close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА k - (0 1) ВСЕ НУЛИ КОТОРОЙ ЛЕЖАТ В УГЛЕ И ИМЕЮТ ЗАДАННЫЕ ПЛОТНОСТИ.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 113-126.
УДК 517.547.22
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
ПОРЯДКА  ∈ (0, 1), ВСЕ НУЛИ КОТОРОЙ ЛЕЖАТ В УГЛЕ
И ИМЕЮТ ЗАДАННЫЕ ПЛОТНОСТИ
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Аннотация. В работе найдено наименьшее значение, которое может принимать тип
целой функции порядка  ∈ (0, 1) с нулями заданных верхней и нижней плотностей,
расположенными в угле фиксированного раствора 6 . Основная теорема обобщает
предыдущие результаты автора (нули лежат на одном луче) и А. Ю. Попова (учитывается только верхняя плотность нулей). Выделен и подробно разобран случай, когда
целая функция имеет измеримую последовательность нулей. Даны применения полученных результатов к теоремам единственности для целых функций и вопросам полноты систем экспонент в пространстве аналитических в круге функций со стандартной
топологией равномерной сходимости на компактах.
Ключевые слова: тип целой функции, верхняя и нижняя плотности нулей, теорема
единственности, полнота системы экспонент.
Mathematics Subject Classification: 30D15
1.
Введение
Пусть  ∈ (0, 1),  > 0,  ∈ [0, ]. Пусть далее  () — целая функция, все нули
которой расположены в некотором угле раствора 6  и образуют последовательность
Λ = Λ = ( )∞
=1 с верхней и нижней  - плотностями


Δ  (Λ) ≡ lim
= ,
Δ  (Λ) ≡ lim
≥
(1)


→∞ | |
→∞ | |
соответственно. Как обычно, нули считаются с учетом кратности и упорядочены по возрастанию модулей.
Требуется найти наименьшее возможное при указанных условиях значение для величины типа функции  () при порядке , определяемого формулой
 ( ) ≡ lim − ln max | ()| .
→+∞
||=
(2)
Без ограничения общности будем предполагать, что
Λ ⊂ Γ ≡ { ∈ C : | arg | 6 } ,
где  ∈ [0, /2], сводя задачу к нахождению экстремальной величины
{︀
}︀
 (, ; ) ≡ inf   ( ) : Λ = Λ ⊂ Γ , Δ  (Λ) = , Δ  (Λ) ≥  .
(3)
(4)
Укажем, что при  = 0 получаем задачу для целых функций с нулями на луче, решенную
ранее А. Ю. Поповым [1] (для  = 0) и автором [2] (для любого  ∈ [0, ]).
V.B. Sherstyukov, Minimal value for the type of an entire function of order  ∈ (0, 1),
whose zeros lie in an angle and have a prescribed density.
c Шерстюков В.Б. 2016.
○
Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00281-а).
Поступила 6 июля 2015 г.
113
114
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
В настоящей статье величина  (, ; ) вычисляется при всех  ∈ [0, /2]. Работа, помимо введения, состоит из трех частей. В первой части получена оценка снизу для типа
функции, определенного в (2). Вторая часть посвящена доказательству точности этой
оценки. Результат формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть заданы числа  ∈ (0, 1),  > 0,  ∈ [0, ],  ∈ [0, /2]. Тогда
справедлива формула
∫︁
)︀
(︀ −

 + cos 
 (, ; ) =
cos   + max
  −  − 2
.
>0
sin 
 + 2 cos  + 1
(/)1/
Точная нижняя грань (4) достигается для некоторой функции с последовательностью
нулей Λ0 , расположенной на двух лучах arg  = ±  так, что Δ  (Λ0 ) = , Δ  (Λ0 ) = .
В третьей части работы теорема 1 используется для конкретизации одной теоремы единственности Б. Н. Хабибуллина. Даны также приложения к целым функциям экспоненциального типа и вопросам полноты систем экспонент.
Экстремальную задачу о вычислении  (, ; ) при  = 0 (т. е. без учета нижней
 - плотности нулей) поставил и решил А. Ю. Попов [3], отыскав величину

 (0, ; ) = max − ln(1 + 2 cos  + 2 ).
2 >0
Для функций, последовательности нулей Λ = Λ = ( )∞
=1 которых измеримы, т. е.
имеют  - плотность

Δ  (Λ) ≡ lim
= ,
→∞ | |
из теоремы 1 получаем соотношение

 (, ; ) =
cos  .
sin 
Отметим, что экстремальная величина  (, ; ) достигается, если все нули функции расположены на лучах arg  = ± , и на каждом из них образуют измеримые последовательности с равными  - плотностями (= /2), и  (, ; ), заведомо не достигается, если эти
 - плотности различны.
Современное состояние теории экстремальных задач для типа целых функций с нулями
на луче или в угле изложено в обзорах [3], [4].
Приступим к доказательству теоремы 1.
2.
Оценка типа целой функции
Итак, пусть  () — целая функция порядка  ∈ (0, 1). Предполагаем, что последовательность всех ее нулей Λ = Λ = ( )∞
=1 лежит в угле Γ с фиксированным  ∈ [0, /2]
и имеет  - плотности Δ  (Λ) = , Δ  (Λ) ≥ . Всюду далее  ∈ (0, ], поскольку случай
 = 0 рассмотрен в [3]. Докажем оценку
∫︁
(︀ −
)︀

 + cos 
 ( ) ≥
cos   + max
  −  − 2
.
(5)
>0
sin 
 + 2 cos  + 1
(/)1/
Можно считать, что  (0) = 1. Тогда по теореме Адамара (см. [5, гл. I, § 10]) функция  ()
представляется в виде канонического произведения
)︂
∞ (︂
∏︁

.
(6)
 () =
1−

=1
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
115
Учитывая (3), запишем  =   , | | 6 ,  ∈ N. Тогда из (6) получим
⃒
⃒ ∏︁
∞ ⃒
∞ ⃒
∏︁
⃒
⃒
⃒
⃒


⃒1 + ⃒ =
⃒1 + − ⃒ =
 () ≡ max | ()| ≥ | (−)| =
⃒
⃒
||=
 ⃒ =1 ⃒

=1
∞
∏︁
√︃
)︂2
∞
∏︁
√︃
(︂ )︂2
2
2


1+
1+
=
cos  +
≥
cos  +
.




=1
=1
∑︀
Обозначим через Λ ( ) =
1 считающую функцию последовательности Λ, или, что
(︂
| | 6 
∞
все равно, последовательности |Λ| ≡ (| |)∞
=1 = ( )=1 . Попутно отметим, что формулы
(1) можно записать в виде
Λ ()
= ,
→+∞

Δ  (Λ) = lim
Λ ()
≥ .

→+∞
Δ  (Λ) = lim
(7)
Стандартное привлечение интеграла Стильтьеса дает
√︃
(︂ )︂2
∞
∑︁
2

=
cos  +
ln  () ≥
ln 1 +


=1
1
=
2
∫︁+∞ (︂
(︁  )︁2 )︂
2
cos  +
ln 1 +
 Λ ( ).


0
Интегрирование по частям с учетом условий
Λ ( ) = (  ),
 (0) = 1,
 → +∞,
избавляющих от подстановки, приводит к соотношению
1
2
∫︁∞
(︂
(︁  )︁2
2
cos  +
ln 1 +


)︂
∫︁+∞
 Λ ( ) =
Λ ( )
0

 ( cos  + )
.
+ 2 cos  + 2 )
( 2
0
После замены переменной  =  и обозначений
 () ≡
Λ ()
,
()
() ≡
−1 ( cos  + 1)
,
2 + 2 cos  + 1
 > 0,
(8)
приходим к оценке
∫︁+∞
− ln  () ≥
 () () ,
 > 0.
(9)
0
В интеграле из (9) функция  () при фиксированном  удовлетворяет условиям
lim  () = ,
→+∞
lim  () ≥ ,
→+∞
а ядро () положительно при  > 0, каково бы ни было значение параметра  ∈ [0, /2]
(см. (7), (8)). Поэтому в дальнейших оценках можно воспользоваться методом, разработанным в [2] для случая расположения нулей Λ на одном луче ( = 0). Зафиксируем
произвольно число  > 0 и положим  = () ≡  (1/). Имеем
lim () = ,
→+∞
lim () ≥ .
→+∞
116
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Пусть ′ ∈ (0, ). Как показано в [2], найдется такое число  > 0, что при всех  ≥ 
и  ≥ / выполняется неравенство  () ≥  (), где функция  () определена для
положителных  посредством формулы
⎧
[︂ (︁ )︁
]︂
1/ 1
1

⎪
′
⎪
∈
/
,
,
⎨ ,
 ′
 ]︂
[︂
 () ≡
(10)

1 (︁  )︁1/ 1
⎪
⎪
,
.
,
∈
⎩
()
 ′

Отсюда на основании (9) заключаем, что
∫︁+∞
− ln  () ≥
 () () ,
 ≥ .
(11)
/
Подставляя в (11) выражения () из (8) и  () из (10) и выделяя известный интеграл
(см., например, [6, задача 4. 174])
∫︁+∞
()  =

cos  ,
sin 
(12)
0
получаем оценку
− ln  () ≥
′

cos   +
≥
sin 
′ 1/
(1/)(/
∫︁ )
(− − ′  ) ( cos  + 1)
 − ′
 (2 + 2 cos  + 1)
∫︁/
() .
0
1/
Перейдем здесь к верхнему пределу по последовательности значений , на которой  = ()
стремится к . С учетом (2) имеем
′ 1/
(1/)(/
∫︁ )
′

cos   +
 ( ) ≥
sin 
(− − ′  ) ( cos  + 1)
.
 (2 + 2 cos  + 1)
1/
Для получения оценки (5) осталось сделать в интеграле замену переменной  = 1/
и воспользоваться свободой выбора чисел ′ ∈ (0, ) и  > 0.
3.
Доказательство точности оценки
Покажем, что оценка (5) достижима. Для этого расположим последовательность Λ0 на
лучах arg  = ± так, чтобы
Δ  (Λ0 ) = ,
Δ  (Λ0 ) = ,
(13)
а каноническое произведение
0 () =
∞ (︂
∏︁
=1

1−

)︂
,
 ∈ Λ0 ,
(14)
имело тип

 (0 ) =
cos   + max
>0
sin 
∫︁
(︀
 − −  −
)︀
2
 + cos 
.
+ 2 cos  + 1
(/)1/
Относительно параметров задачи будем предполагать, что
 ∈ (0, 1),
 > 0,
 ∈ (0, ],
 ∈ (0, /2],
(15)
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
117
находясь в ситуации, не изученной ранее. Случаи  ∈ (0, ) и  =  разберем отдельно.
Пусть вначале  ∈ (0, ). Воспользуемся конструкцией экстремальной последовательности, предложенной автором в [2] для  = 0. Выбираем вспомогательную положительную
последовательность ( )∞
=1 со свойством
1 > 1,
+1 = 4 ,
 ∈ N,
и строим последовательность ( )∞
, соблюдая следующее правило. На промежут=1 ⊂ R+)︁
[︁
ках вида [ , 2 − 1] и (/)1/ 2 , +1 точки  образуют арифметическую прогрессию с разностью 2/ ; на промежутках (2 − 1, 2 ] точки  образуют арифметическую
(︁
)︁
2
1/

2
2
прогрессию с разностью
;
на
промежутках
вида

,
(/)


 точек  нет.
( − )2
Согласно [2] верхняя и нижняя  - плотности последовательности ( )∞
=1 равны /2 и /2
соответственно. Полагая
(︀
)︀∞ ⋃︁ (︀  )︀∞
Λ0 ≡  − =1
  =1 ,
сразу получаем (13). Образуем по последовательности Λ0 каноническое произведение (14).
Заметим, что
(︃
(︂ )︂2 )︃
)︂ (︂
)︂ ∏︁
∞ (︂
∞
∏︁
 
2

 −
0 () =
1− 
1−
cos  +
1− 
=
,




=1
=1
откуда
0 () = max |0 ()| = 0 (−) =
||=
∞
∏︁
=1
(︃
2
cos  +
1+

(︂


)︂2 )︃
.
Поскольку считающая функция Λ0 ( ) последовательности Λ0 есть удвоенная считающая
функция последовательности ( )∞
=1 , то, повторяя соответствующие выкладки из пункта 2,
приходим к представлению

−
∫︁+∞
ln 0 () =
0, () () ,
 > 0,
(16)
0
Λ0 ()
и () определены в (8). Таким образом, функция (14) доставляет
()
равенство в (9).
С точностью до остаточных членов, не влияющих на величину типа (2), функция 0, ()
с параметром  > 0 совпадает с функцией Φ (), которая определяется при  > 0 формулами
(︁  ]︁
1
Φ () ≡ ,
 ∈ 0,
,

⎧
[︃
(︂ )︂1/ 2 ]︃
2
⎪



⎪

⎪
∈
/
,
,
⎪
⎨ ,



[︃
Φ () | [  , +1 ] ≡
(︂ 2 )︂
(︂ )︂1/ 2 ]︃
2


⎪




⎪


⎪
,
∈
,
,
⎪
⎩  



где 0, () ≡
где  ∈ N (подробности см. в [2]). Тем самым, из (16) следует, что
∫︁+∞
 (0 ) = lim
Φ () () .
→+∞
0
(17)
118
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Введем для сокращения записи несколько обозначений. Пусть
∫︁
( − −  − ) ( + cos )
 =
2 + 2 cos  + 1
() ≡
(/)1/
(/)∫︁1/ (1/)(︂
=

−
()
)︂
() .
(18)
1/
Поскольку функция () непрерывна и положительна при  > 0, причем
lim () = lim () = 0,
→+0
→+∞
то найдется такая точка 0 > 0, что (0 ) = max (). Для  > 0 положим
>0
⎧
[︃
(︂ )︂1/ ]︃
⎪
1

1
⎪
⎪
∈
/
,
,
⎪
⎨ ,
0

0
[︃
0 () ≡
(︂ )︂1/ ]︃
⎪
1


1
⎪
⎪
∈
,
.
⎪
⎩ (0 ) ,
0

0
(19)
(20)
С учетом определений (18), (20) оценку (5) можно переписать в виде

 ( ) ≥
cos   + (0 ) =
sin 
∫︁+∞
0 () () .
0
В частности,
∫︁+∞
 (0 ) ≥
0 () () .
(21)
0
Требующее обоснования соотношение (15) равносильно формуле
∫︁+∞
 (0 ) =
0 () () .
(22)
0
Докажем, что
∫︁+∞
lim
(Φ () − 0 ()) ()  6 0,
→+∞
0
и тогда равенство (22) будет установлено. Действительно, из (21), (17), (23) имеем
∫︁+∞
∫︁+∞
0 () ()  6  (0 ) = lim
(Φ () − 0 ()) ()  +
→+∞
0
0
∫︁+∞
∫︁+∞
+
0 () ()  6
0 () () ,
0
откуда и вытекает (22).
0
(23)
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
119
Итак, осталось проверить неравенство (23), выражающее «близость» весовой считающей функции 0, () последовательности Λ0 к «экстремальной» функции 0 () из (20).
Вначале выведем представление
(︂ )︂
∫︁+∞
∞
∑︁

(Φ () − 0 ()) ()  =

− (0 ),
2


=1
(24)
0
опираясь на (18), (20). Для этого запишем
[︃
1
,
∈
/
0
0 () −  ≡ 0,
(︂ )︂1/ ]︃

1
,

0
1/
(/)∫︁
(1/0 )
(0 () − ) ()  = (0 ).
1/0
Кроме того,
[︃
(︂ )︂1/ 2 ]︃
∞
⋃︁


2
,
≡  ,
∈
/



=1
Φ () −  ≡ 0,
∞
∑︁
∫︁
(Φ () − ) ()  =
(/)1/ (2 /)
∫︁
=1

=
(︂ (︂ 2 )︂
)︂


−  ()  =

2 /
∞
∑︁
(︂

=1

2
)︂
.
Поэтому
∫︁+∞
∫︁+∞
∫︁+∞
(Φ () − 0 ()) ()  =
(Φ () − ) ()  −
(0 () − ) ()  =
0
0
0
1/
(/)∫︁
(1/0 )
∫︁
(Φ () − ) ()  −
=

(0 () − ) ()  =
1/0
=
∞
∑︁
=1
(︂


2
)︂
− (0 ),
и мы получили (24).
[︀
]︀
Теперь оценим сумму в (24) для  ∈ 2 , 2+1 при фиксированном  ∈ N, разбивая ее
на три части:
)︂
(︂ )︂
(︂ )︂
−1 (︂
∞
∞
∑︁
∑︁
∑︁




− (0 ) =

+

+
2
2


2
=1
=1
=+2
(︂
)︂
)︂
(︂ (︂ )︂


+ 
+
− (0 ) .
2
2+1
120
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Используя в оценке первой суммы неравенство () 6 −1 ,
знаком интеграла отрицательное слагаемое, имеем
0<
−1
∑︁
(︂

=1
6

2
)︂
=
−1
∑︁
(/)1/ (2 /)
∫︁
=1
−1
∑︁
(︂ (︂ 2 )︂
)︂


−  ()  6

2 /
(/)1/ (2 /)
∫︁
=1
 > 0, и отбрасывая под
)︂
(︂ (︂ 2 )︂

−  −1  6


2 /
−1 (︂
∑︁
6 
2
)︂
(/)1/ (2 /)
∫︁

=


=1
2 /
)︂
)︂2
−1 (︂
−1 (︂

 ∑︁ 2
 ∑︁ 

=
ln
ln
.
6

 =1 

 =1 
)︂2
−1 (︂
∑︁

∞
В силу выбора последовательности ( )=1 выполнено lim
= 0, поскольку
→∞


=1
)︂2
−1 (︂
∑︁


=1
(︂
<
)︂2
−1

=

3/2

.
Отсюда
lim
→∞
−1
∑︁
sup
(︂

∈[2 , 2+1 ] =1

2
)︂
= 0.
Используя в оценке второй суммы другое неравенство () 6 −2 ,
отбрасывая под знаком интеграла отрицательное слагаемое, имеем
0<
∞
∑︁
(︂

=+2
6

2
)︂
∞
∑︁
=
∞
∑︁
(/)1/ (2 /)
∫︁
=+2
6 
∫︁
(︂ (︂ 2 )︂
)︂


−  ()  6

(︂ (︂ 2 )︂
)︂


−  −2  6

2 /
∞
∑︁
=+2
(︂
2
)︂
(/)1/ (2 /)
∫︁


=
2
2 /
(︃
(︂ )︂1/ )︃ ∑︁
(︂ )︂1/ )︃ ∑︁
)︂2(1−)
∞ (︂ 2 )︂−1
∞ (︂



+1
1−
6  1−
.




=+2
=+2
(︃
= 
 > 0, и снова
2 /
(/)1/ (2 /)
=+2
(25)
Выбор последовательности ( )∞
=1 обеспечивает выполнение условия
)︂2(1−)
∞ (︂
∑︁
+1
lim
= 0,
→∞

=+2
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
121
поскольку
)︂2(1−)
)︂2(1−)
∞ (︂
∞ (︂
∞
∑︁
∑︁
∑︁
+1
−1
1
6
=
.
3(1−)/2






=+2
=+2
=+2
Отсюда
lim
→∞
sup
∞
∑︁
(︂

∈[2 , 2+1 ] =+2
Оценим, наконец, выражение
)︂
(︂
(︂ )︂


− (0 ),
+

2
2+1

2
)︂
= 0.
(26)
[︀
]︀
 ∈ 2 , 2+1 ,
опирась на определение точки 0 и свойство (19)
функции ]︀(). Рассмотрим два воз[︀
2
можных случая:  ∈ [ ,  +1 ] и  ∈  +1 , 2+1 . В первом случае имеем


6
и
2
+1
+1
)︂
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂



6
→ 0,
 → ∞.

− (0 ) + 
2
2+1
2+1

+1
Во втором случае имеем
≥
и
2


(︂
)︂
(︂ )︂
(︂ )︂




− (0 ) + 
6
→ 0,
 → ∞.
2
2
+1

2
Следовательно, можем утверждать, что
(︂ (︂ )︂
(︂
)︂
)︂



lim
sup
+
− (0 ) 6 0.
→∞
2
2+1
∈[2 , 2+1 ]
(27)
Сочетая (24)–(27), получаем (23).
Таким образом, в случае  ∈ (0, ) целая функция 0 (), построенная по правилу (14),
удовлетворяет (15) и является экстремальной в задаче (4) при  ∈ (0, /2].
Случай  =  в техническом отношении гораздо проще предыдущего, но обладает
своей спецификой. Согласно (5) тип целой функции порядка  ∈ (0, 1) удовлетворяет
неравенству

 ( ) ≥
cos  ,
(28)
sin 
если последовательность всех ее нулей Λ = Λ лежит в угле
Γ = { ∈ C : | arg | 6 }
с  ∈ (0, /2] и имеет  - плотность

= .
→∞ | |
Δ  (Λ) = Δ  (Λ) = Δ  (Λ) = lim
(29)
Исключенное здесь значение  = 0 в свете экстремальной задачи (4) при  =  не представляет интереса, поскольку, как известно, тип целой функции порядка  ∈ (0, 1), нули
которой лежат на одном луче и измеримы с  - плотностью , всегда вычисляется по точной формуле

 ( ) =
.
sin 
Однако, картина усложняется, когда в ограничении (3) на расположение нулей раствор
угла положительный.
122
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Покажем, что оценка (28) точна. Для этого выберем измеримую последовательность
( )∞
=1 ⊂ R+ с  - плотностью /2 и снова положим
(︀
)︀∞ ⋃︁ (︀  )︀∞
Λ0 =  − =1
  =1 ,
)︂
∞ (︂
∏︁

,
 ∈ Λ0 .
0 () =
1−

=1
Последовательность Λ0 расположена симметрично на сторонах угла Γ и имеет
 - плотность Δ  (Λ0 ) = , подчиняясь (29), а для 0 () справедливо представление (16).
Рассуждая стандартным образом, зафиксируем  > 0 и подберем 0 = 0 () > 0 так, чтобы
при  ≥ 0 выполнялось соотношение
Λ ()
0, () = 0  6  + .
()
Тогда
∫︁+∞
− ln 0 () =
0, () ()  =
0
∫︁+∞
∫︁0 /
∫︁+∞
=
0, () ()  +
0, () ()  6 ( + )
()  + (1),
0
0 /
 → +∞.
0 /
Поскольку  > 0 произвольно, то с учетом формул (2), (12) получаем

cos  .
 (0 ) 6
sin 
Таким образом, построенная функция 0 () доставляет равенство в (28). Теорема 1 полностью доказана.
Обсудим теперь некоторые нюансы, полезные для понимания сути дела. Вначале отметим, что функция 0 (), предъявленная в заключительной части доказательства теоремы 1, имеет вполне регулярный рост. Укажем естественное обобщение этого примера.
Возьмем на луче arg  = −  произвольную измеримую последовательность Λ1
с  - плотностью /2, а на луче arg  =  — произвольную измеримую
последователь⋃︀
ность Λ2 с  - плотностью /2. Тогда последовательность Λ0 ≡ Λ1 Λ2 будет обладать
свойством (29). Проверим, что функция (14), построенная по такой последовательности
Λ0 , имеет тип

 (0 ) =
cos  .
(30)
sin 
По-прежнему, 0 () является функцией вполне регулярного роста, но теперь в расположении ее нулей симметрия относительно вещественной оси, вообще говоря, отсутствует.
Согласно [5, гл. II, §2] индикатор 0 () вычисляется по формуле
ℎ (0 , ) ≡ lim − ln |0 ( )| =
→+∞

(ℎ ( + ) + ℎ ( − )) ,
0 6  6 2,
2 sin 
где через ℎ () обозначено 2 - периодическое продолжение функии cos ( − ) с [0, 2]
на R. Прямой подсчет дает
⎧
0 6  6 ,
⎨ cos ( − ) · cos ,

cos  · cos ( − ),
 6  6 2 − ,
·
ℎ (0 , ) =
sin  ⎩ cos ( − ) · cos (2 − ),
2 −  6  6 2.
=
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
123
Но тогда с учетом неравенства cos   ≥ cos ( − ) получим
 (0 ) = max ℎ (0 , ) = ℎ (0 , ) =
06<2

cos  ,
sin 
подтверждая (30).
С другой стороны, даже для функций вполне регулярного роста неравенство в (28)
может оказаться строгим. Действительно, пусть Λ состоит из двух измеримых последовательностей, одна из которых имеет  - плотность 1 ≥ 0 и расположена на луче arg  = − ,
а другая имеет  - плотность 2 ≥ 0, 2 ̸= 1 , и расположена на луче arg  = , причем
1 + 2 = . Снова выполнено (29). Образуем по такой последовательности Λ каноническое произведение (6). Исключив требованием 2 ̸= 1 случай «правильной» функции
0 (), мы все равно имеем дело с функцией  () вполне регулярного роста. В обозначениях
из формулы для ℎ (0 , ) индикатор ℎ (, ) имеет вид [5, гл. II, §2]

ℎ (, ) =
(1 ℎ ( + ) + 2 ℎ ( − )) ,
0 6  6 2.
sin 
После несложных преобразований приходим к развернутой записи
⎧
(︀
)︀
− cos  − − ,
0 6  6 ,
⎨

 cos (( − ) −  ) , )︀
 6  6 2 − ,
ℎ (, ) =
·
sin  ⎩  cos (︀(2 − ) −

,
2
−  6  6 2,
−
−
где для краткости обозначено
√︁
 ≡  2 cos2   + (2 − 1 )2 sin2  ,
(︂
 ≡ arctg
)︂
2 − 1
tg   .

Вследствие ограничений, наложенных на параметры, справедливы неравенства
 >  cos  ,
| | 6  .
Берем * ≡  +  /. Тогда  6  −  6 * 6  +  6 2 − . Подставляя значение *
в выражение для индикатора, получим
 ( ) ≥ ℎ (, * ) =


 >
cos   =  (0 ).
sin 
sin 
Таким образом, функция  (), в отличие от 0 (), не является экстремальной.
4.
Теоремы единственности и полнота систем экспонент
Основной результат статьи позволяет получать новые теоремы единственности для целых функций и теоремы о полноте систем экспонент. Подобные применения теоремы 1 в
случае  = 0 даны в работе [2]; подробный разбор общей ситуации  ∈ [0, /2] требует отдельной публикации. Остановимся коротко на некоторых приложениях. Так, естественным
развитием результата Б. Н. Хабибуллина [7, теорема 4] является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть  ∈ (0, 1), и пусть Λ = ( )∞
=1 — последовательность комплексных чисел конечной верхней -плотности  > 0 и нижней -плотности ≥  ∈ [0, ],
расположенная в некотором угле раствора 2 6 . Если тип при порядке  целой функции , обращающейся в нуль на Λ, меньше величины
√
2   Γ(1 − /2)
sin 
 (, ; ) =
Γ() Γ2 (1 − /2)  (, ; ),
Γ((1 − )/2)

где  (, ; ) выписана в теореме 1, то  ≡ 0 на C.
124
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
В формулировке теоремы 2 фигурирует Γ-функция Эйлера. Доказательство получается
прямым соединением теоремы 4 из [7] и нашей теоремы 1.
Приведем теперь следствие теоремы 1, относящееся к четным целым функциям экспоненциального типа, которые играют важную роль в различных разделах комплексного
анализа, например, в теории рядов Дирихле (см. [8]).
Теорема 3. Пусть  > 0,  ∈ [0, ],  ∈ [0, /4], и пусть
)︂
∞ (︂
∏︁
2
 () =
1− 2 ,
| arg  | 6 ,


=1
причем
lim
→∞

= ,
| |

≥ .
→∞ | |
lim
Тогда экспоненциальный тип
( ) ≡ lim −1 ln max | ()|
→+∞
||=
функции  () удовлетворяет точному неравенству
( ) ≥ 2 (, ; 1/2),
(31)
в правой части которого стоит величина
∫︁
2 (, ; 1/2) =  cos  + max
>0
(︂


√ −√


)︂
 + cos 2

2 + 2 cos 2 + 1
(32)
(/)2
из теоремы 1.
Для доказательства достаточно рассмотреть целую функцию
)︂
∞ (︂
∏︁

 () =
1−
,
 = 2 ,


=1
порядка  = 1/2 с нулями
( )∞
=1 ⊂ Γ2 = { ∈ C : | arg | 6 2} ,
2 ∈ [0, /2],
учесть, что


=
,
lim
≥ ,
1/2 ( ) = ( ),
1/2
→∞ | |1/2
→∞ | |
и применить к ней теорему 1.
Без учета нижней плотности нулей ( = 0) оценка (31) принимает вид
lim
( ) ≥
(︀
)︀

1
max √ ln 2 + 2 cos 2 + 1 .
2 >0

Если же последовательность нулей  () имеет плотность ( = ), то (31) превращается
в оценку
( ) ≥  cos .
Все оценки точны. Интеграл в (32) вычисляется через элементарные функции и в случае
 ∈ (0, ), но итоговое выражение столь громоздко, что вряд ли целесообразно приводить
его здесь.
Из теорем 2, 3 немедленно вытекает следующее утверждение.
МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. . .
125
Теорема 4. Пусть Λ = ( )∞
=1 — последовательность комплексных чисел конечной
верхней плотности  > 0 и нижней плотности ≥  ∈ [0, ] такая, что | arg  | 6 ,
где  ∈ [0, /4]. Пусть целая функция  обращается в нуль на множестве ±Λ, и ее
экспоненциальный тип меньше величины
Γ2 (3/4)
√
2 (, ; 1/2),

√
где 2 (, ; 1/2) задается формулой (32), а числовой коэффициент Γ2 (3/4)/  равен
0.8472 . . . . Тогда  ≡ 0 на C.
Для того чтобы раскрыть возможности для применения теоремы 4 к экспоненциальной аппроксимации в комплексной области, напомним некоторые определения. Пусть
Λ = ( )∞
=1 — последовательность точек из C, и Λ() обозначает число вхождений точки
 в последовательность Λ. Говорят, что система (кратных) экспонент
{︀
}︀
Λ ≡  −1  :  ∈ Λ,  = 1, 2, . . . , Λ() ,
 ∈ C,
полна в круге
 ≡ { ∈ C : || < } ,
 > 0,
если она полна в пространстве ( ) функций, аналитических в этом круге, наделенном
топологией равномерной сходимости на компактах из  . Символ (Λ) обозначает радиус
круга полноты последовательности Λ, т. е. точную верхнюю грань радиусов кругов  ,
в которых полна система Λ . Обозначим через  (Λ) точную нижнюю грань значений
 > 0, для которых найдется целая функция  ̸≡ 0 экспоненциального типа 6  такая,
что  обращается в нуль на Λ (с учетом кратностей):  (Λ) = 0. Согласно известному критерию полноты системы Λ в пространстве ( ) (см., например, [9, § 3.3.1]) справедливо
равенство
 (Λ) = (Λ).
При фиксированных  > 0, 0 6  6 , 0 6  6 /4 введем класс  (, ), состоящий
из всевозможных последовательностей Λ = ( )∞
=1 комплексных чисел конечной верхней
плотности  > 0 и нижней плотности ≥  ∈ [0, ] таких, что | arg  | 6 . Положим
 (, ) ≡
inf
(±Λ).
(33)
Λ∈ (, )
Наша цель — как можно точнее оценить характеристику  (, ). Попросту говоря, требуется с хорошей точностью найти радиус наибольшего из кругов, в которых заведомо
полна любая система экспонент, множество показателей которой ±Λ порождено какойлибо последовательностью Λ из класса  (, ).
Наилучшие из известных к настоящему моменту оценок для  (, ) удается получить,
сочетая теорему 4 с классическим неравенством (см. [10, § 2.5])
{︂
}︂

( ) ≥  exp
−1 .

Это неравенство справедливо для экспоненциального типа любой целой функции  , последовательность нулей которой имеет верхнюю плотность  и нижнюю плотность ≥ .
Теорема 5. Пусть зафиксированы числа  > 0, 0 6  6 , 0 6  6 /4, и величина 2 (, ; 1/2) вычислена по правилу (32). Тогда для экстремального радиуса полноты
 (, ), определенного формулой (33), справедлива двусторонняя оценка
{︂ 2
}︂
Γ (3/4)
/−1
√
max
2 (, ; 1/2); 2 
6  (, ) 6 2 (, ; 1/2).

126
B.Б. ШЕРСТЮКОВ
Например, для систем экспонент с измеримыми показателями имеем
{︀
}︀
√
 max Γ2 (3/4)  cos ; 2 6  (, ) 6  cos ,
√
где числовой коэффициент Γ2 (3/4)  = 2.6614 . . . . В частности,
2.6614 . . .  6 0 (, ) 6 .
В заключение отметим, что теорема 3 допускает распространение на функции, инвариантные относительно поворота на угол 2/, где  = 3, 4, . . . , в духе работы [7]. Аналогичное замечание действует и в отношении остальных результатов раздела 4 настоящей
статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке  < 1 канонических произведений с
положительными нулями заданной верхней  - плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика. № 1. 2005. С. 31–36.
2. Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка
 ∈ (0, 1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. № 1. 2011. С. 3–28.
3. Попов А. Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целой
функции с заданной верхней  - плотностью корней // СМФН. Т. 49. 2013. С. 132–164.
4. Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. О типе целой функций порядка  ∈ (0, 1) с нулями на луче //
Итоги науки. Юг России. Серия Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Владикавказ. Изд-во
ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2010. С. 9–21.
5. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.
6. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2004.
7. Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сборник. Т. 200. № 2. 2009. С. 129–158.
8. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.
9. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа: РИЦ
БашГУ, 2006.
10. Boas R. P. Entire functions. New-York: Acad. Press, 1954.
Владимир Борисович Шерстюков,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»,
Каширское шоссе, 31,
115409, г. Москва, Россия
E-mail: shervb73@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
534 Кб
Теги
углем, имею, нулик, функции, значение, порядке, заданным, типа, лежа, плотности, целом, минимальное, котором
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа