close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кручение упругого пространства содержащего сферическую трещину.

код для вставкиСкачать
Механика деформируемого твердого тела
Вестник Нижегородск ого университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1495–1496
1495
УДК 539.3
КРУЧЕНИЕ УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА,
СОДЕРЖАЩЕГО СФЕРИЧЕСКУЮ ТРЕЩИНУ
 2011 г.
А.Н. Златин
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
anzlat@yandex.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Представлено элементарное решение парных сумматорных уравнений, связанных с осесимметричной
задачей кручения упругого пространства, ослабленного сферической трещиной.
Ключевые слова: парные уравнения, кручение, упругое пространство, сферическая трещина.
Парные уравнения, связанные с осесимметричной задачей кручения упругого пространства,
ослабленного сферической трещиной, рассматривались в работах [1−3]. В [1] решение сводилось
к интегродифференциальному уравнению, в [2] и
[3] − к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, причем в [3] (см. поправку [4]) было
найдено решение этого уравнения.
n =1
∞
u 2 = − ∑ Cn
n =2
n+2 n 1
r Pn ( x );
n ( n + 1)
n − 1 − n −1 1
r
Pn ( x).
n( n + 1)
( n + 2)(n − 1)
Cn Pn1 ( x) =F ( x) при 0 ≤ θ < θ0;
n ( n + 1)
n =2
∞
1
∑ N 1 Cn Pn1 ( x) = 0
при θ0 < θ ≤ π.
(3)
n
Решение парных уравнений
Рассмотрим задачу осесимметричного кручения упругого пространства, ослабленного трещиной в виде сферического сегмента: r = 1; 0 ≤ θ <
< θ0, где {r, ϕ, θ} − сферические координаты. К
трещине приложены касательные напряжения
τ = τ rϕ = Gr ( u / r ) ′r = F cos θ,
на бесконечности и в нуле перемещения u = uϕ = 0
(G − модуль сдвига упругого материала). Условия сопряжения решений на поверхности r = 1,
где расположена трещина, имеют вид (x = cos θ):
τ1 = τ 2 , при θ 0 < θ ≤ π;
τ1 = τ 2 = F ( x ) при 0 ≤ θ < θ 0
(1)
u1 = u2 при θ 0 < θ ≤ π .
Индексом 1 помечены величины, относящиеся к
области r < 1, индексом 2 − к области r > 1.
Решения уравнения кручения, могут быть построены в виде
∞
∞
∑
n =1
Постановка задачи.
Парные сумматорные уравнения
u1 = ∑ Cn
ходим к парным сумматорным уравнениям по
присоединенным функциям Лежандра (N n1 =
= n(n + 1)/(n + 1/2)):
(2)
При выполнении смешанных условий (2) при-
Для упрощения решения предположим, что
нагрузка представима в виде
∞
F ( x) = G ∑ Fn Pn1 ( x).
n =1
Использование специальных дифференциальных операторов позволяет свести систему (3) к
паре уравнений по полиномам Лежандра, допускающей элементарное решение. Приведем окончательный результат:
θ0
C0 =
t
∫ g (t) cos 2 dt = 0,
(4)
0
θ0
Cn =

1
∫ g (t) cos n + 2  tdt ,
n = 1, 2, 3, K. (5)
0
Вспомогательная функция g(t) в (4) и (5) после
применения стандартной процедуры метода парных уравнений находится в явном виде:
π
3
2
3t
g ( t ) = C cos t − F1 t sin +
2
3
2
2
∞
n( n + 1)
1

Fn cos n +  t ,
+∑
(6)
2

n = 2 ( n + 2)(n − 1)
причем константа С определяется из интеграль-
А.Н. Златин
1496
ного соотношения (4).
Частные случаи
I. Задача о скручивании бесконечного пространства со свободной от напряжений трещиной
усилиями, приложенными на бесконечности сводится к случаю: F1 = 0, Fn = 0, n ≥ 3, F2 = −γ/3
(γ − погонный угол закручивания). Из (4), (6) получаем:
3
5 

g ( t ) = γ  ( 4 cos θ0 − 1) cos t − 3 cos t  /(3π).
2
2 

Коэффициент интенсивности напряжений
K III =
G π g (θ0 ) 4Gγ sin
=
sin θ0
3/ 2
( θ0 ) cos(θ0 / 2)
3 π
(отметим, что этот результат совпадает с приведенным в [4]). Для сравнения рассмотрим задачу
кручения пространства с дискообразной трещиной, совпадающей в плане со сферической. В этом
случае K III = K пл = 4Gγ sin 3 / 2 ( θ 0 ) /( 3 π ) .
Коэффициент уменьшения KIII за счет кривизны
поверхности: k ( θ0 ) = K III / K пл = cos(θ0 / 2).
II. Сосредоточенный момент M в начале координат. Эта задача приводится с случаю F1 =
= −3M/(8πG), Fn = 0, при n ≥ 2. Коэффициент
интенсивности напряжений
3 θ


K III = M   0 − cos θ0  + sin 2 θ0  /(4π 3 / 2 ×

 2  sin θ0

× cos( θ 0 / 2) sin θ 0 ).
Список литературы
1. Мартыненко М.А. // Математическая физика.
1979. №25. С. 106−109.
2. Златин А.Н., Галактионова Н.Е., Дорофеев П.А.
// Вопросы математической физики и прикладной математики. Физико-технический институт им А.Ф. Иоффе, СПб. 2007. С. 279−285.
3. Godin Yu.A. // Quart. Appl. Math. 1995. V. 53.
P. 679−682.
4. Godin Yu.A. // Quart. Appl. Math. 2000. V. 58.
P. 795−796.
TORSION OF AN ELASTIC SPACE CONTAINING A SPHERICAL CRACK
A.N. Zlatin
The elementary solution of dual series equations arising in the problem of axisymmetric torsion of an elastic space
weakened by a spherical crack is obtained.
Keywords: dual series equations, torsion, elastic space, spherical crack.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
591 Кб
Теги
сферическая, пространство, кручение, содержащего, трещин, упругого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа