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Метод подстановки в решении двумерной задачи нагрева тел с помощью подвижных источников тепла.

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”ƒ 621.9;621.789
ћ≈“ќƒ ѕќƒ—“јЌќ¬ » ¬ –≈Ў≈Ќ»»
ƒ¬”ћ≈–Ќќ… «јƒј„» Ќј√–≈¬ј “≈Ћ
— ѕќћќў№ё ѕќƒ¬»∆Ќџ’ »—“ќ„Ќ» ќ¬ “≈ѕЋј
¬.». ‘ин¤гина
????????????? ????? м???д ??д???????? дл? ???ч??? ??????д?л????? ?????л???? ? ?????м?? ? ??????д?л????м? ????м????м? ? ??д?????м ?????л?ю??м ???д???????м ????????????? ?? д??м????? ?л?ч??. ??????м?? ??м?????????? ??л? ??д????? ? ??д? ????ч??-?????????? ????ц?? ? ???м??г?ль??? ??л???? ? ????????м??????? ???д????ч??м?
????ц??м?. ?????д??? ????ль???? ч??л????г? м?д?л????????.
???????? ?????: ?????м?, ??????д?л????? ????м????, ??д?????? ?????л????, м???д ??д????????,
??м?????????? ??л?, ??????????ь.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
? ?????м????? ?????л?г?? дл? ????????? ? ??л?ч???? ????? м??????л?? ? ??д?л?? ш????? ???м???ю??? ?л????????-л?ч???? ? ?????-л?ч????
?????м??? ?????????. ? ?????????? ????г? ????
???????????м?? м??????л ??г???????? ??д д???????м ??л?ч???? ??д?????? ????ч????? ?л?????????, ?????? ?л? л??????? л?ч??. ???м??????ь ????м?????? ??д?????г? ????ч???? ??
???????ль??м? ?????? ?????л??? ????????ь ??д?ч?
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???????? ????м?????? ?? ???. ?л? ?д??м?????
??????д?л????? ?????м ??????????? ???????????ю??? ?лг????м? ??ш????. ??д????? ??д?ч? ???????ю? ??? ??г???? ?????г? ??????? ? ???л???д?ч?? ? ??????? ???????????, ??? ??г???? ? ???ц?
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ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2010
??? [1] ? м???д ???л???ц?? ??????д?л????? ?????л???? ??? ??м??? ??д?????? ????ч?????
???д??????? [2]. ??? ??? м???д? д???л??ю? д??г
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???ь ???? м???д?? ??????? ? ?л?д?ю??м.
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?????м, ?? д??м????? ?????м? ??г???? ??д?????м? ????ч????м? ???л?.
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??????ч?м ??л??м?? ????????? ??????? Q *(x),
1. ћ≈“ќƒ ѕќƒ—“јЌќ¬ » ƒЋя –ј—„≈“ј
–ј—ѕ–≈ƒ≈Ћ≈ЌЌџ’ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»…
Ќј ƒ¬”ћ≈–Ќќ… ќЅЋј—“»
? ????????м???ю??ю ????ц?ю Q *A (x). ??д??????
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????????? ??????? ????д?л????? ????ц???
Q(x, t), x = (x1, x2) ? D, t l t0, ???????ю??? ??????д?л???? ??м???????? ? ??л???? D. ????ц??
Q(x, t) ?д??л???????? ????????ю (?????? г?????,
??л??????м?) ???л??????д?????:
?Q
c? ------- ? L[Q] + ?(Q) = f(x, t),
?t
x = (x1, x2) ? D, t l 0,
(1.1)
? г????ч??м? ? ??ч?ль??м? ??л????м?
?Q
?Q + ? ------?n
x??
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Q(x, 0) = Q0(x),
(1.2)
(1.3)
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????????? ? ????м ?л?ч?? ?? ????д???? ??ч?? x ?
??м????????; ?(Q) ? ????ц??, ???????ю??? ???л?????д ? ??????????? ??????? ?? ???ш?юю ???д?;
?Q
------- ? ???????д??? ?? ??????л???ю ???ш???
?n
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????????? ???д??????? ?? ??д?????г? ????ч????, ????????? ?? ????м????? ????ч????, ????? ???
????????????ь, ???м?, ?. ?. ??????д?л???? ?г? ????????????? ? ???????????? ? ???м???, ? ????????? д??г?? ????м?????, ?????м??, д????????.
??? ?????????? ????????м???ю??? ????ц??
??д?м ????м???????ь ?????????ш???? ????м, ????????????? ????м д??????? ????ч????, ??? ??????м ????????? ??????? Q(x, t) ?? ???ш?????? д??????ч?? ??льш?г? ч??л? ?????д?? ??????????
????ц???, ?л????? ? ?????д?ч????? ?? ???м???
??? лю??м ????????????м x ? D ? ??м ?? ?????д?м T, ч?? ? ?????д д??????? ????ч????. ? ??????? [3, 4] ????????, ч?? ? ?????????ш?м?? ????м?
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-------------------- = 0, ? ????????? ??????? (1.1) ??????????
?t
? ?????м??? ??д
?L[Q] + ?(Q) = f(x, t), x = (x1, x2) ? D,
t > 0.
(1.4)
58
? ????????м???ю??? ????ц?? Q *A (x) ???д???л?ю??? ?л?д?ю??? ??????????:
1) ?д??л???????ь г????ч??м ? ??ч?ль??м ??л????м (1.2);
2) ???ь д???д? ????ч??-д???????ц????м??;
3) ????????м??????ь ??л??м?? ????????? Q *(x)
? ??л???? D1 ? ??????м?? ??ч????ью;
???ь ? ??л???? D ??л????м: f *(x) l 0,
?д??ь ???????? L[Q], д??????ю??? ?? ???????????????? ????м????? x ?? ????ц?ю Q = Q(x, t) ????д?л????? ???
L[Q] = div[?gradQ],
(1.5)
4) ????ц?? (1.5), ??л?ч????? ?? ????????? (1.1),
д?л??? ???ь ????ч??-??????????? ? ?д??л????-
? = ?D,
x ? D.
f *(x) = ?L[ Q *A (x)] + ?( Q *A ).
? f *(x)dx m Umax
D
(Umax ? м????м?ль??? ????????????ь (м??????ь)
????ч????) ? ???ь ?????? ??лю ??? ??л???? D.
?????????? 1 ? 2 ??????д?м? дл? ??г?, ч????
????ц?? Q *A (x) ?д??л??????л? ????????ю (1.4) ?
г????ч??м? ? ??ч?ль??м? ??л????м? (1.2). ??? ?
д?л??? ???м????м ???ч?? ???д??????? f *(x) ??
???м?л? (1.5).
???????ю ???д????ь ? м???д? ??д???????? ??????л??? ?????????? ????????м???ю??? ????ц??
Q *A (x), ?д??л??????ю??? ??????????м 1?4. ?д??
?? ???????????? ??????? ? ??м, ч?? ????ц?? Q *A (x)
д?л??? ???ь ????????? ? ??л???? D, ? ?? ???м?
??? ??л??м?? ????????? Q *(x) ????д?л??? ? ??л???? D1 ? D. ?????м? ????ц?? Q *A (x) ????????
??д?ль?? ? ??л???? D1 ? ? ??л???? D\D1 ? ???л?д?ю??м ??????????м ???? ????ц??.
???г?? ??????????ь ??????? ? ??м, ч?? ??????
?????????? ????ц?? Q *A (x) ? ??л???? D ??????????? ??????? ?? ??????? ??д???? ????????? Q *(x),
x ? D1. ? ч????????, ??? м???? ???ь ??д??? ? ????м ??д? (?????м??, ???л???ч????) ?л? ? ??д? ????ч??? ????ц??, ????д?л????? ? ??л???? D1 ??
???ч????м? ? ???д?м ??л? ? ?. ?. ??????ч???? ????????? Q *(x) ч???? ?д???? ??д????ь ? ??д? ????ч??-?????????? ????ц??. ? ???д?м ?л?ч?? ????????? ???????????ю??? ?????? ?????????? ????????м???ю??? ????ц??. ??? ??????? ????д?м д?л??.
2. јЋ√ќ–»“ћ –ј—„≈“ј
јѕѕ–ќ —»ћ»–”ёў≈… ‘”Ќ ÷»»
??? ??? ????????? Q *(x) ??д??? ? ??л???? D1, ?
????ц?? Q *A (x) ????д?л??? ? ??л???? D(D1 ? D), ??
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2010
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???????? ??д?ль?? дл? ??л????? ?1 ? ?3, ? ??л???ь
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???д??????ь ? ??д? Q *A (x) =
3
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i=1
?ц?? Qi(x) ????д?л??? ? ??л???? ?i , ?i(x) =
? 1, ??л? x ? ? i ,
= ?
i = 1, 2, 3.
? 0, ??л? x ? ? i ,
????ц?? Q1(x), x ? ?1, ????д?л????? ??? ??ш???? ??????? ??д?ч? (1.1), (1.2) ? ??л???? ?1, ? г?????. 1. ????? ????????? ??????? D
????????ь ????ц?ю Q *A (x) ????ч??? ????????м??????ь ????????? Q *(x) ? ??л???? D1 ? ???д?л???ь
????????м????????ю ????ц?ю ?? ??л???ь D, ????л??? ??? ???м ?????????? 1?4.
?????г???ц?? ??л???? D1 м???? ???ь ???л?ч??? ? ??????? ?? ??л???? ??д?ч?, ?? ??д? ?????????? (??льц????, ?????л???д???, ??л?????????,
??????ч???) ????м?????? ????ч???? ???л???г?
???д???????. ??л???ь D ?д???? ??????ь ?? ??? ??????????ю????? ??л???? (???. 1). ?? ???????
??????ч???: ?D1 ? г????ц? ??л???? D1; ?? ? л????, ????????? ?? ??д????? ?????????? ? ?? г????ц? ?D1; ?2 ? ??л???ь, ?г????ч????? л????м?
?D1 ? ??; ?3 = D1\?2; ?1 = D\D1. ????ц?? Q *A (x)
??ч??м ??л????м ??д? Q1(x) x ? ?D
1
= ?(x) x ? ?D ,
1
гд? ????ц?? ?(x), x ? ?D1, м???? ???ь ??????? д??????ч?? ???????ль??, ?? ???, ч???? ?? ????ш?л??ь ????ч??л????? ? І 1 ??л???? 1?4.
?????? ?????????? ????ц?? Q3(x), x ? ?3, ??????? ?? ??????? ??д???? ????????? Q *(x), x ? D1.
??л? ????ц?? Q *(x) ??д??? ? ????м ??д? (?????м??, ???л???ч????) ? ?д??л???????? ??????????м 2 ? 3, ?? ????ц?? Q3(x) ?????д??? ? ???.
??л? ????ц?? Q *(x) ??д??? ????л??????, ?????м??, ? ??д? ????ч??? ????ц?? ? ??л???? D1 ??
???ч????м? ? ???д?м ??л?, ?? дл? ??????????
????ц?? Q(x) ?? ???? ??л???? ???м???ю??? м???д? ????????м?ц?? (??л????м?, м???д?м ???м??ьш?? ???д?????, ???г???м????ч????м? ??л???м?м?, ???????????м? ????? [5, 6] ? д?.).
????? ????????? Q *(x) ??д????? ? ??д? ????ч??-?????????? ????ц?? ?л?д?ю??м ??????м.
???. 2. ????? ??????? ?????????? ???????-?????????? ???????:
? ? ???м?? ?????л?????? ???м??г?ль??? ??л?????; ? ? г????? ??????д? ??м???????? ?? ??ч?ль??г? ???ч???? ? ??????м?м?
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? ??л???? D1 ??д?л?ю??? ???м??г?ль??? ??л????
gm, m = 1, 2, ..., M (???. 2, ?). ??????????д????,
????м??? ?????л??????, ? ????? ч??л? ???? ??л????? м???? ???ь лю??м, ч?? ????д?л????? ??л????м? ??д?ч?: ? ????м м???? ??????? ? д? ????г? ???ч???? ????? д?????? ??м???????? ???????????. ??? ??л???? м?г?? ??? ??????????ь??, ???
? ???ь д??????ч?? ?????????. ? ???д?? ?? ????
??л????? gm ????ц?? Q *(x) ????????? ? ????? Cm.
? д??г?? ??ч??? ??л???? D1 ????ц?? Q *(x) ?????
C = min{Cm}m=1,2,...,M.
??гд? ????ц?? Q *A (x) ???????? ?л?д?ю??м
??????м. ?????ч?ю??? ????????? ???????????
???д?? ??л???? gm (?????м??, ш?????? ?m), ?. ?.
????д?л????? ??л???ь Ђ?ш????ї ?2. ??л?? ?????-
??д???? ?гл???????? ????ц?? Q *(x) ? ?m ? ???????????? ???д?? ??л???? gm ???, ч???? ??????ч??ь
??????????? ??????д ????ц?? Q *A (x) ?? ???ч???? C ? ???ч???ю Cm ??? ????л????? ?????????? 2 ? 3 (???. 2, ?).
????????м???ю??ю ????ц?ю ???д?????м ?
??д?:
?
gm ,
? C m ( x 1, x 2 ) ??? x ?
Q *A (x) = ?
(2.1)
? C ??? x ? g ?m, m = 1, 2, ..., M.
?
?д??ь ч???? g m ??????ч??? ?m-??????????? ??(1)
(2)
л????? gm, ? Cm(x1, x2) = C m (x1) C m (x2). ????ц??
(j)
C m (xj), j = 1, 2 ????д?л?ю??? ?? ???м?л?м
(j)
C m (xj) =
2
1)
(1)
(1)
(1)
? k m [ x j ? ( e (mj
? ? m ) ] + P ??? e mj ? ? m ? x j ? e mj ,
?
2
?
(1)
(2)
(1)
(1)
? ? k m [ x j ? ( e mj + ? m ) ] + P m ??? e mj ? x j ? e mj + ? m ,
?
1)
(2)
= ? P (m2 ) ??? e (mj
+ ? m ? x j ? e mj ? ? m ,
?
? ? k [ x ? ( e ( 2 ) ? ? ) ] 2 + P ( 2 ) ??? e ( 2 ) ? ? ? x ? e ( 2 ) ,
mj
m
m
mj
m
j
mj
? m j
?
2
(2)
(2)
(2)
(1)
? k m [ x j ? ( e mj + ? m ) ] + P ??? e mj ? x j ? e mj + ? m ,
j = 1, 2;
km = (P
(1`)
(2)
2
(2)
Pm
=
Cm
P
(1)
=
ч????? ??д?ч??, ?????м??, ? =
2
? |Q *(x) ? Q(x)| dx.
D
????ь ???????м ??г???? ??д?? ?л????? ?г????ч????? ?????? ???м??г?ль??? ?л?????? ? ???м???м? a ? b ?? ???м x ? y ?????????????? ? ??л????? h, h n a, h n b (ч???? ???????ь?? ?? Ђл?ш???ї
??д?????, ??л???м дл? ?д?????? x1 = x ? x2 = y).
??????д?л????м ??м???????? ?? ??л???? ????????г??м. ????ь ??л???ь D1 ?????д??? ? ??л???ью D ?
???д????л??? ????? ???м??г?ль??? ?? ???????м? a
? b. ??л??????? чл?? ?(Q) ? ????????? (1.4) ????????? ???л???д?ч? ? ??????????? ??????? ?? ????4
4
?? ??????????льцм??? ?(Q) = ??[Q ? Q c ], Q? ?
??м???????? ??????ю??? ???д? ? ? n ? (?м. 1.2),
ч?? ????????????? г????ч??м ??л????м ?????г?
??д? Q x = 0 = Q?x; Q y = 0 = Q?y.
x = a
y = b
??л??м?? ????????? ??????? Q *(x, y) ??д??? ?
??д? ????ч??-?????????? ????ц??, ? ????????
L[Q ] ?м??? ??д (??? ??л???? ? = const) L[Q] =
? ?2Q ?2Q?
= ? ? ---------- + ----------? .
? ?x 2 ?y 2 ?
????????? ???л??????д????? (1.1) ? ??ч?ль???
??л???? (1.2) дл? ????г? ??????? ????ш???? ???
2
2
?Q ?Q
? Q ( x, y , t )
c? -------------------------- = ? ---------- + ---------2
2
?t
?x
?y
1
+ --- f(x, y, t) ?
h
4
?? 4
? ------ [Q ? Q c ],
h
0 < y < b,
t > 0,
(3.1)
Q(x, y, 0) = Q0(x, y).
C,
(2.2)
?гл???????? ???????? ????ц?? Q *(x) ? ??м??ью ????ц?? ??д? (2.2) ?д????, ??? д??????ч??
?????? ???л???ю??? ??л???? ????????м?ц??.
60
? ???????????? ? ?????д????? ???м?? ????м????м ?????????? ???м??. ????д?м ??д???????? ???д?м ??????д?л????? ???д??????? f *(x),
x = (x1, x2) ? D, ??????? ??????ч?? ? ?????????ш?м?? ????м? ??л?????? ????????? ??????? Q(x, t)
?? ??д????г? ????????? Q *(x, t), ?? ?????ш?ю???
????????? ??д????? ??л?ч???. ? ??ч????? м???
??л?????? м???? ??????ь ????????? ????ц????л
?, ?????????? ??д ??????г? ????д?л????? ??????-
0 < x < a,
m = 1, 2, ..., M ?
? P m )2 ? m ,
3. –ј—„≈“ јѕѕ–ќ —»ћ»–”ёў≈… ‘”Ќ ÷»»
» –ј—ѕ–≈ƒ≈Ћ≈ЌЌќ√ќ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
? Q ( x, y , t )
????м????м ?????????ш???? ????м -------------------------- =
?t
= 0 ? ??д?м ?ч????ь, ч?? ??????д?л???? ??м???????? ?? ??????????? ??????? ?? ???д??????? f *(x, y)
??????д?л????г? ????ч???? ??????????? ??????-
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2010
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??? ????????м???ю??? ????ц??? Q *A (x, y), ??????????? ??д? ??????? ?????д?м д?л??. ??д??????
Q *A (x, y) ?м???? Q ? ????????? (3.1), ??л?ч?м
? ? 2 Q * ? 2Q * ?
4
1
??
? ? -----------A- + -----------A-? + --- f *(x, y) ? ------ [( Q *A + 273) ?
2
h
4
? ?x 2
?
?y
? (Q0 + 273)4] = 0.
???юд? ????д?м ????????? дл? ??????д?л????г? ???д???????:
? ?2QA* ?2QA* ?
4
- + -----------? + ??[( Q *A + 273) ?
f *(x, y) = ?h ? ----------2
? ?x 2
?
?y
? (Q0 + 273)4],
0 < x < a,
0 < y < b,
Q?x = Q?y = Q? = 0.
(3.2)
?л? ????д?л???? ???д??????? f *(x, y) ?? ???м?л? (3.2) ???ч?л? ??????м ??д ????????м???ю??? ????ц?? ? ???????м ??. ??л?? ?????д????
???м??? ????? ??????????.
4. ѕ–»ћ≈–џ ѕќ—“–ќ≈Ќ»я ”—ќ„Ќќ-ѕќ—“ќяЌЌќ…
јѕѕ–ќ —»ћ»–”ёў≈… ‘”Ќ ÷»»
» —ќќ“¬≈“—“¬”ёў»’ –ј—ѕ–≈ƒ≈Ћ≈ЌЌџ’
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»…
????ь ?? ??????????? ??????? ????????? ???д??ь ?????м????? ??м?????????? ??????д?л????
(???. 3, ?). ??л???ь ?1 ?????д??? ? ??л???ью ????д?л???? ??????? ? ??л????? ???м??г?ль????м ??
???????м? a ? b. ?? г????ц? ???? ??л???? ??м???????? Q * = 0; ? ??л???? ?3 ??м???????? Q * = C = const,
? ? ??л???? ?2 (??л???? Ђ?ш????ї) ??????д ?? г????ч??? ??л???? Q? ?? ????????? ???????? дл????
?1 (?? ??? x) ? ?2 (?? ??? y) ????????м????м ??????л??, ??? ???????? ?? ???. 3, ?.
????????м???ю??ю ????ц?ю (2.1) дл? д?????
??д?ч? м???? ???????ь ? ??д? Q *A (x, y) = kC1(x)C2(y),
гд? k ? ??д????? ч??л?,
C1(x) =
2
? 1
? ? ----2- ( x ? ? 1 ) + 1 = A ( x ) ??? 0 ? x ? ? 1 ,
? ?1
?
= ? 1 = B ( x ) ??? ? 1 ? x ? a ? ? 1 ,
?
2
1
? ? ---- [ x ? ( a ? ? 1 ) ] + 1 = C ( x ) ??? a ? ? 1 ? x ? a,
? 2
? ?1
C2(y) =
(4.1)
2
? 1
?? ----2- ( y ? ? 2 ) + 1 = D ( y ) ??? 0 ? y ? ? 2 ,
? ?2
?
= ?1 = E ( y ) ??? ? 2 ? y ? b ? ? 2 ,
?
2
1
? ? ---- [ y ? ( b ? ? 2 ) ] + 1 = F ( y ) ??? b ? ? 2 ? y ? b.
? 2
? ?2
?л? ??гл?д????? ???д?????м ??л? ??????? ? ??д? ?????ль??? ?ч??????, ? ???д?м ?? ??????? ???ч???? ????ц?? C1(x) ? C2(y) ??д?? ????м????
(???. 3, ?), ? ? д?ль???ш?м ???ч?? ????????м???ю??? ????ц?? Q *A (x, y) ? ?л?д?м ?? ??? ? ??????д?л????г? ???д??????? f *(x, y) ??д?м ????? ?? ???м
?ч?????м. ? ????м???????м?м ???м??? ????? ?ч?????? д????ь: I?IX.
???. 3. ? ??????? ???????????? ?????????????? ?????????????:
? ? ??????м?? ??м?????????? ??л?; ? ? ???д????л???? ????????м???ю??? ????ц?? ?? ???м x ? y; ? ? ???м???ч????? ???д????л????
???м?л? (4.1)
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2010
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????????? дл? ????????м???ю??? ????ц??
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62
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CONTROL SCIENCES є 1 ? 2010
pb0110.fm Page 63 Monday, February 8, 2010 2:09 PM
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????? ????? ???????? ?? e-mail: f_os@pgta.ru.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2010
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