close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель паропропускной способности ткани.

код для вставкиСкачать
Вестник КрасГАУ. 200 9. №2
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 518.6:634.92
Н.В. Усенко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРОПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ ТКАНИ
Содержание статьи включает результаты эксперимента по паропропускной способности различных видов тканей через три вида вещества и моделей, прикладываемых к нему. Задача заключалась в
составлении моделей, показывающих, как поведет себя ткань на последующий период времени при изменении температурного режима, концентрации и скорости воздуха. Было прослежено отклонение прикладываемой линейной и нелинейной моделями по методу наименьших квадратов и сделан вывод, что нелинейная модель дает лучший результат со средней погрешностью в 1,75 раза меньше, чем линейная для
каждого вида вещества, и в 6,43 раза меньше, чем линейная для всех трех веществ в совокупности.
Ключевые слова: модель, метод наименьших квадратов, линейная функция, нелинейная функция,
формула Тейлора, функции нескольких переменных.
N.V. Usenko
MATHEMATICAL MODEL OF THE CLOTH STEAM CAPACITY
The article contains the results of the experiment on the steam capacity of the various types of cloth through
the three types of material and sample pieces affixed to it. The task was to formulate the sample pieces indicating
how the cloth will behave itself on the subsequent time span at fluctuation of the temperature conditions, densities
and velocities of the air. The diverting of the affixed linear and nonlinear sample pieces by the method of least
squares is traced and the conclusion that the nonlinear sample piece gives the best effect with an average error at
1.75 time less than linear for each type of material and in 6,43 times less than linear for all three materials in the
aggregate is drawn.
Keywords: a sample piece, a method of least squares, a symmetric function, nonlinear function, Taylor's
formula, function of several variables
Качество продукции – это важный фактор, который влияет на реализацию товаров.
В процессе эксплуатации одежда удовлетворяет различные потребности человека, как материальные
(создание условий для поддержания нормальной жизнедеятельности организма человека), так и нематериальные [1].
Комплекс потребительских требований к текстильным материалам и одежде зависит от различных
факторов [2]:
- назначения одежды;
- условий эксплуатации;
- возрастных потребностей.
Поэтому необходимо изучать структуру ткани, из чего она изготавливается, а также какое воздействие
на нее оказывают различные факторы.
Данные эксперимента по паропропускной способности различных видов ткани через фенол, йод и
фториды с разной концентрацией, температурой и скоростью воздуха приведены в табл. 1–3 [4].
Наша задача состояла в подборе модели, подставляя в которую имеющиеся данные, можно получить
прогноз на последующий период времени о том, как поведет себя ткань при той или иной пропускной способности с наименьшим отклонением (ошибкой).
Для решения поставленной нами задачи мы воспользовались сначала линейной функцией, затем
применили нелинейную квадратичную функцию [3; 8]. Расчеты производили, пользуясь методом наименьших квадратов. В конце работы приведен анализ этих двух функций и выявлена наименьшая ошибка. Наиболее точная функция и будет использована для дальнейших прогнозов.
11
Математика и информатика
1.Нахождение линейной функции
Для трех видов веществ функция будет искаться в виде:
F
ax
by
cz
d,
где F – проницаемость ткани, г/(м2·с); a, b, с – переменные; x – г/л; y – °С; z – л/с (см. табл. 1–3). Решение задачи будет сводиться к нахождению неизвестных параметров a, b, c, d [6].
1-й шаг
Найдем функцию для фенола (табл. 1).
Решение будет проходить в несколько этапов.
1) Находим Q 63 F ( ax by cz d ) 2 min
i
i
i
i
i
i 1
=> Q(a, b, c, d ) 0, 68234 (318a 1491b 31, 41c 63d ).
2) Далее найдем частные производные по каждой переменной и приравняем их к нулю:
Q
a
Q
b
Q
c
Q
d
Q
a
Q
b
Q
c
Q
d
0
0
0
0
=>
Q
a
2
Q
b
2
Q
c
2
Q
d
2
63
Fi
( ax i
by i
cz i
d i ) xi
0
Fi
( ax i
by i
cz i
d i ) yi
0
Fi
( ax i
by i
cz i
d i ) zi
0
Fi
( ax i
by i
cz i
di )
i 1
63
i 1
63
=>;
i 1
63
0
i 1
2,4533 (5288 a 7356b 158,91c 318d )
18,87047 (7356 a 40155,5b 743,43c 1491d )
=>; 5288a 7356b 158,91c 318d
2,4533
40155,5b 743,43c 1491d 18,87047
0,34398 (158,9a 743,4b 16,8307 c 31,41d )
7356a
0,68234 (318a 1491b 31,41c 63d )
158,9a 743,4b 16,8307c 31,41d 0,34398
318a 1491b 31,41c 63d 0,68234
.
Решая полученную систему уравнений с помощью пакета MO Excel, получим следующие результаты:
x=-0,0002; y=0,0006; z=0,0033; d=-0,0026.
Запишем теперь в виде уравнения:
F1 =-0,0002x+0,0006y+0,0033z-0,0026.
Далее проделаем аналогичные расчеты по фенолу со вторым видом ткани и получим следующее
уравнение:
F2 = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003.
2-й шаг
Следующим шагом будет расчет методом наименьших квадратов по йоду также для двух видов ткани
по 63 показателям.
Получим уравнения:
F1 = 0,0227x + 0,0082y + 0,483z - 0,086;
F2
0,0066 x
0,008 y
0,6178 z
0,1543 .
3-й шаг
Для фторидов расчет будет производиться на основе 36 показателей.
Получим уравнения:
F1 = 0,0035x + 0,0007y - 0,0747z;
F2
0,0035 x
0,0007 y
0,1245 z
0,0996 .
Запишем все полученные уравнения для разных веществ в систему:
F1ф = -0,0002x + 0,0006y + 0,0033z - 0,0026
F2ф = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003
F1и = 0,0227x + 0,0082y + 0,483z - 0,086
F2и
0,0066 x
0,008 y
0,6178 z
0,1543
F1фт = 0,0035x + 0,0007y - 0,0747z
F2фт
0,0035 x
0,0007 y
0,1245 z
0,0996
Данные расчеты были произведены для каждого вещества по отдельности.
Полученные погрешности, рассчитанные по формуле
1
63
внесены в сводную табл. 4.
63
Fi
(ax i
i 1
12
by i
czi
di ) ,
Вестник КрасГАУ. 200 9. №2
4-й шаг
Будем проводить расчет по универсальной функции для всех вместе взятых показателей по трем видам веществ. Наша функция будет выглядеть следующим образом:
162
Q
Fi
( axi
byi
cz i
2
di )
min .
i 1
Для первого вида ткани функция будет выглядеть так:
F1 = -0,0084x + 0,2358y + 0,0029z
0,0076.
Для второго вида:
F2 = 0,1097x + 0,3073y + 0,003z
0,0087.
Расчет ошибки представлен в табл. 4.
2.Нахождение нелинейной функции
Далее посчитаем прогноз для всех веществ, воспользовавшись нелинейной (квадратичной) функцией [5]:
ax by cz a 1 x 2 a 2 xy a 3 xz a 4 zy a 5 y 2 a 6 z 2 d.
F x, y, z
Нелинейная функция для данного эксперимента получена на основе функции Тейлора для нескольких
переменных [8]. Расчет будет проводиться по всем трем видам веществ для каждого вида ткани.
Сначала найдем F1 , затем аналогичные действия произведем и для F2 (второго вида ткани).
Шаг 1. Найдем
Q
162
Fi
(ax i
byi
czi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 z i yi
a 5 yi
2
a 6 zi
2
di )
2
min .
i 1
Для расчетов воспользуемся средствами MO Excel. Получим:
162
Q
[ 43,11774 ( 1907 ,4a 3852b 80 ,82c 35588 ,18a1
45495 ,6a 2
952 ,467 a 3
i 1
1921,86a 4 106183 ,5a 5
42 ,6614 a 6 162 d i )] 2
min .
Шаг 2. Посчитаем частные производные от каждой переменной величины и приравняем их к нулю:
162
Q
a
2
Q
b
2
Q
c
2
Q
a1
2
Q
a2
2
Q
a3
2
Q
a4
2
Q
a5
2
Q
a6
2
Q
d
2
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
[Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
Fi
(ax i
by i
czi
Fi
(ax i
by i
czi
2
a 6zi
2
di ) x i
0
2
a 6zi
2
d i )]y i
0
2
a 6zi
2
di ) zi
0
2
a 6zi
2
d i ) x i2
a 5 yi
2
a 6zi
2
d i ) x i yi
0
a 5 yi
2
a 6zi
2
di ) x i zi
0
i 1
162
i 1
162
i 1
162
0
i 1
162
i 1
162
i 1
162
ax i
by i
czi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 6zi
2
d i ) zi yi
0
i 1
162
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 6zi
2
d i ) y i2
0
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
2
a 6zi
2
d i ) z i2
0
Fi
(ax i
by i
czi
a 1x i
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 zi yi
a 5 yi
i 1
162
i 1
162
2
2
a 6zi
2
di )
0.
i 1
Шаг 3. После нахождения частных производных решаем полученную систему уравнений и находим
неизвестные параметры.
Шаг 4. Записываем получившуюся функцию:
F1
125400 x 25552 ,64 у 586656 ,1z 4824,434 x i2 13,18748 x i y i
33748,1z i y i 182,89 y i
2
230274 ,8z i
2
4717 ,14 x i z i
0,00374 d i .
Считаем ошибку по формуле:
1 162
Fi
162 i 1
(ax i
byi
czi
a 1x i
2
a 2 x i yi
a 3x i zi
a 4 z i yi
a 5 yi
2
a 6zi
2
di ) .
Погрешности данных функций представлены в табл. 6.
Теперь аналогично, как и с линейной функцией, посчитаем и найдем функцию для каждого вещества
в отдельности.
13
Математика и информатика
Для фенола:
143771x 3277 ,769 у 444606 z 1820,735 x i2 3759,52 x i yi 21948,43x i zi
F1
1186,71zi yi 133,87 yi
F2
2
2
45591zi ;
-205272 x - 1666,77 у 927742,2 z
2
2605,513 x i2 11716,94 x i yi - 261028 x i zi
2
- 1657,51zi yi - 190,593 yi - 652428 zi .
Для йода:
-4182,42 x - 230388 у 10747527 z - 1656,26 x i2
F1
2
- 15184,6 z i y i - 151,174 y i - 517492 z i
F2
2
0,00000000 4d i ;
-10043,2 x - 952761 у 43965578 z 4442,82 x i2
17250,76 z i yi
405,519 yi
2
19314,53 x i y i - 779504 x i z i
72796,51x i yi - 3598407 x i z i
2
1388146 z i - 0,00000004 d i .
Погрешности данных функций представлены в табл. 5.
Шаг 5. Найдем по аналогии с прошлым примером универсальную функцию для всех видов веществ и
видов ткани. Это будет последним нашим шагом применения нелинейной функции по всем веществам и видам
тканей. Получаем:
Fобщ .
557656,5 x - 75323,5 у - 2975211z - 21781,1x i2 - 68,3747 x i yi
19240,75 z i yi
1373,463 yi
2
20601,87 x i z i
2
2544786 z i - 0,00001d.
Погрешности данных функций представлены в табл. 6.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие заключения:
1.В линейной функции наиболее гладкую линейную зависимость показывает функция по фенолу и
фторидам, так как получена наименьшая погрешность (табл. 4). По фторидам прослеживается слабая линейная зависимость переменных x, y, z от результативного показателя F. Что касается универсальной функции по линейной модели, то мы наблюдаем обратную ситуацию с ошибкой в 24 и 29% (табл. 4).
2.В нелинейной модели во всех случаях прослеживается хорошая зависимость результативного показателя от случайных величин x, y, z при средней ошибке в 4%.
Выводы
Нелинейная модель дает лучший результат со средней погрешностью в 1,75 раза меньше, чем линейная для каждого вида вещества, и в 6,43 раза меньше, чем линейная для всех трех веществ в совокупности.
Таблица 1
По фенолу
Ткань1с, г/м2·с
Концентрация, г/л
1
F1
0,0128
0,0128
0,01283
0,01284
0,01287
0,0129
0,013
0,0131
0,0133
0,0136
0,0139
2
х
const = 30 мл= 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
Температура,
°С
3
у
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
14
Скорость
воздуха, м/с
4
z
0,01
0,15
0,2
0,25
0,3
0,33
0,35
0,4
0,42
0,45
0,5
Ткань 2ф, г/м2·с
5
F2
0,0128
0,0128
0,0128
0,0128
0,0128
0,0128
0,0129
0,013
0,0131
0,132
0,0133
Вестник КрасГАУ. 200 9. №2
1
0,014
0,0142
0,01423
0,01428
0,0143
0,0144
0,0145
0,0148
0,015
0,0159
2
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
const = 1 г/л
3
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
4
0,55
0,58
0,6
0,65
0,67
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
Таблица 2
По йоду
Ткань1с, г/м2·с
F1
0,0027
0,5021
0,6325
0,7062
0,7354
0,7461
0,7493
0,7516
0,7536
0,7584
0,7651
0,7692
0,773
0,7766
0,7791
0,7806
0,7823
0,7848
0,7888
0,7914
0,7943
0,0027
Концентрация,
г/л
х
const = 12,7 г/л
const = 30 мл (12,7 г/л)
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
const = 12,7 г/л
Температура,
°С
у
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
const = 23 °С
Скорость воздуха, м/с
Ткань 2ф, г/м2·с
z
0,01
0,15
0,2
0,25
0,3
0,33
0,35
0,4
0,42
0,45
0,5
0,55
0,58
0,6
0,65
0,67
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,01
F2
0,0026
0,3316
0,4262
0,5616
0,6985
0,7091
0,7154
0,7271
0,7321
0,7399
0,7536
0,7583
0,7615
0,7639
0,7665
0,7691
0,7708
0,7732
0,7756
0,7799
0,78233
0,0026
Таблица 3
По фторидам
Ткань1с, г/м2·с
1
F1
0,0502
0,0511
0,0523
Концентрация,
г/л
2
х
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
Температура, °С
3
у
0
2,5
5
15
Окончание табл. 1
5
0,0135
0,0136
0,01364
0,0137
0,0138
0,0139
0,014
0,0143
0,0147
0,0152
Скорость воздуха,
м/с
4
z
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
Ткань 2ф, г/м2·с
5
F2
0,0481
0,0495
0,0505
Математика и информатика
1
0б0534
0б0561
0б0602
0,0617
0,0641
0,0661
0,068
0,0699
0,0715
0,0738
0,0756
0,0762
0,0773
0,0785
0,079
0,0804
0,0827
0,0872
0,0502
2
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
const = 25 мл
3
7б5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
27,5
30
32,5
35
37,5
40
42,5
45
47,5
50
0
4
const =0б 5л.сб
const =0б 5л.сб
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
const =0, 5л/с,
Окончание табл. 3
5
0б0522
0б0552
0,0564
0,0573
0,06
0,0623
0,0644
0,0667
0,0679
0,0691
0,0721
0,0741
0,075
0,0768
0,0782
0,0799
0,0812
0,0854
0,0481
Таблица 4
Сводная таблица по ошибкам линейной функции
Линейная функция
F
ax
by
cz
d
Вещество
Функция
Ошибка, %
Вещество
Функция
Ошибка, %
Вещество
Функция
Ошибка, %
Вещество
Функция
Ошибка, %
Фенол
F1 = -0,0002x + 0,0006y + 0,0033z - 0,0026
0,4004
Йод
F1 = 0,0227x + 0,0082y + 0,483z - 0,086
18,362
F1 = 0,0035x + 0,0007y - 0,0747z
0,127
(63 показ.)
F 2 = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003
1,177
(63 показ.)
F2
0 ,0066 x
Фториды (36 показ.)
0,0001
F2 0 ,0035 x
0 ,008 y
0 ,6178 z
0 ,1543
0,1245 z
0,0996
18,071
0 ,0007 y
7,296
Линейная универсальная
F
ax
by
cz
d
Фенол, йод, фториды (162 показателя)
F1 = -0,0084x + 0,2358y + 0,0029z
0,0076
F2 = 0,1097x + 0,3073y + 0,003z
29,268
24,944
16
0,0087
Вестник КрасГАУ. 200 9. №2
Таблица 5
Сводная таблица по ошибкам нелинейной функции для разных видов
веществ по отдельности
F x, y, z
ax
by
cz
Вещество
Нелинейная функция
a1 x 2 a 2 xy a 3 xz a 4 zy
a5 y 2
a6 z 2
d
Фенол (63 показ.)
Функция
Ошибка, %
1,083
Вещество
Функция
Фенол (63 показ.)
-205272 x - 1666,77 у
F2
2605,513 x i2
927742,2 z
2
- 1657,51 z i y i - 190,593 y i - 652428 z i
Ошибка, %
Вещество
11716,94 x i y i - 261028 x i z i
2
1,194
Йод (63 показ.)
F1
Функция
-4182,42 x - 230388 у 10747527 z - 1656,26 x i2
2
- 15184,6 z i y i - 151,174 y i - 517492 z i
Ошибка, %
Вещество
Функция
2
19314,53 x i y i - 779504 x i z i
0,00000000 4d i
6,42
Йод (63 показ.)
F2
-10043,2 x - 952761 у
17250,76 z i y i
405,519 y i
43965578 z
2
4442,82 x i2
72796,51 x i y i - 3598407 x i z i
2
1388146 z i - 0,00000004 d i
Ошибка, %
6,189
Таблица 6
Ошибки по нелинейной функции для разных веществ, взятых в совокупности
Нелинейная функция по трем видам веществ для каждого вида ткани взятого в
отдельности
ax by cz a1 x 2 a 2 xy a 3 xz a 4 zy a 5 y 2 a 6 z 2 d
F x, y, z
Вещество
Функция
Фенол, йод, фториды (162 показателя)
Ошибка, %
Вещество
Функция
4,248
Фенол, йод, фториды (162 показателя)
F2
23,59778 x - 4,18009 у - 82,0132 z - 0,90847 x i2 - 0,00253 x i y i
5,084966 z i y i
0,034575 y i 2 - 42,6174 z i 2
Ошибка, %
0,937767 x i z i
14,2692 d i
4,178
Нелинейная функция по трем видам веществ для двух видов ткани вместе взятых
(F1+F2)
F x, y, z
ax by cz a 1 x 2 a 2 xy a 3 xz a 4 zy a 5 y 2 a 6 z 2 d
Вещество
Функция
Фенол, йод, фториды (324 показателя)
Fобщ.
557656,5 x - 75323,5 у - 2975211 z - 21781,1 x i2 - 68,3747 x i y i
19240,75 z i y i
1373,463 y i
2
2
2544786 z i - 0,00001d
Ошибка, %
4,213
17
20601,87 x i z i
Математика и информатика
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Механическая технология текстильных материалов: учеб. для вузов / А.Г. Севостьянов, Н.А. Осьмин,
В.П. Щербаков [и др.]. – М.: Легпромбытиздат, 1994. – 512 с.
Лабораторный практикум по механической технологии текстильных материалов: учеб. пособие. – М.:
Легкая индустрия, 1996. – 552 с.
Методические указания по расчету индивидуальных заданий по курсу «Механическая технология волокнистых материалов». Раздел «Прядение натуральных и химических волокон». – М., 1991. – 40 с.
Миловидов, Н.Н. Проектирование хлопкопрядильных фабрик: учеб. пособие / Н.Н. Миловидов, П.П. Фаминский, Е.И. Шишкунова. – М.: Легкая и пищевая пром-сть, 2002. – 310 с.
Гмурман, В.И. Теория вероятности и математическая статистика / В.И. Гмурман. – М., 2001.
Харебов, К.С. Компьютерные методы решения задачи наименьших квадратов и проблемы собственных значений / К.С. Харебов. – Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1995. – 76 с.
Лоусон, Ч. Численное решение задач наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. – М.: Статистика,
1989. – 447с.
Ефимов, А.В. Математический анализ / А.В. Ефимов. – М., 1980.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
604 Кб
Теги
паропропускной, математические, способностей, ткани, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа