close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Коэффициенты рассеяния гексагональной квантовой сети в одноканальном приближении.

код для вставкиСкачать
УДК 621.315.592
Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 4
Д. Е. Цуриков
КОЭФФИЦИЕНТЫ РАССЕЯНИЯ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ
КВАНТОВОЙ СЕТИ В ОДНОКАНАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ∗
Введение. К числу перспективнейших материалов для современной наноэлектроники относятся аллотропные модификации углерода: графен, фуллерен, нанотрубки.
Это связано с их уникальными электрическими свойствами, обусловленными спецификой строения кристаллической решётки. Её численное моделирование позволяет
предсказывать характеристики углеродных наноструктур, что актуально для техники. Функциональную мо2
3
9
дель кристаллической решётки можно построить на основе концепции квантовой сети [1]. В этом случае до8
10
стигается высокая скорость и гибкость расчётов, спо1
4
собные обеспечить данному подходу широкую область
11
7
применения.
Структура сети. При моделировании кристал12
лической решётки аллотропных модификаций углеро5
6
да представляет интерес рассеяние электрона в гексагональной квантовой сети (рис. 1). Здесь и всюду ниже
Рис. 1. Схема гексагональной
следуем соглашениям и обозначениям безразмерной заквантовой сети:
дачи, рассмотренной в работе [2]. На рисунке сеть имесплошные линии — внутренние
ет шесть внутренних симметричных Y-узлов и шесть
узлы и рукава; пунктирные
внешних узлов. Её структура запишется
линии — внешние узлы и рукава
N = {{1, 7, 8}, {2, 8, 9}, {3, 9, 10}, {4, 10, 11}, {5, 11, 12}, {6, 12, 7}},
(1)
где N — кортеж идентификаторов внутренних узлов, каждый из которых — кортеж
номеров примыкающих к узлу рукавов. Все рукава сети одинаковы:
{K kk = K ll , Akk = All }k,l∈I∪E ,
(2)
kl
k kl
k kl
:= κm
Imn , Akl
Kmn
mn := a Imn ,
(3)
где I = {7, 8, 9, 10, 11, 12} и E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — кортежи номеров внутренних и внешk
них рукавов соответственно; κm
:= ε − λkm , ε — энергия электрона в сети, λkm — энергия
m-го канала в k-м рукаве; I — единичная матрица, ak — длина k-го рукава.
Будем полагать, что
(4)
{ak = 0}k∈I∪E.
Это не умаляет общности задачи, так как границы узлов с рукавами условны. В любой сети их можно провести так, что будет выполнено равенство (4). При этом узлы
модифицируются, а рассеивающие свойства сети останутся прежними.
Давыд Евгеньевич Цуриков — младший научный сотрудник, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: davydtsurikov@mail.ru
∗ Работа выполнена при поддержке ООО «Научно-исследовательский институт специальных технологий».
© Д. Е. Цуриков, 2013
19
Одноканальное приближение. Движение электрона в гексагональной квантовой сети описывает её расширенная матрица рассеяния S [E] [3]. S-матрицу сети можно
найти на основе S-матриц её узлов посредством сетевой формулы [2]
A∈N
S [E] = ⊗ S [A] .
(5)
Операция объединения ⊗ для S-матриц с идентификаторами-кортежами A и B
S [A] ⊗ S [B] := S [A\B,B\A]
(6)
определяется согласно формуле объединения, которая в случае (4) имеет вид
[J,K]JJ
[J,K]JK
S
OJL
OJK
S
[J,L]
S
=
+
×
OLJ
S [K,L]LL
OLK
S [K,L]LK
,
[J,K]KK
−1
I KK
OKL
S [J,K]KJ
−S
×
I KK
−S [K,L]KK
OKJ
S [K,L]KL
(7)
где J = A\B = {k ∈ A|k ∈
/ B}, K = A ∩ B = {k ∈ A|k ∈ B}, L = B\A = {k ∈ B|k ∈
/ A}, при
этом S [J,K] ∼ S [A] и S [K,L] ∼ S [B] (могут отличаться друг от друга перестановкой строк
и столбцов); O — нулевая матрица.
Расширенные матрицы рассеяния в формуле (5) являются бесконечными в силу
бесконечного числа каналов в рукавах. В численных расчётах конкретных физических
систем учитывается их конечное число. При расчёте S [E] учтём только первый открыk k
тый канал: {κm
}m = {κ1k }k , {Im(κ1k ) = 0}k . Тогда (5) примет вид:
[E]
A∈N
[A]
S11 ≈ ⊗ S11 .
(8)
Выражение (8) — одноканальное приближение для S-матрицы квантовой сети. В этом
случае согласно определению потоковой матрицы рассеяния
C := K +1/2 SK −1/2
(9)
и свойству (2) S11 = C11 . Поскольку первый канал является открытым, в силу сохранения полного потока C11 унитарна. Следовательно, S11 унитарна также:
†
†
S11 S11
= I11 = S11
S11 ,
(10)
и квадраты модулей её элементов имеют вероятностную интерпретацию. Выражения
(9) и (10) верны для матриц с любым идентификатором узла.
Для изображённой на рисунке гексагональной сети имеем
Y
{S11 = S11 }A∈N ,
[A]
Y
(11)
[E]
где S11 — матрица рассеяния симметричного Y-узла. Поэтому для расчёта S11 поY
средством (8) следует найти S11 .
Y
S-матрица симметричного Y-узла. Вид S11 как функции энергии определяется геометрией узла и электростатическим потенциалом в нём. Чтобы выявить характерные особенности транспортных свойств сети во всевозможных случаях, проведём
параметризацию S-матрицы симметричного Y-узла.
20
Y
S11 имеет следующую структуру:
Y
S11
Из (10) и (12) следует
⎡
μ1
= ⎣μ2
μ2
μ2
μ1
μ2
⎤
μ2
μ2 ⎦ .
μ1
(12)
μ1 μ̄1 + 2μ2 μ̄2 = 1
.
μ1 μ̄2 + μ2 μ̄1 + μ2 μ̄2 = 0
(13)
Полагая, что μ1,2 =: ρ1,2 exp(iϕ1,2 ), из (13) получим
2
ρ1 + 2ρ22 = 1
.
2ρ1 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + ρ2 = 0
(14)
Введём обозначение:
η := − cos(ϕ1 − ϕ2 ).
(15)
Так как модули комплексных чисел неотрицательны: ρ1,2 0, из второго равенства
системы (14) и (15) следует
0 η 1.
(16)
С учётом (15) систему (14) запишем в виде
2
ρ1 + 2ρ22 = 1
.
4η2 ρ21 = ρ22
Отсюда имеем
−1/2
ρ1 = (1 + 8η2 )
,
(17)
−1/2
ρ2 = 2η(1 + 8η2 )
(18)
.
Вводя обозначение θ := ϕ1 , из (15) получим
ϕ2 = θ − arccos(−η).
(19)
Y
Таким образом, согласно (18) и (19) имеем следующую параметризацию для S11 (12):
−1/2
exp(iθ)
μ1 = (1 + 8η2 )
, 0 η 1, 0 θ 2π.
(20)
−1/2
μ2 = 2η(1 + 8η2 )
exp(i[θ − arccos(−η)])
Численный расчёт. На основе (8), (11), (12) и (20) найдём матрицу коэффициентов рассеяния гексагональной квантовой сети:
P11 := {|S11 |2 }k,l∈E .
[E]
[E]kl
(21)
Графики её элементов как функций параметра z = ηeiθ изобразим в комплексной плоскости. Область определения каждого из них — замкнутый единичный круг:
{z ∈ C| |z| 1} (рис. 2, слева). Каждая точка области будет иметь оттенок, отвечающий значению коэффициента рассеяния в ней. Соответствие значения оттенку задаёт
палитра (рис. 2, справа).
График матрицы коэффициентов рассеяния (21) (рис. 3) имеет симметрию, ана[E]11
логичную симметрии сети (см. рис. 1). В первой строке уникальны элементы P11 ,
21
1,0
Im z
1
z = ηeiθ
|z| ≤ 1
−1
0
1
0,5
Re z
Рис. 2. Правило построения графиков коэффициентов рассеяния:
−1
слева — область определения коэффициента;
справа — палитра его значений в области
0,0
Рис. 3. График матрицы коэффициентов рассеяния гексагональной квантовой сети в одноканальном приближении
[E]12
[E]13
[E]14
[E]15
[E]13
[E]16
[E]12
P11 , P11 , P11 , при этом P11 = P11 , P11 = P11 . Каждая строка (столбец)
связана с соседними циклической перестановкой элементов. Коэффициенты рассеяния
π-периодичны по параметру θ, что объясняется спецификой параметризации. Графики
диагональных элементов говорят о преобладании отражения (тёмные участки) и возможности существенного прохождения (светлые участки). Наблюдается пониженная
вероятность прохождения в чётные рукава при чётном входном рукаве, а также в нечётные при нечётном входном.
Каждой реализации симметричного Y-узла соответствует кривая в замкнутом единичном круге (см. рис. 2), которая характеризует поведение параметров η и θ как
функций ε. Совместив кривую с графиками, можно оценить рассеивающие свойства
гексагональной сети, состоящей из Y-узлов данного типа.
Заключение. В представленной работе рассмотрено движение электрона по гексагональной квантовой сети в одноканальном приближении. На основе параметризации S-матриц образующих её Y-узлов проведён анализ её рассеивающих свойств. Он
показал, что для сети данной структуры преобладает отражение. Тем не менее, при
определённых рассеивающих свойствах узлов возможно существенное увеличение её
прозрачности. В таком случае прохождение электрона имеет низкую вероятность для
выходных рукавов, находящихся через один от входного. Эта особенность является общей для всех гексагональных сетей в одноканальном приближении.
Предложенный подход к задаче рассеяния электрона в квантовой сети представляет интерес при моделировании кристаллической решётки твёрдого тела. Для этого
22
следует задать параметры S-матриц узлов сети как функции энергии для конкретного
материала. Корректно подобранные функции позволят провести моделирование электрических свойств таких аллотропных модификаций углерода как графен, фуллерен,
нанотрубки.
Литература
1. Pavlov B., Yafyasov A. Standing waves and resonance transport mechanism in quantum networks // Surf. Sci. 2007. Vol. 601. P. 2712.
2. Цуриков Д. Е., Яфясов А. М. Расчёт S-матрицы квантовой сети в терминах S-матриц её
узлов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 3. C. 12–19.
3. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц / пер. с англ. М., 1969.
Статья поступила в редакцию 6 мая 2013 г.
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
619 Кб
Теги
приближение, гексагональных, одноканальной, квантовое, сети, рассеяния, коэффициента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа