close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование притока влаги к свободной поверхности при безнапорной фильтрации.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
М. С. Подзорова, М. И. Подзорова
Моделирование притока влаги к свободной
поверхности при безнапорной фильтрации
Аннотация: В работе рассматривается модель двухфазной фильтрации в ненасыщенной зоне над поверхностью
депрессии в рамках приближенной модели. Изучаются определяющие параметры, такие как расход, его зависимость
от расстояния от земли до свободной поверхности, ищется форма свободной поверхности. Проводится исследование , какое влияние на форму свободной поверхности оказывает случай, в котором учитывается транспорт влаги
внутри плотины.
Ключевые слова: двухфазная фильтрация, безнапорная фильтрация, моделирование притока влаги.
Введение
В данной работе рассматривается модель двухфазной фильтрации в ненасыщенной зоне над поверхностью депрессии в рамках
приближенной модели. Изучаются определяющие параметры, такие
как расход, его зависимость от расстояния от земли до свободной
поверхности, ищется форма свободной поверхности. Проводится
исследование, какое влияние на форму свободной поверхности
оказывает случай, в котором учитывается транспорт влаги внутри
плотины.
Многофазная фильтрация
М. С. Подзорова,
Базовое образование: механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Сфера научных интересов: моделирование
процессов безнапорной фильтрации, математическое моделирование в экологии.
E-mail: mariannapodzorova@hotmail.com
М. И. Подзорова,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и информатики Российского государственного социального университета.
Базовое образование: механико-математический факультет Московского государственного университета им. Ломоносова.
Тема кандидатской диссертации: «Профессиональная подготовка социологов в ВУЗе
к работе в социальной квалиметрии».
Основные публикации: «Интеграция достижений науки и производства в профессионально-математической подготовке современного инженера-эколога» (2009); «Компетентностный подход как попытка привести
систему профессиональной подготовки инженера-эколога в соответствие с современными
требованиями рынка труда» (2011); «Требования, предъявляемые к выпускнику технического вуза в современных условиях. Инновационные подходы к обучению инженеров–экологов профессиональным дисциплинам» (2011).
Сфера научных интересов: профессиональная математическая подготовка экологов, математическое моделирование в экологии.
E-mail: marinatichomirova@hotmail.com
В пористой среде может двигаться не одна однородная жидкость,
а несколько жидкостей с разными физико-химическими характеристиками, поэтому в действительности картина течения намного
сложнее. Процесс течения усложняется еще и тем, что зачастую
происходят химические реакции или фазовые превращения – конденсация и испарение – между компонентами смеси, движущейся
в пористой среде. Гидродинамика многокомпонентных систем является одним из самых сложных и мало изученных разделов механики
сплошных сред.
В теории многофазной фильтрации вводятся понятия насыщенностей и скоростей фильтрации. Насыщенность пористого пространства i-й фазой si в произвольной точке представляет собой
долю объема пор в обыкновенном макрообъеме, занятого i-й фазой
и охватывающем данную точку. Cухому грунту соответствует водонасыщенность s = 0. Соответственно s = 1, если все пространство заполнено водой.
Мы будем рассмаривать случай двухфазной фильтрации, когда
0 < s < 1 . Пусть первая фаза будет воздушная, ей соответствуют следующие параметры: ρ1, µ1, p1, s1. В жидкой фазе: ρ2, µ2, p2, s2. Очевидно, что для двухфазной фильтрации s1 + s2 = 1 , то есть насыщенность
первой фазы однозначно определяет насыщенность второй и все
величины, зависящие от насыщенности. Для удобства введем следующее обозначение для водонасыщенности в первой фазе: s1 = 1 − s
, тогда для второй s = s2 . Мы рассматриваем несжимаемую однородную жидкость, поэтому ρ1 ,� � ρ2 = const .
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 1, 2013
Движение каждой из фаз можно охарактеризовать вектором скорости фильтрации данной фазы ui .
Аналогично скорости фильтрации однофазной жидкости, ui определяется как вектор, проекция которого
на некоторое направление равна объемному потоку i -й фазы через единичную площадку, перепендикулярную к данному направлению.
Теперь вспомним основные законы гидродинамики.
Законы сохранения массы
Законы сохранения массы для двухфазной фильтрации выглядит следующим образом:
∂
( ρ1ms ) + div ( ρ2u2 ) = 0, ∂t
(1.1.1)
∂
( ρ1m ( s − 1) ) + div ( ρ1u2 ) = 0. ∂t
(1.1.2)
Уравнение баланса импульса – закон Дарси
u1 = −
kf1 ( s )
( ∇p1 − ρ1 g ) , µ1
(1.2.1)
u2 = −
kf 2 ( s )
( ∇ p2 − ρ 2 g ) . µ2
(1.2.2)
f1 и f 2 нам известны. Зависимость f1 = f l и f 2 = f g от водонасыщенности будет выглядеть примерно
следующим образом:
Теперь рассмотрим разность давлений в первой и второй фазах. Вообще говоря, p1 и p2 различны
в силу капиллярных эффектов. Их разность p1 − p2 будет зависеть от поверхностного натяжения.
Согласно формуле Лапласа:
 1
1 
p1 − p2 = pk = α  +  ; R
R
 1
2 
(1.3)
где R1 и R2 – главные радиусы кривизны поверхности раздела фаз в данной точке, близкие размерам
пор, α – поверхностное натяжение, pk – капиллярное давление или капиллярный скачок.
В нашем случае p1 − p2 > 0 , то есть большее давление будет на стороне не смачивающей твердые зерна
породы фазы (в нашем случае – воздушной).
36
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Радиусы кривизны R1 и R2 зависят от степени внедрения вытесняющей фазы в область, занятую вытесняемой, то есть в основном от насыщенности. И на практике капиллярное давление считается известной экспериментальной функцией насыщенности.
Вид кривой pk ( s ) зависит от характеристик жидкостей, газов и геометрической структуры пористой
среды. Для кривой pk ( s ) Леверетт предложил безразмерную функцию J ( s ) :
σcosθ
p1 − p2 =
J ( s ).
k/m
(1.3)
Ею мы и воспользуемся в нашей задаче, где σ – коэффециент поверхностного натяжения, θ – угол смачивания (или, как еще говорят, краевой угол), k – проницаемость, а m – пористость. J ( s ) нам известна.
Гипотеза приближения
Рассмотрим приток к свободной поверхности жидкости при безнапорной фильтрации в случае, когда
горизонтальные размеры пласта много больше вертикальных. При этом предположении можно считать,
что приток жидкости через пространство над поверхностью депрессии происходит только по вертикали.
Возьмем небольшой участок среды такой, что L  h , и заметим, что предыдущее предположение фактически привело нас к одномерной задаче.
То есть в столбике(с песком, например) происходит фильтрация сверху вниз. Есть внешний приток.
Часть пор частично заполнена водой и часть – воздухом. В области x > h* поры полностью заполнены
водой.
Другие гипотезы
Также будем считать, что давление в воздушной фазе p1 постоянно и равно атмосферному, и что задача
стационарная.
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 1, 2013
Давление в первой и второй фазах
Согласно предыдущим предположениям давление в первой (воздушной) фазе постоянно и равно атмосферному давлению:
=
p1 const
= pat .
Давление во второй фазе согласно уравнению, предложенному Левереттом, имеент вид:
p=
p1 −
2
σcos(θ)
( k / m)
J (s) .
Давление во второй фазе p2 меньше атмосферного.
Скорость фильтрации во второй фазе
σcos(θ)
β . Тогда p=
pat − βJ ( s ) . Соответственно скорость фильтрации во
2
k/m
второй фазе выглядит следующим образом:
Для удобства обозначим
u2 = −
kf 2 ( s )  ∂p2

− ρ2 g  ..(1.5)
µ 2  ∂x

(1.5.2)
∂
Из предположения о стационарности задачи следует, что
(ρ2 u2 ) =
0 , то есть ( u2 ) 'x = 0 , откуда сле∂x
дует:
u2 = const = −
kf 2 ( s )
( −β ( J (s( x)) ) 'x − ρ2 g ) ..(1.5.1)
µ2
(1.5.1)
Как уже было сказано выше, фильтрация происходит сверху вниз, поэтому u2 > 0 . Продифференцируем и получим:
u2 = const = −
kf 2 ( s )
( −βJ'( s) s'x − ρ2 g )..(1.5.2)
µ2
(1.5.2)
f 2 ( s ) и J ( s ) – нам известны. Соответственно J'( s ) известна тоже. То есть фактически задача сводится
к решению дифференциального уравнения
ds
.
= F ( s ( x)).(1.6)
dx
Аппроксимации и качественные оценки
Из экспериментов известно, что f 2 хорошо аппроксимируется степенной функцией.
Если для удобства обозначить степень 3.5 некоторой переменной А, то получается следующее:
38
(1.6)
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
A
3.5
A
 s − s* 
 s − s* 
f 2 (s)  =
s .
=

=

*
*
 s − s* 
 s − s* 
(1.7)
Также для упрощения задачи можно принять s* равным нулю , а s* равным единице.
s − s*  
= s, s ∈ [0;1]
s* − s*
m

1
s = 
 1 + (αJ ( s )) n

 ,


(1.7.1)
где α , n , m – константы. Тогда для J ( s ) имеет место следующее:
1

n
1 1

=
J (s)
− 1 .

α   m1
s

(1.7.2)
Итак, пусть s* = 0 , s* = 1 , для удобства примем также m = 1 , n = 2 . Тогда:
1/ 2
1 1 
−1
α  s 
J=
(s)
.
(1.7.3)
Продифференцируем:
1 1 
J'( s )=
−1
2α  s 
−
1
2
 1
− 2
 s
−1

.
=
2
 2αs 1/ s − 1
(1.7.4)
Очевидно, что функции J ( s ) и J'( s ) ведут себя следующим образом:
Вернемся к дифференциальному уравнению (1.6). Оно решается разделением переменных, вследствие
чего получаем:
ds
= dx, F ( s ( x))
ds
∫ F (s( x))=
(1.8.1)
x + c. (1.8.2)
Из уравнения (1.5.2) выразим F:
F= −
ρ2 gkf 2 ( s ) + c1
.
J'( s ) f 2 ( s )βk
(1.8.3)
где c1 = µ 2 u2 , которые, в свою очередь, тоже какие-то константы. Подставим полученное для F выражение в (1.8.2) и попробуем проанализировать поведение функций:
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 1, 2013
∫
ds (− J'( s )) f 2 ( s )βk
= x + const .
ρ2 gkf 2 ( s ) + u2 µ 2
(1.8.4)
Вернемся к уравнению (1.7.4):
1
1
1
J'( s ) =
−
=
−
~ − 1.5 .
2
1.5
s
s
2α s 1 − s
2α
1− s
s
(1.9.1)
Из (1.7) и (1.9.1) следует:
J'( s ) f 2 ( s ) ~
1
~ s 2 → 0 .
s1.5 ⋅ s 3.5
(1.9.2)
Обозначим 1 − s =ε , тогда:
J' ~
1
1
.
⋅
1.5
1− ε
ε
(1.9.3)
То есть числитель и знаменатель, а cледовательно, и числитель, поделенный на знаменатель, ведут себя
следующим образом:
A
Очевидно, что интеграл следующего вида ∫ s 2 ds =
1
то есть сходится, как и интеграл вида
∫
B
1
0
1− s
A3 − 0
представляет собой какое-то конечное число,
3
ds .
Аппроксимация и качественные результаты
Зададим расход воды u2 и водонасыщенность s на поверхности. Расстояние от поверхности земли до
поверхности депрессии равно L . Попытаемся обратить зависимость u2 ( L) в L(u2 ) . График зависимости
будет выглядить следующим образом:
40
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И в логарифмических осях:
Затем рассмотрим вид зависимости L(u ) и попробуем аппроксимировать ее какой-нибудь простой
функцией.
F ( ξ ) = lgu2 = Aξ3 + Bξ 2 + C ξ + D, где ξ = lgL.
То есть выражение для расхода выглядит следующим образом:
lgu2 =
lgq =
A ( lgL ) + B ( lgL ) + C ( lgL ) + D ,
3
(
2
)
=
q exp A ( lgL ) + B ( lgL ) + C ( lgL ) + D .
3
2
A, B, C и D находим численно с помощью пакета Maple 13. Получаются следующие выражения:
A ==
0.71, B 3.481, C =
−6.773, D =
5.
График будет выглядеть следующим образом:
Благодаря предположению о стационарности задачи, а также притоку, выражающемуся функцией
F (d − h( x)) , уравнение
сводится к
∂h
=
m
c ( hh'x ) 'x + q ( x)
∂t
c 2
0
( h ) ''x x + F ( d − h ) =
2
с краевыми условиями:=
h(0) h=
h2 . Решаем численнно. В результате получаем график зависи1 , h( L )
мости h от x:
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 1, 2013
Интересно отметить для сравнения, что будет происходить в ситуации с осредненным притоком (сплошная линия на графике) и в ситуации без притока (пунктирная линия на графике).
Также получим типичный график насыщенности от глубины:
Заключение
В данной работе была изучена двухфазная фильтрация в ненасыщенной зоне над поверхностью депрессии в рамках приближенной модели.
Для определяющих параметров, встречающихся в практических приложениях, найдена зависимость
расхода при вертикальном движении влаги от расстояния от поверхности земли до свободной поверхности. Эта зависимость использована для нахождения формы свободной поверхности в рамках гидравлической теории.
Показано, что этот случай учета транспорта влаги (по сравнению с традиционным подходом) незначительно влияет на форму свободной поверхности.
Список литературы:
1.
2.
3.
Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра,
1984. – 208 с.
Басиев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н. и др. Подземная гидравлика. – М.: Недра, 1986. – 304 с.
Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Гостоптехиздат, 1963. – 396 с.
Spisok literatury:
1.
2.
3.
42
Barenblatt G. I., Entov V. M., Ryzhik V. M. Dvizhenie zhidkostej i gazov v prirodnyx plastax. – M.: nedra, 1984. –
208 s.
Basiev K.s., Vlasov A. M., Kochina I. N. i dr.Podzemnaya gidravlika. – M.: Nedra, 1986. – 304 s.
Charnyj I. A. Podzemnaya gidrogazodinamika. – M.: Gostoptexizdat, 1963. – 396 s.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 256 Кб
Теги
притока, моделирование, фильтрация, свободно, влаги, безнапорной, поверхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа