close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей.

код для вставкиСкачать
Математика и информатика
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 539.3
А.Д. Матвеев
МНОГОСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
В статье рассмотрено многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и
цилиндрических панелей, которое сводится к построению дискретных моделей упругих композитов с
применением многосеточных конечных элементов. Предлагаемые модели композитов проектируются
(с учетом структуры) на основе базовых дискретных моделей. Размерности многосеточных дискретных
моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых. При этом решения, построенные для
многосеточных моделей композитов, отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную малую величину.
Ключевые слова: трехмерные балки, цилиндрические панели, композиты, многосеточные конечные элементы, метод конечных элементов.
A.D. Matveev
MULTIGRID MODELING OF THE THREE-DIMENTIONAL ELASTIC
COMPOSITE BEAMS AND CYLINDRICAL PANELS
Multigrid modeling of the three-dimensional elastic composite beams and cylindrical panels which is reduced
to construction of the elastic composite discrete models with the multigrid final element application is considered in
the article. The offered composite models are projected (taking into account the structure) on the basis of the base
discrete models. Multigrid discrete model dimensions are several orders less than the basic dimensions. At the
same time the solutions made for the multigrid composite models differ from the solutions which meet the basic
models on the set small value.
Key words: three-dimensional beams, cylindrical panels, composites, multigrid final elements, final element
method.
Введение. При исследовании трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей широко применяют метод конечных элементов (МКЭ) [1–2]. Однако конечноэлементный анализ трехмерных
балок и панелей с учетом структуры сводится к построению дискретных (базовых) моделей высокого порядка [1]. Это создает определенные трудности при реализации МКЭ, которая требует большого объема памяти
ЭВМ и больших временных затрат для решения систем уравнений МКЭ. Применение суперэлементов и нерегулярных разбиений для построения дискретных моделей малой размерности малоэффективно [2].
В данной работе показано построение многосеточных дискретных моделей трехмерных композитных балок и цилиндрических панелей. Поперечные сечения балок составлены из прямоугольников. Дискретные модели балок состоят из четырехсеточных конечных элементов (ЧтКЭ). Разбиения цилиндрических панелей представляются трехсеточными конечными элементами (ТрКЭ) и угловыми многосеточными конечными элементами (УМнКЭ). При этом ТрКЭ и ЧтКЭ имеют форму прямоугольного параллелепипеда [3–4].
Для проектирования ЧтКЭ (ТрКЭ) используются четыре (три) узловые сетки: трехмерная мелкая и три (две)
двумерные крупные, вложенные в мелкую. Для перемещений ЧтКЭ (ТрКЭ) по правилам МКЭ на мелкой и
крупных сетках определяются аппроксимирующие функции. Мелкая сетка порождена базовым разбиением
ЧтКЭ (ТрКЭ), которое состоит из однородных КЭ первого порядка формы куба и учитывает композитную
структуру. Крупные сетки определяются на смежных (боковых) гранях ЧтКЭ (ТрКЭ). Общее число узлов
крупных сеток существенно меньше числа узлов мелкой. Построение ЧтКЭ (ТрКЭ) сводится к исключению
параметров МКЭ с помощью метода конденсации во всех внутренних узлах мелкой сетки, а в узлах мелкой
12
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
сетки, расположенных на (боковых) гранях ЧтКЭ (ТрКЭ) и не совпадающих с узлами крупных сеток, параметры МКЭ исключаются с помощью аппроксимирующих функций, построенных на крупных сетках. УМнКЭ проектируются на основе ТрКЭ и стандартных трехмерных суперэлементов сложной формы.
Достоинства многосеточных дискретных моделей заключаются в том, что такие модели учитывают
сложную структуру трехмерных композитов (балок, панелей). При этом размерности многосеточных дискретных моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей. Реализация МКЭ для многосеточных дискретных моделей требует значительно меньше времени счета и объема памяти ЭВМ, чем
для базовых.
1. Процедура построения трехсеточных конечных элементов. Рассмотрим процедуру построения
ТрКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами a c b , который расположен в локальной
декартовой системе координат O1 x1 y1 z1 . Для рис. 1 имеем a 12h , c 12h b 4h , где a – длина,
c – ширина, b – толщина ТрКЭ (т. е. толщина цилиндрической панели). Область ТрКЭ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ V jh первого порядка формы куба со стороной
h [1], в каждом узле которых узловыми неизвестными МКЭ есть значения перемещений
u , v , w : j 1,..., M , где M – общее число КЭ V jh . Функции перемещений, напряжений и деформаций КЭ
V jh удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши [5]. Базовое разбиение ТрКЭ учитывает структуру и
порождает мелкую узловую сетку V hm размерности m1
Для рис. 1 имеем m1
13 , m 2
13 , m3
m2
m3 с шагом h по осям O1 x1 , O1 y1 , O1 z1 .
5.
z1
b
x1
z1
z
h
x
2h
3h
c
O
y
2h
y1
x1
y1
a
Рис. 1. Мелкая и крупные сетки ТрКЭ
С помощью метода конденсации [6] исключаем неизвестные МКЭ во всех узлах мелкой сетки, кроме
тех узлов, которые лежат на боковых гранях ТрКЭ. В результате получаем трехмерный суперэлемент VS .
Верхняя и нижняя грани ТрКЭ (параллельные плоскости O1 x1 y1 , рис. 1) являются верхней и нижней поверхностями цилиндрической панели. Потенциальную энергию П S суперэлемента VS представим как [6]
ПS
1
(q S ) T [ K S ] q S
2
13
(q S ) T PS ,
(1)
Математика и информатика
где [ K S ] – матрица жесткости суперэлемента VS ; PS , q S – векторы узловых сил и неизвестных суперэлемента VS ; T – транспонирование.
На мелкой сетке V hm двух боковых граней суперэлемента VS , параллельных плоскости x1O1 z1 , определяем две крупные одинаковые двумерные узловые сетки VH1 размерности n1 n3 и с шагами: H 1 по
оси O1 x1 , H 3 по оси O1 z 1 . На мелкой сетке V hm двух боковых граней суперэлемента VS , параллельных
плоскости y 1O1 z1 , определяем две крупные одинаковые двумерные узловые сетки VH2 размерности
n2 n3 и с шагами H 2 по оси O1 y1 , H 3 по оси O1 z1 . Сетки VH1 , VH2 вложены в мелкую сетку V hm , при
этом H 1
k1 h , H 2
k2h , H3
мечены точками, причем H 1
k 3 h , где k1 , k 2 , k 3 – целые. На рис. 1 узлы крупных сеток VH1 , VH2 от2h , H 2 3h , H 3 2h , n1 7 , n 2 5 , n 3 3 , k1 2 , k 2 3 ,
2 . С помощью полиномов Лагранжа [6] на крупной сетке VHi ( i 1,2 ) определяем аппроксимирующие
функции для перемещений u , v , w ТрКЭ, которые соответственно обозначим через ui , vi , wi . Эти функции
k3
представим в виде [6]:
ni
ni
N i q v , wi
1
где
ui , vi , wi в
N i – базисная функция
-ом узле сетки VHi ;
Обозначим q H
ni
N i q u , vi
ui
1
N i qw ,
(2)
1
-го узла крупной сетки VHi ; q u , q v , q w – значения функций
1,..., ni , ni – общее число узлов сетки VHi .
{q1u ,..., qnu0 , q1v ,..., qnv0 , q1w ,..., qnw0 }T – вектор узловых параметров МКЭ крупных
сеток VH1 , VH2 , VH3 , т.е. вектор узловых неизвестных ТрКЭ, n 0 – общее число узлов крупных сеток.
Используя (2), вектор q S узловых перемещений суперэлемента VS выражаем через вектор q H .
В результате построим равенство:
qS
[ AS ] q H ,
(3)
где [ AS ] – прямоугольная матрица вещественных чисел.
Подставляя (3) в выражение (1), из условия П e / q H
[K H ] q H
0 получаем уравнение
FH ,
(4)
где
[ K H ] [ AS ]T [ K S ] [A S ] , FH
[ AS ]T PS ;
(5)
[ K H ], FH – матрица жесткости и вектор узловых сил ТрКЭ, который обозначим через Veq ; e – порядковый номер ТрКЭ.
Следует отметить, что матрица жесткости [ K H ] и вектор узловых сил FH ТрКЭ определяются в локальной системе координат O1 x1 y1 z1 . По правилам ортогональных преобразований [1] в глобальной декартовой системе координат Oxyz матрица жесткости [ K H0 ] и вектор узловых сил FH0 ТрКЭ вычисляются
по формулам
[ K H0 ] [ L]T [ K H ][L] , FH0
14
[L]T FH ,
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
где [L ] – матрица направляющих косинусов [1].
Заметим, что оси O1 y1 , Oy параллельны, т.е. образующая цилиндрической поверхности параллельна оси Oy . На рис. 1 показано взаимное расположение систем координат O1 x1 y1 z1 и Oxyz для определения углов между осями ( O1 z 1 и Oz , O1 y1 и Oy , O1 x1 и Ox ), которые используются при построении матриц направляющих косинусов. Итак, при построении КЭ Veq используются три различных узловых
сетки: две различные крупные двумерные узловые сетки VH1 , VH2 и одна трехмерная мелкая узловая сетка
V hm , поэтому КЭ Veq называется трехсеточным.
2. Процедура построения многосеточных угловых конечных элементов. Расчеты трехмерных
композитов формы цилиндрической панели с применением МнКЭ показывают, что при построении дискретной модели композита (панели) целесообразно использовать угловые многосеточные КЭ (УМнКЭ) и ТрКЭ
формы прямоугольного параллелепипеда [4]. При этом ТрКЭ имеют одинаковые мелкие и крупные узловые
сетки. Рассмотрим процедуру построения УМнКЭ, который обозначим через G . УМнКЭ G проектируются
с применением ТрКЭ и стандартных суперэлементов сложной формы. На рис. 2 показан УМнКЭ G , который состоит из двух ТрКЭ V 1 , V 2 и одного суперэлемента V S ( b – толщина панели, c – длина УМнКЭ
G и ТрКЭ V 1 , V 2 ).
z
O
x
VS
y
b 4h
V2
V1
c 12h
a 12h
a
Рис. 2. Угловой многосеточный КЭ G
Суть построения УМнКЭ заключается в следующем. Вначале строим стандартный трехмерный суперэлемент [2] сложной формы V S (рис. 2). Разбиение суперэлемента V S , состоящее из КЭ первого порядка, учитывает структуру композита. Затем строим ТрКЭ V 1 , V 2 по процедуре, которая аналогична процедуре построения ТрКЭ Veq , описанной в п. 1. Отличие данной процедуры от процедуры п. 1 состоит в том,
что на боковой грани ТрКЭ V 1 ( V 2 ), совпадающей с границей суперэлемента V S , узловые неизвестные
МКЭ мелкой сетки не исключаются. При этом предполагается, что мелкие сетки ТрКЭ V 1 ( V 2 ) и суперэлемента V S на общей границе совпадают. Используя ТрКЭ V 1 , V 2 и суперэлемент V S , по правилам МКЭ
15
Математика и информатика
строим сложный КЭ V p . Исключая с помощью метода конденсации неизвестные МКЭ внутри области КЭ
V p , получаем УМнКЭ G . Отметим, что матрицы жесткости КЭ V 1 , V 2 , V S вычисляются вначале в локальных системах координат, а затем в глобальной системе координат Oxyz (используя матрицы направляющих косинусов [1]).
3. Процедура построения трехмерных четырехсеточных конечных элементов. Процедура построения ЧтКЭ формы прямоугольного параллелепипеда (типа пластины), расположенного в локальной декартовой системе координат O1 x1 y1 z1 (рис. 3), аналогична процедуре п. 1.
z1
z
x
O
y
b
x1
h
2h
3h
c
2h
y1
a
Рис. 3. Мелкая и крупные сетки ЧтКЭ (параллелепипед A типа пластины)
Отличие данной процедуры от процедуры п. 1 состоит в том, что в этом случае на мелкой сетке ЧтКЭ
строим стандартный суперэлемент [2] (т.е. узловые неизвестные МКЭ исключаем во всех внутренних узлах
мелкой сетки), а три крупные сетки определяем на смежных гранях ЧтКЭ. При этом считаем, что соответствующие оси общей системы координат Oxyz и локальной O1 x1 y1 z1 параллельны. На рис. 3 узлы крупных
сеток отмечены точками. Таким образом, при построении данного КЭ (рис. 3) используются четыре различных узловых сетки: три различные крупные двумерные узловые сетки и одна трехмерная мелкая узловая
сетка, поэтому построенный КЭ называется четырехсеточным.
Процедура построения ЧтКЭ на базе прямоугольного параллелепипеда B (типа стенки), показанного
на рис. 4, аналогична вышеописанной. При этом предполагается, что соответствующие оси общей системы
координат Oxyz и локальной O1 x1 y1 z1 , в которой расположен параллелепипед B , параллельны.
В данной работе рассматриваются композитные балки, поперечные сечения которых состоят из прямоугольников. На рис. 5 показаны поперечные cечения ряда композитных балок: 5а – двутавр, 5б – швеллер,
5в – полый прямоугольник, 5г – перевернутое корыто. Сечения состоят из одинаковых прямоугольников
(размерами a b ), границы которых на рис. 5 отмечены жирными линиями; сечения жестких слоев балки
закрашены, а сечения мягких слоев – заштрихованы.
Расчеты показывают, что при построении дискретных моделей трехмерных изгибаемых композитных
балок (поперечные сечения которых состоят из прямоугольников) целесообразно использовать трехмерные
многосеточные суперэлементы, в основе проектирования которых лежат ЧтКЭ.
16
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
z1
z
x
O
a
y
x1
c
y1
b
Рис. 4. Прямоугольный параллелепипед B (типа стенки)
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
а
б
в
г
Рис. 5. Поперечные сечения балок
Процедуру построения трехмерных многосеточных суперэлементов задачи изгиба балок рассмотрим
на примере двутаврового многосеточного трехмерного суперэлемента V T , расположенного в локальной
декартовой системе координат Ox 2 y 2 z 2 (рис. 6). Суперэлемент V T состоит из трех одинаковых прямоугольных параллелепипедов A и B (рис. 3–4). Параллелепипеды A есть жесткие слои двутавра, параллелепипед B – средний (мягкий) слой. Основные положения процедуры построения суперэлемента V T
состоят в следующем. Используя параллелепипеды A и B , проектируем стандартные суперэлементы [2;
6] VSA и V SB соответственно. Разбиения суперэлементов VSA , V SB , состоящие из КЭ первого порядка
формы куба, учитывают его композитную структуру. Для каждого стандартного суперэлемента VSA , V SB
строим соответственно ЧтКЭ V 1 , V 2 по процедуре, которая описана в п. 3. При этом предполагается, что
мелкие и крупные сетки ЧтКЭ V 1 , V 2 одинаковы.
17
Математика и информатика
z2
z
c
b
A
a
O
x
b
y
B
b
x2
A
y2
a
Рис. 6. Многосеточный суперэлемент V T
Используя ЧтКЭ V 1 , V 2 , по правилам МКЭ строим сложный КЭ V p . Исключая с помощью метода
конденсации неизвестные МКЭ внутри области КЭ V p и на его боковых гранях между плоскостями z 2
z2
2b
a и плоскостями y 2
0 , y2
0,
c (см. рис. 6), получаем многосеточный трехмерный суперэле-
мент V задачи изгиба двутавровой балки.
4. Результаты численных экспериментов.
4.1. Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz решение по МКЭ модельной задачи теории
упругости для трехмерной упругой прямоугольной цилиндрической трехслойной панели толщины b и длины
L , H – высота панели (рис. 7). При y 0, L имеем u v w 0 (т. е. на торцах панель жестко закрепT
лена). Панель нагружена сосредоточенными силами q z
координатами x , y z
4,53 , которые приложены в точках композита с
2h(k 1) , k 1,...,13 ; y1i 12h 12h(i 1) , i 1,...,5 , z10 4h .
Значения x1k , y , z
декартовой системе координат O1 x1 y1 z1 (рис. 7–8), O1 y 1 z1 –
плоскость симметрии панели. Силы q z схематично показаны на рис. 7. Модуль Юнга для связующего мате0,3 ; L 90h , b 4h , h 0,5 , толриала равен 1, для жестких слоев – 10, коэффициент Пуассона
щина жестких слоев равна h . На рис. 1 сечения жестких слоев ТрКЭ закрашены. Многосеточная дискретная
модель панели состоит из ТрКЭ Veq и УМнКЭ G (рис. 1–2). ТрКЭ V 1 , V 2 , Veq размерами
12h 12h 4h (рис. 2) имеют одинаковые мелкие и крупные узловые сетки. Поперечное сечение разбиения панели состоит из двух УМнКЭ G и двух ТрКЭ Veq .
k
1
i
1
k
i
0
1
1 , 1 , где
0
1 заданы в локальной
x
На рис. 8 показан левый торец панели, представленный разбиением на ТрКЭ V1q , V2q и УМнКЭ G1 ,
G2 ( e 1,2 ,
1,2 ).
18
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
y
y1
y2
qz
z
z1
H
O1
z2
O2
O
x1
L
x2
x
Рис. 7. Расчетная схема панели
z1
z2
z
H
G1
G2
O2
b
O1
x1
x2
V1q
V2q
O
x
Рис. 8. Левый торец панели ( y
0)
Мелкая сетка ТрКЭ V 1 , V 2 , Veq имеет размерность 13 13 5 , крупные сетки имеют размерности
5 3 и 7 3 (крупные сетки расположены на боковых гранях ТрКЭ, рис. 1). Мелкое (базовое) разбиение
ТрКЭ V 1 , V 2 , Veq состоит из однородных изотропных КЭ формы куба со стороной h . Разбиение суперэлементов V S (которые используем при построении УМнКЭ G , рис. 2) состоит из однородных изотропных
КЭ Vi g первого порядка формы прямоугольного параллелепипеда размерами 0,25h
На рис. 9 показано разбиение попереченого сечения суперэлемента V
S
h h.
на КЭ Vi g . Суперэлемент
V S состоит из двух подобластей V1S и V2S сложной формы, которые соединяются между собой в конечном
числе точек. Сечения S 1 , S 2 подобластей V1S , V2S (расположенные в плоскости, которая перпендикуляр-
19
Математика и информатика
на оси Oy , рис. 5) на рис. 9 соединяются в четырех отмеченных точках. Сечения жестких слоев (толщиной
h ) суперэлемента V S
закрашены.
0,25h
h
S1
S2
4h
h
Рис. 9. Разбиение поперечного сечения суперэлемента V S
Характерные значения перемещений и эквивалентных напряжений многосеточной и базовой моделей
панели даны в табл. 1–2. Координаты точек панели, для которых находим перемещения и напряжения, заданы в локальных декартовых системах координат O1 x1 y1 z1 и O 2 x 2 y 2 z 2 (рис. 7–8). Оси O1 y1 , O 2 y 2 и
Oy параллельны, при этом y1 y 2 y . Перемещения определены при y1 36h (табл. 1), напряжения
при y 2 35h (см. табл. 2). Базовая дискретная модель панели, состоящая из однородных изотропных КЭ
V jh первого порядка (формы куба со стороной h и прямоугольного параллелепипеда размерами
0,25h h h ), учитывает структуру и порождает мелкую узловую сетку V h .
Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное значение перемещений wh
госеточной модели отличается от максимального перемещения w0
92,030 мно-
95,368 базовой на 3,5% (см. табл. 1).
Таблица 1
z 1 \ x1
4h
4h
5h
6h
7h
8h
9h
u, v, w
93,740
90,175
93,428
91,118
95,368
91,707
94,099
92,030
95,102
92,005
92,927
91,453
w0
wh
Эквивалентные напряжения
в центрах тяжести КЭ V
h
j
h
многосеточной дискретной модели панели и
0
по четвертой теории прочности [8]. Максимальное значение
чается от максимального значения
0
38,049 на 0,26% (см. табл. 2).
20
базовой вычисляем
h
37,949 отли-
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
Таблица 2
z2 \ x2
3,5h
0,5h
1,5h
2,5h
3,5h
4,5h
5,5h
38,049
37,978
34,161
33,877
31,011
30,569
28,240
27,571
24,261
23,342
20,486
20,108
0
h
Базовая дискретная модель панели содержит 105327 узловых неизвестных, ширина ленты системы
уравнений (СУ) МКЭ равна 1344. Многосеточная дискретная модель панели имеет 4059 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 870 и занимает в 40 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели.
Время реализации МКЭ для многосеточной модели тела в 2 раза меньше, чем для базовой.
4.2. Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz решение по МКЭ задачи изгиба трехмерной
упругой трехслойной двутавровой балки длины L . Балка расположена в декартовой системе координат
Oxyz (рис. 10), H – высота сечения балки.
qz
z
H
y
O
a
L
x
Рис. 10. Расчетная схема двутавровой балки
При y
0, L имеем u v
w 0 (т.е. на торцах балка жестко закреплена). Сечение балки состоит
из трех одинаковых прямоугольников размерами a b . Размеры сечения балки показаны на рис. 5, а, где
a 16h , c 12h , b 4h , h 0,5 . Балка нагружена сосредоточенными силами q z 0,23 , которые
приложены в точках области балки с координатами x k , y i , z 0 , где x k
2h(k 1) , k 1,...,17 ;
24h . Силы q z схематично показаны на рис. 10. Модуль Юнга для
0,3 ; L 192h ,
среднего (мягкого) слоя равен 1, для жестких слоев – 10, коэффициент Пуассона
H 24h , h 0,5 , толщина жестких слоев равна 4h . На рис. 10 боковые грани жестких слоев балки закрашены. Базовая дискретная модель балки, состоящая из однородных изотропных КЭ V jh первого порядка
формы куба со стороной h , учитывает структуру и порождает мелкую узловую сетку. Многосеточная дискретная модель балки состоит из трехмерных многосеточных суперэлементов V T (рис. 6). Характерные значения
yi
12h 12h(i 1) , i 1,...,5 , z 0
перемещений и эквивалентных напряжений многосеточной и базовой моделей балки даны в табл. 3–4. Координаты точек балки, для которых находим перемещения и напряжения, заданы в декартовой системе координат Oxyz (рис. 10). Перемещения определены при x 16h (табл. 3), напряжения – при x 8,5h (табл. 4).
Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное значение перемещений wh
точной модели отличается от максимального перемещения w0
21
13,598 многосе13,651 базовой на 0,39% (см. табл. 3).
Математика и информатика
Таблица 3
z\ y
24h
42,5h
48,5h
54,5h
60,5h
66,5h
72,5h
w
12,236
12,237
13,236
13,186
13,449
13,450
13,651
13,598
13,056
13,055
12,453
12,452
w0
wh
Эквивалентные напряжения
ляем в центрах тяжести КЭ V
h
j
h
многосеточной дискретной модели композита и
базовой вычис-
0
по четвертой теории прочности [8]. Максимальное значение
отличается от максимального значения
h
2,058
2,082 на 1,15% (см. табл. 4).
0
Таблица 4
z\ y
23,5h
0,5h
1,5h
2,5h
3,5h
4,5h
5,5h
2,026
1,927
2,082
2,058
1,854
1,888
1,666
1,681
1,485
1,485
1,316
1,308
0
h
Базовая дискретная модель балки содержит 140385 узловых неизвестных, ширина ленты системы
уравнений (СУ) МКЭ равна 816. Многосеточная дискретная модель балки имеет 5967 неизвестных, ширина
ленты СУ МКЭ равна 612 и занимает в 31 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. При
этом время реализации МКЭ для многосеточной модели балки в 1,3 раза меньше, чем для базовой.
Были проведены расчеты композитных балок Bi ( i 1,2,3) , имеющих одинаковую длину L 192h .
Сечения балок B1 , B 2 , B3 показаны соответственно на рис. 5,б, 5,в, 5,г, где a
16h , c 12h , b 4h ,
h 0,5 . Высота сечения балки Bi ( i 1,2,3) равна H i , причем H 1 H 2 24 h , H 3 20h . У балок
Bi модуль упругости жестких слоев равен 10, мягких – 1, коэффициент Пуассона равен 0,3 . Балка Bi
(i
1,2,3) имеет такое же закрепление и нагружена сосредоточенными силами q zi в тех же точках области,
как и двутавровая балка (рис. 10); имеем q1z
0,453 , q z2
q z3
0,76 . Базовые дискретные модели балок
Bi состоят из КЭ первого порядка формы куба со стороной h . Многосеточные дискретные модели балок
Bi состоят из трехмерных многосеточных суперэлементов, построенных на основе ЧтКЭ по алгоритму п. 3.
ЧтКЭ проектируются согласно процедуре п. 3 с применением параллелепипедов A и B (рис. 3–4). Анализ
расчетов балок Bi показывает следующее. Максимальное значение сеточных перемещений w многосеточной дискретной модели балки B1 отличается от максимального значения сеточных перемещений базовой модели на 0,4% , для балки B 2 – на 0,43 , для балки B3 на – 0,03% . Относительная погрешность
для максимальных сеточных эквивалентных напряжений базовой и многосеточной моделей для балки B1
равна 3,2 % , для балки B 2 – 5,2 , для балки B3 – 3,27 % .
Замечание. Обозначим через U 0h вектор узловых перемещений базовой модели трехмерного композита (балки, цилиндрической панели), которая состоит из однородных КЭ первого порядка формы куба.
0
Пусть || U 0 U 0h ||
, где U h – вектор узловых пеU h ||
1 , где U 0 – точное решение, пусть || U h
ремещений многосеточной дискретной модели композита. Тогда имеем
0
1
, погрешность
1
|| U 0
U h ||
0,
где
определяется базовым разбиением тела. Факторы, влияющие на погреш-
ность 1 , изучены в теории МКЭ [1; 7]. Расчеты показывают, что погрешность
зависит от соотношения
шагов мелких и крупных узловых сеток УмнКЭ, ТрКЭ, ЧтКЭ (при фиксированных размерах УмнКЭ, ТрКЭ и
ЧтКЭ).
22
Вестник КрасГАУ. 20 10. № 12
Отметим, что с помощью предлагаемого многосеточного моделирования можно исследовать трехмерное напряженное состояние гофрированных пластин, ангарных сооружений и судовых корпусов [2], состоящих из пластин, цилиндрических панелей и подкрепляющих их ребер.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975.
Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. – Л.: Судостроение, 1977.
Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов: деп. в
ВИНИТИ. № 2990-В00 / Институт вычислительного моделирования СО РАН. – Красноярск, 2000. – 30 с.
Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. – 2004. – № 3. – С. 161–171.
Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1970.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977.
Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев: Наук.
думка, 1975.
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
723 Кб
Теги
панелей, композитных, балов, моделирование, многосеточные, трехмерная, упругие, цилиндрическом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа