close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения первого порядка с малым параметром при производной.

код для вставкиСкачать
Математика
Вестник Нижегородского
университета
Н.И. Лобачевского,
2013, № 1(3), с. 146-153 уравнения
в поведении решений
одногоим.
нелинейного
дифференциально-разностного
146 Мультистабильность
УДК 517.9
МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ В ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО
НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
 2013 г.
Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
kubysh@uniyar.ac.ru
Поступила в редакцию 16.11.2012
Показана возможность одновременного существования нескольких устойчивых периодических решений. В качестве метода исследования используется метод равномерной нормализации нелинейных
уравнений с запаздывающим аргументом и малым параметром при производной.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом и малым параметром
при производной, нормальная форма дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом,
устойчивость периодического решения.
1. Постановка задачи
Рассматривается дифференциально-разностное уравнение вида
(1)
1 x(t )  x(t )  f ( x(t  1))  0,
где 0  1  1 , f ( x)   f ( x) – лгладкая нелинейная
функция
f ( x)  f1 x  f3 x3  o(| x |3 )
(| x | x0 , f1  0, f3  0). Уравнения вида (1) возникают при изучении многих прикладных задач
(см., например, [1, 2]).
Изучается возможность возникновения в
уравнении (1) явления мультистабильности –
одновременного существования нескольких
устойчивых аттракторов, в рассматриваемом
случае – периодических решений. В качестве
метода исследования используется метод равномерной нормализации [3, 4].
2. Анализ устойчивости нулевого решения
уравнения (1)
Рассмотрим линейную часть уравнения (1):
(2)
1 x(t )  x(t )  f1 x(t  1)  0.
Поведение решений уравнения (2) определяется расположением корней его характеристического уравнения
(3)
P(; 1 )  1  1  f1 exp( )  0.
Уравнение (3) при фиксированном f1  1 и
малых 1 имеет корни, вещественные части которых положительны, а при фиксированных
f1  1 и малых  1 все корни уравнения (4) лежат в левой комплексной полуплоскости [5].
Рассмотрим случай f1  1   2 , где |  2 | 1 , и
изучим расположение корней характеристического
уравнения
(3)
при
|  |  0
(   (1 ,  2 ),|  | (12   22 )1/2 ). Заметим, что в
рассматриваемом случае характеристическое
уравнение (3) не имеет корней, лежащих на вещественной оси.
Запишем (3) в виде уравнения
exp( )(1  1)  (1   2 ),
которое эквивалентно следующей последовательности уравнений
exp(  ln(1  1 ))  exp(ln(1   2 ))  i n
(4)
(n  1, 3, 5,...),
где ln( z)  ln(| z |)  i arg( z). C учетом сказанного
достаточно рассмотреть последовательность
уравнений
  ln(1  1 )  ln(1   2 )  i n
(5)
(n  1,3,5,...)
для определения корней уравнения (3), лежащих в верхней комплексной полуплоскости.
В [3] показано, что уравнение
  ln(1  1 )  w
при
 {Im  y0  0},
w {x1  Rew  x2 , Imw   , x1  0, x2  0}
имеет единственное решение
 (w; 1 )  w  1 (w; 1 ),
где
1 (w; 1 )   ln(1  1 ( w  ln(1 
(6)
1 ( w  ln(1  1 ( w  ...))))))
– аналитическая по w и непрерывная по
1 (0     0 ) функция.
______________________
Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России» на 2009–2013 гг., госконтракт N 14.В37.21.0225.
Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения 147
При этом
|  (w; 1 )  1 (w; 1 ) | K12 ( K  0),
D( A) 
(7)
 {v(s)  C (1,0), 1v(0)  v(0)  (1   2 )v(1)  0}.
Отсюда, согласно (5), (6), при 0 |  |  0
множество корней характеристического уравнения (3) может быть записано в виде
n ( )  i n  ln(1   2 ) 
Собственными значениями оператора A( ) бу-
где 1 (w; 1 )  w  ln(1  1w).
1 (i n  ln(1   2 ); 1 ),
(8)
 n ( )  n ( )(n  1,3,5,...),
при этом на основании (7), равномерно относительно n :
n ( )  i n  ln(1   2 ) 
(9)
 ln(1  1 (i n  ln(1   2 )))  o(|  |).
Таким образом, вопрос устойчивости решений уравнения (2) сводится к анализу поведения
функций
gn ( )  ln(1   2 )  Re1 (i n  ln(1   2 ); 1 ),
n  1,3,5,...
Функции gn ( ) являются аналитическими в
точке   0, и имеют радиус сходимости соот-
ветствующих рядов равный rn  O(n1 ). При
этом
g n ( )   2  12 ( n)2 / 2 
(10)
1 2   / 2  o(|  | ).
Из (10) следует, что при малых  и выполнении неравенства  2  ( n)2 / 212 n-й корень
характеристического уравнения (3) имеет положительную вещественную часть.
2
2
3
3. Нормализующее преобразование
Опишем сначала поведение решений уравнения (2). Фазовым пространством уравнения
(2) является пространство непрерывных функций C  1,0  . Перейдем от уравнения (2) к эквивалентной краевой задаче в полосе
1  s  0, t  0, положив u(s, t )  x(t  s) :
u u
(11)
 ,
t s
u
1
 u (0, t )  (1   2 )u (1, t ).
(12)
s s 0
Производящим оператором полугруппы линейных операторов T (t ), действующих в
C  -1,0  , и порожденной краевой задачей
(11),(12), будет оператор
dv / ds,  1  s  0,

A( )v   1
(13)

1 (v(0)  (1   2 )v(1)), s  0,
с областью определения
1
дут величины n  n ( ), а собственными
функциями будут функции
un (s;  )  exp(n ( )s) / (1  1  1n )1/2 ,
где
1/2 |  |1/2 exp(i arg( ) / 2).
Наряду с (13) введем в рассмотрение оператор
dh / ds, 0  s  1,

(14)
A* ( )h   1

1 (h(0)  (1   2 )h(1)), s  0,
действующий в C(0,1) , c областью определения
D( A* ) = {h(s)  C1 (0,1),
1h' (0)  h(0)  (1   2 )h(1) = 0} .
Оператор (14) являетcя сопряженным с (13) в
смысле скалярного произведения С.Н. Шиманова [6], которое для краевой задачи (11),(12)
принимает вид
< v( s), h( s) >=
0
 1v(0)h(0)  (1   2 )  h(  1)v( )d
1
Заметим, что собственными значениями
оператора A* ( ) являются величины  n ( ) , а
соответствующими собственными функциями
будут
hn = hn (s;  )  exp( n ( )s) / (1  1  1  n )1/2 ) .
Между функциями un (s;  ) и hn (s;  ) выполнены следующие условия ортогональности
(15)
< un (s;  ), hn (s;  ) >=  n n ,
1
где  n n
1 2
2
1 2
– символ Кронекера. Отметим, что
D( A) – замкнутое в C1 (1,0) линейное
подпространство. Оно может быть получено
замыканием в норме пространства C(1,0)
множества функций вида
uN (s) =   N zn n ( )un (s;  ), zn , z n = zn , n = 1,3,5,...
N
Совокупность
последовательностей
z = ( z1 ,
z3 , z5 ,...) , образуют в комплексном прост-
ранстве l2 линейное подпространство, которое
обозначим l21 . Отметим, что для u(s)  D( A)
величина < u(s), u(s) > < . С учетом этого и
равенства
неравенство
(15)

для

n =0
z  l21
справедливо
| zn n ( ) |2 <  .
Отсюда
следует, что функция u0 (s)  D( A) может быть
Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров
148
представлена сходящимся в C1 (1,0) рядом
u0 (s) =   < u0 (s), hn (s;  ) > un (s;  ) .

Таким образом, решение u(s, t;  ) краевой
задачи (11),(12) с начальным условием
u0 (s)  D( A) может быть записано в виде

u ( s, t ;  ) = u ( s, z;  ) = zn un ( s;  ),

zn = n ( ) zn , zn (0;  ) =< u0 ( s), hn ( s;  ) > (16)
(n = 1, 3, 5,...).
Перейдем от уравнения (1) к эквивалентной
краевой задаче
u u
(17)
=
,
t s
u
(18)
1
= u (0, t )  f (u (1, t );  2 )
s s
в
полосе
1  s  0 ,
t  0 ,положив
u(s, t ) = x(t  s) , f (u;  2 ) = (1   2 )u  f3u3  o(| u |5 ) .
Обозначим через S ( R0 ) многообразие начальных условий краевой задачи (17), (18) вида
{u(s)  C1 (1,0),
1u(0) = u(0)  f (u(1);  2 ),
|| u(s) || 1  R0 } и изучим структуру периодичеC
ских решений краевой задачи (17), (18) с
начальными условиями из этого многообразия.
Через s(r0 ) обозначим шар с радиусом r0 пространства l21 . Введем в рассмотрение функцию
(оператор)
u ( z;  )  u ( s , z;  ) =

 zn un ( s;  )  U 3 ( s, z, z;  )
(19)

(U ( s, z, z;  )  zn zn zn un n
1
2
1 2 n3
3
( s;  )),
действующую из s(r0 )  {|  |  0 } в C1 (1,0) ,
гладкую по совокупности переменных, и систему дифференциальных уравнений в l2 вида
zn = n ( ) zn  Z 3 ( z, z;  )  Z n ( z, z;  )
( Z 3 ( z , z;  ) 

d n n n ( ) zn zn zn ), (20)
( n1n2 n3 )3n
1 2 3
1
2
в которых z n = zn , z  s(r0 ) , d n  n
1
u n  n
1
2  n3
3
= dn n n ,
1 2 3
l2
1 2 3
 = {(n1 , n2 , n3 ) : n j = 1, 3 , n = n1  n2  n3} .
3
n
un n n (s;  )
1 2 3
и
dn n n ( )
1 2 3
u ( s, z;  )
=
s
s =0
подлежат
определению.
Рассмотрим выражение (19) как преобразование краевой задачи (17), (18) в систему
уравнений (20). Условие принадлежности
(22)
 u (0, z;  )  f (u (1, z;  );  2 ).
Соотношения (21),(22) определяют тождества, которые должны равномерно по  выполняться с точностью до величин порядка
o(| z |3l ) . Они позволяют последовательно опре2
делять функции u* (s,  ) и коэффициенты d* ( ) ,
входящие в (19) и (20), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях zn . Приравняв
коэффициенты при первых степенях zn , получим равенства в силу выбора n ( ) и un (s;  ) .
Приравняем коэффициенты в тождествах
(21),(22) при zn zn zn , (n1  n2  n3 = n) . В ре1
2
3
зультате получим краевую задачу
un ( s;  )d n n n ( ) 
1 2 3
(n ( )  n ( )  n ( ))un n n ( s,  ) 
1
2

dun n
1 2 n3
3
1 2 3
dun n n ( s;  )
1 2 3
ds
( s;  )
= un n
(23)
,
1 2 n3
ds
(0;  ) 
s =0
(1   2 )un n
1 2 n3
(1, t ) 
(24)
 pf3un (1;  )un (1;  )un (1;  ),
1
2
3
для определения dn n n ( ) и un n n ( ) , где p –
1 2 3
целое число, принимающее значение 1,3,6 в
зависимости от количества соответствующих
резонансных соотношений. Сформулируем следующую гипотезу, которая при построении
конкретных решений будет проверяться численно.
Будем предполагать, что при |  |  0 резонансные соотношения вида
n ( ) = n ( )  n ( )  n ( )
1
2  n3
= un n n , (n = 1, 2, ) , || z || 1  s(r0 ) ,
Функции
1
1 2 3

3

траекторий (20) в силу (19) краевой задачи (17),
(18) примет вид:

u ( s, z;  )
u ( s, z;  )
(21)
Z n ( z,  ) =
,

zn
s

2
3
(n1 , n2 , n3 = 1, 3, 5, ) могут выполняться
лишь при  = 0 .
В дальнейшем будем использовать обозначение n n n ( ) = n ( )  n ( )  n ( ) . Общее
1 2 3
1
2
3
решение уравнения (23) имеет вид
un1n2 n3 ( s;  )  exp(n1n2 n3 ( ) s)  c 
 d n1n2 n3 ( )(1  exp(n ( )  n1n2 n3 ( ) s)) 
(n ( )  n1n2 n3 ( )) / (1  1  1n ( ))1/ 2  ,
(25)
Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения 149
где c – произвольная постоянная. Подставим в
(25) краевое условие (24). В результате с
необходимостью имеем c = 0 и

d n n n ( ) = 1  (1   2 ) exp(n n n ( )) 
1 2 3
1 2 3


1
(1  exp(n n
( )  n ( )) 
 
(n n n ( )  n ( ))

1 2 3
 pf3 exp(n n n ( )) 
1 2 n3
1 2 3
(26)
(1  1  1n )1/ 2 (1  1  1n ) 1/ 2 
d* ( ) = a* ( )  ib* ( ) ,
A* ( ) = (a*2 ( )  b*2 ( ))1/2 ,
* ( ) = arctg (b* ( ) / a* ( )
и перейдем в (29), (30) к переменным
1 , 3 ,1 = 31   3 ,  1 . В результате получим
систему уравнений:
1 = ( 1 ( )  a111 ( ) 12  a133 ( ) 32 ) 1 
(31)
 A113 ( ) cos(1   113 ( )) 12 3 ,
3 = ( 3 ( )  a113 ( ) 12  a333 ( ) 32 ) 3 
 A111 ( ) cos(1  111 ( )) 13 ,
1
(1  1  1n ) 1/ 2 (1  1  1n ) 1/ 2 .
2
3
Тем самым un n n (s;  ) определяются однознач-
1 = 1 ( )  (b113 ( )  3b111 ( )) 12 
(b333 ( )  3b133 ( )) 32 
1 2 3
но. При этом dn n n ( ) и un n n (s;  ) ограничен1 2 3
1 2 3
ные при,  |  0 ,  1  s  0, n, n1 , n2 , n3 = 1, 3, 5,
(32)
(33)
 A111 ( )sin(1  111 ( )) 13 / 3 
|  |  0 .
Систему уравнений (20) в дальнейшем будем
называть нормальной формой краевой задачи
(17),(18) (уравнения (1)).
3 A113 ( )sin(1   113 ( )) 1 3
«медленных» переменных и уравнение для
«быстрой» переменной
1 =   b111 ( ) 12  b133 ( ) 32 
(34)
 A113 ( )sin(1   113 ( )) 1 3 ,
которое отщепляется от (31), (32). В (33)
1 ( ) =  3 ( )  31 ( ) .
Структура уравнений (20) ((27), (28)) позволяет ввести по аналогии с системами (29), (30)
взамен zn , (n = 1, 3, 5, ) «медленные» пе-
4. Анализ нормальной формы
ременные  = ( 1 , 3 , 5 , ) ,  = (1 ,3 ,5 , ) и
функции. Отсюда следует, что Z ( z, z;  ) – ку(3)
n
бический оператор, действующий из l21 в l21 , а
U 3 ( z, z;  )  U 3 (s, z, z;  ) – кубическая форма в
l21 , принимающая значения в C1 (1,0) при
одну «быструю» переменную  1 . Ввести пере-
Перейдем в (20) к полярным координатам,
положив zn = n exp(i n )( n  0) . В результате
получим систему уравнений вида:
(27)
n =  n ( ) n  Rn (  , ;  ),
(28)
 n =  n   n ( )  Tn (  , ;  ),
где n = 1,3,5, ,  n ( ) = Re n ( ) ,  n   n ( ) =
=Im n ( ) ,  = ( 1 , 3 , 5 , ) ,  = (1 , 3 , 5 , ) ,
функционалы Rn (  , ;  ) , Tn (  , ;  ) - 2 периодические по  j ( j = 1,3,5, ) .
Структура системы (27), (28) позволяет ввести одну «быструю» переменную и счетное
число «медленных» переменных. Продемонстрируем это на примере «усеченных» систем.
Положим в (20) zn  0 , n = 5, 7, . С учетом
равенства zn = z n имеем :
z1 = 1 ( ) z1  d111 ( ) | z1 | z1 
2
2
 d133 ( ) | z3 |2 z1  d 113 ( ) z1 z3 ,
z3 = 3 ( ) z3  d113 ( ) | z1 | z3 
(29)
Введем совокупность (n1 , n2 , n3 ) , удовлетворяющих условию n1  n2  n3 = 1 (n1 , n2 , n3 = 1,
3, 5,...) . По ним построим переменные
n (n = 1,3,...) последовательно полагая
n = sign(n1 ) n  sign(n2 ) n  sign(n3 ) n  1 ,
1
2
3
исключая при этом те из них, которые являются
линейными комбинациями предыдущих. В результате получим систему уравнений вида:
(35)
n =  n ( ) n  Rn (  , ;  ),
n =  n ( )  n (  , ;  ),(n = 1,3,5, ) (36)
где  n ( ) ( n (0) = 0) – линейная комбинация из
трех  n ( ) , определяемая соответствующим
j
резонансом;
2
d333 ( ) | z3 |2 z3  d111 ( ) z13 .
Обозначим
менные  n можно неединственным способом.
Любой другой способ является линейной комбинацией введенных переменных. В качестве
одного из возможных способов введения переменных  n может быть предложен следующий.
(30)
функционалы
Rn (  , ;  )
и
n (  , ;  ) имеют структуру, аналогичную
правым частям (31), (33), 2 – периодические
Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров
150
по каждому  j ( j = 1,3,5, ) .
Уравнение для «быстрой» переменной  1
имеет вид
(37)
1 =   1 ( )  T (  , ;  ),
где
функционал
–
2 –
T (  , ;  )
периодический по  j ( j = 1,3, ) и имеет структуру, аналогичную (34).
Предположим, что в области |  |  0 имеется
подобласть ( 0 ) , примыкающая к точке  = 0 ,
при значениях  из которой система уравнений
(35)–(36)
имеет
состояние
равновесия
(  * ( ), * ( )) ,
(  * ( )  0 ,
 * ( )   * (0) 
[0;2 ) при   0,  * ( )  l21 ).
Обозначим
Выразим  = (1 , 3 , 5 , ) через  = (1 ,3 , )
в обратном порядке. В результате для определения
на состоянии равновесия
 n (t )
(  * ( ), * ( )) с учетом (28) получим систему
уравнений вида:
 n =  n   n ( )   * ( )2 Tn ( * , * ;  ) 
  n   n ( )   * ( )2  n 2 ( ) 
(42)
  n   n (  ( );  ),(n = 1,3,5, ).
*
Здесь постоянная Tn ( * , * ;  ) получена с
учетом (28) и выполненных замен. Отметим
также, что между правыми частями (42) выполнены условия синхронизации, определяемые
видом  n . В связи с этим с учетом вида (37),
(42) справедливы равенства  n = n1   n ( )
(n = 2,3, ) , где функции  n ( ) определяют
 

 =  ( ) =||  * ( ) ||l1 =   *2j ( ) |  j ( ) |2  (38) фазу синхронизации. Отсюда следует, что си j =1

стема уравнений (20) имеет периодическое реи нормируем в (35), (36) n = n  . В результате, шение z (t;  ) с периодом
n
учитывая структуру функций Rn (*), n (*) , поT ( ) = 2(1  1 (  * ( );  ) /  )1
лучим систему уравнений
вида
(39)
n =  n ( )n   2 Rn ( , ;  ),
z (t;  ) =  * ( ) z * ( ;  ) =
1/ 2
n =n ( )   2 n ( , ;  ),(n = 1,3,5, ). (40)
Точка  * ( ) =  * ( ) /  ,  * ( ) ,(  * ( )
l21
= 1) ,
будет состоянием равновесия системы уравнений (39), (40).
Введем в рассмотрение матрицу частных
производных по  j и  j ( j = 1, 2 ) правых
частей системы дифференциальных уравнений
(39), (40) (матрицу Якоби), вычисленную в точке ( * ( ), * ( )) . Эту матрицу можно записать в
виде  2 B( ) , где
(1)
(2)

 r ( ) rnj ( ) 

B( ) =  nj(1)
 , (n = 1,3, ).
(2)

(

)

(

)
 nj

nj


Здесь
rnj(1) ( ) = Rn \  j | * * (n  j ),
(41)
( ( ), ( ))
rnj(2) ( ) = Rn \  j |
( * ( ), * ( ))
 nj(2) ( ) = n \  j |( * ( ), * ( )) .
rnn(1) ( )
представим
Rn ( , ;  ) в виде Rn ( , ;  ) = R ( , ;  )n 
(1)
n
Rn(2) ( , ;  ) , где Rn(2) (*) – не зависящий от  n
функционал.
Rn(2) / n ) |
Тогда
( * ( ), * ( ))
.
1
  ( ) ( ) exp(i(n 1   n ( ))),
 1 =    1 (  * ( );  )
(43)
(n = 1, 3, ).
Справедливо следующее [3]
Утверждение 1. Пусть при  ( 0 ) для
некоторого  0 вещественные части собственных значений матрицы (41) меньше некоторого
m < 0 . Тогда при указанных  краевая задача
(17), (18) имеет асимптотически орбитально
устойчивый предельный цикл, период которого
T ( )  2 при   0 , и имеющий следующую
асимптотическую формулу:
u* ( s, t;  ) =  u1* ( s, 1 ;  )   3u3* ( s, 1 ;  ,  ),
 1 =    1 ( )   2 2* (  ,  ),  =  ( ),
(44)


 ( ) = n \  j |( * ( ), * ( )) ,
определения
n
*
n
u1* ( s, 1 ;  ) = un ( s;  ) zn* ( 1 ;  )) ,
,
(1)
nj
Для
n
rnn(1) ( ) = Rn(1) \ nn 
где функции u3* (s,1 ;  ,  )  u3* (s,1  2 ;  ,  ) и
 2 (  ,  ) непрерывны по совокупности переменных и бесконечно дифференцируемы по
s,1 ,  .
5. Численное исследование
нормальной формы
Утверждение 1 дает механизм построения
периодических решений уравнения (1).
Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения 151
мерах она составляет 104 . Одновременно происходит проверка гипотезы, сформулированной
в п. 2.
На рис. 2 приведён график функции  ( ) ,
построенный для значений (1 ,  2 ) вдоль кривой, отмеченной пунктирной линией на рис. 1.
Рис. 1.
[7]
На рис. 1 приведена картина D –разбиений
плоскости параметров (1 ,  2 ) ( j  0,
j = 1, 2) . При значениях   D0 корни характеристического уравнеия (3) находятся в левой
комплексной полуплоскости. При значениях
  D2 одна пара комплексно-сопряженных
корней характеристического уравнения (3)
находится в правой комплексной полуплоскости, а остальные в левой; при   D4 две пары
комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (3) находятся в правой
комплексной полуплоскости, а остальные в левой, и т.д. При увеличении  2 указанные корни
остаются в правой полуплоскости. На рис. 1
точечной линией условно обозначены границы
последующих областей неустойчивости, характер которых аналогичен приведенным и которые прижимаются к оси  2 при 1  0 . Вычисление состояний равновесия системы уравнений
(35), (36), которым в соответствии с утверждением 1 отвечают периодические решения краевой задачи (17), (18), проводится по следующей
схеме. Для последовательности «усеченных»
систем уравнений, состоящих из двух (система
(29), (30)), трех и т.д. уравнений, строятся по
(35), (36) соответствующие «усеченные» уравнения «медленных» переменных. Для каждого
состояния равновесия системы уравнений (35),
(36) при каждом фиксированном  строится
последовательность
состояний
равновесия
1* ( ), 3* ( ), 5* ( ),..., n* ( ), 1* ( ),3* ( ),
5* ( ),...,n* ( ) «усеченных» уравнений «медленных» переменных. Процесс продолжается до
тех пор, пока относительная погрешность величины
1/ 2

n


j =1

n* ( ) =   *2j ( ) |  j ( ) |2 
при переходе к очередному шагу не достигнет
заданной точности. В приведенных ниже при-
Рис. 2.
На рис. 3 приведены периодические решения
уравнения (1), построенные по приведенной
выше схеме для случая 1  0.02 при возрастающих значениях  2 . Эти значения отмечены
точками на рис. 1. При  2  0.01 находимся в
области D2 . При значениях (1 ,  2 )  D2 уравнение (1) имеет единственное устойчивое периодическое решение. Его вид представлен на
рис. 3а. При  2  0.04 находимся в области D4 .
При этом значении  2 уравнение имеет, по
крайней мере, 2 устойчивых периодических решения. Вид их представлен на рис. 3б и рис. 3в.
При увеличении  2 проявляются новые периодические решения. Так, при  2  0.07 отмечено
существование трёх периодических решений.
Их вид приведён на рис. 3 г,д,е. Дальнейшее
увеличение  2 приводит к возникновению, по
крайней мере, ещё одного периодического решения. Так, при  2  0.13 установлено существование четырёх периодических решений.
Они представлены на рис. 3 ж, з, и, к. Первые
три являются развитием ранее обнаруженных
решений. Последнее решение новое. Заметим,
что с ростом  2 амплитуды решений также растут. Механизм возникновения новых периодических решений до конца не изучен. Похоже,
что они бифурцируют от имеющихся периодических решений.
Как известно, отмеченная ситуация – одновременное существование нескольких устойчивых периодических решений в поведении динамической системы – носит название мультистабильности.
152
Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров
Рис. 3.
Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения 153
В заключение отметим, что численный
анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводился с использованием
программы Tracer [8].
Список литературы
1. Дмитриев А.С., Кислов В.А. Стохастические
колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука,
1989.
2. Гласс Л., Мэкки М. От часов к хаосу: Ритмы
жизни. М.: Мир, 1991.
3. Кубышкин Е.П. Построение асимптотики периодических решений с запаздывающей обратной
связью,// Вестник Ярославского госуниверситета им.
П.Г. Демидова. Серия: Естественные и технические
науки. 2011, №2. С. 87–94.
4. Кубышкин Е.П. Метод равномерной нормализации в исследовании периодических решений дифференциально-разностных уравнений с малым параметром при производной // Моделирование и анализ
информационных систем. Т. 19, №3. С. 143.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.М.: Наука, 1971. 296 с.
6. Шиманов С.Н. К теории квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. Т. 23. № 5.
С. 836-844.
7. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиений пространства квазиполиномов диаграммы Вышерадского и Найквиста // ДАН СССР. 1948. Т. 60.
С. 1503–1506.
8. Tracer. Построитель фазовых портретов. Версия 3.70. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008611464.
THE MULTISTABILITY IN THE BEHAVIOR OF THE SOLUTIONS
OF THE DIFFERENTIAL EQUATION WITH DELAY AND A SMALL PARAMETER
AT THE DERIVATIVE
E.P. Kubyshkin, A.Yu. Nazarov
It shows a possibility of simultaneous existence a few stable periodic solutions. The method of uniform normalization of nonlinear equations with delaying argument and small parameter at the derivative is used like investigation
method.
Keywords: differential equation with delaying argument and a small parameter at derivative, normal form of differential equation with delaying argument, stability of periodic solution.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа