close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Наилучшие приближения и точные значения поперечников некоторых классов периодических функций в L2.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №12
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Н.Ф.Олифтаев
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В L2
Таджикский государственный университет коммерции
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.03.2015 г.)
В
работе
рассматривается
экстремальная
задача
вычисления
точных
значений
n-поперечников различных классов функций из L  определяемых τ-модулями гладкости m-го поряд(r )
2
ка r-ой производной f (r)(t).
Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности, ряд Фурье, n-поперечник,
τ-модуль непрерывности.
1. Пусть
- множество натуральных чисел;


 {0} ;

- множество положительных
чисел вещественной оси; L2  L2 [0 2 ] - пространство 2 -периодических измеримых функций,
квадрат которых суммируем на [0 2 ] с конечной нормой
1 2
f  f
L2
 1 2

    f ( x ) 2 dx   
 0

Пусть
 n1


2 n1  Tn1 ( x)  Tn1  0   ( k cos kx   k sin kx) 
2 k 1


– подпространство всевозможных полиномов порядка  n  1 .
Общеизвестно, что для произвольной функции f  L2 , имеющей формальное разложение в
ряд Фурье
f ( x)
a0 ( f ) 
  (ak ( f ) cos kx  bk ( f )sin kx)
2
k 1
величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством 2 n1 равна
En1 ( f )  inf  f  Tn1  Tn1 2 n1  
def
1 2


 f  Sn 1 ( f )    k2 ( f )  
 k n

(1)
Адрес для корреспонденции: Олифтаев Нодир Фезилобекович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Дехоти, 1/2, Таджикский государственный университет коммерции. E-mail: nodir.oliftaev@inbox.ru
1071
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №12
где
Sn1 ( f  x) 
a0 ( f ) n1
  (ak ( f ) cos kx  bk ( f )sin kx)
2
k 1
 частная сумма порядка n  1 ряда Фурье функции f ( x) ,
def
 k2 ( f )  ak2 ( f )  bk2 ( f )
Через L(2r )  r 
обозначим множество функций f  L2  у которых производные (r  1) -го
порядка абсолютно непрерывны, а производные r -го порядка f ( r )  L2  Символом  mh ( f ) - обозначим норму конечной разности m -го порядка функции f  L2 с шагом h 
2

1
 mh ( f )   
 0

1 2
2

m

m k 
(

1)
f
(
x

kh
)
dx


k
k 0
 


m
и равенством

def
m ( f  t )  sup  mh ( f )   h  t

(2)
определим модуль непрерывности m -го порядка функции f  L2 
Для исследования структурных и конструктивных свойств величины наилучшего приближения функций алгебраическими полиномами в пространствах Lp [a b](1  p  ) и C[a b] Камен Г.
Иванов [1,2] ввёл в рассмотрение новые модификации модулей непрерывности, так называемые  модули гладкости, и изучил их свойства и связи с известными дифференциально-разностными характеристиками. Мы воспользуемся указанными величинами для решения ряда экстремальных задач
теории полиномиальной аппроксимации в L2  предварительно развивая и обобщая в Lq (q  1) 
норме ранее известные результаты С.Б.Вакарчука [3] для  -модулей гладкости.
Пусть  ( x) — произвольная положительная 2 -периодическая функция, а w( x) — непрерывная неотрицательная функция периода 2   -модулем гладкости m -го порядка функции
f  Lmax( p p ) [0 2 ] ( p p  1) называют величину
 m ( f  w  ) p p  w()m ( f   ()) p 

(3)

p
где
1 p
 ( x)


p
 1

m
m ( f  x  ( x)) p  

f
(
x
)
dh
 
h

 2 ( x)   ( x )



1072
Математика
Н.Ф.Олифтаев
Условимся, что если w( x)  1 то вместо  m ( f 1  ) p p будем писать просто  m ( f   ) p p  В
[1]
доказано,
что
если,
 ( x)  u  const  0
например,
f  Lp [0 2 ]
w( x)  1
и
p [0 p]1  p   то
 m ( f  u ) p p
m ( f  u) p 

(4)
где символ   означает соотношение слабой эквивалентности.
Для выяснении структурных и конструктивных свойств функции f  L(2r ) посредством  модулей гладкости m -го порядка, с нашей точки зрения, определенный интерес представляет отыскание точного значения следующей экстремальной величины
 mn r q( m    h) p  sup

f L(2r )
f  const
где 1  p  2 0  q  2 h 

2m  2 En 1 ( f ) 2
1 q
 h q (r)

   m ( f 1 t ) p 2  (t )dt 
0


(5)
и  (t )  неотрицательная суммируемая не эквивалентная нулю на
отрезке [0 h] функция.
Следуя работе [3], введём обозначение

m
( )   (1  cos )m d 
(6)
0
В работе [4] нами установлена следующая общая
Теорема. Пусть r m   h 

и 1  r  q  2 Тогда при любых n 
справедливо равен-
ство
 nh 1
 mnr q( m    h) p    (t
0

 (t )dt 
m (t ))

q 2
1 q

(7)
2. Используя результат (7), продолжим исследование в этом направлении. Прежде чем сформулировать нужные нам результаты, напомним необходимые определения и обозначения, которыми
воспользуемся при вычислении различных n -поперечников заданных классов функций.
Пусть M  L2 – некоторый класс функций и пусть Ln  L2 – некоторое подпространство заданной размерности n Величину
En (M) L2  E (M Ln ) L2  sup{E ( f  Ln ) L2  f  M} 


 sup inf  f  g 2  g  Ln   f  M
1073
(8)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №12
называют наилучшим приближением класса M подпространством Ln размерности n Величина (8)
характеризует отклонение класса M от подпространства Ln в метрике пространства L2  Величины
bn (M L2 )  sup sup  0  S   n1  M   n1  L2  


d n (M L2 )  inf sup  f  f  M   n    n  L2  


d n (M L2 )  inf sup inf  f  g  g   n   f  M   n  L2  




 n (M L2 )  inf inf sup f  f  f  M  L2   n    n  L2  








 n (M L2 )  inf inf sup f 


f  f M 






L2   n    n  L2 
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным n -поперечниками. Поскольку L2 – гильбертово пространство, то между перечисленными
n -поперечниками выполняются соотношения:
bn (M L2 )  d n (M L2 )  d n (M L2 )   n (M L2 )  n (M L2 )
(9)
Исходя из полученных результатов, связанных с характеристикой гладкости  m ( f  u ) p p   определим следующие классы функций. Через Wq( r ) (1  h) обозначим класс функций f  L(2r )  для которых при любых r   h 

и 1  r  q  2 выполняется неравенство
h
1 q (r )
 1 ( f  t )22 dt  1
h 0
Через Wq( r ) (1) обозначим множество функций
r   1  r  q  2 h 

f  L(2r )  для которых при любых
выполняется условие
h
1 q (r )
 1 ( f  u )22 du  (h)
h 0
где (h) – неотрицательная возрастающая функция такая, что (0)  0
Теорема 1. Пусть r   h 

и 1  r  q  2 Тогда при любых n 
имеют место ра-
венства
2n (Wq( r ) (1 h) L2 )  2n1 (Wq( r ) (1 h) L2 ) 
 En 1 (W (1  h))2  2
(r )
q
1 2
n
 r 1 q
1074
 1 nh  sin t  q  2 
  1 
 dt 
t 
h 0 

1 q

(10)
Математика
Н.Ф.Олифтаев
В частности, при q  2 имеем
2n (W2( r ) (1 h) L2 )  2n1 (W2( r ) (1 h) L2 ) 
1 2


nh
 En1 (W (1  h))2  n 
  0  nh   
 2(nh  Si(nh)) 
r
(r )
2
(11)
Отметим, что равенства (11) в определенном смысле являются обобщением одного результата
Л.В.Тайкова [5] о наилучшем полиномиальном приближении периодических функций, принадлежащих пространству L2 [0 2 ] структурные свойства которых характеризуются усредненными значениями модулей непрерывности первого порядка производной f ( r )  L2 на случай, когда указанные
свойства характеризуются  -модулем первого порядка производной f ( r )  L2  В качестве следствия
из теоремы 1 рассмотрим следующую задачу. Если M – некоторый класс функций, принадлежащий
пространству L2  то требуется найти величину
Ln (M)  sup{ an ( f )  bn ( f )  f  M}
где an ( f ) и bn ( f ) – косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f ( x)
Теорема 2. Если r   1  r  q  2 0  h  3  (4n) , то справедливы равенства
sup{ an ( f )  bn ( f )  f Wq( r ) (11 h)} 
 nh  sin t  q  2 

1 2  r 1 q  1
2 n
  1 
 dt 
t 
h 0 



1 q

(12)
В частности, при q  2 имеем
1 2


nh
sup{ an ( f )  bn ( f )  f W (11   n)}  n 
 
 2(nh  Si(nh)) 
r
(r )
2
Вычислим теперь точные значения n -поперечников класса Wq( r ) (1) Следуя работе [6],
полагая при t  0 значение функции
sin t
равным 1, через t обозначим значение ее аргумента, при
t
котором эта функция достигает на полусегменте [0 ) своего наименьшего значения. При этом
t (4 49  t  4 51) есть минимальный положительный корень уравнения tgx  x Положим
 sin t
1
 если 0  t  t
t
 sin t  
1 
 
t  1  sin t  если t  t  


t

1075
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №12
В этих обозначениях имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Если мажоранта  при любых h 

 0  q  2 m n 
удовлетворяет ог-
раничению
1
q2
   sin t  q  2 
 q ( h)
 nh  sin t 

1 
 dt    1 
 dt  
 q (  n) nh 0 
t 
t 
0

то при любых r 

(13)
имеют место равенства
2n1 (Wq( r ) (1) L2 )  2n (Wq( r ) (1) L2 ) 
 1 q   
q2

sin t 

 En 1 (W ( 1 ) L2 ) 
1

dt





r
t 
2n 

0 

(r)
q
1 q
 
  
n
(14)
где n ()  любой из перечисленных выше n -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (13), не пусто.
Из теоремы 3 вытекает следующее
Следствие. При выполнении условий теоремы 3 имеют место равенства
2n1 (W2( r ) (1) L2 )  2n (W2( r ) (1) L2 ) 

1  
  
r
2(  Si( )) n  n 
 En1 (W2( r ) ( 1) L2 ) 

(15)
Хорошо известно, что, если f  L(2r )  то и все производные f ( r  s ) также принадлежат L2  а
потому определенный интерес представляет изучение поведения величины En1 ( f ( r  s ) ) L2  s  01… r
на классах функций W2( r ) (1)
Теорема 4. Пусть q  2 r 

 Если функция  при любом h 

удовлетворяет усло-
вию
sin t 
 dt
t
  ( h) 

0


 
 Si ( ) 
 (  n) 
nh 1 
 

nh
2

 1 
(16)
то для s  01… r справедливо равенство
sup{En1 ( f ( r  s ) )2  f W2( r ) (1)} 

1  
  
s
2(  Si( )) n  n 

(17)
Поступило 22.03.2015 г.
1076
Математика
Н.Ф.Олифтаев
Л И Т Е РАТ У РА
1. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. I  Сердика Бълг. Мат. Списание, 1982, т.8,
№3, с.262-279.
2. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. II  Direct and converse theorems for the best
algebraic approximation in C[-1;1] and Lp[-1;1] Сердика Бълг. Мат. Студ., 1983, т.5, с.151-163.
3. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в L2 некоторых классов 2πпериодических функций и точных значениях их n-поперечников.  Матем. заметки, 2001, т.70,
№3, с.334-345.
4. Шабозов М.Ш., Олифтаев Н.Ф. Наилучшие приближения и точные значения поперечников некоторых классов периодических функций в L2.  Известия АН Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2013, №4(153), с.2332.
5. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2.  Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
6. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов
2π-периодических функций и точные значения их поперечников.  Матем. заметки, 2011, т.90,
№5, с.764-775.
Н.Ф.Олифтаев
НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИН ВА ЌИМАТЊОИ АНИЌИ ЌУТРЊОИ БАЪЗЕ
СИНФЊОИ ФУНКСИЯЊОИ ДАВРЇ ДАР ФАЗОИ L2
Донишгоњи давлатии тиљорати Тољикистон
Дар маќола масъалаи экстремалии њисобкунии ќиматњои аниќи n -ќутрњои синфњои
функсияњои гуногун аз фазои L(2r )  ки бо  -модулњои бефосилагии тартиби m -уми њосилаи
тартиби r -ум муайян шудаанд, њал шудааст.
Калимањои калидї: наздиккунии бењтарин, модули бефосилагї, ќатори Фуре, n -ќутр,  -модули
бефосилагї.
N.F.Oliftaev
THE BEST APPROXIMATION AND AN EXACT VALUES OF WIDTHS
FOR SOME CLASSES PERIODIC FUNCTIONS IN L2 SPACE
Tajik State University of Commerce
In this paper an extremal problem of calculation the values of n-widths for different classes functions
from L(2r ) defined by modulus smoothness of m-th order and r-th derivative is considered.
Key words: the best approximation, modulus of continuity, Fourier series, n-widths, τ-modulus of continuity.
1077
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
563 Кб
Теги
классов, приближение, поперечников, функции, некоторые, наилучший, точных, значение, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа