi −bt .
i=1
x1 , ..., xm , t
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат
к сферическим r, θ1 , ..., θm−1 , t, r > 0, 0 6 θ1 < 2π, 0 6 θi 6 π, i = 2, 3, ..., m − 1.
В качестве задачи Пуанкаре рассмотрим задачу
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области D из класса C 1 (D)∩C 2 (D),
удовлетворяющее краевым условиям
ut = ν(r, θ), u = ψ(t, θ), u = φ(r, θ),
(2)
S
Γα
Sα
при этом {ψ(α, θ) =}φ(1, θ).
k
(θ) − система линейно независимых сферических функций порядПусть Yn,m
ка n, 1 6 k 6 kn , (m − 2)!n!kn = (n + m − 3)!(2n + m − 2), θ = (θ1 , ..., θm−1 ), W2l (S0 ),
l = 0, 1, ...− пространства Соболева.
Имеют место [7] утверждения, сформулированные в виде двух лемм.
Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ W2l (S0 ). Если l > m − 1, то ряд
f (r, θ) =
kn
∞ ∑
∑
k
fnk (r)Yn,m
(θ),
(3)
n=0 k=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием до порядка p 6 l −m+1,
сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ W2l (S0 ), необходимо и достаточно, чтобы
коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
|f01 (r)| 6 c1 ,
kn
∞ ∑
∑
n2l |fnk (r)|2 6 c2 , c1 , c2 = const.
n=1 k=1
Через ãkin (r, t), akin (r, t), b̃kn (r, t), c̃kn (r, t), d˜kn (r, t), ρkn , ν̄nk (r), ψnk (t), φ̄kn (r) обозначим
коэффициенты разложения ряда (3) соответственно функций ai (r, θ, t) ρ (θ), ai xri ρ,
b (r, θ, t) ρ, c (r, θ, t) ρ, d (r, θ, t) ρ, ρ(θ), i = 1, ..., m, ν(r, θ), ψ(t, θ), φ(r, θ), причем
ρ(θ) ∈ C ∞ (H), H− единичная сфера в Em .
Пусть ai (r, θ, t), b(r, θ, t), c(r, θ, t) ∈ W2l (D) ⊂ C(D), l > m + 1, i =
= 1, ..., m, c(r, θ, t) 6 6 0, ∀(r, θ, t) ∈ D.
Тогда справедлива
Теорема 1. Если ν(r, θ) ∈ W2l (S0 ), ψ(t, θ) ∈ W2l (Γα ), φ(r, θ) ∈ W2l (Sα ), l > 3m
2 ,
то задача 1 разрешима.
Теорема 2. Если b(r, θ, 0) = 0, ∀(r, θ) ∈ S0 , то решение задачи 1 единственно.
2.
Доказательство теоремы 1
В сферических координатах уравнение (1) имеет вид
m
∑
δu
m−1
ur − 2 + utt +
ai (r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0,
Lu ≡ urr +
r
r
i=1
(4)
19
Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса...
где
δ≡−
m−1
∑
j=1
1
∂
gj sinm−j−1 θj ∂θj
(
)
∂
sinm−j−1 θj
, g1 = 1, gj = (sinθ1 ...sinθj−1 )2 , j > 1.
∂θj
Известно [7], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n +
+ m− −2), n = 0, 1, ..., каждому из которых соответствует kn ортонормированных
k
собственных функций Yn,m
(θ).
Решение задачи будем искать в виде
u(r, θ, t) =
kn
∞ ∑
∑
k
ūkn (r, t)Yn,m
(θ),
(5)
n=0 k=1
где ūkn (r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (5) в (4), умножив затем полученное выражение на ρ(θ) ̸= 0 и
проинтегрировав по единичной сфере H для ukn , получим [4–6]
(
)
m
m−1 1 ∑ 1
1 1
1 1
ρ0 ū0rr + ρ0 ū0tt +
ρ0 +
ai0 ū10r + b̃10 ū10 + c̃10 ū10 +
r
i=1
+
Kn
∞ ∑
∑
{
(
ρkn ūknrr
n=1 k=1
+
ρkn ūkntt
[
+
ρkn ∑ k
+
(ãin−1 − nakin ) ūkn
r2
i=1
m
+ c̃kn − λn
)
m
m−1 k ∑ k
ρn +
uin ūknr + b̃kn ūknt +
r
i=1
] }
= 0.
(6)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
ρ10 ū10rr + ρ10 ū10tt +
(m
ρk1 ūk1rr +ρk1 ūk1tt +
− 1) k k λ1 k k
1
ρ1 ū1r − 2 ρ1 ū1 = −
r
r
k1
(m − 1) 1 1
ρ0 ū0r = 0,
r
(m
∑
a1i0 ū10r
+
b̃10 ū10t
(7)
)
+
c̃10 ū10
, n = 1, k = 1, k1 ,
i=1
(8)
ρkn ūknrr + ρkn ūkntt +
(m − 1) k k
ρn ūnr
r
[
+ c̃kn−1 +
kn−1 { m
λn k k
1 ∑ ∑ k
− 2 ρn ūn = −
ain−1 ūkn−1r + b̃kn−1 ūkn−1t +
r
kn
i=1
k=1
]
}
m
∑
(ãkin−1 − (n − 1)akin−1 ) ūkn−1
, k = 1, kn , n = 2, 3... .
(9)
i=1
Суммируя уравнение (8) от 1 до k1 , а уравнение (9) — от 1 до kn , а затем сложив
полученные выражения вместо{ с (7),
приходим к уравнению (6).
}
Отсюда следует, что если ūkn , k = 1, kn , n = 0, 1, .... — решение системы (7)–(9),
то оно является решением уравнения (6).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (7)–(9) можно представить в
виде
m−1 k
λn
ūknrr +
ūnr − 2 ūkn + ūkntt = fnk (r, t),
(10)
r
r
где fnk (r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f01 (r, t) ≡ 0.
Далее, из краевого условия (2) в силу (5) будем иметь
ūknt (r, 0) = ν̄nk (r),
ūkn (1, t) = ψnk (t),
ūkn (r, α) = φ̄kn (r), k = 1, kn ,
n = 0, 1, ... .
(11)
20
С.А. Алдашев
В (10), (11), произведя замену ῡnk (r, t) = ūkn (r, t) − ψnk (t), получим
m−1 k
λn
k
= f¯nk (r, t),
ῡnr − 2 ῡnk + ῡntt
r
r
k
+
ῡnrr
(12)
ῡnk (1, t) = 0, ῡnk (r, α) = φkn (r), k = 1, kn , n = 0, 1, ... ,
(13)
λ
n
k
k
(0), φkn (r) = φ̄kn (r) − ψnk (α).
+ 2 ψnk , νnk (r) = ν̄nk (r) − ψnt
f¯nk (r, t) = fnk (r, t) − ψntt
r
k
(r, 0) = νnk (r),
ῡnt
Произведя замену ῡnk (r, t) = r
задаче:
(1−m)
2
υnk (r, t), задачу (12), (13) приведем к следующей
λ̄n k
k
= f˜nk (r, t),
υn + υntt
r2
υnk (1, t) = 0, υnk (r, α) = φ̃kn (r),
k
Lυnk ≡ υnrr
+
k
υnt
(r, 0) = ν̃nk (r),
[(m − 1)(3 − m) − 4λn ]
λ̄n =
,
4
f˜nk (r, t)
=r
(m−1)
2
(m−1)
2
φ̃kn (r) = r
f¯nk (r, t),
ν̃nk (r)
(14)
(15)
=r
(m−1)
2
νnk (r),
φkn (r).
Решение задачи (14), (15) ищем в виде
k
k
υnk (r, t) = υ1n
(r, t) + υ2n
(r, t),
k
где υ1n
(r, t) — решение задачи
k
Lυ1n
= f˜nk (r, t),
k
υ1n
(r, 0)
а
k
υ2n
(r, t)
(16)
(17)
k
k
= 0, υ1n
(1, t) = 0, υ1n
(r, α) = 0,
(18)
— решение задачи
k
υ2nt
(r, 0)
=
ν̃nk (r),
k
Lυ2n
= 0,
k
υ2n (1, t) = 0,
(19)
k
υ2n
(r, α) = φ̃kn (r).
(20)
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
υnk (r, t) =
∞
∑
Rs (r)Ts (t),
(21)
s=1
при этом пусть
f˜nk (r, t) =
∞
∑
akns (t)Rs (r), ν̃nk (r) =
s=1
∞
∑
ekns Rs (r), φ̃kn (r) =
s=1
∞
∑
bkns Rs (r).
(22)
s=1
Подставляя (21) в (17), (18), с учетом (22) получим
Rsrr +
λn
Rs + µRs = 0, 0 < r < 1,
r2
(23)
Rs (1) = 0, |Rs (0)| < ∞,
Tstt − µTs (t) =
akns (t),
(24)
0 < t < α,
(25)
Tst (0) = 0, Ts (α) = 0.
(26)
Ограниченным решением задачи (23), (24) является [8]
Rs (r) =
√
rJν (µs,n r),
(27)
где ν = n +
µs,n − нули функций Бесселя первого рода Jν (z), µ =
Общее решение уравнения (25) представимо в виде [8]
m−2
,
2
ch µs,n t
Ts,n (t) = c1s ch µs,n t + c2s sh µs,n t +
µs,n
µ2s,n .
∫t
akns (ξ) sh µs,n ξdξ −
0
Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса...
sh µs,n t
−
µs,n
21
∫t
akns (ξ) ch µs,n ξdξ,
0
где c1s , c2s — произвольные постоянные. Удовлетворив условию (26), будем иметь

µs,n Ts,n (t) = (th µs,n α)
∫α
∫α
akns (ξ) ch µs,n ξdξ
−

akns (ξ) sh µs,n ξdξ  ch µs,n t
0
0
∫t
∫t
akns (ξ) sh µs,n ξdξ
+(ch µs,n t)
+
− (sh µs,n t)
0
akns (ξ) ch µs,n ξdξ.
(28)
0
Подставляя (27) в (22), получим
1
r− 2 f˜nk (r, t) =
∞
∑
1
akns (t)Jν (µs,n r), r− 2 ν̃nk (r) =
s=1
1
∞
∑
ekns Jν (µs,n r),
s=1
r− 2 φ̃kn (r) =
∞
∑
bkns Jν (µs,n r), 0 < r < 1.
(29)
s=1
Ряды (29) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [9], если
akns (t)
−2
= 2[Jν+1 (µs,n )]
∫1 √
ξ f˜nk (ξ, t)Jν (µs,n ξ)dξ,
(30)
0
ekns = 2[Jν+1 (µs,n )]−2
∫1 √
ξ ν̃nk (ξ)Jν (µs,n ξ)dξ, bkns = 2[Jν+1 (µs,n )]−2
0
∫1 √
ξ φ̃kn (ξ)Jν (µs,n ξ)dξ,
0
(31)
µs,n , s = 1, 2, ... — положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания их величины.
Из (27), (28) получим решение задачи (17), (18) в виде
k
υ1n
(r, t) =
∞
∑
√
rTs (t)Jν (µs,n r),
(32)
s=1
где akns (t) определяются из (30).
Далее, подставляя (27) в (19), (20), с учетом (22) будем иметь
Tstt − µ2s,n Ts = 0, 0 < t < α,
(33)
Tst (0) = ekns , Ts (α) = bkns .
(34)
Общее решение уравнения (33) имеет вид
Ts,n (t) = c′1s ch µs,n t + c′2s sh µs,n t.
(35)
Подчинив его условию (34), получим
c′2s =
bkns
ek
ekns
, c′1s =
− ns th µs,n α.
µs,n
ch µs,n α
µs,n
(36)
22
С.А. Алдашев
Из (27), (35), (36) найдем решение задачи (19), (20)
k
(r, t) =
υ2n
∞
∑
√
rTs,n (t)Jν (µs,n r),
(37)
s=1
где ekns , bkns находятся из (31).
Следовательно, сначала решив задачу (7), (11) (n = 0), а затем (8), (11) (n = 1),
k
k
(r, t) определяются из (32),
(r, t), υ2n
найдем последовательно все υnk (r, t) из (16), где υ1n
(37), k = 1, kn , n = 0, 1, ... .
Итак, в области D имеет место
∫
ρ(θ)LudH = 0.
(38)
H
Пусть f (r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 , V0 плотна в L2 ((0, 1)), ρ(θ) ∈
∈ C ∞ (H) плотна в L2 (H), а T (t) ∈ V1 , V1 плотна в L2 ((0, α)). Тогда f (r, θ, t) ∈ V,
V = V0 ⊗ H ⊗ V1 плотна в L2 (D) [10].
Отсюда и из (38) следует, что
∫
f (r, θ, t)LudD = 0
D
и
Lu = 0, ∀(r, θ, t) ∈ D.
Таким образом, решением задачи Пуанкаре является сумма ряда
u(r, θ, t) =
kn {
∞ ∑
∑
ψnk (t) + r
(1−m)
2
[
k
k
υ1n
(r, t) + υ2n
(r, t)
]}
k
Yn,m
(θ),
(39)
n=0 k=1
k
k
где υ1n
(r, t), υ2n
(r, t) находятся из (32), (37).
Учитывая формулу [9] 2Jν′ (z) = Jν−1 (z) − Jν+1 (z), оценки [7; 11]
√
(
)
(
π
π)
1
2
|Jν (z)| =
cos z − ν −
+0
, ν > 0,
πz
2
4
z 3/2
q
m
m−2 ∂
k
|kn | 6 c1 n
, q Yn,m (θ) 6 c2 n 2 −1+q , j = 1, m − 1, q = 0, 1, ... ,
∂θj
(40)
ограничения
на
коэффициенты
уравнения
(1)
и
на
заданные
функции
ν(r, θ), ψ(t, θ), φ(r, θ), как в [4–6], можно показать, что полученное решение (39)
принадлежит классу C 1 (D̄) ∩ C 2 (D).
Следовательно, разрешимость задачи Пуанкаре установлена.
3.
Доказательство теоремы 2
Для этого сначала построим решение задачи Пуанкаре для уравнения (1∗ ) с данными
k
(41)
υ
= 0, υt = ν(r, θ) = ν̄nk (r)Yn,m
(θ), k = 1, kn , n = 0, 1, ... ,
Γα ∪Sα
S0
где
∈ G, G — множество функций ν(r) из класса C ([0, 1]) ∩ C 1 ((0, 1)) . Множество
V плотно всюду в L2 ((0, 1)) [10]. Решение задачи (1∗ ), (41) будем искать в виде (5),
где функции ῡnk (r, t) будут определены ниже. Тогда, аналогично п. 2, функции ῡnk (r, t)
удовлетворяют системе уравнений (7)-(9), где ãkin , akin , b̃kn заменены соответственно на
−ãkin , −akin , −b̃kn , а c̃kn на d˜kn , i = = 1, ..., m, k = 1, kn , n = 0, 1, ... .
ν̄nk (r)
23
Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса...
Далее, из краевого условия (41) в силу (5) получим
k
ῡnk (r, α) = υ kn (1, t) = 0, ῡnt
(r, 0) = ν̄nk (r), k = 1, kn ,
n = 0, 1, ... .
(42)
Как ранее замечено, каждое уравнение системы (7)–(9) представимо в виде (10). В
п. 2 показано, что задача (10), (42) имеет единственное решение.
Таким образом, решение задачи (1∗ ) (41) в виде ряда (39) построено, которая в
силу оценок (40) принадлежит классу C 1 (D) ∩ C 2 (D).
Из определения сопряженных операторов L, L∗ [12] вытекает равенство
υLu − uL∗ υ = −υP (u) + uP (υ) − uυQ,
где
P (u) =
m
∑
m
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
uxi cos N ⊥ , xi + ut cos N ⊥ , t , Q =
ai cos N ⊥ , xi − b cos N ⊥ , t ,
i=1
i=1
а N ⊥ — внутренняя нормаль к границе ∂D. По формуле Грина имеем
)
]
∫
∫ [( ∂u
∂υ
(υLu − uL∗ υ)dD =
υ ∂N − u ∂N
M + uυQ ds,
D
∂D
(43)
где
m
m
(
) ∂
(
) ∂
(
)
(
)
∑
∑
∂
=
cos N ⊥ , xi
+ cos N ⊥ , t
, M2 =
cos2 N ⊥ , xi + cos2 N ⊥ , t .
∂N
∂xi
∂t
i=1
i=1
Из (43), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (41),
получим
∫
ν(r, θ)u(r, θ, 0)ds = 0.
(44)
S0
k
Поскольку линейная оболочка системы функций {ν̄nk (r)Yn,m
(θ)} плотна в L2 (S0 ) [10],
то из (44) заключаем, что u(r, θ, 0) = 0, ∀(r, θ) ∈ S0 .
Следовательно,
в силу единственности решения задачи Дирихле [13, 14] : Lu =
= 0, u
= 0, будем иметь u = 0 в D̄.
S0 ∪Γα ∪Sα
Таким образом, единственность решения задачи Пуанкаре доказана.
Литература
[1] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О задаче с косой производной в области с кусочногладкой границей // Функц. анализ. 1971. № 5(3). С. 102–103.
[2] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л. Соболева.
1978. № 2. C. 69–102.
[3] Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений частными производными в негладких областях // УМН. T. 38. Bып. 2(230). C. 3–76.
[4] Алдашев С.А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических
уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. C. 64–68.
[5] Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных
уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.
24
С.А. Алдашев
[6] Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. Орал:
ЗКАТУ, 2007. 139 с.
[7] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.:
Физматгиз, 1962. 254 с.
[8] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. T. 2.
295 с.
[10] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.
[11] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966.
724 с.
[12] Смирнов В.И. Курс высшей математики: в 5 т. М.: Наука, 1981. Т. 4. 550 с.
References
[1] Maz’ya V.G., Plamenevesky B.A. On the problem with directional derivative in a
domain with piecewise smooth boundaries. Funkts. analiz [Functional analysis], 1971,
5:3, pp. 102–103. [in Russian].
[2] Maz’ya D., Plamenevsky B.A. Shauderov estimates of solutions for elliptic boundary
value problems in domains with edges on the boundary. Trudy seminara S.L. Soboleva
[Proceedings of S.L. Sobolev’s seminar ], 1978, Vol.2, pp. 69-102 [in Russian].
[3] Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Boundary value problems for partial differential
equations in non-smooth domains. UMN [UMN ], Vol. 38, Issue 2(230), pp. 3–76
[in Russian].
[4] Aldashev S.A. On the Darboux problem for a class of multidimensional hyperbolic
equations. Differentsial’nye uravneniia [Differential Equations], 1998, Vol. 34, pp. 64–68
[in Russian].
[5] Aldashev S.A. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed
type equations. Almaty, Gylym, 1994, 170 p. [in Russian].
[6] Aldashev S.A. Degenerate multidimensional hyperbolic equations. Oral, ZKATU, 2007,
139 p. [in Russian].
[7] Michlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. M., Fizmatgiz,
1962, 254 p. [in Russian].
[8] Kamke E. Handbook on ordinary differential equations. M., Nauka, 1965, 703 p.
[in Russian].
[9] Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. M., Nauka, 1974, 295 p.
[in Russian].
[10] Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional
analysis. M., Nauka, 1976, 543 p. [in Russian].
[11] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 1966,
724 p. [in Russian].
[12] Smirnov V.I. The course of higher mathematics: in 5 vol. M., Nauka, 1981, Vol. 4.
550 p. [in Russian].
Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса...
25
S.A. Aldashev 2
WELL-POSEDNESS OF POINCARE PROBLEM IN THE
CYLINDRICAL DOMAIN FOR A CLASS
OF MULTI-DIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS
The boundary value problems for second order elliptic equations in domains
with edges are well studied. For elliptic equations, boundary-value problems on
the plane were shown to be well posed by using methods from the theory
of analytic functions of complex variable. When the number of independent
variables is greater than two, difficulties of fundamental nature arise. Highly
attractive and convenient method of singular integral equations can hardly be
applied, because the theory of multidimensional singular integral equations is
still incomplete. In this paper with the help of the method suggested by the
author, the unique solvability is shown and explicit form of classical solution of
Poincare problem in a cylindrical domain for a one class of multidimensional
elliptic equations is received.
Key words: well-posedness, multi-dimensional elliptic equations, function,
equation, cylindrical domain, density, operators, systems of functions.
Статья поступила в редакцию 22/IX /2014.
The article received 22/IX /2014.
2 Aldashev Serik Aimurzaevich (aldash51@mail.ru), Department of Mathematical analysis,
Algebra and Geometry, Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, 050012,
Republic of Kazakhstan.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 104 Кб
Теги
уравнения, пуанкаре, эллиптическая, области, одного, цилиндрическом, корректность, класс, задачи, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа