close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое и имитационное моделирование профиля дорожного покрытия.

код для вставкиСкачать
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
http://naukovedenie.ru
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
publishing@naukovedenie.ru
УДК 519.876.5
Белецкий Андрей Валерьевич
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Филиал в г. Сочи
Россия, Сочи1
Доцент, кандидат технических наук
E-Mail: andy@sochi.com
Рекунов Сергей Сергеевич
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Филиал в г. Сочи
Россия, Сочи
Доцент, кандидат технических наук
E-Mail: rekunoff@mail.ru
Математическое и имитационное моделирование профиля
дорожного покрытия
Аннотация. Совершенствование систем автоматизированного проектирования требует
развития и совершенствования математических моделей входных воздействий на
проектируемые объекты. При движении колесной машины одним из факторов, определяющих
динамический момент в трансмиссии и динамические силы в подвеске, является величина
переменной вертикальной силы, действующей на колесо, существенно зависящей от
характеристик неровностей дорожной поверхности. Основными характеристиками
неровностей дорожного покрытия, представленных в виде случайных процессов, являются
автокорреляционная функция, аппроксимированная суммой произведений экспоненциальной
и тригонометрической функций, а также функция спектральной плотности. Разработаны
математические модели и программное обеспечение, позволяющие получать значения высот
неровностей микропрофиля как реализаций случайного процесса, задаваемого аналитическим
описанием автокорреляционной функции в качестве входного воздействия для движителя,
подвески и трансмиссии при проектировании колесных машин. Для получения математических
моделей применены методы формирующего фильтра и авторегрессии – скользящего среднего,
отличающиеся сложностью вычислений и точностью моделирования. Применение
разработанных моделей при проектировании колёсных машин позволяет имитировать
переменные нагрузки в подвеске и трансмиссии при движении по разным видам дорог,
отличающихся заданными коэффициентами аппроксимации автокорреляционной функции.
Ключевые слова: математическое моделирование неровностей дороги, точные и
приближённые модели случайных процессов, формирующий фильтр, автокорреляционная
функция, спектральная плотность, нерекурсивная аналоговая фильтрация, алгоритм
авторегрессии-скользящего среднего.
1
354351,Краснодарский край, г. Сочи, ул. Чекменёва, д.5
1
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
Движение колесной машины характеризуется непрерывным изменением сил
взаимодействия шины в площадке контакта с дорожной поверхностью. Величина этих сил в
значительной степени зависит от характеристик неровностей и упруго-демпфирующих свойств
подвески и ходовой системы. Фактором, определяющим нагрузки в трансмиссии и
динамические качества колесной машины, является момент сил сопротивления движению. Его
точная количественная оценка необходима при анализе динамики трансмиссии и её элементов
в процессе проектирования машины.
Общепринятой методикой определения момента на ведущем колесе Mк является
следующее соотношение между его величиной, радиальной нагрузкой на колесо Gк,
коэффициентом сопротивления качению f0 и радиусом качения колеса в ведомом состоянии rк
:
M к  rк f0Gк .
При этом пренебрегают моментом сил сопротивления в подшипниках колеса вследствие
его малости. Для определения радиальной нагрузки на колесо используется уравнение
равновесия сил, возникающих в контакте колеса с дорогой:
Mg  mg  2cш (hсг (t )   (t ))  Gk (t ).
Учет изменения высоты микропрофиля под ведущим колесом, и как следствие, прогиба
шины h сг (t)  (t) , приводит к необходимости определения случайной переменной
составляющей усилия в контакте колеса с дорогой:
Gк (t )  2cш (hсг (t )   (t )) .
Следовательно, точное определение нагрузки на колесах и в трансмиссии машины
невозможно без определения зависимости (t) и без решения задачи анализа колебательной
системы, включающей в себя шины, ведущий мост, подвеску и шасси [8].
В большинстве работ, посвященных проблемам моделирования профиля дорожной
поверхности, приняты понятия микропрофиля, вызывающего колебания колес, и
макропрофиля, не оказывающего такого влияния и состоящего из длинных неровностей (более
100 м) [1]. Микропрофиль дороги представляется в виде стационарного эргодического
случайного процесса с автокорреляционной функцией (АКФ) вида [3]:
Rk (  )  Dk ( A1k e1k  cos k   A2k e2 k  )
,
где 1k, 2k, k – коэффициенты, найденные для k-го вида профиля, Dk – дисперсия k-го
вида профиля. Результаты корреляционного анализа высот неровностей микропрофиля
некоторых характерных поверхностей из [3] представлены в таблице 1.
2
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
Таблица 1
Коэффициенты аппроксимации
автокорреляционной функции некоторых типов микропрофиля
Дорожное
покрытие
1. Асфальтовое в
хорошем
состоянии
2. Асфальтовое
изношенное
3. Щебеночное
4. Уплотненный
грунт
D, см2
А1
1
А2
2

0,664
1
0
0,13
0
1,05
1,21
0,15
0,85
0,05
0,2
0,6
6,3
0,047
0,953
0,049
0,213
1,367
10,63
0,1
0,9
0,2
0,7
1,57
Приведенной автокорреляционной функции соответствует спектральная плотность,
полученная прямым преобразованием Фурье:

2
2

1
Dk 
1k ( 2  1k
 1k
)

Sk (  )   R(  )cos d  
 A2k 2 2k 2 
 A1k 2
2
2 2
2
2
0
 
(   1k  1k )  41k 
   2k 
Для моделирования стационарных случайных функций с заданными спектральнокорреляционными свойствами (автокорреляционной функцией или спектральной плотностью
и дисперсией) используется большое количество методов, среди которых универсальный
выделить нельзя. Большинство известных методов описано, например, в [1], [4].
Известные методы моделирования можно классифицировать следующим образом:
1. По степени точности алгоритма:
●
точные методы, к которым относятся рекуррентные алгоритмы авторегрессии скользящего среднего и алгоритмы на основе дискретизации синтезируемого
фильтра;
●
приближенные методы, к которым относятся метод формирующего фильтра,
метод скользящего суммирования и методы канонического и неканонического
представления случайного процесса.
2. По требованию к виду функции спектральной плотности:
●
не требующие рационального вида функции спектральной плотности (метод
скользящего суммирования, методы неканонического разложения);
●
требующие рационального вида функции спектральной плотности (большинство
известных методов).
Кроме того можно отметить, что ряд методов можно считать машинноориентированными – например, методы формирующего фильтра с численным
интегрированием дифференциальных уравнений и авторегрессии - скользящего среднего. Для
реализации данных фильтров в разработанном программном обеспечении получены
соответствующие математические модели.
3
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
Наиболее простым решением для построения модели дорожной поверхности является
применение метода формирующего фильтра [4], [9]. Для этого рассмотрим линейный фильтр
как динамическую систему, описываемую линейными однородными дифференциальными
уравнениями [5].
Спектральную плотность представим суммой двух выражений: S(ω)=S 1(ω)+ S2(ω). Для
каждого из слагаемых уравнение передаточной функции формирующего фильтра найдется из
равенства:
Wi ( j )Wi (  j )  2Si (  ),i  1,2.
Тогда:
A1 2D ( j   2  2 )
A2 2D
W1( j ) 
;
W
(
j

)

.
2
j2  2j   2  2
j  
A1 2D ( j   2  2 )
A 2D
h1( t )  ( t )
; h2 ( t )  ( t ) 2
.
2
2
2
j  2 j    
j  
Учитывая принцип суперпозиции, получим:
 A 2D ( j   2  2 ) A 2D 
h1( t )  h2 ( t )  ( t )  1
 2
  ( t )(W1( j )  W2 ( j ));
 ( j )2  2j   2  2

j





A1 2D ( j   2  2 ) A2 2D
W ( j )  W1( j )  W2 ( j ) 

,
( j )2  2j   2  2
j  
(1)
где WΣ(jω) – частотная передаточная функция формирующего фильтра.
На основании данного выражения получены следующие дифференциальные уравнения
формирующего фильтра:
x  y  1( t );
y  (  2  2 )x  2y  (  2   2  2 ) 1( t );
z  z   2( t ),
где 1  A1
2D
2D
,  2  A2
, η(t) – дискретный белый шум, h – шаг
h
h
интегрирования уравнений.
4
http://naukovedenie.ru
30KO514
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
http://naukovedenie.ru
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
publishing@naukovedenie.ru
Реализация случайной функции высоты неровностей hмп(t) найдется в виде суммы
hмп ( t )  x( t )  z( t ).
Более сложный и точный метод авторегрессии-скользящего среднего обеспечивает
совпадение передаточных функций аналогового и цифрового фильтров на частотах  

,
4h
где h – шаг дискретизации. Необходимые коэффициенты для реализации метода могут быть
найдены билинейным z-преобразованием передаточной функции фильтра [1]. Передаточная
функция цифрового фильтра получается из передаточной функции аналогового (1) путем
2 1  z 1
подстановки выражения p 
, где p – оператор Лапласа:
h 1  z 1
B(z) a 0  a1z 1  ...  a m z  m
W(z) 

.
A(z) 1  b1z 1  ...  b n z  n
После алгебраических преобразований получаем значения коэффициентов a и b
рекуррентной формулы для фильтра n-го порядка, реализующего процесс авторегрессии –
скользящего среднего:
yi  a 0  i  a1  i1  ...  a m  im  b1  yi1  b2  yi2  ...  bn  yin .
(2)
Для получения рекуррентного уравнения формирующего фильтра, не имеющего
методической погрешности по функции спектральной плотности, получим передаточную
функцию фильтра методом билинейного z-преобразования. Произведя в выражении (1) замену
2 1  z 1
, получим после алгебраических преобразований:
j 
h 1  z 1
W (z)  W1 (z)  W2 (z) 
h 2D (h  2  2  2)  z 1  2h 2 2D( 2  2 )  z 2  h 2D (h  2   2  2)
 A1

4(1  h)  h 2 ( 2  2 )  z 1  (( 2  2 )h 2  8)  z 2  (4(1  h)  h 2 ( 2   2 ))
h 2D  z 1  h 2D
A2
.
(h  2)  z 1  (h  2)
Учитывая (2), получены уравнения формирующего фильтра, реализующего метод
авторегрессии - скользящего среднего:
5
http://naukovedenie.ru
30KO514
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
http://naukovedenie.ru
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
publishing@naukovedenie.ru
x i  A1 (a 0  i  a1  i1  a 2  i 2 )  b1  x i 1  b 2  x i 2 );
yi  A 2 (c0  i  c1  i1 )  d1 yi 1 ;
(3)
h i  x i  yi ,
или:
hi  A1 (a 0  i  a1  i1  a 2  i2 )  A2 (c0  i  c1  i1 )  b1  xi1  b2  xi2  d1yi1 ),
где :
2h 2 2D( 2  2 )
h 2D (h  2  2  2)
a0 
, a1 
,
4(1  h)  h 2 ( 2  2 )
4(1  h)  h 2 ( 2  2 )
h 2D (h  2  2  2)
2h 2 ( 2  2 )  8
a2 
, b1 
,
4(1  h)  h 2 ( 2  2 )
4(1  h)  h 2 ( 2  2 )
h 2D
4(1  h)  h 2 ( 2  2 )
h  2
b2 
, c0  c1 
; d1 
,
2
2
2
4(1  h)  h (   )
h  2
h  2
ηi – дискретный белый шум.
Структурная схема полученных фильтров представлена на рис. 1.
На рис. 2,а представлен результат моделирования микропрофиля изношенного асфальта
с автокорреляционной функцией, аппроксимированной выражением
R=1,21·(0,15·e0,05t
-0,2·t
·cos(0,6·t)+0,85·e ) по уравнениям формирующего фильтра (1), на рис. 2,б – по
рекуррентным алгоритмам авторегрессии - скользящего среднего (3) в разработанном
программном обеспечении.
В качестве дискретного белого шума при моделировании использовались значения
стандартного датчика случайных чисел Free Pascal Lazarus с равномерным распределением на
отрезке ]0,1[, преобразованные с помощью точного обратного метода Бокса-Мюллера в
нормально распределенные с математическим ожиданием, близким к нулю, и дисперсией,
близкой к единице.
Адекватность полученных моделей микропрофиля проверялась корреляционным и
статистическим анализом полученных реализаций в разработанном программном обеспечении.
Проведенные вычислительные эксперименты показали:
●
удовлетворительное совпадение исходной функции спектральной плотности и
построенной для полученных моделей в границах выбранных оценок (число
оценки значений автокорреляции выбирается из условия Nm=N/9, где Nm – число
точек АКФ, N – число наблюдений; данное условие получено исходя из того, что
стандартное отклонение оценки спектральной плотности не должно превышать
одной трети ее значения);
6
http://naukovedenie.ru
30KO514
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
http://naukovedenie.ru
●
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
publishing@naukovedenie.ru
вычисленные реализации высот микропрофиля распределены по нормальному
закону (выполняются критерии Пирсона и Чебышева).
На рис. 3. представлены автокорреляционные функции исходного микропрофиля и его
моделей, полученных методом формирующего фильтра и рекуррентных уравнений
авторегрессии-скользящего
среднего.
Для
полученных
моделей
вычислялась
среднеквадратичная ошибка R2 к автокорреляционной функции вида R=1,21·(0,15·e0,05t
·cos(0,6·t)+0,85·e-0,2·t) (рис. 3). Рекуррентный алгоритм авторегрессии - скользящего
среднего позволил получить лучший результат R2=0,902.
Рис. 1. Структурные схемы фильтров: а – нерекурсивного аналогового;
б – рекурсивного цифрового, реализующего алгоритм авторегрессии – скользящего среднего
7
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
а)
б)
Рис. 2. Результаты моделирования микропрофиля дорожной поверхности
с шагом 0,01 м: а – интегрированием дифференциальных уравнений формирующего
фильтра методом Рунге-Кутта 4 порядка; б – реализацией рекуррентного алгоритма
авторегрессии-скользящего среднего
8
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
а)
б)
в)
Рис. 3. Автокорреляционные функции микропрофиля дорожной поверхности: а - исходный
профиль, заданный уравнением автокорреляционной функции вида R=1,21·(0,15·e0,05t
·cos(0,6·t)+0,85·e-0,2·t) , б – автокорреляционная функция модели, полученная методом
формирующего фильтра, ошибка R2=0,688; в – автокорреляционная функция модели,
полученная рекуррентными уравнениями авторегрессии-скользящего среднего, ошибка
R2=0,902; на рис.б,в размерность оси абсцисс с/1000
9
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
Выводы:
1. Разработаны математические модели микропрофиля дорожной поверхности как
случайной функции, заданной автокорреляционной функцией,
аппроксимированной
 
 
аналитическим выражением вида Rk (  )  Dk ( A1k e 1k cos k   A2k e 2 k ) , отличающиеся
применением методов формирующего фильтра и дискретизации формирующего фильтра с
помощью рекуррентного алгоритма авторегрессии-скользящего среднего.
2. С помощью разработанного программного обеспечения было установлено, что
рекуррентный алгоритм авторегрессии-скользящего среднего обладает большей точностью
моделирования по сравнению с методом формирующего фильтра.
3. Разработанные математические модели микропрофиля дорожной поверхности
позволяют получить реализации высот неровностей как входные воздействия для исследования
динамики шасси, подвески и трансмиссии в процессе автоматизированного проектирования
колёсных машин.
10
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
ЛИТЕРАТУРА
1.
Бакалов В. П. Цифровое моделирование случайных процессов. СПб.: СайнсПресс, 2004. 88 с.
2.
Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель. /А. А. Хачатуров, В. Л.
Афанасьев, В. С. Васильев, Г. В. Гольдин и др. Под ред. А. А. Хачатурова. М.:
Машиностроение, 1976. 535 с.
3.
Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных машин. М.:
Машиностроение, 1971. 241 с.
4.
Шалыгин А. С., Палагин Ю.И. Прикладные
моделирования. Л.: Машиностроение, 1986. 320 с.
5.
Белецкий А.В. Математическое моделирование и выбор оптимальных проектных
решений в САПР преобразователей момента инерционных передач: дис. ... канд.
тех. наук / Воронежский государственный технический университет. Воронеж,
2005. 149 с.
6.
Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных
процессов. Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. 209 с.
7.
Ходяков Д.С., Белецкий А.В. Автоматизация проектирования систем
подрессоривания колесных машин с учетом микропрофиля дорожного
основания. // Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и
металлургии: сб. научных трудов международной научно-технической
конференции, т. 2: Липецк, изд. ЛГТУ, 2006. с. 256-259.
8.
Белецкий, А.В. Моделирование профиля дорожного основания в задаче анализа
динамики трансмиссии колесной машины. [Электронный ресурс]. /
«Строительные, дорожные машины и техника, строительное оборудование»
кафедры ДСМ МАДИ. – Режим доступа: http://sdm.str-t.ru/ , свободный, яз.
русский, загл. с экрана, 2008.
9.
Чабунин И.С. Моделирование случайного микропрофиля дорожной поверхности
методом формирующего фильтра // Известия МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т.
1.c. 218–225.
10.
Рыков С.П., Бекирова Р.С., Коваль В.С. Моделирование случайного
микропрофиля автомобильных дорог. // Системы. Методы. Технологии, 2010.
№4(8). c. 33-37.
методы
статистического
Рецензент: Заместитель Председателя Поволжского отделения Российской академии
транспорта, академик РАТ, доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь
Георгиевич.
11
http://naukovedenie.ru
30KO514
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
http://naukovedenie.ru
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
publishing@naukovedenie.ru
Andrey Beletskiy
Sochi Branch of Moscow State Automobile & Road Technical University
Russia, Sochi
E-Mail: andy@sochi.com
Sergey Rekunov
Sochi Branch of Moscow State Automobile & Road Technical University
Russia, Sochi
E-Mail: rekunoff@mail.ru
Mathematical modeling and simulation of road surface profile
Abstract. Improving CAD systems demands development and improvement of mathematical
models of input actions to designed objects. At the movement of the car one of the factors determining
the dynamic torque in the transmission and the dynamic forces in the suspension, is the value of a
variable vertical force acting on the wheel, greatly dependent on the characteristics of the road surface
irregularities. The main characteristics of the road surface irregularities represented as random
processes is the autocorrelation function, which approximated by the sum of products of exponential
and trigonometric functions, and the spectral density function. The mathematical models and software
that make it possible to obtain the the values of the heights irregularities microprofile as realizations
of the random process defined by an analytical description of the autocorrelation function as an input
action for propulsion, suspension and transmission in the vehicles design. For mathematical models
applied methods shaping filter and autoregression - moving average. These methods differ in
complexity of calculations and accuracy of modeling. Using of developed models for the design of
vehicles to simulate variable load suspension and transmission when driving on different types of
roads, given differing approximation coefficients of the autocorrelation function.
Keywords: mathematical modeling of the road surface irregularities; the exact and
approximate models of ergodic random processes; shaping filter; autocorrelation function; spectral
density function; non-recursive analog filtering; algorithm autoregressive moving average.
12
http://naukovedenie.ru
30KO514
Выпуск 5 (24), сентябрь – октябрь 2014
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
publishing@naukovedenie.ru
http://naukovedenie.ru
REFERENCES
1.
Bakalov V. P. Tsifrovoe modelirovanie sluchaynykh protsessov. SPb.: Sayns-Press,
2004. 88 s.
2.
Dinamika sistemy doroga-shina-avtomobil'-voditel'. /A. A. Khachaturov, V. L.
Afanas'ev, V. S. Vasil'ev, G. V. Gol'din i dr. Pod red. A. A. Khachaturova. M.:
Mashinostroenie, 1976. 535 s.
3.
Silaev A. A. Spektral'naya teoriya podressorivaniya transportnykh mashin. M.:
Mashinostroenie, 1971. 241 s.
4.
Shalygin A. S., Palagin Yu.I. Prikladnye metody statisticheskogo modelirovaniya. L.:
Mashinostroenie, 1986. 320 s.
5.
Beletskiy A.V. Matematicheskoe modelirovanie i vybor optimal'nykh proektnykh
resheniy v SAPR preobrazovateley momenta inertsionnykh peredach: dis. ... kand. tekh.
nauk / Voronezhskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet. Voronezh, 2005. 149
s.
6.
Prokhorov S.A. Matematicheskoe opisanie i modelirovanie sluchaynykh protsessov.
Samar. gos. aerokosm. un-t, 2001. 209 s.
7.
Khodyakov D.S., Beletskiy A.V. Avtomatizatsiya proektirovaniya sistem
podressorivaniya kolesnykh mashin s uchetom mikroprofilya dorozhnogo osnovaniya.
// Progressivnye tekhnologii i oborudovanie v mashinostroenii i metallurgii: sb.
nauchnykh trudov mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii, t. 2: Lipetsk,
izd. LGTU, 2006. s. 256-259.
8.
Beletskiy, A.V. Modelirovanie profilya dorozhnogo osnovaniya v zadache analiza
dinamiki transmissii kolesnoy mashiny. [Elektronnyy resurs]. / «Stroitel'nye, dorozhnye
mashiny i tekhnika, stroitel'noe oborudovanie» kafedry DSM MADI. – Rezhim
dostupa: http://sdm.str-t.ru/ , svobodnyy, yaz. russkiy, zagl. s ekrana, 2008.
9.
Chabunin I.S. Modelirovanie sluchaynogo mikroprofilya dorozhnoy poverkhnosti
metodom formiruyushchego fil'tra // Izvestiya MGTU «MAMI», 2013. № 1(15). T.
1.c. 218–225.
10.
Rykov S.P., Bekirova R.S., Koval' V.S. Modelirovanie sluchaynogo mikroprofilya
avtomobil'nykh dorog. // Sistemy. Metody. Tekhnologii, 2010. №4(8). c. 33-37.
13
http://naukovedenie.ru
30KO514
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
704 Кб
Теги
моделирование, математические, покрытия, профиль, дорожного, имитационных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа