close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Мощность подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2012. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 621.039.519.2
А. Г. Головкина, И. В. Кудинович, Д. А. Овсянников
МОЩНОСТЬ ПОДКРИТИЧЕСКОГО ОДНОРОДНОГО РЕАКТОРА
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ЭНЕРГИИ НЕЙТРОНОВ ВНЕШНЕГО ИСТОЧНИКА
Введение. Реактор, управляемый ускорителем, может рассматриваться в качестве
перспективного источника ядерной энергии, обладающего повышенной безопасностью.
В подкритическом реакторе (коэффициент размножения активной зоны kэф < 1) исключена возможность возникновения неконтролируемой цепной реакции деления, при
этом высокий уровень мощности обеспечивается за счет интенсивного дополнительного (внешнего) источника нейтронов, генерируемых при облучении мишени из тяжелых
элементов высокоэнергетическим пучком заряженных частиц [1]. Значение kэф выбирается из соображений ядерной безопасности, а интенсивность внешнего источника нейтронов, зависящая от энергии и тока пучка заряженных частиц, ограничивается техническими возможностями ускорителя. Одной из задач оптимизации характеристик подкритического реактора, управляемого ускорителем, является получение максимальной
мощности реактора при заданных коэффициенте размножения активной зоны и интенсивности внешнего источника нейтронов. Цель данной работы – определение мощности
подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.
В общем случае стационарное пространственно-энергетическое распределение потока нейтронов Φ(r, E) в подкритической активной зоне с внешним источником нейтронов
описывается линейным неоднородным уравнением [2]
M Φ(r, E) = −Mf Φ(r, E) − q(r, E),
r ∈ V, ET E Ef ,
(1)
с граничным условием
Φ(rS , E) = 0, rS ∈ S,
Головкина Анна Геннадьевна – студентка магистратуры факультета прикладной математики–
процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, проф. Д. А. Овсянников. Количество опубликованных работ:
4. Научные направления: математическое моделирование, численные методы, методы оптимизации.
E-mail: golovkina.a@gmail.com.
Кудинович Игорь Владиславович – кандидат технических наук, начальник сектора Центрального научно-исследовательского института им. акад. А. Н. Крылова. Количество опубликованных работ: 52. Научные направления: математическое моделирование, физика ядерных реакторов. E-mail:
igor_kudinovich@mail.ru.
Овсянников Дмитрий Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной
математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество
опубликованных работ: 210. Научные направления: математическое моделирование, методы оптимизации, физика и техника ускорителей, оптимизация динамики пучков заряженных частиц. E-mail:
dovs45@mail.ru.
c А. Г. Головкина, И. В. Кудинович, Д. А. Овсянников, 2012
13
где M – линейный оператор переноса, замедления и поглощения нейтронов; Mf – линейный оператор, определяющий источник нейтронов деления; q(r, E) – интенсивность
внешнего источника нейтронов; V – область размножающей системы; S – экстраполированная граница системы; E – энергия нейтронов; ET – энергия тепловых нейтронов,
находящихся в тепловом равновесии с веществом активной зоны; Ef – энергия, с которой рождаются нейтроны при делении ядер топлива.
Коэффициент размножения активной зоны не зависит от интенсивности внешнего
источника, и для определения kэф используется уравнение квазикритического реактора
1
Mf Φ0 (r, E),
M Φ0 (r, E) = − kэф
Φ0 (rS , E) = 0, rS ∈ S.
(2)
Физически квазикритическая формулировка задачи для подкритического реактора
без внешнего источника нейтронов означает фиктивное изменение источника нейтронов
деления в 1/kэф раз, что обеспечивает поддержание нейтронного потока в стационарном
состоянии [3].
Уравнение (2) можно представить следующим образом:
M Φ0 (r, E) = −Mf Φ0 (r, E) −
1 − kэф
Mf Φ0 (r, E).
kэф
(3)
В частном случае, если пространственно-энергетическое распределение внешнего
источника имеет вид
1 − kэф
Mf Φ0 (r, E),
qреп (r, E) =
kэф
где Φ0 (r, E) – решения однородного уравнения (3), определяемое с точностью до постоянного множителя, то источник называется «реперным» [2].
Определим полную интенсивность произвольного внешнего источника нейтронов
по формуле
Ef
q(r, E)dEdV,
Q1 =
V ET
а интенсивность генерации нейтронов деления в подкритической системе – так:
Ef
Qf =
Mf Φ(r, E)dEdV.
V ET
Тогда мощность энерговыделения в реакторе равна
N0 =
Pf · Qf
,
ν
где Pf – энергия, выделяемая на одно деление ядра топлива; ν – среднее количество
нейтронов, образующихся в одном акте деления ядра.
В случае реперного источника Qf и Q1 связаны соотношением
Qf
kэф
=
.
(4)
Q1 реп 1 − kэф
14
В общем случае мощность подкритического реактора зависит не только от интегральной интенсивности, но и от пространственно-энергетического распределения
внешнего источника нейтронов. В частности, локализация внешнего источника нейтронов в центре активной зоны позволяет увеличить мощность реактора, благодаря
уменьшению утечки нейтронов внешнего источника из активной зоны, также на ценность нейтронов источника влияет их первоначальная энергия. В данной работе аналитически решена задача определения мощности однородного подкритического реактора
в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.
Определение размеров подкритического реактора при заданном kэф . Конкретный вид оператора M в (1) и (3) зависит от используемой физической модели
переноса нейтронов в активной зоне. Рассмотрим диффузионно-возрастную модель [3],
предполагая, что все нейтроны деления рождаются с энергией Ef . В этом случае система уравнений, описывающая однородный квазикритический реактор с постоянным
материальным составом активной зоны, имеет вид
Δj (r, τ ) −
∂j (r, τ ) j (r, τ )
− 2
= 0,
∂τ
L (τ )
(5)
DT ΔΦT (r) − ΣaT ΦT (r) + j (r, τT ) = 0,
⎛
⎞
τT
1 ⎝
ν(τ )Σf (τ )
j (r, 0) =
j(r, τ )dτ ⎠ ,
νT Σf T ΦT (r) +
kэф
L2 (τ )Σa (τ )
(6)
j (rS , τ ) = 0,
(8)
(7)
0
ΦT (rS ) = 0,
rS ∈ S,
(9)
где j (r, τ ) – плотность замедления нейтронов (скорость перехода нейтронов из области
E
f D dE
энергии больше E в область энергий меньше E в единице объема); τ (E) =
ξΣs E –
E
возраст нейтронов; τT = τ (ET ); ξ – среднелогарифмическая потеря энергии нейтрона при столкновении с ядрами среды; Σs – макроскопическое сечение рассеяния; D =
1
2
3Σtr – коэффициент диффузии; Σtr – транспортное макроскопическое сечение; L =
D
Σa – квадрат длины диффузии; Σa – макроскопическое сечение поглощения; Σf T –
макроскопическое сечение деления ядер топлива тепловыми нейтронами; ΦT (r) – плотность потока тепловых нейтронов; νT – среднее количество нейтронов, образующихся
в одном акте деления ядра под воздействием нейтрона с энергией ET .
Из физического смысла следует, что
j(r, τ ) 0,
ΦT (r) 0.
(10)
Размеры активной зоны при заданном значении kэф определяются из системы уравнений (5), (6) c начальным (7), граничными (8), (9) и дополнительными условиями (10).
Представив j(r, τ ) в виде
j (r, τ ) = j0 (r, τ ) · ϕ (τ ) ,
⎛ τ
⎞
dτ ⎠
ϕ (τ ) = exp ⎝−
,
L2 (τ )
(11)
0
15
уравнение (5) можно преобразовать:
Δj0 (r, τ ) −
∂j0 (r, τ )
=0
∂τ
(12)
с начальными и граничными условиями
j0 (r, 0) = j (r, 0) ,
(13)
j0 (rS , τ ) = 0.
(14)
Решение уравнения (12) с однородными граничными условиями (14) имеет вид [4]
∞
j0 (r, τ ) =
bn · ϕn (τ ) · ψn (r),
(15)
n=1
ϕn (τ ) = exp −Bn2 τ .
Здесь ψn (r) – ортонормированные собственные функции оператора Лапласа, соответствующие волновому уравнению:
Δψn (r) = −Bn2 ψn (r),
ψn (rS ) = 0,
(16)
с собственными значениями Bn2 (rs ):
0 < B12 B22 ... Bn2 ... .
Любая дважды непрерывно дифференцируемая функция f (r), удовлетворяющая
граничным условиям f (rS ) = 0, может быть разложена в равномерно сходящийся ряд
по системе ортонормированных собственных функций оператора Лапласа [4]:
f (r) =
∞
an ψn (r) ,
n=1
an =
f (r) · ψn (r) dV.
V
Соответственно коэффициенты bn в выражении (15) определяются из начальных
условий (13)
bn = j (r, 0) · ψn (r) dr,
V
а функцию ΦT (r), удовлетворяющую однородным граничным условиям (9), можно разложить в ряд:
∞
bΦ
(17)
ΦT (r) =
n · ψn (r) .
n=1
Из (6) с учетом (15)–(17) и свойства ортонормированности собственных функций
ψn (r) можно получить первое уравнение, связывающее коэффициенты bn и bΦ
n:
Φ
DT Bn2 bΦ
n + ΣaT bn = bn ϕn (τT ) ϕ (τT ) .
16
(18)
Аналогично из (7) выводим второе уравнение, связывающее указанные коэффициенты:
τT
ν(τ )Σf (τ )
Φ νT
ϕn (τ )ϕ(τ )dτ .
Σf T + b n
(19)
bn = bn
kэф
kэф L2 (τ )Σa (τ )
0
2
Из (18) и (19) следует: либо bn = bΦ
n = 0, либо Bn удовлетворяет трансцендентному
уравнению
kэф
νT Σf T ϕn (τT )ϕ(τT )
=
+
ΣaT
1 + L2T Bn2
τT
ν(τ )Σf (τ )
ϕn (τ )ϕ(τ )dτ .
L2 (τ )Σa (τ )
(20)
0
Из рис. 1 видно, что уравнение (20) однозначно определяет Bn2 и соответственно
из уравнений (18) и (19) можно найти только одну пару значений bn = 0, bΦ
n = 0.
Рис. 1. Зависимость правой части уравнения (20) от Bn
при различном энергетическом спектре нейтронов в активной зоне
Соответственно j(r, τ ) и ΦT (r) обуслoвливаются одной собственной функцией ψn .
Единственной собственной функцией, удовлетворяющей физическому условию (10),
при любом r ∈ V является ψ1 [4] и, следовательно,
j (r, τ ) = ϕ(τ )b1 exp −B12 τ · ψ1 (r) ,
ΦT (r) = bΦ
1 · ψ1 (r) ,
где B12 есть решение трансцендентного уравнения (20)
kэф
νT Σf T ϕ1 (τT )ϕ(τT )
=
+
ΣaT
1 + L2T B12
τT
ν(τ )Σf (τ )
ϕ1 (τ )ϕ(τ )dτ .
L2 (τ )Σa (τ )
(21)
0
17
В теории реакторов собственное значение B12 называется «геометрическим параметром» [3], поскольку оно однозначно определяет граничные размеры активной зоны rS ,
при которых уравнение Δψ1 (r) = −B12 ψ1 (r) с граничным условием ψ1 (rS ) = 0 имеет
решение. Таким образом, получив B1 из уравнения (21) при заданном kэф , можно найти
размеры квазикритического реактора (r0 ). Как известно [4], для бесконечной пластины
толщиной r0 B1 = 2rπ0 , для бесконечного цилиндра радиуса r0 – B1 = μr01 , где μ1 = 2.4048
(первый нуль функции Бесселя J0 (r)), для сферы радиуса r0 – B1 = rπ0 .
Зависимость мощности подкритического реактора от пространственного
распределения и энергии внешнего источника нейтронов. В каждый момент
времени в реакторе присутствуют нейтроны различных поколений: 1-е поколение –
нейтроны источника, 2-е поколение – нейтроны, родившиеся в результате делений ядер
под воздействием нейтронов 1-го поколения, k-е поколение – нейтроны, родившиеся
в результате делений ядер под воздействием нейтронов k − 1-го поколения. Если реактор находится в стационарном состоянии, интенсивность рождения нейтронов каждого
поколения Qk постоянна во времени.
Полную интенсивность генерации нейтронов в реакторе можно представить в виде
Q=
∞
Qk ,
(22)
k=1
или
Q = Qf + Q1 ,
∞
Qf =
Qk .
(23)
k=2
В подкритическом реакторе интенсивность рождения нейтронов с увеличением номера поколения убывает:
Qk+1
< 1.
Qk
Например, в случае реперного источника QQk+1
= kэф < 1.
k
Соответственно Q, определяемая бесконечным рядом с положительными членами
(22), сходится к конечному значению.
Рассмотрим однородный подкритический реактор с внешним монохроматическим
источником нейтронов энергии E0 , интенсивность которого имеет пространственное
распределение q0 (r). В этом случае полная интенсивность источника
Q1 = q0 (r)dv.
V
В диффузионно-возрастном приближении система уравнений, описывающая перенос нейтронов k-го поколения в активной зоне, имеет вид
при k = 1
τ1 = τ − τ0 , τ0 = τ (E0 ),
∂j 1 (r, τ1 ) j 1 (r, τ1 )
= 0,
− 2
∂τ1
L (τ1 )
DT ΔΦ1T (r) − ΣaT Φ1T (r) + j 1 r , τ1T = 0,
Δj 1 (r, τ1 ) −
18
(24)
(25)
при k > 1
j 1 (r, 0) = q0 (r) ,
j 1 (r, τ1 ) = 0 при τ1 < 0,
(26)
j 1 (rS , τ1 ) = 0,
Φ1T (rS ) = 0;
(27)
∂j k (r, τ ) j k (r, τ )
− 2
= 0,
∂τ
L (τ )
DT ΔΦkT (r) − ΣaT ΦkT (r) + j k r , τT = 0,
Δj k (r, τ ) −
τT
j (r, 0) =
k
νT Σf T ΦTk−1
(r) +
ν(τ )Σf (τ ) k−1
j
(r, τ )dτ ,
L2 (τ )Σa (τ )
(28)
(29)
(30)
0
j k (rS , τ ) = 0,
ΦkT (rS ) = 0,
rS ∈ S.
(31)
(32)
Учитывая, что все нейтроны деления рождаются с возрастом τ = 0, соответственно
при k > 1
Qk =
j k (r, 0)dv.
(33)
V
Разложим q0 (r), j (r, τ ) и
k
ΦkT (r)
по собственным функциям ψn (16):
q0 (r) =
Cn =
∞
Cn ψn ,
n=1
(34)
q0 (r) · ψn (r) dr,
V
jk (r, τ ) =
∞
bkn ψn ,
n=1
ΦkT (r) =
∞
bΦ(k)
ψn .
n
n=1
Выполнив преобразования, аналогичные (11)–(14), из (29) с учетом (15), (17) и свойства
ортонормированности собственных функций можно получить связь между коэффи(k)
Φ(k)
и Cn :
циентами разложения bn , bn
при k = 1
(35)
b(1)
n = Cn ,
2
Cn exp −Bn (τT − τ0 ) ϕ (τT )
=
;
(36)
bΦ(1)
n
Bn2 DT + ΣaT
при k > 1
τT
(k−1)
b(k)
+ b(k−1)
n = νT Σf T bn
n
ν(τ )Σf (τ ) k−1 k−1 ϕ
(τ )ϕ
(τ )dτ ,
L2 (τ )Σa (τ ) n
(37)
0
19
bnΦ(k)
где
ϕkn (τT ) =
(k)
bn exp −B 2n τT ϕ(τT )
,
=
(ΣaT + DT Bn2 )
(38)
⎧
τ
T ⎪
⎪
1
⎪
− L2 (τ )dτ , k = 1,
⎨ exp −
exp −Bn2 (τT − τ0 ) , k = 1,
k
τ0
ϕ
(τ
)
=
T
τ
T exp −Bn2 τT , k = 1;
⎪
⎪
⎪
− L2 (τ1 )dτ , k=
1.
⎩ exp −
0
(k)
Φ(k)
могут быть найдены из рекуррентных соотноЗначения коэффициентов bn и bn
шений (35)–(38) (Cn определяется из (34)), что позволяет установить функции jk (r, τ )
и ΦkT (r).
Интенсивность генерации нейтронов деления рассчитывается в соответствии с (23),
(33) по формуле
⎛
⎞
τT
∞
1
1
ν(τ )Σf (τ ) 1 1 ⎠
⎝ νT Σf T ϕn (τT )ϕ (τT ) +
ϕ
(τ
)ϕ
(τ
)dτ
ψn (r)dv +
Qf (τ0 ) =
C
n
ΣaT
1 + L2T Bn2
L2 (τ )Σa (τ ) n
n=1
τ0
V
⎛
⎞
τ
T
∞
∞
ν(τ )Σf (τ )
⎠
⎝ νT Σf T ϕn (τT )ϕ(τT ) +
ϕ
+
(τ
)ϕ(τ
)dτ
ψ
(r)dv
b(k−1)
.
n
n
n
2 B2
2 (τ )Σ (τ )
Σ
1
+
L
L
aT
a
n
T
n=1
0
V
k=3
В случае, если внешний источник нейтронов имеет пространственно-энергетическое
распределение вида q(r, τ ) = f (τ ) · q0 (r),
τT
Qf =
Qf (τ0 )f (τ0 )dτ0 .
0
В качестве критерия, характеризующего эффективность усиления внешнего источника нейтронов с произвольным пространственно-энергетическим распределением
в подкритическом реакторе, можно использовать отношение интенсивностей генерации
нейтронов деления для заданного и реперного источников одинаковой интегральной
интенсивности:
Qf
Qf
kусил =
.
/
Q1
Q1 реп
С учетом (4) выражение для kусил имеет вид
kусил =
1 − kэф
·
kэф
Qf
Q1
.
Усиление мощности в однородных активных зонах различной геометрии.
Рассмотрим однородные активные зоны различной геометрии (плоскую, цилиндрическую, сферическую) с внешним источником единичной интегральной интенсивности,
равномерно распределенным в области с размером a0 /2 < r0 (рис. 2), с площадью S0
(таблица).
20
Рис. 2. Пространственное распределение интенсивности
внешнего источника нейтронов
Характеристики однородных активных зон различной геометрии
Параметр
ψn (r)
Bn
Cn
Плоская
активная зона
(−r0 r r0 )
√1 cos(Bn r)
r
0
π(2n−1)
2r
0 n q
2 sin aB
0
2
√
Bn r0
Цилиндрическая
активная зона
(0 r r0 )
J (Bn r)
√ 0
πr0 J1 (μn )
μ2
n
2
r0
√
na
πq0 aJ1 B2
μn J1 (μn )
Сферическая
активная зона
(0 r r0 )
√1
sin(Bn r)
r 2πr
0
√
4q0 π
√
2r0
−
r0
S0
q0
π
2B1
a
1
a
μ1 /B1
πa2
4
4
a2 π
πn
r0
Bn a
1
−
2 sin
Bn
2 Bn a
1 a
cos
Bn 2
2
π/B1
πa3
6
6
πa3
Степень локализации источника в центре активной зоны характеризуется относительным размером ā = a0 /(2r0 ).
Явные выражения ψn , Bn , Cn , r0 , S0 , q0 для активных зон различной геометрии
приведены в таблице.
Вероятности различных видов взаимодействия ядер с нейтронами (сечения поглощения, деления, рассеяния) и их отношения зависят от энергии нейтрона. Например,
Σ
на рис. 3 представлена зависимость отношения Σfa для U235 в зависимости от летаргии
E
u = ln Ef поглощенного нейтрона. Таким образом, энергетический спектр нейтронов в реакторе определяется материальным составом активной зоны (соотношением
концентраций ядер топлива и замедлителя).
В данной работе рассматривались активные зоны с различным материальным составом и разным энергетическим спектром нейтронов (рис. 4): на быстрых нейтронах
(с топливом U235 , без замедлителя), на промежуточных нейтронах (отношение концентраций ядер замедлителя (C12 ) и топлива (U235 ) ρC /ρ5 = 5000) и на тепловых нейтронах (ρC /ρ5 = 40 000).
Локализация внешнего источника в центре активной зоны при E0 = Ef позволяет
увеличить мощность реактора по сравнению со случаем равномерного распределения
источника по всей активной зоне в 2.8, 3.6 и 4.5 раза в случае плоской, цилиндрической
и сферической активных зон соответственно (рис. 5).
21
Рис. 3. Зависимость
Σf
Σa
для U235 от энергии нейтронов
Нейтроны: I – быстрые, II – промежуточные, III – тепловые (то же для рис. 4).
Рис. 4. Нормированная плотность потока нейтронов Φo
Ef
ET
Φo dE = 1
в активных зонах с разным материальным составом
1 − ρC /ρ5 = 0; 2 − ρC /ρ5 = 5000; 3 − ρC /ρ5 = 40 000.
22
Рис. 5. Зависимость коэффициента усиления от степени локализации внешнего источника
нейтронов с энергией E0 = Ef для активных зон различных геометрий
и материального состава при kэф = 0.98
а – ρC /ρ5 = 0, б – ρC /ρ5 = 5000, в – ρC /ρ5 = 40 000.
Активные зоны: 1 – сферическая, 2 – цилиндрическая, 3 – плоская.
Усиление мощности в значительной степени зависит от энергии нейтронов внешнего
источника и материального состава активной зоны. Из рис. 6 видно, что в случае внешнего источника тепловых нейтронов в цилиндрической активной зоне с ρC /ρ5 = 40 000
значение kусил в 4 раза больше, чем для случая внешнего источника промежуточных
нейтронов в активной зоне без замедлителя.
23
Рис. 6. Зависимость коэффициента усиления от летаргии нейтронов внешнего источника
для цилиндрической активной зоны различного материального состава
Обозначения см. рис. 4.
Заключение. В работе аналитически решена задача определения мощности подкритического однородного реактора в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника. Приведены результаты расчетов мощности для активных зон различных геометрии и материального состава, которые показали, что локализация внешнего источника быстрых нейтронов в центре активной
зоны позволяет увеличить мощность реактора по сравнению со случаем равномерного
распределения источника по всей активной зоне в 4.5 раза.
Литература
1. Герасимов Л. Н., Кудинович И. В., Струев В. П., Свистунов Ю. А. Малогабаритная энергетическая электроядерная установка: возможные технические решения // Изв. РАН. Энергетика. 2005.
№ 2. С. 3–16.
2. Селиверстов В. В. Умножение нейтронов внешнего источника в каскадных подкритических
системах с односторонней нейтронной связью // Атомная энергия. 1996. Т. 81, вып. 5. С. 378–390.
3. Фейнберг С. М., Шихов С. Б., Троянский В. Б. Теория ядерных реакторов: в 2 т.: учебник для
инж.-физ. и энерг. спец. вузов. М.: Атомиздат, 1978. T. 1. 397 c.
4. Полянин А. Д., Вязьмин А. В., Журов А. И., Казенин Д. А. Справочник по точным решениям
уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998. 368 с.
Статья принята к печати 28 февраля 2012 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа