close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Накрытия полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 2. С. 10–15.
УДК 519.8
Е.А. Мещеряков
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
НАКРЫТИЯ ПОЛНЫХ ПЛОСКИХ СТРОГО
ПРИЧИННЫХ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Covers of complete flat strictly casual Loretzian manifolds are described.
Введение
В статье рассматриваются полные плоские лоренцевы многообразия, т. е. геодезически полные лоренцевы многообразия с нулевыми
кривизной и кручением. Они могут быть реализованы как факторпространства Mn/Г, где Mn – n-мерное пространство-время Минковского, а Г – дискретная подгруппа группы Пуанкаре, действующая свободно и собственно разрывно на Mn (в этой ситуации Г изоморфна 1 (М)).
Кроме того, они могут быть определены как полные аффинные многообразия с согласованной лоренцевой метрикой.
Если многообразие M не допускает замкнутых временеподобных
кривых, то оно называется причинным. Выбор начала координат o в Mn
позволяет отождествить Mn с вещественным векторным пространством
V, в котором задана лоренцева форма l сигнатуры (+,–, …, –); причинная структура задается конусом C (один из двух конусов, определяемых
соотношением l(v, v)≥0). Если M причинно, а прошлое и будущее любой
точки p из M замкнуты в некоторой окрестности p, то M называется
строго причинным (при этом будущее или прошлое могут оказаться незамкнутыми).
В дальнейшем, если не оговорено противное, многообразия предполагаются лоренцевыми, полными, плоскими и строго причинными. В
[2] они были найдены с точностью до конечных накрытий; точнее, в [2]
было явно построено действие Г. В [1] каждому такому многообразию
была сопоставлена кривая, которая его однозначно определяет. Кривая
расположена в конусе положительно определенных квадратичных
форм и может быть параболой, лучом или точкой. В [4] была получена
классификация многообразий указанного класса. В данной работе найдены все накрытия в наиболее важном подклассе таких многообразий.
Предварительные сведения
Согласно [2, теорема 1], каждое строго причинное плоское полное
лоренцево многообразие конечно накрывается пространством векторного расслоения с (произвольной) ограниченной группой голономии и
унипотентной базой. Последнее означает, что Г состоит из аффинных
преобразований с унипотентной линейной частью; мы будем рассмат-
© Е.А. Мещеряков, 2008
Накрытия полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий
ривать только этот случай. Согласно [2,
теорема 2], унипотентное многообразие
этого типа допускает конечное накрытие
многообразием описанного ниже вида.
Основная конструкция
Фиксируем вектора v0, v1 такие, что
l(vi,vi)=0 для i=0,1, для которых выполняется равенство l(v0,v1)=1$. Обозначим
L=Rv0, W=L┴, N=W∩v1┴; l_0(v)=l(v0,v).
Гиперплоскость W есть прямая сумма
N и L, она касается границы конуса – ∂C в
точке v0; очевидно, W∩∂C – полупрямая в
L. Форма l не положительна и вырождена
на W и не вырождена и отрицательна на
N. Пусть T – произвольное линейное подпространство N, Г – решетка в T (кокомпактная подгруппа аддитивной группы T)
и a – линейное отображение, симметричное по отношению к l: a:T → N, l(ax, y)=l(x,
ay), x, y из T. Аддитивная группа T аффинно действует в V по формулам
λ(x)v=v+l_0(v)ax–(l(ax,v)+
(1)
+1/2 _0(v)l(ax,ax))v_0,
(2)
τ(x)=x–1/2 l(ax,x)v_0,
γx(v)=λ(x)v+τ(x).
Следующее условие необходимо и достаточно для того, чтобы действие T было
свободно, а действие Г – свободно и собственно разрывно:
ker(I+sa)=0
(3)
для всех вещественных s. Отображение a
можно единственным образом представить в виде a=a’+a’’, где a’:T → T$ – самосопряженное преобразование T, а a’’:T →
T┴ ∩ N$. Следуя [1], набор (n, m, r, k), где
n=dim M, m=dim T, r=dim a''T, k=dim ker a,
будем называть сигнатурой многообразия
M. В работе [1] было показано, что сигнатура не зависит от реализации в виде основной конструкции и что выполняются
следующие неравенства:
n ≥ m+k+2, m ≥ r+k.
(4)
Согласно [1], многообразие M полностью определяется набором v0, v1, T, a, Г,
l, поэтому мы в дальнейшем будем писать
M=M(v0, v1, T, a, Г, l).
^
Обозначим через Г алгебраическое
замыкание группы Г, т. е. замыкание в
топологии Зарисского в группе Aff(V) всех
аффинных преобразований V. Согласно
[1, предложение 1], справедливо следующее утверждение.
^
Предложение 1. Группа Г изоморфна векторной группе T; более того, алгебраическое замыкание Г-орбиты любой
11
точки V совпадает с T-орбитой той же
точки.
Следующее предложение выполняется
согласно [2, теорема 2].
Предложение 2. Любое полное плоское строго причинное лоренцево многообразие M=V/Г может быть реализовано как
тотальное пространство расслоения над
V/T, слои которого – торы Tv/Гv, v из V.
Доказательство. Пусть S – объединение
аффинных
подпространств
St=((I+ta)T)┴ ∩ Wt, t из R, где Wt={v из V:
l_0(v)=t}$. Из (3) следует, что S гомеоморфно векторному пространству V/T.
Пусть v принадлежит Wt; обозначим через
u ортогональную проекцию v на (I+ta)T
(определение корректно, так как форма l
не вырождена на N). Тогда существует
единственный x из T$ такой, что
u+x+tax=0. Так как v0, v1┴N и λ(x) из SO(V,
l), то (1) и (2) влекут, что любая T-орбита в
V пересекается с S ровно по одной точке.
Другими словами, V может быть представлено в виде V = S × T . Поэтому
M = V / Г = V / T × T / Г , а так как S=V/T, то
M гомеоморфно произведению V / T × T / Г .
Согласно предложению 1, можно считать, что Г – решетка в T (так как T – алгебраическое замыкание Г). Поэтому T/Г –
связная компактная абелева группа, т. е.
тор.
Аффинные накрытия
Пусть M1 и M2 – полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия.
Отображение ν:M1 → M2 называется аффинным, если оно аффинно в локальных
координатах на M1 и M2. В этом разделе
мы ограничимся рассмотрением аффинных отображений (очевидно, лоренцевы
многообразия M1 и M2 имеют естественную нижележащую аффинную структуру). Если ν – накрытие, то dim M1=dim M2;
обозначим
n=dim M1=dim M2.
Будем считать, что Mj=Vj/Гj, j=1, 2, где
V1, V2 – n-мерные вещественные векторные пространства с лоренцевыми формами l1, l2 соответственно. Обозначим через
κj отображения факторизации Vj → Mj.
Отображение ν индуцирует гомоморфизм
фундаментальных групп ν * : π 1 ( M 1 ) →
→ π 1 ( M 2 ) . Согласно [5, теорема 76], гомоморфизм ν* инъективен. Отождествляя
Г1 и ν*(Г1)$, можно считать, что Г1 – подгруппа Г2; однако из этого не следует, что
Е.А. Мещеряков
12
M1 можно получить, заменяя Г2 на Г1 при
реализации M2 в рамках основной конструкции, сохраняя остальные параметры.
Ниже будет показано, при каких условиях
на накрытие M2 можно реализовать в виде основной конструкции с теми же параметрами, что и M1, и заменой Г1 на Г2.
Предложение 3. Любая пара точек
v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2 , удовлетворяющих соотношению
ν (κ1 (v1 )) = κ 2 (v2 ) ,
однозначно определяет невырожденное
аффинное отображение α:V1 → V2 такое,
что α(v1)=v2 и следующая диаграмма коммутативна:
ν
M1
κ1
M2
κ2
(5)
α
V1
Определим пространство T1 как каса^
тельное пространство к Г1 -орбите точки
p из M1; аналогично определяется T2. В
силу [1, предложения 1], Tj как векторная
^
группа изоморфна группе Г j . Из (6) следует, что T1 – подпространство T2.
Теорема 1. Пусть полные плоские
строго причинные лоренцевы многообразия M1 и M2 имеют сигнатуры (n, mj, rj, kj),
j=1, 2. Аффинное накрытие ν:M1 → M2 конечнолистно тогда и только тогда, когда
m1=m2.
Доказательство. Пусть Mj=M(v0j, v1j,
Tj, aj, Гj, lj). Так как гомоморфизм ν* инъективен, то можно считать, что Г1 вложена в Г2 как подгруппа.
Если накрытие конечнолистно, то Г1 –
подгруппа конечного индекса в Г2, т. е.
пространство Г2/Г1 конечно; тогда и
^
^
Г 2 / Г1 конечно. Согласно предложению 1,
Доказательство. Так как ν, κ1, κ2 –
накрытия, то композиция ν и κ1, и κ2 отображают достаточно малые окрестности
U1, U2 точек v1, v2 (соответственно) взаимно однозначно на окрестность U точки
p=ν(κ1(v1))=κ2(v2). Это определяет ветвь
α:U1 → U2 отображения κ2-1◦ν◦κ1. Ясно, что
α аффинно и не вырождено. Поэтому оно
единственным образом продолжается до
взаимно однозначного аффинного отображения V1 → V2.
Осталось заметить, что α по построению замыкает диаграмму (5) локально, а
поэтому и глобально.
Замечание 1. Линейная часть отображения α есть дифференциал отображения ν в точке p1=κ1(v1) (в обозначениях
предложения).
Замечание 2. Наличие взаимно однозначного отображения α, замыкающего
коммутативную диаграмму (5), позволяет
отождествить пространства V1 и V2; очевидно, при этом Г1 реализуется как подгруппа Г2. В дальнейшем под V мы будем
понимать отождествленные V1 и V2.
Так как Г1 – подгруппа в Г2, то алгебраическое замыкание Г1 содержится в
алгебраическом замыкании Г2. Поэтому
для любой точки v из V
^
^
Г1 v ⊂ Г 2 v .
(6)
^
Гj
изоморфна векторной группе Tj. По
определению сигнатуры, mj=dim Tj; это
означает, что T2/T1 изоморфно Rm, где
m=m–m1 и T2/T1 конечно, что возможно
лишь при m1=m2.
Обратно: так как ν – накрытие, то Г1 –
^
подгруппа в Г2. Кроме того, T j ≅ Г j , откуда T1 подпространство в T2, а так как dim
T1=m1=m2=dim T2, то T1=T2. Рассматривая
Гj как решетку в Tj, получаем, что Г1 –
подрешетка Г2. Поскольку каждая решетка в аддитивной группе Rn изоморфна Zn,
то Г1 – подгруппа конечного индекса в Г2,
что и завершает доказательство теоремы.
Многообразие M=M(v0, v1, T, a, Г)=V/Г
можно рассматривать как расслоение над
пространством V/T, слоем которого является тор T/Г (см. предложение 2), группа
Г считается вложенной в T.
Следствие 1. Пусть ν:M1 → M2 – аффинное конечнолистное накрытие. Тогда
накрытие ν послойно и индуцирует взаимно однозначное отображение баз.
Доказательство. Пусть Mj=M(v0j, v1j,
Tj, aj, Гj, lj). Так как накрытие конечнолистно, то T1=T2=T$. Таким образом, базы
расслоений для многообразий M1 и M2
изоморфны V/T. Слой для многообразия
Mj – это T/Гj-орбита. В силу предложения
1, (6) и совпадения алгебраических замы-
13
Накрытия полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий
^
^
каний Г1 и Г 2 , T-орбита переходит в Tорбиту под действием отображения α из
(5). Так как Г1 – подгруппа в Г2, то T/Г1
накрывает T/Г2.
Согласно предложению 2 и следствию
1, конечнолистное накрытие многообразий M1 → M2 задается накрытием торов
T/Г1 → T/Г2.
Лоренцевы накрытия
Будем использовать следующие термины:
– накрытие ν:M1 → M2 конформно, если для каждой точки p из M1 существует
константа cp>0 такая, что l2(dpν(u),
dpν(v))=cpl1(u, v) для всех u, v из TpM1;
– ν гомотетично, если оно конформно
и константа c=cp>0 не зависит от p; в
этом случае c будем называть коэффициентом гомотетии;
– ν изометрично, если оно гомотетично с коэффициентом c=1.
Конформные накрытия сохраняют
причинную структуру, так как они сохраняют конус будущего в любой точке V.
Кроме того, они сохраняют свойство векторов быть ортогональными.
Лемма 1. Любое аффинное конформное отображение ν: V → V гомотетично.
Доказательство. Аффинное отображение имеет вид v → av+b, где a из \GL(V)
и b из V. Поэтому dpν=a для любой точки p
из V. В силу конформности l(av, av)=cpl(v,
v) при всех v из TpV=V, а так как левая
часть равенства не зависит от p, то и cp
не зависит от p.
Теорема 2. Любое аффинное конформное накрытие ν: M1 → M2 полных
плоских строго причинных многообразий
гомотетично.
Доказательство. Любое аффинное
конформное
накрытие
многообразий
можно поднять до аффинного отображения универсальных накрывающих с сохранением конформности (см. предложение 3). Поэтому утверждение следует из
леммы 1.
В силу теоремы 2, в дальнейшем
можно считать, что конформное накрытие M1 → M2 гомотетично. Следующее
предложение позволяет установить связь
между некоторыми параметрами основной конструкции для M1 и M2.
Предложение 4. Пусть ν: M1 → M2 –
гомотетичное накрытие. Тогда многообразия M1, M2 допускают реализации
Mj=M(v0j, v1j, Tj, aj, Гj, lj)=V/Гj, j=1, 2, такие,
что
(1) T1 – подпространство T2;
(2) вектора v01 и v02 пропорциональны;
(3) a 2 |T1 = ca1 , где c – коэффициент гомотетии.
Доказательство. Так как гомоморфизм ν* инъективен, то, отождествляя Г1 с
ν*(Г1), можно считать, что Г1 – подгруппа в
Г2 . Используя предложение 1, получаем,
^
^
что Г1 ≅ T1 подгруппа в Г 2 ≅ T2 Таким образом, T1 – подпространство в T2 (T1 изоморфно α(T1)), что и доказывает (1).
Обозначим через Hj линейные оболочки векторов вида (λ(x)-I)v, где x из Tj, v из
V. Так как T1 подпространство в T2, то H1
содержится в H2. При доказательстве [1,
предложение 2] было получено следующее
выражение
для
пространства
Hj:
Hj=aTj+Rv0j. Пространство Hj содержит
прямую
единственную
lj-изотропную
Rv0j=Lj, так как оно содержится в касательном пространстве к конусу будущего
в точке v0j. Так как свойство изотропности сохраняется благодаря конформности
ν, то L1=L2. Поэтому v01 и v02 пропорциональны, т. е. верно (2).
Согласно основной конструкции, действие групп Гj (и групп Tj) определяется
формулами
γxj(v)=v+(1+l0j(v)aj)x–
1
(7)
– /2lj((1+l0j(v)aj)x+2v,ax)v0j,
x из Гj.
Так как T1 – подпространство T2, то
для x из T1 формулы (7) совпадают при
j=1, 2. Рассмотрим γxj(v), факторизуя по L1
(или по L2, что неважно, так как они совпадают), получаем
l01(v)a1=l02(v)a2 на T1.
Выберем произвольный вектор v такой,
что l0j(v) не равно 0, для j=1, 2; тогда
a 2 |T1 = ca1 , где c=l01(v)/l02(v).
(8)
Следствие 2. Аффинное конформное
накрытие ν:M1 → M2 конечнолистно тогда
и только тогда, когда сигнатуры M1 и M2
совпадают.
Доказательство. Если совпадают
сигнатуры, то m1=m2; из определения
сигнатуры и теоремы 1 следует, что накрытие ν конечнолистно.
Пусть ν конечнолистно. Тогда n1=n2, так
как ν – накрытие и m1=m2. Последнее следует из теоремы 1. Кроме того, из той же теоремы следует, что T1=T2. Используя это, а
14
также пункт (3) предыдущего предложения,
получаем, что k1=k2 и r1=r2 (так как a2=ca1,
kj= dim ker aj и rj=mj–kj–dim(aj T ∩ T)).
Пусть Mj=M(v0j, v1j, Tj, aj, Гj, lj) и
Mj=V/Гj, выберем в пространстве V базис
{e0,…,en-1} так, чтобы v02=e0, v12=en-1,
{e1,…,em} – базис T2 и {em+1,…,em+r} – базис
R2=a''2 T (см. определение сигнатуры). Тогда форма l2 примет вид: l2(v,v)=2v0 vn-1 –v1
v1-…-vn-2 vn-2, где v=(v0,…,vn-1).
Вектора v0j, v0j определяют пространства Nj=(v0j)┴ ∩ (v1j)┴. В силу пункта (2)
предложения 4, v01=x e0, где x из R. Заметим, что пространство T1+aj T1 не зависит
от j, в силу пункта (3) предложения 4. Условие гомотетичности и предложение 4
позволяют связать почти все параметры
основной конструкции многообразий M1 и
M2; следующее предложение показывает,
как связаны вектора v11 и v12.
Предложение 5. Пусть ν:M1 → M2 –
гомотетичное накрытие с коэффициентом
гомотетии c и v11=x0 e0 +v’+xn-1 en-1, где v’
из N2. Тогда
(1) xn-1=1/c x;
(2) v' из (T1+aj T1)┴;
(3) x0=x/2c <v’,v’>.
Доказательство. Пункты (1) и (3)
следуют из соотношений 1=l(v02, v12)=c
l(v01, v11) и l(v11, v11)=0. По определению
v11 ┴ N1 и, кроме того, N1 подпространство
(T1+aj T1), что и влечет пункт (2).
В качестве вектора v’ можно выбрать
произвольный пространственноподобный
(l2(v’, v’)<0) вектор из V с сохранением условия (2) предложения 5. Действие подгруппы Г1 однозначно определяется вектором v01 и отображением a1 (в частности,
пространство T1 может быть задано как
область определения отображения a1). Это
позволяет изменить реализацию M1 в виде основной конструкции так, чтобы вектор v11 был коллинеарен вектору v12, то
есть v'=0, при этом действие группы Г1 не
изменится.
Из определения гомотетичного накрытия следует, что его можно представить в
виде композиции гомотетии вида (M, l) →
(M, c l) и изометрического накрытия. Поскольку любое аффинное конформное накрытие гомотетично (см. теорему 2), это позволяет свести их классификацию к случаю
изометричных накрытий.
Пусть M=V/Г. Любая подгруппа Г’
группы Г задает изометрическое накрытие ν:V/Г’ → V/Г. Не очевидно, что любое
Е.А. Мещеряков
изометричное накрытие может быть получено таким образом. Пусть ν:V/Г’ → V/Г
– изометричное накрытие. Тогда Г’ изоморфна подгруппе ν*(Г’) группы Г. Последнее не означает, что действия Г’ и
ν*(Г’) совпадают на V. Тем не менее это
верно, т. е. накрывающее многообразие
M’ может быть реализовано в виде основной конструкции с теми же параметрами,
что и база M, с заменой Г на Г’.
Теорема 3. Пусть ν:M’ → M –
изометричное накрытие и M=V/Г. Тогда
многообразие M’ может быть реализовано
как V/Г’, где Г’ – подгруппа Г.
Доказательство.
Пусть M=M(v0, v1, T, a, Г, l), и ν:M’ →
M$ – изометричное накрытие. Покажем,
что M’ может быть реализовано как M(v0,
v1, T’, a|T’, Г’, l)$. Предположим, что
M’=M(v’0, v’1, T’, a’, Г’). Тогда Г’ – подгруппа
в группе Г. Согласно пунктам (1) и (3)
предложения 5, вектора v0, v1, v’0, v’1 связаны соотношениями
v’0=1/t v0, v’1=tv1+v’+1/2t <v’,v’>v0.
Из соотношения v0=1/t v’0 и формулы
(8) получаем, что a=1/t a’. Замена тройки
параметров (tv0, 1/t v1, ta) на тройку (v0,
v1, a) не изменяет многообразие, так формулы действия для Г не меняются при такой замене. Поэтому мы может считать,
что t=1. Более того, так как v’ – произвольный вектор из (T+aT)┴, то при реализации M’ в виде основной конструкции
можно считать, что v’=0, т. е. что v’1=v1.
Таким образом, применяя предложение 4,
мы получаем, что M’=M(v0, v1, T’, a|T’, Г’, l).
Обратно: пусть M’=M(v0, v1, T’, a|T’, Г’,
l). Очевидно, действие Г’, определенное
как действие подгруппы Г, совпадает с
действием Г’. Отображение ν определим
следующим образом:
(9)
ν(p)=κ2◦κ1-1(p)
для p из M’. Определение корректно, так
как ν(p) не зависит от выбора прообраза
из κ1-1p. Действительно, пусть v1, v2 из κ11p. Тогда v принадлежит Г’-орбите точки
2
v1, а так как Г’ – подгруппа Г, то v2 принадлежит и Г-орбите точки v1, следовательно, κ2(v1)= =κ2(v2). То, что ν – аффинное накрытие, следует из определения ν, а
изометричность следует из равенства l’=l.
Следствие 3. Если существует изометрическое конечнолистное накрытие
M1 → M2, то M1 и M2 почти причинно изометричны.
Накрытия полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий
Доказательство. Пусть Mj=V/Гj. Тогда, согласно теореме 3, Г1 – подгруппа
группы Г2. Конечнолистность накрытия
гарантирует, что алгебраические замыкания групп Г1 и Г2 одинаковы. Таким образом, при реализации многообразий M1 и
M2 в виде основной конструкции все этапы, кроме выбора решетки в пространстве T, совпадают, что по определению и
означает их почти причинную изометричность.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Гичев В.М., Мещеряков Е.А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных
многообразий // Сиб. матем. журнал. Т. 48.
(2007). № 1. С. 75–88.
[2] Gichev V.M., Morozov O.S. On flat complete
causal Lorentzian manifolds // Geometriae Dedicata. 116 (2005). P. 37–59.
[3] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геметория. М.: Наука, 1979. 760 с.
[4] Мещеряков Е.А. Классификация полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 3. С. 6–9.
[5] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.; Л.:
ОНТИ НКТП СССР, 1938. 315 с.
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
542 Кб
Теги
накрытия, причинные, плоские, полный, многообразие, строго, лоренцевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа