close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Модифицированный метод Чаплыгина в частично упорядоченном B-пространстве.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского
университета
Н.И. Лобачевского,
2010,В-пространстве
3(1), с. 165–167
Модифицированный
метод
Чаплыгина им.
в частично
упорядоченном
УДК 517.988
165
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЧАПЛЫГИНА
В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОМ B-ПРОСТРАНСТВЕ
 2010 г.
Н.В. Кротов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
nkrotov@gmail.com
Поступила в редакцию 05.11.2009
Устанавливаются достаточные условия сходимости метода двусторонних приближений к решению операторного уравнения в частично упорядоченном В-пространстве. Результат конкретизирован
в случае нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра.
Ключевые слова: частично упорядоченное пространство, метод Чаплыгина, нелинейное интегральное уравнение.
I. Приведем известные определения. В-пространство называется частично упорядоченным
(ч.у.), если в нем возможно выделение множества
элементов x > 0 , удовлетворяющего условиям
( x, y > 0, c > 0) ⇒ ( x ≠ 0, x + y > 0, cx > 0); норма
изотонна:
(0 < x < y ) ⇒ ( x ≤ y ); множество
элементов x ≥ 0 замкнуто: ( x n ≥ 0, x n → x ) ⇒
⇒ ( x ≥ 0) . Частным случаем такого пространства является полуупорядоченное В-пространство (см., например, [1]).
Сравнимость x > y, y < x означает x − y > 0 .
Порядковым отрезком [u, v] называется множество {x : u ≤ x ≤ v} . Обозначение un ↑ x : un ≤ un+1 → x .
Аналогично vn ↓ x .
В дальнейшем X , Y − ч.у. В-пространства.
Линейный оператор A : X → Y называется положительным, A > 0 , если ( x > 0) ⇒ ( Ax ≥ 0);
∃x > 0 : Ax > 0 . Сравнимость операторов А > В,
В > А определяется так же, как для элементов.
II. Найдем достаточные условия осуществимости процесса двусторонних приближений к
решению уравнения x = S ( x) .
Теорема 1. Пусть элементы u0 , v 0 ∈ X ,
u0 ≤ v0 ; операция S отображает порядковый
отрезок P = [u0 ; v0 ] в пространство X, удовлетворяет при x, x + ∆ ∈ P, ∆ > 0 условиям
(1)
0 ≤ S ( x + ∆) − S ( x) ≤ A∆,
где линейный ограниченный оператор A:X→ X,
A > 0,
(2)
An (v0 − u0 ) → 0 (n → ∞);
выполняются соотношения сравнимости
(3)
u0 < S (u0 ), v0 > S (v0 ).
Тогда процессы
(4)
un +1 = S (un ), vn +1 = S (vn ) (n ≥ 0)
монотонно сходятся на отрезке P к единственному на этом отрезке решению x * уравнения
x = S ( x) :
(5)
un ↑ x*, vn ↓ x * (n → ∞) .
Апостериорная и априорная оценки погрешностей приближений:
vn − x *
n
0≤
 ≤ vn − un ≤ A (v0 − u0 ) → 0,
 x * −un 
(vn − un ) ↓ 0 (n → ∞).
(6)
Доказательство. Из соотношений (1), (3),
(4) следует:
u0 < u1 = S (u0 ) ≤ S (v0 ) = v1 < v0 ,
0 ≤ v1 − u1 = S (v0 ) − S (u0 ) ≤ A(v0 − u0 ).
Индуктивно устанавливаются соотношения
сравнимости
(7)
un ≤ un +1 ≤ vn +1 ≤ vn (n ≥ 0),
(8)
0 ≤ vn − un ≤ An (v0 − u0 ) → 0 (n → ∞),
по условию (2). Отсюда и из монотонности
нормы следует
(9)
(vn − un ) → 0.
Установим монотонную сходимость (5) процессов (4) к некоторому элементу x* ∈ P и
оценку (6). Для номеров m > n из соотношений
(7) и транзитивности сравнимости следует, что
u0 ≤ un ≤ um ≤ vm ≤ vn ≤ v0 , [un , vn ] ∈ P, 0
0 ≤ vm − um ≤ vn − un .
166
Н.В. Кротов
vm − um ≤ vn − un → 0
( m > n → ∞ ) (см. (9)). Последовательность vn
сходится в себе, в В-пространстве существует
предел, vn ↓ x * . Отсюда и из (9) следует, что
Норма изотонна,
un = vn + (un − vn ) → x*, un ↑ x *. Соотношения
(5) верны. Легко проверить, что x* ∈ [un , vn ] ⊂ P.
Отсюда и из соотношений (8) следует (6).
Из условия (1) и непрерывности оператора
A следует монотонная непрерывность операции S : (un ↑ x*) ⇒ ( S (un ) ↑ S ( x*)). Переходя к
пределу в равенстве (4), устанавливаем, что
x * − решение уравнения x = S ( x).
Проверим единственность решения. Пусть
элемент x ∈ P является решением данного
уравнения. Формально построим процесс
xn +1 = A( xn ), x0 = x. Тогда все xn = x . Из изотонности операции A и из сравнимости v0 ≥ x
следует, что v1 = A(v0 ) ≥ A( x) = x. Индуктивно
устанавливаем vn ≥ x. По аналогии с выводом
(8) имеем:
0 ≤ vn − x ≤ An (v0 − x) → 0, vn = (vn − x) + x → x.
Но vn → x*, предел единственен, x = x *.
Теорема 1 доказана.
III. Рассмотрим процесс двусторонних приближений к решению уравнения F ( x) = 0.
Пусть операция F отображает порядковый
отрезок P = [u0 , v0 ] ⊂ X в пространство Y ; линейные операторы Γ, Λ : X → Y , Γ > Λ; суще-
ствует обратный оператор Γ −1 : Y → X , Γ −1 > 0;
выполняются условия
Λ∆ ≤ F ( x + ∆) − F ( x) ≤ Γ∆ ( x, x + ∆∈ P, ∆ > 0), (10)
(11)
Γ −1 (Γ − Λ ) ≤ A,
где линейный ограниченный оператор A удовлетворяет условию (2).
Теорема 2. Если выполняются условия сравнимости
(12)
Γ −1 F (u0 ) < 0 < Γ −1 F (v0 ),
то на отрезке P процессы
un+1 = un − Γ−1F (un ), vn+1 = vn − Γ−1F (vn ) (n ≥ 0) (13)
монотонно сходятся к единственному на этом
отрезке решению x * уравнения F ( x) = 0, выполняются соотношения (5), (6).
Доказательство. Введем операцию S (x ) =
= x − Γ −1 F ( x ) . Уравнения x = S ( x), F ( x) = 0
эквивалентны. Обозначение вида ∆F (x ) =
= F ( x + ∆ ) − F ( x ) . Приращение ∆S (x ) = ∆ −
− Γ −1∆F ( x ) = Γ −1 [ Γ∆ − ∆F ( x )] . Из соотношений Γ −1 > 0, а также (10), (11) следует (1). Условия сравнимости (3) и (12) совпадают. Процессы (4) принимают вид (13).
Теорема 2 следует из теоремы 1.
Замечания. 1. Отметим, что условия (12)
слабее требований F (u0 ) < 0 < F (v0 ) , которые
обычно используются в методе чаплыгинского
типа (см., например, [2]).
2. Для сравнимости (1) или (10) достаточно
существования непрерывной по x сильной
производной, соответственно S ′( x) или F ′( x) и
сравнимости 0 ≤ S ′( x) ≤ A или 0 ≤ F ′( x) ≤ Γ в
точках x ∈ P.
IV. Применим теорему 2 к интегральному
уравнению
x( s) − ∫ f ( s, t , x(t ))dt − h( s) = 0 (0 ≤ s ≤ 1). (14)
s
0
Введем обозначение для подынтегральной
функции f [ x] = f ( s, t , x(t )) . Пусть h, u0 , v0 ∈ C ,
u0 (t ) ≤ v0 (t ) (∀t ). Выделим множество функций x ∈ C :
P = {x : u0 (t ) ≤ x(t ) ≤ v0 (t ), ∀t}.
(15)
( x ∈ P) ⇒ ( f [ x] ∈ C ). Пусть числа λ > γ ≥ 0,
выполняются двусторонние условия Липшица
по третьей переменной
γ∆ ≤ f [ x + ∆] − f [ x] ≤ λ∆ ( x, x + ∆ ∈ P,
(16)
∆(t ) ≥ 0, ∀t ).
Введем обозначения:
[ F ( x)]( s) = x( s) − ∫ f ( s, t , x(t )) dt − h( s),
s
0
[Φ ( x)]( s) = [ F ( x)]( s) + γ ∫ eγ ( s −t ) [ F ( x)](t )dt ,
s
0
a = ( λ − γ ) eγ .
(17)
Теорема 3. Если выполняются неравенства
(18)
[Φ (u0 )]( s) ≤ 0 ≤ [Φ(v0 )]( s) (∀s),
то на множестве (15) процессы
un +1 = un − Φ (un ), vn +1 = vn − Φ (vn ) (n ≥ 0) (19)
монотонно и равномерно сходятся к единственному на этом множестве решению x *
уравнения (14), выполняются соотношения (5) и
(6), где образ
s
an
( An ∆)( s) =
( s − t )n−1 ∆(t )dt , ∆ = v0 − u0 , (20)
(n − 1)! ∫0
число a определено равенством (17).
Модифицированный метод Чаплыгина в частично упорядоченном В-пространстве
Доказательство. Положим В-пространство
Сравнимость
означает
X = Y = C.
x>0
x(t ) ≥ 0 (∀t ); ∃t : x(t ) > 0. Порядковый отрезок
P здесь является множеством (15). Введем линейные операторы Γ, Λ : C → C
(Γ∆)( s ) = ∆( s ) − γ ∫ ∆(t )dt , (
s
(Λ∆)( s ) = ∆( s ) − λ ∫ ∆(t )dt.
0
Тогда Γ > Λ, из условий (16) следуют (10), су-
Γ −1 > 0 , а именно
Γ −1 : C → C ,
оператор
s
Образ Φ ( x) = Γ −1 F ( x). Сравнимость (12)
здесь фактически означает (18) (в случае когда
[Φ(u0 )]( s) ≡ 0 или [Φ (v0 )]( s) ≡ 0 , нет проблемы
поиска решения). Процессы (13) принимают
вид (19).
Для функции
y ( s) = [(Γ − Λ)∆]( s) = (λ − γ ) ∫ ∆(t ) dt
s
s
(2 t

+ γ ∫ eγ ( s −t ) dt ∫ ∆ (τ ) dτ  .
0
0

Для
функций
∆(τ ) ≥ 0
из
0
0
повторный инте-
грал мажорируется произведением одинарных
интегралов. Далее, γ eγ ( s −t ) dt ≤ eγ − 1, так как
∫
s
e
∫ ∆(t )dt.
s
γ
Поэтому в качестве линейного огра-
0
ниченного оператора A : C → C , A > 0, удовлетворяющего условию сравнимости (11), можно
принять ( A∆)( s ) = a ∆(t )dt (см. (17)). Итерация
∫
( An ∆)( s ) =
a
( s − t ) n −1 ∆(t )dt. Образ, ука(n − 1)! ∫0
n
s
занный в оценке (6), принимает вид (20).
Сходимость в пространстве C равномерная.
Из теоремы 2 следует теорема 3.
ꇷÓÚ‡ ‚˚ÔÓÎÌÂ̇ Ô,Ë ÔÓ‰‰Â,ÊÍ î‰Â,‡Î¸ÌÓÈ
Ô,Ó„,‡ÏÏ˚ «ç‡Û˜Ì˚Â Ë Ì‡Û˜ÌÓ-Ô‰‡„ӄ˘ÂÒÍË ͇‰-
0
s
(Γ y )( s ) = (λ − γ )  ∫ ∆ (t )dt +
0
s
0
0
−1
∫ ∆(τ )dτ ≤ ∫ ∆(t )dt ,
t
s
(Γ −1 y )( s) = y ( s) + γ ∫ eγ ( s −t ) y (t )dt.
образ
интеграла
0 ≤ s ≤ 1. Сумма, указанная в квадратных скобках в (21), не превосходит произведения
s
обратный
0 ≤ t ≤ s следует неравенство для внутреннего
0
0
ществует
167
,˚ ËÌÌÓ‚‡ˆËÓÌÌÓÈ êÓÒÒËË».
Список литературы
(6)
(21)
неравенств
1. Кротов Н.В. Метод усреднения и модулярных
мажорант для дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 6. С. 161–164.
2. Слугин С.Н. Некоторые частично упорядоченные объекты в теории приближенных методов // Известия высш. уч. заведений. Математика. 1963. № 6.
MODIFIED CHAPLYGIN’S METHOD IN PARTIALLY ORDERED B-SPACE
N.V. Krotov
Sufficient conditions are established for convergence of the two-sided approximations method to the solution of
an operator equation in a partially ordered B-space. The result has been illustrated for the case of a nonlinear integral
equation of Volterra type.
Keywords: partially ordered B-space, Chaplygin’s method, nonlinear integral equation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
690 Кб
Теги
метод, пространство, упорядоченных, модифицированные, частичного, чаплыгин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа